2、 计算积分 ，求二等分5次的复合函数求不定积分梯形、辛普森和基于二等分5次的龙贝格近似

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-11-07 07:49 标签： 复合函数求不定积分
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计算方法第四章数值积分PPT,经典实用【好多人下呀】.ppt
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3秒自动关闭窗口复合梯形公式
复合辛普森公式 龙贝格公式比较_中华文本库
第1页/共3页
已知2() 3f x x =，1
1() 2f x -=?，分别用复合梯形公式、
复合辛普森公式以及龙贝格公式计算该函数的值，比较其误差，问n=？时它们与精确值的误差在10-5之内。
解：用matlab 进行编程，分别计算：
1）复合梯形公式
2.00 n=128
2.00 n=256
2.25 n=512
2.06 n=1024
2）复合辛普森公式
3）龙贝格公式
以上计算说明用复合辛普森公式计算2次的结果比复合梯形公式计算1024次的结果还要精确，龙贝格公式也经过计算2次之后就达到了其精确值。
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寻找更多 ""　　【摘 要】本文介绍了求解数值积分的复合求积公式，并将龙贝格算法进行改进，并用MATBLE对三个公式进行编程，在精度及算" />
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数值积分算法研究
　　【摘 要】本文介绍了求解数值积分的复合求积公式，并将龙贝格算法进行改进，并用MATBLE对三个公式进行编程，在精度及算法上进行了比较，并制作出用户图形可视化界面。 中国论文网 http://www.xzbu.com/1/view-7252094.htm　　【关键词】龙贝格算法；复合辛普森公式；复合梯形公式；MATLAB 　　一、复合求积公式 　　当积分区间[a，b]较大时，直接使用牛顿-柯特斯公式所得积分近似值的精确度是很难得到保证的。因此，在实际应用中往往采用复合求积的方法，如；复合梯形公式，复合辛普森公式，龙贝格算法。这几个公式具有更大实用价值的数值积分公式。 　　（一）复合梯形公式介绍 　　复合梯形公式：. 若将所得积分近似值记为Tn，并令则上式即为： 　　， 　　若f（x）在积分区间[a，b]上分别具有二阶，四阶，六阶连续导数，则复合梯形公式的余项为：， 其中， 且当h充分小时，有 . 　　（二）复合辛普森公式介绍 　　仿照复合梯形公式推导过程可得复合辛普森公式即： 　　. 　　若f（x）在积分区间[a，b]上分别具有二阶，四阶，六阶连续导数，则复合辛普森公式的余项为 ， 其中， 且当h充分小时，有. 　　（三）龙贝格求积法公式的简化 　　一般地为了便于上机，记 。 　　记号：其中k代表积分区间的二分次数，m代表近似值所在序列的性质。引入上面的记号后，龙贝格算法可统一表示成 　　二、龙贝格算法改进 　　龙贝格算法是在积分区间逐次分半的过程中，对用复合梯形法产生的近似值进行加权平均，以获得准确度较高的近似值的一种方法。但是如果用的最佳一致逼近多项式来代替被积函数可能会得到更高的数值积分计算公式，本文就是在此思想的基础上对抛物差值预处理法作了改进，从而得出了比龙贝格算法及抛物差值预处理法更高的方法。 　　首先，给出最佳一致逼近多项式的依据性定理 　　（二）数值分析 　　从上表可以看出，龙贝格算法其实是在复合辛普森公式递推的基础上生成的一种精度高，而且收敛速度也比较快的一种算法。而改进的抛物插值法比龙贝格法和抛物插值法在相同的计算步数下精度都要高，至于抛物插值法和改进的抛物差值法第四步的误差变大是由舍入误差引起的。 　　四、结束语 　　本文讲了三个求积公式：复合梯形公式，复合辛普森公式，龙贝格算法，它们的共同点都是等距节点下的求积公式。复合梯形公式和复合辛普森公式与龙贝格算法相比较，虽然其精度通常较差且计算工作量较大，但由于使用方便，在计算积分近似值时，也常常用到它们。最后得出改进的抛物插值法比龙贝格法和抛物插值法在相同的计算步数下精度都要高。 　　参考文献： 　　[1]陈晓江，黄樟灿.数值分析[M]，北京：科学出版社，，92～93. 　　[2]刘卫国，陈昭平，张颖.MATLAB程序设计与应用[M].北京：高等教育出版社，2002.6， 221～229. 　　[3]易大义，陈道琦.数值分析引论[M].杭州：浙江大学出版社，3. 　　[4]李庆扬，王能超，易大义.数值积分（第四版）[M].北京：清华大学出版社，. 　　[5]任玉杰.数值分析及其MATLAB实现[M].北京：高等教育出版社 ～121. 　　[6] W.H.普雷斯，B.P.弗拉内里，S.A.托科尔斯基，W.T.维特林.数值方法大全[M].兰州：兰州大学出版社，～116. 　　[7]宋岱才.数值积分方法[M].北京：中国经济出版社，～6. 　　[8]陈晓江，黄樟灿.数值分析[M].北京：科学出版社，，21～23. 　　[9]李海合，王三幅.数值积分的一种改进[电子文献] 2009，7. 　　[10] 吴勃英，数值分析原理[M].北京：科学出版社，，75～79.
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xzbu发布此信息目的在于传播更多信息，与本网站立场无关。xzbu不保证该信息（包括但不限于文字、数据及图表）准确性、真实性、完整性等。阅读(...) 评论()数值分析第五次程序作业PB【问题】 分别编写用复化 Simpson 积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序； 用如上程序计算积分： I f =4 sin 0孙琪x dx取节点xi ， i = 0, … , N, N 为2k , k = 0,1, … ,12，并分析误差； 简单分析你得到的数据。【复化 Simpson 积分公式】 Simpson 法则：bf x dx ≈ab?a a+b [f a + 4f +f b ] 6 2使用偶数个子区间上的复合 Simpson 法则： 设 n 是偶数，xi = a + ih , h = 则有b b ?a n, (0 ≤ i ≤ n)f x dx =ax2 x0f x dx +x4 x2f x dx + ? +xn x n ?2n 2f x dx =x 2if x dxi=1 x 2i ?2将 Simpson 法则应用于每一个区间，得到复合 Simpson 法则：b ah f x dx ≈ [f x0 + 2 3n 2n 2f x2i ?2 + 4i=2 i=1f x2i ?1 + f xn ]公式的误差项为： ? 其中δ ∈ (a, b) 1 b ? a h4 f 1804(δ ) 【复化梯形积分公式】 梯形法则：对两个节点相应的积分法则称为梯形法则：bf x dx ≈ab?a [f a + f b ] 2如果划分区间[a,b]为： a = x0 & x1 & ? & xn = b 那么在每个区间上可应用梯形法则，此时节点未必是等距的，由此得到复合梯形法则：b nf x dx =a i=11 f x dx ≈ 2 x i ?1xinxi ? xi ?1 [f xi ?1 + f xi ]i=1对等间距 h=(b-a)/n 及节点xi = a + ih，复合梯形法则具有形式：b ah f x dx ≈ [f a + 2 2n ?1f a + ih + f b ]i=1误差项为：?1 12b ? a h2 f ′′ (δ )【算法分析】 复合 Simpson 法则和复合梯形法则的算法上述描述中都已介绍了，在此不多做叙述。 【实验】通过 Mathematica 编写程序得到如下结果：1. 利用 复化 Simpson 积分公式得：可以看出，当节点数选取越来越多时，误差项越来越小，这从复合的 Simpson 公 式很好看出来，因为在每一段小区间内，都是用 Simpson 法则去逼近，而每一段 的误差都是由函数在该区间内 4 阶导数值和区间长度的 4 次方乘积决定的，当每一 段小区间越来越小时，相应的每一段小区间内的逼近就会越来越好，从而整体的逼 近效果就会越来越好。 2.利用 复化梯形积分公式得：可以看出，当节点数选取越来越多时，误差项越来越小，这从复合的梯形公式很好 看出来，因为在每一段小区间内，都是用梯形法则去逼近，而每一段的误差都是由 函数在该区间内 2 阶导数值和区间长度的 2 次方乘积决定的，当每一段小区间越来 越小时，相应的每一段小区间内的逼近就会越来越好，从而整体的逼近效果就会越 来越好。【分析】 通过对上述两种法则的效果来看，复合 Simpson 法则的误差要比复合梯形法则收敛到 0 更快，说明复合 Simpson 法则逼近到原来的解更快，这主要是因为在每一段小区间 内，复合 Simpson 法则利用得是 Simpson 法则，复合梯形法则利用得是梯形法则，前 者的误差项要比后者的误差项小很多，因此造成了逼近速度的不一样。 【程序】 Mathematica 程序为： 复合 Simpson 法则：复合梯形法则：
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