& 全等三角形的性质知识点 & “操作实验：如图，把等腰三角形沿顶角平分线...”习题详情
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操作实验：如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称．所以△ABD≌△ACD，所以∠B=∠C．归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等．根据上述内容，回答下列问题：思考验证：如图（4），在△ABC中，AB=AC．试说明∠B=∠C的理由．（添加辅助线说明）探究应用：如图（5），CB⊥AB，垂足为B，DA⊥AB，垂足为A．E为AB的中点，AB=BC，CE⊥BD于F，连接DC、DE、AC，AC与 DE交于点O．（1）BE与AD是否相等？为什么？（2）小明认为AC垂直平分线段DE，你认为对吗？说说你的理由。（3）∠DBC与∠DCB相等吗？试说明理由．&
本题难度：容易
题型：解答题&|&来源：2014-江苏江都花荡中学七年级下学期期末考试数学试卷
分析与解答
习题“操作实验：如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称．所以△ABD≌△ACD，所以∠B=∠C．归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等．根据上述内容，回...”的分析与解答如下所示：
思考验证：说明：过A点作AD⊥BC于D ∴∠ADB＝∠ADC＝90°&在Rt△ABD和Rt△ACD中，∴△ABD≌△ACD（HL）&&&&&&& ∴∠B＝∠C& 注意：本小题也可以作其它辅助线，& …………& 3分 探究应用（令∠ABD＝∠1，∠DBC＝∠2）（1）说明：∵CB⊥AB &&&&&&&&&& ∴∠CBA＝90°&&&&&&&&&&& ∴∠1+∠2＝90°&&&&&&&&&&& ∵DA⊥AB&&&&&&&&&&& ∴∠DAB＝90°&&&&&&&&&&& ∴∠ADB+∠1＝90° &&&&&&&&&&& ∴∠ADB＝∠2&&& &&&& 在△ADB和△BEC中∴△DAB≌△EBC（ASA）∴DA＝BE&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& …………6分 （2）∵E是AB中点 ∴AE＝BE∵AD＝BE∴AE＝AD在△ABC中，∵AB＝BC ∴∠BAC＝∠BCA∵AD∥BC∴∠DAC＝∠BCA ∴∠BAC＝∠DAC&在△ADO和△AEO中，∴△ADO≌△AEO（SAS）∴OD＝OE& ∠AOD＝∠AOE=90&∴AC垂直平分DE．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& …………9分& (3).........10分∴CD=CE∵△DAB≌△EBC∴DB=CE∴CD=BD∴∠DBC=∠DCB&&&&&&&&&&&&&&&&&&& …………12分思考验证：作等腰三角形底边上的高，构造全等三角形．（1）BE与AD在两个直角三角形中，证这两个直角三角形全等即可；（2）可证点A，C在线段DE的垂直平分线上．注意结合（1）的结论，利用全等证明即可；（3）由第二问的垂直平分线的性质，得到CD=CE，由第一问的全等得到DB=CE，那么CD=BD，所以∠DBC=∠DCB．
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操作实验：如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称．所以△ABD≌△ACD，所以∠B=∠C．归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等．根据上...
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等考点的理解。
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全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等（2）关于全等三角形的性质应注意①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
与“操作实验：如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称．所以△ABD≌△ACD，所以∠B=∠C．归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等．根据上述内容，回...”相似的题目：
[2014o淮安o中考]如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为&&&&°．
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[2012o柳州o中考]如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（　　）POPQMOMQ
“操作实验：如图，把等腰三角形沿顶角平分线...”的最新评论
该知识点好题
1如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于F，∠B=∠D=25°，∠ACB=∠AED=105°，∠DAC=10°，则∠DFB为（　　）
2如图，△ABC≌△DBF，∠ABD=30°，则∠CBF的度数为（　　）
3如图，N，C，A三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（　　）
该知识点易错题
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如图所示，在△ABD中，∠A是直角，AB＝3，AD＝4，BC＝13，DC＝12，△DBC是直角三角形吗？为什么？
主讲：张墨雨
【思路分析】
根据勾股定理的逆定理，判断出△ABD和△DBC是直角三角形
【解析过程】
解：∵在△ABD中，∠A是直角，AB=3，AD=4，∴BD===5，∵△BCD中，BC=12，DC=13，DB=5，又∵52+122=132，即BC2+BD2=DC2，∴△BCD是直角三角形.
△BCD是直角三角形，因为三边成勾股数.
此题要将求四边形面积的问题转化为求两个直角三角形面积和的问题，既考查了对勾股定理逆定理的掌握情况，又体现了转化思想在解题时的应用．
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高中数学易错题汇编
高中数学易错易混易忘题分类汇编 “会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何 解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学 生在考试中常见的 66 个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、 难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在， 另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风 破浪，实现自已的理想报负。 【易错点 1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。 例1、 设A ? ? x | x 2 ? 8 x ? 15 ? 0? ， B ? ?x | ax ?1 ? 0? ，若 A ? B ? B ，求实数 a 组成的集合的子集有多少个？ 【易错点分析】此题由条件A ? B ? B 易知 B ? A ，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的 a 值产生漏解现象。 解析：集合 A 化简得A ? ?3,5? ，由 A ? B ? B 知 B ? A 故（Ⅰ）当 B ? ? 时，即方程 ax ? 1 ? 0 无? 1 1 或 。 3 5解，此时 a=0 符合已知条件（Ⅱ）当 B ? ? 时，即方程 ax ? 1 ? 0 的解为 3 或 5，代入得 a综上满足条件的 a 组成的集合为 ?0,? 1 1? , ? ，故其子集共有 23 ? 8 个。 3 5? ?Ｂ时，要树立起分类讨论的数学思想，【知识点归类点拔】 （1）在应用条件 A∪B＝Ｂ ? A∩B＝Ａ ? Ａ 将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。 有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语 言）和自然语言之间的转化如：A ? ?? x, y ? | x 2 ? y 2 ? 4? ，2B??? x, y ? | ? x ? 3? ? ? y ? 4?2? r2?，其中 r? 0 ,若 A ? B ? ? 求 r 的取值范围。将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合 A 表示以原点为圆心以 2 的半径的圆，集合 B 表示以（3，4） 为圆心，以 r 为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径 r 的取值范围。思维马上就可利 用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。 【练 1】已知集合A ? ? x | x 2 ? 4 x ? 0? 、 B ? ? x | x 2 ? 2 ? a ? 1? x ? a 2 ? 1 ? 0? ，若 B ? 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D, x2 ? D f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ?? 中的 x1 , x2 的任意性。以及函数的单调区间必是函数定义域的子集，要树立定义域优先的意识。 解析：由于f ? ?x ? ? ? f ? x ? 即函数 f ? x ? 为奇函数，因此只需判断函数 f ? x ? 在 ? 0,??? 上的单调性x1 ? x2 ? 0，即可。设f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ?ax1 x2 ? b x1 x2由于x1 ? x2 ? 0故当? b ? x1 , x2 ? ? , ? ?? ? a ? ? ?函数时? b ? , ? ? ? 上增函数，同理可证 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ，此时函数 f ? x ? 在 ? ? a ? ? ?? ? b ? b? f ? x ? 在 ? 0, ? 上为减函数。又由于函数为奇函数，故函数在 ? ? , 0? 为减函数，在 ? ? a ? a? ? ? ? ?? ? ? b? b? ? b ? ??, ? ? 为增函数。综上所述：函数 f ? x ? 在 ? ??, ? ?和? ? ? ? ? ? a , ? ? ? 上分别为增函数，在 ? a? a? ? ? ? ? ? b? ? b ? ? 0, ? 和 ? ? , 0 ? 上分别为减函数. ? a? ? a ? ? ? ? ?【知识归类点拔】 （1）函数的单调性广泛应用于比较大小、解不等式、求参数的范围、最值等问题中，应 引起足够重视。 （2）单调性的定义等价于如下形式：f ? x ? 在 ? a, b? 上是增函数 ?f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ， f ? x? 在 x1 ? x2? a, b? 上是减函数 ?f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ，这表明增减性的几何意义：增（减）函数的图象上任意两 x1 ? x25点? x , f ? x ?? , ? x , f ? x ?? 连线的斜率都大于（小于）零。1 1 2 2（3）f ? x ? ? ax ?b ? a ? 0, b ? 0 ? 是一种重要的函数模型，要引起重视并注意应用。但注意本题中不 x能说? b? f ? x ? 在 ? ??, ? ?? ? a? ? ?? b ? ? b? ? b ? , ? ? ? 上为增函数， ? 0, 在 ? ? ? ? ? , 0 ? 上为减函数,在叙 ? a ? ? a? ? a ? ? ? ? ? ? ?f ? x ? ? ax ? 1? x ? a ? 0 ? （1）用单调性的定义判断函数 f ? x ? 在 ax述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”， 【练 7】 （1） （潍坊市统考题）（2）设 f ? x ? 在 0 ? x ? 1 的最小值为 g ? a ? ，求 y ? g ? a ? 的解析式。 ?0,??? 上的单调性。? 1 ?2 ? ? a ? 1? ?1 ? ? 1? 答案： （1）函数在 ? , ?? ? 为增函数在 ? 0, ? 为减函数。 （2） y ? g ? a ? ? ? a ?a ? ? a? ?a ? 0 ? a ? 1? ?（2） （2001 天津） a 设? 0 且 f ? x? ?ex a ? a ex为 R 上的偶函数。1） a 的值 试判断函数在 （ 求 （2）?0,???上的单调性并给出证明。 答案： （1） a? 1 （2）函数在 ? 0,??? 上为增函数（证明略）【易错点 8】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误 结论。 例 8、 （2004 全国高考卷）已知函数 【易错点分析】f ? x ? ? ax3 ? 3x2 ? x ?1 上是减函数，求 a 的取值范围。f ? ? x ? ? 0 ? x ? ? a, b ?? 是 f ? x ? 在 ? a, b ? 内单调递减的充分不必要条件，在解题过程 f ? x ? ? ?x3 在 R 上递减，但 f ? ? x ? ? ?3x2 ? 0 。 f ? ? x? ? 3 a 2 ? 6 x 1（ 1 ） 当 f ? ? x ? ? 0 时 ， f ? x ? 是 减 函 数 ， 则 x ?解 得中易误作是充要条件，如 解析：求函数的导数?a ? 0 f ? ? x? ? 3 a 2 ? 6 x 1 ? 0 x? ?R故 ? x ? ? ?? ? 03 3 2a ? ?3。（ 2 ） 当a ? ?3时 ，1? 8 ? （3）当 a ? ?3 时， f ? x ? ? ?3x ? 3x ? x ? 1 ? ?3 ? x ? ? ? 易知此时函数也在 R 上是减函数。 3? 9 ?在 R 上存在一个区间在其上有 的取值范围是f ? ? x ? ? 0 ，所以当 a ? ?3 时，函数 f ? x ? 不是减函数，综上，所求a? ??, ?3? 。其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明： f ?( x) ? 0 ① f ? x ? 可导，【知识归类点拔】 若函数6与f (x) 为增函数的关系: f ?( x) ? 0 能推出 f (x) 为增函数，但反之不一定。如函数 f ( x) ? x 3 在(??,??) 上 单 调 递 增 ， 但 f ?( x) ? 0 ， ∴ f ?( x) ? 0 是 f (x) 为 增 函 数 的 充 分 不 必 要 条 件 。 ② f ?( x) ? 0 时， f ?( x) ? 0 与 f (x) 为增函 数的关 系 :若 将 f ?( x) ? 0 的根作 为分界 点，因 为规定 f ?( x) ? 0 ，即抠去了分界点，此时 f (x) 为增函数，就一定有 f ?( x) ? 0 。∴当 f ?( x) ? 0 时， f ?( x) ? 0 是 f (x) 为增函数的充分必要条件。 f ?( x) ? 0 与 f (x) 为增函数的关系: f (x) 为增函数， ③一定可以推出f ?( x) ? 0 ，但反之不一定，因为 f ?( x) ? 0 ，即为 f ?( x) ? 0 或 f ?( x) ? 0 。当函数在 f ?( x) ? 0 ，则 f (x) 为常数，函数不具有单调性。∴ f ?( x) ? 0 是 f (x) 为增函数的某个区间内恒有必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上 三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单 调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。 因此本题在第一步后再对 a 维的严密性。 【练 8】 （2003 新课程）函数 （1） A、 b? ?3 和 a ? ?3 进行了讨论，确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，这需要同学们在学习过程中注意思y ? x2 ? bx ? c ? x? ? 0, ???? 是是单调函数的充要条件是（）D、 b?0B、 b?0C、 b?0?0答案：A （2） 是否存在这样的 K 值， 使函数 上递增？ 答案： k 在f ? x ? ? k 2 x4 ?2 3 1 x ? kx 2 ? 2 x ? 在 ?1, 2 ? 上递减， ? 2,??? 在 3 2?1 。 （提示据题意结合函数的连续性知 f ? ? 2? ? 0 ，但 f ? ? 2? ? 0 是函数在 ?1, 2 ? 上递减， 2） ? 2,??? 上递增的必要条件，不一定是充分条件因此由 f ? ? 2? ? 0 求出 K 值后要检验。【易错点 9】应用重要不等式确定最值时，忽视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变量 值是否在定义域限制范围之内。 例 9、 已知：a&0 , b&0 , a+b=1,求(a+1 a) +(b+21 b) 的最小值。2错解 :(a+ 值是 81 a) +(b+21 b) =a +b +2221 1 + a2 b2+4≥2ab+2 ab+4≥4ab ?1 1 +4=8∴(a+ a ab) +(b+21 b) 的最小2【易错点分析】 上面的解答中，两次用到了基本不等式 a +b ≥2ab，第一次等号成立的条件是 a=b= 二次等号成立的条件 ab=221 2,第1 ab，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8 不是最小值。7解析：原式= a +b +1 1 1 1 1 1 2 + 2 +4=( a +b )+( 2 + 2 )+4=[(a+b) -2ab]+ [( + ) ]+4 2 a b ab a b a b 1 a?b 1 1 1 1 1 =(1-2ab)(1+ 2 2 )+4 由 ab≤( )= 得：1-2ab≥1- = ,且 2 2 ≥16，1+ 2 2 ≥17 2 4 2 2 a b a b a b 1 25 1 1 1 25 ∴原式≥ ?17+4= (当且仅当 a=b= 时，等号成立)∴(a+ ) +(b+ ) 的最小值是 。 2 2 2 a b 22 2 2 2 2 2 2 2 2【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即“一正、二定、三 相等” ，在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。 【练 9】 全国卷文 22 理 22） 乙两地相距 s km , 汽车从甲地匀速行驶到乙地， （97 甲、 速度不得超过 c km/h , 已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v（km/h）的平 方成正比，比例系数为固定部分为 a 元。 （1） （2） 把全程运输成本 y（元）表示为速度 v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域； 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？答案为: （1） y?s a ? bv 2 ? a ? ? 0 ? v ? c ?（2）使全程运输成本最小，当 b v≤c 时， 行驶速度 v=a b；当a ＞c 时，行驶速度 v=c。 b【易错点 10】在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函 数的真数的限制条件。 例 10、是否存在实数 a 使函数 明理由。 【易错点分析】本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法，在解题过程中易忽略对数 函数的真数大于零这个限制条件而导致 a 的范围扩大。 解析：函数f ? x ? ? log a ax2?x在? 2, 4? 上是增函数？若存在求出 a 的值，若不存在，说f ? x ? 是由 ? ? x ? ? ax2 ? x 和 y ? loga? ? x? 复合而成的，根据复合函数的单调性的判断方f ? x ? ? log a ax2法（1）当 a&1 时，若使?x在? 2, 4? 上是增函数，则 ? ? x? ? ax2 ? x 在 ? 2, 4? 上是增函2?1 ? ?2 ax 数且大于零。故有 ? 2a 解得 a&1。 （2）当 a&1 时若使 f ? x ? ? log a ?? ? 2 ? ? 4a ? 2 ? 0 ?2?x在? 2, 4? 上是增?1 ? ?4 函数，则 ? ? x ? ? ax ? x 在 ? 2, 4? 上是减函数且大于零。 ? 2a 不等式组无解。综上 ?? ? 4 ? ? 16a ? 4 ? 0 ?所述存在实数 a&1 使得函数f ? x ? ? log a ax2?x在? 2, 4? 上是增函数【知识归类点拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二 次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的 范围 （大于 1 还是小于 1） 特别在解决涉及指、 ， 对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想 （对 数型函数还要注意定义域的限制） 。 8【练 10】 （黄岗三月分统考变式题）设 a （1） 间。 答案：当 0? 0 ，且 a ? 1 试求函数 y ? loga 4 ? 3x ? x2 的的单调区3? 3? ? ?3 ? ? ? a ? 1 ，函数在 ? ?1, ? 上单调递减在 ? , 4 ? 上单调递增当 a ? 1 函数在 ? ?1, ? 上单调 2? 2? ? ?2 ? ?递增在?3 ? ? 2 , 4 ? 上单调递减。 ? ?1 f ? x ? ? log a ? x3 ? ax ? ? a ? 0, a ? 1? 在区间 (? ,0) 内单调递增，则 a 的 2 3 9 9 B、 [ ,1) C、 ( , ??) D、 (1, ) 4 4 4（2） （2005 高考天津）若函数 取值范围是（）A、 [ 答案： （记 g B.1 ,1) 4则 要使得 f ? x ? 是增函数， 则需有 g ' ? x ? ? 0 ? x ? ? x3 ? ax ， g ' ? x ? ? 3x2 ? a 当 a ? 1 时，23 ? 1? 恒成立，所以 a ? 3 ? ? ? ? .矛盾.排除 C、D 当 0 ? a ? 1 时，要使 2? 4 ?成立，所以 a ? 3 ? ? ? ? .排除 A） 4 ? 2? 【易错点 11】 用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性．? 1?2f ? x ? 是函数，则需有 g ' ? x ? ? 0 恒31 2 求 sin y ? cos x 的最大值 3 1 【易错点分析】此题学生都能通过条件 sin x ? sin y ? 将问题转化为关于 sin x 的函数，进而利用换 3 元的思想令 t ? sin x 将问题变为关于 t 的二次函数最值求解。但极易忽略换元前后变量的等价性而造成例 11、已知 sinx ? sin y ?错解， 解 析 ： 由 已 知 条 件 有 siny??2 ? sin x ? 1 3， 而1 1 ? sin x 且 sin y ? ? sin x ? ? ?1,1? （ 结 合 sin x ? ??1,1? ） 得 3 3 1 2 2 令 s i yn ? c o= s ? sin x ? cos2 x = ? sin 2 x ? sin x ? x 3 3即2 2? 2 ? ? 2 ? t ? sin x ? ? ? t ? 1? 则 原 式 = t 2 ? t ? ? ? ? t ? 1? 根 据 二 次 函 数 配 方 得 ： 当 t ? ? 3 3? 3 ? ? 3 ? sin x ? ? 2 3时，原式取得最大值4 9。【知识点归类点拔】“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高 学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”，解数学题时，把某个式子看成一 个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和 设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标 准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的 变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的 形式，把复杂的计算和推证简化。 【练 11】 （高考变式题）设 a&0，000 求 f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx?cosx－2a 的最大值和 （1）29最小值。答案：f(x)的最小值为－2a －22?1 2 ) ? (0 ? a ? 1 ?2 2 2 a－ ，最大值为 ? 2 1 2 ? 2 ?? 2a ? 2 2 a ? 2 ( a ? 2 ) ?（2）不等式 x &ax＋ 答案： a3 的解集是(4,b)，则 a＝________，b＝_______。 21 ? , b ? 36 （提示令换元 x ? t 原不等式变为关于 t 的一元二次不等式的解集为 2, b 8??）【易错点 12】已知 Sn 求 an 时, 易忽略 n＝１的情况． 例 12、 （2005 高考北京卷）数列 （1）求 a2 , a3 , a4 的值及数列 ?an ? 前 n 项和 sn 且 a1 ? 1, an?1 ? 3 sn 。1?an ? 的通项公式。【易错点分析】此题在应用 s n 与 an 的关系时误认为 an 的情况的验证。易得出数列? sn ? sn?1 对于任意 n 值都成立，忽略了对 n=1?an ? 为等比数列的错误结论。解析：易求得1 4 16 1 1 a2 ? , a3 ? , a4 ? 。 由 a1 ? 1, an ?1 ? sn 得 an ? sn ?1 ? n ? 2 ? 故 3 9 27 3 3 1 1 1 4 1 an ?1 ? an ? sn ? sn ?1 ? an ? n ? 2 ? 得 an ?1 ? an ? n ? 2 ? 又 a1 ? 1 ，a2 ? 故该数列从第 3 3 3 3 3?1? n ? 1? ? 二项开始为等比数列故 an ? ? 1 4 n ? 2 。 ? ? ? n ? 2? ? ? ? ?3 ? 3 ?【知识点归类点拔】对于数列 an 与 s n 之间有如下关系： an? s1 ? n ? 1? ? ?? 利用两者之间的关系 sn ? sn ?1 ? n ? 2 ? ? ?可以已知 s n 求 an 。 但注意只有在当 a1 适合 an 的形式。 【练 12】 （2004 全国理） 已知数列 则数列? sn ? sn?1 ? n ? 2? 时两者才可以合并否则要写分段函数?an ? 满足 a1 ? 1, an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ?? ? n ? 1? an?1 ? n ? 2?。?an ? 的通项为?1? n ? 1? ? 答案： （将条件右端视为数列 ?nan ? 的前 n-1 项和利用公式法解答即可） an ? ? n ! ? ? n ? 2? ?2【易错点 13】利用函数知识求解数列的最大项及前 n 项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子 集（从 1 开始） 10例 13、等差数列?an ? 的首项 a1 ? 0 ，前 n 项和 sn ，当 l ? m 时， sm ? sl 。问 n 为何值时 sn 最大?【易错点分析】等差数列的前 n 项和是关于 n 的二次函数，可将问题转化为求解关于 n 的二次函数的最大 值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。解析：由题意知 s n =f ? n ? ? na1 ?n ? n ? 1? 2d?d 2 ? d? n ? ? a1 ? ? n 此函数是以 2 2? ?n 为变量的二次函数，因为 a1? 0 ，当 l ? m 时， sm ? sl 故 d ? 0 即此二次函数开口向下，故由 f ?l ? ? f ? m? 得当时x?当ll?m 2f ? x ? 取得最大值，但由于 n ? N ? ，故若 l ? m 为偶数，当 n ?l ? m ?1 时 s n 最大。 2l?m 2时， s n 最大。? m 为奇数时，当 n ?【知识点归类点拔】数列的通项公式及前 n 项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集（从 1 开始）上 的函数，因此在解题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题。特别的等差数列的前 n 项和公 式是关于 n 的二次函数且没有常数项， 反之满足形如 sn? an2 ? bn 所对应的数列也必然是等差数列的前n 项和。此时由sn ? s ? ? an ? b 知数列中的点 ? n, n ? 是同一直线上，这也是一个很重要的结论。此外形如 n ? n?前 n 项和 sn? can ? c 所对应的数列必为一等比数列的前 n 项和。【练 13】 （2001 全国高考题）设 结论错误的是（）A、 d?an ? 是等差数列， sn 是前 n 项和，且 s5 ? s6 ， s6 ? s7 ? s8 ，则下列D、 s 6 和 s 7 均为 s n 的最大值。? 0 B、 a7 ? 0 C、 s9 ? s5答案：C（提示利用二次函数的知识得等差数列前 n 项和关于 n 的二次函数的对称轴再结合单调性解答） 【易错点 14】解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐。 例 14、已知关于的方程 x2? 3x ? a ? 0 和 x2 ? 3x ? b ? 0 的四个根组成首项为3 4的等差数列，求a ? b 的值。【思维分析】注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如 何排列的。 解析：不妨设3 4是方程 x2? 3x ? a ? 0 的根，由于两方程的两根之和相等故由等差数列的性质知方程2 x 2 ? 3x ? a ? 0 的另一根是此等差数列的第四项， 而方程 x ? 3x ? b ? 0 的两根是等差数列的中间两项，根据等差数列知识易知此等差数列为：27 35 31 3 57 9 ,b ? , , 故a ? 从而 a ? b = 。 16 16 8 4 4, 4 4【知识点归类点拔】等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面，有解题中充分运用数列的性 质往往起到事半功倍的效果。例如对于等差数列?an ?，若 n ? m ? p ? q ，则 an ? am ? a p ? aq ；11对于等比数列?an ?，若 n ? m ? u ? v ，则 an ? am ? au ? av ；若数列 ?a n ?是等比数列， S n 是其前 n*项的和， k ? N ，那么 S k ， S 2k ? S k ， S 3k ? S 2k 成等比数列；若数列 项的和， k?an ? 是等差数列， S n 是其前 n? N * ，那么 S k ， S 2k ? S k ， S 3k ? S 2 k 成等差数列等性质要熟练和灵活应用。2【练 14】 （2003 全国理天津理）已知方程 x 为? 2 x ? m ? 0 和 x 2 ? 2 x ? n ? 0 的四个根组成一个首项B、1 4的等差数列，则m?n=（）A、13 4C、1 2D、3 8答案：C 【易错点 15】用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝１的情况 例 15、数列 {an } 中， a1 （I）求使 an an?1? 1 ， a2 ? 2 ，数列 {an ? an?1} 是公比为 q （ q ? 0 ）的等比数列。（II）求数列 {an } 的前 2 n 项的和 S 2 n ． ? an?1an?2 ? an?2 an?3 成立的 q 的取值范围；【易错点分析】对于等比数列的前 n 项和易忽略公比 q=1 的特殊情况，造成概念性错误。再者学生没有从 定义出发研究条件数列 {an? an?1} 是公比为 q （ q ? 0 ）的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数列而找不到解题突破口。使思维受阻。 解： （I）∵数列 {an 由 an an?1? an?1} 是公比为 q 的等比数列，∴ an?1an?2 ? an an?1q ， an?2 an?3 ? an an?1q 2 ，? an?1an?2 ? an?2 an?3 得 an an?1 ? an an?1q ? an an?1q 2 ? 1 ? q ? q 2 ，即1? 5 2．，解得 0 ? q ? q2 ? q ?1 ? 0 （ q ? 0 ）（II） 由数列 {an? an?1} 是公比为 q 的等比数列，得a n?1 a n ? 2 a ? q ? n? 2 ? q ，这表明数列 {an } 的 a n a n?1 an? 1 ， a2 ? 2 ，∴当 q ? 1 时，所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是 q ，又 a1S 2 n ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a2n?1 ? a2n ? (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ) ? (a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2n )a1 (1 ? q n ) a2 (1 ? q n ) 3(1 ? q n ) ，当 q ? 1 时， ? ? ? 1? q 1? q 1? qS 2 n ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a2n?1 ? a2n ? (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ) ? (a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2n )12? (1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1) ? (2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2) ? 3n ．【知识点归类点拔】本题中拆成的两个数列都是等比数列，其中a n ?2 ? q 是解题的关键，这种给出数列 an的形式值得关注。另外，不要以为奇数项、偶数项都成等比数列，且公比相等，就是整个数列成等比数列， 解题时要慎重， 写出数列的前几项进行观察就得出正确结论.对等比数列的求和一定要注意其公比为 1 这种 特殊情况。高考往往就是在这里人为的设计陷阱使考生产生对现而不全的错误。 【练 15】 （2005 高考全国卷一第一问）设等比数列 围。 答案：?an ? 的公比为 q，前 n 项和 sn ? 0 （1）求 q 的取值范? ?1,0? ? ?0, ???【易错点 16】在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前 n 项和不会采用错项相减法 或解答结果不到位。 例 16、（2003 北京理）已知数列 ． （1）求数列?an ? 是等差数列，且 a1 ? 2, a1 ? a2 ? a3 ? 12?an ? 的通项公式（2）令 bn ? an xn ? x ? R? 求数列 ?bn ? 前项和的公式。 ?an ? 的通项公式再由数列 ?bn ? 的通项公式分析可知数列 ?bn ? 是一【思维分析】本题根据条件确定数列个等差数列和一个等比数列构成的“差比数列” ，可用错项相减的方法求和。 解析： （1）易求得 an （2）由（1）得 bn? 2n? 2nxn 令 sn ? 2 x ? 4 x 2 ? 6 x3 ? ? ? 2nx n （Ⅰ）则（注意错过一位再相减）得 xsn ? 2x2 ? 4x3 ? ?? 2 ? n ? 1? xn ? 2nxn?1 （Ⅱ）用（Ⅰ）减去（Ⅱ）?1 ? x? sn ? 2x ? 2x2? 2x ? ?? 2x ? 2nx3 nn?1n ? 2 ? x ?1 ? x ? ? 当 x ? 1 sn ? ? nx n?1 ? 当 1? x ? 1? x ? ? ?x ? 1 时 sn ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ? n ? n ? 1?综上可得：n ? 2 ? x ?1 ? x ? ? 当 x ? 1 sn ? ? nx n?1 ? 当 x ? 1 时 sn ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ? n ? n ? 1? 1? x ? 1? x ? ? ?【知识点归类点拔】一般情况下对于数列?cn ? 有 cn ? an bn 其中数列 ?an ? 和 ?bn ? 分别为等差数列和等比数列，则其前 n 项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来 求解，实际上课本上等比数列的求和公式就是这种情况的特例。 【练 16】 （2005 全国卷一理）已知 求数列 ?an ? 的 un ? an ? an?1b ? an?2b2 ? ? ? abn?1 ? bn ? n ? N ? , a ? 0, b ? 0 ? 当 a ? b 时，13前 n 项和 s n答案： a? 1 时 sn? n ? 1? a n?2 ? ? n ? 2 ? a n?1 ? a 2 ? 2a ? 当 a ? 1 时 sn 2 ?1 ? a ??n ? n ? 3? 2.【易错点 17】不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法，在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的 规律不清，导致多项或少项。 例 17、求 S n1 1 1 1 ? ??? ． ? ? 1 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n【易错点分析】本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口，其次在裂项抵 消中间项的过程中，对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误。 解：由等差数列的前 n 项和公式得 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n?n(n ? 1) 2，∴1 1 1 1 2 1 1 ?， ， ?， , ? ? 2( ? ) ，n 取 1 ，2 ，3 ， 就分别得到 , 1 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n n(n ? 1) n n ?1∴ Sn? 2(1 ? 1 ) ? 2( 1 ? 1 ) ? 2( 1 ? 1 ) ? ? ? 2( 1 ? 1 )2 2 3 3 4 n n ?1? 2(1 ?1 2n )? ． n ?1 n ?1【知识归类点拔】 “裂项法”有两个特点，一是每个分式的分子相同；二是每项的分母都是两个数（也可三 个或更多）相乘，且这两个数的第一个数是前一项的第二个数，如果不具备这些特点，就要进行转化。同 是要明确消项的规律一般情况下剩余项是前后对称的。常见的变形题除本题外，还有其它形式，例如：求1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 ，方法还是抓通项，即 1 ?2 2 ?4 3 ?6 n ? 2n21 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ，问题会很容易解决。另外还有一些类似“裂项法”的题目， n ? 2n n(n ? 2) 2 n n ? 22如： a n?1 n ? n ?1，求其前 n 项和，可通过分母有理化的方法解决。数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。【练 17】 （2005 济南统考）求和 S n?22 ? 1 42 ? 1 62 ? 1 (2n) 2 ? 1 ＋ 2 ＋ 2 ＋?＋ ． 22 ? 1 4 ?1 6 ? 1 (2n) 2 ? 1答案： S n1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? 1? ? ?1? ? ?1? ? ? ? ? 1? ? ＝n ? ． 1 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1【易错点 18】易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用，缺乏严谨的逻辑思维。 例 18、 （2004 年高考数学江苏卷，20）设无穷等差数列{an}的前 n 项和为 Sn. 3 (Ⅰ)若首项 a1 ? ，公差 d ? 1 ，求满足 S 2 ? (S k ) 2 的正整数 k； 2 k (Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数 k 都有 S 时极易根据条件“对于一切正整数 k 都有 Sk2? (S k ) 2 成立.【易错点分析】 本小题主要考查数列的基本知识， 以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第(Ⅱ)k2? (S k ) 2 成立”这句话将 k 取两个特殊值确定出等差数列的首项和公差，但没有认识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是条件成立 14的充分条件。还应进一步的由特殊到一般。 解： （I）当 a1 由S?3 n(n ? 1) 3 n(n ? 1) 1 2 , d ? 1 时 S n ? na1 ? d ? n? ? n ?n 2 2 2 2 21 4 1 k ? k 2 ? ( k 2 ? k ) 2 ，即 2 2n2k2? (S k ) 2 , 得1 k 3 ( k ? 1) ? 0 又 k ? 0, 所以k ? 4 . 4（II）设数列{an}的公差为 d，则在 S? (S n ) 2 中分别取 k=1,2,得?a1 ? a12 , ? （1） 即? 4?3 2 ?1 2 d ? (2a1 ? d) ?4a1 ? （2） 2 2 ? 由（1）得 a1 ? 0或a1 ? 1. 当 a1 ? 0时, 代入(2)得 d ? 0或d ? 6, 2 若 a1 ? 0, d ? 0, 则an ? 0, S n ? 0, 从而S k ? (S k ) 成立 , ?S1 ? ( S1 ) 2 ? , ? ?S 4 ? ( S 2 ) 2 ?若 a1 若 a12 ? 0, d ? 6, 则an ? 6(n ? 1),由S3 ? 18, (S3 ) 2 ? 324, S n ? 216 s9 ? (S3 ) , 故所得 知数列不符合题意.当 a1? 1时, 代入(2)得4 ? 6d ? (2 ? d ) 2 , 解得d ? 0或d ? 2? 1, d ? 0, 则an ? 1, Sn ? n, 从而Sk 2 ? (Sk ) 2 成立;若 a1 ? 1, d ? 2, 则an ? 2n ? 1, S n ? 1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 , 从而S ? (S n ) 2 成立 . 综上，共有 3 个满足条件的无穷等差数列： ①{an} : an=0，即 0，0，0，?；②{an} : an=1，即 1，1，1，?； ③{an} : an=2n－1，即 1，3，5，?， 【知识点归类点拔】事实上， “条件中使得对于一切正整数 k 都有 Sk2? (S k ) 2 成立.”就等价于关于 k 的方程的解是一切正整数又转化为关于 k 的方程的各项系数同时为零，于是本题也可采用这程等价转化的思想 解答，这样做就能避免因忽视充分性的检验而犯下的逻辑错误。在上述解法中一定要注意这种特殊与一般 的关系。 【练 18】 （2000 全国）已知数列 （1）?cn ? ,其中 cn ? 2n ? 3n ,且数列 ?cn?1 ? pcn ? 为等比数列.求常数 p答案：p=2 或 p=3（提示可令 n=1,2,3 根据等比中项的性质建立关于 p 的方程，再说明 p 值对任意自然数 n 都成立） 【易错点 19】用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为０．尤其 是直线与圆锥曲线相交时更易忽略. 例 19、已知双曲线 x2? y 2 ? 4 ，直线 y ? k ? x ? 1? ，讨论直线与双曲线公共点的个数【易错点分析】讨论直线与曲线的位置关系，一般将直线与曲线的方程联立，组成方程组，方程组有几解， 则直线与曲线就有几个交点，但在消元后转化为关于 x 或 y 的方程后，易忽视对方程的种类进行讨论而 主观的误认为方程就是二次方程只利用判别式解答。 解析： 联立方程组 ? 即k? y ? k ? x ? 1? ? 2 2 2 2 2 消去 y 得到 ?1 ? k ? x ? 2k x ? k ? 4 ? 0（1） 1 ? k ? 0 时， 当 2 2 ?x ? y ? 4 ?? ?1 ，方程为关于 x 的一次方程，此时方程组只有解，即直线与双曲线只有一个交点。 （2）当?1 ? k 2 ? 0 2 3 ? 时即 k ? ? ，方程组只有一解，故直线与双曲线有一个交点（3）当 ? 2 3 ? ? 4 ? 4 ? 3k ? ? 0 ? ??1 ? k 2 ? 0 2 3 2 3 ? ?k? 时，方程组有两个交点此时 ? 且 k ? ?1 。 （4）当 ? 3 3 ? ? 4 ? 4 ? 3k 2 ? ? 0 ? ??1 ? k 2 ? 0 2 3 2 3 ? 时即 k ? 或k ? ? 时方程组无解此时直线与双曲线无交点。 ? 2 3 3 ?? ? 4 ? 4 ? 3k ? ? 0 ?15综上知当 k? ?1 或 k ? ?2 3 2 3 2 3 时直线与双曲线只有一个交点，当 ? 且 k ? ?1 。时 ?k? 3 3 3 ? 2 3 2 3 或k ? ? 时方程组无解此时直线与双曲线无交点。 3 3直线与双曲线有两个交点，当 k【知识点归类点拔】判断直线与双曲线的位置关系有两种方法：一种代数方法即判断方程组解的个数对应 于直线与双曲线的交点个数另一种方法借助于渐进线的性质利用数形结合的方法解答，并且这两种方法 的对应关系如下上题中的第一种情况对应于直线与双曲线的渐进线平行，此时叫做直线与双曲线相交但 只有一个公共点，通过这一点也说明直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲线相切的必要但不充分 条件。第二种情况对应于直线与双曲线相切。通过本题可以加深体会这种数与形的统一。【练 19】 （2005 重庆卷）已知椭圆 c1 的方程为 （1）x2 ? y 2 ? 1 ，双曲线 c2 的左右焦点分别为 c1 的左右 4顶点，而 c 2 的左右顶点分别是 c1 的左右焦点。 （1）求双曲线的方程（2）若直线 l : 圆 c1 及双曲线 c 2 恒有两个不同的交点，且与 c 2 的两个交点 A 和 B 满足 lOA ? OBy ? kx ? 2 与椭? 6 ，其中 O 为原??? ??? ? ?点， k 的取值范围。 求 答案： 1） （x2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? y 2 ? 1 ? ?1, ? 13 ? ? ? ? 3 , ? 1 ? ? ? 1 , 3 ? ? ? 13 ,1? （2） ? ? ? 3 ? ? 2 3 ? ? 15 ? 3 15 ? ? 2? ? ? ? ? ?2（2）已知双曲线C： ，过点P（1，1）作直线l, 使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有 ____条。答案：4条（可知kl存在时，令l: y-1=k(x-1)代入 x (1-k )-4=0,∴2 2y2 ? 1 中整理有(4-k )x +2k(k-1)x4 5 当4-k =0即k=±2时，有一个公共点；当k≠±2时，由Δ =0有 k ? ，有一个切点另：当k 2 ?2 2l不存在时，x=1也和曲线C有一个切点∴综上，共有4条满足条件的直线） 【易错点 20】易遗忘关于 sin ? 和 cos ? 齐次式的处理方法。cos ? ? sin ? 2 2 ； （2） sin ? ? sin ? . cos? ? 2 cos ? 的值. cos ? ? sin ? 2 2 【思维分析】将式子转化为正切如利用 1 ? sin ? ? cos ? 可将（2）式分子分母除去 sin ? 即可。 sin ? 1? cos? ? sin ? cos? ? 1 ? tan? ? 1 ? 2 ? ?3 ? 2 2 ； 解： （1） ? sin ? 1 ? tan? 1 ? 2 cos? ? sin ? 1? cos? sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 cos2 ? 2 2 (2) sin ? ? sin ? cos? ? 2 cos ? ? sin 2 ? ? cos2 ? sin 2 ? sin ? ? ?2 2? 2 ?2 4? 2 cos2 ? cos? . ? ? ? 2 sin ? 2 ?1 3 ?1 cos2 ?例 20、已知 tan?? 2 ，求（1）【知识点归类点拔】利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到） ，进行弦、切互化，就 会使解题过程简化。 (1 ? sin2? ? cos2 ? ? sec2 ? ? tan 2 ? ? tan ? cot ?16这些统称为 1 的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用． 【练 20】（2004 年湖北卷理科） ． 已知 6 sin 2 ?? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? ? 0,? ? [ , ? ], 求 sin( 2? ? ) 的值. 2 3?? ? ? 2 ? 0 ， sin ? 2? ? 3 ? ? ? ?tan ? ? 3 ?1 ? tan 2 ? ? 2 ） 1 ? tan 2 ???答案： ?6 5 3 （原式可化为 6 tan2 ? ? tan? ? 13 26【易错点 21】解答数列应用题，审题不严易将有关数列的第 n 项与数列的前 n 项和混淆导致错误解答。 例 21、如果能将一张厚度为 0.05mm 的报纸对拆,再对拆....对拆 50 次后,报纸的厚度是多少?你相信这时 报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗?(已知地球与月球的距离约为 4 ? 10 米)8【易错点分析】 对拆 50 次后,报纸的厚度应理解一等比数列的第 n 项,易误理解为是比等比数列的前 n 项和。解析：对拆一次厚度增加为原来的一倍，设每次对拆厚度构成数列 an ，则数列 an 是以 a1 =0.05 ?10 米3为首项，公比为 2 的等比数列。从而对拆 50 次后纸的厚度是此等比数列的第 51 项，利用等比数列的通项 公式易得 a51=0.05?10 ?2 =5.63?10 ,而地球和月球间的距离为 4?10-3 50 108&5.63?1010 故可建一座桥。 【知识点归类点拔】 以数列为数学模型的应用题曾是高考考查的热点内容之一，其中有很多问题都是涉及 到等差或者等比数列的前 n 项和或第 n 项的问题，在审题过程中一定要将两者区分开来。 【练 21】 （2001 全国高考）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅1 ，本年度当地旅游业收入估计为 5 1 400 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 . 4游产业，根据规划，本年度投入 800 万元，以后每年投入将比上年减少 (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元，旅游业总收入为 bn 万元，写出 an,bn 的表达式； (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入（1）an=800+800?(1－1 1 n－1 n 1 k－1 4 n )+?+800?(1－ ) = 800?(1－ ) =4000?［1－( ) ］ 5 5 5 5 k ?1?bn=400+400?(1+1 1 － n 5 － 5 )+?+400?(1+ )k 1= 400?( )k 1=1600?［( )n－1］ 4 4 4 4 k ?1?（2）至少经过 5 年，旅游业的总收入才能超过总投入 【易错点 22】单位圆中的三角函数线在解题中一方面学生易对此知识遗忘，应用意识不强，另一方面易将 角的三角函数值所对应的三角函数线与线段的长度二者等同起来，产生概念性的错误。 例 21、下列命题正确的是（）17A、 ? 、 ? 都是第二象限角，若 sin ?? sin ?，则 tan ?? tan ?B、 ? 、 ? 都是第三象限角，若cos ? ? cos ? ，则 sin ? ? sin ? tan ? ? tan ?C、 ? 、 ? 都是第四象限角，若 sin ?? sin ?，则 。D、 ? 、 ? 都是第一象限角，若 cos ?? cos ? ，则 sin ? ? sin ?【易错点分析】学生在解答此题时易出现如下错误：（1）将象限角简单理解为锐角或钝角或 270 到 360 度 之间的角。（2）思维转向利用三角函数的单调性，没有应用三角函数线比较两角三角函数值大小的意识 而使思维受阻。 解析：A、由三角函数易知此时角 ? 的正切线的数量比角 ? 的正切线的数量要小即 tan ? 理可知 sin ?? tan ?B、同? sin ? C、知满足条件的角 ? 的正切线的数量比角 ?。正确。D、同理可知应为 sin ?的正切线的数量要大即tan ? ? tan ?? sin ? 。【知识点归类点拔】单位圆的三角函数线将抽象的角的三角函数值同直观的有向线段的数量对应起来，体 现了数形结合的数学思想，要注意一点的就是角的三角函数值是有向线段的数量而不是长度。三角函数 线在解三角不等式、比较角的同名函数值的大小、三角关系式的证明都有着广泛的应用并且在这些方面 有着一定的优越性。 例如利用三角函数线易知 ? 等。 【练 22】（2000 全国高考）已知 sin ? A、 若 ? B、 若 ? 答案：D 【易错点 23】在利用三角函数的图象变换中的周期变换和相位变换解题时。易将 ? 和 ? 求错。? ?? ? ? 0, ? ,sin ? ? ? ? tan ? ，sin ? ? cos? ? 1 ? 2?? sin ?，那么下列命题正确的是（） 、都是第二象限角，则 tan ? 、都是第四象限角，则 tan ?? ?、都是第一象限角，则 cos ? 、都是第三象限角，则 cos ?? cos ? B、若 ? ? ? cos ? D、若 ? ?? tan ? ? tan ?例 23．要得到函数1 ?? ? y ? sin ? 2 x ? ? 的图象，只需将函数 y ? sin x 的图象（） 2 3? ?A、 先将每个 x 值扩大到原来的 4 倍，y 值不变，再向右平移 B、 C、 D、? 个单位。 3 1 ? 先将每个 x 值缩小到原来的 倍，y 值不变，再向左平移 个单位。 4 3 ? 先把每个 x 值扩大到原来的 4 倍，y 值不变，再向左平移个 单位。 6 1 ? 先把每个 x 值缩小到原来的 倍，y 值不变，再向右平移 个单位。 4 618【易错点分析】 y1 1 ? sin x 变换成 y ? sin 2 x 是把每个 x 值缩小到原来的 2 4倍，有的同学误认为是扩大到原来的倍，这样就误选 A 或 C，再把?? ? y ? sin 2 x 平移到 y ? sin ? 2 x ? ? 有的同学平移方向错了， 3? ?有的同学平移的单位误认为是? 。 3解析：由1 ?? ? y ? sin x 变形为 y ? sin ? 2 x ? ? 常见有两种变换方式，一种先进行周期变换，即将 2 3? ?倍得到函数1 1 y ? sin x 的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 4再将函数y ? 2sin 2 x 的图象，y ? 2sin 2 x 的图象纵坐标不变，横坐标向右平移? 6单位。即得函数?? ? y ? sin ? 2 x ? ? 。 3? ?个单位，得到或者先进行相位变换，即将1 2? y ? sin x 的图象上各点的纵坐标不变，横坐标向右平移 2 3函数1? 2? y ? sin ? x ? 2? 3?? ? ?1 ? ? sin ? x ? ? 的图象，再将其横坐标变为原来的 4 倍即得即得函数 3? ? ?2?? ? y ? sin ? 2 x ? ? 的图象。 3? ?【知识点归类点拔】利用图角变换作图是作出函数图象的一种重要的方法，一般地由y ? sin x 得到y ? Asin ? wx ? ? ? 的图象有如下两种思路：一先进行振幅变换即由 y ? sin x 横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍得到y ? A sin x ， 再进行周期变换即由 y ? A sin x 纵坐标不变， 横坐标变为原来的1?倍，得到y ? A sin wx ，再进行相位变换即由 y ? A sin wx 横坐标向左（右）平移? ?个单位，即得?? ? y ? A sin ? ? x ? ? ? A sin ?? x ? ? ? ，另种就是先进行了振幅变换后，再进行相位变换即由 ?? ?个单位，即得到函数y ? A sin x 向左（右）平移 ?原来的y ? Asin ? x ? ? ? 的图象，再将其横坐标变为1?倍即得不论哪一种变换都要注意一点就是不论哪一种变换都是对纯粹 y ? Asin ? wx ? ? ? 。的变量 x 来说的。 【练 23】（2005 全国卷天津卷）要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点的19A、 横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移 ? 个单位长度。C、横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再向左 平移 ? 个单位长度。D、横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再向右平移 ? 个单位长度。 答案：C 【易错点 24】没有挖掘题目中的确隐含条件，忽视对角的范围的限制而造成增解现象。 例 24、已知 ? ?1 2倍（纵坐标不变），再向左平移 ? 个单位长度。B、横坐标缩短为原来的1 2倍? 0,? ? ， sin ? ? cos ? ? 13 求 tan ? 的值。? cos ? ?77 ，利用 sin ? ? cos? ? ? 1 ? 2sin ? cos? 可 13 解得 sin ? ? cos ? 的值，再通过解方程组的方法即可解得 sin ? 、 cos? 的值。但在解题过程中易忽视 sin ? cos ? ? 0 这个隐含条件来确定角 ? 范围，主观认为 sin ? ? cos ? 的值可正可负从而造成增解。 7 120 ? 0 ，又由于 ? ? ? 0,? ? ，故有 解析：据已知 sin ? ? cos ? ? （1）有 2sin ? cos ? ? ? 13 169 17 sin ? ? 0,cos ? ? 0 ，从而 sin ? ? cos ? ? 0 即 sin ? ? cos ? ? 1 ? 2sin ? cos ? ? （2） 13 12 5 12 , cos ? ? 联立（1）（2）可得 sin ? ? ，可得 tan ? ? 。 13 13 5【易错点分析】本题可依据条件 sin ? 【知识点归类点拔】在三角函数的化简求值过程中，角的范围的确定一直是其重点和难点，在解题过程中 要注意在已有条件的基础上挖掘隐含条件如：结合角的三角函数值的符号、三角形中各内角均在? 0,? ? 区间内、与已知角的三角函数值的大小比较结合三角函数的单调性等。本题中实际上由单位圆中的三角函数 线可知若 ??? ? ? ?? ? ? 0, ? 则必有 sin ? ? cos ? ? 1 ,故必有 ? ? ? , ? ? 。 ?2 ? ? 2?1 ? cos? ? ,? ? ? 0, ? ? ，则 cot ? 5的值是 。【练 24】（1994 全国高考）已知 sin ? 答案： ?3 4【易错点 25】根据已知条件确定角的大小，没有通过确定角的三角函数值再求角的意识或确定角的三角函 数名称不适当造成错解。 例 25、若 sin ??5 10 ,sin ? ? ，且 ? 、 ? 5 10??均为锐角，求 ???的值。【易错点分析】本题在解答过程中，若求 ?的正弦，这时由于正弦函数在? 0,? ? 区间内不单调故满??的余弦就不易足条件的角有两个， 两个是否都满足还需进一步检验这就给解答带来了困难， 但若求 ? 出错，这是因为余弦函数在? 0,? ? 内单调，满足条件的角唯一。20解析： sin ? 由?5 10 且? 、 ? ,sin ? ? 5 10 ?均为锐角知解析： sin ? 由?5 10 且? 、 ,sin ? ? 5 10?均为锐角知 cos ? 均为锐角即 ?2 5 3 10 2 5 3 10 5 10 2 ,则 cos ?? ? ? ? ? 由 , cos ? ? ? ? ? ? 5 10 5 10 5 10 2? 、?? ? ? ? 0,? ? 故 ? ? ? ? ?【知识点归类点拔】根据已知条件确定角的大小，一定要转化为确定该角的某个三角函数值，再根据此三 角函数值确定角这是求角的必然步骤，在这里要注意两点一就是要结合角的范围选择合适的三角函数名称 同时要注意尽量用已知角表示待求角，这就需要一定的角的变换技巧如： 2? 二是依据三角函数值求角时要注意确定角的范围的技巧。 【练 25】（1）在三角形 ABC 中，已知 sin 答案： arccos? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 等。3 5 A ? , cos B ? ，求三角形的内角 C 的大小。 5 1316 （提示确定已知角的余弦值，并结合已知条件确定角 A 的范围） 65（2）（2002 天津理，17）已知 cos（α ＋3 ? ? ）＝ , ≤α 4 5 2＜3? 2，求 cos（2α ＋? ）的值. 4答案： cos ? 2? +? ???? ? ?? ?? 31 2 ? ? cos ?2 ?? ? ? ? ? =－ 4? 4? 4? 50 ? ?【易错点 26】对正弦型函数y ? Asin ?? x ? ? ? 及余弦型函数 y ? A cos ?? x ? ? ? 的性质：如图象、对称轴、对称中心易遗忘或没有深刻理解其意义。 例 26、如果函数y ? sin 2 x ? a cos 2 x 的图象关于直线 x ? ?C.1 D.－1?8对称，那么 a 等于（）A.2B.－2【易错点分析】函数y ? Asin ?? x ? ? ? 的对称轴一定经过图象的波峰顶或波谷底，且与 y 轴平行，而??对称中心是图象与 x 轴的交点，学生对函数的对称性不理解误认为当 x 解析： （法一）函数的解析式可化为?8时，y=0，导致解答出错。y ? a 2 ? 1sin ? 2 x ? ? ? ，故 y的最大值为a2 ? 1 ，依题意，直线 x???8是函数的对称轴，则它通过函数的最大值或最小值点即? ?? ? ?? sin ? ? ? ? a cos ? ? ? ? 4? ? 4?? a2 ? 1 ，解得 a ? ?1 .故选 D21（法二）依题意函数为y ? a 2 ? 1sin ? 2 x ? arctan a ? ,直线 x ? ??8是函数的对称轴,故有3? ? ? ?? 2 ? ? ? ? ? arctan a ? k? ? , k ? z ，即： arctan a ? k? ? 4 2 ? 8?故 arctan a，而 arctan a ? ? ?? ? ?? , ? ? 2 2????4，从而 a? ?1 故选 D.（法三）若函数关于直线 x???8是函数的对称则必有? ?? f ? 0 ? ? f ? ? ? ，代入即得 a ? ?1 。 ? 4?【知识点归类点拔】对于正弦型函数y ? Asin ?? x ? ? ? 及余弦型函数 y ? A cos ?? x ? ? ? 它们有无穷多条对称轴及无数多个对称中心， 它们的意义是分别使得函数取得最值的 x 值和使得函数值为零的 x 值， 这是它们的几何和代数特征。希望同学们认真学习本题的三种解法根据具体问题的不同灵活处理。 【练 26】 （2003 年高考江苏卷 18）已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 上 R 上的偶函数， （1） 其图象关于点 M ( 答案： ???2? 3? ,0) 对称，且在区间 [0, ] 上是单调函数，求 ? 和ω 的值. 2 42 或2 。 3,? ?（ 2 ） 2005 全 国 卷 一 第 17 题 第 一 问 ） 设 函 数 的 （f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ，3? 4y ? f ? x ? 图象的一条对称轴是直线 x ?解的个数。 例 27、在 ?ABC 中， B ? 30??8，求 ?答案： ? = ?【易错点 27】利用正弦定理解三角形时，若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时，易忽视三角形, AB ? 2 3, AC ? 2 。求 ?ABC 的面积【易错点分析】根据三角形面积公式，只需利用正弦定理确定三角形的内角 C，则相应的三角形内角 A 即 可确定再利用 s??1 bc sin A 即可求得。 但由于正弦函数在区间 ? 0, ? ? 内不严格格单调所以满足条件的 2AB AC 2 3 2 ? ? 即 sin C sin B sin C sin 30?角可能不唯一，这时要借助已知条件加以检验，务必做到不漏解、不多解。解析：根据正弦定理知：得 sin C?3 2，由于AB sin 30? ? AC ? AB 即满足条件的三角形有两个故 C ? 60? 或 120? .则 A ? 30? 或 90? 故相应的三角形面积为 s?1 1 ? 2 3 ? 2 ? sin 30? ? 3 或 ? 2 3 ? 2 ? 2 3 . 2 2【知识点归类点拔】正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，它沟通了三角形中的边角之间的内 在联系，正弦定理能够解决两类问题（1）已知两角及其一边，求其它的边和角。这时有且只有一解。 （2） 已知两边和其中一边的对角，求其它的边和角,这是由于正弦函数在在区间? 0,? ? 内不严格格单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。如：在 ?ABC 中， 已知 a,b 和 A 解的情况如下： 22（1）当 A 为锐角（2）若 A 为直角或钝角【练 27】 （2001 全国）如果满足 ?ABC 范围是（）A、 8 答案：D? 60? ， AC ? 2 ， BC ? k 的三角表恰有一个那么 k 的取值3 B、 0 ? k ? 12 C、 k ? 12 D、 0 ? k ? 12 或 k ? 8 3【易错点 28】 三角形中的三角函数问题。 对三角变换同三角形边、 角之间知识的结合的综合应用程度不够。 例 28、 （2005 湖南高考）已知在△ABC 中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角 A、 （1） B、C 的大小. 【易错点分析】本题在解答过程中若忽视三角形中三内角的联系及三角形各内角大小范围的限制，易使思 维受阻或解答出现增解现象。 解法一 所以 sin 由 sinA(sin B ? cos B) ? sin C ? 0 得 sin A sin B ? sin A cos B ? sin( A ? B) ? 0.A sin B ? sin A cos B ? sin A cos B ? cos A sin B ? 0. 即 sin B(sin A ? cos A) ? 0.因为 B ? (0, ? ), 所以 sinB ? 0 ， cos A ? sin A. 由 A ? (0, ? ), 知 A ? 从而? 3 . 从而 B ? C ? ? . 4 4由 sin B ? cos 2C ? 0得 sin B ? cos 2( 由此得 cos3 ? ? B) ? 0. 即 sin B ? sin 2B ? 0.亦即sin B ? 2 sin B cos B ? 0. 41 ? 5? ? ? 5? , B ? ,C ? . 所以 A ? , B ? , C ? . 2 3 12 4 3 12 3? 解法二：由 sin B ? cos 2C ? 0得 sin B ? ? cos 2C ? sin( ? 2C ). 由 0 ? B 、 c ? ? ，所以 B?2B?3? ? 3? ? ? 2C或B ? 2C ? . 即 B ? 2C ? 或2C ? B ? . 由 2 2 2 2sin A(sin B ? cos B) ? sin C ? 0 得 sin A sin B ? sin A cos B ? sin( A ? B) ? 0.所以 sinA sin B ? sin A cos B ? sin A cos B ? cos A sin B ? 0.即 sin B(sin A ? cos A)? 0.不3 3? . 从而 B ? C ? ? ，知 B+2C= 4 4 2 1 ? 5? ? ? 5? ,C ? . 所以 A ? , B ? , C ? . 合要求.再由 2C ? B ? ? ，得 B ? 2 3 12 4 3 12因为 sin B? 0 ，所以 cos A ? sin A. 由 A ? (0, ? ), 知A ??2、 （北京市东城区 2005 年高三年级四月份综合练习）在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，23且cos B b ?? . cos C 2a ? c（Ⅰ）求角 B 的大小（Ⅱ）若 b? 13, a ? c ? 4 ，求△ABC 的面积.【思维分析】根据正弦定理和余弦定理将条件化为三角形边的关系或角的关系解答。 （Ⅰ）解法一：由正弦定理a b c ? ? ? 2 R 得 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C. 将 sin A sin B sin C上式代入已知cos B b cos B sin B ?? 得 ?? .即 cos C 2a ? c cos C 2 sin A ? sin C2 sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ? 0. 2 sin A cos B ? sin(B ? C ) ? 0. 故 A+B+C= ? ，? sin(B ? C ) ? sin A. ? 2 sin A cos B ? sin A ? 0. ? sin A ? 0,? cos B ? ? 1 . ? B 为三角形的内2角，? B ? 2 ? .3解 法 二 ： 由 余 弦 定 理 得 cos B ?a2 ? c2 ? b2 b2 ? c2 ? a2 , cosC ? 2ac 2bc将 上 式 代 入cos B b a 2 ? c 2 ? b2 2ab b ?? 得 ? 2 2 2 ?? . 整理得 a 2 cos C 2a ? c 2ac a ?b ?c 2a ? c? c 2 ? b 2 ? ?ac.? cos B ?2 a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac 1 ? ? ? . ? B 为三角形的内角，? B ? ? . 3 2ac 2ac 2 2 2 2 2 （Ⅱ）将 b ? 13 , a ? c ? 4, B ? ? 代入余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B 得 3 1 1 3 b 2 ? (a ? c) 2 ? 2ac ? 2ac cos B,?13 ? 16 ? 2ac (1 ? ). ? ac ? 3. ? S ?ABC ? ac sin B ? 3. 2 2 4【知识点归类点拔】三角形中的三角函数问题一直是高考的热点内容之一。对正余弦定理的考查主要涉及 三角形的边角互化（如判断三角形的形状等，利用正、余弦定理将条件中含有的边和角的关系转化为边或 角的关系是解三角形的常规思路） ，三角形内的三角函数求值、三角恒等式的证明、三角形外接圆的半径等 都体现了三角函数知识与三角形知识的交汇，体现了高考命题的原则。 【练 28】 （2004 年北京春季高考）在 ?ABC 中，a，b，c 分别是 ?A，?B，?C 的对边长，已知 （1） a，b，c 成等比数列，且 a2? c 2 ? ac ? bc ，求 ?A 的大小及b sin B c的值。答案： ?A ? 60 ，?b sin B 3 ? c 2c 1 ? ? 3 。求∠A 和 tan B 的值。 b 2（2）（2005 天津）在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 所对的边长分别为 a、b、c，设 a、b、c 满足条 件b2? c 2 ? bc ? a 2 和?答案： ?A ? 60 ， tan B?1 2【易错点 29】含参分式不等式的解法。易对分类讨论的标准把握不准，分类讨论达不到不重不漏的目的。 例 29、解关于 x 的不等式a( x ? 1) ＞1(a≠1). x?2【易错点分析】将不等式化为关于 x 的一元二次不等式后，忽视对二次项系数的正负的讨论，导致错解。24(a ? 1) x ? (2 ? a) ＞0，即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0. x?2 a?2 a?2 a?2 当 a＞1 时， 原不等式与(x－ )(x－2)＞0 同解.若 ≥2， 0≤a＜1 时， 即 原不等式无解； 若 a ?1 a ?1 a ?1 a?2 ＜2，即 a＜0 或 a＞1，于是 a＞1 时原不等式的解为(－∞， )∪(2，+∞). a ?1 a?2 a?2 当 a＜1 时，若 a＜0，解集为( ，2)；若 0＜a＜1，解集为(2， ) a ?1 a ?1 a?2 a?2 综上所述：当 a＞1 时解集为(－∞， )∪(2，+∞)；当 0＜a＜1 时，解集为(2， )；当 a=0 时， a ?1 a ?1 a?2 解集为 ? ；当 a＜0 时，解集为( ，2). a ?1解：原不等式可化为： 【知识点分类点拔】解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立 意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题： (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法. (2)掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法. (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法. (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法. (5)在解不等式的过程中， 要充分运用自己的分析能力， 把原不等式等价地转化为易解的不等式.(6)对于含字 母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论.【练 29】 （2005 年江西高考）已知函数f ( x) ?x2 (a, b 为常数）,且方程 f ( x) ? x ? 12 ? 0 有两个 ax ? b实根为 x1? 3, x2 ? 4.f ( x) 的解析式； （2）设 k ? 1 ,解关于 x 的不等式： f ( x ) ?(k ? 1) x ? k 2? x（1）求函数答案：x2 f ( x) ? ( x ? 2).① 当 1 ? k ? 2 时 , 解 集 为 (1, k ) ? (2, ??); ② 当 k ? 2 时 , 不 等 式 为 2? x解集为 (1, 2) ? (2, ??); ③当 k ? 2 时,解集为 (1, 2) ? (k , ??). ( x ? 2)2 (x ? 1)? 0 【易错点 30】求函数的定义域与求函数值域错位 例 30、已知函数f ? x ? ? lg ?? m2 ? 3m ? 2 ? x 2 ? 2 ? m ? 1? x ? 5? （1）如果函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?R 求实数 m 的取值范围。 （2）如果函数2f ? x ? 的值域为 R 求实数 m 的取值范围。? 3m ? 2 是否为零的讨论，而导致思维不全面而漏解。另一方面【易错点分析】此题学生易忽视对 m对两个问题中定义域为 R 和值域为 R 的含义理解不透彻导致错解。 解析： （1）据题意知若函数的定义域为 R 即对任意的 x 值 成立，令 g?m2? 3m ? 2 ? x 2 ? 2 ? m ? 1? x ? 5 ? 0 恒? x ? ? ? m 2 ? 3m ? 2 ? x 2 ? 2 ? m ? 1? x ? 5 ，当 m2 ? 3m ? 2 =0 时，即 m ? 1 或 2 。经25验证当 m? 1 时适合，当 m2 ? 3m ? 2 ? 0 时，据二次函数知识若对任意 x 值函数值大于零恒成立，只需? m 2 ? 3m ? 2 ? 0 9 9 解之得 m ? 1 或 m ? 综上所知 m 的取值范围为 m ? 1 或 m ? 。 ? 4 4 ?? ? 0（2）如果函数 数，令 g 当mf ? x ? 的值域为 R 即对数的真数 ? m 2 ? 3m ? 2 ? x 2 ? 2 ? m ? 1? x ? 5 能取到任意的正? x ? ? ? m 2 ? 3m ? 2 ? x 2 ? 2 ? m ? 1? x ? 5 当 m2 ? 3m ? 2 =0 时，即 m ? 1 或 2 。经验证? 2 时适合，当 m2 ? 3m ? 2 ? 0 时，据二次函数知识知要使的函数值取得所有正值只需? m 2 ? 3m ? 2 ? 0 9 9 解之得 2 ? m ? 综上可知满足题意的 m 的取值范围是 2 ? m ? 。 ? 4 4 ?? ? 0【知识点归类点拔】对于二次型函数或二次型不等式若二次项系数含有字母，要注意对字母是否为零进行 讨论即函数是一次函数还是二次函数不等式是一次不等式还是二次不等式。同时通过本题的解析同学们要 认真体会这种函数与不等式二者在解题中的结合要通过二者的相互转化而获得解题的突破破口。再者本题 中函数的定义域和值域为 R 是两个不同的概念，前者是对任意的自变量 x 的值函数值恒正，后者是函数值 必须取遍所有的正值二者有本质上的区别。 【练 30】已知函数f ? x? ??a2? 1? x2 ? 2 ? a ? 1? x ? 2 的定义域和值域分别为? 1 或 a ? ?3 （2） ?3 ? a ? 1 或 a ? ?1R 试分别确定满足条件的 a 的取值范围。答案： （1） a 应用程度。【易错点 31】不等式的证明方法。学生不能据已知条件选择相应的证明方法,达不到对各种证明方法的灵活1 1 25 )(b+ )≥ . b a 4 1 1 【易错点分析】此题若直接应用重要不等式证明，显然 a+ 和 b+ 不能同时取得等号，本题可有如下证 b a例 31、已知 a＞0，b＞0，且 a+b=1.求证：(a+ 明方法。 证法一：(分析综合法）欲证原式，即证 4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即证 4(ab)2－33(ab)+8≥0，即证 ab1 1 或 ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8 不可能成立∵1=a+b≥2 ab ，∴ab≤ ，从而得证. 4 4 1 1 1 1 证法二：(均值代换法)设 a= +t1，b= +t2.∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜ ，|t2|＜ 2 2 2 2≤1 1 1 1 2 2 ( ? t1 ) 2 ? 1 ( ? t 2 ) 2 ? 1 ( ? t1 ? t1 ? 1)( ? t 2 ? t 2 ? 1) 1 1 a2 ?1 b2 ?1 4 ? (a ? )(b ? ) ? ? ? 2 ? 2 ? 4 1 1 1 1 a b a b ? t1 ? t2 ( ? t1 )( ? t 2 ) 2 2 2 2 25 3 2 25 1 1 5 4 2 2 2 2 2 ? t2 ? t2 ( ? t1 ? t1 ? 1)( ? t 2 ? t 2 ? 1) ( ? t 2 ) ? t 2 25 16 2 4 4 4 ? ? ? ? 16 ? . 1 1 1 1 4 2 2 2 ? t2 ? t2 ? t2 4 4 4 4显然当且仅当 t=0，即 a=b=1 时，等号成立. 2ab ，∴ab≤证法三：(比较法）∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥21 4261 1 25 a 2 ? 1 b 2 ? 1 25 4a 2b 2 ? 33ab ? 8 (1 ? 4ab)(8 ? ab) (a ? )(b ? ) ? ? ? ? ? ? ?0 a b 4 a b 4 4ab 4ab 1 1 25 ? (a ? )(b ? ) ? a b 4 1 证法四：(综合法)∵a+b=1， a＞0，b＞0，∴a+b≥2 ab ，∴ab≤ . 425 ? ? 2 ?(1 ? ab) ? 1 ? 16 ? (1 ? ab) 2 ? 1 25 1 3 9 ? ? ?1 ? ab ? 1 ? ? ? (1 ? ab) 2 ? ? ? ? ?? 1 4 4 16 ? ab 4 ? ?4 ? ? ab ? ?1 1 25 即(a ? )(b ? ) ? a b 4证法五：(三角代换法)∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令 a=sin α ，b=cos α ，α ∈(0，2 2?2)1 1 1 1 sin 4 ? ? cos4 ? ? 2 sin 2 ? cos2 ? ? 2 (a ? )(b ? ) ? (sin 2 ? ? )(cos2 ? ? )? a b sin 2 ? cos2 ? 4 sin 2 2? 4 ? 2 sin 2 2? ? 16 ? 25? (4 ? sin 2 ? ) 2 ? 16 ? 2 2 ? ? sin 2? ? 1,? 4 ? sin 2? ? 4 ? 1 ? 3. 1 ? 1 2 4 sin 2? ? ? 2 sin 2? 4 ? 2 2 (4 ? sin 2? ) 25 1 1 25 ? ? 即得(a ? )(b ? ) ? . 2 4 a b 4 4 sin 2?【知识点归类点拔】1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本 的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过 程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证. (2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关 系，可以增加解题思路，开扩视野. 2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等. 换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最 重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说 清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少” “惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法. 证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思 维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.【练 31】 （2002 北京文）数列?x ?由下列条件确定： xn1? a ? 0, xn ?1 ?1? a? ? xn ? ?, n ? N ? 2? xn ? ? ?（1）证明：对于 n? 2 总有 xn ? a ,（2）证明：对于 n ? 2 ，总有 xn ? xn?1 .【易错点 32】函数与方程及不等式的联系与转化。学生不能明确和利用三者的关系在解题中相互转化寻找 解题思路。例 32、 已知二次函数1 ( x f ( x ) 满足 f ( ?1) ? 0 ， x ? f x ) ? ( 且 22 ?1 )对一切实数x 恒成立. (1)27求f (1) ； (2) 求 f ( x ) 的解析式； (3) 求证： ?i ?1n1 2n ( n ? N ). ? f (k ) n ? 2【易错点分析】对条件中的不等关系向等式关系的转化不知如何下手，没有将二次不等式与二次函数相互 转化的意识，解题找不到思路。解： （1）由已知令x ? 1 得： 1 ? f (1) ?1 2 (1 ? 1) ? 1 ? f (1) ? 1. 2（2）令f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 由 f (?1) ? 0, f (1) ? 1 得：1 1 1 1 1 ?a ? b ? c ? 0 ? b ? , c ? ? a 即 f ( x ) ? ax 2 ? x ? ? a 则 x ? f ( x ) ? ( x 2 ? 1) ? 2 2 2 2 2 ?a ? b ? c ? 1对任意实数x 恒成立就是1 ? 2 1 ?ax ? x ? ? a ? 0 对任意实数恒成立，即： 2 2 ? ?(1 ? 2a ) x 2 ? x ? 2a ? 0 ?? a ? 0,1 ? 2a ? 0 ? 1 1 1 2 1 1 1 2 ? ? ? 1 ? (2a ? ) ? 0 ? a ? , c ? 则 f ( x ) ? x ? x ? 4 4 4 2 4 2 ? 2 ? ? 2 ? (4a ? 1) ? 0 ?（3）由（2）知f ( x) ?1 ( x ? 1)2 4故1 4 4 ? ? 2 f (k ) ( k ? 1) (k ? 1)(k ? 2)n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? )? ? 4( ? ) ?? ? 4( ? ? ? ? ? ? k ?1 k ? 2 2 3 3 4 n?1 n? 2 i ?1 f ( k )?2n 故原不等式成立． n?2【知识点归类点拔】函数与方程的思想方法是高中数学的重要数学思想方法函数思想，是指用函数的概念 和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中 的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组） ，然后通过解方程（组）或不等式（组） 来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。对于不等式恒成立， 引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方 程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次 方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化。 【 练 32 】 2005 潍 坊 三 月 份 统 考 ） 已 知 二 次 函 数 （f ( x ) ? ax 2 ? bx ? c (a, b, c ? R) ， 满 足( x ? 1)2 , （1）求 4f ( ? 1)? 0 ；且对任意实数x 都有f ( x ) ? x ? 0 ；当 x ? (0, 2) 时有 f ( x ) ?f (1) 的值； （2）证明 a ? 0, c ? 0; （3）当 x ? [?1,1] 时，函数 g ( x ) ? f ( x ) ? mx( m ? R) 是28单调的，求证： m （1）? 0 或 m ? 1.f (1) ? 1. （2）运用重要不等式（3）略【易错点 33】利用函数的的单调性构造不等关系。要明确函数的单调性或单调区间及定义域限制。 例 33、记f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ，若不等式 f ? x ? ? 0 的解集为 ?1,3? ，试解关于 t 的不等式f ? t ? 8? ? f ? 2 ? t 2 ? 。【易错点分析】此题虽然不能求出 a,b,c 的具体值，但由不等式的解集与函数及方程的联系易知 1,3 是方 程 ax2? bx ? c ? 0 的两根，但易忽视二次函数开口方向，从而错误认为函数在 ?2,??? 上是增函数。解析：由题意知f ? x ? ? a ? x ? x1 ?? ?x2 ? ? a ? x ? 1?? x ? 3? ，且 a ? 0 故二次函数在区间 ?2,??? t ? 8, 2 ? t 2 ? 2 ，故由二次函数的单调性知不等式 f ? t ? 8 ? ? f ? 2 ? t 2 ?上是增函数。又因为 8 ? 等价于 8 ?t ? 2 ? t 2 即 t ?2 t ? 6 ? 0 故 t ? 3 即不等式的解为： ?3 ? t ? 3 。【知识点分类点拔】函数的单调性实质是就体现了不等关系，故函数与不等式的结合历来都是高考的热点 内容，也是我们解答不等式问题的重要工具，在解题过程中要加意应用意识，如指数不等式、对数不等式、 涉及抽象函数类型的不等式等等都与函数的单调性密切相关。 【练 33】 （2005 辽宁 4 月份统考题） （1） 解关于 x 的不等式 log2 ( x ? 1)? log4 [a( x ? 2) ? 1] (a ? 1) 1 3 ? x ? a或x ? 2} 当 a ? 2 时， 答案： 1 ? a ? 2 时， 当 解集为 {x | 2 ? 解集为 {x | x ? 且x ? 2} a 2 1 ? x ? 2或x ? a} 。 当 a ? 2 时解集为 {x | 2 ? a（2） （2005 全国卷Ⅱ）设函数f ? x ? ? 2| x ?1|?| x ?1| ,求使 f ? x ? ≥的 2 2 的 x 取值范围。答案：x 取值范围是 [3 ,?? ) 4【易错点 34】数学归纳法的应用。学生易缺乏应用数学归纳法解决与自然数有关问题的意识，忽视其步骤 的规范性及不理解数学归纳法的每一步的意义所在。 例 34、自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强 度对鱼群总量的影响。用 xn 表示某鱼群在第 n 年年初的总量，n∈N＊，且 x1 ＞0。不考虑其它因素，设在 第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 xn 成正比，死亡量与 x2 n成正比，这些比例系数依次为正常数 a，b，*c。 （Ⅰ）求 xn ?1 与 xn 的关系式； （Ⅱ）猜测：当且仅当 x1 ，a，b，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的则捕捞强度 b 的最大允许值是多少？证明你的结论。总量保持不变？（不要求证明） （Ⅲ）设 a＝2，b＝1，为保证对任意 x1 ∈（0,2） ，都有 xn ＞0， n ? N ， 【易错点分析】本题为数列模型应用题,主要考查数列、不等式和数学归纳法。2005 年高考主要涉及两种 类型应用题，一种类型为概率，另一种为数列。给我们信息：数学越来越贴近生活，数学越来越强调实用 性, 我们在备考中要注意对几种常见模型建模的训练；可见，高考数学越来越注意与函数、不等式、导数、 向量等工具结合，这是将来高考的方向， 【解析】 （I）从第 n 年初到第 n+1 年初，鱼群的繁殖量为 ax ，被捕捞量为 bx ，死亡量为cx2n 因此 xn?1 ? xn ? axn ? bxn ? cx2n 即 xn?1 ? xn ? a ? b ? 1 ? cxn ? n ? N * 。29（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则 xn 恒等于 x1 ， n ? N ，从而由上式得 xn*? a ? b ? cxn ? 恒等于零,n ? N * 故 a ? b ? cx1 ? 0 即 x1 ?a?b c因为 x1 &0，所以 a? b .猜测：当且仅当 a ? b ，且x1 ?a?b 时，每年年初鱼群的总量保持不变. c*（Ⅲ）若 b 的值使得 xn &0， n ? N ，由 xn?1 别地，有 0 ?? xn ?3 ? b ? xn ?知0 ? xn ? 3 ? b , n ? N *特x1 ? 3 ? b .即 0 ? b ? 3 ? x1 ，而 x1 ∈(0, 2)，所以 b ? (0,1] ，由此猜测 b 的最大允许值是 1. 下证 当 x1 ∈(0, 2) ，b=1 时，都有 xn ∈(0, 2),n ? N*。①当 n=1 时，结论显然成立.②假设当 n=k 时结论成立，即 xk ∈(0, 2),则当 n=k+1 时， xk ?1? xk ? 2 ? xk ? ? 0 .又因为xk ?1 ? xk ? 2 ? xk ? ? ? ? xk ? 1? ? 1 ? 1 ? 2 .所以 xk ?1 ∈(0,22)，故当 n=k+1 时结论也成立.由①、 ②可知， 对于任意的 n ? N ， 都有 xn ∈(0,2).综上所述， 为保证对任意 x1 ∈(0, 2), 都有 xn &0，*n ? N * ，则捕捞强度 b 的最大允许值是 1.【知识点归类点拔】归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全 归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有 的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后 归纳得出结论来。数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有 着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在 n＝1(或 n 0 )时成立，这是递 推的基础；第二步是假设在 n＝k 时命题成立，再证明 n＝k＋1 时命题也成立，这是无限递推下去的理论依 据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两 个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或 n≥n 0 且 n∈N）结论都正确” 。 由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳.运用数学归纳法证明问题时，关键是 n＝k＋1 时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以 此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。运用数学归纳法，可以证明下列问 题：与自然数 n 有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。 【练 34】 （2005 年全国卷Ⅰ统一考试理科数学） （Ⅰ）设函数 （Ⅱ）设正数f ( x) ? x log2 x ? (1 ? x) log2 (1 ? x) (0 ? x ? 1) ，求 f (x) 的最小值；p1 , p2 , p3 ,?, p2n 满足 p1 ? p2 ? p3 ? ? ? p2n ? 1，证明p1 log2 p1 ? p2 log2 p2 ? p3 log2 p3 ? ? ? p2n log2 p2n ? ?n答案： （Ⅰ）?1? f ? ? ? ?1 （Ⅱ）用数学归纳法证明。 ? 2?30（2） （2005 高考辽宁）已知函数 数列 {bn }满足 bnf ( x) ?x?3 ( x ? ?1). 设数列 {a n }满足 a1 ? 1, an?1 ? f (an ) ， x ?1?| an ? 3 |, S n ? b1 ? b2 ? ?? bn (n ? N * ).? ( 3 ? 1) n ； 2 n?1（Ⅱ）证明 S n（Ⅰ）用数学归纳法证明 bn?2 3 . 3【易错点 35】涉及向量的有关概念、运算律的理解与应用。易产生概念性错误。 例 35、下列命题： ① (a)2? (a) 2 ?| a |4② (a ? b) ? c? (a ? c) ? b ③? ?a| a ? |=| a |? b |④若 a ∥ b , b ∥ c , 则 a | b 且 则 ? b ?