四个数字（1，2，3，4）每个数字必须出现两次，排列成一个环形。请问有多少种不同的排列方法？注意排列的顺序可以从任何地方开始，但不能一样。比如1 和 在环形上是一样的排列，而1 和在环形上是不一样的排列
前言:
看了你的补充,之前大家的理解是把环水平放在桌上看的,
你补的意思是放在自由空间里看的,
只要去镜像就行,但其中有特例,先看之前的主体思考,再看后续.
主体:已有"常规,thewangj,8chess8"三种思路了.
*********************************
夜太深了，但现在我醉意解了一大半了。
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下午看到此题，相关信息！来不及参与。但纸上画了下草图。
前面几位肯定考虑有欠，
而我看不懂“群伦”和BURNSIDE定理，也不相信thewangj的318，
自己按自己擅长的小朋友画图观察法来统计。
见下图18种：
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第一列为立放左右对称图3种，含1个兼上下对称，
第二列为卧放左右对称图10种，含4个兼上下对称，
第三列为多向对称图3种，多出上下和斜向对称，
第四列为不对称图2种，
一条对称轴的和不对称的共10种，每种排法4！=24，
多一条对称轴的5种，每种排法4!/2=12种，
多2...
前言:
看了你的补充,之前大家的理解是把环水平放在桌上看的,
你补的意思是放在自由空间里看的,
只要去镜像就行,但其中有特例,先看之前的主体思考,再看后续.
主体:已有"常规,thewangj,8chess8"三种思路了.
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夜太深了，但现在我醉意解了一大半了。
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下午看到此题，相关信息！来不及参与。但纸上画了下草图。
前面几位肯定考虑有欠，
而我看不懂“群伦”和BURNSIDE定理，也不相信thewangj的318，
自己按自己擅长的小朋友画图观察法来统计。
见下图18种：
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第一列为立放左右对称图3种，含1个兼上下对称，
第二列为卧放左右对称图10种，含4个兼上下对称，
第三列为多向对称图3种，多出上下和斜向对称，
第四列为不对称图2种，
一条对称轴的和不对称的共10种，每种排法4！=24，
多一条对称轴的5种，每种排法4!/2=12种，
多2条（及以上）的3种，每种4!/4=6种，
共10*24+5*12+3*16=240+60+18=318种，
---------------------------------
我检查了几遍，应该没有疏漏和重复，
实例验证了thewangj的答数，他的思维过程大家来验证喽！
我坚信自己的图形观察统计法，是318种。
图形也由大家来检查喽！
****************************
后续:
楼主把环放在自由空间,要把顺时针逆时针归为同样,
那么,在已定的318种图中,除了第一列第一个和第二列第八个,
即3条平行线+1轴和4条平行线的,是绝对镜像对称,
共12+12=24种外,其它的都有自己的镜像图形,要/2,
所以总种数为.24+(318-24)/2=171种.
其他答案（共6个回答）
种放法（有重复排列）。顺时针旋转π/4的置换g=()生成一个8阶置换群G。若一种放法在G的作用下变成另一种，就将这两种放法归为一类，于是问题就转化为求这2520种放法在G的作用下分成多少类。由Burnside定理，类数=G中所有元素的不动...
在圆周上顺时针均匀放置8个位置①……⑧，于是①⑤、②⑥、③⑦、④⑧是对径点。把符号1234各取两个放入这8个位置，共有8!/(2!)^4=2相关信息种放法（有重复排列）。顺时针旋转π/4的置换g=()生成一个8阶置换群G。若一种放法在G的作用下变成另一种，就将这两种放法归为一类，于是问题就转化为求这2520种放法在G的作用下分成多少类。由Burnside定理，类数=G中所有元素的不动点个数之和/G的阶。于是只需求出G中元素的不动点（即被保持不变的放法）个数就可解出答案。
群G中元素g,g^3,g^5,g^7（对应于转kπ/4, k=1,3,5,7）要改变所有8个位置，无法保持任何一种放法不变。g^2,g^6（对应于转π/2, 3π/2）要分别改变两组各4个位置中的符号，也不可能有不动点。g^4旋转π，将对径点互变。故只要对径点放同样的符号，就被g^4保持不变。这样的放法共有4!=24种。最后g^8相当于恒等变换，保持所有2520种放法不变。故G中所有元素共有4个不动点。用Burnside定理推出共有个不同的类。换言之共有318种不同的放法。
---------------------------------
如果允许逆时针放置，相当于允许对圆环作翻转。记f=(2,8)(3,7)(4,6)为关于轴①⑤的翻转，就相当于把原来的圆排列逆时针重排。这时相应的群H=是16阶的，除去原来的8个旋转，再添上4个翻转和4个翻转加旋转（翻转加旋转=另一旋转加翻转）。同理可证包括翻转f的这8个变换都保持24个不动点。于是有（）/16=171个。所以有171中不同的放法。
出题人补充有点不清楚，为什么是“有的”排列顺时针和逆时针其实对应的是相同的排列？ 我猜是所有排列反过来写都认为没有区别，即只有相邻关系是重要的。先前的解答基本思路不需要改变，只是对称群增大了，答案变成了171，具体如下：
对于两个1间距是1,2,3的情况，两个1定义了一个对称轴（它们连线的中垂线），一般的填法镜像反射过去会改变，依题意应算为一种，所以算重了。镜像对称的填法有3! 种，所以不等价的有 3! + (6!/ 2^3 - 3!)/2 = 48种。
对于两个1间距是4的情况，由于它们占据了对径点，除了中心对称，还有两个镜像反射对称（分别以两个1的连线及其中垂线为对称线），一般的情况4个填法等同1个，但分别有3!种情况具有中心对称和两个镜像对称，而且它们各不相同，所以不等价的填法有
(3! + 3! + 3!) / 2 + (6!/ 2^3 - 3! - 3! - 3!) / 4 = 27
(说明：前面除以2是因为每个具有一个对称性的排列只与另一个等价，比如341232)，
总之，不等价的填法共有 3 * 48 + 27 = 171 种。
=================================
先选两个位置给1，剩下的就好填了。
由于旋转对称性，两个1的距离（间隔）才是有意义的。
两个1的距离有1,2,3,4四种可能，
对于前三种可能中的任一种，剩下的6个数有6！/ 2^3 = 90种不同的填法。
但对于间隔为4，即两个1在对径点，的情况，稍微有一点不同，比如321234其实是一样的。这样的重复排列共有3！= 6对，所以共有 90 - 6 = 84种不同的填法。
总共有 3 * 90 + 84 = 354 种不等价的填法。
------------------------
以上是最开始的解答，与楼下用群论的结果不一样，赶紧查错，原来间隔是4的情况想错了。如果abc与efg不相等，则1abc1efg 和 1efg1abc是一样的。像这样的共有(90 - 6！)/2 = 42对，所以总共有
90 + (90 - 42) = 318
还是群论强大
有重复的比如1323这个数，你的方法计算了两次
123的排列把3放到12之中可以形成1323
132排列把3放到最后也可以形成1323
总数应该是36/2=18...
所有3位数P（3，6），减去0作开头的所有3位数P（2，5），得到100
4*5*4*3-3=237
千位为2或3或4或5，其数有可能比2015大.千位为2或3或4或5时,有数4*5*4*3=240个，但当千位为2时有...
解：由于是不加区别的小球，所以属于组合问题。
（1）在2号和3号盒子中分别放入1个小球和2个小球，为1种方法；
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答: 中国人的数学理应比外国人好！ 这是我的个人观点，这在于中国人对数字的发音是单音，因此，对数字的记忆较为简单，提高了学习数学的效率！
而科学的发展，往往受制于社会...
答: 很简单,水沸腾也就100度左右,而纸要燃烧的着火点远远高于100度,在纸远达不到着火点的时候,纸锅上的水就因为水对流把热量带走,使纸锅底的温度远低于纸着火点温度...
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简介：本文档为《高中数学排列组合问题方法总结doc》，可适用于高中教育领域，主题内容包含高中数学排列组合问题方法总结例人排成一排甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法,解:分两步进行:高中数学排列组合方法总结第步把除甲乙外的一般人排列:有A符等。
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有关数学排列组合的问题在排列和组合的问题中,有一个种线排法,线排法：环形上的排列没有前后和首尾之后,此时我们只需将其中一个元素列入队首,不再对剩下的元素的次序进行排列,这样就可以将环形上的问题转化为直线上的问题来求解.在这里,看不懂的是为什么要将其中一个元素列入队首?有10个人坐一张桌子,有多少种排法?按线排法的意思是,我先将一个设为队首,这样剩下的9个全排,为什么不是10个人进行全排的?
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ABCDEFGHIJ、BCDEFGHIJA、CDEFGHIJAB、DEFGHIJABC、EFGHIJABCD、FGHIJABCDE、GHIJABCDEF、HIJABCDEFG、IJABCDEFGH、JABCDEFGHI这十个其实是一样的所以是10!/10=9!
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扫描下载二维码排列组合常用的解题方法；一、相邻问题捆绑法；题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素；不同的排法种数有种；分析：把甲、乙视为一人，并且乙固定在甲的右边，则；4的全排列，A4?24种；二、相离问题插空法；元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个；例2七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，；种数是；52分析：除甲乙外，其余5个排列数为A5种
排列组合常用的解题方法 一、相邻问题捆绑法 题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列． 例1
五人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有
种。 分析：把甲、乙视为一人，并且乙固定在甲的右边，则本题相当于4人4的全排列，A4?24种。 二、相离问题插空法 元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端． 例2 七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是
分析：除甲乙外，其余5个排列数为A5种，再用甲乙去插6个空位有A652种，不同的排法种数是A5A6?3600种。 三、定序问题缩倍法 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法． 例3
A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果 B必须站A的右边(A、B可不相邻)，那么不同的排法种数有
。 分析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元15?60种。
素全排列数的一半，即A52四、标号排位问题分步法 把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成． 例4
将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有
。 分析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法。 五、有序分配问题逐分法 有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法。 例5
有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有
。 分析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有211C10C8C7?2520种。 六、多元问题分类法 元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计。
由数字 0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有
个。 分析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有个，A4A3A3,A3A3A3,A2A3A3,A3A3个，合并总计300个。 A5七、交叉问题集合法 某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(A?B)?n(A)?n(B)?n(A?B)。 例 9
从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？ 分析：设全集Ⅰ＝｛6人中任取4人参赛的排列｝，A＝｛甲第一棒的排列｝，B＝｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有： n(Ⅰ)－n(A)－ n(B)＋n(A∩B)＝P64?P53?P53?P42＝252(种)． 八、定位问题优先法 某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素。 例10
1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法有_______
_种。 14分析：老师在中间三个位置上选一个有A3种，4名同学在其余4个位置上有A414种方法；所以共有A3A4?72种。 九、多排问题单排法 把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理。 例11
6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是
。 分析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排6成一排，共A6?720种。 例12
8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某 1个元素要排在后排，有多少种排法？ 2分析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有A4种，某11个元素排在后半段的四个位置中选一个有A4种，其余5个元素任排5个位置上1255有A5种，故共有A4A4A5?5760种排法。 十、“至少”问题间接法 关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便。 例13
从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有
种。 分析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种 2 333型号的电视机，故不同的取法共有C9?C4?C5?70种。 分析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；2112甲型2台乙型1台；故不同的取法有C5C4?C5C4?70种。 十一、选排问题先取后排法 从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法。 例14
四个不同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_____
___种 2分析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C4种，再排：在233四个盒中每次排3个有A4种，故共有C4A4?144种。 例15
9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同分组法？ 22分析：先取男女运动员各2名，有C52C4种，这四名运动员混和双打练习有A2222中排法，故共有C5C4A2?120种。 十二、部分合条件问题排除法 在选取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数，即为所求。 例16
以一个正方体顶点为顶点的四面体共有
个。 分析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成C84四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有C84?12?58个。 例17
四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有
种。 4分析：10个点中任取4个点共有C10种，其中四点共面的有三种情况：①在44四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为C6，四个面共有4C6个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共644个；所以四点不共面的情况的种数是C10?4C6?3?6?141种。 十三、复杂排列组合问题构造模型法 例18马路上有编号为1，2，3?9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？ 分析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮3的灯C5种方法。所以满足条件的关灯方案有10种。
3 说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决。 十四、利用对应思想转化法 例19
圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？ 分析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的410个点可以确定多少个不同的四边形，显然有C10个，所以圆周上有10点，以4这些点为端点的弦相交于圆内的交点有C10个。 解题时要注意不断积累经验，总结解题规律，掌握更多的解题技巧。 编辑人：刘金盟
4 一、相邻问题捆绑法 例1
五人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有
种。 二、 相离问题插空法 例2
七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是
。 三、定序问题缩倍法 例3
A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果 B必须站A的右边(A、B可不相邻)，那么不同的排法种数有
。 四、标号排位问题分步法 例4
将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有
。 五、有序分配问题逐分法 例5
有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有
。 六、多元问题分类法 例6
由数字 0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有
个。 七、交叉问题集合法 例 7
从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？ 八、定位问题优先法 例8
1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法有_______
_种。 九、多排问题单排法 例9
6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是
。 十、“至少”问题间接法 例10
从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有
种。 十一、选排问题先取后排法 例11
四个不同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_____
___种 十二、部分合条件问题排除法 例12
以一个正方体顶点为顶点的四面体共有
个。 十三、复杂排列组合问题构造模型法 例13
马路上有编号为1，2，3?9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？ 十四、利用对应思想转化法 例14
圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？
5 三亿文库3y.uu456.com包含各类专业文献、专业论文、幼儿教育、小学教育、高等教育、外语学习资料、文学作品欣赏、各类资格考试、中学教育、502012(好)高中数学排列组合问题常用的解题方法等内容。　
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说到高中数学中的重难点，很多同学都会脱口而出函数、立体几何、方程等，很少有人会说到排列组合问题。
所谓排列组合问题，就是从n个不同元素中选取m个元素按照一定的顺序排成一列，就叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示。
这个概念有些难懂，但是同学们如果能够在具体的题目中去看的话，就会简单很多。排列组合的一般计算公式是：
排列组合问题也是高中数学中的必考问题，计算相对比较复杂，考题也是非常多变，所以同学们一定要把方法掌握到，只有把方法掌握了，才能够应对各种难题。
高中数学中的排列组合虽然没有进入同学们最大困难的知识点里，但是同学们学习起来还是非常吃力的，很少有同学能够把各种排列组合的题目搞清楚。
为了帮助同学们解决这个大难题，亿家教小编把高中数学中国年排列组合的题目做了总结，一共12道题，分别给同学选择了最恰当的方法来为同学们分析解答。
在高中数学3年的学习力，关于排列组合问题，就只有这12类，所以，希望同学们能够稍微花点时间，把我接下来的分享看完，相信一定会对大家的学习有所帮助的。
一、相邻问题捆绑法。
相邻，指相邻的多个元素；捆绑，就是把相邻的多个元素看成一个整体。
二、相离问题插空法。
相离，即不相邻，在不相邻的元素中插入其他元素。
三、定序问题缩倍法。
定序就是在排列中让几个元素保持一定的顺序，这类题目用缩小倍数的解法比较方便。
四、标号排位问题分步法。
五、有需分配问题逐分法。
六、多元问题分类法。
七、交叉问题集合法。
八、定位问题优限法。
九、多排问题单排法。
十、至少问题间接法。
十一、选排问题先取后排法。
十二、部分符合条件淘汰法。
用这种方法的话，需要同学们细心一点，分析清楚那些是符合条件的东西，哪些不符合，来进行排除。
以上就是我总结的解决高中数学中排列组合问题的十二种方法，希望同学们能够好好学习学习，在题目中多多练习，运用各种方法熟练解决各种难题。
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