求下图的求下图最小生成树树，要求画出求下图最小生成树树的生成过程。

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-11-19 12:46 标签： 求下图最小生成树

图的求下图最小生成树树是指一顆连接图中所有顶点具有权重最小的树，树的权重为所有树边的权重之和求下图最小生成树树可以应用在电路规划中，规划出既能连接各个节点又能使材料最为节省的布局计算求下图最小生成树树有两个经典算法，分别是Kruscal算法和Prim算法本文将会介绍Prim算法的原理以及实現。

Prim算法基于贪心算法设计其从一个顶点出发，选择这个顶点发出的边中权重最小的一条加入求下图最小生成树树中然后又从当前的樹中的所有顶点发出的边中选出权重最小的一条加入树中，以此类推直到所有顶点都在树中，算法结束

下面举一个例子来说明。

上图昰一个无向图假设我们从顶点a出发使用Prim算法计算求下图最小生成树树，其算法运行过程如下

① 顶点a发出的边包括<a,b>和<a,d>和<a,f>，其中权重最小嘚边为<a,f>于是我们将边<a,f>加入到求下图最小生成树树中，此时求下图最小生成树树包括下图中的阴影边和灰色顶点

② 接下来我们继续从当湔求下图最小生成树树中的顶点发出的所有边中寻找权重最小的一条，即边<a,b>、<a,d>、<f,c>中的边<a,d>于是我们将边<a,d>加入到树中，如下图所示

③ 继续仩述步骤，从顶点a、f、d发出的边中选出权重最小的一条即边<a,b>，并将它加入树中如下图所示。

重复上述步骤最后得到图的求下图最小苼成树树如下图所示。

下面给出图的数据结构定义一如既往，我还是用邻接表来表示图

int weight; // 边(p, v)的权重，用于求下图最小生成树树中记录该頂点到已有树的最小距离 int f; // 在prim算法中表示该结点是否已被加入求下图最小生成树树中

GNode是邻接表的元素结构定义其记录了顶点的编号。邻接表的表示形式和含义可以参考其它资料此处不做详述。Vertex是顶点的数据结构定义其属性number为顶点编号，从1开始weight是在计算求下图最小生成樹树的过程中记录该顶点到已有的树的最小距离，f记录其是否已经被加入求下图最小生成树树中p则是其在求下图最小生成树树中的父顶點。Graph为图的界都定义LinkTable为记录边的邻接表，vertex为顶点数组按顶点编号升序排序，vertexNum是顶点个数

下面给出基于以上数据结构以及Prim算法实现的求下图最小生成树树程序。 

// prim算法输入图g的结点编号从1开始
 

 上述Prim算法需要3个参数，分别是图g权重矩阵w和树根顶点编号root。其实root给定哪一个編号都不会影响最后的结果算法首先对所有顶点进行初始化。然后开始循环拾取求下图最小生成树树的树边在每一次循环找到一条树邊的时候，计算该树边连接的另一个顶点的所有相邻顶点（有边连接的顶点）距离求下图最小生成树树的距离顶点距离求下图最小生成樹树的距离定义为该顶点距离树中所有顶点的最小距离。然后再进行下一次循环直到所有顶点都已经加入到树中。循环会进行V次V是顶點的个数。
 


 

 方法min可以从顶点集合中选取距离求下图最小生成树树距离最小的顶点
 


 

 下面给出一个应用Prim算法的例子。
 


 

 上述例程构建了一个图忣其权重矩阵然后调用Prim算法计算树根为顶点1的求下图最小生成树树并输出其所有树边。
 


 

 


 

 
 


 

 本文介绍了计算求下图最小生成树树的Prim算法完整程序可以参考我的github项目 
 

这个项目里面有本博客介绍过的和没有介绍的以及将要介绍的《算法导论》中部分主要的数据结构和算法的C实现，有兴趣的可以fork或者star一下哦~ 由于本人还在研究《算法导论》所以这个项目还会持续更新哦~ 大家一起好好学习~

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普里姆算法的基本思想：普里姆算法是一种构造求下图最小生成树树的算法它是按逐个将顶点连通的方式来构造求下图最小生成树树的。时间复杂度为O（n^2)
从连通网络N = { V, E }Φ的某一顶点u0出发，选择与它关联的具有最小权值的边(u0, v)将其顶点加入到生成树的顶点集合U中。以后每一步从一个顶点在U中而另一个顶點不在U中的各条边中选择权值最小的边(u, v),把该边加入到生成树的边集TE中，把它的顶点加入到集合U中如此重复执行，直到网络中的所有顶点嘟加入到生成树顶点集合U中为止
假设G=(V，E)是一个具有n个顶点的带权无向连通图T(U，TE)是G的求下图最小生成树树其中U是T的顶点集，TE是T的边集则构造G的求下图最小生成树树T的步骤如下：
（1）初始状态，TE为空U={v0}，v0∈V；
（2）在所有u∈Uv∈V-U的边(u，v)∈E中找一条代价最小的边(u′v′)并入TE，同时将v′并入U；
重复执行步骤（2）n-1次直到U=V为止。
假设图G采用邻接矩阵g存储对应的Prim(g,v)算法如下：
/*注：closest[j]存储该边依附的在U中的顶点编号。對于每一个顶点v∈V-Uclosest[v]为U中距离v最近的一个邻接点。
lowcost域存放生成树顶点集合内顶点到生成树外各顶点的各边上的当前最小权值；即边(vclosest[v])是在所有与顶点v相邻、且其另一顶点j∈U的边中具有最小权值的边，其最小权值为lowcost[v]即lowcost[v]=cost[v][closest[v]
adjvex域记录生成树顶点集合外各顶点距离集合内哪个顶点最近(即权值最小)。

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