三角函数公式推导过程
mr007客户端_mr007客户端下载—亿万先生mr007客户端下载官网【数学】 编辑：玉凤
　　三角函数是高中数学的重要内容之一,也是培养和锻炼学生数学思维的最好素材，怎么推导得来的呢？本文是小编整理三角函数公式推导过程的资料，仅供参考。
　　三角函数公式推导过程
　　万能公式推导
　　sin2&=2sin&cos&=2sin&cos&/(cos^2(&)+sin^2(&))......*，
　　(因为cos^2(&)+sin^2(&)=1)
　　再把*分式上下同除cos^2(&)，可得sin2&=2tan&/(1+tan^2(&))
　　然后用&/2代替&即可。
　　同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
　　三倍角公式推导
　　tan3&=sin3&/cos3&
　　=(sin2&cos&+cos2&sin&)/(cos2&cos&-sin2&sin&)
　　=(2sin&cos^2(&)+cos^2(&)sin&-sin^3(&))/(cos^3(&)-cos&sin^2(&)-2sin^2(&)cos&)
　　上下同除以cos^3(&)，得：
　　tan3&=(3tan&-tan^3(&))/(1-3tan^2(&))
　　sin3&=sin(2&+&)=sin2&cos&+cos2&sin&
　　=2sin&cos^2(&)+(1-2sin^2(&))sin&
　　=2sin&-2sin^3(&)+sin&-2sin^3(&)
　　=3sin&-4sin^3(&)
　　cos3&=cos(2&+&)=cos2&cos&-sin2&sin&
　　=(2cos^2(&)-1)cos&-2cos&sin^2(&)
　　=2cos^3(&)-cos&+(2cos&-2cos^3(&))
　　=4cos^3(&)-3cos&
　　sin3&=3sin&-4sin^3(&)
　　cos3&=4cos^3(&)-3cos&
　　和差化积公式推导
　　首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb
　　我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
　　所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
　　同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
　　同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
　　所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
　　所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
　　同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
　　这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
　　sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
　　cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
　　cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
　　sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
　　好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.
　　我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2
　　把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
　　sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
　　sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
　　cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
　　cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
　　怎样推导三角函数公式
　　三角函数公式最基本的只有两个：
　　sin(&+/-&)=sin& cos& +/- cos& sin&
　　cos(&+/-&)=cos& cos& -/+ sin& sin&
　　这两个公式当然可以证明,而且数学课本上应该有证明.
　　其他的所有公式,包括和差倍半、诱导公式、和差化积、积化和差,全部都是这两个公式的衍生品.
　　仅举一例：
　　tan(&+&)=sin(&+&)/cos(&+&)=(sin& cos& + cos& sin&)/(cos& cos& - sin& sin&)=(tan& + tan&)/(1 - tan& tan&)(上下同除cos& cos&).
　　这两个公式就是那一大堆公式的牛鼻子,记牢了就行了.至于剩下的,能记住,做题省点时间;记不住,拿这两个现场推.当然,要想拿这两个去推诱导公式的话,90&、180&、270&那些角的函数值得自己记住.
　　记住两个,总比一下要记二十几个容易得多.
　　三角函数所有公式的推导过程
　　两角和公式
　　sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
　　sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
　　cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
　　cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
　　tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
　　tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
　　cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
　　cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
　　倍角公式
　　tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]
　　cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2
　　sin2A=2sinA*cosA
　　三倍角公式
　　sin3a=3sina-4(sina)^3
　　cos3a=4(cosa)^3-3cosa
　　tan3a=tana*tan(&/3+a)*tan(&/3-a)
　　半角公式
　　sin(A/2)=&((1-cosA)/2) sin(A/2)=-&((1-cosA)/2)
　　cos(A/2)=&((1+cosA)/2) cos(A/2)=-&((1+cosA)/2)
　　tan(A/2)=&((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-&((1-cosA)/((1+cosA))
　　cot(A/2)=&((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-&((1+cosA)/((1-cosA))
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)
　　和差化积
　　2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
　　2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) )
　　2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)
　　-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
　　sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2
　　cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB
　　积化和差公式
　　sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]
　　cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]
　　sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]
　　诱导公式
　　sin(-a)=-sin(a)
　　cos(-a)=cos(a)
　　sin(pi/2-a)=cos(a)
　　cos(pi/2-a)=sin(a)
　　sin(pi/2+a)=cos(a)
　　cos(pi/2+a)=-sin(a)
　　sin(pi-a)=sin(a)
　　cos(pi-a)=-cos(a)
　　sin(pi+a)=-sin(a)
　　cos(pi+a)=-cos(a)
　　tgA=tanA=sinA/cosA
　　万能公式
　　sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))
　　cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))
　　tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))
　　其它公式
　　a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中，tan(c)=b/a]
　　a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中，tan(c)=a/b]
　　1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2
　　1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2
　　其他非重点三角函数
　　csc(a)=1/sin(a)
　　sec(a)=1/cos(a)
　　双曲函数
　　sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2
　　cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2
　　tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)
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sina/(1+cosa)=2sin(a/2)cos(a/2)/[1+2cos^2(a/2)-1]=2sin(a/2)cos(a/2)/[2cos^2(a/2)]=sin(a/2)/cos(a/2)=tan(a/2)成立
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a=2(a/2)sina/(1+cosa) =2sin(a/2)cos(a/2)/[1+2cos^2(a/2)-1] =2sin(a/2)cos(a/2)/[2cos^2(a/2)] =sin(a/2)/cos(a/2) =tan(a/2)
此式不成立。
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三角函数推导公式,常用方法
阿k不花心102
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同角三角函数的基本关系
tan α=sin α/cos α平常针对不同条件的常用的两个公式
sin^2 α+cos^2 α=1
tan α *tan α 的邻角=1锐角三角函数公式
正弦： sin α=∠α的对边/∠α 的斜边
余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边
正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边
余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边二倍角公式
sin2A=2sinA•cosA
cos2A=cos^2 A-sin^2 A=1-2sin^2 A=2cos^2 A-1
tan2A=（2tanA）/（1-tan^2 A）三倍角公式
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)
三倍角公式推导
=sin(2a+a)
=sin2acosa+cos2asina
=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina
=3sina-4sin^3a
=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a=3sina-4sin^3a
=4sina(3/4-sin^2a)
=4sina[(√3/2)^2-sin^2a]
=4sina(sin^260°-sin^2a)
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cos3a=4cos^3a-3cosa
=4cosa(cos^2a-3/4)
=4cosa[cos^2a-(√3/2)^2]
=4cosa(cos^2a-cos^230°)
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述两式相比可得
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)半角公式
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.
sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2
cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2
tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)和差化积
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ积化和差
sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2
cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2双曲函数
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2
tanh(a) = sin h(a)/cos h(a)
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）= sinα
cos（2kπ＋α）= cosα
tan（2kπ＋α）= tanα
cot（2kπ＋α）= cotα
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）= -sinα
cos（π＋α）= -cosα
tan（π＋α）= tanα
cot（π＋α）= cotα
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（-α）= -sinα
cos（-α）= cosα
tan（-α）= -tanα
cot（-α）= -cotα
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π-α）= sinα
cos（π-α）= -cosα
tan（π-α）= -tanα
cot（π-α）= -cotα
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π-α）= -sinα
cos（2π-α）= cosα
tan（2π-α）= -tanα
cot（2π-α）= -cotα
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2+α）= cosα
cos（π/2+α）= -sinα
tan（π/2+α）= -cotα
cot（π/2+α）= -tanα
sin（π/2-α）= cosα
cos（π/2-α）= sinα
tan（π/2-α）= cotα
cot（π/2-α）= tanα
sin（3π/2+α）= -cosα
cos（3π/2+α）= sinα
tan（3π/2+α）= -cotα
cot（3π/2+α）= -tanα
sin（3π/2-α）= -cosα
cos（3π/2-α）= -sinα
tan（3π/2-α）= cotα
cot（3π/2-α）= tanα
(以上k∈Z)
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) =
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} }
√表示根号,包括{……}中的内容诱导公式
sin(-α) = -sinα
cos(-α) = cosα
tan (-α)=-tanα
sin(π/2-α) = cosα
cos(π/2-α) = sinα
sin(π/2+α) = cosα
cos(π/2+α) = -sinα
sin(π-α) = sinα
cos(π-α) = -cosα
sin(π+α) = -sinα
cos(π+α) = -cosα
tanA= sinA/cosA
tan（π/2＋α）＝－cotα
tan（π/2－α）＝cotα
tan（π－α）＝－tanα
tan（π＋α）＝tanα
诱导公式记背诀窍：奇变偶不变,符号看象限万能公式
sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]
cosα=[1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]
(1) (sinα)^2+(cosα)^2=1
(2)1+(tanα)^2=(secα)^2
(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可
(4)对于任意非直角三角形,总有
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
tan(A+B)=tan(π-C)
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立
由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论
(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)
(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC
(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC
其他非重点三角函数
csc(a) = 1/sin(a)
sec(a) = 1/cos(a)
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