电路分析基础_甜梦文库
电路分析基础
第 一章 电路分析基础理解电流、电压参考方向的问题； 了解电气设备额定值的定义；熟悉电 路在不同工作状态下的特点；深刻理 解电路中电位的概念并能熟练计算电 路中各点的电位；掌握基尔霍夫定律、 叠加原理、戴维南定理及其具体应用； 学会用支路电流法和节点电压法对一 般电路进行分析计算。§1-1 电路的基本概念一、电路的组成及作用1、电路的概念 电路是由用电设备或元器件（称为负载）与供电 设备（称为电源）通过导线按一定方式联接起来而构 成的提供给电荷流动的通路。 电路规模的大小可以相差很大，小到硅片上的集 成电路，大到高低压输电网。开关泡灯IKa Uab b电 池 导体+ER_手电筒的电路模型手电筒的实际电路2、电路模型在分析、研究电路时，并不注重电路中发电设备、用电设 备（或元器件）的实际结构，而是对电路中这些设备的物理特 性进行分析、并进行科学地抽象，利用一些具有理想特性的元 件（理想元件）重构出来的电路，称为原电路的模型。为了分 析计算方便并且将理想元件用符号和字符（或数字）表达出来。(1)建立电路模型的优越性＊电路模型中构成电路的理想器件不再是千差万别的各种实际 元器件，而是数量有限的理想元件，具有很好的规范性。有利 于设计、交流。 ＊电路模型中的理想元件反映了原电路中实际元器件工作的主 要特性，并且这些特性是已经数学化了的，便于用数学方法进 行分析。 （2)怎样建立电路模型 ＊对原电路中的每个实际元器件特性建立 数学模型，用理想元件的符号表示每个元 器件的特性，构成元器件的电路模型； E ＊把所有元器件的电路模型（即理想元 件的符号）按照原电路结构连接起来，形 成电路的模型； ＊构成电路模型的理想元件数量应尽可能 少，否则，电路模型将失去其存在的价值。 I + + _ b手电筒的电路模型K RaUab（3）常用理想元件 理想电压源、理想电流源、电阻元件、电容元件、电感元件。理想电路元件分有无源和有源两大类无源二端元件有源二端元件+ R L C IS USC电阻元件 只具耗能 的电特性电感元件 只具有储 存磁能的 电特性电容元件 只具有储 存电能的 电特性理想电压源 输出电压恒 定，输出电 流由它和负 载共同决定理想电流源 输出电流恒 定，两端电 压由它和负 载共同决定3、电路的作用及主要功能在电力系统、电子通讯、自动控制、计算机以及其他各 类系统中，电路有着不同功能和作用。但电路的功能和作用可 以概括为以下两个方面：一、实现电能的传输、转换和分配。 二、实现电信号的传递和处理。电力系统中：电路可以实现电能的 传输、分配和转换。电子技术中：电路可以实现电信号的 传递和处理。（1）进行电能的转换、传输和分配电灯 输电线 M 电动机发电机升压变压器输电设备降压变压器电炉 其他用电器发电设备用电设备强电系统（电力系统） 上图是强电系统（电力系统）电路示意图。它的作用是实 现电能的产生、传输和转换。发电机是发电设备（电源），是 产生电能的设备。输电线及变压器是输电设备，它起传输和分 配电能的作用。电灯、电动机及其它用电器等是用电设备（负 载）是取用电能的设备，各用电负载将电能转换为其它形式的 能量。（2）进行信号的传递和处理话筒输入级中间级功放级扬声器信号源中间环节负载弱电系统（扩音机）上图是扩音机电路，它是弱电系统的示意图。它的作用是传输和处理信号。它主要由信号源，中间环节及负 载组成。话筒是输出电信号的设备，称为信号源。扬声 器是接收和转换信号的设备，称为负载。输入级、中间 级、功放级是处理信号的设备，也就是中间环节。客观上电路提供了电荷流动的通路，电荷携带着 电能在电路中流动，从电源带走电能，而在用电元器 件中又释放电能，因此电路的工作伴随着能量的运动。二、电路的基本电量1、电流电荷的定向流动形成电流。电流的大小用电流强度来衡量。 （1）电流强度：单位时间内流过导体任一横截面的电荷量，t时 刻的电流强度用符号i(t)表示．即dq (t ) i (t ) ? dt（2）电流的分类： 直流：（大小和方向）不随时间变化的电流称为恒定电流，简 称直流（Direct Current, 简写作dc或DC)。用大写字母 Ｉ表示: Q I ? t交流： 电流的大小和方向随时间的变化是周期性的，则称该电流为 T 周期电流。满足 i ? 1 idt ? 0 的周期电流称为交流电流。简称 T ?0 交流（Alternating Current ，简写作 ac或 AC)。dq (t ) i (t ) ? dt（3） 电流的单位：安培(A) 、千安(kA) 、毫安(mA) 、 微安(μA)，其换算关系为 １kA＝ 10 A １mA＝ 10 A １μA＝ 10 A3 ?3?62、电位及电压(1)电位:电位是相对于电路中确定的参考点来说的，电路中 某点A的电位是指单位正电荷在电场力的作用下，自该 点沿着任意路径移到零参考点所做的功。A点的电位用 VA表示。 定义式：dw VA ? dqVA计算式： V ? A?&0&A? ? E?d l? EAl&0&零参考点（2）参考点的重要性 对电位来说，参考点是至关重要的，因为 第一，电位是相对的电量，不确定参考点，讨论电位 就没有意义。 第二，在同一电路中当选定不同的参考点时，同一点 的电位值是不同的。在分析电路时，电位的参考点只能 选取一个。参考点选定后，各点的电位值就确定了，这 就是所谓的“电位单值性”。 a 在电工学中，如果所研究的电路里 1? 有接地点，通常选择接地点作为电位的 参考点，用符号“ ”表示。在电子 b 5A 线路中常取若干导线交汇点或机壳作为 a 点电位： Va = 5V 电位的参考点，并用符号“ ”表示。 点电位： V = 0V bb（3）电压：电路中两点之间的电位差称为这两点间的电压，用符号u或U表示。例如电路中A、B两点之间的电压U AB ? VA ? VBA、B两点之间的电压在数值上等于电场力将单位正电荷从 A点移到B点所做的功。也就是单位正电荷从A点（高电位）移 到B点（低电位）所失去的电能。VAU ABA? EVBB －零参考点（4）电压的分类：直流电压：大小和方向均不随时间变化的电压称为直流电压， 直流电压用大写字母U表示：W U ? Q1 u? 交流电压：大小和方向随时间周期性变化，并满足 T?T0udt ? 0的电压称为交流电压。用u（t）表示：dw(t ) u (t ) ? dq(t ) （5）电压及电位的单位：伏特(V) 、千伏(kV) 、毫伏(mV) 、微伏(μV) ，其换算关系为 １kV＝ 10 V １mV＝ 10 V １μV＝ 10V3?3?63、电动势：电源的电动势是指单位正 电荷在电源力的作用下，从 a 电源的低电位端b经电源内部 E 移到高电位端a所做的功。 b 电动势与电压的区别： 电压是指单位正电荷在电场 力作用下，从高电位端a经电源 内部移到低电位端b所做的功。＋Ｉ－电荷的回路电动势用e或E 表示，其单位与电压的单位相同。 电源的电动势E 实质：就是单位正电荷从b点（低电位）移到 a点（高电位）所获得的电能。在电源力的作用下，电源不断地 把其他形式的能量转换为电能。4、功率电功率的概念：在电路中，单位时间电场力做功的大小称为电功率，简称功率。用符号p(t)表示。即：电功率计算式：dw(t ) p(t ) ? dtdw(t ) dw(t ) dq(t ) p(t ) ? ? ? ? u (t )i(t ) dt dq dt直流电路电功率的在计算：设电路中 任意两点间的电压为 U ，流 入此部分电 路的电流为 I， 则这部分电路的功率为:aIURP ?U ?Ib当电压的单位是伏特，电流的单位是安培时，功率 的单位是瓦特，简称瓦(W)。 功率的单位:除瓦之外还有瓦(W)、千瓦(kW)、毫瓦 (mW) 、微瓦(?W),其换算关系为:10 １kW＝ W １mW＝10 W １μW＝ 10W?3?63三、电压、电流的关联参考方向电压和电流是描述电路性能的基本电量，它们具有大 小、方向等电量的基本特征。但在分析解决较为复杂的 电路问题时，某些元件上电压、电流的实际方向往往事 先无法判明，为此，在分析计算电路问题时，必须先假 定一个参考方向(正方向)。电量（电压、电流）的方向 ： 实际方向参考方向实际方向：物理学中对电量规定的方向。 参考方向：在分析计算时，人为假设的电量方向。1、电流的方向电流的实际方向:通常规定正电荷 运动的方向为电流的实际方向。从高 电位指向低电位。i电流的参考方向:参考方向实际上是研究电路的参照系，可以 任意假定。 电流方向的表示方法：箭 头表示法和双下标表示法。 箭头I2 I1I6 R6I1 aRbI3I4I5Iab（始端在前， 双下标 末端在后）+ US2 -R3箭头法：I1 I6I2I1 ? I ab 双下标法： I 2 ? I bc I 3 ? I caIabIdbbIbcR6 I3I 4 ? I daI5I4I 5 ? I cd I 6 ? I dbaIda IcadR6 Icdc+ US2 -R3 I2+ US2 -R3简化箭头法I1I6 R6I3I4I5+ US2 -R3对于同一个支路， 只有两个参考方向可以 选择，两个参考方向的 电流关系为：I1= -I2。假设1：I1 a R I2 aI设a I实 R R I设 a I实 a R R bb bI实 ? I设假设2：R电流的实际方向与参考方向一致：当电流的参考方向确 定后，如果计算出的电流 为正值，说明电流的实际 方向与参考方向一致。假设：实际： abI实 ? ? I设当电流的参考方向确 定后，若计算出的电流为 负值，则说明电流的实际 方向与参考方向相反。电流的实际方向与参考方向相反：假设：b b实际：2、电压的方向：电压的实际方向：通常规定 在电场力的作用下正电荷失去能 量的方向为电压的实际方向，即 由高电位到低电位的方向。+E _UVa ? VbaRb电压的参考方向:同电流的参考方向一样，电压的参考方向 也是可以任意假定的。 设Va ? Vb时 设Va ? Vb时 电压 方向的 表示方 法：正负号表示法箭头表示法 双下标表示法a a+ U_ b b ba _U+baUb bUaaU ba U ab 双下标法规定：高电位点字符在前， 低电位点字符在后 。 Uab表示a点电位高，b点电位低;Uba表示a点电位低，b点电位高。正负号法:双下标法：R1 E1? ? U1 R2 U 2 ? ?E2aR3? U3 ?R1 U ca R2 U dacE1dE2R3U abb箭头法：R1R2U ca ? U1U 2 R3 E2U3U1E1U da ? U 2 U ab ? U 3对于同一段电路，电 压只有两个参考方向可以 选择，两个参考方向的电 压关系为：U1= -U2。假设1：U1a假设2： U2R Rb ba当电压的参考方 向确定后，如果计算 出的电压为正值，说 明电压的实际方向与 参考方向一致。 当电压的参考方 向确定后，若计算出 的电压为负值，则说 明电压的实际方向与 参考方向相反。电压的实际方向与参考方向一致： U设 U实 ? U设假设：aU实R R bb实际： a电压的实际方向与参考方向相反： U设 U 实 ? ?U 设假设：aU实R Rb b实际：a3、电动势的方向：电动势的实际正方向：通常规定在电源力的作用下正电荷获 得能量的方向为电动势的实际正方向，即从低电位指向高电位的 方向，也就是电位升高的方向，刚好与电源电压的方向相反。电动势的参考方向与电压、电流的参考方向表示方法相同。 如果选取电源电压US的参考方向与电动势E的参考方向相反，则 E= US；如果选取电源电压US参考方向与电动势E的参考方向相同， 则E= -US。 I I a aE USR bEUSR bUS与E的参考方向相反US与E的参考方向相同4、电压、电流的关联参考方向从原则上讲，电压、电流的参考方向都是可以任意假定 的。但对于电阻元件来说，电压和电流的实际方向总有一固定 关系。即电压是从高电位端指向低电位端；电流是从高电位端 流入，从低电位端流出。因此，为了分析、计算的方便，一般 情况下，负载元件选取电压的参考方向与电流的参考方向一致， 这就是电压、电流的关联参考方向。但在分析、计算时，而有 时选取电源的电流、电压参考方向是不关联的。 I I a aER bURER bUR电压、电流参考方向关联电压、电流参考方向不关联对于电阻，只有在其电压、电流关联参考方向时，欧姆定律 才能表示为I＝U／R、U=IR或 R＝U／I 。元件上的功率为P＝UI，当计算值为正值时，则该元件是吸 收(消耗)电功率的，即电功率转换为非电功率；当计算值为值时， 该元件是发出(产生)电功率的，即非电功率转换为电功率。 电源与负载的判别： 电源：U和I的实际方向相反，电流从“+‖端流出，发出功率； 负载：U和I的实际方向相同，电流从“+‖端流入，吸收功率。 I US ? UR I US ? UR a a U EI?REE ? 0,U R ? 0 b I ?0 b 对于电阻来说，UR和I的实际方向相同， URI&0，所以电阻吸收功率。对于电源来说， US和I的实际方向相反， USI&0，所以电源发出功率。USRURR?RE ? 0,U R ? 0 I ?0EUSRI?UR?UR E ? R R本节小结电量的单位及实际正方向电量 符号 表达式I ? Q t单位实际正方向电流电压I iU ui (t ) ?dq (t ) dtA、kA、 正电荷移动的方向 mA、μAV、kV、 电场力驱动正电荷的方向 mV、μV (高电位→低电位)U AB ? VA ? VB电动势E eP pW Q dw e? dq E ?V、kV、 电源力驱动正电荷的方向 mV、μV (低电位→高电位)W、kW、 电源：U和I的实际方向相反， mW 发出功率。负载：U和I的实际方向相同，吸收功率。功率P= UI p = ui特别需要强调以下几点：①方程式R = U/I 仅适用于U与I参考方向一致的情况。 ②电路中电量的“实际方向”是物理学中规定的，是唯一的；而 “参考方向”则是人们在进行电路分析计算时,任意假设的。 ③在分析电路（解题过程中）时，必须首先选定电量参考正方向 (即在图中表明电量的参考方向)，然后再根据电路的定律、定 理列出方程。虽然参考方向是任意选定的，但是，一旦参考方 向选定，整个解题过程中必须严格地按照参考方向进行分析， 不可随意更改。 ④在电路理论中，计算结果的正负只有在选定参考方向的前提下 才有意义，计算结果的正负是相对于参考方向而言的。如果没 有参考方向，负的计算结果就是荒谬而无法解说的。 ⑤根据计算结果确定电量实际方向： 若计算结果为正，则电量实际方向与参考方向一致； 若计算结果为负，则电量实际方向与参考方向相反。例aRIR m URE b U已知：E=2V, R=1Ω 问： 当U分别为 3V 和 1V 时，IR=? 解： (1) 假定电路中电量的正方向如图所示； (2) 列电路方程：U? U ab ? U am ? U mbU ? UR ? EUR ? U ? EUR U ? E IR ? ? R RaRIR mUREb UU ?E IR ? R(3) 数值计算U ? 3V时 I R3- 2 ? ? 1A 1 1? 2 ? ? ?1A 1（实际方向与假设方向一致）U ? 1V时 I R（实际方向与假设方向相反）例题2计算下图的电阻R值，已知Uab＝－12V。a + n解E1=5V+ Unm -a点电位比b点电位低12VU nb ? U ab ? U an ? ?12 ? U na ? ?12 ? 5 ? ?7 （V）U mb ? E2 ? 3（V）I=-2A R+ b mU nm ? U nb ? U mb ? ?7 ? 3 ? ?10 （V）由欧姆定律得 R＝Unm／I=（-10）/（-2） ＝5（?）E2=3V第二节 电压源、电流源及其等效变换实际电路中使用的多种电源，按其特点和共性，可归结为 两大类：电压源和电流源。它们是电路中产生电流的能源。 用电压的形式表示的电源称为电压源，用电流的形式表示 的电源称为电流源。一、电压源及伏安特性1．理想电压源及其伏安特性 （1）理想电压源的定义?u s ? 0 ，端电 如果电源的端电压与输出的电流无关，即 ?i压是给定的时间函数，即u＝us(t)＝e(t)，称其为理想电压源。（2）理想电压源的符号 (a)为理想电压源的符号 (b)为直流电压源的符号 如果理想电压源的电压 为常数，即us＝Us，这种电 源称为直流电压源（又名恒 压源）。也是电池的图形符 号，短线段表示电源的低电 位端（负极），长线段表示 电源的高电位端（正极）。 （3）为理想电压源的伏 安特性曲线。 理想电压源的伏安特性 曲线是与一条平行于电流轴 的直线。u ＋Us－ us (a)Usi (b)(c)理想电压 源及伏安特性理想电压 源的表示符号电源端电压与电流的关系一般画 在由电压、电流组成的坐标图上，所 得的曲线称为电压源的伏安特性。（4）理想电压源的两个基本性质： ①理想电压源的端电压无论为恒定值US（即直流电压）或是 随时间变化的函数 uS(t)(即交流电压) ，与流过它的电流无关。 ②理想电压源的电压uS确定后，其输出的电流I 取决外电路 的电阻RL。a?U RLU=US IQ? QUS?理想电压源 外特性U?负载特性b理想电压源? I Q? I Q特性曲线I负载特性曲线的斜率为： ? ? tgUS ? RL IQ输出电流为： I Q ?US RLI Q? ?US ? RL2、实际电压源特性 （1）实际电压源模型 a I a I + 实际电路中，理想 Us + 电压源是不存在的。 C U 电源 U RL 象发电机、电池等各 R0 C 种电源都含有电动势 E(R0) b E和内阻R0，如图 （a） b (b) (a) 所示。为了便于分析， 一般采用图（b）所 实际电压源及模型 示的电路图表示实际 图中： U ―电源的端电压； 电压源的等效电路。 R0 ― 电源的内电阻； 实际电压源可以 RL ― 负载电阻； 用一个理想电压源与 I ― 负载电流; 内阻的串联来表示。 US = E ―电动势。RL（2）实际电压源及伏安特性 a I 按图中电压和电流的参考方向，并 + 根据全电路欧姆定律 Us US C I ? RL ? R0 U RL R0 得 I? L = US - I? 0 R R 因电源端电压 U = I ? L R b 所以 U= Us - I? 0 R 式中US、R0为常量，而U与I为变量。 U ?V ? RL取（∞，0）区间的所有值，得到 US ? A 伏安特性 电压源的伏安特性曲线AB 。US 伏安特性曲线的斜率为： tg? ? ? U ? ? R0 ?Q S U? 负载特性 ? R0 ? ? I ? A? 伏安特性曲线的斜率与电源的内阻R0有关， 0 B 内阻越小，伏安特性曲线越平缓。 I? US U? R0 ? RL 负载特性曲线的斜率为： tg? ? 电压源的伏安特性 I?3、直流电压源的功率平衡方程 将U= Us C I? 0两边同乘以I，得功率平衡方程： R IU= IUs C I2? 0 R 移项后得： IU+ I2? 0 = IUs R式中I2? 0是电源内阻R0上消耗的电功率， IU= I2? L是负载RL上消 R R 耗的电功率，这些电功率都是由电压源提供的，总电功率为IUs 。结论： 在一个电路中，实际电压源产生的电功率等于负载 取用的电功率与内阻上所消耗的电功率之和。二、电流源及伏安特性1．理想电流源及其伏安特性s 如果电源输出的电流与端电压无关，即 ?u ? 0 ，输出电流 是给定的时间函数，即i＝is(t)，称其为理想电流源。?i右图(a)为理想电流源的电路符号。 右图(b)为直流电流源的电路 符号。如果理想电流源的电流 为常数，即is＝Is，这种电源 is 称为直流电流源(又名恒流源)。uIs0Is i 图(c)为理想电流源的伏安 (a) (b) (c) 特性曲线。理想电流源的伏安 特性曲线是与一条与电压轴平 理想电流源及伏安特性曲线。 行的直线。理想电流源的两个基本性质： （1）理想电流源的输出电流无论为恒定值IS（即直流）或是 随时间变化的函数 iS(t)(即交流) ，均与其端电压无关。 （2）理想电流源的电流IS〔或iS(t) 〕确定后,其端电压U取决于 外电路的电阻RL。a?UIRLU Q?UQ?理想电流源 外特性U Q??Q?IS负载特性?b理想电流源模型0?IS 理想电流源特性曲线I负载特性曲线的斜率为： tg? ?UQ IQ?UQ IS? RL理想电流源的端电压U： U Q ? I S RL? U Q? ? I S RL2、实际电流源及伏安特性 （1）电流源的模型 实际电流源的也是有内阻的，实际电流源可以用一个恒流 源与内阻的并联来表示，其电路模型如下图。如光电池等。a IaIsI0R0I由图可知：I ? I S ? I 0RL+IS(R0)C电源URLUb又因为：I 0 ?U R0b (a)电流源模型U 所以：I ? I S ? R0UA?（2）电流源的伏安特性当I ? 0时，U ? I S R0，得A点。I S R0电流源外特性当U ? 0时，I ? I S，得B点。直线AB为电流源的伏安特性曲 线。 I R 伏安特性曲线斜率为： ? ? ? S 0 ? ? R0 tg IS??IS0BI电流源伏安特性 a IsI0R0IU A ? I S R0RL电流源外特性UbU?? Q负载特性电流源模型0U 负载特性曲线斜率为： tg? ? ? RL I??I?B??IsI结论： 当RL=∞（开路）时，I=0，Q点与A点重合。 当RL= 0（短路）时，U=0，Q点与B点重合。 RL越大，端电压U越大，电流I越小。3、直流电流源的功率平衡方程将I= Is CU/R0两边同乘以U，得直流电流源电路功率平衡方程：UI= UIsC U2/R0移项后得： UI+ U2/R0 = UIs 式中U2/R0是电源内阻R0上消耗的电功率， UI= I2? L是负载RL上 R 消耗的电功率，这些电功率都是由电流源提供的，总电功率为IsU 。 结论： 在一个电路中，电流源产生的电功率等于负载消耗的电功率与内阻上所消耗的电功率之和。三、电压源与电流源的等效变换由以上分析已得：电压源伏安特性方程为 I= Us /R0 - U/R0 电流源伏安特性方程为 I= Is CU/R0 若以上两个方程相等，则电压源和电流源对外电路具有相同的 伏安特性。 以上两个方程相等的条件为： （1）理想电压源串联的内电阻必须等于理想电流源并联的内电阻。 （2）理想电压源的电压US 必须等于ISR0 （电流源的开路电压）。或理 想电流源的电流IS必须等于US / R0 （电压源的短路电流）。 （3）理想电压源的电压US 的方向与理想电流源的电流IS的方向相反。+Usa II0R0aRLICUR0IsUbRLb 电压源模型电流源模型实际电压源和实际电流源等效变换的条件：?aUS? R0IS ?US ? ; R0 ? R0 ? R0??aR0IS?b实际电压源? U S ? I S R0 ; R0 ? R0??b实际电流源注意：（1）电压源和电流源的等效变换是对外电路而言的。对 电源内部是不等效的。因为电源开路时，I=0，电压源内阻 上不消耗功率；而电流源内阻上有功率消耗。当电源两端 短路时，电压源内阻消耗功率；而电流源内阻无功率消耗。 +Usa II0a IsICUR0RLR0UbRLb（2）对于理想电压源与理想电流源是不能进行等效变 换的。因为理想电压源内阻R0=0，理想电流源内阻R0=∞， 故两者之间不可能满足等效变换的条件。四、电压源的工作状态①电压源开路（A点）：当开关断开 时，电路处于开路（空载）状态。 特征: U=US ，U′=0， IL=0 ，P =0 ②电压源短路（B点） 当电源的两端由于某种原因而连接 在一起时，则称为电源被短路。 特征: U’=U = 0 PE=SP=R0IS2=US2 /R0US ，I s ? I =0 R0 ， LI aa IIL L+UsCUU’ U’ U’ K bbR0RR L L L电压源工作状态U ?V ?外特性曲线， P =0， S ? A UIs称为短路电流，短路电流是很大 的，所以电压源不允许短路使用。 ③一般工作状态（除A、B点外） 当电源的两端连接负载时，则称为 一般工作状态。 特征:IL ? US ，U= RLIL R0 ? RL?0IS ?BU?I ? A?SR0电压源的伏安特性，P =UIL， PE=SP=R0IL2四、 额定值与实际值 额定值：制造厂为了使产品能在规定的工作条件下 正常运行而规定的正常容许值。 额定工作状态：设备在额定值下的工作状态称为额 定工作状态。 过载运行：设备在超过额定值下的运行状态称过载 运行 例：有一电热器从220v电源取用的功率为1000w，问 如将它接到110v电源上，则取用的功率为多少？ U 解:根据公式 I ? P R?UI得U 220 R? ? ? 48.4? P 100022U 110 P? ? ? 250 W R 48.422电压源和的电流源对照状态 电源 电压源 电流源 理想电压源 理想电流源端电压U开路US 0 0US R0ISR0 0 0 IS 内阻同为R0US 0× ×0 IS电流I 端电压U短路× ×电流I等效条件US ? IS R0不能等效US =ISR0例1: 求下列各电路的等效电源。 a a + + 2? 2? U 3? + U 5A 3? 5V ? ? C b (a) (b) 解: 2? + 5V C (a)+ 2? U + 5V2V ? b (c) a+a+ Ua 5A+a3?(b)U ? b?b+ 5V C(c)+ U?b例2: 试用电压源与电流源等效变换的方法，计算2? 电阻中的电流。1?2A 3? + 6V C 6? + 12V C (a) 1? 2?解:I 2A 3? 2AC1? 1? 2V6? (b)由图(d)可得C 2? I 4A (c) 2?8?2 I? A ? 1A 2? 2? 22? 2V 2? 2? + 8V C (d)+++ 2? 2V 2?ICI试用电压源与电流源等效变换的方法计算图示 例3： 电路中1 ?电阻中的电流。 2 ?+ 6V + 4V 2A 6? 4? I3?1?解：统一电源形式2? 2?3? 2A2A6? 1A4?1? I 4A2? 1A4?I1?2?2?II4?1A 8V 1?2?4A 1A4?I 1?8V2?1?1A4?4?I2? 1? 2?I1?4? 4?I1?6V3A2A1AI?6 ? 2( A) 2 ?1
第三节 基尔霍夫定律对于无分支或有分支但可用串并联进行化简的电路,可以应 用欧姆定律求解,这样的电路称为简单电路,如图(a)所示。 对于不能利用串并联进行化简，且单独应用欧姆定律无法求 解电压或电流的电路，称为复杂电路，如图（b）所示。4? 4?? 8V_2?8? 10?I1? 4? 10?+ 6V 3? 2A 6?+ 4V -I1?4?图a 简单电路图b 复杂电路分析与计算电路的基本定律除了欧姆定律外，还有基尔霍夫 电流定律和基尔霍夫电压定律。基尔霍夫电流定律应用于节点，基 尔霍夫电压定律应用于回路。名词注释： (１)支路：电路中的每一个分支称为支路。 (２)支路电流：流经一条支路的电流称为支路电流。 (３)局部电压：支路中部分电路两端的电压称为局部电压。 (４)节点：三条或三条以上支路的联结点称为节点。 (５)回路：电路中任一闭合路径称为回路。 (６)网孔：内部不含任何支路的回路称为网孔。I1 U1Ｒ３c＋Ｒ１ａＲ２I2 U2d＋US1－ －US1b例bI2 I1节点：a、 b、… ... (共4个）I6 R6aI4 I3cI5支路：ab、ad、… ... （共6条）d+ US2-R3回路：abda、 bcdb、 … ... （共7 个）一、基尔霍夫电流定律（又称为节点电流定律) （Kirchhoff’s Current Law,简写为KCL） 1．基尔霍夫电流定律:在任一瞬间，流入某一个节点 的支路电流之和等于流出该节点的支路电流之和。I1 A I3 I2 R2 R3BI4 ?+US1R1US2C?R4 IS假设各支路电流如图 所示，根据 KCL，得: 节点A：I1＋I2＝I3 节点B：IS＋I2＝I4 节点C：IS＋I3＝I4+I1即： I k ? 0 ?节点C的电流方程移项后，得：IS＋I3-I4-I1＝0KCL也可表述为： 在任一瞬间，一个节点上所有支路电流的代数和恒等于零。 若规定流入节点的支路电流取正号，则流出节点的支路电 流就取负号，反之亦然。例OI2 I1设流入节点电流I1、I2取正号，流出节点电流I3、I4取负号，由KCL得：I3I1? I3? I2? I4 ? 0I4即：?Ik ?14k?0对于连接n条支路数的节点， KCL的数学表达式为：?Ik ?1nk?0式中Ik表示流入或流出节点的第k条支路的电流，n 为该节点相连的支路数。 节点电流定律反映了通过节点电流的连续性，在节 点上电流即不会积累，也不会消失，流入等于流出。2．广义基尔霍夫电流定律：对于一个封闭曲面包围的部分电路而言，流入的电流之和等于流出的电流之和。例 例I=? I1 I2+_US1R1+ R2 _ US2 R4R3+ _ US3I3I1+I2=I3I=0例题：电路如图。已知 I1 = 4A，I2 = - 2A，I3 =1A，I4 = -3A， 求电流I5 的数值并判断它的实际方向。I3? ?I1I2I5解：对节点而言，设流入节点的电 流取正号，流出节点的电流取负号，按 KCL可以列方程如下：I1 ? I 5 ? I 2 ? I 3 ? I 4 ? 0I4由上式得： I 5 ? I 2 ? I 3 ? I 4 ? I1 代入数值，求得I5 ? ?2 A ? 1A ? 3A ? 4 A ? ?8 A由于I5的结果是负值，所以电流I5 的实际方向与图示的参 考正方向相反。 通过此题，应注意在列方程时，常与两套符号打交道， 一是依据设定的正方向――流入为正，流出为负所确定的 “+‖、“ -‖号。二是实际电流本身的正负。两者不可混为一 谈。二、 基尔霍夫电压定律（又称为回路电压定律) （Kirchhoff’s Voltage Law ，简写为：KVL）基尔霍夫电压定律：在任一瞬间，沿任一回路绕行一周（顺时 针方向或逆时针方向），回路中各段电路上的电压的代数和恒 等于零。k ?1?U k ? 0n式中Ｕk为回路中第ｋ段电路上的电压，n为回路中所包含电 路的分段数。I1＋ ＋R1－ －R2 U2＋ ＋－U1US1－首先必须假定各段电路的电压方向（或 各支路的电流方向）和回路的绕行方向 （顺时针方向或逆时针方向），凡电压的 参考方向与所选回路绕行方向相同者，其 US2 电压前取正号；反之则电压前取负号。? U1 ? U S1 ? U S 2 ? U 2 ? 0列电压方程时要遵循的规则： a c ＋ d － － ＋ （1）首先要在电路图上标出电 U1 U2 ＋ ＋ 流、电压（或电动势）的参考方向 R3 US2 US1 以及回路的绕行方向。 － － （2）凡电压的参考方向与所选 回路绕行方向相同者，其电压前取 b 正号；反之则电压前取负号。 回路acba : ?U1 ? U S1 ? U ab ? 0 （3）凡电流的参考方向与所选 回路abda : U ab ? US2 ? U 2 ? 0 回路绕行方向相同的，则其电流在 电阻上所形成的电压取正号，反之 回路acba : ?I1R1 ? U S1 ? I ab R3 ? 0 则取负号。 回路abda : I ab R3 ? U S 2 ? I 2 R2 ? 0 （4）凡电动势的参考方向与所 选回路循行方向相反者，取正号， 一致者则取负号。R1I1R2I2例题：已知电路如图所示，各参数已标在图上，试求2AI R 2、 R 2、R1 、R2和U S的值为多少？ U 3? a 2? I R2 解：由于2Ω 电阻与R2是串联，流过的 ? ? ?R1 5V??3V1??US2R2 U R2电流相等。所以可求得：I R2 ?I R1b3V ? U R 2 ? 5V ? 0由欧姆定律求得： R2 ??3V ? 1.5 A 2?R2电阻两端的电压 R 2可以按KVL 在回路 中求得。 U 1 ? U R 2 ? 2VU R2 2V ? ? 1.33? I R 2 1.5 A求出I R1即可求出R1的阻值，对节点a应用KCL 2 A ? I R 2 ? I R1 ? 0 ? I R1 ? 2 ? 1.5 A ? 0.5 A U 5V 由欧姆定律求得： R1 ? R1 ? ? 10? I R1 0.5 AU S 可以根据 KVL在回路2中求得： S ? 2 ? 3V ? 5V ? 11 U V第四节一、支路电流法电路的基本分析方法对于复杂电路，我们已经学习了用基尔霍夫定律来求解， 从本节开始将对复杂电路的分析方法及基本定理进行学习讨论。支路电流法是在已知电源和电路参数的情况下，以支路电 流为未知量求解电路的一种方法，它是直接应用基尔霍夫定律 进行计算的。 未知量：各支路电流。 解题思路：根据基尔霍夫定律，列节点电流和回路电压方程， 然后联立求解。1、关于独立方程式的讨论I1 A I3 4 I2 B I4 ? 6 R4-+US1R1 1 R3R2 2CUS2-?35 ISUS+结论： 电路中有n个节点，b条 支路，独立的节点电流 方程有(n -1) 个；独立 的回路电压方程有 (bC n+1)个。独立方程总数 为：(n -1)+ (bCn+1)=b基尔霍夫电压方程：回路1： ? U S1 ? I1R1 ? I3 R3 ? 0 回路2：? I 3 R3 ? I 2 R2 ? U S 2 ? 0 回路3： ? U S 2 ? I S R4 ? U S ? 0 回路4： ? U S1 ? I1R1 ? I 2 R2 ? U S 2 ? 0 回路5： ? U S1 ? I1R1 ? I 2 R2 ? I S R4 ? U S ? 0 回路6： ? I3 R3 ? I 2 R2 ? I S R4 ? U S ? 0基尔霍夫电流方程： 节点A：I1＋I2＝I3 节点B：IS＋I2＝I4 节点C：IS＋I3＝I4+I1独立方程只有 2 个独立方程只有 3个2、求解电路问题的步骤：设所求解电路中有n个节点，b条支路，m个网孔。 1. 在电路图中假设各支路电流Ik及其参考方向，同时假定回路 绕行方向，并标注节点符号;2.根据基尔霍夫电流定律，列出n个电流方程中的 (n -1)个独立 的节点电流方程； 3.根据基尔霍夫电压定律，列出b个电压方程中的 m ( = b Cn+1) 个独立的回路电压方程; 4. (n -1)个独立的节点电流方程与m 个独立的回路电压方程联立 方程组； 联立方程组的方程总数：(n-1) +(bCn+1) = b 5. 求解联立方程组 对联立方程组进行求解，就可求得b条支路的未知电流Ik。例题1：设R1、R2、R3、 R4、US1、US2、IS为已知 数，求各支路电流。 分析：节点数 n=3 支路数 b=5，网孔数 m=3步骤1：对每一支路假设一 未知 电流I1、I2、I3、I4，设恒流源 两端的电压US。标注节点符号 US1I1AI2 R2 I4B+?R1 1? ?3 ISI3R3 2CUS2R4-US+步骤4：电压、电流方程联立方程组： 节点A：I1＋I2＝I3 节点B：IS＋I2＝I4 回路1： ? U S1 ? I1R1 ? I3 R3 ? 0 回路2：? I 3 R3 ? I 2 R2 ? U S 2 ? 0 回路3： ? U S 2 ? I S R4 ? U S ? 0 5. 求解联立方程组 对联立方程组进行求解，就可求得4条 支路的未知电流Ik和恒流源端电压US。步骤2：列独立基尔霍夫电流方程： 节点A：I1＋I2＝I3 节点B：IS＋I2＝I4 步骤3：假设各网孔（回路）的绕行 方向，列独立基尔霍夫电压方程： 回路1： ? U S1 ? I1R1 ? I3 R3 ? 0 回路2：? I 3 R3 ? I 2 R2 ? U S 2 ? 0 回路3： ? U S 2 ? I S R4 ? U S ? 03、支路电流法的优缺点优点：支路电流法是电路分析中最基本的方法之一。只要根据 基尔霍夫定律、欧姆定律列方程，就 能得出结果。 缺点：电路中支路数多时，所需方程的个数较多，求解不方便。二、节点电压法节点电压法是在已知电源和电路参数的情况下，以节点电压 为未知量求解电路的一种方法。 节点电压法中的未知数：节点电压“UX ” 节点电压法解题思路： 假设一个参考点，令其电位为零， 求其它各节点电压求各支路的电流或端电压节点电压法适用于支路数多，节点少的电路。如下图：UaR1 +US1 R2 US2 -abR3 + US3 -+R4该电路共有a、b两个节点， b设为参考点后，仅剩一个未 知数Ua （即a点电压）。ISR4a.b节点的电流方程:aI1I3R3 R5bI5I6R6?a点 b点I1 ? I 2 ? I3 ? I S ? 0R1? ?I2R2I3 ? I S ? I5 ? I6 ? 0U a ? U S1 I1 ? R1I2 ? Ua R2I3 ?Ub R5U a ? I1R1 ? U S1U S1US2?U a ? R2 I 2c该电路共有a、b、c三个节 点，选取电压源的公共端c作为 零参考点，设a、b节点电压为 Ua、 Ub 。首先列a、b两节点的 基尔霍夫电流方程；然后根据 欧姆定律各支路电流与a、b两节 点电压Ua、 Ub的关系式；最后建 立a、b两节点的电压方程。U ab ? U a ? Ub ? R3 I 3U a ?Ub R3U b ? R5 I 5U b ? R6 I 6 ? U S 2I5 ?Ub ?U S 2 I6 ? R6将各支路电流表达式代入节点电流 方程，并进行整理。得如下方程：?1 1 U 1 ? 1 ? ? ? ?U a ? U b ? ? I S ? S1 节点a : ? R1 R2 R3 ? R3 R1 ? ? ? 1 US2 1 1 1 ? 节点b : ? U a ? ? ? ? ?U b ? I S ? ?R R R ? R3 R6 5 6 ? ? 3令：1 G1 ? R11 G2 ? R21 G3 ? R31 G5 ? R51 G6 ? R6电阻的倒数称为电导。 则得：节点a :节点b :?G1 ? G2 ? G3 ?Ua ? G3Ub ? ?I S ? G1U S1 ? G3Ua ? ?G3 ? G5 ? G6 ?Ub ? I S ? G6U S 2Gbb ? G3 ? G5 ? G6令： Gaa ? G1 ? G2 ? G3Gab ? Gba ? G3两方程变为节点a : GaaU a ? GabUb ? ?I S ? G1U S1节点b : ? GbaU a ? GbbUb ? I S ? G6U S 2ISR4式中： Gaa ? G1 ? G2 ? G3aI1I3R3 R5bI5I6R6?称为节点a的自电导R1? ?I2R2Gbb ? G3 ? G5 ? G6称为节点b的自电导Gab ? Gba ? G3称为节点a、b间的互电导U S1US2?c注意： （1）与电流源串联的电阻在方程中不出现，对结果无影响。 （2）若支路中只有理想电压源，而无串联电阻时，则该节点 的电压为已知，可不列该节点的电压的电压方程。节点电压方程节点a : GaaU a ? GabUb ? ?I S ? G1U S1 节点b : GbbUb ? GbaU a ? I S ? G6U S 2IS列写节点电压方程的一般规律： （1） 任一节点的电压与自电导相乘之 积减去所有相邻节点的电压与互电导之 I 6 积，等于与该节点相连接的电流源电流 的代数和再加上与该节点相连的所有电 R6 压源的电压乘以其支路电导的代数和。 （2）对于电流源，流入节点的电流前 ? 面取正号，流出节点的电流前面取负号。 （3）对于电压源, D+‖极靠近节点的电 ? 压前面取正号， “-‖极靠近节点的电压 前面取负号。 （4）节点电压与自电导乘积项前面取 正号，节点电压与互电导乘积项前面取 负号。aI1I3I2R2bI5R5R1? ?R3U S1US2c例题用结点电压法计算图中各支路的电流。R1 ? 4?, R2 ? 6?, R3 ? 2?, R4 ? 4?.I3 I2 I1 12V 6A R1 R2 I4R3I5 R4I3 I2 R1R2解对于 a 点： U a ? 12V 对于 b 点：?1 1 ? 1 1 ? ? ?U b ? U a ? U c ? 6 ?R R ? R1 R3 3 ? ? 1aI1bI4R3cI512V6AR4对于 c 点：O? 1 1 1 ? 1 1 ? ? ? ?U c ? U a ? U b ? 0 ?R R R ? R2 R3 3 4 ? ? 2R1 ? 4? 代入数值 R2 ? 6?a 点：U a ? 12VR3 ? 2?R4 ? 3?1 1 ?1 1? ? b 点： 4 ? 2 ?U b ? 4 U a ? 2 U c ? 6 ? ? 1 1 ?1 1 1? ? c 点： 6 ? 2 ? 3 ?U c ? 6 U a ? 2 U b ? 0 ? ?a 点： U a ? 12V3 1 1 b 点： U b ? U a ? U c ? 6 4 4 2 1 1 Uc ? Ua ? Ub ? 0 c 点： 6 2a 点：U a ? 12V b 点： 3Ub ? U a ? 2Uc ? 24 c 点： 6U c ? U a ? 3Ub ? 0U a ? 12V? 2U a ? 4U C ? 24U a ? 12V代入U c ? 12VUb ? 20V解得：U a ? 12VUb ? 20VU c ? 12VI3 I2 R1R2再根据各支路伏安关系得： aI1 12V 6Ab I4 R 3cI5 R4OU a ? 12VUb ? 20VU c ? 12VU a ? U b 12 ? 20 I2 ? ? ? ?2A R1 4 U a ? U c 12 ? 12 I3 ? ? ?0 R2 6 U b ? U c 20 ? 12 I4 ? ? ? 4A R3 2I5 ? U c 12 ? ? 4A R4 3R1 ? 4? R2 ? 6? R3 ? 2?R4 ? 3?I1 ? 2A第五节 电路的基本定理电路的基本定理有：叠加原理、戴维南定理等。一、叠加原理叠加原理是线性电路的一个重要性质。叠加原理：在线性电路中，当有两个或两个以上的独立电源同时作用时，任何一条支路的电流或电压，都可以看成是由 电路中各个独立电源（电压源或电流源）单独作用时，在此支 路中所产生的电流或电压的代数和。 R2 所谓电路中各个电源单独作用，就是将电路中其余理想电源 + 置0，即假设其余理想电压源短接， US1 R1 C 使其电压为零；其余理想电流源 开路，使电流为零。 I2 I 3 R3 ISUS1+ CIS1 I1 I2 R2US1+ C IS1I1 ' I2 'R2R1=＋ CR1US1+IS1 I1'' I2'' R2R1(a)原电路(b)US1 单独作用 叠加原理(c)IS单独作用由图 (b)，当US1 单独作用时U S1 I ?I ? R1 ? R2' 1 ' 2由图 (c)，当 IS1 单独作用时R2 I ?? I S1 R1 ? R2& 1R1 I ? I S1 R1 ? R2& 2根据叠加原理，得 同理： I2 = I2 + I2' ''U S1 R2 I1 ? I ? I ? ? I S1 R1 ? R2 R1 ? R2' 1 & 1?U S1 R1 ? I S1 R1 ? R2 R1 ? R2用支路电流法证明叠加原理：列方程组: 解方程组:I 1 ? I S1 ? I 2(1) ? R2(1) ? R1US1+(1)CIS1 I1I2 R2U S1 ? I 1 R1 ? I 2 R2 (2)R1I 1 R2 ? I S1 R2 ? I 2 R2 U S1 ? I 1 R1 ? I 2 R2(2) ? (3)(3) (2)I 1 R1 ? I S1 R1 ? I 2 R1 U S1 ? I 1 R1 ? I 2 R2(2) ? (4)(4) (2)U S1 ? I1 R2 ? I S1 R2 ? I1 R1U S1 ? IS1 R1 ? I 2 R1 ? I 2 R2U S1 R2 I1 ? ? I S1 R1 ? R2 R1 ? R2I1'U S1 R1 I2 ? ? I S1 R1 ? R2 R1 ? R2I1'' I2 ' I2''注意事项：① 叠加原理只适用于线性电路，即电路中各元件的电压、电 流关系为线性。 U S1 ? IS1 R1 ? I 2 R1 ? I 2 R2 ② 线性电路的电流或电压均可用叠加原理计算。 但功率P不能用叠加原理计算。例：? ? ? ? P1 ? I12 R1 ? ( I1 ? I1? )2 R1 ? I1 R1 ? I1? 2 R12③所谓电路中各个电源单独作用，就是将电路中其余理想电 源置0，对电路不起产生作用。④ 不作用电源的处理： US = 0，即将US短路； Is=0，即将 Is 开路 。 ⑤ 解题时要标明各支路电流、电压的参考方向。 若分电流、分电压与原电路中电流、电压的参考方向相反 时，叠加时相应项前要带负号。 ⑥ 应用叠加原理时可把电源分组求解 ，即每个分电路中的电 源个数可以多于一个。例1：电路如图，已知 US1 =10V、IS=1A ，R1=10? ，R2= R3= 5? ，试用叠加原理求流过 R2的电流 I2 和理想电流源 IS 两端的 电压 US。 R2 R2 R2+US1CR1I2 R3 IS (a)I3+USUS1+ CR1I2 ' R3+ I?3US'R1?? I2 ? I 3 R3 IS+ CUS ?C(b) US1单独作用 将 IS 断开C(c) IS单独作用 将 US1短接解：设流过R3的电流为I3， 其方向如图所示。 根据叠加原理将原电路分解成两个电路,如图（b)、（c)。由图(b)得U S1 10 ? ? I 2 ? I3 ? ? A ? 1A R2 ? R3 5 ? 5例1：电路如图，已知 US1 =10V、IS=1A ，R1=10? ，R2= R3= 5? ，试用叠加原理求流过 R2的电流 I2 和理想电流源 IS 两端的 电压 US。 R2 R2 R2+US1CR1I2 R3 ISI3+ CUSUS1+CR1I2 ' R3I 3? US'+ C? I 3? I2 ?R1 R3 IS+ CUS ?(a)(b) US1单独作用(c) IS单独作用R3 5 ? IS ? ?1 ? 0.5A 解：由图(c) I 2? ? R2 ? R3 5?5 R2 5 ? I 3? ? IS ? ?1 ? 0.5A R2 ? R3 5?5? ? 所以 I 2 ? I 2 ? I 2? ? 1A ? 0.5A ? 0.5A ? ? U S ? ( I 3 ? I 3?) R3 ? (1 ? 0.5) ? 5 ? 7.5V二、二端网络及戴维南定理在实际应用中，有时不需要把所有的电流都求出来，而只需 求某一特定支路的电流或电压，在这种情况下，利用戴维南定 理(等效电压源定理)较方便。1、二端网络：二端网络：只要具有两个出线端的任何一个电路或部分电 路，都称其为二端（一端口）网络。用一方框表示。 无源二端网络：不含电源的二端网络。用标注P的方框表示。 a a R4 R1 R2 IS Us+C PIS+CUSR3R3b 无源二端网络b无源二端网络有源二端网络：含有电源的二端网络。用标注A的方框表示。a +USaCR2R1ISR3AbR3b有源二端网络 有源二端网络无源 二端 网络a b无源二端网络可 化简为一个电阻aRb（戴维南定理）+ U _SR0a电压源有源 二端 网络ab有源二端网络可化 简为一个电源b aIS R0 电流源（诺顿定理）b2、戴维南（戴维宁）定理戴维南定理： 任何一个有源二端网络，对外电路来说，都可以 用一个电压为US的理想电压源和内阻 R0 串联的电压源 来等效代替。a IaR0IRLA+U+CRLUSb+ _UCb有源二端网络 等效电源+ A U0 R0 C R0 + + _ US=UO C等效电源的电压为US 就是有源二端网络的开路 电压U0，即将负载断开后 a 、b两端之间的电压。 等效电源的内阻R0等于有源二端网络中所有电源 均置0（理想电压源短路，理想电流源开路）后所 得到的无源二端网络 a 、b两端之间的等效电阻。例1：电路如图，已知US1=40V，US2=20V，R1=R2=4?，R3=13 ?，试用戴维南定理求电流I3。+ US1 CR1+ US2 CR2R3I3R0 US+ _R3I3有源二端网络等效电压源注意：“等效”是指对端口外等效 即用等效电源替代原来的二端网络后，待求支路的 电压、电流不变。例1：电路如图，已知US1=40V，US2=20V，R1=R2=4?，R3=13 ?， 试用戴维南定理求电流I3。 I + + + + + US1 US1 US2 US2 C C C C R3 I U0 3 R2 R2 R1 R1－解：(1) 断开待求支路，求等效电源的电压 US。 根据KVL得：U S 2 ? U S1 ? I ( R1 ? R2 ) ? 0U S1 ? U S 2 40 ? 20 I? ? A ? 2.5 A R1 ? R2 4?4US = U0= US2 + I R2 = 20V +2.5 ? 4 V= 30V 或： US = U0 = US1 C I R1 = 40V C2.5 ? 4 V = 30V US也可用结点电压法、叠加原理等其它方法求。例1：电路如图，已知US1=40V，US2=20V，R1=R2=4?，R3=13 ?， 试用戴维南定理求电流I3。 a a + + + + + US1 US1 US2 US2 C C C C R0 R0 R2 R1 R2 R1 所有电源置0－b b 解：(2) 求等效电源的内阻R0 将所有电源置0（理想电压源短路，理想电流源开路） 从a、b两端看进去， R1 和 R2 并联 R1 ? R2 所以，R0 ? ? 2? R1 ? R2 求内阻R0时，关键要弄清从a、b两端看进去时各电阻之间 的串并联关系。例1：电路如图，已知US1=40V，US2=20V，R1=R2=4?，R3=13 ?，试用戴维南定理求电流I3。a解：(3) 画出等效电路求电流I3US 30 I3 ? ? A?2A R0 ? R3 2 ? 13R3 + _ US=30VR0=2?I3b例2：IGaIG G RGGRG+U C 已知：R1=5 ?、 R2=5 ? R3=10 ?、R4=5 ? US=12V、RG=10 ? 试用戴维南定理求检流计中的 电流IG。Sb+ USC有源二端网络解: (1) 求开路电压U0+aI1 I2U0US 12 I1 ? ? A ? 1.2A R1 ? R2 5 ? 5 US 12 I2 ? ? A ? 0.8A R3 ? R4 10 ? 5US' = Uo = I1 R2 C I2 R4 = 1.2 ? 5VC0.8 ? 5 V = 2V 或：US' = Uo = I2 R3 C I1R1 = 0.8? 10VC1.2 ? 5 V = 2VCb+UC S (2) 求等效电源的内阻 R0a从a、b看进去，R1 和R2 并联，R3 和 R4 并联，然后再串联。R0 bR1 ? R2 R3 ? R4 所以，R0 ? ? R1 ? R2 R3 ? R4 ? 5.8 ?a a IG G RG b + USR0? US+ _RGIGbC解：(3) 画出等效电路求检流计中的电流 IG ? US 2 IG ? ? A ? 0.126 A R0 ? RG 5 .8 ? 10第五节 一阶电路的时域响应在前面几节的讲解中，我们主要对电阻电路进行了 分析和计算，讨论的主要是电路的稳定状态。本节主要 分析RC及RL一阶线性电路的时域响应（又称过渡过程）。 一阶电路: 仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性 电路, 且由一阶微分方程描述，称为一阶线性电路。 电路的稳定状态（简称稳态）： 稳定状态就是电路中的电流和电压在给定的条件下 已达到某一稳态值，而与时间没有关系。 电路的时域响应（又称过渡过程）： 当电路结构或电路中的参数等突然发生变化时，电 路从原来的稳态变化到新的稳态,电路中的电量随时间 变化的函数称为该电路时域响应（又称过渡过程）。K+ _RR+UuCCU _CuC电路原结构电路新结构过渡过程 原稳态 新稳态原稳态uCU过渡过程新稳态t 电路时域响应分析的内容: (1) 过渡过程中电压、电流随时间变化的规律。 (2) 影响过渡过程快慢的电路的时间常数。一、电阻元件、电感元件与电容元件1、电阻元件根据欧姆定律得出:u ? iR电阻元件的参数u R? i线性电阻i+ u _t 0称为电阻，电阻具有对电流起阻碍 作用的性质。 电阻消耗能量：t 0RW ? ? uidt ? ? Ri 2dt ? 0表明电能消耗在电阻上，全部转换为热能散发。２、电容元件 （1）物理意义电容：C ? q (F)u电容器的电容与极板的尺寸及 其间介质的介电常数等关。C ??Sd(F)i+单位及其换算关系： 1F ? 106 ? F 1? F ? 106 p FS ― 极板面积（m2） d ―板间距离（m） ε―介电常数（F/m）u _C电容元件 当电容器两端的电压u变化时，在电路中产生电流。 q dq du q ? Cu C? i? ?C dt dt u（2）电容元件的储能du i ?C dt 将上式两边同乘上 u，并积分，则得：根据：?t0ui dt ? ?u01 2 Cudu ? Cu 2电场能1 W ? Cu 2 2即电容将电能（电流所做的功）以电场能（电场所具有的能量） 的形式储存在电容中，当电压增大时，电场能增大，电容元件 从电源取用能量；当电压减小时，电场能减小，电容元件向电 源放还能量。无论电压是正值还是负值，电感元件储存的能量 均大于零。３、电感元件描述线圈通有电流时产生磁场、储存磁 场能量的性质。（1）物理意义电感: L ?μS N2 L? (H) lψ NΦ ? i i3i +u?L l1H ? 10 mHSS ― 线圈横截面积（m2）, l ―线圈长度（m）, N ―线圈匝数,μ―介质的磁导率（H/m）（2）自感电动势方向的判定eL ? ? dψ di ? ?L dt dti (t )+ uL eL习惯上规定:取电感上i(t)和u(t)为关联参考 方向（即 u(t) 和i(t) 的参考方向一致）； eL 的参考方向与i(t)的参考方向一致。u (t )L-+电感元件的符号结论：eL的实际方向总是与磁通量的变化方向相反， eL的大小与di 电流的变化率 成正比。 dt（3）电感元件的储能根据KVL可得：i (t )+uL eL +u ? uL ? u ? eL ? 0di u ? ?e L ? L dt t i 1 2 ?0 ui dt ? ?0 Li di ? 2 Li将上式两边同乘上 i ，并积分，则得：u (t )L磁场能1 2 W ? Li 2即电感将电能转换为磁场能储存在线圈中，当电流增大时，磁 场能增大，电感元件从电源取用电能；当电流减小时，磁场能 减小，电感元件向电源放还能量。无论电流是正值还是负值， 电感元件储存的能量均大于零。二、换路定律1.电路中产生过渡过程的原因电路中的电源及无源元件的断开或接入、外加信号的突然 变化、元件参数的变化等都可能使电路的状态发生转变，电路 中的能量的分配随着发生变化。 电容、电感是储能元件， 由一种能量状态到另一种新的能 量状态是不能跃变的，必须经历过渡过程。 2、产生过渡过程的必要条件： (1) 电路中含有储能元件 (内因) 1 2 ∵ C 储能： WC ? CuC ∴ uC不能突变 2 1 2 ∵ L储能： WL ? LiL ? iL不能突变 2 (2) 电路发生换路 (外因) 换路 ：在电路理论中，将电路结构或参数的变化所引起的 电路状态变化统称为换路。 如：电路接通、切断、 短路、电压改变或参数改变。例： +US -K i1 R 1 + R2 R3iu2-i2Oi1 i2t闭合K前：i1 ? i2 ? 0, u R1 ? u2 ? 0 闭合K后：电流 i1、i2 分别随电压 UＳ、u2 比例变化。US i1 ? R2 R3 R1 ? R2 ? R3u2 ? U S ? i1R1i2 ?u2 U S ? i1 R1 ? R3 R3K所以纯电阻电路不存在过渡过程。如右图所示，将开关 K的 位置变换时，电容器从充电 + 状态转换为放电状态，电路 Us 的结构发生了变化。Ric R1t=0C+uc3. 换路定律 含有储能元件的电路在换 路瞬间，电感元件中的电流 U + s 不能跃变，电容元件上的电压 不能跃变。这就是换路定律。换路定律的数学语言表达方式： 设：t =0 ― 表示换路瞬间 (定为计时起点) t =0-― 表示换路前的终了瞬间 t =0+―表示换路后的初始瞬间（初始值） 则换路定律可用下述公式表示： 电容电路换路定律： uC (0? ) ? uC (0? ) 电感电路换路定律：R1K 2R1ict=0C+uc??L (0? ) ? ??L (0? )注：换路定律仅用于换路瞬间来确定过渡过程中uC、 iL初始值。4. 初始值的确定初始值：电路中各 u、i 在 t =0+ 时的数值。 初始值求解要点： (1)求uC( 0+)、iL ( 0+) ①先由t =0-（换路前）的电路求出 uC ( 0C ) 、iL ( 0C )； ②根据换路定律求出 t =0+ （换路后）时的uC( 0+)、iL ( 0+) 。(2)求其它电量初始值①列t =0+电压方程、电流方程； ②在电压方程中，代入 t =0+时的uC = uC( 0+)、 在电流方程中，代入 t =0+时的 iL = iL ( 0+)。 ③解电压方程、电流方程；求t =0+的电路其它电量的初始值。例1．已知：换路前电路处稳态，C、 L 均未储能。试求：换路后电路中各 电压和电流的初始值。 解：(1)由换路前电路求 uC (0? ), i L (0? ) + 由已知条件知 uC (0? ) ? 0, iL (0? ) ? 0 US 根据换路定律得： uC (0? ) ? uC (0? ) ? 0K t = 0-CR2R1L??L (0? ) ? ??L (0? ) ? 0(2) 由t=0+电路，求其余各电流、电压的初始值 uC (0? ) ? 0 , 换路瞬间，电容元件可视为短路。 ? ?L (0? ) ? 0 , 换路瞬间，电感元件可视为开路。u2 (0? ) ? 0US ??C (0 ? ) ? ??1 (0 ? ) ? R1iC (0+ ) uC (0+)+u2(0+) _? (?C (0 ? ) ? 0)i1(0+ ) + US R1u L (0 ? ) ? u1 (0 ? ) ? U S(u L (0 ? ) ? 0)+ + u (0 ) _ 1 + _ uL(0+)R2iL(0+ )iC 、uL 可产生突变t = 0+等效电路结 论1、换路瞬间，uC、 iL 不能跃变, 但其它电量均可以跃变。 2、换路前瞬间，若储能元件没有储能, 换路后瞬间（t=0+）的等 效电路中，可视电容元件短路，电感元件开路。 3、换路前瞬间，若储能元件（电容和电感）储有能量（电场能 或磁场能）（即uC (0－) ? 0 或 iL(0－ ) ? 0 ），在换路后瞬间(t=0+) 等效电路中, 电容元件可用一理想电压源替代, 其电压为uc(0+); 电感元件可用一理想电流源替代，其电流为iL(0+)。 4、换路定律仅适用于换路瞬间，首先确定 t = 0－ 时电路中的电 容电压uC (0－)的值和电感电流iL(0－ ) 的值，然后再根据换路定 律求出 t=0+ 的电路中的电压和电流之的电容电压uC (0+)的值和电 感电流iL(0+ ) 的值， 即过渡过程的初始值。三、RC 电路的时域响应当RC电路接通直流电源（电容充电）或电路短接（电容放 电）时， 电路的响应是时间的函数，称为 RC电路时域响应。1、RC电路的零状态响应 换路前电容元件的初始储能为 零， 仅由电源激励所产生的电路 响应称为RC电路的零状态响应。 实质：RC电路的充电过程 分析：在t = 0时，合上开关K，此 时, 电路实为输入一个阶跃电压u， 如图所示。与恒定电压不同，其电 压u表达式 ? 0 t?0 u?? ?U S t ? 0 K + _t ?0i R? uR uCUS+_ucuC (0 -) = 0uUSO 阶跃电压t(1) uC的变化规律 ①列 KVL方程K +t ?0i RuR ? uC ? U Sdu ? i?C C dt? uR C_US+_ucduC ? RC ? uC ? U S dt一阶线性常系数非齐次微分方程uC (0 +) = 0 代入方程式得：②解方程 方程的通解:A ? ?U SuC ? U S ? U S e? t RC(t ? 0)单位: S? t ?u C ? U S ? Ae?t RC(t ? 0)令：? ? RC其中A是积分常数。由换路定则可知 ? 0时， t u（0?） u（0?） 0 ? C ? C称为RC电路的时间常数。则：u C ? U S ? U S e(t ? 0)③uC 的变化规律uC ? U S ? U S e稳态分量?t τuC ? U s (1? e ) (t ? 0)?t ?uCuC?电路达到 稳定状态 时的电压+US 63.2%US? uC ?? t uC暂态分量仅存在 于过渡 过程中o-36.8%US -US时间常数 ? 决定电路过渡过程变化的快慢。 当t=? 时，uC 从初始值上升到 稳态值的63.2% 。?表示uC从初 始值上升到稳态值的63.2%所需的时间。（2）电流 iC 的变化规律du C U s ? iC ? C ? e dt R（3）t ?(t ? 0)为什么在 t = 0时电流最大？uC、 iC 、uR变化曲线? t τiC u CUSUS RuC63.2%U? uCtuC ? U s ( 1 ? e)? t ?(t ? 0) (t ? 0)u R ? U s ? uC ? U s e当t=?时iCuR? ??（4）时间常数 ? 的物理意义R? ? R, C ? ? C时，? ? ? ?从uC 表达式及其曲线得 uC (? ) ? U S (1 ? e ?1 ) ? 63.2 %U S 出:C 越大uC达到稳态值所 需电荷越多，充电时间越长； ? 表示电容电压 uC 从初始值上升 R越大充电电流越小，充电 到 稳态值的63.2% 时所需的时间。 时间也越长。t0?U2?3?4?5?6?uC0 0.632US 0.865US 0.950US 0.982US 0.993US 0.998USuC0.632U结论： ? 越大，曲线变化越慢，uC 达到稳态时间越长。O?1 ?2?3?1 ? ? 2 ? ? 3t当 t = 5? 时, 暂态基本结束, uC 达到稳态值。2、RC电路的零输入响应 无电源激励, 输入信号为零, 仅由 电容元件的初始储能所产生的电路 + 响应称为 RC电路的零输入响应。 U 0 实质：RC电路的放电过程。换路前电路已处稳态 uC (0 ? ) ? U 0 t =0时开关K从 2 ? 1 ， 电容C 经电阻R 放电。 （1）电容电压 uC 的变化规律(t ? 0) ①列 KVL方程：2 t ?0KR+1uRCiC+ uC CCu C (0 ? ) ? U 0 ②解微分方程：齐次微分方程的通解：uC ? A e?t RC(t ? 0)u R ? uC ? 0 duC ? u R ? ??C R ιC ? Cdt根据换路定则 ，t ? 0 ? 时， u C (0 ? ) ? u C (0 ? ) ? U 0 , 可得代入KVL方程得 duC 一阶线性常系数 RC ? uC ? 0 齐次微分方程 dtA ? U0? t RCuC ? A e? U0 e?t RC③电容电压 uC 的变化规律uC ? U 0 et ? RC2 t ?0KR+(t ? 0)+U01uRC电容电压 uC 从初始值按指数规 律衰减，衰减的快慢由RC 决定。 （2）电流及电阻电压的变化规律 t ? du C U 0 RC iC ? C ?? e (t ? 0) dt R-iCu C (0 ? ) ? U 0+ uC CCuC、R 、uR iU0u R ? iC R ? ?U 0 e(3) uC 、 iC、?t RC(t ? 0)OU0 RuCuRtu R 变化曲线根据u C、 iC、 u R的表达式，绘制 u C、 iC、 u R的变化曲线如右图所示。由图可见，u R 与u C 绝对值相等， 方向相反，iC 与u R 方向相关联。??U0iC（4）时间常数物理意义uCt ?uC (t ) ? U 0 e当?t RCt ??? U0 e?(t ? 0)U0时uCOuC ? U 0 e ? 36.8%U 0?136.8%U 0物理意义： 时间常数 等于电压uC衰减到初始值U0的36.8%所需的时间。 (5 ) 暂态时间 理论上认为： ? ? 、u C ? 0 电路达稳态。 t 工程上认为：t ? (3 ~ 5)? 、 uC ? 0 电容放电基本结束。?tt?te? t??2?3?4?5?6?e?1e?2e?3e?4e?5e?6uC0.368U0 0.135U0 0.050U0 0.018U0 0.007U0 0.002U0当 t =5? 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。3 、RC电路的全响应 电源激励和电容元件的初始能量均不为零时，所产生的电路 响应，称为 RC电路的全响应。 i R K 求解方法有以下两种： t ?0 ①列出电路微分方程，利用初始条件 + + 直接求解。 US uC C _ _ ②分别求出电路的输入响应和零状态 响应，再用叠加定理求出全响应。 t =0-, uC (0-) = U0 （1） uC 的变化规律 根据叠加定理 i R K 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应uC ? U 0 e?t RC? U S (1 ? e?t RC+ US _) (t ? 0)t ?0C+ uC _t=0+, uC (0+) = U0结论1： 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应零输入响应? t RC ? t RC零状态响应全响应uC ? U 0 e? U S (1 ? e?) (t ? 0)(t ? 0)暂态分量? U S ? (U 0 ? U S )e稳态值 稳态分量t RC初始值结论2： 全响应 = 稳态分量 +暂态分量综上所述，可将计算线性电路暂态过程的步骤归纳如下： (1)按换路后的电路列出微分方程式； (2)求微分方程式的特解，即稳态分量； (3)求微分方程式的补函数，即暂态分量； (4)按照换路定则确定暂态过程时初始值，从而定出积分常 数。 分析较为复杂的电路的暂态过程时，也可以应用戴维宁定 理或诺顿定理将换路后的电路化简为一个简单电路(RC串联电 路)，而后利用由上述经典法所得出的式子。【例】 在下图(a)所示的电路中，US =9 V，R1=6 kΩ，R2= 3 kΩ ，C=1000 pF，uC(0-)=0。试求t≥0时的电压uC。 i1 K+_ t =0 R1 R2 iCUS 9Vi2+ uC_CK+ _ t =0 US 9Vi1R1 R2iC+C _t R0U S′R0iC + uC_ Ci2(a) 电路图+ uC_(b) t≥0时的等效电路应用戴维宁定理将换路后的电路化为图(b)所示等效电路(R0C串联电 路)。等效电源的电压和内阻分别为R2U S 3 ? 103 ? 9 ? US ? ? ? 3V R1 ? R2 (6 ? 3) ? 103 R2 R2 (6 ? 3) ? 106 R0 ? ? R1 ? R2 (6 ? 3) ? 103 ? 2 ? 103 ? ? 2k? 图(b)电路的时间常数为换路前电容C两端电压为uC (0? ) ? U 0 ? 0于是由电路全状态响应的表达式得：uC ? U 0 e?6?t RC ?? ?US (1? et 2?10?6?t RC)(t ? 0)? 5?105 t? ? R0C ? 2 ?10 ?1000?10 s ? 2 ?10 s3 ?12? 3( 1 ? e)V ? 3( 1 ? e)V三、RL电路的时域响应1、RL电路的零状态响应 换路前电感元件的初始储能为零， 仅由电源激励所产生的电 路响应称为RL电路的零状态响应。实质：电能转换为磁能。 Q i R （1）iL变化规律(t≥0) iL + uR + t=0+ 根据基尔霍夫电压定律，可得关 US L uL 于iL的微分方程： -US diL R ? iL ? dt L L解微分方程并利用初始值：( iL (0 ? ) ? 0, u L (0 ? ) ? 0)iL + uR 得微分方程的全解为： + t=0+ + t R ? US L uL U S U S ? Lt U S ? iL ? ? e ? (1 ? e ) R R R L ( iL (0 ? ) ? 0 , u L (0 ? ) ? U S ) 式中? 为RL电路的时间常数。? ?RiL (0 ? ) ? iL (0 ? ) ? 0QiR（2） i L uL 、uR 变化规律 、Us iL ? (1 ? e R?t ?)t ? ?(t ? 0)iL , u L , u RUsUs RuRiLdi uL ? L ? U se dt(t ? 0)t ? ?u R ? i L R ? U s (1 ? e(3)) (t ? 0)O 由图可见：uLti L、uL 、 R 变化曲线 ut ? 0 ? 时，iL (0 ? ) ? 0, u R (0 ? ) ? 0u L (0 ? ) ? U S , US t ? ?时，i L (?) ? , u R (? ) ? U S R u L (?) ? 0,2、 RL 电路的零输入响应无电源激励, 输入信号为零, 仅由 电感元件的初始储能所产生的电路 响应称为 RL电路的零输入响应。 实质：电感元件将电能转换为磁能。 (1) i L 的变化规律 根据基尔霍夫电压定律，可得关 于iL的微分方程： diL RiL ? L ?0 dt 解微分方程并利用初始值： t=0- + uR2 Q R + 1U0(t ? 0 ? ，i（0 ?） I 0 ? ? LiL + L uL-U0 ) RiL (0 ? ) ? iL (0 ? ) ? I 0得微分方程的全解为：u 2 t=0+ + RQ R +U01-iL + L uL-iL ? I 0 eR ? t L? I 0e?t ?L ? ? RU0 (t ? 0 ? ，i（0 ? ） I 0 ? ? ) L R(2)iL、u R、u L 变化规律? t?u 2 t=0+ + RQ R +U0iL ? I 0 e1(t ? 0 ? ，i（0 ? ） I 0 ? ? LiL + L uLdi uL ? L ? ?I 0 R e dt?t?-uR ? iL R ? I 0 R e(3)?t ?U0 ) RiL、u R、u L 变化曲线u L (0 ? ) ? ? I 0 RI0RI0i L , u R，u LuRiL由图可见： t ? 0 ? 时，i L (0 ? ) ? I 0 , u R (0 ? ) ? I 0 RO-I0RuLtt ? ?时，iL (?) ? 0, u R (?) ? 0u L (?) ? 0,3、 RL电路的全响应电源激励和电感元件的初始能量均不为零时，所产生的电路 响应，称为 RL电路的全响应。 L S t=0 ( U S ? 0 i L (0 ? ) ? 0 ) + （1） iL的变化规律 R u R0 + - R 根据叠加定理得： + US 全响应等于 零输入响应 与 L 零状态响应之和。 - Liu全响应 = 零输入响应 + 零状态响应? iL ? I 0 e? RtLUS ? ( 1? e R? RtL) (t ? 0 )结论1： 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应零输入响应 零状态响应全响应US iL ? I 0 e ? (1 ? e L ) (t ? 0) R ? Rt US US ? ? (I 0 ? )e L (t ? 0) R RL? Rt? Rt稳态值稳态分量初始值暂态分量结论2： 全响应 = 稳态分量 +暂态分量2. RL直接从直流电源断开(1) 可能产生的现象2 t=0+uRRL1)刀闸处产生电弧+U+iLU ? iL (0 ? ) ? R-iL (0 ? ) ? 0di ? u L ? ? eL ? L ? ? dt2 t=02)电压表瞬间过电压+U1VU V表 (0? ) ? i L (0? ) ? R表 ? ? R表 R当R表＞＞ R时，V表＞＞U．-SU ? i L (0 ? ) ? i L (0 ? ) ? RSuL -+uRRL+iLuL -U+ 12 t=02) 接续流二极管 VD U+ 1VDSS(2) 解决措施 1) 接放电电阻 R?2 t=0+uR RR?+ LiLuL-+uR R+ LiLuL-
例: 图示电路中, RL是发电机的励磁绕组，其电感较大。Rf是 调节励磁电流用的。当将电源开关断开时，为了不至由于励磁 线圈所储的磁能消失过快而烧坏开关触头，往往用一个泄放电 阻R? 与线圈联接。开关接通R?同时将电源断开。经过一段时间 后，再将开关扳到 3的位置，此时电路完全断开。已知U ? 220V, L ? 10H, R ? 80?, RF ? 30?。 电路稳态时S由1合向2。 1 (1) R?=1000?, 试求开关S由1合向2 瞬间线圈两端的电压uRL。 2 + (2) 在(1)中, 若使U不超过220V, 则 U 泄放电阻R?应选多大？ _ (3) 根据(2)中所选用的电阻R?, 试求 开关接通R?后经过多长时间，线圈 才能将所储的磁能放出95%？ (4) 写出(3) 中uRL随时间变化的表 示式。i 3 RF RSR?LU 220 I? ? ?2A R ? RF 80 ? 30(1) 开关接通R?瞬间线圈两端的电压为+_UuRL (0) ? ( RF ? R?) I ? (30 ? 1000) ? 2 ? 2060 V(2) 如果不使uRL (0) 超过220V, 则即(30 ? R?) ? 2 ? 220R? ? 80 ?S解: 换路前，线圈中的电流为1i 23 RFR?R L求所经过的时间i ? 0.446 A_UR? RF ? R? ? 80 ?30 ?80 t ? t ?19t 10 L i ? Ie ? Ie ? 2e ?19 t t ? 0.079 s0.446 ? 2e uRL ? ?i ( RF ? R?) (4) 若按R? ? 80?计算 ?19t uRL ? ?i (30 ? 80) ? ?220e VS(3) 求当磁能已放出95%时的电流 1 2 1 2 Li ? (1 ? 0.95) LI 2 2 1 1 2 ? 10i ? 0.05 ? 10 ? 22 + 2 21i 23 RFR?R L例: 求iL\、u(t)的变化规律 L t=0 S i (t ) 1H 4? R1 + + R2 R3 u(t ) U 12V 6? 3? -iL4? i L (0? )+UR112VR26?-t=0-时等效电路1.（三要素法） i L 变化规律i L ? i L (? ) ? [i L (0? ) ? i L (? )] e?t ?U 12 i L (0 ? ) ? i L (0 ? ) ? ? ? 1.2 A R1 ? R2 4 ? 6U i L (? ) ? R2 ? R3 R1 ? R2 ? R3i L (?)LS R3 + u(? ) 3? -+U4? R1?2AR2 12V 6? -? i L ? 2 ? (1.2 ? 2)e?6 t ? 2 ? 0.8e?6 t ( t ? 0 )L ?? R0 L ? R2 ? R3 R1 ? R2 ? R3 1 ? s 6t = ? 时等效电路 L 1HR1 4?R2 6?R3 3?2.R2 u ? iR3 ? ? i L ? R3 R2 ? R3 6? 3 ?6 t ? 6t u? ( 2 ? 0.8 e ) ? 4 ? 1.6 e V ( t ? 0 ) 6?3 用三要素法求 uu(t )变化规律u ? u(? ) ? [u(0? ) ? u(? )] e6 u(0? ) ? ? 1.2 ? R3 6? 3 2 ? ? 1.2 ? 3 ? 2.4 V 3?t ?R1 4? U1.2A R3 + u(0 ) 3? - ?+ -R2 6?t=0+等效电路R1 i L+-4? UR2 6?R3 + u(? ) 3? -iL ? 2 ? 0.8e2 1.2i L 变化曲线iL / A?6 tAt= ?时等效电路R2 u (? ) ? iL (?) ? R3 R2 ? R36 ? ? 2?3 ? 4V 9 L 1 ?? ? s R0 6 ?6 tOtu变化曲线4 2.4u ? 4 ? 1.6e ?6t Vu /Vu ? 4 ? (2.4 ? 4) e? 4 ? 1.6e?6 tV (t ?0)0t例: 已知：S 在t=0时闭合，换路前电路处于稳态。 求: 电感电流 i L和电压 L 。 u2? 1?R1IS S R2 3A t=0 2?R3iL+L u L 1H _ 2? R1 1?解: 用三要素法求解 (1) 求uL(0+) , iL(0+) 由t = 0?等效电路可求得2 i L (0 ? ) ? ?3 ? 2 A 1? 2 i L(0? ) ? i L(0? ) ? 2 A3A2?iLt = 0?等效电路2? R11?2?1?R3 2A + uL _R3ISS R2 3A t=0 2?L u 1H _ L+R1 2? R2i L(0? ) ? i L(0? ) ? 2 A由t = 0+等效电路可求得t = 0+等效电路2?R1 2? R21?R32? 2 uL ( 0 ? ) ? ? i L ( 0 ? ) ? ( ? 1) 2?2 ??4V (2) 求稳态值 i L (?)和uL (?)iL由t = ?等效电路可求得t = ?等效电路i L (? ) ? 0 VuL (?) ? 0 V2? R11? R3 2? 1? R3 L L u 1H _ LISS R2 3A t=0 2?+R1 2? R2(3) 求时间常数R0 ? R1 // R2 ? R3 L 1 ? ? ? ? 0.5 s R0 2 i L ? 0 ? ( 2 ? 0 ) e ?2 t ? 2 e?2t A ?2 t u L ? 0 ? ( ?4 ? 0 ) e ? ?4 e ? 2 t V?uL , i L2A0 -4V起始值稳态值tiL , uL变化曲线例2：换路前电路处于稳态。 试求图示电路中各个电压和电流的初始值。R + _ 2? U 8V i1 t =0 iC R1 + uC 4? _ RR2 4?CiL+ uL _R3 4? L+ _2? i1 U 8V R1iCR2 iL4? + uL _R34? L+ C 4? u_ C解： 由t = 0-电路求 uC(0C)、iL (0C) (1) 换路前电路已处于稳态：电容元件视为开路； 由t = 0-电路可求得： 电感元件视为短路。 R1 U 4 U i L (0 ? ) ? ? ? ? ? 1A R1 ? R3 R ? R1 R3 4 ? 4 2 ? 4? 4 4?4 R1 ? R3t = 0 -等效电路例2：换路前电路处于稳态。 试求图示电路中各个电压和电流的初始值。R + _ 2? U 8V i1 t =0 iC R1 + uC 4? _ RR2 4?CiL+ uL _R3 4? L+ _2? i1 U 8V R1iCR2 iL4? + uL _R34? L+ C 4? u_ C解：(1) i L (0? ) ? 1 A 由换路定则:t = 0 -等效电路uC (0? ) ? R3 i L (0? ) ? 4 ? 1 ? 4 Vi L (0 ? ) ? i L (0 ? ) ? 1 A uC (0? ) ? uC (0? ) ? 4 V例2：换路前电路处稳态。 试求图示电路中各个电压和电流的初始值。R + _ 2? t =0 iC R1 R2 4? C iL R3 4? L + _ i R 2? U 8V i 1 R1 4? iC + 4V _R2 iL4? CR34? 1A LU 8Vi1+ uC 4? _+ uL _t = 0 +等效电路解：(2) 由t = 0+电路求 iC(0+)、uL (0+)由图可列出 代入数据uc (0+)U ? Ri (0? ) ? R2 iC (0? ) ? uC (0? ) i (0? ) ? iC (0? ) ? i L (0? ) 8 ? 2i (0? ) ? 4iC (0? ) ? 4 i ( 0 ? ) ? iC ( 0 ? ) ? 1iL (0+)例2：换路前电路处稳态。 试求图示电路中各个电压和电流的初始值。Ri R 2? U 8V i 1 R1 4 ? iC + 4V _ R2 iL 4? C R3 4? 1A L+ _2? U 8Vt =0iC R1 + _ 4? uCR2 iL R3 4? 4?+ _i1+ uL _1 解：解之得 iC (0 ? ) ? A 3 并可求出uL (0 ? ) ?t = 0 +等效电路uc (0+)iL (0+)1 1 ? 4? ? 4 ? 4?1 ? 1 V 3 3R2 iC (0? ) ? uC (0? ) ? R3 i L (0? )计算结果：+ _R2? U 8V t =0iC R1 + _ 4? uC R2 iL R3 4? 4?i1+ uL _电量t ? 0? t ? 0?uC / V iL / A 4 14 1iC / A uL / V01 301 1 3换路瞬间， uC、i L 不能跃变，但iC、uL可以跃变。第1章结 束i+ u eLi+eL实+ u eLeL实- +-- +di ?0 dt+eL ? ? Ldi di ?0 eL ? ? L ? 0 i dt dt eL的实际方向与参考方向相反di ?0 i dt eL的实际方向与参考方向相同i+ +u eLieL实+ +u eL+eL实- -+i- di ?0 dteL ? ? L di ?0 dtdi di ?0 eL ? ? L ? 0 i dt dt eL的实际方向与参考方向相反eL的实际方向与参考方向相同
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