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有理真分式裂项的快速方法(1)
第*卷第*期(!!*年9月金华职业技术学院学报TH-R*&HR*:GFLR(!!*有理真分式裂项的快速方法孙志明赵坚强【摘要】文献标识码：’文章编号：%78%+*799（(!!*）!*+!!*!+!*!&#$%&’()*+#,’-./’.01*12&%&#..#)34(.#1)(&5,1%’,6,(-.#1)#).1&7$125(,.#(&6,(-.#1)8:;&=&.+&.$?=@’6A.B$+C.B$?89:’;#/(&=&?#/&.;4?/&(@’(&&’&?AB;2’C/;(’D3;DD?&?E!98.,(-.：D&.EFBFG/F/HI.JGEBE.&F-GB$JJ./GKL&GL&HJHMEF-.LL.$?/BL.H$B-F/HFG/M/BKL.H$.$LHEN&HMEGIG/OB-FB/L.B-M/BKL.H$E#P&.K&.EQBEGJH$&BELG/.$?BJIB$KGJ&BL&G&BL.KER:’;&1,*8：/BL.H$B-F/HFG/M/BKL.H$S/BF.J/GEH-NL.H$SFG$L.$?KHGMM.K.G$L&GL&HJS&.$LG?/B-KB-KN-NE&%&凡形如!&#$!&%&#’(#$’(%&#&&%&$…$!!（&#$为非负整$…$’!.（#）))!&#$!&%&#’(#$’(%&#$…$!!$…$’!数，并且且’!!!)’!#’%#…’(及!!#!%#…!&都是常数，的分式称有理真分式，有理真分式裂&&$）!!!!，项是指：把真分式的分母分解为质因式，将真分式化为形如’，’*#$+*#$+，（的简单分式的和。有理真分式裂项$)(#*…#,(+%&!）在数学中经常用到，常用方法为待定系数法。在有理真分式的积分方法中，利用待定系数法，把它分解为部分分式之和，最后逐项积分，从理论上讲是普遍可用的方法。但是，这个方法具体使用起来，在技术上还是有困难的。现介绍一种快速解法，它能更简捷，更迅速，更准确地确定系数。设.（#）)&&%&24,24%%,…,2////4341-.&（#%,/）.（#）#&,4341-.&50（#%,/）.（#）1#&,434%%1-.&50（#%,/）.（#）1#&,///434%21%-.&50（#%,/）.（#）1……#&,5#/（0）%43%1-.&50（#%,/）.（#）1#&,5#/（4%%）（故%）证明：3,/为*（#）)!的单实根，!&#$!&%&##），若,/为)+（’(#$’(%&#$…$’!$…$!!*（#）1（#%,/）6（#）#）13/17（#）其7（#）中仍为有理真则+（/分式。从而3/)-.&4)-.&#&,/#&,//下面分两种情况：*（#）)!的实根，（%）若为的单实根时，&&%&
.（#）)!&#$!&%&#’(#$’(%&#)!2/,…，$…$’!/1&/$…$!!+（#）#）%7（（#%,）（）（）#/)-.&#&,)-.&#&,/（+（#）%7（#）#%,/）（#%,/）/（+（#）%7（#）#%,/）+（#）1#-.&&,//其中3/1-.&（#%,/）.（#）（(）若,/为*（#）)!的/重实根时，收稿日期：(!!*+!*+%5孙志明赵坚强绍兴越秀外国语职业学院绍兴越秀外国语职业学院讲师，讲师#&,//*%(!!!绍兴市第6期孙志明等：有理真分式裂项的快速方法6.!&#$（!&#$）%（!）!!#’&#$%（!）$$!!#（!&#$$!&#$!!#）)（!）$（!&#$（%）证明：若为的&重实根，则’(（)）!+,+（),/）,+（),/）%,…,+（)-/）*-.),0（）#’+*,+*-.（!&#*-.$）,+*-%（!&#$）%,…,+.（!&#$）!%（!）&-（!）&（!&#）*$’%（!）（!&#*$）&-（!）（!&#*$）’&#$2!!#+,+*-.（!&#*-.$*$）,+*-%（!&#$）%,…,+.（!&#$）3!&#$%（!）!!#$-&#$-（!）!!#（）%（!）$!&#$&!&#$!!#$!&#$%（!）!!#（!&#**$$）!&#$!!#)（（$!）!&#$）’+*!&#$!!#)$（!）（!&#*$）按此规律，一般地取4阶导数（.）得+*&.!./!&#$!#2（!&#$/!$）*)（!）3注此解法仅就分母(（!）存在的实根加以分析，即分母含有质因子（!&#$）的一次或若干次幂时，)（!）分解成简单分式后的系数+$的值；若分母(（!）’0存在虚根，即分母含有质因子（!%,%#!,1）的一次或若干次幂时，)（!）分解成简单分式后的分子可设为两个待定系数*和(，即分子(!,%，再应用待定系数法确定其值。例!)（!）!5!,6，求#)（!）/!解将)（!）!5!,6分解为简单分式之和的形式，5!,6!+.,+%,+6（.）解法!（用待定系数法求+.，+%，+6）：由（.）得+.（!,%）（!,6）,+%（!,.）（!,6）,+6（!,.）（!,%）!5!,6比较两端关于的同次幂系数得$+.,+%,+6!7&%5+.,8+%,6+6!5解方程得+.’-.2+%’:;+6’-9&’9+.,6+%,%+6!6故)（!）!&.,:,-9由不定积分性质和公式，可得#)（!）/!’./!,:/!,-9/!’&.4!,.,:.4!,%-9.4!,6,3解法&（新解法）+.!&#$5!,6!!-.（!,.’5!,6!&#$!-.’-.+%!&#$5!!!-%（!,%,6’5!&#$!,6!-%’:+6!&#$!!-6（!,65!,6’!&#$5!,6!-6’9故)（!）.,:,-9由不定积分性质可得#)（!）/!’&.4!,.,:.4!,%-9.4!,6,3当分母(（!）!7只存在实根时，尤其存在重根时，用此解法可大大减少计算量，迅速而正确地确定系数。例&)（!.，求#)（!）/!解)（!.将分解为简单分式之和的形式，有)（!）’+6,+%,+.,+8,+5（.）传统解法（待定系数法）：由（.）得+6（!,6）!,+6!（!,%）（!,6）,+.!（!,%）%（!,6）,+8（!,%）6（!,6）,+5!（!,%）6!.比较两端关于)的同次幂系数得$+.,+8,+5!7&&&+%,:+.,&+8,9+5!7%+6,5+%,.9+.,67+8,.%+5’7&&&6+6,9+%,.%+.,88+8,=+5’7’%8+.’.解方程得+6!.;+%!.;+.!6;+8!.;+5!.-.故)（!）!-.-6-..,,,,由不定积分性质得&$金华职业技术学院学报$44&年!&#&&#&%#&!（&）#&!（）#&##&%#&%#!&#&&#)&%$’（&%$）&##&%（）!#&#&&#)&%$’（&%$）%##)&%&#)&%&%$用新解法可免去通分、去分母、比较系数、解方程组等易出错步骤，可迅速正确地确定系数。当分母(（则&）’)既存在实根又存在虚根时，先用新解法确定简单分式分母为（的一次或若&*+,）干次幂的系数，再结合待定系数法确定分母（&$&%##)&%&#)&%&%$新解法如下：$+&&-）的一次或若干次幂的分子。同样可节约时间，减少运算量。例!!（&）!#&%&!*+,（&%$!*+,#!#&&&$（）（）&&&$（）#-（#&%$!*+,&%$.&&&$#-##-#&#.!*+,.!*+,&&&$&&&$#）!#*+,-/&#）.%#&&&$##$-（）%#!#&*+,0%$&.&&$$!#*+,#-#.&&&$$###&#）!*+,-#.&&&$#）2&#）2.!&&!#1#*+,-&&&$##%’!*+,&!*+,!#&&4&&4##%3!*+,（&%&!*+,!#&&&&&&&&#&#&&&#&#%%%%故!（&）’（）（）由不定积分性质得&$，求!（&）#&&$分解为简单分式解将!（&）!%#(&&.&!之和的形式，有!（&）’（!）传统解法（待定系数法）：（略）新解法如下：先确定%#的系数%#’0,1（&&/&$&$!*+,!$&&&$&&&$再由待定系数法对（式去分母得!）（只需比较及常数/（&$&$&&/）&（&%$）(&&.）’&$，项系数，解二元一次方程组&$&(’#’%$.!4得&(’&#故!（&）’$*&&/.!&$!&##&%!（&）#&!&（）&##&%%&##&%$（）##&&&#&&）#&!$$50&&&/50!!（&&$&&/）!$*)&%$&##（&#&#&$’$*)&%$&##)&$&$&&/&6789:（&&#）%8此方法简捷、实用，希望能给读者在学习中带来方便。参考文献#$正中;高等数学-&.;北京：人民教育出版社，#=&=;盛淑云?孙林法;数学分析@第二册A-&.;杭州：杭州大学出版社，#=(&;
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高手速进，求下面的分式裂项
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作者：佚名 教案来源：网络 点击数： &&&
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文 章来源莲山课件 w ww.5 y kj.Co m 第十六章 分式& 本章小结小结1& 本章概述本章在已学过的分数的基础上引入了分式的概述，用类比的方法探究分式的基本性质，在熟练掌握分式的基本性质的基础上，会进行分式的约分、通分和分式的加、减、乘、除、乖方运算，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验分式方程的根．& 小结2& 本章学习重难点【本章重点】了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；会解简单的可化为一元一次方程的分式方程.【本章难点】应用分式方程解决实际问题．小结3& 中考透视本章内容在中考中主要考查判断分式有无意义，分式值为零的条件的应用，用分式基本性质进行变形，分式运算及分式的化简求值，常与实际问题结合起来命题，题型以解答题为主．知识网络结构图&&&&分式的概念&分式的概念&& 分式的意义、无意义的条件&分式的值为0的条件&&分式的基本性质&&&&&&& 分式的基本性质& 分式的约分&分式的通分&&分式的乘法规则&&分式的除法规则&分式&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 同分母分式的加减法法则&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 分式的运算&&&& 分式的加减法法则&&&&&&&&&&&&&&& 异分母分式的加减法法则&&&&&&& 运算性质负正数指数幂&&&&&& 科学记数法& &公式方程的概念&&&&&&& &解分式方程的步骤& 分式方程&& 分式方程中使最简公分母为0的解&列分式方程应用题的步骤
专题总结及应用一、识性专题专题1& 分式基本性质的应用【专题解读】分式的基本性质是分式的化简、计算的主要依据.只有掌握好分式的基本性质，才能更好地解决问题.例1& 化简(1)& ;&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (2)& ；解：(1) &&& (2) .【解题策略】化简一个分式时，主要是根据分式的基本性质，把分式的分子与分母同时除以它们的公因式，当分式的分子或分母是多项式时，能分解因式的一定要分解因式.例2&计算 解： &【解题策略】异分母分式相加减，先根据分式的基本性质进行通分，转化为同分母分式，再进行相加减.在通分时，先确定最简公分母，然后将各分式的分子、分母都乘以分母与最简公分母所差的因式.运算的结果应根据分式的基本性质化为最简形式.专题2& 有关求分式值的问题【专题解读】对于一个分式，如果给出其中字母的值，可以先将分式进行化简，然后将字母的值代入，求出分式的值.但对于分式的求值问题,却没有直接给出其中字母的值,而只是给出其中的字母所满足的条件，这样的问题复杂，需根据其转点采用相应的方法.例3&已知 ,求 的值.解: 因为 ，所以用 除所求分式的分子、分母.原式 .例4&已知 ，且 ，求 的值.解: 因为 ，所以 所以 或 ,又因为 ,所以 ,所以 ,所以 所以 例5&已知 求 的值.解: 设 则 解得x=2k，y=k，z=3k，所以 .例6&已知 且 ,求 的值.解: 由已知得 所以 即 ,所以 ,同理 所以 .例7&已知 且 ,求 的值.解: 因为 ,所以原等式两边同时乘以 ,得:&即 所以 所以 【解读策略】& 条件分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现了整体的数学思想和转化的数学思想.例8 已知 求 的值.分析& 根据已知条件,可把 用含有一个字母的代数式表示出来,再分别代入到所求式子中化简即可.解: 设 则 .所以 .【解题策略】& 当代数式中的字母的比值是常数时，一般情况下都采用这种方法求分式的值.例9& 已知 求 的值.分析& 只要求出 的值就可以了,由已知条件可得 将这三个等式可加后得到 ,再通过讨论得到k的值.解: 由已知到 .三式相加得 即 ,所以 ,或 .即 ,或 .当 时, ,此时 即 .所以 ,或 .当 时, 当 时, .【解题策略】在得到 时，因为 可以等于零，所以两边不能同时除以 ，否则分丢解，应进行整理，用分解因式来解决.例10 已知 求 的值.分析& 观察已知条件和所示的分式,可将它们分别进行整理,从中得到某种关系,然后求值.解: 由 得 所以 即 .所以 .例11 已知 ,求下列各式的值.(1) ;&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (2) .分析&& 观察(1)和已知条件可知,将已知等式两边分别平方再整理,即可求出(1)的值;对于(2),直接求值很困难,根据其特点和已知条件,能够求出其倒数的值,这样便可求出(2)的值.解: (1)因为 ,所以 .即 .所以 .(2) ,所以 . 专题2& 与增根有关的问题例12 如果方程& 有增根, 那么增根是&&&&&&& .分析& 因为增根是使分式的分母为零的根,由分母 或 可得 .所以增根是 .答案:& 例13& 若关于x的方程 有增根, 则a 的值为&&&&&&& (&&&&&& )A.13&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B. C11& C. 9&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D.3分析& 因为所给的关于x的方程有增根,即有 , 所以增根是 .而 一定是整式 的根, 将其代入得 ,所以 .答案:& D& 例14& a何值时,关于x的方程 会产生增根?分析 因为所给方程的增根只能是 或 ，所以应先解所给的关于x的分式方程，求出其根，然后求a的值.解: 方程两边都乘以 ,得 整理得 .当a = 1 时,方程无解.当 时, .如果方程有增根,那么 ,即 或 .当 时, ,所以 ;当 时, ,所以a = 6 .所以当 或a = 6原方程会产生增根.专题4& 利用分式方程解应用题【专题探究】& 列分式方程解应用题不同于列整式方程解应用题.检验时，不仅要检验所得的解是否为分式方程的解，还要检验此解是否符合题意.例15 在“情系海啸”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息.信息1：甲班共捐款300 元， 乙班共挡捐款232 元.信息2: 乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的 .信息3 : 甲班比乙班多2人.请根据以上三条信息,求出甲班平均每人捐款多少元.解: 设甲班平均每人捐款x元,则乙班平均每人捐款 x元.根据题意, 得 ,解这个方程得 .经体验, 是原方程解.例16& (08•山西) 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，上市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第二批进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元.（1）求第一批购进书包的单价是多少？（2）若商店销售这两批书包，每个售价都是120元，全部售出生，商店共盈利多少元？分析& 设第一反批购进书包的单价为x元，则第二批购进的书包的单价为 ，第一批购进书包 个，第二批购进书包 个.
解: 设第一批购进书包的单价为x元.依题意,得 ,整理,得 , 解得 .答: 第一批购进书包的单价为80元.解法1: (2) (元).答: 商店共盈利3700元.解法2 :& (元)答: 商店共盈利3700元.二、规律方法专题专题5& 分式运算的常用讨巧（1）顺序可加法.有些异分母式可加,最简公分母很复杂,如果采用先通分再可加的方法很烦琐.如果先把两个分式相加减,把所提结果与第三个分式可加减,顺序运算下去,极为简便.(2)整体通分法,当整式与分式相加减时,一般情况下,常常把分母为1的整式看做一个整体进行通分,依此方法计算,运算简便.(3)巧用裂项法.对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项数是比较多的，无法进行通分，因此，常用分式 进行裂项.(4)分组运算法: 当有三个以上的异分母分式相加减时,可考虑分组,原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数,且值相同或为倍数关系,这样才能使运算简便.(5)化简分式法.有些分式的分子.、分母都异常时如果先通分，运算量很大.应先把每一个分别化简，再相加减.（6）倒数法求值（取倒数法）.（7）活用分式变形求值.(8)设k求值法(参数法)(9)整体代换法.(10)消元代入法.例17& 化简 解: 原式= &&&&&&&& 例18& 计算 .解：原式 &&&&&&&& 例19& 计算 .解：原式 &&&&&&&& .例20& 计算 解: 原式 &&&&&&&& 【解题策略】要注意裂项法解分式是，常用分式 .例12& 计算 解: 原式 &例22 已知 求 解: 原式 &&&&&&& .当 原式 例23&& 计算 解: 原式 &例24& 已知 ,求 的值.解: 因为&& ,所以 ,所以& ,即 ,所以&&&&&&&& 所以&& .【解题策略】在求代数式的值时，有时所给条件或所求代数式不易化简变形，当把代数式的分子、分母颠倒后，变形就容易了，这样的问题通常采用倒数法（把分子、分母倒过来）求值.例25 已知 和 ,求 的值.解: 由& 和& ,提 ,所以&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 【解题策略】 若能对分式进行熟练的变形运用，可给解题带来极大的方便.例26&& 已知 求 的值.解: 设 ,所以 所以 所以 即 或 当 ,所求代数式 ,当 ,所求代数式 .即所求代数式等于 或 .【解题策略】当已知条件以此等式出现时，可用设k法求解.例27& 已知 求 的值.解:因为& 各式可加得 所以 ，所以 例28& 若 求 的值.分析 消元法首选方法，即把其中一个未知数视为常量.
解：以x, y为主元，将已知两等式化为
所以原式 .三、思想方法专题专题6&& 整体思想【专题解读】在进行分式运算时要重视括号的作用，即在计算时括号内的部分是一个整体，另外在分式的运算以及解方程时要注意符号的作用.例29&& 请先将下列代数式化简，再选择一个你喜欢又使原式有意义和数代入求值.&分析& 先化简，再代入使 的数a求值.解原式 .取 ，则原式= 9 .【解题策略】将1化为 进行减法运算，计算时要注意分子 是一个整体.2011中考真题精选一、选择题1. （2011广东珠海，5，3分）若分式 的a、b的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值& （&& ）&A．是原来的20倍&&&& B．是原来的10倍&&&& C． 是原来的 倍&&& D．不变考点：分式的基本性质专题：分式分析：根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变；可知该运算中分式的值没有改变，故选D．解答：D点评：抓住分式的基本性质，分式的基本性质是分式通分、约分的依据．（1）在运用分式的基本性质进行通分或约分时，容易漏掉分子或分母中的某一项，从而出现运算错误．（2）分式本身、分子和分母三个当中，任意改变其中的两个符号，分式值不变，这也是一个易错点．2. 计算-22+（-2）2-（- 12）-1的正确结果是（ ）A、2&&&&&&&&&&&&&&&& B、-2&&&&&&&&&&&&&& C、6&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D、10考点：负整数指数幂；有理数的乘方．分析：根据负整数指数幂和有理数的乘方计算即可．解答：解：原式=-4+4+2=2．故选A．点评：本题考查了有理数的乘方以及负整数指数幂的知识，当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．3. （2011四川遂宁，2，4分）下列分式是最简分式的（ ）Ａ．&& && B． &&& C． D． 考点：最简分式；分式的基本性质；约分。专题：计算题。分析：根据分式的基本性质进行约分，画出最简分式即可进行判断．解答：解：A、 ，故本选项错误； B、 ，故本选项错误； C、 ，不能约分，故本选项正确； D、 = ，故本选项错误；故选C．点评：本题主要考查对分式的基本性质，约分，最简分式等知识点的理解和掌握，能根据分式的基本性质正确进行约分是解此题的关键．4. （2011广东湛江,11,3分）化简 的结果是（ ）A、a+b&&&&&&&& B、a-b&&&&&&&&& C、a2-b2&&&&&&&&&& D、1考点：分式的加减法．分析：根据同分母的分式相加的法则：分母不变，分子相加减．解答：解：原式 =a+b．故选A．点评：本题是基础题，考查了分式的加减，同分母的分式相加的法则：分母不变，分子相加减．5.（2011丽江市中考，4,3分）计算 = 3 ．考点：负整数指数幂；零指数幂。专题：计算题。分析：本题涉及负整数指数幂、零指数幂的考点，在计算时，针对每个考点分别计算．解答：解：原式=2+1=3．故答案为3．点评：本题考查了整数指数幂、零指数幂的考点，负整数指数幂：a-p= （a≠0，p为正整数）；零指数幂：a0=1（a≠0）．
二、填空题1. （;江苏徐州，11，3） = && ．考点：负整数指数幂；零指数幂。专题：计算题。分析：本题涉及负整数指数幂、零指数幂的考点，在计算时，针对每个考点分别计算．解答：解：原式=1 =& ，故答案为 ．点评：本题考查了整数指数幂、零指数幂的考点，负整数指数幂：& （a≠0，p为正整数）；零指数幂：a0=1（a≠0）．2. （2011江苏镇江常州，9，3分）计算：－(－ )＝ ；－ ＝ ；& = 1 ； = 2 ．考点：负整数指数幂；相反数；绝对值；零指数幂．专题：计算题．分析：分别根据绝对值．0指数幂及负整数指数幂的运算法则进行计算即可．解答：解：－(－ )＝ ；－ ＝ ； = 1 ； = 2 ．
故答案为： ， ，1，2．点评：本题考查的是绝对值．0指数幂及负整数指数幂的运算法则，熟知以上知识是解答此题的关键．3. （2011云南保山，4，3分）计算 =&&&&&&&&&&&&& .考点：负整数指数幂；零指数幂。专题：计算题。分析：本题涉及负整数指数幂、零指数幂的考点，在计算时，针对每个考点分别计算．解答：解：原式=2+1=3．故答案为3．点评：本题考查了整数指数幂、零指数幂的考点，负整数指数幂： ；零指数幂： ．4. （2011北京，1，5分）计算： ．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。专题：计算题。分析：根据负指数幂、特殊角的三角函数值、三次根式、零指数幂的性质化简，然后根据实数运算法则进行计算即可得出结果．解答：解：原式=22× +3 +1=2 +3 +1=2 +3．点评：本题主要考查了负指数幂、特殊角的三角函数值、三次根式、零指数幂的性质及实数运算法则，难度适中．5. 计算：|-3|+20110- × +6×2-1．考点实数的运算；零指数幂；负整数指数幂分析本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答解：原式=3+1 +6× =44+3=3．点评本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．一、选择题1. （2011重庆江津区，2，4分）下列式子是分式的是（ ）&A、 &&B、&& &C、 &&D、 考点：分式的定义。分析：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．解答：解：∵ ， ， 的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．&分母中含有字母，因此是分式．故选B．点评：本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以 不是分式，是整式．2. （2011四川眉山，7，3分）化简 的结果是（ ）&A．m1&&B．m+1&&& C．mn+m&&D．mnn考点：分式的乘除法。专题：探究型。分析：根据分式乘法及除法的运算法则进行计算，即分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．解答：解：原式= ．故选B．点评：本题考查的是分式的乘除法，分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．3．（;南充，8，3分）若分式 的值为零，则x的值是（ ）&A、0&&B、1&&C、1&&D、2考点：分式的值为零的条件。专题：计算题。分析：分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0，则可得x1=0且x+2≠0，从而解决问题．解答：解：∵x1=0且x+2≠0，∴x=1．故选B．点评：分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．.4. 2011四川遂宁，2，4分）下列分式是最简分式的（ ）Ａ．&& && B． &&& C． D． 考点：最简分式；分式的基本性质；约分。专题：计算题。分析：根据分式的基本性质进行约分，画出最简分式即可进行判断．解答：解：A、 ，故本选项错误； B、 ，故本选项错误； C、 ，不能约分，故本选项正确； D、 = ，故本选项错误；故选C．点评：本题主要考查对分式的基本性质，约分，最简分式等知识点的理解和掌握，能根据分式的基本性质正确进行约分是解此题的关键．
5. （2011浙江丽水，7，3分）计算 的结果为（ ）&A、 &&B、 &C、1&&&&& D、2考点：分式的加减法。专题：计算题。分析：分母相同的分式，分母不变，分子相加减．解答：解： = =1故选C．点评：本题主要考查同分母的分式的运算规律：分母不变，分子相加减．6. （2011浙江金华，7，3分）计算&& 的结果为（&& ） A.&&&&&&&&&&&&& B.&&&&&&&&&&&&&& C. －1&&&&&&&&&&&&&&&&&& D.1－a考点：分式的加减法。专题：计算题。分析：分母相同的分式，分母不变，分子相加减．解答：解：
= = =1故选C．点评：本题主要考查同分母的分式的运算规律：分母不变，分子相加减．
二、填空题1. （2011天津，12，3分）若分式 的值为0，则x的值等于 1 ．考点：分式的值为零的条件。专题：计算题。分析：根据分式的值为零的条件可以求出x的值．解答：解：由分式的值为零的条件得 1=0，x+1≠0，由 1=0，得x=1或x=1，由x+1≠0，得x≠1，∴x=1，故答案为1．．点评：若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．2. （;郴州）当x= 1 时，分式 的值为0．考点：分式的值为零的条件。分析：分式的值为零的条件：分子为0，分母不为0．解答：解：根据题意，得x1=0，且x+1≠0，解得x=1．故答案是：1．点评：本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可3. 如果分式 的值为0，则x的值应为 -3．【考点】分式的值为零的条件．【专题】计算题．【分析】根据分式的值为零的条件可以得到3x2-27=0且x-3≠0，从而求出x的值．【解答】解：由分式的值为零的条件得3x2-27=0且x-3≠0，由3x2-27=0，得3（x+3）（x-3）=0，∴x=-3或x=3，由x-3≠0，得x≠3．综上，得x=-3，分式 的值为0．故答案为：-3．【点评】考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．4. （2011北京，9，4分）若分式 的值为0，则x的值等于 8 ．考点：分式的值为零的条件。专题：计算题。分析：根据分式的值为零的条件：分子=0，分母≠0，可以求出x的值．解答：解：x8=0，x=8，故答案为：8．点评：此题主要考查了分式的值为0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．一、选择题1. （2011重庆綦江，8，4分）在实施“中小学生蛋奶工程”中，某配送公司按上级要求，每周向学校配送鸡蛋10000 个，鸡蛋用甲、乙两种不同规格的包装箱进行包装，若单独使用甲型包装箱比单独使用 乙型包装箱可少用10个，每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装50个鸡蛋，设每个 甲型包装箱可装x个鸡蛋，根据题意下列方程正确的是（ ）&A． － ＝10&&&&& B． － ＝10&C． － ＝10&&&&& D． － ＝10考点：由实际问题抽象出分式方程。专题：应用题。分析：设每个甲型包装箱可装x个鸡蛋，根据若单独使用甲型包装箱比单独使用 乙型包装箱可少用10个，每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装50个鸡蛋，可列出分式方程．解答：解：设每个甲型包装箱可装x个鸡蛋，&－ ＝10．故选B．点评：本题考查理解题意能力，以包装箱个数做为等量关系，根据若单独使用甲型包装箱比单独使用 乙型包装箱可少用10个，每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装50个鸡蛋，可列方程求解．2. （2011吉林长春，6，3分）小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设小玲步行的平均速度为x米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）&A． &&B． &C． &&D． 考点：由实际问题抽象出分式方程．专题：行程问题．分析：根据时间=路程÷速度，以及关键语“骑自行车比步行上学早到30分钟”可得出的等量关系是：小玲上学走的路程÷步行的速度小玲上学走的路程÷骑车的速度=30．解答：解：设小玲步行的平均速度为x米/分，则骑自行车的速度为4x米/分，依题意，得 ．故选A．点评：考查了由实际问题抽象出分式方程，列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．3.（2011辽宁沈阳，8，3）小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得（ ）&A、 &&B、 &C、 &&D、 考点：由实际问题抽象出分式方程。分析：若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程．解答：解：设走路线一时的平均速度为x千米/小时， ．故选A．点评：本题考查理解题意的能力，关键是以时间做为等量关系列方程求解．4.（2011辽宁沈阳，8，3分）小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得（& ）A． &&B． &&C． &&&& D． 考点：由实际问题抽象出分式方程。分析：若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程．解答：解：设走路线一时的平均速度为x千米/小时，&故选A．点评：本题考查理解题意的能力，关键是以时间做为等量关系列方程求解．5. （2011湖南衡阳，10，3分）某村计划新修水渠3600米，为了让水渠尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成任务，若设原计划每天修水渠x米，则下面所列方程正确的是（ ）A．& =&&&&&&&&&&&&&&&& B．& -20=& C．& －& =20&&&&&&&&&& D．& +& =20考点：由实际问题抽象出分式方程。分析：本题需先根据题意设出原计划每天修水渠x米，再根据已知条件列出方程即可求出答案．解答：解：设原计划每天修水渠x米，根据题意得：&－& =20&& 故选C．点评：本题主要考查了如何由实际问题抽象出分式方程，在解题时要能根据题意找出等量关系列出方程是本题的关键．
二、填空题1. （;安顺）某市今年起调整居民用水价格，每立方米水费上涨20%，小方家去年12月份的水费是26元，而今年5月份的水费是50元．已知小方家今年5月份的用水量比去年12月份多8立方米，设去年居民用水价格为x元/立方米，则所列方程为 ．考点：由实际问题抽象出分式方程。分析：本题需先根据已知条件，设出未知数，再根据题目中的等量关系列出方程，即可求出答案．解答：解：设去年居民用水价格为x元/立方米，根据题意得：&=8，故答案为： ．点评：本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，在解题时要能根据题意找出题目中的等量关系是本题的关键．2. （2011山东青岛，11，3分）某车间加工120个零件后，采用了新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用1小时，采用新工艺前每小时加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工x个零件，则根据题意可列方程为 ．考点：由实际问题抽象出分式方程。专题：应用题。分析：由于某车间加工120个零件后，采用了新工艺，工效是原来的1.5倍，设采用新工艺前每小时加工x个零件，那么采用新工艺后每小时加工1.5x个零件，又同样多的零件就少用1小时，由此即可列出方程解决问题．解答：解：依题意得&故答案为： ．点评：此题主要考查了分式方程的应用，其中找出方程的关键语，找出数量关系是解题的关键．3. （2011辽宁阜新,8,3分）甲、乙两名同学同时从学校出发，去15千米处的景区游玩，甲比乙每小时多行1千米，结果比乙早到半小时，甲、乙两名同学每小时各行多少千米？若设乙每小时行x千米，根据题意列出的方程是&&&&&&&&&&&&&&&&&& ．考点：由实际问题抽象出分式方程。分析：若设乙每小时行x千米，根据甲、乙两名同学同时从学校出发，去15千米处的景区游玩，甲比乙每小时多行1千米，结果比乙早到半小时，可列出方程．解答：解：设乙每小时行x千米，根据题意列出的方程： ．故答案为： ．点评：本题考查理解题意的能力，设出乙的速度，可表示出甲的速度，路程已知，以时间差做为等量关系列方程．
三、解答题1. （2011江苏淮安，22，8分）七（1）班的大课间活动丰富多彩，小峰与小月进行跳绳比赛.在相同的时间内，小峰跳了100个，小月跳了140个.如果小月比小峰每分钟多跳20个，试求出小峰每分钟跳绳多少个？考点：分式方程的应用。专题：应用题。分析：设小峰每分钟跳x个，那么小月就跳（x+20）下，根据相同时间内小峰跳了100下，小月跳了140下，可列方程求解．解答：解：设小峰每分钟跳x个，则 = ，x=50，检验：x=50时，x（x+20）=3500≠0．∴x=50是原方程的解．答：小峰每分钟跳50个．点评：本题考查分式方程的应用，关键是以时间做为等量关系，根据相同时间内小峰跳了100个，小月跳了140下，已知小峰每分钟比小月多跳20下，可列方程求解．2. （2011江苏连云港，21，6分）根据我省“十二五”铁路规划，连云港至徐州客运专线项目建成后，连云港至徐州的最短客运时间将由现在的2小时18分钟缩短为36分钟，其速度每小时将提高260km,求提速后的火车速度.(精确到1km/h)考点：分式方程的应用。专题：行程问题。分析：根据路程÷时间=速度，等量关系：提速后的运行速度原运行的速度=260，列方程求解即可．解答：解：设连云港至徐州客运专线的铁路全长为xkm，列方程得：& =260， 1.7x=358.8，解得x= ．& ≈352km/h．答：提速后的火车速度约是352km/h．点评：本题考查了分式方程的应用，此题的关键是理解路程，时间，速度的关系，找出题中存在的等量关系．3. （;南通）在社区全民健身活动中，父子俩参加跳绳比赛．相同时间内父亲跳180个，儿子跳210个．已知儿子每分钟比父亲多跳20个，父亲、儿子每分钟各跳多少个？考点：分式方程的应用。分析：父亲每分钟跳x个，儿子跳（20+x）个，根据相同时间内父亲跳180个，儿子跳210个．已知儿子每分钟比父亲多跳20个，可列方程求解．解答：解：父亲每分钟跳x个， ＝ ，x=120，120+20=140，父亲跳120个，儿子跳140个．点评：本体考察理解题意的能力，关键是设出未知数，以时间做为等量关系列方程求解．4. （;江苏徐州，22，6）徐州至上海的铁路里程为650km．从徐州乘“C”字头列车A，“D”字头列车B都可到达上海，已知A车的平均速度为B车的2倍，且行驶时间比B车少2.5h．（1）设A车的平均速度是xkm/h，根据题意，可列分式方程： && && && && ；（2）求A车的平均速度及行驶时间．考点：分式方程的应用。分析：设A车的平均速度是xkm/h，根据徐州至上海的铁路里程为650km．从徐州乘“C”字头列车A，“D”字头列车B都可到达上海，已知A车的平均速度为B车的2倍，且行驶时间比B车少2.5h可列出方程求出解．解答：解：（1）设A车的平均速度是xkm/h，可列分式方程: ．（2）设B车的速度是xkn/h．&．解得；x=130．2x=260．650÷260=2.5故A车的平均速度是260千米每小时，行驶的时间2.5小时．点评：本题考查理解题意的能力，关键是设出A的速度，表示出B的速度，以时间做为等量关系列方程求解．5. （;广东汕头）某品牌瓶装饮料每箱价格26元，某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，即整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元，问该品牌饮料一箱有多少瓶？考点：分式方程的应用。专题：应用题。分析：根据等量关系：整箱购买，则买一送三瓶，相当于每瓶比原价便宜了0.6元，依此列出方程求解即可．解答：解：设该品牌饮料一箱有x瓶，依题意，得&，化简，得x2+3x130=0，解得x1=13（不合，舍去），x2=10，经检验：x=10符合题意，答：该品牌饮料一箱有10瓶．点评：本题考查了分式方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．注意“买一送三”的含义．6.（;河池）大众服装店今年4月用4000元购进了一款衬衣若干件，上市后很快售完，服装店于5月初又购进同样数量的该款衬衣，由于第二批衬衣进货时价格比第一批衬衣进货时价格提高了20元，结果第二批衬衣进货用了5000元．（1）第一批衬衣进货时的价格是多少？（2）第一批衬衣售价为120元/件，为保证第二批衬衣的利润率不低于第一批衬衣的利润率，那么第二批衬衣每件售价至少是多少元？（提示：利润=售价成本，利润率= ）考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用。分析：（1）设第一批上衣的价格是x元，根据4000元购进的上衣，和每件上衣涨价20元，用5000元购进的数量相等可列方程求解．（2）设第二批衬衣每件售价至少是x元，根据第一批衬衣售价为120元/件，为保证第二批衬衣的利润率不低于第一批衬衣的利润率，可列不等式求解．解答：解：（1）设第一批上衣的价格是x元，&= x=80经检验x=80是分式方程的解．第一批衬衣进货的价格是80元．
（2）设第二批衬衣每件售价至少是x元，&×100%≥ ×100%x≥150那么第二批衬衣每件售价至少是150元．点评：本题考查理解题意的能力，第一问以购进的数量相同可列方程求解，第二问以利润率做为不等量关系列不等式求解．7. （;柳州）某校为了创建书香校园，去年又购进了一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购进的科普书与用800元购进的文学书本数相等．（1）求去年购进的文学羽和科普书的单价各是多少元？（2）若今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变，该校打算用1000元再购进一批文学书和科普书，问购进文学书55本后至多还能购进多少本科普书？考点：分式方程的应用。分析：（1）设文学书的单价是x元，则科普书的单价是（x+4）元，根据科普书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购进的科普书与用800元购进的文学书本数相等，可列方程求解．（2）根据（1）求出的单价，可求出购进多少本科普书．解答：解：（1）设文学书的单价是x元，则科普书的单价是（x+4）元根据题意，得 = ，解得x=8．x+4=12．答：文学书的单价是8元，则科普书的单价是12元．（2）（10008×55）÷12=46 本．答：还能购进46本科普书．点评：本题考查理解题意的能力，设出单价，根据购进的数量相等做为等量关系列方程求解．8. （;德州，21，10分）为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须在60天内完成工程．现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程．经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天，甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工程费用2500元，乙队每天的工程费用2000元．（1）甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？（2）请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用．考点：分式方程的应用。专题：工程问题。分析：（1）如果设甲工程队单独完成该工程需x天，那么由“乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天”，得出乙工程队单独完成该工程需（x+25）天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要30天”，可知等量关系为：甲工程队30天完成该工程的工作量+乙工程队30天完成该工程的工作量=1．（2）首先根据（1）中的结果，排除在60天内不能单独完成该工程的乙工程队，从而可知符合要求的施工方案有两种：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由甲乙两队合作完成．针对每一种情况，分别计算出所需的工程费用．解答：解：（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需（x+25）天． 根据题意得： ． 方程两边同乘以x（x+25），得30（x+25）+30x=x（x+25），即x235x750=0．解之，得x1=50，x2=15． 经检验，x1=50，x2=15都是原方程的解．但x2=15不符合题意，应舍去．∴当x=50时，x+25=75．答：甲工程队单独完成该工程需50天，则乙工程队单独完成该工程需75天．（2）此问题只要设计出符合条件的一种方案即可．方案一：由甲工程队单独完成．（ 所需费用为：000（元）．方案二：由甲乙两队合作完成．所需费用为：（）×30=135000（元）．点评：本题考查分式方程在工程问题中的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．工程问题的基本关系式：工作总量=工作效率×工作时间．9. （;莱芜）莱芜盛产生姜，去年某生产合作社共收获生姜200吨，计划采用批发和零售两种方式销售．经市场调查，批发每天售出6吨．（1）受天气、场地等各种因素的影响，需要提前完成销售任务．在平均每天批发量不变的情况下，实际平均每天的零售量比原计划增加了2吨，结果提前5天完成销售任务．那么原计划零售平均每天售出多少吨？（2）在（1）的条件下，若批发每吨获得利润为2000元，零售每吨获得利润为2200元，计算实际获得的总利润．考点：分式方程的应用。分析：（1）设原计划零售平均每天售出x吨，根据去年某生产合作社共收获生姜200吨，计划采用批发和零售两种方式销售．经市场调查，批发每天售出6吨，在平均每天批发量不变的情况下，实际平均每天的零售量比原计划增加了2吨，结果提前5天完成销售任务可列方程求解．（2）求出实际销售了多少天，根据每天批发和零售多少吨，以及批发每吨获得利润为2000元，零售每吨获得利润为2200元，可求得利润．解答：解：设原计划零售平均每天售出x吨．根据题意，得 ，解得x1=2，x2=16．经检验，x=2是原方程的根，x=16不符合题意，舍去．答：原计划零售平均每天售出2吨．（2） （天）．实际获得的总利润是：+=416000（元）．点评：本题考查理解题意的能力，关键设出计划零售多少，以时间做为等量关系列出方程．第2问关键是求出天数，求出批发的利润和零售的利润，可求出总利润．10. （2011泰安，25，8分）某工厂承担了加工2100个机器零件的任务，甲车间单独加工了900个零件后，由于任务紧急，要求乙车间与甲车间同时加工，结果比原计划提前12天完成任务．已知乙车间的工作效率是甲车间的1.5倍，求甲．乙两车间每天加工零件各多少个？考点：分式方程的应用。分析：先设甲车间每天加工零件x个，则乙车间每天加工零件1.5x个，由题意列分式方程即可得问题答案．解答：解：设甲车间每天加工零件x个，则乙车间每天加工零件1.5x个．根据题意，得 ，解之，得x＝60，经检验，x＝60是方程的解，符合题意，1.5x＝90．答：甲乙两车间每天加工零件分别为60个．90个．点评：本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题需注意应设较小的量为未知数．11. （2011四川遂宁，20，9分）一场特大暴雨造成遂渝高速公路某一路段被严重破坏．为抢修一段120米长的高速公路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天完成抢修任务．问原计划每天抢修多少米？考点：分式方程的应用。分析：原计划每天抢修x米，则实际每天抢修（x+5）米，为抢修一段120米长的高速公路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天完成抢修任务可列方程求解．解答：解：原计划每天抢修x米，则实际每天抢修（x+5）米，根据题意，得：&x2+5x150=0∴x1=10，x2=15经检验：x1=10，x2=15都是原方程的解．但x2=15不符合实际情况（舍去）& 答：原计划每天抢修10米．点评：本题考查理解题意的能力，关键设出计划每天修多少，表示出实际修的，以时间做为等量关系列方程求解．12. （2011河北，22，8分）甲．乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲．乙 共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．（1）问乙单独整理多少分钟完工？（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用。专题：应用题。分析：（1）将总的工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可；（2）设甲整理y分钟完工，根据整理时间不超过30分钟，列出一次不等式解之即可．解答：解：（1）设乙单独整理x分钟完工，根据题意得：&解得x＝80，经检验x＝80是原分式方程的解．答：乙单独整理80分钟完工．（2）设甲整理y分钟完工，根据题意，得&解得：y≥25答：甲至少整理25分钟完工．点评：分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间．13. （2011广东肇庆，21，& 分）肇庆市某施工队负责修建1800米的绿道．为了尽量减少施工对周边环境的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前两天完成．求原计划平均每天修绿道的长度．考点：分式方程的应用。分析：设计划平均每天修道x米，根据负责修建1800米的绿道．为了尽量减少施工对周边环境的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前两天完成可列方程求解．解答：解：设计划平均每天修道x米，&解得x=150，经检验x=150是方程的解．所以原计划每天修道150米．点评：本题考查理解题意的能力，关键是设出每天修道的米数，然后以天数做为等量关系列方程求解．&
综合验收评估测试题&(时间：120分钟& 满分：120分)一、选择题1.下列各式与 相等的是(&&& )A．&&&&& B.&&&&&& C.&&&&&&& D.& 2.若分式 的值是（&&& ）A．0&&&&&& B.1&&&&&&&& C.-1&&&&&&& D.±1
3.分式 有意义的条件是（&&& ）A．x≠2&&&& B.x≠1&&&& C.x≠1或x≠2&&& D.x≠1且x≠24．使分式 等于0的x的值是（&& ）A.2&&& B.-2&&& C.±2&&& D.不存在5．如果把分式 中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（&&& ）A．扩大到原来的3倍&&& B.不变&&& C.缩小到原来的&&&& D.缩小到原来的 6．计算 ÷ 的结果是（&&& ）A．&&&& B．1&&& C．&&&& D．-17．化简 的结果为（&&& ）A．&&&& B．&&&& C．&&&& D．-b8.分式方程 的解是（&&& ）A．x=1&&& B．x=-1&&& C．x=&&&& D．x=- 二、填空题9．若a2-6a+9与│b-1│互为相反数，则式子 ÷（a+b）的值为_______________.10.化简 的结果是__________.11.某同学步行前往学校时的行进速度是6千米/时，从学校返回时行进速度为4千米/时，那么该同学往返学校的平均速度是____________千米/时.12.当x=__________时，分式 的值为0.13.化简 • =___________.14.方程 的解是__________.15.当x=___________时， 有意义.16. 当x=___________时， 的值为 .17.已知方程 有增根，则增根一定是__________.18.已知 ，则 __________.19.化简 ÷ 的结果是__________.三、解答题20.化简 ÷ .21.先化简，再求值.(1)& ÷x，其中x= ；（2） ÷（ ），其中x=-4；（3） • ，其中x满足 ；（4）（1- ）÷ ，其中 ；（5） ，其中 ， .22.解下列方程.(1)& ；（2） ；（3） ；(4)& ；23.若 ，求A，B的值.24.七年级（1）班学生到游览区游览，游览区距学校25km，男生骑自行车，出发1小时20分后，女生乘客车出发，结果他们同时到达游览区.已知客车的速度是自行车速度的3倍，求自行车与客车各自的速度.25.桂林市城区百条小巷改造工程启动后，甲、乙两个工程队通过公开招标获得某小巷改造工程.已知甲队完成这项工程的时间是乙队单独完成这项工程时间的 倍，由于乙队还有其他任务，先由甲队独做55天后，再由甲、乙两队合做20天，完成了该项改造工程任务.（1）若设乙队单独完成这项工程需x天，请根据题意填写下表：工程队名称&独立完成这项工程的时间（天）&各队的工作效率甲工程队&&乙工程队&&（2）请根据题意及上表中的信息列出方程，并求甲、乙两队单独完成这条小巷改造工程任务各需多少天；（3）这项改造工程共投资200万元，如果按完成的工程量付款，那么甲、乙两队可获工程款各多少万元？26.某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降，今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元.（1）今年三月份甲种电脑每台售价为多少元？（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？&
参考答案1.C 2.B[提示：公式的值为0，则 解得 .] 3.D[提示：分式有意义，则 且 .] 4.D[提示：令 得 ，而当 时， ，所以该公式不存在值为0的情形.] 5.B 6.A 7.B 8.A[提示：去分母，得 ，解得 ，当 时， .] 9.& [提示：由已知得 且 ，解得 ， ，再代入求值.] 10.& [提示：找到最简公分母为（m+3）(m-3)，再通分.] 11.4.8[提示：平均速度=总路程÷总时间，设从学校到家的路程为s,则 .] 12.3[提示：由 得 ±3.当 时， ，当 时， ，所以当 时，分式的值为0.] 13.&& [提示：原式= • •&.] 14.&& 15.&&& 16.-4& 17.& [提示：增根就是使分式分母等于0的x的值，即 ，所以 .] 18.7[提示： ，所以 ，所以 .] 19.2x[提示：原式= • .] 20.解：原式= • = .& 21.解：（1）原式= • .当 时，原式=-4. （2）原式= ÷ • ，当x=-4时，原式=-1. （3）原式= • 由 ，知（x-1）(x-2)=0，所以 或 ，所以原式=1或2. （4） ÷ .当x=2时，原式=1. （5）原式= • .把 ， 代入上式，得原式=3- .& 22.解(1)& ， ，∴ ，解得 .经检验 是原方程的根. （2） ，解得x=2.经检验x=2是原方程的根.& （3） ，&，解得x=7.经检验x=7是原方程的根.& （4）2-5=2x-1，解得 .经检验 是原方程的根.& 23.解：因为 =&，又因为 ，所以 解得&& 24.解：设自行车的速度为xkm/h，则客车的速度为3xkm/h，由题意可知 .解这个方程得 .经检验 是原方程的根，且符合题意.所以3x=3×12.5=37.5.答：自行车与客车的速度分别是12.5km/h，37.5km/h.& 25.解：（1）从左则到右，从上到下依次填 .& (2)根据题意，列方程得 × × ，解得x=80是原方程的根，且符合题意.所以 .答：甲、乙两队单独完成这条小巷改造工程任务各需100天、80天.& （3）甲工程队所获工程款为200× ×（55+20）=150（万元），乙工程队所获工程款为200× ×20=50（万元）. 答：甲、乙工程队分别获得工程款150万元和50万元.& 26.解：（1）设今年三月份甲种电脑每台售价为x元，则 ，解得x=4000元. 经检验x=4000是原方程的根，且符合题意，所以甲种电脑今年三月份每台售价为4000元.& （2）设购进甲种电脑x台，则4x+3000(15-x)≤50000，解得6≤x≤10.因为x的正整数解为6，7，8，9，10，所以共有5种进货方案.& （3）设总获利为ω元，则ω=（）x+（-a）(15-x)=（a-300）x+12000-15a.当a=300时，（2）中所有方案获利相同，此时，购买甲种电脑6台，乙种电脑9台，对公司更有利.&文 章来源莲山课件 w ww.5 y kj.Co m
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