工程图学课件
&&&&第一章 空间几何元素的投影与相对位置 1.1 点的投影（一）1.已知各点轴测图，试画出各点的两面投影图，并写出各点的坐标值。班级学号姓名12.已知a,b,c三点的轴测图,试画出它们的三面投影图,并写出各点的坐标值。3. 已知各&&&&点的坐标，试画出它们的三面投影图。第一章 空间几何元素的投影与相对位置 1.1 点的投影（二）1.求下列各点的第三面投影，并写出各点的坐标值。班级2. 已知a，b两点的三面投影图，试说明它们的相对位置。学号姓名21)2)a在b（上或下） a在b（左或右）毫米 毫米 毫米o3)a在b（前或后）4)3. 已知a点的三面投影图，试画出b、c两点的三面投影图，并写出其坐标值。5)6 )已知条件 b在a后10毫米， b在a右10毫米， b在a上15毫米， c在a前10毫米， c在a右15毫米， c在a上20毫米，7)8 )第一章 空间几何元素的投影与相对位置 1.2 直线的投影（一）1.画出各直线的第三面投影，并写出各直线的名称。(1) (2)班级2.过ａ点按给定条件画出直线ａｂ的三面投影，（说 明有几解，只需画出一解）。 (1)ab//v面，ab=20，α=30°学号姓名33.画出三棱锥的第三面投影，并判明各棱线是什么直线。(3)(4)有解sa为 线，ab为 线，ac为 线，bc为 线 线 线(2)ab//h面，ab=20，β=30°sb为 sc为线 (5) (6)线4.在直线ab上定出c点，使满足给定的条件。(1) ac:cb=1:2 (2) ac:cb=2:1有 (3)ab//w面，ab=20，α=30°解线 (7) (8)线(3)ｃ点与ｈ、ｖ面等距(4)zc = 2yc线线有解第一章 空间几何元素的投影与相对位置 1.2 直线的投影（二）1.已知ab和cd相交，试完成各投影图。(1) (2)班级4.作一直线使与ab平行，而和cd相交，且交点距v、h 面等距。 6.判别两直线的相对位置。（1）学号姓名4（2）（3）（4）2.作一直线与ab,cd两直线相交，设所作的直线条件为：(1)离h面为15毫米。 （2）平行于ox轴。5.标出图中重影点的投影。（5） （1） （2） （6）3.过a点作直线ab和cd相交，并满足条件：（1）ab为正平线 （2）ab为水平线 （7） （8）第一章 空间几何元素的投影与相对位置 1.2 直线的投影（三）1.求下列各题直线的迹点的二面投影。 2.求直线ab的实长，及ab对h面的倾角α，对ｖ面的 倾角β。班级学号姓名55.试过a点作一直线ab，使ab=24，并使ab对h面的夹角α=30 °，对v 面的夹角β=45°。(有几解，画出一解)(1)(2)3.在直线ab上定上点ｃ，使ac=15。(3)(4)4.已知线段ab与h面的倾角α=30 °，试完成ab的二面 投影图。6.已知△abc为等腰三角形，a为顶点，腰ac在直线ad上，试完成 △abc的投影。第一章 空间几何元素的投影与相对位置 1.3 直角投影定理1.过点a作直线ad使与直线bc垂直相交。 4.△abc为一等腰三角形，其底为bc，顶点a在ox轴上，试 画出△abc的两面投影，并求出△abc之实形。班级学号姓名66.△abc为一等腰直角三角形,已知一腰ab的投影,并知另一腰ac的 顶点c在h面上，试作出△abc的投影。2.过点a作直线ad和直线bc垂直，说明所作直线ad与bc是垂 直相交还是垂直交叉。(1)(2)5.abcd为一正方形。已知abcd为一矩形，又知正面投影 b'， 7.作等边三角形abc，顶点a的位置已定，并知bc在直线ef上，试作 出△abc的两面投影。 试作出该正方形的投影。3.求直线ab和直线cd之间公垂线的两面投影。(1)(2)第一章 空间几何元素的投影与相对位置 1.4 面的投影1.作出下列平面图形的第三面投影，并完成面上的点t的三面投影。 (1) (2)班级4.过平面上一点t，作属于该平面的一条水平线和一条正平线。 (1) (2)学号姓名72.完成平面图形的两面投影。 (1) (2)5.(1)求△abc对v面的倾角β。（2）求平面p对h面的倾角α。3.判断abcd是否在同一平面上。 (1) (2) (3)6. 已知直线ab为平面对v面的最大斜度线，试求该平面对h面的倾角α。()（） （）第一章 空间几何元素的投影与相对位置 1.5 线面、面面平行1.过点a作正平线平行已知平面。(1) (2)班级4. 过a作平面平行已知平面。(1) (2)学号姓名87.求直线与平面的交点，并判别可见性。(1) (2)2.判断直线ab和已知平面是否平行。(1) (2)5.判断两平面是否平行。8.求直线与平面的交点。(1) (2)3.过直线bc作平面平行已知直线de，再过a作一正垂面平 行de。6.已知平面abc和平面defg互相平行，试补全其二面 投影。9.求两平面交线。(1) (2)第一章 空间几何元素的投影与相对位置 1.6 线面、面面相交1.求直线和平面的交点，并判别可见性。班级 (2) (3)学号姓名92.求两平面的交线，并判别可见性。(4) (3)(1)(5) (2)第一章 空间几何元素的投影与相对位置 1.7 线面、面面垂直1.求点ａ到平面的距离和垂足的投影。 3. 作过已知平面上一点t的法线。班级6. 作图判别两平面是否互相垂直。学号姓名10(1)(2)(1)(2)4.已知直线ab和直线ac相垂直，试完成投影图。7. 已知bc为等腰三角形abc的底边，试作出△abc的投影。2. 过点ａ作一平面和直线bc垂直。(1)(2)5. 已知菱形abcd的对角线的两个投影，并知另一顶点a在 直线ef上，试作出此菱形的投影图。8. 求交叉两直线之间的距离。第一章 空间几何元素的投影与相对位置 1.8 点线面的相对位置(一)1.求直线与平面之间的倾角。 2.求平行两直线之间的距离。班级学号姓名113.过a点作一直线和bc、ef相交。第一章 空间几何元素的投影与相对位置 1.8 点线面的相对位置(二)1.试作一直线，使它与两交叉直线ab及cd相交，并平行直线ef。 3.过a点作直线ag，使和△bcd平行,并和直线ef相交。班级学号姓名122.在直线cd上确定一点t，使与已知两点a、b等距离。4.过点a作直线和bc、ef垂直(其解为垂直交叉，还是垂直相交)。第一章 空间几何元素的投影与相对位置 1.8 点线面的相对位置(三)1.在平面def上，求距a、b两点等距离的轨迹。班级学号姓名133.已知直线ab和cd，试作一直线ef和ox轴平行，并与ab、cd两直线相交。2.已知以bc为底边的等腰△abc的正面投影及a点的水平投影，又知△abc过a点的高的实长 为35mm,试完成△abc的两面投影。第一章 空间几何元素的投影与相对位置 1.8 点线面的相对位置(四)1.作等腰直角三角形abc， a为直角，该三角形与平面l 1l2垂直，且直角边之一ac为平面l 1l2上 的水平线，试作出 abc的投影。班级学号姓名142.已知 abc平行于平面l 1l2,且相距为20mm,试作出 abc的两面投影。3.作一直线与已知两直线ab、cd相交,并与 efg垂直。4. 三角形abc的三个顶点a、b、c分别在直线l 1、l2、l3上,且a点距v、h面等距, abc与l 2相 垂直，试作出 abc的两面投影。&&&&
13:32:49 12:52:38 05:18:02 14:37:37 18:05:40 11:52:55 18:34:26 01:14:12 03:42:27 02:28:3203点.直线.平面的投影(无 两直线垂直相交(或垂直交叉)内容)_甜梦文库
03点.直线.平面的投影(无 两直线垂直相交(或垂直交叉)内容)
3.点 直线. 3.点.直线.平面的投影教学目标 3.1 点的投影 3.2 直线的投影 3.3 平面的投影返回教学目标1. 掌握点的投影规律与作图法。 掌握点的投影规律与作图法。 2.掌握各种位置直线和平面的投影特征，作图方 掌握各种位置直线和平面的投影特征， 法以及在投影图上正确判断其空间位置。 法以及在投影图上正确判断其空间位置。 掌握点与线的相对位置中， 3.掌握点与线的相对位置中 ，从属性和定比性 的运用。 的运用。 4.掌握两直线相对位置的投影特征及判断方法。 掌握两直线相对位置的投影特征及判断方法。点、直线、平面是构成形体的基本几何元素 直线、A点线面 D B C3.1 点的投影3.1.1点的三面投影 3.1.1点的三面投影 3.1.2各种位置点的投影 3.1.2各种位置点的投影 3.1.3点的相对位置 3.1.3点的相对位置3.1.1点的三面投影 点的三面投影 空间点的位置和直角坐标 空间点的位置，可由 空间点的位置， 直角坐标值来确定， 直角坐标值来确定， 一般采用下列的书写 形式：A(x,y,z)。 形式：A(x,y,z)。 点到各投影面的 距离， 距离，为相应的坐标 数值X 数值X，Y，Z 。空间点A Α―空间点A； 空间点 投影; a ―点A的水平面(H)投影 点 的水平 投影 的正面(V)投影 a′―点A的正面 投影 点 的正面 投影; 的侧面(W)投影。 投影。 a″―点A的侧面 点 的侧面 投影V面不动V a′ A X aX a Z投影面展开ZVa′ ′ ax aazOa″WaZWXYWa″ OHayayYHHaYYH面向下旋转90° 面向下旋转90°W面向右旋转90° 面向右旋转90°点的三面投影规律: 点的三面投影规律 三面投影规律Z V a′ A X aXa'XAaZZYAa''a″ZA XAaX XZAaZWOaYWYWHaaYaYYAOaYH YHAa″=aay= a′ az=ax0=xA――A点到 面的距离 a ′ A点到W面的距离 Aa′=aax= a″ az=ay0=yA――A点到 面的距离 ″ A点到V面的距离 =a′ Aa = ′ax= a″ ay=az0=zA――A点到 面的距离 ″ A点到H面的距离a′a⊥OX轴; a′a″⊥OZ轴; ′ ⊥ 轴 ′ ″ 轴a到OX轴的距离 a″到OZ轴的距离 到 轴的距离= ″ 轴已知A点的坐标值 例:已知 点的坐标值 已知 点的坐标值A(12，10，15)，求作 点的 ， ， ，求作A点的 三面投影图。 三面投影图。 Z 步骤: 步骤: a' a'' aZ作投影轴； 作投影轴； 量取： 量取： aX Oax=12, OaYH=OaYW=10, X =15。 Oaz=15。 得ax、az、OaYH、OaYW等点 ； 12a YW O a YH YH YWa过ax、az、aYH、aYW等点分别 作所在轴的垂线， 作所在轴的垂线，交点 即为所求。 a、a′、a″即为所求。例：已知点的两个投影，求第三投影。 已知点的两个投影，求第三投影。 解法一: 解法一a′● ′X ZazO●a″ ″axayWYW通过作45°线使 ″ 通过作 °线使a″az=aaxZa●ayHYH解法二: 解法二a′● ′XazO●a″ ″YW用圆规直接量取a″ 用圆规直接量取 ″az=aaxaxa●YH3.1.2各种位置点的投影 各种位置点的投影 3.1.2点的空间位置 3.1.2点的空间位置 点在投影体系中有 四种位置情况： 四种位置情况： 在空间（ 1. 在空间（X，Y，Z）X V a′ A aX H aZ aZ a″ O aYWa＇ X aZa＇ ＇ YWYO YH由于X 由于X，Y，Z均不为 零，对三个投影面都有 一定距离，所以点的三 一定距离， 个投影都不在轴上。 个投影都不在轴上。3.1.2点的空间位置 3.1.2点的空间位置 在投影面上： 2. 在投影面上： 在H面上（X，Y，0） 面上（ 面上（ 在V面上（X，0，Z） 面上（ 在W面上（0，Y，Z）Z X b＇ b O YH ＇ b＇X VZ C″ d′ D W d″ O b″ d YC C′b′ C B H bc＇YW Xc＇ ＇ O YH YW XZ d＇ O d YHd＇ ＇ YWc由于点在投影面上，点对该投影面的距离为零。所以， 由于点在投影面上，点对该投影面的距离为零。所以，点在该投影 面上的投影与空间点重合，另两投影在该投影面的两根投影轴上。 面上的投影与空间点重合，另两投影在该投影面的两根投影轴上。3.1.2点的空间位置 3.1.2点的空间位置 在投影投影轴上： 3. 在投影投影轴上： 在X轴上（X，0，0） 轴上（ 在Y 轴上（0 ，Y ，0 ） 在Z 轴上（0 ，0 ，Z ）Z X e＇ e ＇ O e＇ YW YHX VZ G g′ g″ E e′ f′e″ O d F f f″ YWeHf＇ X O f YHf＇ YW ＇Z ＇ g＇g＇ X O g YHYW由于点在投影轴上，点对两个投影面的距离为零。所以， 由于点在投影轴上，点对两个投影面的距离为零。所以，点在该两 投影面上的投影与空间点都重合在该两投影面相交的投影轴上， 投影面上的投影与空间点都重合在该两投影面相交的投影轴上，另一个 投影与原点重合。 投影与原点重合。3.1.2点的空间位置 3.1.2点的空间位置4. 在原点上： 在原点上：（0 ，0 ，0 ）VWZZ XYX Hk′ O k k″Kk＇ ＇ YW k＇ k O YH由于点在原点上，点对三个投影面的距离都为零。所以， 由于点在原点上，点对三个投影面的距离都为零。所以，点的三个 投影与空间点都重合在原点上。 投影与空间点都重合在原点上。3.1.3点的相对位置 3.1.3点的相对位置 两点的相对位置指两点在空间的 上下、前后、左右位置关系 位置关系。 上下、前后、左右位置关系。 判断方法： 判断方法： 左右位置 坐标大的在左， 左右位置: x 坐标大的在左， x 坐标小的在右； 坐标小的在右； 前后位置 坐标大的在前， 位置: 前后位置 y 坐标大的在前， y 坐标小的在后； 坐标小的在后； 上下位置 坐标大的在上， 位置: 上下位置 z 坐标大的在上， b' z 坐标小的在下。 坐标小的在下。XV上 后 a'b左 ' Z A a'' 右 W OXB a下前'' bYHba'Za'' b''O a b YHYWB点在 点的 点在A点 点在 前方。 左、下、前方。两点重影当空间两点（ 当空间两点（如A、B）到两个投影面(如V、W)的距离分别对应相等时， 到两个投影面( W)的距离分别对应相等时， 的距离分别对应相等时 该两点在同一投射线上，它们在该投射线所垂直的投影面（ 该两点在同一投射线上，它们在该投射线所垂直的投影面（H）上的投影重 合在一起[a(b)] 这两点(A B)称为对该投影面 [a(b)]， (A、 称为对该投影面（ 的重影点。 合在一起[a(b)]，这两点(A、B)称为对该投影面（H）的重影点。Va' b' A BH a(b)Z W a'' O b'' Ya' b' X Oa'' b'' YWXa ( b)YH重影点需要判断其可见性，将不可见点的投影用括号括起来， 重影点需要判断其可见性，将不可见点的投影用括号括起来， H面重影，被挡 面重影， 面重影 以示区别。 以示区别。 住的投影加( 住的投影加 )3.2 直线的投影3.2.1各种位置直线及其投影特征 各种位置直线及其投影特征 3.2.2直线与点的相对位置 直线与点的相对位置 3.2.3两直线的相对位置 两直线的相对位置3.2 直线的投影3.2.1各种位置直线的投影特征 各种位置直线的投影特征 两点确定一条直线， 两点确定一条直线，将两点的同 面投影用直线连接， 面投影用直线连接，就得到直线的 投影。 投影。●Z b' a' b'' a'' YW b aA ● YH M● B●XOB A●●BA● a●α●b a●●b●a≡b≡m直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=AB cosα 类似性直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB 全等性直线垂直于投影面 投影重合为一点 ab=0 积聚性直线中的投影特性 直线在三个投影面中的投影特性 平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜 正平线（平行于Ｖ 正平线（平行于Ｖ面） 侧平线（平行于Ｗ 投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面） 水平线（平行于Ｈ 水平线（平行于Ｈ面） 统称特殊位置直线 垂直于某一投影面投影面垂直线正垂线（垂直于Ｖ面） 正垂线（垂直于Ｖ 侧垂线（垂直于Ｗ 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ 铅垂线（垂直于Ｈ面）与三个投影面都倾 斜的直线一般位置直线(1) 一般位置直线Z V a' X b'β αZ b' b'' a'' YW b a YHBγb''WXa' OA HaO ba'' Y投影特性： 投影特性：三个投影都具有类似性, 三个投影都具有类似性 都不反映空间线段的实长 及与三个投影面的夹角，且与三根投影轴都倾斜。 及与三个投影面的夹角，且与三根投影轴都倾斜。(2) 投影面平行线a′ b′ O a bZa″ b″XYW投影特性： 投影特性： 水平线的投影特征： 水平线的投影特征：YH1. 水平线的 面投影反映线段实长。即：ab=AB; 水平线的H面投影反映线段实长 面投影反映线段实长。 对正平线和侧平线作分析，可得出类似的投影特征。 对正平线和侧平线作分析，可得出类似的投影特征。 2. 水平线的 、W面投影分别平行于 面的两根轴。 水平线的V、 面投影分别平行于 面的两根轴。 面投影分别平行于H面的两根轴 轴 即 a′b′∥ox轴，a″b″∥OYW轴； 3. 水平线的 面投影与 水平线的H面投影与 轴夹角反映该直线对 面的倾角 ；与 面投影与OX轴夹角反映该直线对 面的倾角β； 轴夹角反映该直线对V面的倾角 OYH轴的夹角，反映该直线对 面的倾角 。 轴的夹角，反映该直线对W面的倾角 面的倾角γ。投影面平行线水平线a′ ′Xb′ ′Z实长 a′ Z ′ a″ b″ ″ ″ γb′ ′bα正平线a″ ″ b″ ″YW X侧平线a′ ′ b′ ′ abYH Za″ 实长 ″βαOaYWβXOOb″ ″YW实长γbaYHYH直线与H面的夹角 与V面的夹角 与W面的夹角 面的夹角:β,与 面的夹角 面的夹角:γ 直线与 面的夹角:α,与 面的夹角 面的夹角投 影 特 性： 1. 在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另外两投影面倾角。 并反映直线与另外两投影面倾角。 2.另外两个投影面上的投影平行于相应的投 另外两个投影面上的投影平行于相应的投 影轴。 影轴。(3)投影面垂直线 (3)投影面垂直线a′ b′ X a(b) OZa″ b″YW投影特性： 投影特性：铅垂线投影特征: 铅垂线投影特征YH1. H面投影积聚成一点； 面投影积聚成一点； 面投影积聚成一点 对正垂线和侧垂线作分析， 对正垂线和侧垂线作分析，可得出类似的投影 2. V、 面投影反映实长， 、 ； 、 特征。 面投影反映实长 特征。W面投影反映实长，即a′b′=a″b″=AB；V、W 面投影，分别垂直于 面的两面根轴 面的两面根轴， 面投影，分别垂直于H面的两面根轴，即： a′b′⊥ox轴a″b″ ⊥oz轴 。 ⊥ 轴 轴投影面垂直线 a′ ′ b′ ′●铅垂线a″ ″ b″ ″积聚 为点正垂线c′(d′) ′ ′●侧垂线e′ ′ f′ ′ e″(f″) ″ ″●d″ c″ ″ ″d c e f积聚 为点a(b)积聚 为点投影特性: 投影特性:1.在其垂直的投影面上，投影具有积聚性。 在其垂直的投影面上，投影具有积聚性。 在其垂直的投影面上 2.另外两个投影面上，投影反映线段实长。 另外两个投影面上，投影反映线段实长。 另外两个投影面上 且垂直于相应的投影轴。 且垂直于相应的投影轴。例：判断下列直线的空间位置AB为正平线 AB为正平线CD为侧垂线 CD为侧垂线3.2.2直线与点的相对位置 直线与点的相对位置 3.2.2直线与点的相对位置 直线与点的相对位置判别方法： 判别方法：若点在直线上, 若点在直线上 则点的投影必在该 V 直线的同面投影上，即具有从属性 从属性。 直线的同面投影上，即具有从属性。 ′ 若点在直线上， 若点在直线上，则点将线段的同面 a′ 投影分割成与空间直线相同的比例， 投影分割成与空间直线相同的比例，即 具有定比性 定比性： 具有定比性： AC/CB=ac/cb= a′c ′/c ′b ′ ? ′ 若点的投影有一个不在直线的同名 投影上， 则该点必不在此直线上。 投影上， 则该点必不在此直线上。 c′ ′ ′ e′ b′B C A Eaceb H判定: 判定C点 点在直线AB上 直线 上E点 不在 直线 上 点 直线AB上是否在线段AB上 例：判断点K是否在线段 上。 判断点 是否在线段a′ ′ k′● ′ b′ ′OZa″ ″●k″ ″b″ ″YWX因k″不在 ″ b″上， ″不在a″ ″ 故点K不在 上。 故点 不在AB上 不在a k● bYH另一判断法是应用定比定理因a′k′:k′b′≠ ak:kb ′ ′ ′ 故点K不在 不在AB上 故点 不在 上。3.2.3两直线的相对位置 两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。 空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。 ⒈ 两直线平行b′ a′ c′ O b a c d d′X投影特性： 投影特性： 空间两直线平行，则其各同面投影 空间两直线平行，则其各同面投影 必相互平行，反之亦然。 必相互平行，反之亦然。例：判断图中两条直线是否平行。 判断图中两条直线是否平行。①a′ ′Xb′ ′ c′ ′ c bd′ ′a对于一般位置直 线，只要有两个同名 投影互相平行， 投影互相平行，空间 两直线就平行。 两直线就平行。d结论： 结论：AB//CD例：判断图中两条直线是否平行。 判断图中两条直线是否平行。②c′ ′ a′ ′ d′ ′ c b d a b′ ′ b″ ″ c″ ″ a″ ″ d″ ″对于投影面平行线， 对于投影面平行线，只 有两个同面投影互相平行， 有两个同面投影互相平行， 空间直线不一定平行。 空间直线不一定平行。若用 两个投影判断， 两个投影判断，其中应包括 反映实长的投影。 反映实长的投影。如何判断求出侧面投影结论:AB与CD不平行 结论:AB与CD不平行 :AB2.两直线相交 2.两直线相交V a′ ′ X A a c c′ ′ b′ ′ d′ ′ K D d k a′ ′交点是两直线 的共有点 c′ ′ b′ ′ k′ ′ d′ ′k′ ′ CBb Ha c kd b判别方法：若空间两直线相交，则其同名投影必相 判别方法：若空间两直线相交， 交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。 且交点的投影必符合空间一点的投影规律。相交。 例：过C点作水平线 与AB相交。 点作水平线CD与 相交b′ ′ c′● ′ a′ ′ k′ ′ d′ ′先作正面投影a c k●d b3.两直线交叉 两直线交叉a′ ′ c9 9 c●判断:AB与CD两直线相交吗 与 两直线相交吗 判断d′ ′●1′(2′ ) 3′ ′ ′ ′ 4′ ′●●两直线交叉的投影特性： 两直线交叉的投影特性：b′ ′2●b d●a1 3(4 )Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点， 面的重影点， 面的重影点。 Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。 面的重影点同名投影可能相交， 同名投影可能相交， 交点” 但 “交点”不符合空间 一个点的投影规律。 一个点的投影规律。 “交点”是两直线上 交点” 交点 重影点的投影， 的一 对重影点的投影， 用其可帮助判断两直线 的空间位置。 的空间位置。结论： 与 两直线不相交 结论：AB与CD两直线不相交3.3 平面的投影3.3.1平面的表示法 3.3.1平面的表示法 3.3.2各种位置平面及其投影特征 3.3.2各种位置平面及其投影特征 3.3.3平面上的直线和点 3.3.3平面上的直线和点●S A ●A ●●一 用几何元素表示平 ●S 面 ●C ●D A A ● ●●3.3.1平面的表示法 平面的表示法 3.3.1平面的表示法 平面的表示法●S A ●●SB●s′ ′ a′ ′ ●B●s′ ′ a′ ′ ●●B●●c′ ′●B●●s′ ′ a′ ′ ●B●s′ ′a′ ′ ●●d′ a′ ′ ′ ●●b′ ′●●b′ ′●●b′ ′ a●●b′ ′●●b′ ′●a●●sa●●sa●c●●sa●●s不在同一 直线上的 三个点bbbd●bb直线及线 外一点两平行直线两相交直线平面图形二 用迹线表示平面 二 用迹线表示平面在三投影面体系中，空间平面与投影面的交线，称为平面的迹线。 在三投影面体系中，空间平面与投影面的交线，称为平面的迹线。PZ PV PX P PH PW PY X PX PH PYH YH PV O PZ Z PW PYW YW平面P与 面的交线称为平面 的正面迹线， 面的交线称为平面P的正面迹线 表示； 平面 与V面的交线称为平面 的正面迹线，用PV表示； 平面P与 面的交线称为平面 的水平迹线， 面的交线称为平面P的水平迹线 表示； 平面 与H面的交线称为平面 的水平迹线，用PH表示； 平面P与 面的交线称为平面 的侧面迹线， 面的交线称为平面P的侧面迹线 表示。 平面 与W面的交线称为平面 的侧面迹线，用PW表示。 平面与各投影轴的交点(即两迹线的交点 称为迹线集合点， 即两迹线的交点)， 平面与各投影轴的交点 即两迹线的交点 ，称为迹线集合点， 分别用P 表示。 分别用 X、PY、PZ表示。3.3.2各种位置平面及其投影特征 各种位置平面及其投影特征 3.3.2各种位置平面的投影特性 各种位置平面的投影特性平面对一个投影面的投影特性 平面对一个投影面的投影特性 对一个投影面平行垂直倾斜 全等性 积聚性 类似性投 影 特 性平面平行投影面-----投影就把实形现 投影就把实形现 平面平行投影面 平面垂直投影面-----投影积聚成一线 投影积聚成一线 平面垂直投影面 平面倾斜投影面-----投影类似原平面 投影类似原平面 平面倾斜投影面平面在三投影面体系中的投影 平面对于三投影面的位置可分为三类： 平面对于三投影面的位置可分为三类：垂直于某一投影面， 垂直于某一投影面， 倾斜于另两个投影面垂直于V面 正垂面（垂直于 面） 投影面垂直面 侧垂面（垂直于 面） 垂直于W面 垂直于H面 铅垂面 (垂直于 面) 垂直于特殊位置平面平行于某一投影面， 平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面正平面 侧平面 投影面平行面 水平面(平行于 面) 平行于V面 平行于 (平行于 面) 平行于W面 平行于 (平行于 面) 平行于H面 平行于与三个投影面都倾斜一般位置平面(1) 一般位置平面(与三个投影面都倾斜) 一般位置平面(Vb′ a′ B C AaZb′Zb″ c″ a″ YWc′b″c′c″ a″Wa′ X b a OXbcHYc投影特性： 投影特性：三面投影均具有类似性。 三面投影均具有类似性。YH投影面平行面(平行于某一投影面， (2) 投影面平行面(平行于某一投影面，垂直于另两个投影面)Va′ b′ c′ B A C b b″ c″ W a″X bZa′ b′c′Z b″ c″ a″ O YWXHacc aY 投影特性： 投影特性： 水平面的投影特征： 水平面的投影特征：YH1. H面投影反映实形； 面投影反映实形； 面投影反映实形 对正平面和侧平面作分析，可得出类似的投影特征。 对正平面和侧平面作分析，可得出类似的投影特征。 2. V面投影积聚为直线，且平行于OX轴； 面投影积聚为直线，且平行于 面投影积聚为直线 轴 W面投影积聚为直线，且平行于 面投影积聚为直线， 面投影积聚为直线 且平行于OYW轴。Z c′ c″ a′b′ b″ a″ X b a c YH O水平面三种投影面平行面 正平面 实形 Zb′ c′ O b″ c″ a″ YW X侧平面Z c′ a′ b′ c b a c″实形a″YW a′XOb″ YWa b c YH实形YH投 影 特 性： 1.在它所平行的投影面上的投影反映实形； 在它所平行的投影面上的投影反映实形； 2.另外两面投影积聚为与相应投影轴平行的直线。 另外两面投影积聚为与相应投影轴平行的直线。投影面垂直面(垂直于某一投影面， (2) 投影面垂直面(垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面)ZVa′ Ac′ a″CZa′ X aYa″ c′ b′βc″ YWW c″Xb′ B aHb″ cO b″γbb投影特性： 投影特性：c YH铅垂面投影特征: 铅垂面投影特征 1. H面投影积聚成一直线； 面投影积聚成一直线； 面投影积聚成一直线 对正垂面和侧垂面作分析，可得出类似的投影特征。 对正垂面和侧垂面作分析，可得出类似的投影特征。 2. β、γ 反映平面对 、W面的倾角。 面的倾角。 、 反映平面对V、 面的倾角 3. V、W面投影为原平面的类似图形。 面投影为原平面的类似图形 、 面投影为原平面的类似图形。三种投影面垂直面 铅垂面Z a′ X a积聚 为线正垂面a″积聚 为线Z c′ b′α γc″a′b″侧垂面Zb′积聚 为线a″βc′ b′βc″a′ YW X ab″αO b″γO ca″ YW Xc'O b YHc″ YWaYHbc YHbc投影特性: 投影特性:1.在它所垂直的投影面上的投影，积聚为一条与投 在它所垂直的投影面上的投影， 在它所垂直的投影面上的投影 影轴倾斜的直线， 影轴倾斜的直线，该直线与投影轴的夹角分别反映 了平面与另外两投影面倾角的真实大小； 了平面与另外两投影面倾角的真实大小； 2.其余两面投影为封闭线框，并具有类似性。 其余两面投影为封闭线框， 其余两面投影为封闭线框 并具有类似性。例：判断下列平面的空间位置ABC为什么位置的平面 为什么位置的平面 Q为什么位置的平面 为什么位置的平面ZQW YWQV XQH OYH迹线Q 方向固定，可以省略。 迹线 HQW方向固定，可以省略。一般位置平面正垂面例：判断下列平面的空间位置ABC为什么位置的平面 为什么位置的平面 EFG为什么位置的平面 为什么位置的平面a′ b′ c′ X c a b侧垂面 水平面包含侧垂线的平面，为侧垂面。 包含侧垂线的平面，为侧垂面。 为什么？ 为什么？O4.3.3平面上的直线和点 4.3.3平面上的直线和点 3.3.3平面上的直线和点 平面上的直线和点1) 平面上取任意直线判断直线在平面 内的方法 定 理 一 若一直线过平面 上的两点， 上的两点，则此 直线必在该平面 内。 定 理 二 若一直线过平面上的 一点， 一点，且平行于该平 面上的另一直线， 面上的另一直线，则 此直线在该平面内。 此直线在该平面内。所确定， 例：已知平面由直线AB、AC所确定， 已知平面由直线 、 所确定 试在平面内任作一条直线。 试在平面内任作一条直线。根据定理一 根据定理二解法一： 解法一：m′ ′ a′ ′ m ab′ ′ n′ c′ ′ ′解法二： 解法二：a′ ′b′ ′ c′ ′d′ ′b a n cb d c有多少解 。 有无数解。 有无数解内作一条水平线， 例：在平面ABC内作一条水平线， 在平面 内作一条水平线 使其到H面的距 离为10mm。 使其到 面的距 离为 。a′ ′ m′ ′ 10 b′ ′ b m a n n′ ′有多少解？ 有多少解？c′ ′唯一解！ 唯一解！c2) 平面上取点开着窗户时，对一个飞着的小虫， 开着窗户时，对一个飞着的小虫，不能判明它是否正处 在窗口的平面内。而对这个从窗口上用线挂着的小球， 在窗口的平面内。而对这个从窗口上用线挂着的小球，则可 以肯定它在窗口的平面内。 以肯定它在窗口的平面内。定理:若点在平面的一条直线上 则点在该平面上 定理 若点在平面的一条直线上,则点在该平面上。 若点在平面的一条直线上 则点在该平面上。面上取点的方法： 面上取点的方法：首先面上取线先找出过此点而又在平面内的一条直线作 为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。 为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。 点在平面ABC上，求K点的水平投影。 点的水平投影。 例：已知K点在平面 已知 点在平面 上 点的水平投影① k′● ′ a′ ′ a k b●b′ ′ c′ ′②b′ ′ d′ ′ k′ ′ ●aΧ Χ b a●c′ ′kdc 利用平面的积聚性求解c 通过在面内作辅助线求解为正平线， 例：已知AC为正平线，补全平行四边形 已知 为正平线 ABCD的水平投影。 的水平投影。 的水平投影解法一a′ ′ d′ ′ d a c k b a b k′ ′ b′ ′ c′ ′解法二a′ ′ d′ ′ db′ ′ c′ ′c解题方法： 解题方法：分析已给条件的空间情况， 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物 体与投影面的相对位置， 体与投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几 何元素（ 面等）。 何元素（点、线、面等）。 根据要求得到的结果， 根据要求得到的结果，确定出有关几何元素处于 什么样的特殊位置（垂直或平行）， ），据此选择正确 什么样的特殊位置（垂直或平行），据此选择正确 的解题思路与方法。 的解题思路与方法。 本章学习难度较大，建议多做练习， 本章学习难度较大，建议多做练习，多进行空间 分析和想像，以培养空间思维能力。 分析和想像，以培养空间思维能力。本 章 小 结本章小结点、直线、平面是构成形体的基本几何元素，研究 直线、平面是构成形体的基本几何元素， 它们的投影， 它们的投影，是为正确表达形体奠定理论基础和提 供有力的分析手段。 供有力的分析手段。 本章的重点是： 本章的重点是： 点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影 点与直线的投影特性， 特性。 特性。 点与直线及两直线相对位置的判断方法及投影特性。 点与直线及两直线相对位置的判断方法及投影特性。 平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。 平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。 在平面上确定直线和点的方法。 在平面上确定直线和点的方法。本 章 结 束本章小结
更多相关文档