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第一章部分课后习题参考答案16 设 p、q 的真值为 0；r、s 的真值为 1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r) ? 0∨(0∧1) ? 0 （2） （p?r）∧(q∨s) ? （0?1）∧(1∨1) ? 0∧1 ? 0. （3） ? p∧ ? q∧r）?(p∧q∧r) ? （1∧1∧1） ? (0∧0∧0) ? 0 （ (4)（ ? r∧s）→(p∧ ? q) ? （0∧1）→(1∧0) ? 0→0 ? 1 17．判断下面一段论述是否为真： ? 是无理数。并且，如果 3 是无理数，则 2 也是无 “ 理数。另外 6 能被 2 整除，6 才能被 4 整除。 ” 答：p: ? 是无理数 q: r: s: t: 3 是无理数2 是无理数1 0 1 1 06 能被 2 整除 6 能被 4 整除命题符号化为： p∧(q→r)∧(t→s)的真值为 1，所以这一段的论述为真。 19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →( ? q→ ? p) （5）(p∧r) ? ( ? p∧ ? q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答： （4） ?q p q p→q 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 所以公式类型为永真式?p 1 1 0 0 ? q→ ? p 1 1 0 1(p→q)→( ? q→ ? p) 1 1 1 1（5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出 成真赋值.1(1) ? (p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r) ? ( ? p∨(p∨q))∨( ? p∨r) ? ? p∨p∨q∨r ? 1 所以公式类型为永真式(3) P0 0 0 0 1 1 1 1q 0 0 1 1 0 0 1 1r 0 1 0 1 0 1 0 1p∨q 0 0 1 1 1 1 1 1p∧r 0 0 0 0 0 1 0 1（p∨q）→(p∧r) 1 1 0 0 0 1 0 1所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r) ? (p→(q∧r)) (4)(p∧ ? q)∨( ? p∧q) ? (p∨q) ∧ ? (p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r)? ( ? p∨q)∧( ? p∨r) ? ? p∨(q∧r)) ? p→(q∧r)（4）(p∧ ? q)∨( ? p∧q) ? (p∨( ? p∧q)) ∧( ? q∨( ? p∧q)? (p∨ ? p)∧(p∨q)∧( ? q∨ ? p) ∧( ? q∨q) ? 1∧(p∨q)∧ ? (p∧q)∧1 ? (p∨q)∧ ? (p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)( ? p→q)→( ? q∨p) (2) ? (p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 解： （1）主析取范式 ( ? p→q)→( ? q ? p)2? ? (p ? q) ? ( ? q ? p) ? ( ? p ? ? q) ? ( ? q ? p) ? ( ? p ? ? q) ? ( ? q ? p) ? ( ? q ? ? p) ? (p ? q) ? (p ? ? q) ? ( ? p ? ? q) ? (p ? ? q) ? (p ? q) ? m0 ? m2 ? m3 ? ∑(0,2,3)主合取范式： ( ? p→q)→( ? q ? p)? ? (p ? q) ? ( ? q ? p) ? ( ? p ? ? q) ? ( ? q ? p) ? ( ? p ? ( ? q ? p)) ? ( ? q ? ( ? q ? p)) ? 1 ? (p ? ? q) ? (p ? ? q) ? M1 ? ∏(1)(2) 主合取范式为：? (p→q) ? q ? r ? ? ( ? p ? q) ? q ? r? (p ? ? q) ? q ? r ? 0所以该式为矛盾式. 主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7) 矛盾式的主析取范式为 0 (3)主合取范式为： (p ? (q ? r))→(p ? q ? r)? ? (p ? (q ? r))→(p ? q ? r) ? ( ? p ? ( ? q ? ? r)) ? (p ? q ? r) ? ( ? p ? (p ? q ? r)) ? (( ? q ? ? r)) ? (p ? q ? r)) ?1?1 ?1所以该式为永真式. 永真式的主合取范式为 1 主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)3第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统 P 中构造下面推理的证明： (2)前提：p ? q, ? (q ? r),r 结论： ? p (4)前提：q ? p,q ? s,s ? t,t ? r 结论：p ? q证明： （2） ① ? (q ? r) ②? q? ? r ③q ? ? r ④r ⑤? q ⑥p ? q ⑦Vp（3） 前提引入 ①置换 ②蕴含等值式 前提引入 ③④拒取式 前提引入 ⑤⑥拒取式证明（4） ： ①t ? r ②t ③q ? s ④s ? t ⑤q ? t 前提引入 ①化简律 前提引入 前提引入 ③④等价三段论 ⑤ 置换⑥（q ? t） ? (t ? q) ⑦（q ? t） ⑧q ⑨q ? p ⑩p (11)p ? q⑥化简 ②⑥ 假言推理 前提引入 ⑧⑨假言推理 ⑧⑩合取15 在自然推理系统 P 中用附加前提法证明下面各推理：4(1)前提：p ? (q ? r),s ? p,q 结论：s ? r证明 ①s ②s ? p ③p 附加前提引入 前提引入 ①②假言推理④p ? (q ? r) 前提引入 ⑤q ? r ⑥q ⑦r ③④假言推理 前提引入 ⑤⑥假言推理16 在自然推理系统 P 中用归谬法证明下面各推理： (1)前提：p ? ? q, ? r ? q,r ? ? s 结论： ? p 证明： ①p ②p ? q ③q ④Vr ? q ⑤Vr ⑥r ? Vs ⑦r ⑧r ? r 结论的否定引入 前提引入 ①②假言推理 前提引入 ④化简律 前提引入 ⑥化简律 ⑤⑦ 合取由于最后一步 r ? r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命 题的真值: (1) 对于任意 x,均有 (2) 存在 x,使得 x+5=9. 2=(x+ )(x ).5其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解： F(x): 2=(x+ )(x ).G(x): x+5=9. (1)在两个个体域中都解释为 ?xF (x) ，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。 (2)在两个个体域中都解释为 ?xG(x) ，在（a）(b)中均为真命题。 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x 能表示成分数 H(x): x 是有理数 命题符号化为: ??x(?F ( x) ? H ( x)) (2)F(x): x 是北京卖菜的人 H(x): x 是外地人 命题符号化为: ??x( F ( x) ? H ( x)) 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解: (1)F(x): x 是火车; G(x): x 是轮船; H(x,y): x 比 y 快 命题符号化为: ?x?y(( F ( x) ? G( y)) ? H ( x, y)) (2) (1)F(x): x 是火车; G(x): x 是汽车; H(x,y): x 比 y 快 命题符号化为: ??y(G( y) ? ?x( F ( x) ? H ( x, y))) 9.给定解释 I 如下: (a) 个体域 D 为实数集合 R. (b) D 中特定元素 =0. (c) 特定函数 (x,y)=x y,x,y ? D .6(d) 特定谓词 (x,y):x=y, (x,y):x&y,x,y ? D . 说明下列公式在 I 下的含义,并指出各公式的真值: (1) ?x?y(G( x, y) ? ?F ( x, y)) (2) ?x?y( F ( f ( x, y), a) ? G( x, y)) 答:(1) 对于任意两个实数 x,y,如果 x&y, 那么 x ? y. 真值 1.(2) 对于任意两个实数 x,y,如果 x-y=0, 那么 x&y. 真值 0. 10. 给定解释 I 如下： （a） 个体域 D=N(N 为自然数集合). （b） D 中特定元素 =2. （c） D 上函数 =x+y, (x,y)=xy.（d） D 上谓词 (x,y):x=y. 说明下列各式在 I 下的含义，并讨论其真值. (1) xF(g(x,a),x) (2) x y(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x) 答:(1) 对于任意自然数 x, 都有 2x=x, 真值 0.(2) 对于任意两个自然数 x,y,使得如果 x+2=y, 那么 y+2=x. 真值 0. 11. 判断下列各式的类型: (1) (3) yF(x,y). 为永真式；解:(1)因为 p ? (q ? p) ? ?p ? (?q ? p) ? 1 所以 为永真式；(3)取解释 I 个体域为全体实数 F(x,y)：x+y=5 所以,前件为任意实数 x 存在实数 y 使 x+y=5，前件真； 后件为存在实数 x 对任意实数 y 都有 x+y=5，后件假，] 此时为假命题 再取解释 I 个体域为自然数 N， F(x,y)：:x+y=5 所以,前件为任意自然数 x 存在自然数 y 使 x+y=5，前件假。此时为假命题。 此公式为非永真式的可满足式。713. 给定下列各公式一个成真的解释，一个成假的解释。 (1) (F(x)(2) x(F(x) G(x) H(x)) 解:(1)个体域:本班同学 F(x)：x 会吃饭, G(x)：x 会睡觉.成真解释 F(x)：x 是泰安人,G(x)：x 是济南人.（2）成假解释 (2)个体域:泰山学院的学生 F(x)：x 出生在山东,G(x):x 出生在北京,H(x):x 出生在江苏,成假解释. F(x)：x 会吃饭,G(x)：x 会睡觉,H(x)：x 会呼吸. 成真解释.第五章部分课后习题参考答案5.给定解释Ｉ如下: (a)个体域 D={3,4}; (b) f (x ) 为 f (3) ? 4, f (4) ? 3 (c) F ( x, y )为F (3,3) ? F (4,4) ? 0, F (3,4) ? F (4,3) ? 1. 试求下列公式在Ｉ下的真值. (1) ?x?yF ( x, y) (3) ?x?y( F ( x, y) ? F ( f ( x), f ( y))) 解:(1) ?x?yF ( x, y) ? ?x( F ( x,3) ? F ( x,4))? ( F (3,3) ? F (3,4)) ? ( F (4,3) ? F (4,4)) ? (0 ? 1) ? (1 ? 0) ? 1(2) ?x?y( F ( x, y) ? F ( f ( x), f ( y)))? ?x(( F ( x,3) ? F ( f ( x), f (3))) ? ( F ( x,4) ? F ( f ( x), f (4)))) ? ?x(( F ( x,3) ? F ( f ( x),4)) ? ( F ( x,4) ? F ( f ( x),3))) ? (( F (3,3) ? F ( f (3),4)) ? ( F (3,4) ? F ( f (3),3))) ? (( F (4,3) ? F ( f (4),4)) ? ( F (4,4) ? F ( f (4),3))) ? ((0 ? F (4,4)) ? ( F (3,4) ? F (4,3))) ? ((1 ? F (3,4)) ? (0 ? F (3,3)))8? (0 ? 0) ? (1 ? 1) ? (1 ? 1) ? (0 ? 0) ? 112.求下列各式的前束范式。 (1) ?xF ( x) ? ?yG( x, y) (5) ?x1 F ( x1 , x2 ) ? ( H ( x1 ) ? ??x2 G( x1 , x2 )) (本题课本上有错误)解:(1) ?xF ( x) ? ?yG( x, y) ? ?xF ( x) ? ?yG(t , y) ? ?x?y( F ( x) ? G(t , y)) (5) ?x1 F ( x1 , x2 ) ? ( H ( x1 ) ? ??x2 G( x1 , x2 ))? ?x1 F ( x1 , x2 ) ? ( H ( x3 ) ? ?x2 ?G( x3 , x2 )) ? ?x1 F ( x1 , x4 ) ? ?x2 ( H ( x3 ) ? ?G( x3 , x2 )) ? ?x1?x2 ( F ( x1 , x4 ) ? ( H ( x3 ) ? ?G( x3 , x2 )))15.在自然数推理系统 F 中,构造下面推理的证明: (1) 前提: ?xF ( x) ? ?y(( F ( y) ? G( y)) ? R( y)) , ?xF (x) 结论: ? xR(x) (2) 前提: ? x(F(x)→(G(a)∧R(x))), 结论: x(F(x)∧R(x)) 证明(1) ① ?xF (x) ②F(c) 前提引入 ①EI 前提引入 xF(x)③ ?xF ( x) ? ?y(( F ( y) ? G( y)) ? R( y)) ④ ?y(( F ( y) ? G( y)) ? R( y)) ⑤(F(c)∨G(c))→R(c)) ⑥F(c)∨G(c) ⑦R(c) ⑧ ? xR(x)①③假言推理 ④UI ②附加 ⑤⑥假言推理 ⑦EG(2) ① ? xF(x) ②F(c) 前提引入 ①EI 前提引入 ③UI9③ ? x(F(x)→(G(a)∧R(x))) ④F(c)→(G(a)∧R(c))⑤G(a)∧R(c) ⑥R(c) ⑦F(c)∧R(c) ⑧ ? x(F(x)∧R(x))②④假言推理 ⑤化简 ②⑥合取引入 ⑦EG第六章部分课后习题参考答案5.确定下列命题是否为真： （1） ? ? ? （2） ? ? ? （3） ? ? {?} （4） ? ? {?} 真 假 真 真 真 真 真 假（5） ｛a,b｝ ? ｛a,b,c,｛a,b,c｝ ｝ （6） ｛a,b｝ ? ｛a,b,c,｛a,b｝ ｝ （7） ｛a,b｝ ? ｛a,b,｛ ｛a,b｝｝ ｝ （8） ｛a,b｝ ? ｛a,b,｛ ｛a,b｝｝ ｝6．设 a,b,c 各不相同，判断下述等式中哪个等式为真: （1）｛a,b｝ ｛ ，c, ? ｝ =｛ ｛a,b｝,c｝ （2） ,b,a｝=｛a,b｝ ｛a （3）｛a｝ ｛ ，{b}｝=｛ ｛a,b｝ ｝ （4） ? ， ? ｝ ｛ ｛ ，a,b｝=｛ ? ,｛ ? ｝ ｛ ｝,a,b｝ 8．求下列集合的幂集： （1） ｛a,b,c｝ P(A)={ ? ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} {{2,3}}, {1，{2，3}} } 假 真 假 假（2） ｛2，3｝ P(A)={ ? , {1}, ｛1， ｝ （3） ? ｝ ｛ （4） ? ， ? ｝ ｛ ｛ ｝P(A)={ ? , ｛ ? ｝ } P(A)={ ? , {1}, {{2,3}}, {1，{2，3}} }14．化简下列集合表达式： （1） ? B） ? B ）-（A ? B） （A （2）（A ? B ? C）-（B ? C） ? A （ ） 解:10(1)（A ? B） ? B ）-（A ? B）=（A ? B） ? B ） ? ～（A ? B） =（A ? B） ? ～（A ? B）) ? B= ? ? B= ? （2）（A ? B ? C）-（B ? C） ? A=（ ? B ? C） ? ～（B ? C） ? A （ ） （A ） =（A ? ～（B ? C） ? （ ? C ） ? ～（B ? C） ? A ） （B ） =（A ? ～（B ? C） ? ? ? A=（A ? ～（B ? C） ? A=A ） ） 18．某班有 25 个学生，其中 14 人会打篮球，12 人会打排球，6 人会打篮球和排球，5 人会打篮球和网球， 还有 2 人会打这三种球。 已知 6 个会打网球的人都会打篮球或排球。 求不会打球的人数。 解: 阿 A={会打篮球的人}，B={会打排球的人}，C={会打 的人} |A|=14, |B|=12, |A ? B|=6,|A ? C|=5,| A ? B ? C|=2, |C|=6,C ? A ? B 如图所示。 25-(5+4+2+3)-5-1=25-14-5-1=5 不会打球的人共 5 人 21.设集合 A＝{{1，2}，{2，3}，{1，3},{ ? }},计算下列表达式： （1） ? A （2） ? A （3） ?? A （4） ?? A 解: （1） ? A={1，2} ? {2，3} ? {1，3} ? { ? }={1，2，3, ? } （2） ? A={1，2} ? {2，3} ? {1，3} ? { ? }= ? （3） ?? A=1 ? 2 ? 3 ? ? = ? （4） ?? A= ? 27、设 A,B,C 是任意集合，证明 (1)(A-B)-C=A- B ? C (2)(A-B)-C=(A-C)-(B-C) 证明 (1) (A-B)-C=(A ? ～B) ? ～C= A ? ( ～B ? ～C)= A ? ～(B ? C) =A- B ? C 网 球11(2) (A-C)-(B-C)=(A ? ～C) ? ～(B ? ～C)= (A ? ～C) ? (～B ? C) =(A ? ～C ? ～B) ? (A ? ～C ? C)= (A ? ～C ? ～B) ? ? = A ? ～(B ? C) =A- B ? C 由（1）得证。第七章部分课后习题参考答案7.列出集合 A={2,3,4}上的恒等关系 I A,全域关系 EA,小于或等于关系 LA,整除关系 DA. 解：IA ={&2，2&,&3,3&,&4,4&} EA={&2,2&,&2,3&,&2,4&,&3,4&,&4,4&,&3,2&,&3,3&,&4,2&,&4,3&} LA={&2,2&,&2,3&,&2,4&,&3,3&,&3,4&,&4,4&} DA={&2,4&} 13.设 A={&1,2&,&2,4&,&3,3&} B={&1,3&,&2,4&,&4,2&} 求 A ? B,A ? B, domA, domB, dom(A ? B), ranA, ranB, ran(A ? B ), fld(A-B). 解：A ? B={&1,2&,&2,4&,&3,3&,&1,3&,&4,2&} A ? B={&2,4&} domA={1,2,3} domB={1,2,4} dom(A∨B)={1,2,3,4} ranA={2,3,4} ranB={2,3,4} ran(A ? B)={4} A-B={&1,2&,&3,3&}，fld(A-B)={1,2,3} 14.设 R={&0,1&&0,2&,&0,3&,&1,2&,&1,3&,&2,3&} 求 R ? R, R-1, R ? {0,1,}, R[{1,2}] 解：R ? R={&0,2&,&0,3&,&1,3&} R-1,={&1,0&,&2,0&,&3,0&,&2,1&,&3,1&,&3,2&} R ? {0,1}={&0,1&,&0,2&,&0,3&,&1,2&,&1,3&} R[{1,2}]=ran(R|{1,2})={2,3}1216．设 A={a,b,c,d}， R1R1，R2 为 A 上的关系，其中=?a, a , a, b , b, d?R2 ? ? a, d , b, c , b, d , c, b2 3 求 R1 ? R2 , R2 ? R1 , R1 , R2 。?解: R1 ? R2={&a,d&,&a,c&,&a,d&} R2 ? R1={&c,d&} R12=R1 ? R1={&a,a&,&a,b&,&a,d&} R22=R2 ? R2={&b,b&,&c,c&,&c,d&} R23=R2 ? R22={&b,c&,&c,b&,&b,d&}36．设 A={1，2，3，4}，在 A ? A 上定义二元关系 R， 〈u,v& R &x,y& ? u + y = x + v. ? &u,v&,&x,y& ? A ? A ， (1)证明 R 是 A ? A 上的等价关系. (2)确定由 R 引起的对 A ? A 的划分. （1）证明：∵&u,v&R&x,y& ? u+y=x-y ∴&u,v&R&x,y& ? u-v=x-y? &u,v& ? A ? A∵u-v=u-v ∴&u,v&R&u,v& ∴R 是自反的 任意的&u,v&,&x,y&∈A×A 如果&u,v&R&x,y& ，那么 u-v=x-y ∴x-y=u-v ∴R 是对称的 任意的&u,v&,&x,y&,&a,b&∈A×A 若&u,v&R&x,y&,&x,y&R&a,b& 则 u-v=x-y,x-y=a-b ∴u-v=a-b ∴R 是传递的13∴&x,y&R&u,v&∴&u,v&R&a,b&∴R 是 A×A 上的等价关系 (2) ∏={{&1,1&,&2,2&,&3,3&,&4,4&}, {&4,1&}, {&1,2&,&2,3&,&3,4&}, {&2,1&,&3,2&,&4,3&}, {&1,4&} {&3,1&,&4,2&}, }{&1,3&,&2,4&},41.设 A={1，2，3，4}，R 为 A ? A 上的二元关系, ? 〈a，b〉〈c，d〉 ? A ? A , ， 〈a，b〉R〈c，d〉 ? a + b = c + d (1) 证明 R 为等价关系. (2)求 R 导出的划分. (1)证明： ? &a，b〉 ? A ? A a+b=a+b ∴&a,b&R&a,b& ∴R 是自反的 任意的&a,b&,&c,d&∈A×A 设&a,b&R&c,d&，则 a+b=c+d ∴c+d=a+b ∴R 是对称的 任意的&a,b&,&c,d&,&x,y&∈A×A 若&a,b&R&c,d&,&c,d&R&x,y& 则 a+b=c+d,c+d=x+y ∴a+b=x+y ∴&a,b&R&x,y& ∴&c,d&R&a,b&∴R 是传递的 ∴R 是 A×A 上的等价关系 (2)∏={{&1,1&}, {&1,2&,&2,1&}, {&1,3&,&2,2&,&3,1&}, {&1,4&,&4,1&,&2,3&,&3,2&}, {&2,4&,&4,2&,&3,3&}, {&3,4&,&4,3&}, {&4,4&}}43. 对于下列集合与整除关系画出哈斯图: (1) {1,2,3,4,6,8,12,24} (2) {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} 解:142488 4 2 1 12 6 312 6 3 1(2)10 74 29 5 11(1)45.下图是两个偏序集&A,R ? &的哈斯图.分别写出集合 A 和偏序关系 R ? 的集合表达式.de b afgc bf d e a(b)cg(a) 解: (a)A={a,b,c,d,e,f,g}R ? ={&a,b&,&a,c&,&a,d&,&a,e&,&a,f&,&a,g&,&b,d&,&b,e&,&c,f&,&c,g&} ? I A (b) A={a,b,c,d,e,f,g} R ? ={&a,b&,&a,c&,&a,d&,&a,e&,&a,f&,&d,f&,&e,f&} ? I A 46.分别画出下列各偏序集&A,R ? &的哈斯图,并找出 A 的极大元`极小元`最大元和 最小元. (1)A={a,b,c,d,e} R ? ={&a,d&,&a,c&,&a,b&,&a,e&,&b,e&,&c,e&,&d,e&} ? IA. (2)A={a,b,c,d,e}, 解: R ? ={&c,d&} ? IA.15edbc a(1)de a b c(2)项目 极大元: 极小元: 最大元: 最小元:(1) e a e a(2) a,b,d,e a,b,c,e 无 无第八章部分课后习题参考答案1．设 f :N ? N,且?1，若x为奇数 ? f (x)= ? x 若 ? 2， x为偶数 ?求 f (0), f ({0}), f (1), f ({1}), f ({0,2,4,6,?})，f ({4,6,8}), f -1({3,5,7}). 解：f (0)=0, f ({0})={0}, f (1)=1, f ({1})={1}, f ({0,2,4,6,?})=N，f ({4,6,8})={2,3,4}, f -1 ({3,5,7})={6,10,14}. 4. 判断下列函数中哪些是满射的?哪些是单射的?哪些是双射的? (1) f:N ? N, f(x)=x2+2 不是满射，不是单射 不是满射，不是单射 不是满射，不是单射(2) f:N ? N,f(x)=(x)mod 3,x 除以 3 的余数?1，若x为奇数 (3) f:N ? N,f(x)= ? ?0，若x为偶数?0，若x为奇数 (4) f:N ? {0,1},f(x)= ? ?1，若x为偶数是满射，不是单射(5) f:N-{0} ? R,f(x)=lgx (6) f:R ? R,f(x)=x2-2x-15不是满射，是单射 不是满射，不是单射165. 设 X={a,b,c,d},Y={1,2,3},f={&a,1&,&b,2&,&c,3&,}判断以下命题的真假: (1)f 是从 X 到 Y 的二元关系,但不是从 X 到 Y 的函数; (2)f 是从 X 到 Y 的函数,但不是满射,也不是单射的; (3)f 是从 X 到 Y 的满射,但不是单射; (4)f 是从 X 到 Y 的双射. 对 错 错 错第十章部分课后习题参考答案4．判断下列集合对所给的二元运算是否封闭： （1） 整数集合 Z 和普通的减法运算。 封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元 （2） 非零整数集合 普通的除法运算。不封闭 （R）和矩阵加法及乘法运算，其中 n 2。（3） 全体 n? n 实矩阵集合封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律； 加法单位元是零矩阵，无零元； 乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵； （4）全体 n? n 实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中 n 2。不封闭 （5）正实数集合 和 运算，其中 运算定义为：不封闭 （6） n因为 1? 1 ? 1? 1 ? 1 ? 1 ? ?1 ? R ? 关于普通的加法和乘法运算。封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 加法单位元是 0，无零元； 乘法无单位元（ n ? 1） ，零元是 0； n ? 1单位元是 1 （7）A = { a1 , a2 ,?, an } n 运算定义如下：封闭 不满足交换律，满足结合律， （8）S = 封闭 关于普通的加法和乘法运算。 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律（9）S = {0,1},S 是关于普通的加法和乘法运算。17加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律 （10）S = ,S 关于普通的加法和乘法运算。加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律 5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。 见上题 7．设 * 为 Z ? 上的二元运算 ?x, y ? Z ? ， X * Y = min ( x，y ),即 x 和 y 之中较小的数. (1)求 4 * 6，7 * 3。 4,?3(2)* 在 Z 上是否适合交换律，结合律，和幂等律？ 满足交换律，结合律，和幂等律 (3)求*运算的单位元，零元及 Z ? 中所有可逆元素的逆元。 单位元无，零元 1, 所有元素无逆元8． S ? Q ? Q Q 为有理数集，*为 S 上的二元运算， &a,b&,&x,y & S 有 & a，b &*&x，y& = &ax，ay + b& （1）*运算在 S 上是否可交换，可结合？是否为幂等的？ 不可交换：&x,y&*&a,b &= &xa，xb +y& ? & a，b &*&x，y& 可结合：(&a,b &*&x,y&)*&c,d&=&ax，ay + b&*&c,d&=&axc，axd +(ay+b) & &a,b &*(&x,y&*&c,d&)=&a, b&*&xc,xd+y&=&axc，a(xd +y)+b & (&a,b &*&x,y&)*&c,d&=&a,b &*(&x,y&*&c,d&) 不是幂等的 （2）*运算是否有单位元，零元？ 如果有请指出，并求 S 中所有可逆元素的逆元。 设&a,b&是单位元， &x,y & S ，&a,b &*&x,y&= &x,y&*&a,b &=&x,y& 则&ax,ay+b&=&xa,xb+y&=&x,y&，解的&a,b&=&1,0&，即为单位。设&a,b&是零元， &x,y & S ，&a,b &*&x,y&= &x,y&*&a,b &=&a,b& 则&ax,ay+b&=&xa,xb+y&=&a,b&，无解。即无零元。 &x,y & S，设&a,b&是它的逆元&a,b &*&x,y&= &x,y&*&a,b &=&1,0& &ax,ay+b&=&xa,xb+y&=&1,0& a=1/x,b=-y/x18所以当 x ? 0 时， ? x, y ? ?1 ?1 y ,? x x10．令 S={a，b}，S 上有四个运算：*，分别有表 10.8 确定。(a)(b)(c)(d)(1)这 4 个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幂等律？ (a) 交换律，结合律，幂等律都满足， 零元为 a,没有单位元； (b)满足交换律和结合律，不满足幂等律，单位元为 a,没有零元a ?1 ? a, b ?1 ? b(c)满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律a ? (b ? b) ? a ? a ? b, (a ? b) ? b ? a ? b ? aa ? (b ? b) ? (a ? b) ? b没有单位元, 没有零元 (d) 不满足交换律，满足结合律和幂等律 没有单位元, 没有零元 (2)求每个运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元。 见上 16．设 V=〈 N，+ ， 〉 ，其中+ ， 分别代表普通加法与乘法，对下面给定的每个集合 确定它是否构成 V 的子代数，为什么？ （1）S1= （2）S2= （3）S3 = {-1，0，1} 是 不是 加法不封闭 不是，加法不封闭第十一章部分课后习题参考答案8.设 S={0，1，2，3}， 为模 4 乘法，即 x y=(xy)mod 4 & ? x,y∈S,19问〈S，〉是否构成群？为什么？ x y=(xy)mod 4 ? S , 是 S 上的代数运算。解：(1) ? x,y∈S,(2) ? x,y,z∈S,设 xy=4k+r (x y) z =((xy)mod 4)0?r ?3z=r z=(rz)mod 4=(4kz+rz)mod 4=((4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4 同理 x (y z) =(xyz)mod 4 y) z = x 1)=(1 (y z)，结合律成立。所以，(x (3) ? x∈S, (xx)=x,，所以 1 是单位元。(4) 1?1 ? 1, 3?1 ? 3, 0 和 2 没有逆元 所以， 〈S， 〉不构成群9.设 Z 为整数集合，在 Z 上定义二元运算。如下： & ? x,y∈Z,xoy= x+y-2 问 Z 关于 o 运算能否构成群？为什么？ 解：(1) ? x,y∈Z, (2) ? x,y,z∈Z, (xoy) oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4 同理(xoy)oz= xo(yoz)，结合律成立。 (3)设 e 是单位元， ? x∈Z, xo e = e ox=x,即 x+ e -2= e +x-2=x, e=2 xoy= x+y-2 ? Z ,o 是 Z 上的代数运算。(4) ? x∈Z , 设 x 的逆元是 y, xoy= yox= e , 即 x+y-2=y+x-2=2, 所以， x ?1 ? y ? 4 ? x 所以〈Z，o〉构成群?? 1 0 ? ? 1 0 ? ?, ? ?, 11.设 G= ?? ? ? ? ? ?? 0 1 ? ? 0 ? 1?? ? 1 0 ? ? ? 1 0 ?? ? ? 0 1 ?, ? 0 ? 1?? ，证明 G 关于矩阵乘法构成一个群． ? ? ? ? ? ? ??解：(1) ? x,y∈G,易知 xy∈G,乘法是 Z 上的代数运算。(2) 矩阵乘法满足结合律?1 0? (3)设 ? ? 0 1 ? 是单位元， ? ? ?20(4)每个矩阵的逆元都是自己。 所以 G 关于矩阵乘法构成一个群．14.设 G 为群，且存在 a∈G,使得 G={akOk∈Z} 证明：G 是交换群。 证明: ? x,y∈G，设 x ? a k , y ? a l ，则xy ? a k a l ? a k ?l ?? a l ? k ? a l a k ? yx所以，G 是交换群17.设 G 为群，证明 e 为 G 中唯一的幂等元。2 2 证明:设 e0 ? G 也是幂等元，则 e0 ? e0 ，即 e0 ? e0 e ，由消去律知 e0 ? e18.设 G 为群，a,b,c∈G,证明 OabcO=ObcaO=OcabO 证明：先证设 (abc) k ? e ? (bca) k ? e 设 (abc) k ? e, 则 (abc)(abc)(abc)?(abc) ? e ， 即a(b c)(a c)(a c) ?(b c)a ?1 ? e b b a a左边同乘 a ?1 ，右边同乘 a 得(bca)(bca)(bca) ?(bca) ? (bac) k ? a ?1ea ? e反过来，设 (bac) ? e, 则 (abc) ? e.k k由元素阶的定义知，OabcO=ObcaO，同理ObcaO=OcabO19.证明：偶数阶群 G 必含 2 阶元。 证明：设群 G 不含 2 阶元， ?a ? G ，当 a ? e 时， a 是一阶元，当 a ? e 时， a 至少是 3 阶元,因为群 G 时有限阶的，所以 a 是有限阶的，设 a 是 k 阶的,则 a ?1 也是 k 阶的，所以 高于 3 阶的元成对出现的，G 不含 2 阶元，G 含唯一的 1 阶元 e ,这与群 G 是偶数阶的矛 盾。所以，偶数阶群 G 必含 2 阶元2120.设 G 为非 Abel 群，证明 G 中存在非单位元 a 和 b,a≠b,且 ab=ba. 证明：先证明 G 含至少含 3 阶元。 若 G 只含 1 阶元,则 G={e},G 为 Abel 群矛盾； 若 G 除了 1 阶元 e 外,其余元 a 均为 2 阶元，则 a 2 ? e ， a ?1 ? a?a, b ? G, a ?1 ? a, b ?1 ? b, (ab) ?1 ? ab, 所以 ab ? a ?1b ?1 ? (ba) ?1 ? ba ，与 G 为 Abel 群矛盾； 所以，G 含至少含一个 3 阶元，设为 a ，则 a ? a 2 ，且 a 2 a ? aa2 。 令 b ? a 2 的证。 21.设 G 是 Mn(R)上的加法群，n≥2，判断下述子集是否构成子群。 （1）全体对称矩阵 （2）全体对角矩阵 是子群 是子群 不是子群（3）全体行列式大于等于 0 的矩阵. （4）全体上（下）三角矩阵。是子群22.设 G 为群，a 是 G 中给定元素，a 的正规化子 N（a）表示 G 中与 a 可交换的元素构成 的集合，即 N（a）={xOx∈G∧xa=ax} 证明 N（a）构成 G 的子群。 证明：ea=ae, e ? N (a) ? ??x, y ? N (a), 则 ax ? xa, ay ? yaa( xy) ? (ax) y ? ( xa) y ? x(ay) ? x( ya) ? ( xy)a ,所以 xy ? N (a)由 ax ? xa ，得 x ?1axx?1 ? x ?1 xax?1 , x ?1ae ? eax?1 ，即 x ?1a ? ax ?1 ，所以 x ?1 ? N (a) 所以 N（a）构成 G 的子群 31.设 ? 1 是群 G1 到 G2 的同态， ? 2 是 G2 到 G3 的同态，证明 ? 1 ? ? 2 是 G1 到 G3 的同态。 证明：有已知 ? 1 是 G1 到 G2 的函数， ? 2 是 G2 到 G3 的函数，则 ? 1? ? 2 是 G1 到 G3 的函数。?a, b ? G1 , (?1 ? ? 2 )(ab) ? ? 2 (?1 (ab)) ? ? 2 (?1 (a)?1 (b))? (? 2 (?1 (a)))(? 2 (?1 (b))) ? (?1 ? ? 2 )(a)(?1 ? ? 2 )(b)所以: ? 1? ? 2 是 G1 到 G3 的同态。 33.证明循环群一定是阿贝尔群，说明阿贝尔群是否一定为循环群，并证明你的结论。 证明：设 G 是循环群,令 G=&a&, ?x, y ? G ,令 x ? a k , y ? a l ,那么22xy ? a k a l ? a k ?l ? a l ? k ? a l a k ? yx ,G 是阿贝尔群克莱因四元群, G ? {e, a, b, c}? e e a b e a b e c e c c a ea a b b cc bc b a是交换群,但不是循环群,因为 e 是一阶元，a,b,c 是二阶元。 36.设 ? ,? 是 5 元置换，且? ?? ? 2 1 4 5 3? ，? ? ? 3 4 5 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?(1)计算 ?? , ?? , ? ?1 , ? ?1 , ? ?1?? ； (2)将 ?? , ? ?1 , ? ?1?? 表成不交的轮换之积。 (3)将（2）中的置换表示成对换之积，并说明哪些为奇置换，哪些为偶置换。? 1 2 3 4 5? 解：(1) ?? ? ? ? 4 5 3 2 1? ? ? ??1 ?? ? ? ? 4 3 1 2 5? ? ? ? 4 5 1 2 3? ? ? ? ? ? ? ?? 1 2 3 4 5??1 2 3 4 5?? 1 2 3 4 5?? 1 2 3 4 5?? ?1 ? ? ? 2 1 5 3 4? ? ? ?(2) ?? ? (1425 )?1 2 3 4 5?? ?1?? ? ? ?5 4 1 3 2? ? ? ??1 2 3 4 5?? ?1 ? (14253 )? ?1?? ? (143)( 25)(3) ?? ? (14)(12)(15)奇置换， 偶置换 奇置换? ?1 ? (14)(12)(15)(13)? ?1?? ? (14)(13)(25)第十四章部分课后习题参考答案5、设无向图 G 有 10 条边，3 度与 4 度顶点各 2 个，其余顶点的度数均小于 3，问 G 至 少有多少个顶点？在最少顶点的情况下，写出度数列、 ?(G)、 (G) 。 ? 解：由握手定理图 G 的度数之和为： 2 ? 10 ? 20 3 度与 4 度顶点各 2 个，这 4 个顶点的度数之和为 14 度。 其余顶点的度数共有 6 度。 其余顶点的度数均小于 3，欲使 G 的顶点最少，其余顶点的度数应都取 2, 所以，G 至少有 7 个顶点, 出度数列为 3,3,4,4,2,2,2, ?(G) ? 4 , ? (G) ? 2 .237、 设有向图 D 的度数列为 2， 2， 出度列为 1， 1， 求 D 的入度列， 3， 3， 2， 1， 并求 ?( D), ? ( D) ，?? ( D), ? ? ( D) , ?? ( D), ? ? ( D) .解：D 的度数列为 2，3，2，3，出度列为 1，2，1，1，D 的入度列为 1,1,1,2.?( D) ? 3, ? ( D) ? 2 , ?? ( D) ? 2, ? ? ( D) ? 1 , ?? ( D) ? 2, ? ? ( D) ? 18、设无向图中有 6 条边，3 度与 5 度顶点各 1 个，其余顶点都是 2 度点，问该图有多少 个顶点？ 解：由握手定理图 G 的度数之和为： 2 ? 6 ? 12 设 2 度点 x 个，则 3 ?1 ? 5 ?1 ? 2x ? 12 ， x ? 2 ，该图有 4 个顶点. 14、下面给出的两个正整数数列中哪个是可图化的？对可图化的数列，试给出 3 种非同 构的无向图，其中至少有两个时简单图。 (1) 2,2,3,3,4,4,5 解：(1) 2+2+3+3+4+4+5=23 (2) (2) 2,2,2,2,3,3,4,4是奇数，不可图化；2＋2+2+2+3+3+4+4=16, 是偶数，可图化；18、设有 3 个 4 阶 4 条边的无向简单图 G1、G2、G3，证明它们至少有两个是同构的。 证明：4 阶 4 条边的无向简单图的顶点的最大度数为 3，度数之和为 8，因而度数列 为 2，2，2，2；3，2，2，1；3，3，1，1。但 3，3，1，1 对应的图不是简单图。所以 从同构的观点看，4 阶 4 条边的无向简单图只有两个：所以，G1、G2、G3 至少有两个是同构的。 20、已知 n 阶无向简单图 G 有 m 条边，试求 G 的补图 G 的边数 m? 。 解： m? ?n(n ? 1) ?m 221、无向图 G 如下图24(1)求 G 的全部点割集与边割集，指出其中的割点和桥； (2) 求 G 的点连通度 k (G ) 与边连通度 ? (G ) 。a e2 b e3解：点割集: {a,b},(d)e1d e5 ee4 c边割集{e2,e3},{e3,e4},{e1,e2},{e1,e4}{e1,e3},{e2,e4},{e5}k (G ) = ? (G ) =123、求 G 的点连通度 k (G ) 、边连通度 ? (G ) 与最小度数 ? (G ) 。解： k (G) ? 2 、 ? (G) ? 3 、 ? (G) ? 4 28、设 n 阶无向简单图为 3-正则图，且边数 m 与 n 满足 2n-3=m 问这样的无向图有几种 非同构的情况？? 3n ? 2m 解： ? ?2 n ? 3 ? m得 n=6,m=9.31、设图 G 和它的部图 G 的边数分别为 m 和 m ，试确定 G 的阶数。 解： m ? m ?n(n ? 1) 2得n ?? 1 ? 1 ? 8(m ? m) 245、有向图 D 如图 (1)求 v 2 到 v 5 长度为 1，2，3，4 的通路数； (2)求 v 5 到 v 5 长度为 1，2，3，4 的回路数； (3)求 D 中长度为 4 的通路数； (4)求 D 中长度小于或等于 4 的回路数；25(5)写出 D 的可达矩阵。v1 v4v5v2v3解：有向图 D 的邻接矩阵为：?0 ? ?1 A ? ?0 ? ?1 ?0 ? ?0 ? ?4 A4 ? ? 0 ? ?4 ?0 ? 0 0 0 1? ?0 1 ? ? 0 1 0 0? ?0 0 ? ， A2 ? ? 0 1 0 0 0 1 ? ? 0 1 0 0? ?0 0 ? ?2 0 1 0 1 0? ? 0 0 0 4? ? 0 4 0 0? 0 0 0 4? ? 0 4 0 0? 4 0 4 0? ? 0 1 0? ?2 0 ? ? 0 0 2? ?0 2 ? A3 ? ? 2 0 0 1 0 ? ? 0 0 2? ?0 2 ? ?0 0 2 0 0? ? 2 0 0? ? 0 2 0? 2 0 0? ? 0 2 0? 0 0 4? ??0 ? ?5 A ? A 2 ? A3 ? A 4 ? ? 2 ? ?4 ?2 ?1 2 1 5? ? 2 5 2 2? 1 2 1 5? ? 2 5 2 2? 5 2 5 4? ?(1) v 2 到 v 5 长度为 1，2，3，4 的通路数为 0,2,0,0； (2) v 5 到 v 5 长度为 1，2，3，4 的回路数为 0,0,4,0； (3)D 中长度为 4 的通路数为 32； (4)D 中长度小于或等于 4 的回路数 10；?1 ? ?1 (4)出 D 的可达矩阵 P ? ?1 ? ?1 ?1 ? 1 1 1 1? ? 1 1 1 1? 1 1 1 1? ? 1 1 1 1? 1 1 1 1? ?第十六章部分课后习题参考答案1、画出所有 5 阶和 7 阶非同构的无向树.262、一棵无向树 T 有 5 片树叶，3 个 2 度分支点，其余的分支点都是 3 度顶点，问 T 有几个顶点? 解：设 3 度分支点 x 个，则5 ? 1 ? 3 ? 2 ? 3x ? 2 ? (5 ? 3 ? x ? 1) ，解得 x ? 3T 有 11 个顶点 3、无向树 T 有 8 个树叶，2 个 3 度分支点，其余的分支点都是 4 度顶点，问 T 有几个 4 度分支 点？根据 T 的度数列，请至少画出 4 棵非同构的无向树。 解：设 4 度分支点 x 个，则8 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 x ? 2 ? (8 ? 2 ? x ? 1) ，解得 x ? 2度数列 4、棵无向树 T 有 n i (i=2，3，?，k )个 i 度分支点，其余顶点都是树叶，问 T 应该有几片树叶? 解：设树叶 x 片，则ni ? i ? x ? 1 ? 2 ? (ni ? x ? 1) ，解得 x ? (i ? 2)ni ? 2评论：2，3，4 题都是用了两个结论,一是握手定理，二是 m ? n ? 1 5、n(n≥3)阶无向树 T 的最大度 解：2，n-1 6、若 n(n≥3)阶无向树 T 的最大度 解：n-1 7、证明：n(n≥2) 阶无向树不是欧拉图.27至少为几？最多为几？=2，问 T 中最长的路径长度为几？证明：无向树没有回路，因而不是欧拉图。 8、证明：n(n≥2) 阶无向树不是哈密顿图. 证明：无向树没有回路，因而不是哈密顿图。 9、证明：任何无向树 T 都是二部图. 证明：无向树没有回路，因而不存在技术长度的圈，是二部图。 10、什么样的无向树 T 既是欧拉图，又是哈密顿图? 解：一阶无向树14、设 e 为无向连通图 G 中的一条边， e 在 G 的任何生成树中，问 e 应有什么性质? 解：e 是桥 15、 e 为无向连通图 G 中的一条边， e 不在 G 的任何生成树中， 问 e 应有什么性质? 设 解：e 是环 23、已知 n 阶 m 条的无向图 G 是 k(k≥2)棵树组成的森林，证明：m = n-k.；证明：数学归纳法。k=1 时, m = n-1，结论成立； 设 k=t-1(t-1 ? 1 )时，结论成立，当 k=t 时, 无向图 G 是 t 棵树组成的森林,任取两棵树，每棵树 任取一个顶点，这两个顶点连线。则所得新图有 t-1 棵树，所以 m = n-（k-1）. 所以原图中 m = n-k 得证。 24、在图 16.6 所示 2 图中，实边所示的生成子图 T 是该图的生成树.(1)指出 T 的弦，及每条弦对应的基本回路和对应 T 的基本回路系统. (2) 指出 T 的所有树枝， 及每条树枝对应的基本割集和对应 T 的基本割集系统.(a)图 16.16(b)解：(a)T 的弦：c,d,g,h T 的基本回路系统: S={{a,c,b},{a,b,f,d},{e,a,b,h},{e,a,b,f,g}} T 的所有树枝: e,a,b,f T 的基本割集系统: S={{e,g,h},{a,c,d,g,h},{b,c,d,g,h},{f,d,g}} (b)有关问题仿照给出2825、求图 16.17 所示带权图中的最小生成树.(a) 解：(b)图 16.17注：答案不唯一。 37、画一棵权为 3，4，5，6，7，8，9 的最优 2 叉树，并计算出它的权.38.下面给出的各符号串集合哪些是前缀码? A1={0，10，110，1111} A2={1，01，001，000} 是前缀码 是前缀码 不是前缀码 是前缀码 不是前缀码A3={1，11，101，001，0011}A4={b，c，aa，ac，aba，abb，abc} A5={ b，c，a，aa，ac，abc，abb，aba} 41.设 7 个字母在通信中出现的频率如下: a: 35% c: 15% e: 10% g: 5%29b: 20% d: 10% f: 5%用 Huffman 算法求传输它们的前缀码.要求画出最优树，指出每个字母对应的编码.并指出传输 10n(n≥2)个按上述频率出现的字母，需要多少个二进制数字. 解：a:01 b:10 c:000 d:110 e:001 f:1111 g:1110 W(T)=5*4+5*4+10*3+10*3+15*3+20*2+35*2=255 传输 10n(n≥2)个按上述频率出现的字母，需要 255*10n-2 个二进制数字.30
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