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(最多只允许输入30个字)& 勾股定理的应用知识点 & “问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC...”习题详情
120位同学学习过此题，做题成功率82.5%
问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为√5、√10、√13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．（1）若△ABC三边的长分别为√5a，2√2a，√17a（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．思维拓展：（2）若△ABC三边的长分别为√m2+16n2，√9m2+4n2，2√m2+n2（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．探索创新：（3）已知a、b都是正数，a+b=3，求当a、b为何值时√a2+4+√b2+25有最小值，并求这个最小值．（4）已知a，b，c，d都是正数，且a2+b2=c2，c√a2-d2=a2，求证：ab=cd．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为根号5、根号10、根号13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△AB...”的分析与解答如下所示：
（1）√5a是直角边长为a，2a的直角三角形的斜边；2√2a是直角边长为2a，2a的直角三角形的斜边；√17a是直角边长为a，4a的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；（2）结合（1）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为2m，2n的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积由（1）的结果可作BD=12，过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质（3）可作BD=3，过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点，使AB=2，ED=5，连接AE交BD于点C，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值就是代数式√a2+4+√b2+25的最小值．（4）根据a2+b2=c2，c√a2-d2=a2，得出c2（a2-d2）=a4，进而得出（a2+b2）（a2-d2）=a4，再去括号得出a2b2=d2c2，即可得出答案．
解：（1）如图：S△ABC=2a×4a-12a×2a-12×2a×2a-12a×4a=3a2；（2）构造△ABC所示，（未在试卷上画出图形不扣分）S△ABC=3m×4n-12×m×4n-12×3m×2n-12×2m×2n=5mn．&& （3）如图所示：已知AB=2，DE=5，BD=3，AB⊥BD，DE⊥BD，当AE在一条直线上时，AC+CE最小，由题意得出：AB∥DE，∴△ABC′∽△EDC′，∴ABED=BC′C′D，∴25=BC′3-BC′，解得：BC′=67，C′D=3-67=157，过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点，根据题意，四边形ABDF为矩形．EF=AB+DE=2+5=7，AF=DB=3．∴AE=√49+9=√58．即AC+CE的最小值是√58，故：a=67，b=3-67=157时，√a2+4+√b2+25有最小值为√58．（4）证明：∵a2+b2=c2，c√a2-d2=a2，∴c2（a2-d2）=a4，则（a2+b2）（a2-d2）=a4，整理得出：a2b2=a2d2+b2d2，∴a2b2=d2（a2+b2），∴a2b2=d2c2，∵a，b，c，d都是正数，∴ab=cd．
此题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键．，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答．
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问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为根号5、根号10、根号13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC...
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经过分析，习题“问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为根号5、根号10、根号13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△AB...”主要考察你对“勾股定理的应用”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
与“问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为根号5、根号10、根号13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△AB...”相似的题目：
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“问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC...”的最新评论
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3放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是200米/分，小红用3分钟到家，小颖4分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（　　）
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欢迎来到乐乐题库，查看习题“问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为根号5、根号10、根号13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．（1）若△ABC三边的长分别为根号5a，2根号2a，根号17a（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．思维拓展：（2）若△ABC三边的长分别为根号m2+16n2，根号9m2+4n2，2根号m2+n2（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．探索创新：（3）已知a、b都是正数，a+b=3，求当a、b为何值时根号a2+4+根号b2+25有最小值，并求这个最小值．（4）已知a，b，c，d都是正数，且a2+b2=c2，c根号a2-d2=a2，求证：ab=cd．”的答案、考点梳理，并查找与习题“问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为根号5、根号10、根号13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．（1）若△ABC三边的长分别为根号5a，2根号2a，根号17a（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．思维拓展：（2）若△ABC三边的长分别为根号m2+16n2，根号9m2+4n2，2根号m2+n2（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．探索创新：（3）已知a、b都是正数，a+b=3，求当a、b为何值时根号a2+4+根号b2+25有最小值，并求这个最小值．（4）已知a，b，c，d都是正数，且a2+b2=c2，c根号a2-d2=a2，求证：ab=cd．”相似的习题。在一次抗洪抢险中.准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一只巨大汽油罐．已知只有5发子弹备用.且首次命中只能使汽油流出.再次命中才能引爆成功．每次射击命中的概率都是.每次命中与否互相独立．(Ⅰ)求恰好射击5次引爆油罐的概率,(Ⅱ)如果引爆或子弹打光则停止射击.设射击次数为ξ.求ξ的分布列及ξ的数学期望． 题目和参考答案——精英家教网——
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在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一只巨大汽油罐．已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功．每次射击命中的概率都是，每次命中与否互相独立．（Ⅰ）求恰好射击5次引爆油罐的概率；（Ⅱ）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望．
解：（Ⅰ）∵每次命中与否互相独立．且每次射击命中的概率都是，∴是一个独立重复试验，记“恰好射击5次引爆油罐”的事件为事件A，表示前四次有一次射中且第五次一定击中，∴．（Ⅱ）射击次数ξ的可能取值为2，3，4，5．当ξ=2时，表示两枪都击中，当ξ=3时，表示前两枪中有一枪击中且第三枪一定击中，当ξ=4时，表示前三枪中有一枪击中且第四枪一定击中，当ξ=5时，表示前四枪中有一枪击中且第五枪一定击中，∴；；；．∴ξ的分布列为．∴所求ξ的数学期望为．分析：（Ⅰ）由题意知每次命中与否互相独立．且每次射击命中的概率都是，本试验是一个独立重复试验，恰好射击5次引爆油罐表示前四次有一次射中且第五次一定击中，根据独立重复试验公式得到结果．（2）射击次数ξ的可能取值为2，3，4，5．当ξ=2时，表示两枪都击中，当ξ=3时，表示前两枪中有一枪击中且第三枪一定击中，当ξ=4时，表示前三枪中有一枪击中且第四枪一定击中，当ξ=5时，表示前四枪中有一枪击中且第五枪一定击中，写出分布列．点评：考查运用概率知识解决实际问题的能力，注意满足独立重复试验的条件，解题过程中判断概率的类型是难点也是重点，这种题目高考必考，应注意解题的格式．
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(2)射中不少于 7 环的概率恰为射中 10 环、9 环、8 环、7 环的概率的和，即为 0.21＋3*14 14 ＝ . 14＋9 230.23＋0.25＋0.28＝0.97， 而射中少于 7 环的事件与射中不少于 7 环的事件为对立事件， 所 以射中少于 7 环的概率为 1－0.97＝0.03. 1 1 1 10．解析：孩子的一对基因为 dd，rr，rd 的概率分别为 ， ， ，孩子由显性基因决定 4 4 2 的特征是具有 dd，rd，所以 1 1 3 (1)一个孩子由显性基因决定的特征的概率为 ＋ ＝ . 4 2 4 (2)因为两个孩子如果都不具有显性基因决定的特征， 即两个孩子都具有 rr 基因的纯隐 1 1 1 性特征，其概率为 × ＝ ，所以两个孩子中至少有一个显性基因决定特征的概率为 1 4 4 16 － 1 15 ＝ . 16 16第二节一、选择题古典概型)1． (2009 年金华模拟)同时抛掷三枚均匀的硬币， 出现一枚正面， 二枚反面的概率等于( A. C. 1 4 3 8 B. D. 1 3 1 22．(2008 年重庆)(理)从编号为 1,2，?，10 的 10 个大小相同的球中任取 4 个，则所 取 4 个球的最大号码是 6 的概率为( A. 1 84 1 B. 21 2 C. 5 ) 3 D. 52．(文)盒中有 10 个铁钉，其中 8 个是合格的，2 个是不合格的，从中任取一个恰为合 格铁钉的概率是( A. C. 1 5 4 5 ) B. D. 1 4 1 103．(文)设 x，y 是 0,1,2,3,4,5 中任意两个不同的数，那么复数 x＋yi 恰好是纯虚数的 概率为( A. C. 1 6 1 5 ) 1 B. 3 D. 1 3044．(2009 西安第三次统考)(理)从 4 名男同学，3 名女同学中任选 3 名参加体能测试， 则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为( A. 12 35 18 B. 35 6 C. 7 ) 7 D. 84．(文)设集合 A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b，确 定平面上的一个点 P(a，)， b 记“点 P(a，)落在直线 x＋y＝n 上”为事件 Cn(2≤n≤5，∈N)， b n 若事件 Cn 的概率最大，则 n 的所有可能值为( A．3 C．2 和 5 B．4 D．3 和 4 )5．(2009 年重庆)(理)锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个，花生馅汤圆 5 个，豆沙馅汤圆 4 个， 这三种汤圆的外部特征完全相同． 从中任意舀取 4 个汤圆， 则每种汤圆至少取到 1 个的概率 为( A. ) 8 91 25 B. 91 48 C. 91 60 D. 915．(文)一袋中装有大小相同，编号分别为 1,2,3,4,5,6,7,8 的八个球，从中有放回地 每次取一个球，共取 2 次，则取得两个球的编号和不小于 15 的概率为( A. C. 1 32 3 32 1 B. 64 3 D. 64 )二、填空题 6．(2009 年上海奉贤区模拟)(理)在 1,2,3,4,5 这五个数字中任取不重复的 3 个数字组 成一个三位数，则组成的三位数是奇数的概率是________．(用分数表示) 6．(文)(2008 年江苏卷)一个骰子连续投 2 次，点数和为 4 的概率为________． 7．(2009 年安徽卷)从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条，则以这三 条线段为边可以构成三角形的概率是________． 8． (2009 年江苏卷)现有 5 根竹竿， 它们的长度(单位： m)分别为 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9， 若从中一次随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3 m 的概率为________． 三、解答题 9．(理)(2008 年浙江)一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球．已知袋中共有 10 2 个球．从袋中任意摸出 1 个球，得到黑球的概率是 ；从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 5 7 个白球的概率是 .求： 9 (1)从中任意摸出 2 个球，得到的都是黑球的概率； (2)袋中白球的个数.59．(文)(2008 年海南宁夏卷)为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的 普及情况，调查部门对某校 6 名学生进行问卷调查，6 人得分情况如下：5,6,7,8,9,10.把 这 6 名学生的得分看成一个总体． (1)求该总体的平均数； (2)用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名，他们的得分组成一个样本．求该样 本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率．10．(2009 年滨海新区五校联考)某商场举行抽奖活动，从装有编号 0,1,2,3 四个小球 的抽奖箱中， 每次取出后放回， 连续取两次， 取出的两个小球号码相加之和等于 5 中一等奖， 等于 4 中二等奖，等于 3 中三等奖． (1)求中三等奖的概率； (2)求中奖的概率．参考答案3 3 1．解析：(理)共 2 ＝8 种情况，符合要求的有 C13＝3 种，所以概率等于 . 8 (文)同时抛三枚硬币，所有可能出现的结果为：(正，正，正)，(正，正，反)，(正， 反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)； 3 其中符合要求的只有 3 种，所以概率为：P＝ . 8 答案：CC3 1 5 2．解析：本小题主要考查组合的基本知识及古典概型的概率．P＝ 4 ＝ ，故选 B. C10 21答案：B 2．解析：法一：从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为 10，其中抽到合格铁订(记 8 4 为事件 A)包含 8 个基本事件，所以，所求概率为 P(A)＝ ＝ . 10 5 法二：本题还可以用对立事件的概率公式求解，因为从盒中任取一个铁钉，取到合格品 2 4 (记为事件 A)与取到不合格品(记为事件 B)恰为对立事件， 因此， P(A)＝1－P(B)＝1－ ＝ . 10 56答案：C 3．解析：从中任取三个数共有 C9＝84 种取法，没有同行、同列的取法有 C3C2C1＝6，至 6 13 少有两个数位于同行或同列的概率是 1－ ＝ ，故选 D. 84 14 答案：D 3．解析：x 取到 0 的概率为 1/6. 答案：A 4．解析：其对立事件的概率为 答案：C 4．解析：事件 Cn 的总事件数为 6.只要求出当 n＝2,3,4,5 时的基本事件个数即可． 当 n＝2 时，落在直线 x＋y＝2 上的点为(1,1)； 当 n＝3 时，落在直线 x＋y＝3 上的点为(1,2)、(2,1)； 当 n＝4 时，落在直线 x＋y＝4 上的点为(1,3)、(2,2)； 当 n＝5 时，落在直线 x＋y＝5 上的点为(2,3)； 1 显然当 n＝3,4 时，事件 Cn 的概率最大为 . 3 答案：D 5．解析：P＝ ＝3 1 1 1C34＋C33 5 5 1 1 6 ＝ ＝ ＝ ，所以 P＝1－ ＝ . C37 35 35 7 7 7C26C15C14＋C16＋C25C14＋C16C15C24 C41515×20＋6×40＋180 48 ＝ ，故选 C. 15×13×7 91答案：C 5．解析：从中有放回地取 2 次，所取号码共有 8×8＝64 种，其中和不小于 15 的有 3 种，分别是(7,8)，(8,7)，(8,8)，故所求概率为 P＝ 答案：D 6．解析：P＝ 3 答案： 5 3 6． 解析： 基本事件共 6×6 个， 点数和为 4 的有(1,3)、 (2,2)、 (3,1)共 3 个， P＝ 故 6×6 1 ＝ . 12 答案： 1 12 3 .故选 D. 64C13A24 36 3 ＝ ＝ . A35 60 577．解析：四条线段中任意取出三条的可能有：2,3,4 或 2,3,5 或 2,4,5 或 3,4,5 共 4 3 种．能构成三角形的可能情况：2,3,4 或 2,4,5 或 3,4,5，∴P＝ . 4 3 答案： 4 8．解析：(理)从 5 根竹竿中，一次随机抽取 2 根竹竿的方法数为 C25＝10. 而满足它们的长度恰好相差 0.3 m 的方法数为 2 个，即 2.5 和 2.8,2.6 和 2.9. 2 1 由古典概型的求法得 P＝ ＝ . 10 5 解析：(文)从 5 根竹竿中，一次随机抽取 2 根竹竿的方法数有(2.5,2.6)，(2.5,2.7)， (2.5,2.8)， (2.5,2.9)， (2.6,2.7)， (2.6,2.8)， (2.6,2.9)， (2.7,2.8)， (2.7,2.9)， (2.8,2.9) 共 10 种．而满足它们的长度恰好相差 0.3 m 的方法数为 2 种，即 2.5 和 2.8,2.6 和 2.9. 2 1 由古典概型的求法得 P＝ ＝ . 10 5 1 答案： 5 2 9．解析：(1)由题意知，袋中黑球的个数为 10× ＝4. 5 记“从袋中任意摸出两个球，得到的都是黑球”为事件 A，则 P(A)＝C2 2 4 ＝ . C2 15 10设袋中白球的个数为 x，则 P(B)＝1－P( B )＝1－ 2 答案：(1) 15 (2)5C2 7 n－1 2 ＝ ，解得 x＝5. Cn 91 9．解析：(1)总体平均数为 (5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5. 6 (2)设 A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5”． 从总体中抽取 2 个个体全部可能的基本结果有：(5,6), (5,7), (5,8), (5,9), (5,10), (6,7), (6,8), (6,9), (6,10), (7,8), (7,9), (7,10), (8,9), (8,10), (9,10)，共 15 个基本结果． 事件 A 包含的基本结果有：(5,9), (5,10), (6,8), (6,9)， (6,10), (7,8), (7,9)，共有 7 个基本结果； 7 所以所求的概率为 P(A)＝ . 15 10．解析：设“中三等奖”的事件为 A，“中奖”的事件为 B，从四个小球中有放回的8取两个共有 4×4＝16 种可能． 4 (1)两个小球号码相加之和等于 3 的取法有 4 种： 0＋3,1＋2,2＋1,3＋0， 所以 P(A)＝ 16 1 ＝ . 4 (2)法一：①两个小球号码相加之和等于 3 的取法有 4 种． ②两个小球相加之和等于 4 的取法有 3 种：1＋3,2＋2,3＋1； ③两个小球号码相加之和等于 5 的取法有 2 种：2＋3,3＋2. 4 3 2 9 所以 P(B)＝ ＋ ＋ ＝ . 16 16 16 16 法二：考虑问题的对立事件，即不中奖的概率． ①等于 6 的取法有 1 种：3＋3； ②等于 2 的取法有 3 种：0＋2,1＋1,2＋0； ③等于 1 的取法有 2 种：0＋1,1＋0； ④等于 0 的取法有 1 种：0＋0. 1 3 2 1 7 － 所以 P( B )＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ， 16 16 16 16 16 7 9 － 于是 P(B)＝1－P( B )＝1－ ＝ . 16 16第三节一、选择题几何概型1．有一杯 2 升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这杯水中取出 0.1 升水，则小 杯水中含有细菌的概率是( A．0.5 C．0.1 ) B．0.05 D．0.012．(2008 年佛山一模)如右图所示，矩形长为 6，宽为 4，在矩 形内随机地撒 300 颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为 96 颗，以此 实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( A．7.68 C．17.32 B．16.32 D．8.68 )3．(2009 年辽宁)ABCD 为长方形，AB＝2，BC＝1，O 为 AB 的中点．在长方形 ABCD 内随 机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为(9)A. C.π 4 π 8π B．1－ 4 π D．1－ 824．(2009 年福建上杭)已知函数 f(x)＝x ＋bx＋c，其中 0≤b≤4,0≤c≤4.记函数 f(x)?f? ? 满足条件? ? ?f?2? ≤12， －2? ≤4为事件 A，则事件 A 发生的概率为( 5 B. 8 3 D. 8)A. C.1 4 1 2πx 1 5．(2009 年山东卷)在区间[－1,1]在随机取一个数 x，cos 的值介于 0 到 之间的概 2 2 率为( A. C. 1 3 1 2 ) 2 B. π 2 D. 3二、填空题 6．两根相距 8 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于 2 m 的概率是________． 7．(2009 年福建卷)点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点 B，则劣孤 AB 的长度小于 1 的概率为________． 8．(2009 年浙江杭州模拟)在边长为 2 的正三角形 ABC 内任取一点 P，则使点 P 到三个 顶点的距离至少有一个小于 1 的概率是________． 三、解答题 9． (2009 年厦门一中质检)投掷一个质地均匀的、 每个面上标有一个数字的正方体玩具， 它的六个面中，有两个面标的数字是 0，两个面标的数字是 2，两个面标的数字是 4，将此 玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面的数字分别作为点 P 的横坐标和纵坐标． (1)求点 P 落在区域 C：x ＋y ≤10 内的概率； (2)若以落在区域 C 上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域 M，在区域 C 上随机散 一粒豆子，求豆子落在区域 M 上的概率．2 21010．(2009 年深圳第二次调研改编)设 M 点的坐标为(x，y)． (1)设集合 P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合 P 中随机取一个数作为 x，从 集合 Q 中取随机取一个数作为 y，求 M 点落在 y 轴的概率； (2)设 x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点 M 落在不等式组：?x＋2y－3≤0 ? ?x≥0 ?y≥0 ?，所表示的平面区域内的概率．参考答案0.1 1 1．解析：P＝ ＝ ＝0.05. 2 20 答案：B S椭 300－96 204 2．解析：∵ ＝ ，∴S 椭＝ ×24＝16.32. S矩 300 300 答案：B 3．解析：根据几何概率公式得概率为 1 2 2－ π ?1 2 S阴影部分 π P＝ ＝ ＝1－ . S长方形ABCD 2 4 答案：B?2b＋c－8≤0， ? 4．解析：由题意，? ?2b－c≥0 ?1 表示的区域的面积为 8，所以概率为 ，故选 C. 2答案：C πx πx 5． 解析： 在区间[－1,1]上随机取一个实数 x， cos 的值位于[0,1]区间， 若使 cos 2 2 2? ?2 ? ? 1? ? 的值位于?0， ?区间，取到的实数 x 应在区间?－1，－ ?∪? ，1?内，根据几何概型的计算 3? ?3 ? ? 2? ?111 2× 3 1 公式可知 P＝ ＝ ，故选 A. 2 3 答案：A 8－2－2 1 6．解析：P(A)＝ ＝ . 8 2 1 答案： 27．解析：如右图，设 A、M、N 为圆周的三等分点，当 B 点取在优孤 MAN 上时，对劣弧 2 AB 来说，其长度小于 1，故其概率为 . 3 2 答案： . 3 8.解析：以 A、B、C 为圆心，以 1 为半径作圆，与△ABC 交出三个扇形， 当 P 落在其内时符合要求． 3×? ∴P＝ 1 π 2 × 1? 2 3 3 2 ×2 4 3π . 6＝答案：3π 69．解析：(1)以 0,2,4 为横、纵坐标的点 P 的可能共 3×3＝9 个， 而这些点中，落在区域 C 的点有：(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)4 个 ，124 ∴所求概率为 P＝ . 9 (2)∵区域 M 的面积为 4，而区域 C 的面积为 10π ， ∴所求概率 P＝ 4 2 ＝ . 10π 5π10．解析：(1)记“M 点落在 y 轴”为事件 A. M 点的组成情况共 4×3＝12 种，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型． 其中事件 A 包含的基本事件有(0,0)，(0,1)，(0,2)共 3 处． 3 1 ∴P(A)＝ ＝ . 12 4?0≤x≤3 ? (2)依条件可知，点 M 均匀地分布在不等式组? ? ?0≤y≤4所表示的平面区域内，属于几何概型．该平面区域的图形为右图中矩形 OABC 围成的区域，面积为 S＝3×4＝12. 而所求事件构成的平面区域?x＋2y－3≤0 ? 由不等式组?x≤0 ?y≤0 ?表示的区域，其图形如右图中的三角形 OAD(阴影部分)．? 3? 又直线 x＋2y－3＝0 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A(3,0)、D?0， ?， ? 2?∴三角形 OAD 的面积为 1 3 9 S1＝ ×3× ＝ . 2 2 4 9 S1 4 3 ∴ 所求事件的概率为 P＝ ＝ ＝ . S 12 1613第四节一、选择题条件概率与事件的独立性1．一个口袋中有黑球和白球各 5 个，从中连摸两次球，每次摸一个且每次摸出后不放 回，用 A 表示第一次摸得白球，B 表示第二次摸得白球，则 A 与 B 是( A．互斥事件 C．对立事件 B．不相互独立事件 D．相互独立事件 )解析：第一次摸得白球和第二次摸得白球有可能同时发生，∴A、B 不是互斥事件，自 然也不是对立事件；第一次摸得白球与否会影响第二次摸得白球的概率，∴A、B 是不相互 独立事件． 答案：B 2．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是 p1，乙解决这个问题的概 率是 p2，那么恰好有 1 人解决这个问题的概率是( A．p1p2 C．1－p1p2 )B．p1(1－p2)＋p2(1－p1) D．1－(1－p1)(1－p2)解析：恰有一人解决这个问题包括两种情况：一种是甲解决了问题乙没有解决，概率为 p1(1－p2)，另一种是乙解决了问题甲没有解决，概率为 p2(1－p1)，所以恰有一人解决这个 问题的概率是 p1(1－p2)＋p2(1－p1)． 答案：B 1 1 3．在一段时间内，甲去某地的概率是 ，乙去此地的概率是 ，假定两人的行动相互之 4 5 间没有影响，那么在这段时间内至少有 1 人去此地的概率是( A. 3 20 1 B. 5 2 C. 5 D. 9 20 )3 4 3 3 2 － 解析：考虑对立事件 A 没有人去此地，概率为 × ＝ ，所以 P(A)＝1－ ＝ . 4 5 5 5 5 答案：C 4．在某段时间内，甲地不下雨的概率为 0.3，乙地不下雨的概率为 0.4，假设在这段时 间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是( A．0.12 B．0.88 C．0.28 D．0.42 )解析：P＝(1－0.3)(1－0 .4)＝0.42. 答案：D 5． 将三颗骰子各掷一次， 设事件 A＝“三个点数都不相同”， B＝“至少出现一个 6 点”， 则概率 P(A|B? A. 60 91 ＝( 1 B. 2 ) 5 C. 18 91 D. 21614125 － － 5 5 5 125 解析：∵ B 为一个 6 点都没有出现，其概率为 P( B )＝ × × ＝ ，∴P(B)＝1－ 6 6 6 216 216 91 1 5 4 5 ＝ ，而 AB 表示“三个点数都不相同且至少出现一个 6 点”，其概率为 × × ×3＝ ， 216 6 6 6 18 5 18 216×5 60 P? AB? 所以 P(A|B)＝ ＝ ＝ ＝ . P? B? 91 91×18 91 216 答案：A 二、填空题 6．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其 中甲袋装有 4 个红球、2 个白球，乙袋装有 1 个红球、5 个白球．现分别从甲、乙两袋中各 随机抽取 1 个球，则取出的两球是红球的概率为________(答案用分数表示) 4 1 1 解析： × ＝ . 6 6 9 1 答案： 9 7．(2008 年湖北卷)明天上午李明要参加义务劳动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹 钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是 0.80，乙闹钟准时响的概率是 0.90，则两个闹钟 至少有一准时响的概率是________． 解析：法一： 两个闹钟一个也不准时响的概率是(1－0.8)×(1－0.9)＝0.02，所以要 求的结果是 1－0.02＝0.98. 法二：要求的概率是(1－0.8)×0.9＋0.8×(1－0.9)＋0.8×0.9＝0.98. 答案：0. 98 8．(2009 年冠龙中学月考)甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是 0.6，则其中恰有一人击中目标的概率是________． 解析：0.6×0.4＋0.4×0.6＝0.48. 答案：0.48 三、解答题 9． (2009 年金陵模拟改编)某地区试行高考考试改革： 在高三学年中举行 5 次统一测试， 学生如果通过其中 2 次测试即可获得足够学分升上大学继续学习， 不用参加其余的测试， 而 1 每个学生最多也只能参加 5 次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是 ，每次测试时间 3 间隔恰当，每次测试通过与否互相独立． (1)求该学生考上大学的概率； (2)求该学生经过 4 次测试考上大学的概率．15－ － ?1??2?4 ?2? 解析： (1)记“该学生考上大学”为事件 A， 其对立事件为 A ， P( A )＝C15? ?? ? ＋? ? 则 ?3??3? ?3?5112 ＝ ， 243?1??24? ?2?5 131 ∴P(A)＝1－[C15?? ?? ?＋? ? ]＝ . 243 ?3??3 ? ?3?(2)∵该学生经过 4 次测试考上大学 ∴该学生第 4 次考试通过测试，前 3 次考试只有一次通过测试，所以概率为 1 ?1 2 2 2 1 2 2 2 1? P(B)＝ ×? × × ＋ × × ＋ × × ? 3 ?3 3 3 3 3 3 3 3 3? ＝ 4 . 2710．(2009 年全国卷Ⅰ改编)甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次 比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局 比赛结果相互独立．已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局． (1)求甲获得这次比赛胜利的概率； (2)求经过 5 局比赛，比赛结束的概率． 解析：记 Ai 表示事件：第 i 局甲获胜，i＝3,4,5，Bj 表示事件：第 j 局乙获胜，j＝3,4. (1)记 B 表示事件：甲获得这次比赛的胜利． 因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲 先胜 2 局，从而 B＝A3?A4＋B3?A4?A5＋A3?B4?A5， 由于各局比赛结果相互独立，故 P(B)＝P(A3?A4)＋P(B3?A4?A5)＋P(A3?B4?A5) ＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5) ＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648. (2)经过 5 局比赛，甲获胜的概率为 P(B3?A4?A5)＋P(A3?B4?A5)＝0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.288； 经过 5 局比赛，乙获胜的概率为 P(A3?B4?B5)＋P(B3?A4?B5)＝0.6×0.4×0.4＋0.4×0.6×0.4＝0.192. 所以经过 5 局比赛，比赛结束的概率为 0.288＋0.192＝0.48.16第五节一、选择题离散型随机变量的分布列)1．抛掷两颗骰子，所得点数之和为 ξ ，那么 ξ ＝4 表示的随机试验结果是( A．两颗都是 2 点 B 一颗是 3 点，一颗是 1 点 C．两颗都是 4 点 D．一颗是 3 点，一颗是 1 点或两颗都是 2 点解析：对 A、B 中表示的随机试验的结果，随机变量均取值 4，而 D 是 ξ ＝4 代表的所 有试验结果． 掌握随机变量的取值与它刻画的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概 念的关键． 答案：D 2．下列分布列中，是离散型随机变量分布列的是( A. X P B. X P C. X P D. X P x1 2 7 x2 3 7 x3 3 7 1 2 10 2 5 10 3 3 10 4 0 x1 0.3 x2 －1 x3 0.8 0 0.3 1 0.4 2 0.5 )解析：只有选项 C 中的概率之和等于 1，选 C. 答案：C 3． 设某项试验的成功率是失败率的 2 倍， 用随机变量 ξ 描述一次该项试验的成功次数， 则 P(ξ ＝0)等于( A．0 ) 1 B. 3 1 C. 2 2 D. 31 解析：1－P(ξ ＝0)＝2P(ξ ＝0)，即 P(ξ ＝0)＝ . 317答案：B 4．在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便，现从中任意选 10 个村庄，用 X 表示这 10 C47C68 个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于 的是( C1015 A．P(X＝2) B．P(X≤2) C．P(X＝4) )D．P(X≤4)解析：由分子 C47C68 可知是从 7 个不方便的村庄中选 4 个，从 8 个方便的村庄中选 6 个，∴X＝4，∴是 P(X＝4)的概率． 答案：C 5．若离散型随机变量 X 的分布列为： X P 则常数 q 的值为( A．1 B. 1± 2 2 ) C. 1＋ 2 2 D. 1－ 2 2 －1 1 2 0 1－2q 1 q21 2 2 2 解析：由 ＋(1－2q)＋q ＝1，解得 q＝1－ 或 q＝1＋ ， 2 2 2 又∵q ∈[0,1]，∴q＝1＋ 答案：D 二、填空题 6．随机变量 X 等可能取值为 1,2,3，??，n，如果 P(X＜4)＝0.3，那么 n＝________. 3 解析：∵P(X＜4)＝ P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝ ＝0.3， n ∴n＝10. 答案：10 7．随机变量 ξ 的分布列为 ξ P －1 a 0 b 1 c22 2 舍去．∴q＝1－ . 2 2若 a＋c＝2b，则 P(|ξ |＝1)＝________. 1 2 解析：∵a＋c＝2b，又∵a＋b＋c＝1，∴b＝ ，a＋c＝ ， 3 3 2 于是 P(|ξ |＝1)＝P(ξ ＝1)＋P(ξ ＝－1)＝a＋c＝ . 3 2 答案： 318c 8．若离散型随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)＝ k，k＝1,2,3,4,5,6.其中 c 为常数，则 2 P(X≤2)的值是________． c c c c c c 64 解析：由 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝1，可得 c＝ . 2 4 8 16 32 64 63 32 16 48 16 ∴P(X≤2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝ ＋ ＝ ＝ . 63 63 63 21 16 答案： 21 三、解答题 9．(2009 年广州调研)一厂家向用户提供的一箱产品共 10 件，其中有 2 件次品，用户 先对产品进行抽检以决定是否接收． 抽检规则是这样的： 一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子)， 若前三次没有抽查 到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接 收这箱产品． (1)求这箱产品被用户接收的概率； (2)记抽检的产品件数为 ξ ，求 ξ 的分布列． 解析：(1)设“这箱产品被用户接收”为事件 A，P(A)＝ 7 用户接收的概率为 . 15 (2)ξ 的可能取值为 1,2,3. 2 1 8 2 8 P(ξ ＝1)＝ ＝ ，P(ξ ＝2)＝ × ＝ ， 10 5 10 9 45 8 7 28 P(ξ ＝3)＝ × ＝ ， 10 9 45 ∴ξ 的分布列为 ξ P 1 1 5 2 8 45 3 28 45 8×7×6 7 ＝ ，即这箱产品被 10×9×8 1510.(2009 年广州模拟)某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请 50 名一线 教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示： 版本 人数 人教 A 版 20 人教 B 版 15 苏教版 5 北师大版 10(1)从这 50 名教师中随机选出 2 名，求 2 人所使用版本相同的概率； (2)若随机选出 2 名使用人教版的教师发言，设使用人教 A 版的教师人数为 ξ ，求随机19变量 ξ 的分布列． 解析：(1)从 50 名教师中随机选出 2 名的方法数为 C250＝1225. 选出 2 人使用版本相同的方法数为 C20＋C15＋C5＋C10＝350， 350 2 故 2 人使用版本相同的概率为：P＝ ＝ . 5 3 (2)∵P(ξ ＝0)＝ ＝ ， C235 17 C120C115 60 C220 38 P(ξ ＝1)＝ ＝ ，P(ξ ＝2)＝ ＝ ， C235 119 C235 119 ∴ξ 的分布列为 ξ P 0 3 17 1 60 119 2 38 1192 2 2 2第六节一、选择题二项分布、超几何分布、正态分布? 1? 1．设随机变量 ξ ～B?6， ?，则 P(ξ ＝3)的值为( ? 2?A. 5 16 B. 3 16 5 C. 8 7 D. 16)?1?3? 1?3 5 解析：P(ξ ＝3)＝C36? ? ?1－ ? ＝ . ?2? ? 2? 16答案：A 2． 设随机变量 ξ ＝( A. ) 1 3 5 B. 9 C. 8 27 19 D. 27 5 ～ B(2， )， p 随机变量 η ～ B(3， )， P(ξ ≥1) ＝ ， P(η ≥1) p 若 则 95 1 2 解析：∵P(ξ ≥1) ＝2p(1－p)＋p ＝ ， ∴p＝ ， 9 31?1??2?2 2?1? 2?2? 3?1? 3 ∴P(η ≥1) ＝C3? ?? ? ＋C3? ? ? ?＋C3? ? ?3??3? ?3? ?3? ?3?＝19 ，故选 D. 2720答案：D 3．一袋中有 5 个白球，3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回， 直到红球出现 10 次时停止，设停止时共取了 ξ 次球，则 P(ξ ＝12)＝( )?5?2 10?3?10 A．C12? ? ?? ? ?8? ?8? ?3?2 9 ?5?9 C．C11? ? ?? ? ?8? ?8?3 9 ?3?9?5? 2 B．C11? ? ? ? ? ?8? ?8? 8?5?2 9 ?3?9 D．C11? ? ?? ? ?8? ?8??3? 9 解析：(ξ ＝12)表示第 12 次为红球， 11 次中有 9 次为红球， P 前 从而 P(ξ ＝12)＝C11?? ? ?8?9?5?2×3. ?8? 8 ? ?答案：B 4．在 4 次独立重复试验中，随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生 2 次的概率，则事件 A 在一次试验中发生的概率 p 的取值范围是( A．[0.4,1) C．(0,0.4]3)B．(0,0.6] D．[0.6,1)2 2解析：C14p(1－p) ≤C24p (1－p) ，即 2(1－p)≤3p， ∴p≥0.4.又∵p&1，∴0.4≤p&1. 答案：A 5． (2009 年湖南四市联考)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2， )， (ξ ≤4)＝0.84， σ P 则 P(ξ ＜0)＝( A．0.16 ) B．0.32 C．0.68 D．0.842解析：∵P(ξ ≤4)＝0.84，μ ＝2，∴P(ξ ＜0) ＝P(ξ ＞4)＝1－0.84＝0.16.故选 A. 答案：A 二、填空题 1 6．某篮运动员在三分线投球的命中率是 ，他投球 10 次，恰好投进 3 个球的概率 2 ________．(用数值作答) 15 3 ?1?3?1? 7 解析：由题意知所求概率 P＝C10? ? ? ? ＝ . ?2? ?2? 128 15 答案： 128 7．从装有 3 个红球，2 个白球的袋中随机取出两个球，设其中有 X 个红球，则 X 的分 布列为________．21C3C2 解析：这是超几何分布，P(X＝0)＝ 2 ＝0.1； C50 2P(X＝1)＝C3C2 C3C2 2 ＝0.6; P(X＝2)＝ 2 ＝0.3， C5 C51 12 0分布列如下表：X P答案：0 0.11 0.62 0.3X P0 0.11 0.62 0.38.某厂生产的圆柱形零件的外径 ε ～N(4,0.25)．质检人员从该厂生产的 1000 件零件 中随机抽查一件，测得它的外径为 5.7 cm.则该厂生产的这批零件是否合格________． 解析：根据 3σ 原则，在 4－3×0.5＝2.5――4＋3×0.5＝5.5 之外为异常，所以这批 零件不合格． 答案：不合格 三、解答题 9．(2008 年四川延考)一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A 类、B 类、C 类．检验员定时从该生产线上任取 2 件产品进行一次抽检，若发现其中含有 C 类产品或 2 件都是 B 类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为 A 类品，B 类品和 C 类品的概率分别为 0.9,0.05 和 0.05，且各件产品的质量情况互不影响． (1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率； (2)若检验员一天抽检 3 次，以 ξ 表示一天中需要调整设备的次数，求 ξ 的分布列． 解析：(1)设 Ai 表示事件“在一次抽检中抽到的第 i 件产品为 A 类品”，i＝1,2. Bi 表示事件“在一次抽检中抽到的第 i 件产品为 B 类品”， i＝1,2. C 表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”．则 C＝A1?A2＋A1?B2＋B1?A2. 由已知 P(Ai)＝0.9，P(Bi)＝0.05 i＝1,2. 所以，所求的概率为P(C)＝P(A1?A2)＋P(A1?B2)＋P(B1?A2)＝0.9 ＋2×0.9×0.05＝0.9. (2)由(1)知一次抽检后，设备需要调整的概率为2p＝P( C )＝1－0.9＝0.1，依题意知 ξ ～B(3,0.1)，ξ 的分布列为22ξ0 0.7291 0.2432 0.0273 0.001p10.(2009 年南海一中月考)甲、乙两人参加 2010 年广州亚运会青年志愿者的选拔．打 算采用现场答题的方式来进行，已知在备选的 10 道试题中，甲能答对其中的 6 题，乙能答 对其中的 8 题． 规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试， 至少答对 2 题才能入选． (1)求甲答对试题数 ξ 的概率分布； (2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率． 解析：(1)依题意，甲答对试题数 ξ 的可能取值为 0、1、2、3，则P(ξ ＝0)＝ 3 ＝ ，P(ξ ＝1)＝2 1C4 C1031 30C6?C4 3 ＝ ， 3 C10 10312P(ξ ＝2)＝C6?C4 1 C6 1 ＝ ，P(ξ ＝3)＝ 3 ＝ ， 3 C10 2 C10 6其分布列如下： ξ 0 1 30 1 3 10 2 1 2 3 1 6P(2)法一：设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A、B，则P(A)＝C6C4＋C6 60＋20 2 C8C2＋C8 56＋56 14 ＝ ＝ ， P(B)＝ ＝ ＝ . 3 3 C10 120 3 C10 120 152 132 13因为事件 A、B 相互独立， ∴甲、乙两人考试均不合格的概率为P1 ? 3?? 15? ( A ? B )＝P( A )?P( B )＝?1－2??1－14?＝45， ? ?? ?∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P＝1－P1 ( A ? B )＝1－45＝44. 4544 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 . 45 法二：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为P＝P A? B()＋P( A ?B)＋P(A?B)2 1 1 14 2 14 44 ＝ × ＋ × ＋ × ＝ . 3 15 3 15 3 15 45 44 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 4523