一道简单的数学题，却难倒了无数人
最近有一道数学题很火。。。看似简单的题目，却有不少数学高手也败在它手下，意外地引起网友热烈的讨论。↓↓↓
国外9gag 网站分享一道数学题目，“25-55+（85+65）=？ ”
但下面还有一段文字，内容写道，你绝对不会相信！ 但这题答案真的是5!。
小编也不信。。。
不少人看到这段文字后，开始计算上面这道题目，答案算出来都是“120”，怎么算都不是“5”，你也是吧？？
只是俗话说，魔鬼藏在细节里！ 你发现了吗？ 细节就是藏在下面这段文字，这题答案真的是5!。
谜底解开，所谓的“5!”，就是数学所称的5阶，其计算方式为“5X4X3X2X1”，算出的答案就是120。不少网友看完之后才恍然大悟，直呼都被5后面的那个惊叹号“!” 骗到了。
最后给大家来个酷炫神奇的魔术
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一分钟保证学会！
答案有些恐怖，慎入！
今日搜狐热点两道简单的高数题。_百度知道
两道简单的高数题。
第二题 我算的是2，答案最后一步怎么一下得出的1/2不明白第三题 我算的是1，我觉得是答案错了，
不过这答案有太多和我算的不一样的了，所以怀疑是不是自己错了。
＋y&#178（2） 因为根号(xy+1)-1等价于xy/2所以原式=1/(1/2)=2或者分母有理化去做；（3）因为x²是无穷小，而sin1/(x²＋y²)是有界函数所以结果=0没有错哦
不能把原式变成
（sinx）/x的形式吗？
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复旦大学高等数学极限与连续练习题
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.高等数学大一上册试题
高等数学上册试题 B一、单项选择题（下面每道题目中有且仅有一个答案正确，将所选答案填入题后括号内。共 24 分） 1． 分）设 f ?x ? 的定义域为 ?0,1? ， f ?ln x ? 的定义域为（ （3 Ａ． ?0,1? Ｂ． ?0,2? Ｃ． ?1, e?Ｄ． ?0,1?x 2 2． 分）设 f ?x? ? x ， ? ?x ? ? 2x ，则 ? ? f ?x?? 是（ （3））Ａ． x2xＢ． 2 x2Ｃ． 2 x2xＤ． 2 xx2 3． 分）在区间 ?? ?,??? 内，函数 f ?x? ? lg x ? x ? 1 是（ （3??）Ａ．周期函数Ｂ．有界函数Ｃ．奇函数Ｄ．偶函数? tan 2 x , x?0 ? f ?x ? ? ? x ? a, x ? 0 ? 4． 分） （3 ，当 a 为何值时， f ?x ? 在 x ? 0 处连续（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．0Ｄ． ? 41 ? ??1 ? x ? x , x ? 0 f ?x ? ? ? ? ? , x ? 0 ，要使 f ?x ? 在 x ? 0 处连续，则 ? ? （ ? 5． 分）设 （3）Ａ．0Ｂ．0Ｃ． e1 Ｄ． e6． 分）函数 y ? x ? 1 在 x ? 0 处满足条件（ （3 Ａ．连续但不可导 Ｃ．不连续也不可导 Ｂ．可导但不连续 Ｄ．既连续已可导）7． 分）已知 f ?x ? ? ?x ? a ??x ? b??x ? c??x ? d ? 且 f ??k ? ? ?c ? a ??c ? b??c ? d ? ，则 k ? （ （3 Ａ． a Ｂ． b Ｃ． c Ｄ． d ） 8． 分）下列函数中，是同一函数的原函数的函数对是（ （31 1 sin 2 x ? cos 2 x Ａ． 2 与 42 Ｂ． ln ln x 与 ln x）Ｃ． e 与 ex22xＤ．tanx 1 ? cot x ? 2与 sin 2 x二、填空题1 x2 ? lim 9． 分） x?0 sin 2 x （3 x 2 sin3 2 y? ? 10． 分）设 y ? ln 1 ? x ? e ，则 （3???x ? t 2 dy ? ? 11． 分）设 ? y ? ln t ，则 dx （33 2 a? 12． 分）曲线 y ? ax ? bx 有拐点 ?1,3? ，则 （3，b?e 13． 分） F ?x ? 是 f ?x ? 的一个原函数，则 ? （3?xf e ? x dx ?? ??2e 14． 分）函数 ? （3x 0t? e ?t dt?的驻点x?15． 分） ? （3 16． 分） ? （3评卷人?0 21 ? sin 2 xdx ? xe x cos xdx ?2?2分数三、计算题（共 30 分）y 17． 分）设方程 y ? xe ? 1 确定函数 y ? y?x ? ，求 y ??0? （5ln sin mx 18． 分）求 x ?0 ln sin nx （5 lim? 19． 分）求 e （5e321xdx? 20． 分） x?ln x ? 1? （5edx21． 分） （5??2 ? 2?cos x ? cos3 xdx1? 22． 分）讨论 （5?11 dx x 2 的收敛性。四、证明题（共 10 分） 23．（10 分）证明：不论 f ?x ? 是定义在 ?? l, l ? 内的怎样的函数， f ?x ? ? f ?? x ? 是偶函数， f ?x ? ? f ?? x ? 是 奇函数。 24．五、应用题（共 12 分） 24．（12 分）讨论 a 为何值时，I ?a ? ? ? ?a sin x ? ? ? dx2 0?取最小值。一、填空题(每小题 4 分，5 个小题，共计 20 分) 学院 _____________班级名称_______________学号_____________姓名_____________ 教师________________………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………《高等数学（上）考试试题》1． lim(1 ? 3x)10 (1 ? 2 x) 30 。 ? _________ x ?? (1 ? 4 x 2 ) 202． 设f ( x) ? x( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3)(x ? 4),则f ?( x) ? 0有且仅有_______ 个实根。 3． 设　y ? sin(1 ? x 2 ),则y?? ? ________ 。1 ，则其反函数 x( y )的导数 x ?( y ) ? ________ 。 2x ? e x f (a) ? f (a ? x) ? 1 ， 则曲线y ? f ( x) 在点 5． 设　f ( x)为可导函数且满足 lim x ?0 2x (a，f (a))处的切线斜率为 ________ 。4． 设　 y ?2二、选择题 (每小题 4 分，5 个小题，共计 20 分)1． 当x ? 0时，1 ? ax ) ? 1 与 cos x ? 1 是等价的无穷小，则常数 a ? ( (A、1 2 3)3 2B、2 3C、 ?3 2D、 ?2 32．已知 f ( x) ? ?A、 a ? 2，b ? ?1?ax ? b，当x ? 1 ?x ，2当x ? 1　处处可导，则有(C、 a ? ?1, b ? 2)， D、 a ? 1 b ? ?2B、 a ? ?2, b ? 1lim 3． 设　 0 x?A、3? f ( x) ? f (0)? ln(1 ? 3x) ? 4, 则f ?(0)等于 (x2C、1 D、)B、44 34． 设函数y ? f ( x)在点x处可导, 则它在点x处的微分dy是指 (A、 f ?( x) 　 B、 ?f ( x) C、 ?x D、 f ?( x)?x)5．A、1设常数 k ? 0 ，函数 f ( x) ? ln x ? _ B、2 C、3x ? k 在 (0,??) 内零点个数为 ( e)D、0三、解答题 (每小题 7 分，6 个小题，共计 42 分)1． 计算极限 lim( x ? e ) x ?02x1 sin x。2． 设y ? y( x)由方程 e xy ? sin( xy ) ? y确定, 求3． 设?dy 。 dx? x ? t ln t 1 dy ， ? )确定了函数 y ? y ( x), 试求 (t 。 t e dx y?t ?4．4． 设函数f ( x)具有连续二阶导数且f (0) ? f ?(0) ? 0, f ??(0) ? 6 , 求 lim ,x?0f ( s i 2nx) 。 x4? ? ? 2 ??? 2 ． 5． 求数列的极限 lim n ? 2 n ?? n ? n? ? ? n ? ? n ? 2? ? 1 1 16． 讨论函数f( x) ? lim1 ? x 2n x的连续性，若有间断点 ，判断其类型。 n?? 1 ? x 2 nb?a b b?a ? ln ? 成立. b a a四、证明题 (每小题 9 分， 2 个小题，共计 18 分)1． 证明：当 0 ? a ? b时,2． 设f ( x)在[0, a]连续，在(0, a)内可导，且f (a) ? 0，证明存在一点 ? (0, a) ， ?使得3 f (? ) ? ?f ?(? ) ? 0 。答案： 一、填空题(每小题 4 分，5 个小题，共计 20 分)1． (3 10 ) 22.43． y?? ? 2 cos( ? x ) ? 4x sin(1 ? x ) 12 2 24． ?(2 x 2 ? e x ) 2 　 ? 0) (x e x ? 4x5． 2二、选择题 (每小题 4 分，5 个小题，共计 20 分) 1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 三、解答题 (每小题 7 分，6 个小题，共计 42 分)1． lim( x ? ex ?0 2x)1 sin x1? lim{[1 ? ( x ? ex ?02x? 1)]x ? e 2 x ?1}x ? e 2 x ?1 sin x? e3 。2． e ( y ? xy ?) ? ( y ? xy ?) cos( xy) ? y ? ， y ? ?xyy(e xy ? cos(xy)) 。 1 ? x(e xy ? cos(xy))dt ? t (ln t ? 1) ? t t 。 3． dx ln t ? 1 dt 4． 因f ( x)具有连续二阶导数则f ( x)及f ?( x), f ??( x)在x ? 0都连续 , y? ?tdyf (sin 2 x ) f ?(sin 2 x ) ? sin 2 x 1 f ?(sin 2 x) ? lim 　　 则 lim ? lim x ?0 x ?0 2 x ?0 x4 4x 3 x2 　 1 f ??(sin 2 x) sin 2 x ? 1 lim f ??(sin 2 x ) 　 1 f ??(0) 　3 ? ? 　 lim ? 2 x ?0 2 x ?0 2 2x 2 n 1 1 ? n2 ? 1 5． 2 ，由夹逼准则有 ? n? 2 ? 2 ??? 2 ? 2 n ? n? n ? n? ? n ? ? ? n ? ? n ? 2? ? 1 1 ? ? 1 lim n ? 2 ? 2 ??? 2 ? 1。 n ?? n ? n? ? ? n ? ? n ? 2? ?6． f ( x) ? lim?? x, | x |? 1 1 ? x2n ? x ? ?0, | x |? 1 ， n ?? 1 ? x 2 n ? x, | x |? 1 ?x ??1 x ??1 x ??1 x ??1在分段点 x ? ?1处，因为 lim? f ( x) ? lim? (? x) ? 1 ， lim? f ( x) ? lim? x ? ?1，即 lim? f ( x) ? lim? f ( x) , x ? ?1 是 f ( x) 的跳跃x??1 x??1间断点（第一类） ； 在分段点 x ? 1 处， 因为 lim f ( x) ? lim x ? 1 ，lim f ( x) ? lim(? x) ? ?1 ， lim f ( x) ? lim f ( x) , x ? 1 是 f ( x) 的跳跃间断点 即 ? （第 ? ? ? ? ?x ?1 x ?1 x ?1 x ?1x?1x?1一类） 。 四、证明题 (每小题 9 分， 2 个小题，共计 18 分)1． 证明: 令f ( x)? ln x, 则f ( x)在(0,??)连续, 可导当0 ? a ? b时, 对f ( x)在[a, b]上应用拉格朗日中值定 理 则至少存在? ? (a, b), 使f (b) ? f (a) ? f ?(? )(b ? a)1 1 1 b 1 ? (b ? a) ， 又a ? ? ? b且(b ? a) ? 0 ， 则 ? ? ， b ? a a ? b?a b b?a 故：当 0 ? a ? b时, ? ln ? 成立. 。 b a a 3 2．证明：令 F ( x) ? x f ( x) ，因为 f ( x) 在 [0, a] 连续，在 (0, a) 内可导，所以 F ( x ) 在 [0, a] 连续，在 (0, a) 内可导，且即 ln b ? ln a ? lnF (0) ? F (a) ? a3 ? f (a) ? 0 ，满足罗尔中值定理条件，至少存在一点 ? ? (0, a) ，使得 F ?(? ) ? 3? 2 f (? ) ? ? 3 f ?(? ) ? 0 ，即 3 f (? ) ? ? f ?(? ) ? 0 。大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 1.设f ( x) ? cos x( x ? sinx ),则在x ? 0处有( 　 ).（A） f ?(0) ? 22.（B） f ?(0) ? 1 （C） f ?(0) ? 0 （D） f ( x ) 不可导. 1? x 设? ( x ) ? ，? ( x ) ? 3 ? 33 x，则当x ? 1时（　 　） 1? x .（A） ? ( x)与? ( x) 是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B） ? ( x)与? ( x) 是等价无穷小； （C） ? ( x) 是比 ? ( x) 高阶的无穷小； （D） ? ( x) 是比 ? ( x) 高阶的无穷小.3.若F ( x) ? ? (2t ? x) f (t )dtx 0，其中 f ( x ) 在区间上 (?1,1) 二阶可导且 f ?( x ) ? 0 ，则（）.（A）函数 F ( x) 必在 x ? 0 处取得极大值； （B）函数 F ( x) 必在 x ? 0 处取得极小值； （C）函数 F ( x) 在 x ? 0 处没有极值，但点 (0, F (0)) 为曲线 y ? F ( x) 的拐点； （D）函数 F ( x) 在 x ? 0 处没有极值，点 (0, F (0)) 也不是曲线 y ? F ( x) 的拐点。4.设f ( x )是连续函数，且 f ( x ) ? x ? 2? f (t )dt , 则 f ( x ) ? (1 0)x2 （A） 2x2 ?2 （B） 2 （C） x ? 12 sin x（D） x ? 2 .二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 5. 6. 7.l i m 1 ? 3 x) (x ?0?. . .已知cos x cos x dx ? 是 f ( x ) 的一个原函数, 则? f ( x ) ? x xn ??1 2lim?n(cos 2?n? cos 22? n ?1 ? ? ? cos 2 ?) ? n n8. . 三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分） x? y ? sin( xy ) ? 1 确定，求 y ?( x ) 以及 y ?(0) . 9. 设函数 y ? y( x ) 由方程 e 10. 11. 12.求? 1 ? x7 dx . x (1 ? x 7 )1 － 2?x 2 arcsinx ? 1 1 ? x2dx ?? xe ? x，　　x ? 0 1 ? 设f ( x ) ? ? 　求 ? f ( x )dx ． ?3 2 ? 2x ? x ， 0 ? x ? 1 ?设函数 f ( x ) 连续， x ? 0 处的连续性.g( x ) ? ? f ( xt )dt01，且 x ?0limf ( x) ?A x ， A 为常数. 求 g ?( x ) 并讨论 g ?( x ) 在13.求微分方程 xy? ? 2 y ? x ln x 满足y (1) ? ?1 9 的解.四、 解答题（本大题 10 分）14.已知上半平面内一曲线 y ? y( x ) ( x ? 0) ，过点 (0,1) ，且曲线上任一点 M ( x0 , y0 ) 处切线斜率数值上等于此曲线与 x 轴、 y 轴、直线 x ? x0 所围成面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题 10 分） 过坐标原点作曲线 y ? l n x 的切线，该切线与曲线 y ? l n x 及 x 轴围成平面图形 D. (1) 求 D 的面积 A；(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 8 分）15.16. 17.设函数 f ( x ) 在 ?0,1? 上连续且单调递减，证明对任意的 q ? [0, 1] ， 0 设函数 f ( x ) 在 ?0, ? ? 上连续，且? f ( x) d x ? q ? f ( x)dx0q1.?0?f ( x) d x ? 0，?0?f ( x ) cos x dx ? 0.证明：在 ?0, ? ? 内至少存在两个不同的点 ? 1 , ? 2 ，使 f (? 1 ) ? f (? 2 ) ? 0. （提示：设F ( x) ?? f ( x )dx0x）解答一、单项选择题(本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） ? ? 1 cos x 2 　( ) ?c e6 2. 3 5. . 6. 2 x .7. 8. 三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分） 9. 解：方程两边求导 e x ? y (1 ? y?) ? cos( xy)( xy? ? y) ? 0.e x ? y ? y cos( xy ) e x ? y ? x cos( xy ) x ? 0, y ? 0 ， y?(0) ? ?1 y?( x ) ? ?10.7 7 x6 解： u ? x 　　 dx ? du 1 (1 ? u) 1 1 2 原式 ? ? du ? ? ( ? )du 7 u(1 ? u) 7 u u?1 1 ? (ln | u | ?2 ln | u ? 1 |) ? c 7 1 2 ? ln | x 7 | ? ln | 1 ? x 7 | ? C 7 711.0 ?3解： ?1?3f ( x )dx ? ? xe ? x dx ? ?0 ?3 1 0102 x ? x 2 dx? ? xd (?e ? x ) ? ?01 ? ( x ? 1)2 dx0 ? 2? ? ? xe ? x ? e ? x ? ?3 ? ? ? cos 2 ? d? 　 x ? 1 ? sin ? ) (令 ? ???4? 2e 3 ? 112.解：由 f (0) ? 0 ，知 g(0) ? 0 。1 xt ? ug( x ) ? ? f ( xt )dt ?0x? f (u)du0xx( x ? 0)(x ? 0 )g ?( x ) ?xf ( x ) ? ? f ( u)du0x2g?(0) ? limx ?0? f (u)du0xx2? limx ?0 xf ( x) A ? 2x 2 ? A? A A ? 2 2 ， g ?( x ) 在 x ? 0 处连续。lim g?( x ) ? limx ?0 x ?0xf ( x ) ? ? f ( u)du x0 213.dy 2 ? y ? ln x 解： dx xdx dx y ? e ? x ( ? e ? x ln xdx ? C ) ? 2 21 1 x ln x ? x ? Cx ?2 3 9 1 1 1 y(1) ? ? , C ? 0 y ? x ln x ? x 3 9 9 ， 四、 解答题（本大题 10 分） ?14.解：由已知且y? ? 2 ? y d x ? yx 0，将此方程关于 x 求导得 y ?? ? 2 y ? y ?2 特征方程： r ? r ? 2 ? 0 解出特征根： r1 ? ?1, r2 ? 2.?x 2x 其通解为 y ? C1e ? C 2 e代入初始条件 y(0) ? y ?(0) ? 1，得 2 1 y ? e?x ? e2x 3 3 故所求曲线方程为： 五、解答题（本大题 10 分） 15.C1 ?2 1 , C2 ? 3 3解： （1）根据题意，先设切点为 ( x 0 , ln x 0 ) ，切线方程： 1 y? x x 0 ? e ，从而切线方程为： e 由于切线过原点，解出 则平面图形面积y ? ln x 0 ?1 ( x ? x0 ) x0A ? ? (e y ? ey)dy ?011 e ?1 2（2）三角形绕直线 x = e 一周所得圆锥体体积记为 V1，则 曲线 y ? ln x 与 x 轴及直线 x = e 所围成的图形绕直线 x = e 一周所得旋转体体积为 V2V1 ?1 ? e2 3V2 ? ? ? (e ? e y ) 2 dy016 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 12 分）证明： 0qV ? V1 ? V2 ??(5e 2 ? 12e ? 3)16.?qf ( x) d x ? q ? f ( x)dx ? ? f ( x) d x ? q( ? f ( x) d x ? ? f ( x)dx)00 0 q 11qq1? (1 ? q) ? f ( x) d x ? q ? f ( x)dx0 q?1?[0, q ]?2 ?[ q ,1]?q(1 ? q) f (?1 ) ? q(1 ? q) f (?2 )1f (?1 ) ? f (?2 )?0故有：? f ( x) d x ? q ? f ( x)dx0 0q证毕。x17.F ( x ) ? ? f (t )dt , 0 ? x ? ? 0 证： 构造辅助函数： 。 其满足在 [0, ? ] 上连续， ( 0, ? ) 上可导。F ?( x ) ? f ( x ) ， 在 且 F (0) ? F (? ) ? 0由题设，有?0 ? ? f ( x ) cos xdx ? ? cos xdF( x ) ? F ( x ) cos x | ? ? sinx ? F ( x )dx0 0 0 0????，有0? F ( x) sinxdx ? 0 ，由积分中值定理，存在 ? ? (0, ? ) ，使 F (? ) sin? ? 0 即 F (? ) ? 0综上可知 F (0) ? F (? ) ? F (? ) ? 0, ? ? (0, ? ) .在区间 [0, ? ] , [? , ? ] 上分别应用罗尔定理，知存在 ? 1 ? (0, ? ) 和 ? 2 ? (? , ? ) ，使 F ?(? 1 ) ? 0 及 F ?(? 2 ) ? 0 ，即 f (? 1 ) ? f (? 2 ) ? 0 .※高等数学上册期末复习一. 填空题1. lime3 x ? cos2 x ? x?0 sin 2 x?x3 22.曲线 y ? xe 的拐点是(2,2e?2 )3.设 f (x) 在 x ? 0 处可导且 f (0) ? 0, 则 limx?04.曲线 y ? 5.曲线 y ?? ? 1 ? cos 2 x ? x 在 ( ,1 ? ) 处的切线方程为 2 2 2x2 有垂直渐近线 x2 ?1x ? ?1 和水平渐近线f ( x) ? xf ?(0)y ? x ?1y ?16.设 f (u ) 可导， y ? sin 2[ f (e x )] ，则 dy ?sin 2[ f (e x )]? f ?(e x ) ? e x dx#7. ?0 e x dx ?42(e2 ? 1)h?08.若 f ?( x0 ) ? ?3 ，则 lim 9.若f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) ? h? 12???1x p dx 收敛，则 p 的范围是2 x ? 3 x?1 ) ? 2x ?1p ? ?1#10. lim( x ??11.设e1 F (2 x) ? c 2? f ( x)dx ? F ( x) ? c ，则 ? f (2 x)dx ?#12.设 f (x) 的一个原函数是 x ln x ，则 ? xf ( x)dx ?13.设 f ( x) ? ?x2 x2 ? ln x ? c 4 21 6?x2 , x ? 0 ? x, x ? 0，则?1?1f ( x)dx ??#14.过点 (1,3) 且切线斜率为 2 x 的曲线方程为15.已知函数 f ( x) ? ? xy ? x2 ? 1? sin x ? ,x ? 0 ? a, x ? 0 ?，则当 x ?? 时，函数 f (x) 是无穷小；当（一）类间断点。a?16.已知1 时，函数 f (x) 在 x ? 0 处连续，否则 x ? 0 为函数的第? f ( x)dx ? F ( x) ? c ，则 ?11 1 ? x2f (arcsinx)dx ?F (arcsinx) ? c17.当 x ? 0 时， (1 ? ax2 ) 3 ? 1与 1? cos x 是等价无穷小，则 a ?3 2? x 3 sin t dt ?? #18. f ( x) ? ? 0 t3 , x ? 0 是连续函数，则 a ? x ? a, x ? 0 ?119. f (x) 在 [0,1] 上连续，且 f (1) ? 0, [ f ( x)] dx ? 1 ，则2 0?1? xf ( x) f ?( x)dx ?01?1 2提示：1? xf ( x) f ?( x)dx ? ? xf ( x)df ( x) ? xf0 0112( x) 1 ? ? f ( x)d ( xf ( x)) 001? ?? f ( x)[ f ( x) ? xf ?( x)]dx ? ?? f 2 ( x)dx ? ? xf ( x) f ?( x)dx ，移项便得。0 0 011#20. ?( x) ? ?0 xex dx ，则 ?(1) ?2x1 (e ? 1) ， ??(1) ? 21 2xe21.df ( x 2 ) 1 ? ，则 f ?(x) ? dx x2提示： f ?( x ) ? 2 x ?1 1 ? f ?( x 2 ) ? 2 x 2x322.曲线 y ? f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线平行于直线 y ? 3x ? 1 ，则 f ?(2) ?#23.设 f ( x) ? arctan x ，则 x0 ? 0, lim x?024. y ? 2 lnf ( x ? x0 ) ? f ( x0 ) ? x1 2 x0 (1 ? x0 )x?3 ? 3 的水平渐近线是 xy ? ?325.函数 y ? x x 的导数为 26.x x (ln x ? 1)1 21???0xe?x dx ?2#27. ??1 ( x ?28.广义积分1x 2 sin x )dx ? 1 ? x2???11 dx ? x31 21 229. f ( x ) ? x 的积分曲线中过 (1,? ) 的那条曲线的方程 ______x2 ?1 21 2 (e ? 1) 4#30.设 s 为曲线 y ? x ln x 与 x ? 1, x ? e 及 x 轴所围成的面积，则 s ?31.? f ?(2 x)dx ?1 x1 f (2 x) ? c 2 y ? 1, x ? 0, x ? 1 e 3 ? 1032.曲线 y ? ln(e ? ) 的全部渐近线为#33.曲线 y ? x 2 与 y 2 ? x 所围图形绕 y 轴旋转一周所成的旋转体体积34.点 (0,1,1) 到平面 2 x ? y ? 2 z ? 2 ? 0 的距离为 35.设向量 a ? 2i ? j ? k , b ? 4i ? 2 j ? ?k ，则当 ? ?5 3???? ????? ? ? 10 时， a ? b ；当 ? ?? ? 2, a // b 。本题不作要求 36.空间曲线 ??x 2 ? y 2 ? z 2 ? 12 2 2 ? z ? 3( x ? y ) ? ? ? ? ? ? ? 37.设 a ? 5, b ? 2, (a , b ) ? ，则 2a ? 3b ? 2 19 3 ? ? ? ? 38.设向量 a ? {2,1,?2}, b ? {3,4,?5} ，则 a 在 b 上的投影为在 xoy 平面上的投影曲线方程为1 ? 2 ?x ? y 2 ? ? 4 ? z?0 ?2 215, n ?? 1 539.已知向量 a ? mi ? 5 j ? k 和向量 b ? 3i ? j ? nk 共线，则 m ? 40.设平行四边形二边为向量 a ? {1,?3,1}, b ? {2,?1,3} ，则其面积为 41.设点 A( 4,0,5), AB ? 2 14 ，向量 A B 的方向余弦为 cos? ???????????3 10??3 1 , cos ? ? ， 14 14cos? ? ?2 ，则 B 点坐标为 14(10,2,1)本题不作要求 42.曲线 ??3x 2 ? 2 y 2 ? 12 ? z?0绕 y 轴旋转一周所得的旋转曲面方程为3x2 ? 3z 2 ? 2 y 2 ? 1243.设 a ? 2, b ? 3, 且 a // b ，则 a ?b ?????? ?? ? ? 6, a ? b ?5 6sin x? 0?x ? 1, x ? 0 0 ? 44.设 f ( x ) ? ? 0, x ? 0 , ? f ( x ? 1)dx = ?2 ? x2,x ? 0 ?#45. ? (x) ? ?0 sin(x ? t )dt ,? ?(x) ?二.选择题1.设 limxn? ? 2005，则 ? , ? 的值为（ n?? (n ? 1) ? ? n ?）C1 1
2004 1 B. ,? C. ? , D. ,? 05 2 0 0 52 0 0 5
? 2 A #2.设 f ( x) ? ?x cos x ,0 ? x ? 1 ，在 x ? 0 处( ) ? ? x,?1 ? x ? 0 ? A. 连续，不可导 B. 连续，可导 C. 可导，导数不连续 D. 为间断点 A. ? 2004 ,3.曲线 y ??2? sin x 在 x ? 0 处的切线与 x 轴正方向的夹角为（）BA.? 2B.? 4C .0D .1A4. 设 f (x) 在 [0,1] 上 连 续 ， (0,1) 内 可 导 ， f (0) ? 1, f (1) ? 0 ， 则 至 少 存 在 一 点 ? ? (0,1) ， 有设F ( x)? x f( x , 利用 )A. f ?(? ) ? ? f (? )Rolle 定理B. f ?(? ) ?f (? )??C. f (? ) ? ?f ?(? )?）D. f (? ) ?f ?(? )?#5.若 a 2 ? 3b ? 0 ，则 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ? 0 （A. 无实根 B. 有唯一实根 C. 三个单实根）BD. 重根D#6.函数 f (x) 在 x ? x0 处取得极大值，则（A. f ?( x0 ) ? 0 B. f ??( x0 ) ? 0C. f ?( x0 ) ? 0 , f ??( x0 ) ? 0）D. f ?( x0 ) ? 0 或不存在D7.设 f (x) 的导函数为 sin x ，则 f (x) 的一个原函数为（A.1 ? sin xB.x ? s i n xC.1 ? c o sx）D.x ? sin xA#8.设 ln f (t ) ? cost ,则 ?A.t cos t ? sin t ? ctf ?(t ) dt ? （ f (t )B.t s i n ? c o s ? c t tC.t (cost ? sin t ) ? c）D.t s i n ? c tC9.设 f (x) 连续， F ( x) ??x20f (t 2 )dt ，则 F ?(x) ? （C.2 xf ( x 4 )）A. f ( x 4 )B.x 2 f ( x 4 )D.2 xf ( x 2 )10.下列广义积分收敛的是（C??A.???eln x dx x??B.???e1 dx x ln xC.?）e1 dx x(ln x) 2CD.???e1 dx x ln x#11.广义积分 ?0A.? 2dx ?（ e ? e?xxB.?C.? 4D. 发散）12.下列函数中在区间 [0,3] 上不满足拉格朗日定理条件的是（CA.2 x 2 ? x ? 1B. c o s ( x) 1?C.x2 (1 ? x 2 )C. ln(1 ? x)）C13.求由曲线 y ? ln x ,直线 x ? 0, y ? ln a, y ? ln b(b ? a ? 0) 所围图形的面积为（A.a ? bB.b 2 ? a 2C .b ? aD.b ? a#14.若 ? f ( x)e x dx ? e x ? c ，则 f (x) ? （A. ? 1 x B. 1 x2 C. 1 x D. ? 1 x2?1?1）B15.点 M (3,?2,1) 关于坐标原点的对称点是（）AA.(?3,2,?1)? ?B.(?3,?2,?1)?C.(3,?2,?1)）D.(?3,2,1)C16.向量 a ? b 与向量 a 的位置关系是（A. 共面B. 平行C. 垂直D. 斜交）17.设平面方程为 Ax ? Cz ? D ? 0 ，其中 A, C , D 均不为零，则平面（BA. 平行于 x 轴B. 平行于 y 轴C. 经过 x 轴D. 经过 y 轴）C18.设直线方程为 ?? A1 x ? B1 y ? C1 z ? D1 ? 0 且 A1, B1 , C1 , D1, B2 , D2 ? 0 ，则直线（ B2 y ? D2 ? 0 ?C. 垂直于 y 轴 D. 平行于 z 轴）A. 过原点19.直线B. 平行于 x 轴x?3 y?4 z ? ? 和平面 4 x ? 2 y ? 2 z ? 3 的位置关系为（ ?2 ?7 3 A. 斜交 B. 垂直 C. 平行 D. 直线在平面上x?aC20.已知 limf ( x) ? f (a) ? ?1 ，则在 x ? a 处 ( x ? a) 2（B）A . f (x) 导数存在且 f ?(a) ? 0 D . f (x) 导数不存在B . f (x) 取极大值C . f (x) 取极小值三.计算题ln cos x 1 #1. lim( 2 ? x 2 sin ) x?0 x x3. lim( x ? 1 ? x ? 1)2 2 x??1 ? 20t ln tdt # 2. lim ?cos x x ?01x4?11 84. lim (cos x ) x ?x?0e?1 2#5. lim(1 ? x) tan x?16. 求 lim ?x?0?x22?x x ?1 =1 x ln x解：一）原式 ? lim ?x?0x x (1 ? ln x) ? lim x x ? lim e x ln x ? e0 ? 1 ， x?0? x?0? ln x ? 1二）原式 ? lim ?x?0e x ln x ? 1 ,? lim x ln x ? 0,? e x ln x ? 1 ~ x ln x, x ? 0 x?0? x ln x? 1。7.设 f (x) 为连续函数，计算 limx ?ax2 x f (t )dt x ? a ?aa 2 f (a)8. sin(ln x) dx 9.?x [sin(ln x) ? cos(ln x)] ? c 2??01 ? cos2 x dx2 210.?a0x 2 a 2 ? x 2 dxcos2 x ] sin x? 4 a 1611.设 y ? (sin x)cos x ，求 y?(sin x)cos x [? sin x ln?sin x ? ?? 2 x cos x 2 dx#12.设 ?0 et dt ? ?0 costdt ? 0 ，求 dy13.设 f ?(x ) 在 [0,1] 上连续，求积分??2 ?ln yx2? ? [ f (cosx) cos x ? f ?(cosx) sin22x]dx提示：原式 ????2 ?2f (cosx) cos xdx ? ? 2? sin xdf (cosx)? 2?? ? ? f (cosx) cos xdx ? sin xf (cosx)2 ? 2?2 ??2? ? 2? f (cosx) cos xdx ? 2 f (0)? 2?14.?x23x ? 1 dx ? 4x ? 83 5 x?2 ln x 2 ? 4 x ? 8 ? arctan ?c 2 2 2315.设 ?? x ? f (t ) ? ? dy ，其中 f 可导，且 f ?(0) ? 0 ，求 3t dx t ?0 ? y ? f (e ? 1)arcsin x (1 ? x )3 2 2#16. ?17.dxarcsin x ?x 1? x2? ln 1 ? x 2 ? c??0sin 2 x ? sin 4 xdx提示：原式 ???0sin 2 x cos2 xdx ? ? sin x cos x dx ? 10?18.?201 dx (1 ? x) 2发散19.?ln 20e x ? 1dx2(1 ? ) 4?20.?x?dx x 2 ?11 a r c c o s? c x21.? ? (x2 ? 2?3? 4) cos4 xdx3 ? 222.ln 3 x dx x1 2 ln (3x) ? c 223.?ln 202 1 1 x3 ? e ? x dx ? ln 2 ? 4 2#24. ?dx e (1 ? e 2 x )x?e? x ? a r c t a x ? c en25.?1 ? 2x dx 1 ? 2x26.设 f ?(e x ) ? 1 ? x ，求 f ( x ) ? x ln x ? c 27.?x 5 cosx 3 dx ?1 3 x sin x3 ? cos x3 ? c 328.?x?arcsinx21? x2dx ? ? arcsin x 1 ? x 2 ? ln x ? c29.3 3 1 dx 2 ? [( x ? 1) ? ( x ? 1) 2 ] ? c x ? 1 ? x ?1 3#30. ?1 dx ? ln x ? ln 1 ? x10 ? c 10 10 x (1 ? x )#31.已知 f (x) 的一个原函数为 (1 ? sinx)lnx ，求 ? xf ?( x )dx? x cos x ln x ? 1 ? sin x ? (1 ? sin x) ln x32. xln?1 1? x 2 1? x dx ? ln ( x ? 1) ? x ? c 1? x 2 1? x#33. ?ln ( x ? 1) dx ? 2 x ln( x ?1) ? 4 x ? 4arctan x ? c x?#34. ?02? esin x dx ? sin x cos x 2 e ?e35.?a1 x ? a2 ? x20dx ??4本题不作要求 36.已知 ? ( x ) 为连续函数，令? x [(t ? 1) t ? (u )du ]dt ?0 ? ?0 , x ? 0 试讨论 f (x) 在 x ? 0 处的连续性与可微性。 f (x) ? ? ln(1 ? x 2 ) ? 0, x ? 0 ?2连续，可微#37.设 f (x) 在 [0,1] 上可导，且满足 f (1) ? 2? xf ( x )dx ，证必存在一点 ? ? (0,1) ，使1 2 0f ?(? ) ? ?f (? )?。 提示：利用积分中值定理和Rolle定理#38.设 f (x) 在 [0,1] 上连续，单调减且取正值，证：对于满足 0 ? ? ? ? ? 1 的任何 ? , ? 有? ? f (x)dx ? ? ? f (x)dx 。0???提示：? ? f ( x)dx ? ? ? f ( x)dx ? ? ? f ( x)dx ? ? ? f ( x)dx ? ? ? f ( x)dx0??????0??? ? ? f ( x)dx ? ( ? ? ? ) ? f ( x)dx ?0???39.设 f (x) 在 [0,??) 上连续，单调不减且 f (0) ? 0 ，试证：?1 x n ? t f ( t )dt, x ? 0 在 [0,??) 上连续且单调不减。 n ? 0 ） （ F( x ) ? ? x ?0 ? 0, x ? 0 ? 1 1 x 40. ? xln(1 ? e )dx ? ?1 3原?x ??t?1?1(?t ln(1 ? e?t )dt ? ? [? x ln(1 ? e x ) ? x2 ]dx ? ?? x ln(1 ? e x )dx ? ? x2dx?11111?1?1#41.设 f (x) ? ?1x21 e ?t dt ，求 ? xf ( x )dx 。 ? (e ?1 ? 1) 0 4242.? t t ? x dt01?1 1 ?3 ? 2 x t ? x ? ? ?1 x ? 1 t ? x ?2 3 ?43.?ba? b2 ? a 2 ? ? x dx, (a ? b) ? 2 2 2 ?a ?b ? 2 ?x?0 x?044.设 f (x) 在 ( ??,??) 上连续，且对 ?x, y, f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) ，求?1?1(1 ? x 2 ) f ( x )dx提示：f ( x)为奇函数#45. I ? ? 4?sin 2 x dx ? 1 ? e?x 4?sin 2 x sin 2 x e ? x sin 2 x (e ? x ? 1 ? 1)sin 2 x , f ( ? x) ? ? ? 1 ? e? x 1 ? ex 1 ? e? x 1 ? e? x sin 2 x 1 ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? f ( x) f ( x) ? sin 2 x ?x 1? e 2 ? 1 原 ? ? 4? sin 2 xdx ? 2 ?4 提示：f ( x) ?? 46. limx ?0x20tet ? sin tdt xe6 x?1 3? 47.设向量 a ? {2,?3,1 b ? {1,?2,3}, c ? {2,1,2} ，向量 r 满足 r ? a, r ? b ，且 Pr jc r ? 14 },?????? ???求向量 r 。 48.1）求过 z 轴和点 (?3,1,?2) 的平面方程， 2）求过三点 P(2,3,0),Q(?2,?3,4), R(0,6,0) 的平面方程。?{1 4 , 1 0 , 2 } x ? 3y ? 0 3x ? 2 y ? 6 z ? 12 ? 049.求过点 P(2,?1,?1),Q(1,2,3) 且垂直于平面 2 x ? 3 y ? 5 z ? 6 ? 0 的平面方程。9 x ? y ? 3z ? 16 ? 050.求过点 A(3,1,?2) 且通过直线 L :x?4 y?3 z ? ? 的平面方程。 5 2 18x ? 9 y ? 22z ? 59 ? 051.求与平面 2 x ? y ? 2 z ? 5 ? 0 平行且与三坐标所构成的四面体体积为 1 的平面方程。2x ? y ? 2z ? 23 3 ? 052.求过点 M (2,4,0) 且与直线 L : ?? x ? 2z ?1 ? 0 平行的直线方程。 ? y ? 3z ? 2 ? 0x?2 y?4 z ? ? ?2 3 1 5 2 2 (? , , ) } { 3 3 353.求点 A(?1,2,0) 在平面 x ? 2 y ? z ? 1 ? 0 上的投影。 54.求过直线 L : ??x ? 5 y ? z ? 0 ? 且与平面 x ? 4 y ? 8 z ? 12 ? 0 成 角的平面方程。 4 ? x?z?4 ? 0( x ? 20y ? 7 z ? 12 ? 0 )55.若动点到坐标原点的距离等于它到平面 z ? 4 的距离， 该动点轨迹表示何种曲面？ 四.列表讨论函数 y ? x ? e 的单调区间、极值及曲线的凹凸区间、拐点、渐近线。?xx2 ? y 2 ? 8z ? 16 旋转曲面?1 x #五.设 f ( x) ? ? 2 sin x,0 ? x ? ? ，求 ?( x) ? ?0 f (t )dt 在 (??,??) 内的表达式。 ? ? 0, x ? 0orx ? ? ?0, x ? 0 ? ? 1 ?( x) ? ? f (t )dt ? ?? (cosx ? 1),0 ? x ? ? 0 ? 2 1, x ? ? ? d x ( x ? t ) f ?(t )dt ? f ( x) ? f (a) 。 六.设 f (x) 在 (??,??) 内连续，证明 dx ?0x七..设 D1 : y ? 2 x2 , x ? a, x ? 2, y ? 0; D2 : y ? 2 x 2 , y ? 0, x ? a,0 ? a ? 2 1.试求 D1 绕 x 轴旋转得旋转体体积 V1 ； D2 绕 y 轴旋转得旋转体体积 V2 ； 2.问当 a 为何值时 V1 ? V2 得最大值？并求该最值。4 129 V1 ? ? (32 ? a 5 ) ， V2 ? ?a 4 ， a ? 1 ， (V1 ? V2 ) max ? ? 5 5八.已知 f ?(sin2 x) ? cos2 x ? tan2 x ，求 f (x) 。 提示： f ?(sin x) ? 1 ? 2 sin x ?2 2sin 2 x u ? f ?(u ) ? 1 ? 2u ? ， 2 1 ? sin x 1? uf ( x) ? x2 ? ln x ?1 ? c九.设 y ? c 与 y ? 2 x ? x2 相交于第一象限（如图） 。 1.求使得两个阴影区域面积相等的常数 c ； 2.在 1 的情况下，求区域 I 绕 x 轴旋转的旋转体体积。 提示： sI ? sII ? sI ?III ? sII ?III ， YIICI(b,c)IIII X0? cdx ? ? (2 x ? x0 0bb21 )dx ? c ? b ? b 2 ，又 c ? 2b ? b 2 ， 33 ? 1 3 3 3 ? y? ? b ? ,c ? , ? 4 ? x1 ? , x2 ? ， 2 4 ? y ? 2x ? x2 2 2 ?V ? 41 ?。 240??#十.设 f ( x) ? x ? ?0 f ( x) cos xdx ，证： ?0 f ( x)dx ?提示：设?22? 2? 。??0f ( x) cos xdx ? A ， A ? ?2十一.设直线 y ? ax ? b 与直线 x ? 0, x ? 1及 y ? 0 所围成的梯形面积为 A ，求 a, b ，使这块面积绕 x 轴旋转所得体积最 小。 (a ? 0, b ? 0)1 a2 a 2 提示： V ? ? ? (ax ? b) dx ? ? ( ? ab ? b ), A ? ? (ax ? b)dx ? ? b ， 0 0 3 2 1 2a ? 0, b ? A 时，体积最小#十二.求抛物线 y ? ?x2 ? 1 在 (0,1) 内的一条切线，使它与两坐标轴和抛物线 y ? ?x2 ? 1 所围图形的面积最小。提示：切线 Y ? (? x ? 1) ? ?2 x( X ? x), A(2x2 ? 1 ,0), B(0, x 2 ? 1) ， 2xs?1 ( x 2 ? 1) 2 1 3 ， ? ? (? x 2 ? 1)dx ? s?( x) ? 0 ? x ? 0 2 2x 3 2 3 4 x? 3 3所求切线为 y ? ? 十三.求通过直线x z ?1 ? y?2 ? 与平面 x ? y ? z ? 15 的交点，且与平面 2 3 x?4 y?4 z?7 ? ? 2 x ? 3 y ? 4 z ? 5 ? 0 垂直相交的直线方程。 2 ?3 4 x dx ? 0 在区间 (0,1) 内有唯一的实根。 十四.证明 3 x ? 1 ? ? 0 1 ? x2 x dx ? F (0) ? F (1) ? 0 ，再证唯一性。 提示：令 F ( x) ? 3 x ? 1 ? ? 0 1 ? x2本题不作要求 十五.设 f (x) 可导，且 f (0) ? 0, F ( x ) ??t0xn ?1f ( x n ? t n )dt ，证：limx ?0F ( x) 1 ? f ?(0) 2n x 2nx x n ?t n ?u提示：F ( x) ? ? t n ?1 f ( x n ? t n )dt ? ?01 0 1 xn f (u )du ? ? f (u )du n ?xn n 0x 2 (1? x)十六.设 x ? 0, f ( x ) 满足?x 2 (1? x )0f (x)dx ? x, 求 f (2) 。 提示：对?0f (x)dx ? x求导,十七.证：?a0x 3 f ( x 2 )dx ?1 a2 xf ( x )dx , f ( x ) 连续， a ? 0 ，并求 ? 2 x 3sin ( x 2 )dx 。 0 2 ?02??a0x3 f ( x 2 )dx ?x ?t 1 a 2 1 a 2 x f ( x 2 )dx 2 ? ? t f (t )dt 2 ?0 2 0所求值为1十八.求 f ( x) ??x20(2 ? t )e ?t dt 的最大、小值。 最小值为1, 最大值为1 ? e?2十九.已知 f (0) ? 1, f (2) ? 3, f ?(2) ? 5, 求? xf ??(2x)dx 。 ? 201二十.已知???02 ? ? sin x ? sinx ? dx ? , 求 ? dx 。 ? 2 0 x 2 2 x提示：用分部积分，先将1 凑入微分 x2二十一.设 f ( x) ? 二十二. f ( x ) ??x21e ?t dt ,求 ? xf ( x )dx 。同41题210?x11 lnt 1 dt, x ? 0, 求 f ( x ) ? f ( ) 。 ? (ln x ) 2 1? t x 2二十三.1)设 f (x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且 f (0) ? 0,0 ? f ?(x) ? 1 ，证：(? f (x)dx ) 2 ? ? f 3 (x)dx 。0 011提示：可利用已知条件知f ( x) ? 12)设 f ( x ) ? C[a, b] ，证： (x?baf ( x)dx)2 ? (b ? a )? f 2 ( x)dx 。ax ab提示：设F ( x) ? ( ? f (t )dt )2 ? ( x ? a) ? f 2 (t )dtax ? (a, b)? F '( x) ? 0#3)设 f ( x) ? C[a, b] ，且 f ( x ) ? 0 ，证： ?a f ( x )dx ? ?a提示：设F ( x) ? ? f (t )dt ?a x xbb1 dx ? (b ? a ) 2 f ( x)a1 dt ? ( x ? a) 2 f (t )? F '( x)4) 设 f ( x ) ? C[a, b] ,且严格单调增加，证： (a ? b)x x?baf ( x)dx ? 2? xf ( x)dx 。ab提示：设F ( x) ? 2? tf (t )dt ? (a ? x) ? f (t )dt ? F '( x)a a5) 设 f (x ) 在 [a , b] 上可导，且 f ?( x ) ? M , f (a ) ? 0 ，证：M (b ? a ) 2 。 2 提示：x ? [a, b], 有微分中值定理：f ( x) ? f (a) ? f '(? )( x ? a) ? ? (a, x)?baf ( x )dx ??baf ( x)dx ? ? f '(? )( x ? a)dx ?ab二十四. 设 f (x ) 在 [0, ? ] 上连续，在 (0,? ) 内可导，且??0f ( x) cos xdx ? ? f ( x) sin xdx ? 0 ，证明： ? 一个 ? ? (0,? ) ，使得 f ?(? ) ? 0 。0?证：在 (0,? ) 内 sin x ? 0 ，由??0f ( x ) sin xdx ? 0 可知， f (x ) 在 (0,? ) 内不能恒正或负，由于 f (x ) 的连续性可知 f (x )在 (0,? ) 内必有零点。若能证明零点有两个以上，则可由罗尔定理可得证。 反证：若 x0 ? (0, ? ) 是 f (x ) 的唯一零点，则当 x ? x0 ,sin(x ? x0 ) f ( x) 就恒正或负，于是 ?而?0sin(x ? x0 ) f ( x)dx ? 0 ，??0sin(x ? x0 ) f ( x)dx ? ? (sin x cos x0 ? cos x sin x0 ) f ( x)dx0?? cos x0 ? sin xf ( x)dx ? sin x0 ? cos xf ( x )dx ? 0 ，矛盾，0 0??所以 f (x ) 在 (0,? ) 内至少有两个零点，由罗尔定理便得证。《高等数学》上册模拟试题二 一、 1、函数 y ? x 选择。a x ?1 ax ?1? a ? 1? 是（） 。A：偶函数 B：奇函数 C：非奇非偶函数 D：奇偶函数x 2 sin2、极限 limx ?0sin x1 x 的值为（）A：1 B：0 C：不存在 D： ? 3、若 f ? ? x0 ? ? ?3 ，则 limh ?0f ? x0 ? h ? ? f ? x0 ? 3h ? ?（ hD：－12 ））A：－3 B：－6 4、已知C：－9? f ? x ?dx ? F ? x ? ? c ，则 ? f ? b ? ax ?dx ? （B： ?A： F ?b ? ax ? ? c C： a F ?b ? ax ? ? c??1 F ?b ? ax ? ? c a 1 D： F ?b ? ax ? ? c a） B：5、下列广义积分收敛的是（ A： 二、 1、函数 f ? x ? ??1cos xdx填空。???11 dx x3C：???1ln xdxD：???1e x dxx?2 的连续区间为（ ? x ? 1?? x ? 4?） 。2、设 f ? x ? ? x ? x ?1?? x ? 2?? x ? 3?? x ? 4 ? ，则 f ? ? 0? ＝（ 3、已知） 。? f ? x ?dx ? x e2 2x? c ，则 f ? x ? ＝（3 2） 。 ） 。4、要使点 ?1,3? 为曲线 y ? ax ? bx 的拐点，则 a , b 的值分别为（ 5、设 f ? x ? 为连续函数，则 三、?a?ax2 ? f ? x ? ? f ? ? x ?? dx ＝（ ? ?） 。求下列极限。1、 limsin x ? sin a x?a x?a2sec x2、 lim ?1 ? cos x ?x??23、 limx ?0x ? arcsin x sin 3 xx 0? 4、 limx ?0sin tdt x2证明：函数 f ? x ? ? 计算下列各题。 若 f ?? ? x ? 存在，求函数 y ? ln ? f ? x ? ? 的二阶导数。 ? ? 求函数 y ? ? x ? 1? 3 ? x ? 3? 的单调区间与极值。2 2四、 五、 1、 2、?x20te?t dt 当 x ? 0 时单调增加。3、 六、?10x ?1 ? x 4 ? dx3 2七、x ? 2 y ?1 z ? 2 ? ? ，且与平面 x ? 4 y ? 3z ? 1 ? 0 垂直的平面方程。 5 2 4 ? x x?0 1 ? 试求函数 f ? x ? ? ?1 ? e x 在 x ? 0 处的左、右导数，并求 f ? ? 0? 。 ? x?0 ? 0求过直线一、 填空题（每小题 3 分，共 18 分） 1．设函数 f ? x ? ?x2 ? 1 ，则 x ? 1 是 f ? x ? 的第 x2 ? 3x ? 22类间断点.2．函数 y ? ln 1 ? x??，则 y ? ?..3． lim??1? x ? ? x ?? ? x ?2x?4．曲线 y ?1 ?1 ? 在点 ? ,2 ? 处的切线方程为 x ?2 ?3 2.5．函数 y ? 2 x ? 3 x 在 ?? 1,4? 上的最大值，最小值.6．?arctanx dx ? 1 ? x2.二、 单项选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1．数列 ?x n ? 有界是它收敛的（ ） .? A? 必要但非充分条件；?C ?充分必要条件； ） .?B? 充分但非必要条件 ?D?无关条件.；2．下列各式正确的是（? A? ? e ? x dx ? e ? x ? C ；?B? ? ln x d x ?1 ?C ； x?C ? ? 1 dx ? 1 ln?1 ? 2 x ? ? C ； ?D? ? 1 dx ? lnln x ? C . 1 ? 2x 2 x ln x3． 设 f ? x ? 在 ?a, b? 上， f ?? x ? ? 0 且 f ??? x ? ? 0 ，则曲线 y ? f ? x ? 在 ?a, b? 上.? A? 沿 x 轴正向上升且为凹的；?C ? 沿 x 轴正向上升且为凸的；?B? 沿 x 轴正向下降且为凹的； ?D? 沿 x 轴正向下降且为凸的.）.4．设 f ? x ? ? x ln x ，则 f ? x ? 在 x ? 0 处的导数（? A? 等于 1 ；?C ? 等于 0 ；?B? 等于 ? 1 ； ?D? 不存在.5．已知 lim f ? x ? ? 2 ，以下结论正确的是（ ?x ?1）.? A? 函数在 x ? 1 处有定义且 f ?1? ? 2 ；?B? 函数在 x ? 1 处的某去心邻域内有定义；?C ? 函数在 x ? 1 处的左侧某邻域内有定义； ?D? 函数在 x ? 1 处的右侧某邻域内有定义.三、 计算（每小题 6 分，共 36 分） 1．求极限： l i m x si nx?0 21 . x2. 已知 y ? ln 1 ? x?2?，求 y? .3. 求函数 y ? x sin x ? x ? 0?的导数.4. 5.x2 ? 1 ? x 2 dx .? x cos xdx .1 x6.方程 y? x 确定函数 y ? f ? x ? ，求 y ? .21 y四、 （10 分）已知 e x 为 f ? x ? 的一个原函数，求 x f ? x ?dx .?2五、 （6 分）求曲线 y ? xe? x 的拐点及凹凸区间. 六、 （10 分）设? f ??x dx ? x e??x? 1 ? C ，求 f ? x ? .?
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看似容易的数学题难倒大学教授！第一题简单，很多人倒在第二题
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看似容易的数学题难倒大学教授！第一题简单，很多人倒在第二题
今天奥数老师一到办公室，见她脸色不对，小编就上前问她：“谁惹到你了，一副不开心的样子？”然后她就讲起了昨晚智斗丈夫的故事。事情是这样，昨晚是奥数老师与老公3周年结婚纪念日，老师满怀期待地以为老公会给她准备神秘礼物，结果等到晚上，丈夫也不见动静，一问才知道，她老公把这事儿给忘了！这下可把她惹怒了，一下把她男人推出了门外，顺手甩给他老公四道数学题：“原谅你可以，要是做不出这四题，你今晚就别进门了！”可怜的老公啊，不得不老实地蹲在门口解题，大家快来围观，快帮他进媳妇门儿吧。据说已经有100个男人倒下了。题目如下：第一题：牛吃草牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．可供25头牛吃几天？第二题：魔鬼数字方块第三题：填圈圈在下图的六个○内各填入一个质数(可取相同的质数)，使它们的和等于20，而且每个三角形(共5 个)顶点上的数字之和都相等。第四题：求n值n是正整数，若从任意n个非负整数中一定能找到四个不同的数a、b、c、d使得a+b-c-d能被20整除，那么n的最小值是多少？大神们，走过路过不要错过，如果你智商超群，赶紧在下方评论区写下你的答案，加入讨论吧！
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六年级数学9.4求一个数是另一个数的百分之几的简单实际问题练习题及答案
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一、选择题
1、某质点作直线运动的运动学方程为(SI), 则该质点作
(A） 匀加速直线运动，加速度沿x正方向.
匀加速直线运动，加速度沿x负方向.
匀减速直线运动，加速度沿x正方向.
匀减速直线运动，加速度沿x负方向.
2、物体在恒力F作用下作直线运动，在时间内速率由增加到，在时间内速率由，设F在内的冲量是，在内的冲量是，那么
3、物体在恒力F作用下作直线运动，在时间内速度由增加到2，在时间内速度由2，设F在内作的功是，在内作的功是，那么
4、关于电场强度定义式，下列说法中哪个是正确的？
(A) 场强的大小与试探电荷 的大小成反比．
(B) 对电场中某点，试探电荷的受力与的比值不因而改变．
(C) 试探电荷受力的方向就是场强的方向．
(D) 若场中某点不放试探电荷，则＝０，从而＝０．
5、对于一个力学系统,下述哪种情况下系统的机械能守恒？（
(A)系统所受合外力为零.
(B)系统有非保守内力做功.
(C)非保守内力和系统所受外力都不做功.
(D)系统所受各个外力做功之和不为零.
6、速度为v的子弹,打穿一块木板后速度为零,设木板对子弹的阻力是恒定的.那末,当子弹射入木板的深度等于其厚度的一半时,子弹的速度是
7、质子在加速器中被加速,速度变为0.8c（c为真空中的光速）时，其质量变为静止质量的几倍
(B) 5/3 倍
(D)没有正确答案
8、边长为a的正方形薄板静止于惯性系K的XOY平面内，且两边分别与X，Y轴平行。今有惯性系 K′以0.6c(c为真空中的光速)的速度相对于K系沿X轴作匀速直线运动,则从K′系测得薄板的面积将
(B)不能确定
9、平行单色光入射到相距为d1的双缝上，设在屏上某点P处出现第四级明条纹，若使双缝间的距离变为d2，此时P点处出现第二级明条纹，则比值d1/ d2为
10. 已知钾的逸出功为2.0 eV, 如果用波长为450nm 的光照射在钾上，从钾表面发射出的光电子的最大初动能为。（
(A) 25.6 eV
(B) 27.6 eV
(C) 20.5 eV
(D) 0.76 eV
二、填空题
1、如图，Ｍ、Ｎ为水平面内两根平行金属导轨，aｂ与ｃｄ为垂直于导轨并可在其上自由滑动的两根直裸导线．外磁场垂直水平面向上．当外力使ａｂ向右平移时，
2、某质点沿x轴运动，其加速度为(SI制)，当t=0时物体静止，则t 时刻质点的速度为
3、当重物减速下降时，合外力对它做的功为____功(添“正”或“负”)。
4、在光电效应实验中，当入射光的频率与红限频率满足
（填 ），&或=）时，发生光电效应。
5、_________实现了物理学史上的第一次大综合，麦克斯韦建立了完整的电磁场理论，将_______,______,_______三者统一起来，实现了物理学史上的第三次大综合。
6、如图，一矩形导体框垂直放置于磁场中，磁感应强度垂直于纸面向外，磁感应强度随时间递增，则回路中的感应电流沿
方向（填“顺时针”或“逆时针”）。
7、一个质量为ｍ=2?kg的质点，在外力作用下，运动方程为：x=5+t2，y=5t-t2，则力在t=0到t=2秒内作的功为____________。
8、磁感应线是
的曲线,电场线（填“闭合”或“有头有尾”）。
9.打开微观世界研究大门的三大发现是_________、___________、__________。
10.狭义相对论的两大基本原理__________、___________.
11.牛顿的科学思想方法中的4条法则是简单性原理、
12. 爱因斯坦认为，电磁场的提出比电磁感应现象的发现更有价值。历
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两道简单的高数题，求大神写出完整过程
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