【图文】2015高考数学(人教A版)一轮课件：8-1空间几何体的结构和三视图及直观图_百度文库
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2015高考数学(人教A版)一轮课件：8-1空间几何体的结构和三视图及直观图
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高中数学直观图
高中数学直观图把这个图形的原平面图形画出来就行，后面不用写
我有更好的答案
原图形也是一个直角梯形，上底a=1,下底b=(1+√2/2)高h=2S=(1/2)h(a+b)=(1/2)*2[1+1+√2/2]=2+(√2/2)
我是这样写的，问题出在哪里？
∠EDC=45º错！
画出来了这不是一个矩形吗，那AB=EC=2为什么是错的？
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一个多面体的直观图及三视图分别如图1和图2所示（其中正视图和侧视图均为矩形，俯视图是直角三角形），M、N分别是AB1、A1C1的中点，MN⊥AB1．（Ⅰ）求实数a的值并证明MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）在上面结论下，求平面AB1C1与平面ABC所成锐二面角的余弦值．
科目：高中数学
一个多面体的直观图及三视图如图所示，则多面体A-CDEF的体积为83．
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高中数学必修2导学案
§ 1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构 特征学习目标1. 2. 3. 4. 感受空间实物及模型，增强学生的直观感知； 能根据几何结构特征对空间物体进行分类； 理解多面体的有关概念； 会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征.新知 2：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定 直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直 线叫旋转体的轴.如下图的旋转体:A/O/轴学习过程一、课前准备 （预习教材 P2~ P4，找出疑惑之处） 引入：小学和初中我们学过平面上的一些几何图形 如直线、三角形、长方形、圆等等，现实生活中， 我们周围还存在着很多不是平面上而是“空间”中 的物体，它们占据着空间的一部分，比如粉笔盒、 足球、易拉罐等 .如果只考虑这些物体的形状和大 小，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间 几何体.它们具有千姿百态的形状， 有着不同的几何 特征，现在就让我们来研究它们吧!AO? 探究 3：棱柱的结构特征 问题：你能归纳下列图形共同的几何特征吗?二、新课导学 ※ 探索新知 探究 1：多面体的相关概念 问题：观察下面的物体，注意它们每个面的特点， 以及面与面之间的关系.你能说出它们相同点吗?新知 3：一般地，有两个面互相平行，其余各面都 是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相 平行， 由这些面所围成的几何体叫做棱柱 （prism） . 棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称 底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边 叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱 的顶点.（两底面之间的距离叫棱柱的高） 试试 1：你能指出探究 3 中的几何体它们各自的底、 侧面、侧棱和顶点吗？你能试着按照某种标准将探 究 3 中的棱柱分类吗？ 新知 4：①按底面多边形的边数来分，底面是三角 形、四边形、五边形…的棱柱分别叫做三棱柱、四 棱柱、五棱柱… ②按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为斜棱柱 （不垂直）和直棱柱（垂直）. 试试 2： 探究 3 中有几个直棱柱？几个斜棱柱？棱 柱怎么表示呢? 新知 5：我们用表示底面各顶点的字母表示棱柱， 如图(1)中这个棱柱表示为棱柱 ABCD ― A?B ?C ?D ? .新知 1：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多 面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面， 如面 ABCD；相邻两个面的公共边叫多面体的棱， 如棱 AB；棱与棱的公共点叫多面体的顶点，如顶 点 A.具体如下图所示：顶 点D? A? D A B?C?面 探究 4：棱锥的结构特征 问题：探究 1 中的埃及金字塔是人类建筑的奇迹之 一，它具有什么样的几何特征呢？ 新知 6：有一个面是多边形，其余各个面都是有一 个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫 做棱锥 (pyramid). 这个多边形面叫做棱锥的底面或 底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面； 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公 共边叫做棱锥的侧棱 .顶点到底面的距离叫做棱锥 的高；棱锥也可以按照底面的边数分为三棱锥（四 面体） 、四棱锥…等等，棱锥可以用顶点和底面各 顶点的字母表示，如下图中的棱锥 S ? ABCDE .棱CB (1) 探究 2：旋转体的相关概念 问题：仔细观察下列物体的相同点是什么？1◆高一月日班级：姓名：第一章 空间几何体学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差） .※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平 探究 5：棱台的结构特征 移一段距离可以形成（ ）. 问题：假设用一把大刀能把金字塔的上部分平行地 A．棱锥 B．棱柱 C．平面 D．长方体 切掉,则切掉的部分是什么形状?剩余的部分呢? 2. 棱台不具有的性质是（ ）. A.两底面相似 B.侧面都是梯形 新知 7：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥， C.侧棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点 底 面与截 面之间 的部分形 成的几 何体叫 做 棱 台 3. 已知集合 A={正方体}，B={长方体}，C={正四 (frustum of a pyramid).原棱锥的底面和截面分别叫 棱柱}，D={直四棱柱}，E={棱柱}，F={直平行六 做棱台的下底面和上底面.其余各面是棱台的侧面， 面体}，则（ ）. 相邻侧面的公共边叫侧棱，侧面与两底面的公共点 A ? B ? C ?D?F ?E A. 叫顶点 . 两底面间的距离叫棱台的高 . 棱台可以用 B. A ? C ? B ? F ? D ? E 上、下底面的字母表示，分类类似于棱锥. C. C ? A ? B ? D ? F ? E D.它们之间不都存在包含关系 试试 3：请在下图中标出棱台的底面、侧面、侧棱、 4. 长方体三条棱长分别是 AA? =1 AB =2， AD ? 4 ， 顶点,并指出其类型和用字母表示出来. 则从 A 点出发，沿长方体的表面到 C′的最短矩离 是_____________. 5. 若棱台的上、下底面积分别是 25 和 81，高为 4， 则截得这棱台的原棱锥的高为___________.课后作业反思：根据结构特征,从变化的角度想一想 ,棱柱、 棱台、棱锥三者之间有什么关系？ 1. 已知正三棱锥 S-ABC 的高 SO=h， 斜高(侧面三角 形的高)SM=n，求经过 SO 的中点且平行于底面的 截面△A1B1C1 的面积.※ 典型例题 例 由棱柱的定义你能得到棱柱下列的几何性质 吗？①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；②两个 底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不 相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.仿照棱柱,棱 锥、棱台有哪些几何性质呢？三、总结提升 ※ 学习小结 1. 多面体、旋转体的有关概念； 2. 棱柱、 棱锥、 棱台的结构特征及简单的几何性质. ※ 知识拓展 1. 平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱； 2. 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱； 3. 正棱锥： 底面是正多边形并且顶点在底面的射影 是底面正多边形中心的棱锥； 4. 正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.2. 在边长 a 为正方形 ABCD 中，E、F 分别为 AB、 BC 的中点，现在沿 DE、DF 及 EF 把△ADE、△ CDF 和△BEF 折起，使 A、B、C 三点重合，重合 后的点记为 P .问折起后的图形是个什么几何体？ 它每个面的面积是多少？ D CF A BE2§ 1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球及 简单组合体的结构特征学习目标1. 2. 3. 4. 感受空间实物及模型，增强学生的直观感知； 能根据几何结构特征对空间物体进行分类； 能概述圆柱、圆锥、圆台台体、球的结构特征； 能描述一些简单组合体的结构.探究 2：圆锥的结构特征 问题： 下图的实物是一个圆锥,与圆柱一样也是平面 图形旋转而成的. 仿照圆柱的有关定义，你能定义 什么是圆锥以及圆锥的轴、底面、侧面、母线吗？ 试在旁边的图中标出来.学习过程一、课前准备 （预习教材 P5~ P7，找出疑惑之处） 复习：①______________________________叫多面 体 ,________________________________________ ___________叫旋转体. ②棱柱的几何性质： _______是对应边平行的全等 多边形，侧面都是________，侧棱____且____，平 行于底面的截面是与 _____全等的多边形；棱锥的 几何性质：侧面都是______，平行于底面的截面与 底面_____，其相似比等于____________. 引入：上节我们讨论了多面体的结构特征，今天我 们来探究旋转体的结构特征. 新知 2：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋 转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆 锥.圆锥也用表示它的轴的字母表示.棱锥与圆锥统 称为锥体. 探究 3：圆台的结构特征 问题：下图中的物体叫做圆台，也是旋转体.它是什 么图形通过怎样的旋转得到的呢? 除了旋转得到以 外,对比棱台,圆台还可以怎样得到呢?二、新课导学 ※ 探索新知 探究 1：圆柱的结构特征 问题：观察下面的旋转体，你能说出它们是什么平 面图形通过怎样的旋转得到的吗？新知 3；直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为 旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫 圆台(frustum of a cone).新知 1；以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三 边 旋转形 成的曲 面所围成 的几何 体，叫 做 圆 柱 （circular cylinder） ，旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于 轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴 的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到 什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母 线，如图所示：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥 ,底面与截面之 间的部分也是圆台. 圆台和圆柱、圆锥一样，也有 轴、底面、侧面、母线，请你在上图中标出它们， 并把圆台用字母表示出来 . 棱台与圆台统称为台 体. 反思：结合结构特征，从变化的角度思考，圆台、 圆柱、圆锥三者之间有什么关系？ 探究 4：球的结构特征 问题：球也是旋转体，怎么得到的?圆柱用表示它的轴的字母表示，图中的圆柱可表示 为 OO? .圆柱和棱柱统称为柱体.3◆高一月日班级：姓名：第一章 空间几何体新知 4：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面 是矩形，圆锥的轴截面是三角形. 旋转一周形成的几何体叫做球体（solid sphere） ，学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差） .简称球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫 做球的半径，半圆的直径叫做球的直径；球通常用 表示球心的字母 O 表示，如球 O . 探究 5：简单组合体的结构特征 问题：矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成？灯管呢？ 新知 5：由具有柱、锥、台、球等简单几何体组合 而成的几何体叫简单组合体 .现实生活中的物体大 多是简单组合体.简单组合体的构成有两种方式： 由 简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一 部分而成.※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. Rt ?ABC 三边长分别为 3、4、5，绕着其中一边 旋转得到圆锥，对所有可能描述不对的是（ ）. A.是底面半径 3 的圆锥 B.是底面半径为 4 的圆锥 C.是底面半径 5 的圆锥 D.是母线长为 5 的圆锥 2. 下列命题中正确的是（ ）. A.直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥 B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是旋转体 C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D.通过圆台侧面上一点,有无数条母线 3. 一个球内有一内接长方体,其长、 宽、 高分别为 5、 4、3，则球的直径为（ ）.5 2 2 4. 已知，ABCD 为等腰梯形，两底边为 AB,CD.且 AB&CD，绕 AB 所在的直线旋转一周所得的几何体 中是由 、 、 的几何体 构成的组合体. 5. 圆锥母线长为 R ， 侧面展开图圆心角的正弦值为 3 ，则高等于__________. 2A. 5 2B. 2 5C. 5D.※ 典型例题 例 将下列几何体按结构特征分类填空：⑴集装箱 ⑵运油车的油罐⑶排球⑷羽毛球⑸魔方⑹金字塔 ⑺三棱镜⑻滤纸卷成的漏斗⑼量筒⑽量杯⑾地球 ⑿一桶方便面⒀一个四棱锥形的建筑物被飓风挂 走了一个顶，剩下的上底面与地面平行； ①棱柱结构特征的有________________________； ②棱锥结构特征的有________________________； ③圆柱结构特征的有________________________； ④圆锥结构特征的有________________________； ⑤棱台结构特征的有________________________； ⑥圆台结构特征的有________________________； ⑦球的结构特征的有________________________； ⑧简单组合体______________________________. ※ 动手试试 练. 如图，长方体被截去一部分，其中 EH‖ A?D? , 剩下的几何体是什么?截去的几何体是什么?课后作业1. 如图,是由等腰梯形、矩形、半圆、倒 形三角对接形成的轴对称平面图形，若将 它绕轴旋转 1800 后形成一个组合体，下面 说法不正确的是___________ A.该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥 和两个球体 B.该组合体仍然关于轴 l 对称 C.该组合体中的圆锥和球只有一个公共点 D.该组合体中的球和半球只有一个公共点2. 用一个平面截半径为 25cm 的球 , 截面面积是 49? cm 2 ,则球心到截面的距离为多少？三、总结提升 ※ 学习小结 1. 圆柱、圆锥、圆台、球的几何特征及有关概念； 2. 简单组合体的结构特征. ※ 知识拓展 圆柱、圆锥的轴截面：过圆柱或圆锥轴的平面与圆 柱或圆锥相交得到的平面形状，通常圆柱的轴截面4§ 1.2.1 中心投影与平行投影 § 1.2.2 空间几何体的三视图学习目标1. 了解中心投影与平行投影的区别； 2. 能画出简单空间图形的三视图； 3. 能识别三视图所表示的空间几何体；探究 2：柱、锥、台、球的三视图 问题：我们学过的几何体(柱、锥、台、球),为了研 究的需要，常常要在纸上把它们表示出来，该怎么 画呢？能否用平行投影的方法呢? 新知 2：为了能较好把握几何体的形状和大小，通 常对几何体作三个角度的正投影 .一种是光线从几 何体的前面向后面正投影得到投影图，这种投影图 叫几何体的正视图；一种是光线从几何体的左面向 右面正投影得到投影图，这种投影图叫几何体的侧 视图；第三种是光线从几何体的上面向下面正投影 得到投影图， 这种投影图叫几何体的俯视图.几何体 的正视图、侧视图和俯视图称为几何体的三视图. 一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图 的下边.三视图中， 能看见的轮廓线和棱用实线表示, 不能看见的轮廓线和棱用虚线表示. 下图是一个长 方体的三视图.学习过程一、课前准备 （预习教材 P11~ P14，找出疑惑之处） 复习 1：圆柱、圆锥、圆台、球分别是_______绕着 ________ 、 _______ 绕着 ___________ 、 _______ 绕 着__________、_______绕着_______旋转得到的. 复习 2： 简单组合体构成的方式： ________________ 和_____________________________________.正视图侧视图二、新课导学俯视图 ※ 探索新知 探究 1：中心投影和平行投影的有关概念 问题： 中午在太阳的直射下， 地上会有我们的影子； 晚上我们走在路灯旁身后也会留下长长的影子，你 思考：仔细观察上图长方体和下图圆柱的三视图 , 你能得出同一几何体的三视图在形状、大小方面的 知道这是什么现象吗？为什么影子有长有短？ 关系吗？能归纳三视图的画法吗? 新知 1：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕 上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影 . 其中光线叫投影线， 留下物体影子的屏幕叫投影面. 光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影，中心 投影的投影线交于一点 .在一束平行光照射下形成 的投影叫做平行投影， 平行投影的投影线是平行的. 在平行投影中，投影线正对着投影面时叫正投影 , 否则叫斜投影. 小结： 1.正视图反映物体的长度和高度，俯视图反映的是 思考：中午太阳的直射是什么投影？路灯、蜡烛的 长度和宽度，侧视图反映的是宽度和高度； 照射是什么投影？ 2.正视图和俯视图高度相同，俯视图和正视图长度 相同，侧视图和俯视图宽度相同； 试试： 在下图中,分别作出圆在中心投影和平行投影 3.三视图的画法规则：①正视图、侧视图齐高，正 中正投影的影子. 视图、俯视图长对正，俯视图、侧视图宽相等，即 “长对正” 、 “高平齐” 、 “宽相等” ；②正、侧、俯 三个视图之间必须互相对齐，不能错位.探究 3：简单组合体的三视图 问题：下图是个组合体，你能画出它的三视图吗? 结论:中心投影其投影的大小随物体与投影中心间 距离的变化而变化；平行投影其投影的大小与这个 平面图形的形状和大小是完全相同的. 小结： 画简单组合体的三视图， 要先观察它的结构，5◆高一月日班级：姓名：第一章 空间几何体是由哪几个基本几何体生成的，然后画出对应几何 体的三视图，最后组合在一起.注意线的虚实.实线画出；确定正视、俯视、侧视的方向，同一物 体放置的方向不同，所画的三视图可能不同.※ 典型例题 例 1 画出下列物体的三视图：学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差） .※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 下列哪种光源的照射是平行投影（ ）. A.蜡烛 B.正午太阳 C.路灯 D.电灯泡 2. 左边是一个几何体的三视图，则这 个几何体是（ ）. A.四棱锥 B.圆锥 C.三棱锥 D.三棱台 3. 如图是个六棱柱,其三视图为（ ）.例 2 说出下列三视图表示的几何体：A.B.C.D.4. 画出下面螺母的三视图__________________________ . 5. 下图依次是一个几何体的正、俯、侧视图，※ 动手试试 练 作出下图中两个物体的三视图，则它的立体图为________.课后作业1. 画出下面几何体的三视图 .( 箭头的方向为正前 方)三、总结提升 ※ 学习小结 1. 平行投影与中心投影的区别； 2. 三视图的定义及简单几何体画法：正视图（前往 后） 、侧视图（左往右） 、俯视图（上往下） ；画时 注意长对正、高平齐、宽相等； 3. 简单组合体画法：观察结构，各个击破. ※ 知识拓展 画三视图时若相邻两物体表面相交 ,则交线要用62. 一个正方体的五个面展开如图所示 ,请你在图中 合适的位置补出第六个面来.(画出所有可能的情况)§ 1.2.3 空间几何体的直观图学习目标1. 掌握斜二测画法及其步骤； 2. 能用斜二测画法画空间几何体的直观图.※ 典型例题 例 1 用斜二测画法画水平放置正六边形的直观图.学习过程一、课前准备 （预习教材 P16~ P19，找出疑惑之处） 复习 1：中心投影的投影线_________；平行投影的 投影线_______.平行投影又分___投影和____投影.讨论：把一个圆水平放置，看起来象个什么图形 ? 它的直观图如何画？ 结论：水平放置的圆的直观图是个椭圆，通常用椭 圆模板来画.复习 2： 物体在正投影下的三视图是_____、 ______、 探究 2：空间几何体的直观图画法 _____； 画三视图的要点是_____ 、 _____ 、 ______. 问题：斜二测画法也能画空间几何体的直观图，和 平面图形比较，空间几何体多了一个“高” ，你知 引入：空间几何体除了用三视图表示外，更多的是 道画图时该怎么处理吗？ 用直观图来表示.用来表示空间图形的平面图叫空 间图形的直观图.要画空间几何体的直观图， 先要学 例 2 用斜二测画法画长 4cm、 宽 3cm、 高 2cm 的长 会水平放置的平面图形的画法 . 我们将学习用斜二 方体的直观图. 测画法来画出它们.你知道怎么画吗?二、新课导学 ※ 探索新知 探究 1：水平放置的平面图形的直观图画法 问题：一个水平放置的正六边形，你看过去视觉效 果是什么样子的?每条边还相等吗?该怎样把这种效 果表示出来呢?新知 2：用斜二测画法画空间几何体的直观图时， 通常要建立三条轴： x 轴， y 轴， z 轴；它们相交 于点 O ，且 ?xOy ? 45 °， ?xOz ? 90 °；空间几 何体的底面作图与水平放置的平面图形作法一样， 即图形中平行于 x 轴的线段保持长度不变，平行于 y 轴的线段长度为原来的一半，但空间几何体的 “高” ，即平行于 z 轴的线段，保持长度不变.新知 1： 上面的直观图就是用斜二测画法画出来的， 斜二测画法的规则及步骤如下： (1) 在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，建立直角坐标系，两轴相交于 O .画直观 图时,把它们画成对应的 x ? 轴与 y ? 轴，两轴相交于 点 O ? ，且使 ?x?O?y? ? 45 °(或 135 °).它们确定的 平面表示水平面； (2) 已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观 图中分别画成平行于 x ? 轴或 y ? 轴的线段； (3)已知图形中平行于 x 轴的线段， 在直观图中保持 原长度不变，平行于 y 轴的线段，长度为原来的一 半； (4) 图画好后，要擦去 x 轴、 y 轴及为画图添加的 辅助线（虚线）.※ 动手试试 练 1. 用斜二测画法画底面半径为 4 cm ,高为 3 cm 的 圆柱.例 3 如下图，是一个空间几何体的三视图，请用 斜二测画法画出它的直观图.7◆高一月日班级：姓名：第一章 空间几何体正视图侧视图俯视图图中分别画成平行于 x ? 轴或 y ? 轴的线段； （3）平行于 x 轴或 y 轴的线段，长度均保持不变. 2. 空间几何体的三视图与直观图有密切联系： 三视 图从细节上刻画了空间几何体的结构，根据三视图 可以得到一个精确的空间几何体，得到广泛应用 （零件图纸、建筑图纸）,直观图是对空间几何体的 整体刻画，根据直观图的结构想象实物的形象.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差） .练 2. 由三视图画出物体的直观图.正视图侧视图俯视图※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 一个长方体的长、宽、高分别是 4、8、4，则画 其直观图时对应为（ ）. A. 4、8、4 B. 4、4、4 C. 2、4、4 D.2、4、2 2. 利用斜二测画法得到的①三角形的直观图是三 角形②平行四边形的直观图是平行四边形③正方 形的直观图是正方形④菱形的直观图是菱形，其中 正确的是（ ）. A.①② B.① C.③④ D.①②③④ 3. 一个三角形的直观图是腰长为 4 的等腰直角三 角形，则它的原面积是（ ）. A. 8 B. 16 C. 16 2 D.32 2 4. 下图是一个几何体的三视图正视图 俯视图侧视图小结：由简单组合体的三视图画直观图时，先要想 象出几何体的形状，它是由哪几个简单几何体怎样 构成的；然后由三视图确定这些简单几何体的长 度、宽度、高度，再用斜二测画法依次画出来.请画出它的图形为_____________________. 5. 等腰梯形 ABCD 上底边 CD=1， 腰 AD=CB= 2 ， 下底 AB=3，按平行于上、下底边取 x 轴，则直观 图 A?B ?C ?D ? 的面积为________.三、总结提升 ※ 学习小结 1. 斜二测画法要点①建坐标系，定水平面；②与坐 标轴平行的线段保持平行； ③水平线段( x 轴)等长, 竖直线段( y 轴)减半； ④若是空间几何体,与 z 轴平 行的线段长度也不变. 2. 简单组合体直观图的画法；由三视图画直观图. ※ 知识拓展 1. 立体几何中常用正等测画法画水平放置的圆.正 等测画法画圆的步骤为： （1） 在已知图形⊙ O 中， 互相垂直的 x 轴和 y 轴画 直观图时，把它们画成对应的 x ? 轴与 y ? 轴，且使 ?x?O?y? ? 1200 (或 600 )； （2） 已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观课后作业1. 一个正三角形的面积是 10 3cm2 ， 用斜二测画法 画出其水平放置的直观图，并求它的直观图形的面 积.2. 用斜二测画法画出下图中水平放置的四边形的 直观图. yC (0, 2)8B(4,0)Ox试试 1：想想下面多面体的侧面展开图都是什么样 子，它们的表面积如何计算？§ 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积 与体积（1）学习目标1. 理解和掌握柱、锥、台的表面积计算公式； 2. 能运用柱、锥、台的表面积公式进行计算和解决 有关实际问题.探究 2：圆柱、圆锥、圆台的 表面积 正六棱柱 正四棱台 正四棱锥 问题：根据圆柱、圆锥的几何特征，它们的侧面展 开图是什么图形？它们的表面积等于什么？你能 推导它们表面积的计算公式吗？学习过程一、课前准备 （预习教材 P23~ P25，找出疑惑之处） 复习：斜二测画法画的直观图中， x ? 轴与 y ? 轴的夹 角为____，在原图中平行于 x 轴或 y 轴的线段画成 与___和___保持平行；其中平行于 x 轴的线段长度 保持_____，平行于 y 轴的线段长度____________. 引入：研究空间几何体，除了研究结构特征和视图 以外， 还得研究它的表面积和体积.表面积是几何体 表面的面积，表示几何体表面的大小；体积是几何 体所占空间的大小.那么如何求柱、锥、台、球的表 面积和体积呢？ 新知 2： （1）设圆柱的底面半径为 r ，母线长为 l ， 则它的表面积等于圆柱的侧面积（矩形）加上底面 积（两个圆） ，即 S ? 2? r 2 ? 2? rl ? 2? r (r ? l ) . （2）设圆锥的底面半径为 r ，母线长为 l ，则它的 表面积等于圆锥的侧面积（扇形）加上底面积（圆 形） ，即 S ? ? r 2 ? ? rl ? ? r (r ? l ) . 试试 2：圆台的侧面展开图叫扇环，扇环是怎么得 到的呢？（能否看作是个大扇形减去个小扇形呢） 你能试着求出扇环的面积吗？从而圆台的表面积 呢？二、新课导学 ※ 探索新知 探究 1：棱柱、棱锥、棱台的表面积 问题：我们学习过正方体和长方体的表面积，以及 它们的展开图（下图） ，你觉的它们展开图与其表 面积有什么关系吗？新知 3：设圆台的上、下底面半径分别为 r ? ， r ， 母线长为 l ， 则它的表面积等上、 下底面的面积 （大、 小圆）加上侧面的面积（扇环） ，即 S ? ? r ?2 ? ? r 2 ? ? (r ?l ? rl ) ? ? (r ?2 ? r 2 ? r ?l ? rl ) . 反思：想想圆柱、圆锥、圆台的结构，你觉得它们 的侧面积之间有什么关系吗？ 结论： 正方体、长方体是由多个平面围成的多面 体，其表面积就是各个面的面积的和，也就是展开 图的面积. 新知 1：棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们的表 面积就是其侧面展开图的面积加上底面的面积.9※ 典型例题 例 1 已知棱长为 a ，各面均为等边三角形的四面体 S ? ABC ，求它的表面积.◆高一月日班级：姓名：第一章 空间几何体计算公式； 2. 将空间图形问题转化为平面图形问题， 是解决立 体几何问题最基本、最常用的方法.※ 知识拓展 当柱体、锥体、台体是一些特殊的几何体 ,比如 直棱柱、正棱锥、正棱台时，它们的展开图是一些 规则的平面图形，表面积比较好求；当它们不是特 殊的几何体，比如斜棱柱、不规则的四面体时，要 注意分析各个面的形状、特点，看清楚题目所给的 条件，想办法求出各个面的面积，最后相加.例 2 如图,一个圆台形花盆盆口直径为 20 cm ,盆底 直径为 15 cm , 底部渗水圆孔直径为 1.5cm , 盆壁长 15 cm . 为了美化花盆的外观 ,需要涂油漆 .已知每平 方米用 100 毫升油漆,涂 100 个这样的花盆需要多少 油漆( ? 取 3.14,结果精确到 1 毫升)?学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差） .※ 动手试试 练 1. 一个正三棱锥的侧面都是直角三角形，底面 边长为 a ，求它的表面积.※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 正方体的表面积是 64,则它对角线的长为 （ ） . A. 4 3 B. 3 4 C. 4 2 D. 16 2. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形 ,这个圆柱 的表面积与侧面积的比是（ ）. 1 ? 2? 1 ? 4? 1 ? 2? 1 ? 4? A. B. C. D. 2? 4? ? 2? 3. 一个正四棱台的两底面边长分别为 m , n (m ? n) , 侧面积等于两个底面积之和 , 则这个棱台的高为 （ ）. mn mn m?n m?n A. B. C. D. m?n m?n mn mn 4. 如果圆锥的轴截面是正三角形,则该圆锥的侧面 积与表面积的比是_____________. 5. 已知圆台的上、 下底面半径和高的比为 1 U4U4, 母线长为 10,则圆台的侧面积为___________.课后作业练 2. 粉碎机的上料斗是正四棱台形状，它的上、 下底面边长分别为 80 mm 、440 mm ，高(上下底面 的距离)是 200 mm , 计算制造这样一个下料斗所需 铁板的面积. 1. 圆锥的底面半径为 r ，母线长为 l ，侧面展开图 r 扇形的圆心角为 ? ，求证： ? ? ? 360 （度）. l2. 如图，在长方体中， AB ? b ，BC ? c ，CC1 ? a ， 且 a ? b ? c ，求沿着长方体表面 A 到 C1 的最短路线三、总结提升 ※ 学习小结 1. 棱柱、棱锥、棱台及圆柱、圆锥、圆台的表面积长.D? A? D A B B?C?10C反思：思考下列问题 ⑴比较柱体和锥体的体积公式，你发现什么结论？ ⑵比较柱体、锥体、台体的体积公式，你能发现三 者之间的关系吗？§ 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面 积与体积（2）学习目标1. 了解柱、锥、台的体积计算公式； 2. 能运用柱、锥、台的体积公式进行计算和解决有 关实际问题.※ 典型例题 例 1 如图(1)所示， 三棱锥的顶点为 P ，PA, PB, PC 是 它 的 三 条 侧 棱 , 且 PA, PB, PC 分 别 是 面 PBC , PAC , PAB 的垂线， PB ? 3, PC ? 4 ， 又 PA ? 2 ， 求三棱锥 P ? ABC 的体积 V .PCAB图(1)学习过程一、课前准备 （预习教材 P25~ P26，找出疑惑之处） 复习 1： 多面体的表面积就是___________________ 加上___________. 复习 2 ：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 _____、______、_______；若圆柱、圆锥底面和圆 台上底面的半径都是 r ，圆台下底面的半径是 r ? ， 母线长都为 l ,则 S圆柱 ? _______________________,S圆锥 ? ___________， S圆台 ? __________________.变式：如图(2)，在边长为 4 的立方体中，求三棱锥 B ? ? A?BC ? 的体积. C? D? B? A?D A图(2)CB引入：初中我们学习了正方体、长方体、圆柱的体 积公式 V ? Sh （ S 为底面面积，h 为高） ，是否柱体 的体积都是这样求呢？锥体、台体的体积呢？二、新课导学 ※ 探索新知 新知：经过证明(有兴趣的同学可以查阅祖原理)柱体体积公式为： V ? Sh ， （ S 为底面积， h 为高） 1 锥体体积公式为：V ? Sh ， （ S 为底面积，h 为高） 3 1 台体体积公式为： V ? (S ? ? S ?S ? S )h 3 （ S ? ， S 分别为上、下底面面积， h 为高） 补充：柱体的高是指两底面之间的距离；锥体的高 是指顶点到底面的距离；台体的高是指上、下底面 之间的距离.11小结：求解锥体体积时,要注意观察其结构特征，尤 其是三棱锥(四面体)，它的每一个面都可以当作底 面来处理.这一方法又叫做等体积法， 通常运用此法 可以求点到平面的距离(后面将会学习)，它会给我 们的计算带来方便. 例 2 高 12 cm 的圆台，它的中截面(过高的中点且 平行于底面的平面与圆台的截面)面积为 225 ? cm 2 , 体积为 2800cm3 ，求截得它的圆锥的体积.◆高一月日班级：姓名：第一章 空间几何体变式：已知正六棱台的上、下底面边长分别为 2 和 4，高为 2，求截得它的的正六棱锥的体积.记，要在理解的基础上掌握； 2. 求体积要注意顶点、底面、高的合理选择.※ 知识拓展 祖及祖原理 祖，祖冲之（求圆周率的人）之子，河北人， 南北朝时代的伟大科学家. 柱体、 锥体,包括球的体 积都可以用祖原理推导出来.小结：对于台体和其对应锥体之间的关系，可通过 轴截面中对应边的关系， 用相似三角形的知识来解. 祖原理： 夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的 面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.※ 动手试试3 练 1. 在△ ABC 中, AB ? 2, BC ? , ?ABC ? 120 °, 2 ABC BC 若将△ 绕直线 旋转一周，求所形成的旋转 体的体积.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差） .A BC※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 圆柱的高增大为原来的 3 倍， 底面直径增大为原 来的 2 倍，则圆柱的体积增大为原来的（ ）. A.6 倍 B.9 倍 C.12 倍 D.16 倍 2. 已 知 直 四 棱 柱 相 邻 的 三 个 面 的 面 积 分 别 为 2 , 3 , 6 ，则它的体积为（ ）. A. 2 3 B. 3 2 C. 6 D.4 3. 各棱长均为 a 的三棱锥中，任意一个顶点到其对 应面的距离为（ ）.6 3 3 2 a a a D. a B. C. 3 6 3 6 4. 一个斜棱柱的的体积是 30 cm 3 ， 和它等底等高的 棱锥的体积为________. 5. 已知圆台两底面的半径分别为 a , b (a ? b) ,则圆A.练 2. 直三棱柱高为 6 cm ,底面三角形的边长分别为 3 cm, 4cm,5cm ，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积 的最小值.台和截得它的圆锥的体积比为___________.课后作业1. 有一堆规格相同的铁制( 铁的密度是 7.8 g / cm3 ) 六角螺帽共重 10 kg ，已知底面是正六边形，边长 为 12 mm ，内孔直径为 10 mm ，高为 10 mm ，问这 堆螺帽大约有多少个( ? 取 3.14).三、总结提升 ※ 学习小结 1. 柱体、锥体、台体体积公式及应用，公式不要死2. 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼成一个三12棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与 各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长 也都相等 .设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为 h1 , h2 , h3 ，则 h1 s h2 s h3 = ?变式：若三个球的表面积之比为 1 s 2 s 3 ，则它们 的体积之比为多少?§ 1.3.2 球的体积和表面积学习目标1. 了解球的表面积和体积计算公式； 2. 能运用柱锥台球的表面积公式及体积公式进行 计算和解决有关实际问题.例 2 一种空心钢球的质量是 142 g ， 外径是 5.0 cm ， 求它的内径. （钢密度 7.9 g / cm3 ）学习过程一、课前准备 （预习教材 P27~ P28，找出疑惑之处） 复 习 ： 柱体 包 括 _____ 和 _____, 它 的 体积 公 式为 ___________；锥体包括_______和_______,它的体 积公式为_____________； 台体包括_____和______, 它可以看作是大锥体上截去了一个小锥体 ,所以它 的体积公式为____________________________.二、新课导学 ※ 探索新知 新知：球的体积和表面积 球没有底面,也不能像柱体、锥体、台体那样展成 平面图形，它的体积和表面积的求法涉及极限思想 (一种很重要的数学方法).经过推导证明： 4 球的体积公式 V ? ? R3 3 球的表面积公式 S ? 4? R 2 其中，R 为球的半径.显然，球的体积和表面积的大 小只与半径 R 有关. ※ 典型例题 例 1 木星的表面积约是地球的 120 倍， 则体积约是 地球的多少倍?例 3 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径 (即圆柱内有一内切球)，求证 2 （1）球的体积等于圆柱体积的 ； 3 （2）球的表面积等于圆柱的侧面积.变式：半径为 R 的球内有一内接正方体，设正方体 R 的内切球半径为 r ，则 为多少? r13◆高一月日班级：姓名：第一章 空间几何体小结：两个几何体相接是指一个几何体的所有顶点 都在另一个几何体的表面上；两个几何体相切是指 一个几何体的各面与另一个几何体的各面相切 .解 决几何体相切或相接问题，要利用截面来展现这两 个几何体之间的相互关系，从而把空间问题转化为 平面问题来解决.※ 动手试试 学习评价 练 1.长方体的一个顶点上的三条棱长为 3、 4 、 5 ， 若它的八个顶点都在同一个球面上，求出此球的表 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ 面积和体积. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差如图,将球的表面分成 n 个小球面，每个小球面的顶 点与球心 O 连接起来，近似的看作是一个棱锥，其 高近似的看作是球的半径. 则球的体积约为这 n 个 小棱锥的体积和，表面积是这 n 个小球面的面积和. 当 n 越大时，分割得越细密，每个小棱锥的高就越 接近球的半径， 于是当 n 趋近于无穷大时(即分割无 限加细)，小棱锥的高就变成了球的半径(这就是极 限的思想).所有小棱锥的体积和就是球的体积.最后 根据球的体积公式就可以推导出球的表面积公式.） .※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1. 如果球的半径扩大 2 倍，则球的表面积扩大 （ ）. 2 A. 2 倍 B. 2 倍 C. 倍 D.8 倍 2 2. 有相等表面积的球及正方体，它们的体积记为 V1 , V 2 ， 球直径为 d ， 正方体的棱长为 a ， 则 （ ） . A. d ? a,V1 ? V2 练 2. 如图， 求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成 的几何体的表面积和体积. A 2 D C. d ? a,V1 ? V2 B. d ? a,V1 ? V2 D. d ? a,V1 ? V23. 记与正方体各个面相切的球为 O1 ，与各条棱相 切的球为 O2 ，过正方体各顶点的球为 O3 则这 3 个 球的体积之比为（ ）. A.1:2:3 B.1: 2 : 3 C.1: 2 2 : 3 3 D.1:4:9 4. 已知球的一个截面的面积为 9π ，且此截面到球 心的距离为 4，则球的表面积为__________.4 CB55. 把一个半径为 5 3 2 cm 的金属球熔成一个圆锥 , 使圆锥的侧面积为底面积的 3 倍，则这个圆锥的高 应为_______ cm .课后作业1. 有一个倒圆锥形容器， 它的轴截面是一个正三角 形，在容器内放入一个半径为 R 的球，并注入水， 使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器 中水的深度.三、总结提升 ※ 学习小结 1. 球的表面积及体积公式的应用； 2. 空间问题转化为平面问题的思想. ※ 知识拓展 极限的思想推导球的表面积公式过程：142. 半球内有一内接正方体， 则这个半球的表面积与 正方体表面积之比是多少?§ 1.3 空间几何体的表面积与体积 （练习）学习目标1. 会求空间几何体、简单组合体的面积和体积； 2. 能解决与空间几何体表面积、 体积有关的综合问 题； 3. 进一步体会把空间问题转化为平面问题的思想.小结：有关几何体侧面的问题，通常是把侧面展开 为平面图形，然后在平面图形中寻求解决途径. 变式：在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,已知 AB ? 5 ,BC ? 4, BB1 ? 3 ,从 A 点出发,沿着表面运动到 C1 ,则 最短路线长是多少?学习过程一、课前准备 （复习教材 P23~ P28，找出疑惑之处） 复习 1：柱体、锥体、台体的表面积是如何求出来 的？它们的体积公式有何联系？球的表面积和体 积只和什么变量有关？ 小结：求立体图形表面上两点的最短距离问题，是 立体几何中的一个重要题型 .解决这类问题的关键 是把图形展开(有时全部展开，有时部分展开)为平 面图形， 找出表示最短距离的线段(通常利用两点之 间直线最短). 例 2 若 E , F 是三棱柱 ABC ? A?B?C ? 的侧棱 BB? 和 CC ? 上的点，且 B?E = CF ，三棱柱的体积为 m ,求 四棱锥 A ? BEFC 的体积. 复习 2：简单组合体的表面积和体积怎么求？二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 设圆台的上、 下底面半径分别为 r ? , r ， 母线长 是 l ，圆台侧面展开后所得的扇环的圆心角是 ? ， r ? r? 求证： ? ? 360 （度） l15A?B? 1 ? ，则三 AB 2 棱锥 A? ? ABC , B ? A?B?C , C ? A?B ?C ? 的体积比为多 少?变式：正三棱台 ABC ? A?B?C ? 中，◆高一月日班级：姓名：第一章 空间几何体三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间问题可以转化为平面问题解决； 2. 最短距离的求法； 3. 求体积困难时可采用分割的思想， 化为底 （面积） 高相同的规则几何体求解. ※ 知识拓展 空间问题向平面的转化包括：圆锥、圆台中元素 的关系问题，用轴截面来解决；空间几何体表面上 两点线路最短问题，用侧面展开图来解决；球的组 合体中的切、接问题，用过球心的截面来解决.小结：当直接求体积有困难时，可利用转化思想， 分割几何体，借助体积公式和图形的性质转化为其 它等体积(等底等高或同底同高)的几何体，从而起 到化难为易的作用.※ 动手试试 练 1. 圆锥 SAB 的底面半径为 R ，母线长 SA ? 3R ， D 为 SA 的中点，一个动点自底面圆周上的 A 点沿 圆锥侧面移动到 D ，求这点移动的最短距离. (在 ? ABC 中,边分别为 a , b, c , a 所对角为 ? ,则有 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc ? cos ? )学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差） .※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 在棱长为 1 的正方体上，分别用过顶点的三条棱 中点的平面截该正方体，则截去 8 个三棱锥后，剩 下多面体的体积为（ ）. 2 7 4 5 A. B. C. D. 3 6 5 6 2. 已知球面上过 A, B, C 三点的截面和球心的距离 是球半径的一半，且 AB ? BC ? CA ? 2 ，则球的表 面积为（ ）. 16? 8? 64? A. B. C. 4? D. 9 3 9 3. 正方体的 8 个顶点中有 4 个恰为正四面体的顶点, 则 正方体 的全 面积与 正四 面体的 全面 积之比 为 （ ）.6 2 3 D. 2 3 4. 正四棱锥底面积为 S ， 过两对侧棱的截面面积为 Q ，则棱锥的体积为___________. 5. 已知圆锥的全面积是底面积的 3 倍，那么该圆锥 的侧面展开图的圆心角______度. （ ）A. 2B. 3C.练 2. 直三棱柱各侧棱和底面边长均为 a ，点 D 是 CC ? 上任意一点，连结 A?B 、 BD 、 A?D 、 AD ， 则三棱锥 A ― A?BD 的体积为多少？课后作业1. 一个圆台上下底面半径分别为 5、 10， 母线 A1 A2 = 20.一只蚂蚁从 A1 A2 的中点 M 绕圆台侧面转到下底 面圆周上的点 A2 ，求蚂蚁爬过的最短距离.162. 已知一个圆锥的底面半径为 R ,高为 H ,在其中 有个高为 x 的内接圆柱. (1) 求圆柱的侧面积； (2) x 为何值时，圆柱的侧面积最大？等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四边 体；④每个面都是等边三角形的四边体；⑤每个面 都是直角三角形的四面体.第一章 空间几何体（复习）学习目标1. 认识柱、 锥、 台、 球及其简单组合体的结构特征， 能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构； 2. 能画出简单空间图形的三视图， 能识别三视图所 表示的立体模型； 3. 会用斜二侧画法画几何体的直观图； 4. 会求简单几何体的表面积和体积.例 2 将正三棱柱截去三个角 （如图 1 所示， A、 B、 C 分别是 △GHI 三边的中点）得到几何体如图 2， 则该几何体按图 2 所示方向的侧视图为（ ）.学习过程一、课前准备 （预习教材 P2~ P37，找出疑惑之处） 复习 1：空间几何体的结构 ① 多面体、旋转体有关概念； ② 棱柱、棱锥、棱台结构特征及其分类； ③ 圆柱、圆锥、圆台结构特征； ④ 球的结构特征； ⑤ 简单组合体的结构特征. 复习 2：空间几何体的三视图和直观图 ① 中心投影与平行投影区别，正投影概念； ② 三视图的画法：长对正、高平齐、宽相等； ③ 斜二测画法画直观图： x ? 轴与 y ? 轴夹角 450 ， 平行于 x 轴长度不变，平行于 y 轴长度减半； 复习 3：空间几何体的表面积与体积 ① 柱体、锥体、台体表面积求法（利用展开图） ； ② 柱体、锥体、台体的体积公式； ③ 球的表面积与体积公式.例 3 如下图，已知一平面图形的直观图是底角为 45 °，上底和腰均为 1 的等腰梯形，画出原图形， 并求出原图形的面积. y?C?B?450x?O?A?二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 在正方体上任意选择 4 个顶点，它们可能是 如下各种几何体的 4 个顶点， 这些几何体是______. （写出所有正确结论的编号） ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为17例 4 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图 中的尺寸，这个几何体的体积是多少?◆高一月日班级：姓名：第一章 空间几何体三、总结提升20 20 20 10 10 20※ 学习小结 1. 空间几何体结构的掌握； 2. 实物图、三视图、直观图三者之间的转换； 3. 特殊几何体(正棱柱、正棱锥、正棱台、球)表面 积与体积的求法；特殊空间关系 （内外切、内外接） 的处理. ※ 知识拓展 通过本章的学习，同学们应该理解和掌握处理空 间几何体的基本方法：把空间图形转化为平面图 形；并且体会到解题过程中归纳、转化、数形结合 的数学思想，初步了解运动变化这一辨证唯物主义 观点在解题过程中的应用.※ 动手试试 练 1. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个 视图相同的是（ ）.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差） .①正方体 A. ①②②圆锥 B. ①③③三棱台 ④正四棱锥 C. ①④ D. ②④练 2. 正四棱锥 S ? ABCD 的底面边长和各侧棱长 都为 2 ，点 S , A, B, C , D 都在同一个球面上，则该 球的体积为多少?※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 已知 ?ABC 是一个直角三角形， 则经过平行投影 后所得三角形是（ ）. A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 2. 某棱台上、下底面半径之比为 1s2，则上、下 底面的面积之比为（ ）. A.1s2 B.1s4 C.2s1 D.4s1 3. 长方体的高等于 h ，底面积等于 S ，过相对侧棱 的截面面积为 S ? ，则长方体的侧面积等于（ ）. 2 2 2 2 A. 2 S ? ? h S B. 2 2S ? ? 2h SC. 2 S ?2 ? 2h2 S D. S ?2 ? 2h2 S 4. 下图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的表面积是__________.练 3. 一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直 径为 2 m 、高为 4 m 的圆柱形物体，上面是一个半球 形体，如果每平方米大约需要鲜花 200 朵，那么装 饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（ ? 取 3.14 ）?5. 三棱柱 ABC ? A?B?C ? 中，若 E , F 分别为 AB , AC 的中点，平面 EB ?C ?F 将三棱柱分成体积为 V1 ,V2 的 两部分，那么 V1 s V 2 =________.课后作业1. 正四棱台高是 12 cm ，两底面边长之差为 10 cm , 全面积为 512cm 2 ，求上、下底面的边长.182. 如图，体积为 V 的大球内有 4 个小球，每个小 球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个 交点，4 个小球的球心是以大球球心为中心的正方 形的 4 个顶点.V1 为小球相交部分（图中阴影部分） 的体积，V2 为大球内、小球外的图中黑色部分的体 积，试比较 V1 ,V2 的大小关系.规定：①画平行四边形，锐角画成 45 °，横边长等 于其邻边长的 2 倍； ②两个平面相交时， 画出交线， 被遮挡部分用虚线画出来；③用希腊字母表示平面 时，字母标注在锐角内. 问题：点动成线、线动成面.联系集合的观点，点和 直线、平面的位置关系怎么表示？直线和平面呢? 新知 3：⑴点 A 在平面 ? 内，记作 A ? ? ；点 A 在 平面 ? 外，记作 A ? ? . ⑵点 P 在直线 l 上，记作 P ? l ，点 P 在直线外，记作 P ? l .⑶直线 l 上所有 点都在平面 ? 内,则直线 l 在平面 ? 内(平面 ? 经过 直线 l ), 记作 l ? ? ；否则直线就在平面外，记作 l ?? . 探究 2：平面的性质 问题：直线 l 与平面 ? 有一个公共点 P ,直线 l 是否 在平面 ? 内?有两个公共点呢?§ 2.1.1 平面学习目标1. 了解平面的描述性概念； 2. 掌握平面的表示方法和基本画法； 3. 掌握平面的基本性质； 4. 能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它 们之间的关系.新知 4：公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面 内，那么这条直线在此平面内.用集合符号表示为： A ? l, B ? l, 且 A ?? , B ?? ? l ? ? 问题：两点确定一直线，两点能确定一个平面吗？ 任意三点能确定一个平面吗？学习过程一、课前准备 （预习教材 P40~ P43，找出疑惑之处） 引入： 平面是构成空间几何体的基本要素.那么什么 是平面呢?平面如何表示呢?平面又有哪些性质呢?二、新课导学 ※ 探索新知 探究 1：平面的概念与表示 问题：生活中哪些物体给人以平面形象？你觉得平 面可以拉伸吗？平面有厚薄之分吗？新知 1：平面(plane)是平的；平面是可以无限延展 的；平面没有厚薄之分. 问题：通常我们用一条线段表示直线，那你认为用 什么图形表示平面比较合适呢？新知 5：公理 2 过不在一条直线上的三点，有且只 有一个平面. 如上图,三点确定平面 ABC . 问题：把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所 在平面与桌面所在平面是否只相交于点 B ? 为什 么?新知 6：公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共 点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.如下 图所示：新知 2：如上图，通常用平行四边形来表示平面.平 面可以用希腊字母 ? , ? , ? 来表示，也可以用平行四 边形的四个顶点来表示，还可以简单的用对角线的 端点字母表示.如平面 ? ,平面 ABCD ,平面 AC 等.19◆高一月日班级：姓名：第一章 空间几何体平面 ? 与平面 ? 相交于直线 l ，记作 ? ? ? l .公理 3 用集合符号表示为 P ? a , 且 P ? ? ? ? ? ? l ,且 P ? l三、总结提升 ※ 学习小结 1. 平面的特征、画法、表示； 2. 平面的基本性质(三个公理)； 3. 用符号表示点、线、面的关系. ※ 知识拓展 平面的三个性质是公理(不需要证明,直接可以用), 是用公理化方法证明命题的基础.其中公理 1 可以用 来判断直线或者点是否在平面内；公理 2 用来确定 一个平面， 判断两平面重合，或者证明点、线共面； 公理 3 用来判断两个平面相交，证明点共线或者线 共点的问题.※ 典型例题 例 1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面 之间的位置关系.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差例 2 如图在正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中，判断下列 命题是否正确，并说明理由： C? D? O ? ⑴直线 AC 在平面 ABCD 内； B? ⑵设上下底面中心为 O, O ? ， ? A 则平面 AA?C ?C 与平面 BB? ? 的交线为 OO ? ； DD D ⑶点 A, O , C ? 可以确定一平面； C ⑷平面 AB?C ? 与平面 AC ?D O A B 重合. ） .※ 动手试试 练 用符号表示下列语句，并画出相应的图形： ⑴点 A 在平面 ? 内，但点 B 在平面 ? 外； ⑵直线 a 经过平面 ? 外的一点 M ； ⑶直线 a 既在平面 ? 内，又在平面 ? 内.※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 下面说法正确的是（ ）. 2 ABCD 10 cm ①平面 的面积为 ② 100 个平面重合比 50 个平面重合厚③空间图形中虚线都是辅助线④ 平面不一定用平行四边形表示. A.① B.② C.③ D.④ 2. 下列结论正确的是（ ）. ①经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个 平面②经过两条相交直线，可以确定一个平面③经 过两条平行直线，可以确定一个平面④经过空间任 意三点可以确定一个平面 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 3. 如图在四面体中，若直线 EF 和 GH 相交，则它 们的交点一定（ ）. D A.在直线 DB 上 E B.在直线 AB 上 G C.在直线 CB 上 A D.都不对 CF B H4. 直线 l1 , l2 相交于点 P ，并且分别与平面 ? 相交于 点 A, B 两点， 用符号表示为____________________. 5. 两个平面不重合，在一个面内取 4 点，另一个面 内取 3 点，这些点最多能够确定平面_______个.课后作业1. 画出满足下列条件的图形： ⑴三个平面：一个水平，一个竖直，一个倾斜； ⑵ ? ? ? l , AB ? ? , CD ? ? , AB ∥ l ， CD ∥ l .20新知 1：像直线 A?B 与 CC ? 这样不同在任何一个平 面内的两条直线叫做异面直线(skew lines). 试试：请在上图的长方体中，再找出 3 对异面直线. 问题：作图时，怎样才能表示两条直线是异面的？ 2.如图在正方体中，A 是顶点，B, C 都是棱的中点， 请作出经过 A, B, C 三点的平面与正方体的截面. 新知 2：异面直线的画法有如下几种( a , b 异面)：b?bab??aa?试试：请你归纳出空间直线的位置关系.§ 2.1.2 空间直线与直线之间的位置 关系学习目标1. 2. 3. 4. 正确理解异面直线的定义； 会判断空间两条直线的位置关系； 掌握平行公理及空间等角定理的内容和应用； 会求异面直线所成角的大小.探究 2：平行公理及空间等角定理 问题：平面内若两条直线都和第三条直线平行，则 这两条直线互相平行，空间是否有类似规律? 观察： 如图 2-1,在长方体中， 直线 C ?D ? ∥ A?B? ，AB ? ? 平行吗? C D ∥ A?B? ，那么直线 AB 与学习过程一、课前准备 （预习教材 P44~ P47，找出疑惑之处） 复习 1： 平面的特点是______、 _______ 、 _______. 复习 2：平面性质(三公理) 公理 1___________________________________； 公理 2___________________________________； 公理 3___________________________________.图 2-1 新知 3: 公理 4 (平行公理)平行于同一条直线的两 条直线互相平行. 问题： 平面上,如果一个角的两边与另一个角的两边 分别平行，则这两个角相等或者互补，空间是否有 类似结论? 观察：在图 2-1 中 , ?ADC 与 ?A?D ?C ? , ?ADC 与 ?A?B?C ? 的两边分别对应平行，这两组角的大小关 系如何? 新知 4: 定理 空间中如果两个角的两边分别对应 平行，那么这两个角相等或互补. 探究 3：异面直线所成的角 问题：平面内两条直线的夹角是如何定义的? 想一 想异面直线所成的角该怎么定义?二、新课导学 ※ 探索新知 探究 1：异面直线及直线间的位置关系 问题：平面内两条直线要么平行要么相交（重合不 考虑）,空间两条直线呢?观察：如图在长方体中，直线 A?B 与 CC ? 的位置关 系如何？结论：直线 A?B 与 CC ? 既不相交，也不平行.21图 2-2 新知 5: 如图 2-2,已知两条异面直线 a , b ， 经过空间 ? ? ? O a b a b 任一点 作直线 ∥a, ∥ ， 把 与 b ? 所成的◆高一月日班级：姓名：第一章 空间几何体锐角 ( 或直角 ) 叫做异面直线 a , b 所成的角 ( 夹角 ). 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直 线互相垂直，记作 a ? b . 反思：思考下列问题. ⑴ 作异面直线夹角时，夹角的大小与点 O 的位置 有关吗?点 O 的位置怎样取才比较简便? ⑵ 异面直线所成的角的范围是多少? ⑶ 两条互相垂直的直线一定在同一平面上吗? ⑷ 异面直线的夹角是通过什么样的方法作出来的 ? 它体现了什么样的数学思想?三、总结提升 ※ 学习小结 1. 异面直线的定义、夹角的定义及求法； 2. 空间直线的位置关系； 3. 平行公理及空间等角定理. ※ 知识拓展 异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一 点的直线， 和平面内不经过该点的直线是异面直线.※ 典型例题 例 1 如图 2-3, E , F , G, H 分别为空间四边形 ABCD , CD , DA 各 边 A B, B C 的 中 点 ， 若 对 角 线 BD ? 2, 2 AC ? 4 ，则 EG ? HF 2 的值为多少?(性质：平行四 边形的对角线的平方和等于四条边的平方和).如图，a ? ? , A ? ? , B ? ? , B ? a ，则直线 AB 与直线 ? 是异面直线.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差） .图 2-3 例 2 如图 2-4， 在正方体中， 求下列异面直线所成 的角.⑴ BA? 和 CC ? ⑵ B?D? 和 C ?A图 2-4※ 动手试试 练 正方体 ABCD ? A? B? C? D? 的棱长为 a ，求异面 直线 AC 与 A?D? 所成的角.※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. a , b, c 为三条直线， 如果 a ? c, b ? c ， 则 a , b 的位 置关系必定是（ ）. A.相交 B.平行 C.异面 D.以上答案都不对 2. 已知 a , b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a ，那 么c 与b （ ）. A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 3. 已知 ? ? ? l , a ? ? , b ? ? ， 且 a , b 是异面直线， 那么直线 l （ ）. A.至多与 a , b 中的一条相交 B.至少与 a , b 中的一条相交 C.与 a , b 都相交 D.至少与 a , b 中的一条平行 4. 正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 的十二条棱中，与直线 AC ? 是异面直线关系的有___________条. 5. 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 3 , BC ? 2, AA1 =1， 异面直线 AC 与 A1 D1 所成角的余弦值是______.课后作业1. 已知 E , E ? 是正方体 AC ? 棱 AD ， A?D? 的中点， 求证： ?CEB ? ?C ?E ?B ? .222. 如图 2-5，在三棱锥 P ? ABC 中，PA ? BC ，E 、 PE AF 3 ? ? ，设 F 分别是 PC 和 AB 上的点，且 EC FB 2 图 3-1 EF 与 PA 、 BC 所成的角分别为 ? , ? ， 求证： ? ? ? ? 90 °. 新知 1：直线与平面位置关系只有三种： ⑴直线在平面内―― ⑵直线与平面相交―― ⑶直线与平面平行―― 其中，⑵、⑶两种情况统称为直线在平面外. 反思： ⑴从交点个数方面来分析，上述三种关系对应的交 点有多少个？请把结果写在新知 1 的――符号后面 ⑵请你试着把上述三种关系用图形表示出来，并想 想用符号语言该怎么描述.图 2-5§ 2.1.3 空间直线与平面之间的位置 关系 § 2.1.4 平面与平面之间的位置关系学习目标1. 掌握直线与平面之间的位置关系， 理解直线在平 面外的概念,会判断直线与平面的位置关系； 2. 掌握两平面之间的位置关系， 会画相交平面的图 形.学习过程一、课前准备 （预习教材 P48~ P50，找出疑惑之处） 复习 1：空间任意两条直线的位置关系有_______、 _______、_______三种. 复习 2：异面直线是指________________________ 的两条直线 , 它们的夹角可以通过 ______________ 的方式作出,其范围是___________. 复习 3：平行公理：__________________________ ________________；空间等角定理：____________ ___________________________________________. 探究 2：平面与平面的位置关系 问题：平面与平面的位置关系有几种？你试着拿两 个作业本比画比画. 观察：还是在长方体中，如图 3-2，你看看它的六 个面两两之间的位置关系有几种?二、新课导学图 3-2※ 探索新知 新知 2：两个平面的位置关系只有两种： 探究 1：空间直线与平面的位置关系 ⑴两个平面平行――没有公共点 问题： 用铅笔表示一条直线， 作业本表示一个平面， ⑵两个平面相交――有一条公共直线 你试着比画，它们之间有几种位置关系? 试试：请你试着把平面的两种关系用图形以及符号 观察：如图 3-1,直线 A?B 与长方体的六个面有几种 语言表示出来. 位置关系?23◆高一月日班级：姓名：第一章 空间几何体A.①⑤ B.①②C.②④ D.③⑤三、总结提升 ※ 典型例题 例 1 下列命题中正确的个数是（ ） ①若直线 l 上有无数个点不在平面 ? 内，则 l ∥ ? . ②若直线 l 与平面 ? 平行，则 l 与平面 ? 内的任意 一条直线都平行. ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那 么另一条也与这个平面平行. ④若直线 l 与平面 ? 平行，则 l 与平面 ? 内的任意 一条直线都没有公共点. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3例 2 已知平面 ? , ? ，直线 a , b ，且 ? ∥ ? , a ? ? ， b ? ? ，则直线 a 与直线 b 具有怎样的位置关系?※ 学习小结 1. 直线与平面、平面与平面的位置关系； 2. 位置关系用图形语言、符号语言如何表示； 3. 长方体作为模型研究空间问题的重要性. ※ 知识拓展 求类似确定空间的部分、平面的个数、交线的 条数、交点的个数问题,都应对相应的点、线、面的 位置关系进行分类讨论， 做到不重不漏.分类讨论是 数学中常用的重要数学思想方法，可以使问题化难 为易、化繁为简.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差） .※ 动手试试 练 1. 若直线 a 不平行于平面 ? ，且 a ? ? ，则下列 结论成立的是（ ） A. ? 内的所有直线与 a 异面 B. ? 内不存在与 a 平行的直线 C. ? 内存在唯一的直线与 a 平行 D. ? 内的直线与 a 都相交.※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 直线 l 在平面 ? 外，则（ ）. A. l ∥ ? B. l 与 ? 至少有一个公共点 C. l ? ? A D. l 与 ? 至多有一个公共点 2. 已知 a ∥ ? ， b ? ? ，则（ ）. A. a ∥ b B. a 和 b 相交 C. a 和 b 异面 D. a 与 b 平行或异面 3. 四棱柱的的六个面中，平行平面有（ ）. A.1 对 B.1 对或 2 对 C.1 对或 2 对或 3 对 D.0 对或 1 对或 2 对或 3 对 4. 过直线外一点与这条直线平行的直线有____条； 过直线外一点与这条直线平行的平面有____个. 5. 若在两个平面内各有一条直线， 且这两条直线互 相平行， 那么这两个平面的位置关系一定是______.课后作业1. 已知直线 a , b 及平面 ? 满足: a ∥ ? , b ∥ ? ,则 直线 a , b 的位置关系如何?画图表示.练 2. 已知 a , b, c 为三条不重合的直线，? , ? , ? 为三 个不重合的平面： ①a∥c ,b ∥c ? a∥b ； ② a ∥? ,b ∥? ? a ∥b ； ③ a ∥ c , c ∥? ? a ∥? ； ④ a ∥ ? , a ∥ ? ?? ∥ ? ； ⑤ a ?? , b ? ? , a ∥ b ? a ∥? . 其中正确的命题是（ ）242. 两个不重合的平面， 可以将空间划为几个部分？ 三个呢？试画图加以说明.⑴点与线、点与面的关系； ⑵线与线、线与面的关系； ⑶面与面的关系.二、新课导学 ※ 典型例题 BC AB ? ? P ， 例 1 如图 4-1, ?ABC 在平面 ? 外， ? ? Q ， AC ? ? R ，求证： P , Q , R 三点共线.图 4-1§ 2.1 空间点、直线、平面之间的 位置关系（练习）学习目标1. 理解和掌握平面的性质定理，能合理运用； 2. 掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位 置关系； 3. 会判断异面直线，掌握异面直线的求法； 4. 会用图形语言、符号语言表示点、线、面的位置 关系.小结：证明点共线的基本方法有两种 ⑴找出两个面的交线，证明若干点都是这两个平面 的公共点，由公理 3 可推知这些点都在交线上，即 证若干点共线. ⑵选择其中两点确定一条直线，证明另外一些点也 都在这条直线上. 例 2 如图 4-2,空间四边形 ABCD 中， E , F 分别是 AB 和 CB 上的点， G , H 分别是 CD 和 AD 上的点， 且 EH 与FG 相交于点 K .求证： EH , BD , FG 三条 直线相交于同一点.学习过程一、课前准备 （预习教材 P40~ P50，找出疑惑之处） 复习 1：概念与性质 ⑴平面的特征和平面的性质(三个公理)； ⑵平行公理、等角定理； ?平行 ? ⑶直线与直线的位置关系 ?相交 ?异面 ??在平面内 ? ⑷直线与平面的位置关系 ? 相交 ? 平行 ?图 4-2?平行 ⑸平面与平面的位置关系 ? ?相交小结：证明三线共点的基本方法为：先确定待证的 三线中的两条相交于一点 ,再证明此点是二直线所 在平面的公共点，第三条直线是两个平面的交线， 由公理 3 得证这三线共点. 例 3 如图 4-3,如果两条异面直线称作“一对” ，那 么在正方体的 12 条棱中，共有异面直线多少对?复习 2：异面直线夹角的求法：平移线段作角，解 三角形求角. 复习 3：图形语言、符号语言表示点、线、面的位 置关系25◆高一月日班级：姓名：第一章 空间几何体小结：分类讨论的数学思想 图 4-3 反思：分析清楚几何特点是避免重复计数的关键， 计数问题必须避免盲目乱数，分类时要不重不漏.三、总结提升 ※ 学习小结 1. 平面及平面基本性质的应用； 2. 点、线、面的位置关系； 3. 异面直线的判定及夹角问题. ※ 知识拓展 异面直线的判定方法： ①定义法：利用异面直线的定义，说明两直线不平 行，也不相交，即不可能在同一个平面内. ②定理法：利用异面直线的判定定理说明. ③反证法(常用)：假设两条直线不异面，则它们一 定共面，即这两条直线可能相交，也可能平行，然 后根据题设条件推出矛盾.※ 动手试试 练 1. 如图 4-4,是正方体的平面展开图,图 4-4 则在这个正方体中： ① BM 与 ED 平行 ② CN 与 BE 是异面直线 ③ CN 与 BM 成 60°角 ④ DM 与 BN 是异面直线 其中正确命题的序号是（ ） A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④ 练 2. 如图 4-5， 在正方体中，E , F 分别为 AB 、AA? ? , DA 三线交于一点. 的中点，求证： CE , DF学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差） .图 4-5练 3. 由一条直线和这条直线外不共线的三点,能确 定平面的个数为多少?※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 直线 l1 ∥ l2 ,在 l1 上取 3 个点，在 l2 上取 2 个点， 由这 5 个点确定的平面个数为（ ）. A.1 个 B.3 个 C.6 个 D.9 个 2. 下列推理错误的是（ ）. A. A ? l , A ? ? , B ? l , B ? ? ? l ? ? B. A ? ? , A ? ? , B ? ? , B ? ? ? ? ? ? AB C. l ? ? , A ? l ? A ? ? D. A , B , C ? ? , A , B , C ? ? ,且 A , B , C 不共线 ? ? 与? 重合 3. a , b 是异面直线, b , c 是异面直线， 则 a , c 的位置 关系是（ ）. A.相交、平行或异面 B.相交或平行 C.异面 D.平行或异面 4. 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行， 则它与另一平面____________. 5. 垂直于同一条直线的两条直线位置关系是_____ _____________；两条平行直线中的一条与某一条 直线垂直，则另一条和这条直线______.课后作业1. 如图 4-6,在正方体中 M , N 分别是 AB 和 DD? 的 中点，求异面直线 B?M 与 CN 所成的角.26图 4-6图 5-1 实例 2：如图 5-2，将一本书平放在桌面上，翻动书 的封面，观察封面边缘所在直线 l 与桌面所在的平 面具有怎样的位置关系？2. 如图 4-7,已知不共面的直线 a , b , c 相交于 O 点， M , P 点是直线 ? 上两点， N , Q 分别是直线 b , c 上 一点.求证： MN 和 PQ 是异面直线. aP MOcQ图 5-2bN图 4-7结论：上述两个问题中的直线 l 与对应平面都是平 行的. 探究 2：直线与平面平行的判定定理 问题： 探究 1 两个实例中的直线 l 为什么会和对应的 平面平行呢？你能猜想出什么结论吗？能作图把 这一结论表示出来吗？ 新知：直线与平面平行的判定定理 定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平 行， 则该直线与此平面平行. 如图 5-3 所示， a ∥? .§ 2.2.1 直线与平面平行的判定学习目标1. 通过生活中的实际情况，建立几何模型，了解直 线与平面平行的背景； 2. 理解和掌握直线与平面平行的判定定理， 并会用 其证明线面平行.学习过程一、课前准备 （预习教材 P54~ P55，找出疑惑之处） 复习：直线与平面的位置关系有______________， _______________，_________________. 讨论：直线和平面的位置关系中，平行是最重要的 关系之一，那么如何判定直线和平面是平行的呢？ 根据定义好判断吗？ 图 5-3 反思：思考下列问题 ⑴用符号语言如何表示上述定理； ⑵上述定理的实质是什么？它体现了什么数学思 想？ ⑶如果要证明这个定理，该如何证明呢？二、新课导学 ※ 探索新知 探究 1：直线与平面平行的背景分析 实例 1：如图 5-1，一面墙上有一扇门，门扇的两边 是平行的.当门扇绕着墙上的一边转动时， 观察门扇 l 转动的一边 与墙所在的平面位置关系如何？※ 典型例题 例 1 有一块木料如图 5-4 所示， P 为平面 BCEF 内 一点，要求过点 P 在平面 BCEF 内作一条直线与平 面 ABCD 平行，应该如何画线？27◆高一月日班级：姓名：第一章 空间几何体图 5-4 例 2 如图 5-5，空间四边形 ABCD 中， E , F 分别是 AB , AD 的中点，求证： EF ∥平面 BCD .三、总结提升 ※ 学习小结 1. 直线与平面平行判定定理及其应用 ,其核心是线 线平行 ? 线面平行； 2. 转化思想的运用：空间问题转化为平面问题. ※ 知识拓展 判定直线与平面平行通常有三种方法： ⑴利用定义： 证明直线与平面没有公共点.但直接证 明是困难的，往往借助于反正法来证明. ⑵利用判定定理， 其关键是证明线线平行.证明线线 平行可利用平行公理、中位线、比例线段等等. ⑶利用平面与平面平行的性质.(后面将会学习到)图 5-5※ 动手试试 练 1. 正方形 ABCD 与正方形 ABEF 交于 AB ， M和 N 分别为 AC 和 BF 上的点， 且 AM ? FN ， 如图 5-6 所示.求证： MN ∥平面 BEC .C学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差） .M D ABNEF图 5-6练 2. 已知 ?ABC , D, E 分别为 AC , AB 的中点，沿 DE 将 ?ADE 折起，使 A 到 A? 的位置，设 M 是 A?B 的中点，求证： ME ∥平面 A?CD .※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 若直线与平面平行， 则这条直线与这个平面内的 （ ）. A.一条直线不相交 B.两条直线不相交 C.任意一条直线都不相交 D.无数条直线不相交 2. 下列结论正确的是（ ）. A.平行于同一平面的两直线平行 B.直线 l 与平面 ? 不相交，则 l ∥平面 ? C. A, B 是平面 ? 外两点， C , D 是平面 ? 内两点， 若 AC ? BD ，则 AB ∥平面 ? D.同时与两条异面直线平行的平面有无数个 3. 如果 AB 、BC 、CD 是不在同一平面内的三条线 段，则经过它们中点的平面和直线 AC 的位置关系 是（ ）. A.平行 B.相交 C. AC 在此平面内 D.平行或相交 4. 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的六个面和六个对角 面中，与棱 AB 平行的面有________个. 5. 若直线 a , b 相交，且 a ∥ ? ，则 b 与平面 ? 的位 置关系是_____________.课后作业281. 如图 5-7，在正方体中， E 为 DD1 的中点，判断 BD1 与平面 AEC 的位置关系，并说明理由.行吗？由此你可以得到什么结论？ 结论：两个平面平行的问题可以转化为一个平面内 的直线与另一个平面平行的问题. 问题 2：一个平面内所有直线都平行于另外一个平 面好证明吗？能否只证明一个平面内若干条直线 和另外一个平面平行，那么这两个平面就平行呢？图 5-7 2. 如图 5-8，在空间四边形 ABCD 中， P 、 Q 分别 是 ?ABC 和 ?BCD 的重心.求证： PQ ∥平面 ACD .试试：在长方体中，回答下列问题 ⑴如图 6-1， AA? ? 面AA?B?B , AA? ∥面 BB ?C ?C ， 则面 AA?B?B ∥面 BB ?C ?C 吗？图 6-1 ⑵如图 6-2， AA? ∥ EF ， AA? ∥ 面DCC ?D? ， EF ∥ 面DCC ?D? ，则 面A?ADD? ∥ 面DCC ?D? 吗？图 5-8 图 6-2 ⑶如图 6-3， 直线 A?C ? 和 B?D? 相交， 且 A?C ? 、B?D? 都和平面 ABCD 平行(为什么)，则平面 A?B ?C ?D ? ∥ 平面 ABCD 吗？§ 2.2. 2 平面与平面平行的判定学习目标1. 能借助于长方体模型讨论直线与平面、 平面与平 面的平行问题； 2. 理解和掌握两个平面平行的判定定理及其运用； 3. 进一步体会转化的数学思想.学习过程一、课前准备 （预习教材 P56~ P57，找出疑惑之处） 复习 1： 直线与平面平行的判定定理是___________ ___________________________________________. 复习 2：两个平面的位置关系有___种，分别为____ ___和_______.图 6-3 反思：由以上 3 个问题，你得到了什么结论？新知：两个平面平行的判定定理 一个平面内的两 讨论：两个平面平行的定义是两个平面没有公共点, 条相交直线与另一个平面平行， 则这两个平面平行. 怎样证明两个平面没有公共点呢?你觉得好证吗? 如图 6-4 所示， ? ∥ ? .二、新课导学 ※ 探索新知 探究：两个平面平行的判定定理 问题 1：平面可以看作是由直线构成的.若一平面内 的所有直线都与另一个平面平行，则这两个平面平29◆高一月日班级：姓名：第一章 空间几何体图 6-4 反思： ⑴定理的实质是什么? ⑵用符号语言把定理表示出来. ⑶如果要证明定理，该怎么证明呢？ 图 6-7三、总结提升 ※ 典型例题 例 1 已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ， 如图 6-5， 求证： 平面 AB1 D1 ∥ CB1 D . ※ 学习小结 1. 平面与平面平行的判定定理及应用； 2. 转化思想的运用. ※ 知识拓展 判定平面与平面平行通常有 5 种方法 ⑴根据两平面平行的定义(常用反证法)； ⑵根据两平面平行的判定定理； ⑶垂直于同一条直线的两个平面平行(以后学习)； ⑷两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面 平行(平行的传递性)； ⑸一个平面内的两条相交直线分别平行于另外一 个平面内的两条直线， 则这两个平面平行(判定定理 的推论).图 6-5 例 2 如图 6-6， 已知 a , b 是两条异面直线， 平面 ? 过 a ，与 b 平行，平面 ? 过 b ，与 a 平行， 求证：平面 ? ∥平面 ?学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差） .※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 平面 ? 与平面 ? 平行的条件可以是（ ）. a ? A. ? 内有无穷多条直线都与 ? 平行 B.直线 a 与 ? , ? 都平行，且不在 ? 和 ? 内 图 6-6 C.直线 a ? ? ,直线 b ? ? ,且 a ∥ ? , b ∥ ? D. ? 内的任何直线都与 ? 平行 2. 经过平面 ? 外的一条直线 a 且与平面 ? 平行的 平面（ ）. A.有且只有一个 B.不存在 C.至多有一个 D.至少有一个 a , b ，及不同的平面 ? 、 ? ，给 3. 设有不同的直线 小结：证明面面平行，只需证明线线平行，而且这 出的三个命题中正确命题的个数是（ ）. 两条直线必须是相交直线. ①若 a ∥ ? , b ∥ ? ,则 a ∥ b ②若 a ∥ ? , ? ∥ ? , 则 a ∥ ? ③若 a ? ?,? ∥ ? ,则 a ∥ ? . ※ 动手试试 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 M , N , E , F 分别是棱 A?B? ， 练. 如图 6-7， 正方体中， 4. 如果两个平面分别经过两条平行线中的一条， 则 A?D? ， B ?C ? ， C ?D ? 的中点，求证：平面 AMN ∥ 这两个平面的位置关系是 ________________. 平面 EFDB . D? F C? 5. 若两个平面都平行于两条异面直线中的每一条 , N 则这两平面的位置关系是_______________. A? B? E MD A BC30?b课后作业1. 如图 6-8，在几何体 ABC ? A?B?C ? 中， ?1 + ?2 ? 180 °, ?3 ? ?4 ? 180 °,求证：平面 ABC ∥ 平面 A?B ?C ? .的平面 ? 内画出一条和直线 a 平行的直线 b .图 7-1 问题 2：我们知道两条平行线可以确定一个平面(为 什么?)，请在图 7-1 中把直线 a , b 确定的平面画出 来，并且表示为 ? . 图 6-8 2. 如图 6-9， A? 、 B? 、 C ? 分别是 ?PBC 、 ?PCA 、 ?PAB 的重心.求证：面 A?B ?C ? ∥ 面ABC . 问题 3： 在你画出的图中， 平面 ? 是经过直线 a , b 的 平面，显然它和平面 ? 是相交的，并且直线 b 是这 两个平面的交线，而直线 a 和 b 又是平行的.因此， 你能得到什么结论?请把它用符号语言写在下面.问题 4： 在图 7-2 中过直线 a 再画另外一个平面 ? 与 平面 ? 相交，交线为 c .直线 a , c 平行吗? 和你上面 得出的结论相符吗?你能不能从理论上加以证明呢?图 6-9 图 7-2§ 2.2.3 直线与平面平行的性质学习目标1. 掌握直线和平面平行的性质定理； 2. 能灵活运用线面平行的判定定理和性质定理， 掌 握“线线” “线面”平行的转化.学习过程一、课前准备 （预习教材 P58~ P60，找出疑惑之处） 复习 1：两个平面平行的判定定理是____________ _____________________________________ ； 它 的 实质是由__________平行推出__________平行. 复习 2： 直线与平面平行的判定定理是___________ _____________________________________. 讨论： 如果直线 a 与平面 ? 平行， 那么 a 和平面 ? 内 的直线具有什么样的关系呢？ 新知：直线与平面平行的性质定理 一条直线与一 个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的 交线都与该直线平行. 反思：定理的实质是什么？二、新课导学 ※ 探索新知 探究：直线与平面平行的性质定理 问题 1：如图 7-1，直线 a 与平面 ? 平行.请在图中31※ 典型例题 例 1 如图 7-3 所示的一块木料中，棱 BC 平行于 面A?C ? . ⑴要经过 面A?C ? 内的一点 P 和棱 BC 将木料锯开 , 应怎样画线? ⑵所画的线与平面 AC 是什么位置关系?◆高一月日班级：姓名：第一章 空间几何体那么这条直线和它们的交线平行.图 7-3例 2 如图 7-4，已知直线 a , b ，平面 ? ，且 a ∥ b ， a ∥ ? ， a , b 都在平面 ? 外.求证： b ∥ a .三、总结提升 ※ 学习小结 1. 直线和平面平行的性质定理运用； 2. 体会线线平行与线面平行之间的关系. ※ 知识拓展 在证明线线或线面平行的时候，直线和平面平 行的判定定理和性质定理在解题时往往交替使用， 相互转换，即线面平行问题往往转化为线线平行问 题，线线平行问题又转化为线面平行问题，反复运 用，直到得出结论.图 7-4小结：运用线面平行的性质定理证题，应把握以下 三个条件①线面平行，即 a ∥ ? ；②面面相交，即 ? ? = b ；③线在面内，即 b ? ? .学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差） .※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： ※ 动手试试 练 1. 如图 7-5 所示，已知 a ∥ b ， a ? ? ， b ? ? ， 1. a 、 b 、 c 表示直线， M 表示平面，可以确定 ）. a ∥ b 的条件是（ ? ? ? l ，求证： a ∥ b ∥ l . A. a ∥ M , b ? M B. a ∥ c , c ∥ b C. a ∥ M , b ∥ M D. a 、 b 和 c 的夹角相等 2. 下列命题中正确的个数有（ ）. ①若两个平面不相交，则它们平行； ②若一个平面内有无数条直线都平行与另一个平 面，则这两个平面平行； 图 7-5 ③空间两个相等的角所在的平面平行. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 3. 平行四边形 EFGH 的四个顶点 E 、 F 、 G 、 H CD 、 分别在空间四边形 ABCD 的四条边 AB 、BC 、 ）. AD 上，又 EH ∥ FG ，则（ A. EH ∥ BD ， BD 不平行于 FG B. FG ∥ BD ， EH 不平行于 BD C. EH ∥ BD ， FG ∥ BD D.以上都不对 练 2. 求证：如果一条直线和两个相交平面平行，324. a 和 b 是异面直线， 则经过 b 可作___个平面与直 线 a 平行. 5. 异面直线 a , b 都和平面 ? 平行，且它们和平面 ? 内的同一条直线的夹角分别是 45 °和 60 °，则 a 和 b 的夹角为______.※ 探索新知 探究：平面与平面平行的性质定理 问题 1：如图 8-1，平面 ? 和平面 ? 平行， a ? ? . 请在图中的平面 ? 内画一条直线 b 和 a 平行.??课后作业1. 如图 7- 6，在 ?ABC 所在平面外有一点 P ， D 、 上的点 ，过 D, E 作平面平行于 E 分别是 PB与 AB BC ，试画出这个平面与其它各面的交线，并说明 画法的依据.a图 8-1 问题 2：在图 8-1 中，把平行直线 a , b 所确定的平面 作出来，并且表示为 ? . 问题 3：在你所画的图中，平面 ? 和平面 ? 、 ? 是 相交平面，直线 a , b 分别是 ? 和 ? 、 ? 的交线，并 且它们是平行的.根据以上的论述， 你能得出什么结 论？请把它用符号语言写在下面.图 7-6 2. 已知异面直线 AB , CD 都平行于平面 ? ，且 AB 、 CD 在 ? 两侧，若 AC , BD 与平面 ? 相交于 M 、 N AM BN 两点，求证： . ? MC ND 问题 4：在图 8-2 中，任意再作一个平面与 ? , ? 都 相交，得到的两条交线平行吗？和你上面得出的结 论相符吗？你能从理论上证明吗？??图 8-2§ 2.2.4 平面与平面平行的性质学习目标1. 掌握两个平面平行的性质定理； 2. 灵活运用面面平行的判定定理和性质定理， 掌握 “线线、线面、面面”平行的转化.学习过程一、课前准备 （预习教材 P2~ P3，找出疑惑之处） 复习 1： 直线与平面平行的性质定理是___________ ___________________________________________. 复习 2： 平面与平面平行的判定定理是___________ ___________________________________________. 讨论：如果平面 ? 和平面 ? 平行,那么平面 ? 内的 直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系? 新知：两个平面平行的性质定理 如果两个平行平 面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 反思：定理的实质是什么?二、新课导学33※ 典型例题 C ?? 例 1 如图 8-3， 且 A?? ， ? ∥ ? ，AB ∥ CD ， B ? ? ， D ? ? .求证： AB ? CD .◆高一月日班级：姓名：第一章 空间几何体??ACB图 8-3D例 2 已知平面 ? ∥平面 ? , AB , CD 夹在 ? , ? 之间， A, C ? ? ， B, D ? ? ， E , F 分别为 AB , CD 的中点， 求证： EF ∥ ? ， EF ∥ ? .(提示：注意 AB , CD 的 关系)三、总结提升 ※ 学习小结 1. 平面与平面平行的性质定理及应用； 2. 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的相 互转换. ※ 知识拓展 两个平面平行，还有如下结论： ⑴如果两个平面平行，则一个平面内的任何直线都 平行于另外一个平面； ⑵夹在两个平行平面内的所有平行线段的长度都 相等； ⑶如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那 么这条直线也垂直于另一个平面. ⑷如果一条直线和两个平行平面中的一个相交 ,那 么它和另一个也相交.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差） .小结：应用两个平面平行的性质定理关键要找到和 这两个面相交的平面.※ 动手试试 练. 已知平面 ? ∥平面 ? , A, C ? ? ， B, D ? ? ，直 CD ? 34 , 线 AB 与 CD 交于点 S ， 且 AS ? 8 , BS ? 9 ， ⑴当 S 在 ? , ? 之间时， CS 长多少？ ⑵当 S 不在 ? , ? 之间时， CS 长又是多少？※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 下列命题错误的是（ ）. A.平行于同一条直线的两个平面平行或相交 B.平行于同一个平面的两个平面平行 C.平行于同一条直线的两条直线平行 D.平行于同一个平面的两条直线平行或相交 2. m, n 是不重合的直线， ? , ? 是不重合的平面： ① m ? ? ， n ∥ ? ，则 m ∥ n ② m ? ? ， m ∥ ? ，则 ? ∥ ? ③ ? ? ? n ， m ∥ n ，则 m ∥ ? 且 m ∥ ? 上面结论正确的有（ ）. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 3. 3 个平面把空间分成 6 个部分，则（ ）. A.三平面共线 B.三平面两两相交 C.有两平面平行且都与第三平面相交 D.三平面共线或者有两平面平行且都与第三平面34相交 4. 直线与两个平行平面中的一个平行， 则它与另一 平面_______________. 5. 一个平面上有两点到另一个平面的距离相等， 则 这两个平面________________.面面平行课后作业1. 若面 ? ∥面 ? ，面 ? ∥面 ? ，求证： ? ∥ ? .二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 如图 9-1， 在正方体中，E , F , G, H 分别为 BC ， CC ?, C ?D?, A?A 的中点.求证： ⑴ BF ∥ HD? ； ⑵ EG ∥ 平面BB?D?D ； ⑶ 平面BDF ∥ 平面B?D?H .2. 设 P, Q 是单位正方体 AC1 的面 AA1D1D 、面A1 B1 C1 D1的中心，如图 8-4，证明：⑴ PQ ∥平面 AA1B1B ；⑵面 D1 PQ ∥面 C1 DB .图 9-1图 8-4§ 2.2 直线、 平面平行的判定及其性质 (练习)学习目标1. 熟练掌握直线与平面、 平面与平面平行的判定定 理和性质定理,能合理选用其证明平行关系； 2. 熟练掌握线线、 线面、 面面之间的相互转化关系. .例 2 如图 9-2， 在四棱锥 O ? ABCD 中， 底面 ABCD 是菱形， M 为 OA 的中点， N 为 BC 的中点， 证明：直线 MN‖ 平面OCDO M A B N C D学习过程一、课前准备 （预习教材 P54~ P63，找出疑惑之处） 复习 1：直线与平面、平面与平面平行的判定定理 和性质定理分别是什么？ 复习 2：线线平行、线面平行、面面平行相互之间 的转化图为： 线线平行理 定 质 理 性 定图 9-2判定定理 性质定理定 理线面平行 小结：判断某一平行的过程就是从一平行关系出发定 理性 质判 定定 判35◆高一月日班级：姓名：第一章 空间几何体不断转化的过程.通常经历线线平行到线面平行， 线 面平行到面面平行， 最后又回到线线平行这一过程, 归根结底还是线线平行.※ 动手试试 练 1. 如图 9-3， 直线 AA?, BB?, CC ? 相交于点 O ，AO ? = A O ， BO ? B ?O ， CO ? C ?O ， 求证：平面 ABC ∥平面 A?B ?C ? .图 9-5图 9-3三、总结提升 练 2. 如图 9-4，右面的是一个长方体截去一个角所 得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在中间和 ※ 学习小结 线面平行、面面平行判定定理和性质定理的熟练 左边画出（单位： cm ）在所给直观图中连结 BC ? ， 运用；平行关系的熟练转化. ⑴证明： BC ? ∥ 面 EFG ；⑵求多面体体积.GD? FC?26 4 42B?C B 图 9-4E D A※ 知识拓展 2 在立体几何中，证明图形的存在性或唯一性时， 常常运用反证法和同一法. 反证法：先提出和原命题中的结论相反的假定， 然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结 果，这样就否定了原来的假定而肯定原命题 . 同一法：欲证图形有某种特性时，可另作一个具有 同样特征的图形，再证明所作图形和已知条件中的 图形是同一个.如果不是同一个， 则与某公理或定理 相矛盾.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差练 3. 如图 9-5，? ∥ ? ∥ ? ， 直线 a 与 b 分别交 ? , AB DE ? , ? 于点 A, B, C 和点 D, E , F ，求证： . ? BC EF ） .※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 下列条件能推出平面 ? ∥平面 ? 的是（ ）. A.存在一条直线 a ， a ∥ ? ， a ∥ ? B.存在一条直线 a ， a ? ? ， a ∥ ? C.存在两条平行直线 a , b ， a ? ? , b ? ? ， a ∥ ? ， b ∥? D. 存在两条异面直线 a , b ，a ? ? , b ? ? ，a ∥ ? ， b ∥? 2. 设 a , b 为两条直线，? , ? 为两个平面，下列三个 结论正确的有（ ）个.36①若 a , b 与 ? 所成的角相等，则 a ∥ b ②若 a ∥ ? ， b ∥ ? ， ? ∥ ? ，则 a ∥ b ③若 a ? ? , b ? ? ， a ∥ b ，则 ? ∥ ? A.0 B.1 C.2 D.3 3. AB 和 CD 是夹在平行平面 ? , ? 间的两条异面线 段， E , F 分别是它们的中点，则 EF 和 ? （ ）. A.平行 B.相交 C.垂直 D.不能确定 4. 在由正方体棱的中点组成的直线中， 和正