如何从数学上证明微信群不是一个群？ | 科学人 | 果壳网 科技有意思
如何从数学上证明微信群不是一个群？
抽象代数 群论 微信
本文作者:魏郎尔
群里发送违法消息，群主也要连坐？过去几个月里的几条法律新闻引发了许多微信群的焦虑。不说具体判决，这原则本身似乎有问题：群主不一定真的担负了管理职责，似乎也没有担负这一职责的法律义务，倘若真是无条件连坐，那显然不合情也不合理。于是很多群里立刻开发出了如何规避这一责任的脑洞。
但其实有一招釜底抽薪的办法：我们可以从数学上证明，这个所谓的微信群，根本就不是一个真正群，自然也谈不上什么群成员和群主了。
什么是群（Group）？
虽然群看起来好像只是个人畜无害的汉字，但是——surprise！——它拥有一个严格的数学定义，还有一个很大的来头。
怎样的来头？它的发明人是埃瓦里斯特·伽罗瓦，对，就是那个伽罗瓦。12岁前在家自学，14岁开始厌倦其他学科、只对数学感兴趣，15岁开始读拉格朗日的论文，17岁发布第一篇论文，同年试图考取巴黎综合理工学院并被拒（传说他在面试时跳过太多的推理步骤而令考官困惑，最后他无法忍受考官的慢节奏，一怒之下抓起擦黑板的抹布掷向考官并直接命中），18岁因发表批评校长的公开信被巴黎高等师范学院开除，19岁因参与政治活动而被多次逮捕，20岁参加决斗（可能是因为恋爱）并被击中腹部丧命。
那个伽罗瓦的画像。图片来源：wikipedia
怎样的定义呢？要严格表述起来会很烦，但基本原理倒是简单：首先你要有一堆东西（集合），然后你把其中的任意两个按照某种方式放在一起（运算），都能得到一个结果。一个集合，加上一个二元的运算，就这些了。
举个例子。我们天天都和一种特别常见的群打交道，数学家给它起了个名字叫做“整数加法群”：整数，就是我们有的那堆东西（集合）；加法，就是我们把这些东西放在一起的方式（运算）。试一下，随便找两个整数，都一定可以做加法，都一定有一个结果。
如果微信群是真的群（1）
微信群的“集合”，看起来就是群成员的集合了；一个个的元素就是一个个的人。它需要一个二元运算，不妨称这个二元运算为“互动”。按照刚才的命名法，这就是一个“微信成员互动群”，任意两个群成员放在一起都必须能够互动（请勿过度联想）。
到此为此还好，但是：
群的运算有讲究
虽说只要有了集合和运算就能建群，但是这个运算也不是随便什么运算都能胜任的。具体地说，这个运算要满足四大“群公理”：封闭性、结合律、单位元和逆元。
封闭性：不管你拿出群里的哪两个成员，运算过后得到的一定还是群成员，不可能跑出群外面去。比如，随便两个整数相加，获得的必定还是整数。
结合律：如果你要对三个成员进行运算，那么先算哪两个都无所谓，结果一样。比如，（1+2）+3 = 1+（2+3）。
单位元：一定有一个成员，它在和另一个成员运算之后不改变后者。比如整数加法群的0：0+5=5+0=5。
逆元：任何成员都一定有自己的“逆”——它和它的逆元运算之后能够变回单位元。比如整数加法群里，对于7有-7：7+（-7）=（-7）+7 = 0。
如果微信群是真的群（2）
将四大群公理套用在微信群上，会获得如下结果：
封闭性：任意两个群成员进行互动，得到的结果一定还是一个群成员。
结合律：三个成员互动时，哪二者先是无关紧要的。（互动是一个二元运算，所以三个不能同时互动。）
单位元：一定有一个群成员，不妨称之为群主，当群主和任何成员互动时结果依然是那个成员。（可以证明，一个微信群有且仅有一个群主。）
逆元：对任何一个群成员，都一定有另外一个成员，二者互动的结果是群主。
在这里，不妨设定每一次两个成员“互动”的结局都一定是@到了某一个确定的群成员。如果没有@，或者同样两人@的结果不是每次都一样，那就不是我们关心的这种互动。
就像这样。
群内还可以再有结构
在一个群里，有些元素自己会组成一个小圈子。它们并非不与外界交流，但无疑它们喜欢抱团：小圈子内的元素经过运算得到的结果仍然在这个小圈子里，而它们的逆元也在小圈子里。简而言之，这个小圈子对于原来的运算也组成一个群。这样的小圈子，叫做群的子群。
有些子群比别的子群更特别，它们不仅自己是一个群，如果“除”原来的群，得到的也是一个群。这样的子群叫做正规子群，而它们对原来的群作“除法”得到的群叫商群。这种除法和数字运算中的除法并不完全一样，可以看作划分小圈子的一种方式。
如果微信群是真的群（3）
微信群不一定都有子群。但是假如它有，那么就会出现这样的情况：群里有一小圈成员，他们可以和其他人互动，但圈内人的互动总是最终会@到一个圈内人。
既然这个小圈子满足群的定义，那么他们完全可以独立出来另立一个新群。事实上他们也许已经这样做了而你作为圈外人还不知道！哈哈哈。
一个微信群还会加人和踢人。但是因为群的两大要素之一就是给定的集合，所以每一次加人和踢人，这个群实际上都变成了一个新的群。在这个意义上，你不能两次踏入同一个微信群。
为什么弄个群都要有这么多讲究？
作为一个数学概念，“群”是被发明出来的，并没有任何外界强制。数学家也不傻，发明并如此定义它的目的，一定是因为它有用。
确实如此，群是现代数学中最有用的基本概念之一。伽罗瓦当时取下“群”（groupe）这个名词时，主要考虑的是五次以上方程解法的问题，但是今天它的用场远远超越了那一个领域，因为后来我们意识到，群论的最大用途是关于“对称性”的研究；所有具有对称性的东西，群论都能派上用场。
而对称在这里的含义甚至比日常语言更广。对数学家而言，只要在发生了变换之后有什么东西还维持不变，那它就是对称的。几何体当然可以是对称的：一个圆左右翻转后还是圆，旋转180度后还是圆，所以它在这两种变换下是对称的。但对称性也适用于非几何体的抽象概念：比如f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2这个函数，无论怎么调换x、y、z的位置，都是不变的；或者sin(t)，用t+2π代替t，也是不变的。它们也都具有相应的对称性。
而对称性最为神奇的一点是，它竟然和物理世界中的守恒一一对应。比如物理学定律是不因时间的流逝而改变的，换言之它在时间变换下对称；而这个对称性可以直接推导出物理学中最重要的定律之一：能量守恒。物理学定律又不随着空间的位置而改变，这个对称性又能推出另一条同样关键的定律：动量守恒。每一个物理上的守恒量必然伴随着数学上的对称性，这是二十世纪最伟大的数学家之一艾米·诺特（Emmy Noether）女士发现的。
艾米·诺特是抽象代数领域的大师；她提出的诺特定理是爱因斯坦广义相对论的数学基础之一。图片来源：
更进一步说，现代粒子物理学是完全依赖于群论而存在的。种类繁多的新粒子之所以能够被整齐归入标准模型，都是因为对称性研究的功劳；事实上，相当多的新粒子是先被群论预测出来，再被实验发现的。
化学和生物学也是离不开群论的——分子和晶体里有太多的对称性了，没有群论就没法处理它们的结构和行为。
就连魔方也是一个群：魔方中的小方块可以看作群众的元素，转动魔方相当于运算，魔方公式也可以由群论得出。图片来源：Wikipedia
如果微信群是真的群（总结）
可以说，每一个具体的群都一直存在于世界中，只等人们发现它。所以，你所在的这个微信群也许已经是群了！快对照一下要求列表吧：
·它要有一堆给定的成员；
·它要有一个给定的二元运算（比如最终以@一个确定成员为结局的两人聊天）
·它要有封闭性（不能@到群外的人）
·它要有结合律（互动顺序无所谓）
·它要有单位元（群主和任何人互动一定以@此人为结局）
·它要有逆元（对于任何人，都有一个成员，两人互动一定会吵起来（雾）并@群主进行裁决）
如果满足这些条件，恭喜你，一个隐藏而不为人知的群被你发现了！如果不满足这些条件，同样恭喜你，我们已经在数学上证明这根本就不是一个群了，还能怎样？（编辑：Ent，Stellasun）
编者注：本文作者、编辑和发布方对由此文产生的任何微信群相关法律责任概不负责。
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引用文章内容：同年试图考取巴黎综合理工学院并被拒（传说他在面试时跳过太多的推理步骤而令考官困惑当有一天我们为自己辩护并试图用这篇文章向法官解释微信群不是群的时候，这个太屌的推理过程让法官感到困惑从而让这个辩护理由直接被拒
让资深水货来告诉你，那个微信截图里，第一个小头像是“花落成蚀”，第四个是“Ent”，第七个是“moogee”，第八个是“游识猷”(づ ●─● )づ
金属材料学博士
麻烦证明一下qq群是否是一个真的群。群主被抓，需要证据打官司。
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全部评论(62)
神经科学博士生
引用文章内容：20岁参加决斗（可能是因为恋爱）并被击中腹部丧命那个年代的欧洲人真的好喜欢决斗，什么事都用决斗来解决，据说那阵子欧洲法院的法警工作之一就是到处把决斗的人拎到法庭上来解决问题。
金属材料学博士
麻烦证明一下qq群是否是一个真的群。群主被抓，需要证据打官司。
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伽罗瓦群。。。自同构群。。。。环论。。。分圆整数。。。伯努利数刚学的。。。
果壳谣言粉碎机编辑
群主看着你说：甚好，甚好
让资深水货来告诉你，那个微信截图里，第一个小头像是“花落成蚀”，第四个是“Ent”，第七个是“moogee”，第八个是“游识猷”(づ ●─● )づ
所以…群主到底有没有责任？来自
引用 的话：让资深水货来告诉你，那个微信截图里，第一个小头像是“花落成蚀”，第四个是“Ent”，第七个是“moogee”，第八个是“游识猷”(づ ●─● )づ没有matrix67
我感觉我已经不认识“群”这个字了……
引用 的话：所以…群主到底有没有责任？ 引用文章内容：本文作者、编辑和发布方对由此文产生的任何微信群相关法律责任概不负责。反正，果壳是没责任的。。。
引用 的话：让资深水货来告诉你，那个微信截图里，第一个小头像是“花落成蚀”，第四个是“Ent”，第七个是“moogee”，第八个是“游识猷”(づ ●─● )づ果然资深
勘查技术与工程专业，编程爱好者
引用文章内容：本文作者、编辑和发布方对由此文产生的任何微信群相关法律责任概不负责。将来报道上出现了偏差呢？
引用 的话：没有matrix67应该没有，感觉他和果壳其实没有什么关系，只是很早的时候果壳邀请过matrix67写了几十篇文章～
引用 的话：应该没有，感觉他和果壳其实没有什么关系，只是很早的时候果壳邀请过matrix67写了几十篇文章～m67在数学科普方面做得挺好的。
遗传学硕士，科学松鼠会成员
引用 的话：让资深水货来告诉你，那个微信截图里，第一个小头像是“花落成蚀”，第四个是“Ent”，第七个是“moogee”，第八个是“游识猷”(づ ●─● )づ啊好厉害……
引用 的话：m67在数学科普方面做得挺好的。是啊，之前在果壳知道他后看了网上关于他的报道，也很佩服他，当时把他博客的文章基本上全翻完了，不过自己的数学水平只停留在学校的水平，所以多数看不懂（＃－.－）
引用 的话：是啊，之前在果壳知道他后看了网上关于他的报道，也很佩服他，当时把他博客的文章基本上全翻完了，不过自己的数学水平只停留在学校的水平，所以多数看不懂（＃－.－）现在还不时更新，不过频率低多了。
神经科学博士生
引用 的话：让资深水货来告诉你，那个微信截图里，第一个小头像是“花落成蚀”，第四个是“Ent”，第七个是“moogee”，第八个是“游识猷”(づ ●─● )づ能不能说我全能认出来， 包括被挡住的那只……
引用 的话：能不能说我全能认出来， 包括被挡住的那只……可以可以，快快说出来，让我认识认识?(?﹃??)引用 的话：现在还不时更新，不过频率低多了。是啊而且我基本上都看不懂???
神经科学博士生
引用 的话：可以可以，快快说出来，让我认识认识?(?﹃??)是啊而且我基本上都看不懂???这需要些推理，比如说第一行第二个是安然，因为她在微博上发过一样的照片，第二行第三个是球藻怪，因为这只猫就是果壳著名的鼓励师……（坏了，忘记名字了）……总之养他的是球藻怪
在数学意义上的“群”其实就等于“集合”，微信群显然不是“集合”，在数学意义上“微信群”=“微信群”我想起以我前的熊样，一元一次方程的练习题，经常欠交作业的我写了个x=x的回答就这么交上去了！来自 广告位招租
空间信息与数字技术专业
难道因为已经成环了?来自
生物物理博士生
这才是果壳的数学科普。比
写的文章好太多了。
1微信群随便是个人就能进，不需要审核。2微信群不能设置管理员、禁言等功能。3微信群要清理一个人只能让他主动退出或者群主给他请出去。4微信群不能共享文件，传文档还是得用QQ。5微信群聊天记录多终端不能共享，在电脑上聊完再登录就不知道之前都说了些啥。6微信私聊可以传送文件，但谁手机随时可以打开pdf、word、excel、ppt、7z？以上，用微信办公的领导都是辣鸡来自
你确定法官会看这个？
引用 的话：当有一天我们为自己辩护并试图用这篇文章向法官解释微信群不是群的时候，这个太屌的推理过程让法官感到困惑从而让这个辩护理由直接被拒这时候，你可以把幻灯机遥控器扔向法官，并直接命中.....
引用 的话：你确定法官会看这个？要不我们和法官谈谈理想吧......
以司法解读为准。不然的话文革的时候学者们可以画个圈把自己圈起来保平安。然并卵。
引用 的话：要不我们和法官谈谈理想吧......理想（Ideal）是一个中的概念。已知(R, +)是。R的子集I称为R的一个右理想，若I满足：(I, +)构成(R, +)的子群。?i ∈ I，r ∈ R，i·r ∈ I。类似地，I称为R的左理想，若以下条件成立：(I, +)构成(R, +)的子群。?i ∈ I，r ∈ R，r·i ∈ I。若I既是R的右理想，也是R的左理想，则称I为R的双边理想，简称R上的理想。我们还是继续谈群吧^-^
引用 的话：以司法解读为准。不然的话文革的时候学者们可以画个圈把自己圈起来保平安。然并卵。 大多数 “学者”不知道什么是群，尤其是文革中出事的那些.....我就不说理想了......
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色情、暴力
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数学：设一个群(G,*) 对于所有x属于G，都有x的平方等于e（好像是单位元），证明G是可交换群
顺便推荐一下呗.我想在网上下载一本介绍这个方面的电子书怎么证明呢~是离散数学问题，谢谢.s！p
我有更好的答案
就是说两个都等于单位元,Y是任意的属于G的两个子群，要证明G是交换群，就要证明XY=YX(XY)(YX)=XYYX=XeX=XX=e而(XY)(XY)=e我觉得这是近世代数才对假设X
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所以阶大于2的元素一定是成对出现，有偶数个，只要证明阶大于2的元素有偶数个即可分析。要证明阶为2的元素有奇数个。阶为1的元素只有一个，是单位元e。G的元素个数是偶数，所以阶为2的元素一定有奇数个。证明：设a的阶为k＞2，是单位元e，与a的阶k＞2矛盾，则a的逆元的阶也是k，且a≠a逆。若a=a逆，则a^2=e：阶为的元素只有一个
为什么a＝a逆 a²=e
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等待您来回答第6讲；§2―3单位元、逆元、消去律及有限群的另一定义（；教学目的和要求：消去律是群这个代数体系所固有的代；有限群做出新的定义；本讲的重点和难点：有限群的另一定义的证明本身并不；注意：本讲教材中的有些内容，已在前讲中讨论过了（；一、复习；本节中的许多概念在上节里都已出现，这里只稍微地提；?a?G,ae?ea?a；注：如果G是加法群时，G中的单位元换叫做“零元
单位元、逆元、消去律及有限群的另一定义（1课时）
( Identity inverses cancellation law and
another definition of finite group
教学目的和要求：消去律是群这个代数体系所固有的代数特征，根据这个特征我们可以对有限群做出新的定义。本讲要求学生能理解消去律的意义和有限群的新定义。 本讲的重点和难点：有限群的另一定义的证明本身并不长，但要吃透证明过程中的每一步骤，并非易事，要求同学能弄通这一定理的证明过程。 注意：本讲教材中的有些内容，已在前讲中讨论过了（譬如：单位元、逆元等概念），所以在本讲中，对有些内容只需一带而过。
一、复习 本节中的许多概念在上节里都已出现，这里只稍微地提一下。 （1）单位元
任一个群G中都在唯一的单位元e具有性质： ?a?G,ae?ea?a 注：如果G是加法群时，G中的单位元换叫做“零元”，记为“0” （2）逆元
群G中任一个元素a，都在G中有唯一的逆元a?1，具有性质： aa?1?a?1a?e. 注：如果G是加法群时，a的逆元改叫做“负元”，并记为“?a”. （3）群元素的指数律和倍数律（略） （4）模n剩余类加群{Zn,?}?{[0],[1],[2],?,[n?1]}. 课后思考题：模n剩余类集合Zn对于给定的“加法”确实能构成一个加法群。那么对于整数的乘法是否也能成群？ 譬如规定：[i][j]?[ij]？为此，可做如下讨论. （1）如果{Z,?}成为群，那么单位元就只能是?1?――这一点凭直觉就能察觉出。那么?0?会充当什么角色？?0?有逆元吗？（回答是否定的） （2）既然{Z,?}不能成群（都是 ?0?惹的祸）那么令 Zn?Zn?{[0]}?{[1],[2],?,[n?1]}. ?
这样一来，{Zn,?}就能成群吗？仔细观察会发现新问题： 当n?6时，Z6?{[1],[2],[3],[4],[5]}，而[2][3]?[6]?[0]这表明Z6对运算不封闭，故也成不了群. （3）试问: {Zn,?}有可能成为群吗?对n有什么要求? 结论1：当n?p―素数时， {Zn,?}必是一个群. 证明：?（Zp中元素对乘法是封闭的）?Zp?{[1],[2],?,[p?1]} ?[a],[b]?Zp，则p不整除a，p不整除b. 由于p是素数，由素数的性质知p不能整除ab????????（?若pab?pa或pb）。由等价类的定义 ?[ab]?[0]（?[ab]?[0]?pab?0），这表明[ab]?Zp。 ?? （结合律成立）?[a],[b]，[c]?Zp，我们有 [a]([b][c])?[a][bc]?[a(bc)]?[ab][c]?([a][b])[c]. ?? （存在单位元）?[a]?Zp,[a][1]?[a]?[1][a],?[1]是{Zp,?}的单位元. ? （每个元都有逆元）?[a]?Zp?p不整除a，由于p是一个素数?(p,a)?1,?存在u,v?Z,使pu?av?1，即[pu?av]?[1]，]??? 但[pu?av]?[pu]?[av]?[0]?[av]?[av]?[a][v]，这表明有[v]?[0]，使[a][v]?[1]?[v]是[a]的逆元，即[v]?[a]?1。结论2：设{G,?}是一个monoid，令H?{gg?G且g可逆}，实证{H,?}是一个群. 证明：因为e是可逆的，所以H中有单位元e?H??，其次?a,b?H，那么a?1,b?1分别是它们的逆元， 即aa?1?a?1a?e,bb?1?b?1b?e， 于是(ab)(b?1a?1)?a(bb?1)a?1?aea?1?aa?1?e， 这表明：ab有逆元b?1a?1，?ab?H. 由于H?{G,?}，故H自然满足结合律，所以H是群. 注：从上述讨论中自然知道：若e是群G的单位元?e?1?e,?a?G?(a?1)?1?a，若a,b可逆?ab也可逆且(ab)?1?b?1a?1.
二、元素的阶 前一讲里，我们已介绍了群的阶：G?G中所含元素的个数. 下面利用单位元e，能引入另一个新概念: 定义1：设G为群，而a?G. 如果有整数k，使ak?e，那么使这个等式成立的最小正整数m叫做a的阶，记为a?m. 如果这样的m不存在，则称a的阶是无限的，记为a=+∞. （省略）例1
乘法群Z5?{[1],[2],[3],[4]}中，[1]是单位元，显然[1]?1，而?,[2]12?[2]8?[2]4?[1],?[2]?4同理知[3]?4,[4]?2. ?例2
加法群{Z5,?}?{[0],[1],[2],[3],[4]}中，[0]是单位元， ?[0]?1,[1]?5,[2]?5,[3]?5,[4]?5 例3
加法群{Z,?}中，0是单位元. ?0?1，而其它元素a,a=+∞. 例4
乘法群{R,?}中，1是单位元，?1?1,?1?2，而其它元素的阶都是无限. 注：加法群?G,??中，元素的阶的定义自然需做相应的变化： 设a?G，能够使ma?0的最小正整数m叫做a的阶，若这样的m不存在，则称a的阶是无限的，a的阶仍记为a. 例5
设G?{?0,?1,?2}是由x3?1的三个复根组成的集合，而G中的代数运算“?”是通常的乘法，那么{G,?}必为一个乘法群. 其中习惯上记为G3，叫做3次单位根群。这里
?0?1,?1?事实上 ?1??3?1??3,?2?. 22?（1）??i,?j?G,(?i?j)3??i3?j3?1?1?1??i?j?G. （2）结合律显然成立（因为复数集C中满足结合律）. （3）?0?1是G中的单位元. （4）?0的逆元是?0，?1与?2互为逆元. 不仅如此，我们还知：?0?1,?1??2?3. 定理1：每一个群G都适合消去律：ab?ab??b?b??? ca?c?a?c?c????证明：设a,b,b??G且有ab?ab?，那么用a的逆元a?1左乘上等式两端：（注：?叫做左消a?1(ab)?a?1(ab?)?(a?1a)b?(a?1a)b??b?b???成立，同理知??也成立。去律，??叫做右消去律）
三、有限群的另一定义 1. 问题的提出：若G是群，则G必满足（1）封闭性（2）结合律（3）消去律。但如果代数体系{G,?}能满足（1）（2）和（3），是否可断定G就是群呢？先看下面的例子： 代数体系{Z,?}显然满足（1）封闭性（2）结合律（3）消去律，但{Z,?}不是群（因为除了1和?1外，其他元素都没有逆元）. 上例所以不能成为群，关键是Z为无限集，如果是有限集，那情形就不一样了。 定理2：设G是一个有限集，若{G,?}满足（1）封闭性（2）结合律（3）消去律，那么{G,?}一定是一个群. 证明：（只需证明ax?b方程ya?b和在G中有解） 先证ax?b在G中有解，?a,b?G. 因为G是有限集，不妨设G?n，即G?{a1,a2,?,an}，现用a左乘G中的每个元素，得到G??{aa1,aa2,?,aan}. 由（1）?G?中每个aai?G(i?1,2,?,n)，所以G??G 又由于（3）?只要i?j，则aai?aaj?G?中也含有n个元素，于是G??G 又由于b?G，即b?G???k(1?k?n)使aak?b,?ak是ax?b的解. 同理可以证明ya?b有解. 思考题及课后训练： 一、若G=+∞，即使{G,?}能满足封闭性、结合律和消去律，则{G,?}也不可能成为群，这种说法对吗？ 二、设G是个有限半群，那么G为群?G中有消去律成立. 三、设G是群，那么 （1）?a?G，若存在m?Z?，使am?e?a?m（可知a的阶是有限的） （2）?a?G?a?a?1 证明：（1）由于am?e，这本身说明a?+∞，令a?k，若k?m，则与元素的阶的定义矛盾，故知k?m. （2）若a?m，那么am?e，另外(a?1)m?(am)?1?e?1?e，由（1）知a?1?m，若a?1?n?(a?1)n?e?(an)?1?e?an?e?1?e?a?n，于是有n?m，且m?n?m?nn，即a?a?1. 注：在（2）的证明中，用到“(a?1)k?(ak)?1”. 四、设G为群，那么 （1）?a,b?G?(ab)?1?b?1a?1. ?1?1?1?1（2）?a1,a2,?,am,?G?(a1a2?am)?1?amam?1?a2a1. 证明：（1） 由数学归(ab)(b?1a?1)?a(bb?1)a?1?a(e)a?1?aa?1?e,另外(b?1a?1)(ab)?e?(ab)?1?b?1a?1（2）纳法可证。 五、For each of the following rules in a group G, tell us which is right. 三亿文库包含各类专业文献、外语学习资料、专业论文、各类资格考试、应用写作文书、幼儿教育、小学教育、高等教育、35§2―3
单位元、逆元、消去律及有限群的另一定义等内容。　
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