教一下，关于方程的。八年级数学。要过程和答案_百度知道
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设降低x2500*(1-x)^2=1600(1-x)^2=16/25由题意可知1-x&0则1-x=4/5x=1/5=20%
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用导数求切线方程的四种类型
用导数求切线方程的四种类型浙江 曾安雄求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点P ( x 0， y 0 )及斜率，其求法为：设 P ( x 0， y 0 ) 是曲线 y? f ( x ) 上的一点，则以 P的切点的切线 轴（即导方程为： y ?y 0 ? f ? ( x 0 )( x ? x 0 ) ．若曲线 y ? f ( x ) 在点 P ( x 0， f ( x 0 )) 的切线平行于 y ? x0数不存在）时，由切线定义知，切线方程为 x 下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数 例 1 曲线 y Ａ． y Ｃ． y? x ? 3x ? 13 2．f ? ( x ) ，并代入点斜式方程即可．? 在点 (1， 1) 处的切线方程为（ ? ?3x ? 2 ? 4x ? 5）? 3x ? 4 ? ?4 x ? 3Ｂ． y Ｄ． y解 ： 由 f ?( x ) ? 3 x2 ? 6 x 则 在 点 ( 1 ? ，y ? ( ? 1) ? ? 3( x ? 1)1 ) 处 斜 率 k ? f ? ( 1 )? ? 3 ， 故 所 求 的 切 线 方 程 为，即 y? ?3x ? 2，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例 2 与直线 2 x ? Ａ． 2 x ? Ｃ． 2 x ?y?3?0 y ?1? 0 y ? 4 ? 0 的平行的抛物线 y ? x2的切线方程是（）Ｂ． 2 x ? Ｄ． 2 x ?y?3?0 y ?1? 0? 2 x0 ? 2解：设 P ( x 0， y 0 ) 为切点，则切点的斜率为 y ? |x ? x∴ x0 ? 1 ． 1) 由此得到切点 (1， ．故切线方程为 y ? 1 ?．02( x ? 1)，即 2 x ?y ?1? 0，故选Ｄ．? 2x ? b评注： 此题所给的曲线是抛物线， 故也可利用 ? 法加以解决， 即设切线方程为 y 代入 y ? x 2 ，得 x 2? 2x ? b ? 0，，又因为 ??0，得 b? ?1，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例 3 求过曲线 y? x ? 2x3? 上的点 (1， 1) 的切线方程．? 3 x0 ? 22解：设想 P ( x 0， y 0 ) 为切点，则切线的斜率为 y ? |x ? x∴．0切线方程为 y ?y 0 ? (3 x 0 ? 2)( x ? x 0 ) ．2第 1 页 共 68 页y ? ( x 0 ? 2 x 0 ) ? (3 x 0 ? 2)( x ? x 0 )3 2．? 2 x 0 ) ? (3 x 0 ? 2)(1 ? x 0 ) ．2又知切线过点 (1， 1) ，把它代入上述方程，得 ? 1 ? ( x 0 3 ? 解得 x 0? 1 ，或 x 0 ? ?1 2．y ? (1 ? 2) ? (3 ? 2)( x ? 1)故所求切线方程为x? y?2?0，或1? ? 1 ? ? 3 ?? y ? ? ? ? 1? ? ? ? 2 ? ? x ? ? 8 4 2? ? ? ? ??，即，或 5 x ?4y ?1? 0． 4 y ? 1 ? 0 并不以 (1， 1) ?评注：可以发现直线 5 x ?? 1 7? ?? ， ? ? 2 8?为切点，实际上是经过了点 (1， 1) 且以 ?为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法． 类型四：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例 4 求过点 ( 2， ) 且与曲线 y 0? 1 x相切的直线方程．? ? 1 x0 1 x02解：设 P ( x 0， y 0 ) 为切点，则切线的斜率为 y ? |x ? x∴1 x02．0切线方程为 y? y0 ? ?1 x02( x ? x 0 ) ，即 y ?1 x0? ?( x ? x0 ) ． 1 x02又已知切线过点 ( 2， ) ，把它代入上述方程，得 ? 0 解得 x 0? 1， y 0 ? 1 x0 ? 1 ，即 x ? y ? 2 ? 0? ?( 2 ? x0 ) ．．0 评注：点 ( 2， ) 实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．16) 例 5 已知函数 y ? x 3 ? 3 x ，过点 A (0， 作曲线 y ? f ( x ) 的切线，求此切线方程．16) 解：曲线方程为 y ? x 3 ? 3 x ，点 A (0， 不在曲线上．设切点为 M( x 0， y 0 ) ，则点 M 的坐标满足 y 0 ? x 0 3 ? 3 x 0 ． 因 f ?( x 0 ) ? 3( x 0 2 ? 1) ， 故切线的方程为 y ? y 0 ? 3( x 0 2 ? 1)( x ? x 0 ) ．16) 点 A (0， 在切线上，则有 16 ? ( x 0 3 ? 3 x 0 ) ? 3( x 0 2 ? 1)(0 ? x 0 ) ．化简得 x 0 3 ? ? 8 ，解得 x 0? ?2．第 2 页 共 68 页所以，切点为 M ( ? 2， 2) ，切线方程为 9 x ? ?y ? 16 ? 0．评注：此类题的解题思路是，先判断点 A 是否在曲线上，若点 A 在曲线上，化为类型 一或类型三；若点 A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点． 在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。例如，圆的切线定义为与圆只有一个交点 的直线，但把这一定义用到其他曲线上就不行了。如直线 y ? 0 与抛物线 y ? x 只有一个交2点， y ? 0 是 y ? x 的切线，但 x ? 0 与抛物线 y ? x 也只有一个交点，但 x ? 0 却不是2 2y ? x 的切线，由此可见，用“一个交点”来定义切线并不能用于所有曲线。而学了微积2分的知识后，就可以给出曲线切线的一般定义了。 切线的定义：设 m 0 是曲线 y ? f ( x ) 上一定点， m 是该曲线上的一动点，从而有割线m 0 m ，令 m 沿着曲线无限趋近于 m 0 ，则割线 m 0 m 的极限位置就是曲线 y ? f ( x ) 在 m 0 的切线（如果极限存在的话） 。 这一定义与初等数学中圆的切线定义是一致的（用于讨论圆的切线时） ，用这一定义也 容易证明 y ? 0 是 y ? x 的切线，而 x ? 0 不是 y ? x 的切线，这一切线定义可用于任何曲2 2线 y ? f ( x) 。 导数的几何意义就是曲线 y ? f ( x ) 在点 x 的切线斜率。故运用上述切线的一般定义和 结论，可以处理与切线有关的许多问题。 例6 求曲线 y ? 1nx 在 x ? 2 时的切线方程。1 x? 当 x ? 2 时， y ?解：? y ? ?1 2又? 当 x ? 2 时， y ? 1n 2? 当 x ? 2 时，所求的切线方程为：y ? 1n 2 ?1 2( x ? 2)即 x ? 2 y ? 2 ? 21 n 2 ? 0 反思：由此可见，用微积分法解此类问题是多么的简单容易，可是在初等数学中，曲线y ? f ( x ) 的切线定义都难得给出，更别说讨论与 y ? f ( x ) 的切线有关的问题了。例7已知函数 f ( x ) ? ax ? bx32? 3 x 在 x ? ? 1 处取得极值，过点 A ( 0 ,16 ) 作曲线y ? f ( x ) 的切线，求此切线方程。第 3 页 共 68 页解：由例 4，曲线方程为 f ( x ) ? x ? 3 x ，点 A ( 0 ,16 ) 不在曲线上。3设切点为 M ( x 0 , y 0 ), 则点 M 的坐标满足 y 0 ? x 0 ? 3 x 0 ，2 由于 f ? ( x 0 ) ? 3 ( x 0 ? 1) ， 故切线的方程为 y ? y 0 ? 3 ( x 0 ? 1)( x ? x 0 ) .注意到点 A ( 0 ,16 ) 在32切线上,有 16 ? ( x 0 ? 3 x 0 ) ? 3 ( x 0 ? 1)( 0 ? x 0 ) 化简得 x 0 ? ? 8 ,解得 x 0 ? ? 2 .因此,切点为3 2 2M ( ? 2 , ? 2 ) ,切线方程为 9 x ? y ? 16 ? 0 .2 2 2 2例 1 0 ： 设 P (x 0 ,y 0 ) 是 双 曲 线y b－x a＝1 上 一 点 ， 求 过 P 点 的 切 线 方 程 。解；考虑上半支双曲线的方程为 y＝ b a a +x ，2 2y ?＝ abx a +x2 2则 P (x 0 ,y 0 ) 处 的 切 线 斜 率 为 y ? bx 0 a2x＝ x 0＝ abx 0 a +x 02 2? 切 线 方 程 为 y － y 0＝a +x 022（ x － x 0）＝ y y0 b2b x0 （ x － x 0） 2 a y0即－x x0 a2＝1当 P在 下 半 支 时 ， 也 可 得 到 同 样 的 方 程 。要点：1.导数是如何定义 2.如何求曲线 y ?( xo , yo)f ( x)在点处的切线方程与法线方程。第三章 导数与微分 § 3.1 导数的概念 由于机器制造， 远洋航海， 天象观测等大量实际问题给数学家提 出了许多课题。 其中求曲边梯形面积的研究导致了积分学的产生， 而 求变速运动的瞬时速度， 求曲线上一点的切线， 求函数的极大值和极 小值等问题的研究导致了微分学的产生。 历史上，Newton 从瞬时 速度出发，Leibniz 从曲线的切线出发，分别给出导数的概念，并明 确给出计算导数的步骤， 而且建立了有关积分与微分是互为逆运算的 完整理论。 一. 导数的概念 1. 平均变化率 设在点 x ? a 处自变量改变 ? x ( ? x ? 0 ) ， 函数 y ? f ? x ? 相第 4 页 共 68 页应地改变 ? y ? f ? a ? ? x ? ? f ? a ? , 则平均变化率是?y ?x ? f ?a ? ? x ? ? f ?a ? ?x.图 3.1 不难看出，平均变化率的几何解释是连续曲线上两点的割线的斜率 ( ? x ? 0 如何？) 2. 瞬时变化率 当物体做变速直线运动时， 它的速度随时间而确定， 此时平均变化 率?s ?t表示时刻从 t 0 到 t 0 ? ? t 这一段时间内的平均速度 v ， 若设路程 s 是f (t )时间 t 的函数 s ?v ? ?s ?t ?，则 ， ? t 很小时， 当 可以用 v 近似地表示物体在时?f ?t 0 ? ? t ? ? f ?t 0 ? ?t刻 t 0 的速度， ? t 愈小，近似的程度就愈好。当 ? t ? 0 时，如果极限?t? 0lim?s ?t? limf ?t 0 ? ? t ? ? f ?t 0 ? ?t?t? o存在，则称此极限为物体在时刻 t 0 的瞬时速度，即v| ? lim ?s ?t ? lim f ?t 0 ? ? t ? ? f ?t 0 ? ?ts ? 1 2t0 ? ? tt ? t0? t? o? t? o.gt2例 1.已知自由落体的运动方程为v.求（1） 落体从 t 0 到 ：这段时间内的平均速度? s ?2.（2） ：落体在 t ? t 0 时的瞬时速度。解 （1）?1 2gt2，1 2 g ( t0 ? ? t )2s ?t 0 ? ?1 2gt 0 ,s ?t 0 ? ? t ? ?.第 5 页 共 68 页? ? s ? s ?t 0 ? ? t ? ? s ?t 0 ? ? ? 1 2 gt 0 ? gt 0 ? t ?1 2? gt 0 ?21 2g ( t0 ? ? t ) ?2 21 2gt 021 2g ( ?t ) ?21 2gt 02? ? s ? gt 0 ? t ?g (?t ).g?t平均速度v ??s ?t1 2.（2） ：落体在 t ? t 0 时的瞬时速度。 瞬时速度v | t ? t 0 ? lim ?s? t? 01 ? ? ? lim ? gt 0 ? g ? t ? ? gt 0 ? t? 0 ?t 2 ? ?.3. 切线的斜率 设有一连续函数y ? f ? x ? ，则平均变化率?y ?x是指曲线 y ? f ? x ? 上的两点的割线的斜率。 即割线 PQ 的斜率是?y ?x ? f ?a ? ? x ? ? f ( a ) ?x.当 ? x ? 0 时, 显然, 割线 PQ 越来越趋于曲线 y ? f ? x ? 在点 P ? a , f ? a ?? 处的切线 PT .即切线 PT 是割线 PQ 的极限位置， 平均变化率的极限值 ?y （如果存在） ?lim 0 则是曲线 y ? f ? x ? 在点 P ? a , f ? a ?? 的切线 PT 的斜 x? ? x 率。 图 3.2 例 2． 求曲线 y ?x3在点 P ?1,1 ? 处的切线斜率和切线方程.解：先计算从点 P ?1,1 ? 到邻近任意点Q (1 ? ? x , f (1 ? ? x ))?y ?x的平均变化率??f ?1 ? ? x ? ? f ?1 ? ?x2?1 ? ? x ?3 ? 1 3?x3?3 ? x ? 3 ?? x ? ? ?? x ? ?x? 3 ? 3 ? x ? ?? x ?2.m故 曲 线m ? lim ?y ?x? x? 0y ? x3在 点P ?1,1 ?2处 的 切 线 斜 率应 为? lim[ ?x? 03 ? 3 ? x ? ?? x ?]=3.y ? 3x ? 2而过点 P ?1, 1? 的切线方程为y ? 1 ? 3 ? x ? 1 ? .即.第 6 页 共 68 页思考题 如果上题中改为求过点 P ( 0 , 2 ) 的切线， 此时要验证点是否在曲 线上。然后求出切点（ x 0 , y 0 ) ，再用点斜式求出切线方程，此时个能 有左、右两条切线。对一般曲线 y ? f ? x ? ，既使点 P ( a , b ) 在曲线上，如 果求在点 P 处的切线， 则切线可能有 1 条、2 条、3 条。 由上面的例题可以看出， 平均变化率的极限可以给出不同的解释。 一 个是作为变速直线运动在某一时刻的瞬时速度， 一个是看作曲线上某 一点的切线的斜率。其实这个量? x? 0lim?y ?x或 lima x?f ? x ? ? f ?a ? x?a（其中x ? a ? ? x ）在各个不同领域中可以有许多不同的解释。数学上给它一个特殊的名称，叫做函数 y ? f ? x ? 在点 x ? a 处的导数。 4. 导数的定义 定义 设函数 y ? f ? x ? 在点 x 的某个邻域内有定义，当自变量在点 x0 0处取得改变量 ? x ( ? 0 )时，函数 y ? f ? x ? 取得相应的改变量?y ? f x 0 ? ?x ? f x 0??? ? .如果当 ? x ? 0 时，改变量的比?y ?x的极限存在，即lim?y ?x ? limf x0 ? ?x ? f x0 ?x??? ?? x? 0? x? 0存在，则称此极限值为函数 y ? f ? x ? 在点 x 处的导数（或叫微商） 。记0作f??y ?x? x ?,00y?x? x,0dy dxx? x0或d dxf ?x ?x? x0是x 从x 到x0? ?x的平均变化率，而 f ?? x ? ?0?x? 0lim?y ?x则称函数在点 x0处的变化率。可见导数是函数在一点处的局部性质。如果 f ( x ) 在点 x0第 7 页 共 68 页处有导数，则称 f ( x ) 在点 x 处可导，否则称 f ( x ) 在点处不可导。如果0f ( x ) 在某区间 ( a , b ) 内每一点都可导，则称 f ( x ) 在 ( a , b ) 内可导.设 f ? x ? 在 ( a , b ) 内可导，则对于区间 ( a , b ) 内每一点 x 都对应一个导 数值， 因此就定义了 ( a , b ) 内的一个新函数， 称为导函数， 简称为导数， 记作f ?? x ? ,y? ,dy dx,d dxf ?x ? ds dt利用导数的符号，瞬时速度就是路程 s 对时间 t 的导数，即 v ? 曲线y ? f ?x ?. 而在点 x 处的切线斜率应为 f ?? x ? . 而过点 x 0 , y 0 ) 的切线 （方程应为y? y0? f ?( x ) ( x ? x )0 0.当?x? 0lim?y ?x是 ? ? 或 ? ? （此时极限不存在，故导数不存在）在几何上0则表示曲线在点 x 处有一条垂直的切线。 （所以“曲线函数在此点的 导数不存在,则曲线在此点就没有切线”的说法是错误的） 。 例 3． 求线性函数y ? ax?b的导数。解 求导数的步骤是： （1） 计算函数的相应的改变量?y= f ? x ? ? x ? ? f ? x ? = ?a ? x ? ? x ? ? b ? ? ?ax?y ?x ? a?x ?x? b? ? a ?x? a.（2） 计算改变量的比值 （3） 求极限?x ? 0lim?y ?x? lim a ? a?x ? 0.? y ? ? a . 即? ax? ? b? ? a.例4 解 ?y求y ?1 x的导数。1 x ? ?x ? 1 x ? ? ?x x?x ? ?x ?? f ?x ? ?x ? ? f ?x ? ?，?y ?x? ?1 x?x ? ?x ?.第 8 页 共 68 页y ? ? lim?y?x? 0? ? 1 1 ? lim ? ? ? ? ? 2 ? x ?x? 0 ? x ? x ? ? x ? ? x即1 ? 1 ( ) ? ? 2 x x例 5． 求 解?y ?y ?x的导数，并算出xy ? x ?1 .xx ? ?x ?,?y ?x?x ? ?x ? ?xx（&0 0&型）y ? ? lim?y ?x?x ? 0? limx ? ?x ? ?x?x ? 0? lim?x ? 0?x1 2??x x ? ?x ? x?? lim1 x ? ?x ? x?x? 0? 21 x.即? x ?? ? ( x)? ?1 2?1 2x.因此y ? x ?1 ?1 2 xx ?1?1 2.前面所采用的导数定义是如下形式y ? x ? x ? f ?? x 0 ?0? limf ? x0 ? ? x ? ? f ? x0 ? ?x? x? 0.?x ? h但有时为方便，也可以换一种形式：若记y ? x ? x ? f ? ? x 0 ? ? lim0，则有f ?x0 ? h ? ? f ?x0 ? h? x ? x ? x0h? 0.x ? x 0 ? ? x ，则有另外一种形式是：若令y?x ? x0，即 .? f ? ? x 0 ? ? limf ?x ? ? f ?x0 ? x ? x0x ? x0以下要点1. 左导数，右导数2. 分段点处导数要用定义求 例 6．用定义讨论函数 f ? x ? ? 连续性与可导性。1 ? ? x sin ? x ? 0 ?x ? 0 x ? 0在点 x ? 0 处的第 9 页 共 68 页解lim f ? x ? ? lim x sinx? 0 x? 01 x? 0 ? f ? 0 ? ，故知 f ? x ?在 x ? 0 处连续。因为在点x 0 ? 0 处函数的改变量? y ? f ? 0 ? ? x ? ? f ? 0 ? ? ? x sin? x ? sin ? lim?x? 01 ?x? 0 ? ? x sin1 ?x.1? lim?y ?x?x? 0? x ? lim sin 1 ?x? 0 ?x ?x（不存在，上下振荡） 。所以 f ? x ? 在 x ? 0 处不可导。此例说明 f ? x ? 在 x 0 处连续未必可导 。 *思考题 讨论 n ? ?1 ? n ? x sin , f ?x ? ? ? x ? 0, ?x ? 0 x ? 0在点 x ? 0 处（1）连续； （2）可导； （3） f ?? x ? 连续。 （答?例(1) : n ? 0 ;( 2 ) : n ? 1; ( 3 ) : n ? 2 )设 f ? x ? ? ?? ? x ? cos? ? 0? ?1 x，x ? 0 x ? 0， ? ?0 ? ? ? ??0 ? ? 0 ，求 f ??0 ? .1 x解f ? ? 0 ? ? lim? limf ? x ? ? f ?0 ? x? ? x ? cos? limx? 0?0x? 0x? ?x ?xx? 0? cos1 x***? lim? ? x ? ? ? ?0 ?xx? 0? cos1 x其中lim? ? x ? ? ? ?0 ?xx? 0? ? ??0 ? ? 0，而? 0cos1 x?1? f ? ? 0 ? ? lim? ? x ? ? ? ?0 ?xx? 0? cos1 x.5. 左，右导数的概念 定义 设函数 y ? f ? x ? 在 x 0 的某邻域内有定义， 如果lim f x 0 ? ? x ? f ?x0 ?????x? 0?x存在， 则称此极限值为函数 y ? f ? x ? 在 x 0 点处的左导数。 记作 如果lim ? f x 0 ? ? x ? f ?x0 ? ?xf?' ?x0 ? .???x? 0存在，则称此极限值为函数 y ? f ? x ? 在 x 0 点处的右导数。记作f?'?x 0 ?第 10 页 共 68 页由极限的性质可知，当且仅当在 x 0 点处的左导数，右导数都存在且相 等时， 函数在该点才是可导的。 所以函数 f ? x ? 在 [ a , b ] 上可导， 是指 f ? x ? 在开区间 ( a , b ) 内处处可导，且存在f ? ?a ?'与f ? ?b ? .在求分段函数在'分段点处的导数时，就需要研究分段点处的左，右导数。 例 8. 设f ?x ? ? 5x?2，求 f ?? 2 ? .x ? 2 x ? 2 x ? 2?5 x ? 2 ? 解（去掉绝对值符号） ? f ? x ? ? ? 1 ?5 2? x ?f ? ? 2 ? ? lim', x ? 2 是分段点。f ?2 ? ? x ? ? f ?2 ???x? 0?x? lim5?2 ? ?2 ? ?x ??1?x? 0?x? lim5?? ?x?1?x? 0?x??（已讲过，复习）令y ?55?? ?x? 1 ，则 log?15?1 ? y ? ?? ? x ? log 5 5 ? ? ? x .?1 log5? ?x? lim?x? 0?x? limy ? log5y? 0?1 ? y ?? limy? 0?1 ? y ? y1??1 log5? ? e1 ln e ln 5? ? ln 5.同理f' ??2 ? ?'?x? 0limf ?2 ? ? x ? ? f ?2 ???x? lim5??x?1?x? 0?x? ln 5 .故f ? ?2 ? ? f ? ?2 ?'?f ?? 2 ?不存在，因此x ? 0 x ? 0f ?x ?在x ? 2处不可导。例 9. 讨论函数 y 性。? x, ? f ?x ? ? x ? ? ?? x,在 x ? 0 处的连续性与可导解 连续性： f ?0 ? ? 0 .x? 0lim ? f ? x ? ? lim ? x ? 0x? 0. lim .?x? 0?f ? x ? ? lim ? x ? 0x? 0.x图 3.3 在 x ? 0 处连续。x? 0lim ? f ? x ? ? lim ? x ? 0x? 0limx? 0x ? f ?0 ? ? 0.? y ?第 11 页 共 68 页可导性： f ?' ?0 ? ?'?x? 0lim?y??x ?y? lim?x ? 0??x? 0?x ?x ? 0? lim?x??x? 0?x? lim? ?x??x? 0?x? ?1.f ? ? 0 ? ? lim?x? 0??x? lim?x? 0??x? lim?x??x? 0?x? lim?x??x? 0?x? 1.? f ? ?0 ? ? f ? ?0 ? ，故 f ? x ? 在 x ? 0' '处不可导。此例再一次说明函数在某点连续，未必在该点可导。 6. 可导必连续 定理 如果 f ? x ? 在点 x 0 处可导，则它在该点必连续。 证?x? 0? y ? f ? x ? 在点 x 0?y ?x可导，∴?y ?x?x? 0?x? 0?x? 0lim?y ?x=f ' ?x0 ?.由?y ??y ?x? ?x，可知lim ? y ? lim (?x? 0? ? x ) ? lim? lim ? x? f ' ?x0 ? ? 0 ? 0即y ? f ?x ?在点 x 0 处连续。根据此定理， 如果已经判断出函数在某一点不连续， 则立即可以得出 函数在该点不可导的结论。 例 10. 讨论函数? x ?1 ? 2x ? f ?x ? ? ? 2 x ?1 ?1 ? x?4 ?2x?0 0 ? x ?1 1? x ? 2 2? x在分段点 x ? 0 , x ? 1 及 x ? 2 处的连续性与可导性。 解（1）在点 x ? 0 处x? 0lim ? f ? x ? ? lim ? ? x ? 1 ? ? ? 1 .x? 0x? 0lim ? f ? x ? ? lim ? 2 x ? 0x? 0.x? 0lim ? f ? x ? ? lim ? f ? x ? ,x? 0?lim f ? x ?x? 0不存在；故 f ? x ? 在 x ? 0 不连续，从而 f ? x ? 在 x ? 0 处也不可导。 （2）在点 x ? 1 处第 12 页 共 68 页x?1lim ? f ? x ? ? lim ? 2 x ? 2 .x?1x?1lim ? f ? x ? ? lim ? x ? 1 ? 2 .2 x?1??且 f ?1 ? ? 2 ? lim1 f ? x ? ? f ?1 ? ? 2 .因此在 x ? 1 处连续。进一步研究在 x ? 1 处 x? 的可导性，因为f ? ?1 ? ? lim' ?x? 0?x ? 1 是分段点，所以要考虑f ?1 ? ? x ? ? f ?1 ? ?xf ?1 ? ? x ? ? f ?1 ??? lim2 ?1 ? ? x ? ? 2??x? 0?x2? lim2?x??x? 0?x? 2.2f ?1 ? ? lim' ??x? 0?x? lim[ ?1 ? ? x ? ? 1] ? 2??x? 0?x? lim2 ? x ? ?? x ???x? 0?x? 2.' ' f ? ?1 ? ? f ? ?1 ? ? f ? ?1 ? ? 2 .故 f ? x ? 在 x ? 1 处可导，且 f ? ?1 ? ? 2.(3)在点 x ? 2 的连续性：lim ? f ? x ? ? lim ? x ? 1 ? 5 .2 x? 2x? 2??x? 2?1 ? lim ? f ? x ? ? lim ? ? x ? 4 ? ? 5 . x? 2 ?2 ?而 f ?2 ? ? 5 . 导性：f ? ? 2 ? ? lim'? lim f ? x ? ? 5 ? f ? 2 ? ，故 f ? x ? 在点 x ? 2x? 2是连续的。再讨论可f ?2 ? ? x ? ? f ?2 ???x? 0?x? lim??2 ? ? x ??2?1 ? 5??x? 0?x? lim4 ? x ? ?? x ??2?x? 0?x? 4.f' ??2 ? ??x? 0limf ?2 ? ? x ? ? f ?2 ???x? lim?1 ?2 ? ? x ? ? ?2 ??? 4 ?5 ? ?1 ? lim?x? 0??x? 0?x?x 1 2 ? ?x 2.' ' f ? ? 2 ? ? f ? ? 2 ? ，故 f ? ? 2 ? 不存在，即 f ? x ? 在 x ? 2处不可导。由上可知，在讨论分段点的连续性和可导性时，一般来说，都要先考 虑其左，右极限和左，右导数。 附加例题 设 a 和 b 是常数， b ? 0 ，定义? x a sin( x b ), f ?x ? ? ? ? 0, x ? 0, x ? 0.求 f ??0 ? ，其中 a ? 1 ? b .第 13 页 共 68 页f ? ? 0 ? ? f ?? ? 0 ? ? lim ?x? 0f ( x ) ? f (0) xb? lim ? xx? 0a ?1sin( x )b? lim ? xx? 0?bsin( x ) ? 0 .本周作业：p.112. 2(1,3) ,3, 5 (2,6,7); 6(3,4,6,7,8,10,11,12,14,23,)
（1）解答放在一班杜鹏同学那里。欢迎查看。 （2）书 p.96 定理 2.1.1。 f ( x ) ? C 1 [ a , ?? ). （3） “数学之美”改在 11 月 3 日(周 5)下午 4 点，于（东校门内）综合实验楼一楼报告厅。 两个例题： *例 设f (x)在 ( ?? , ?? ) 上有定义，在 ?0 , 2 ? 上f ( x ) ? x ( x ? 4 ).2若 ? x 都有f ( x) ? k f ( x ? 2) ， 其中 k为常数. （1） 写出 f ( x ) 在 [? 2 , 0 ) 内的表达式； （2）问k? ? f ( x) 在 x ? 0处可导。 时，2解（1）当 ? 2 ?x ? 0, 即 0 ? x ? 2 ? 2f ( x ) ? k f ( x ? 2 ) ? k ( x ? 2 )[( x ? 2 ) ? 4 ] ? kx ( x ? 2 )( x ? 4 ).（2）由题设知f ?? ( 0 ) ? lim ?x? 0f (0 ) ? 0,?f ( x ) ? f (0) x f ( x ) ? f (0) x? lim ?x? 0x( x ? 4)2??4 ? 8k ,x kx ( x ? 2 )( x ? 4 ) xf ?? ( 0 ) ? lim ?x? 0? lim ?x? 0故k *例? ?1 2, f ( x ) 在处可导，且 f ? ( 0 ) ? ? 4 .f ( x ) 在 ( 0 , ?? )内可导， f ( x ) ? 0 ， xlim ? ??1 1 xf ( x ) ? 1,且满足求 lim0 [ h?f (x ? h x) f (x)]h ? e，求 f ( x ).第 14 页 共 68 页解 设y ?[lim ln y ? limh? 0f (x ? h x) f (x)1 h11] h , 则 ln y ?1 hlnf (x ? h x) f (x), 因为h? 0lnf (x ? h x) f (x)? limx [ln f ( x ? h x ) ? ln f ( x )] hxh? 0? x [ln f ( x ) ]? ,故lim [h? 0f (x ? h x) f (x)1]h ? ex [ln f ( x ) ] ?. 由已知条件得1 x , 即 [ln f ( x ) ]? ? 1 x? 1 x2ex [ln f ( x ) ]?? ex，因此 x [ln?1 xf ( x ) ]? ?,解 出 (?)f (x) ? e? 1 xln f ( x ) ?? c1 , f ( x ) ? e 1 ec? ce?1 x.由x ? ??lim f ( x ) ? 1,得c ? 1.故.Weierstrass 曾举一例：f ( x) ??an?0?ncos( b ? x ),n其中 0 ? a ? 1, b isodd number , ab ? 1 ?3? 2or ab ? 1 ?3? 2(1 ? a ).处处连续处处不可导。导数【本章学习目标】 本章章头图是由一幅超级市场饮料货架的照片和一幅圆柱形图象组成． 与图相配， 引言 给出了一个实际问题：当圆柱形金属罐的容积一定时，怎样选取圆柱形罐的尺寸，能使所用 材料最省?这可以归纳为求一个函数的最大(小)值的问题． 在日常生活、生产和科研中，类似的问题大量存在，一般来说，这些问题是可以用初等 方法来解决的，但更有效、更简洁的工具还是微积分．另外利用微积分还可以解决曲线的切 线问题，物体运动的瞬时速度及方向等问题．本章主要内容有： (1)导数的概念． (2)几种常见函数的导数． (3)函数的和、差、积、商的导数． (4)复合函数的导数． (5)对数函数与指数函数的导数． (6)微分的概念与运算． (7)函数的单调性． (8)函数的极值以及函数的最大值与最小值． 本章的重点是：第 15 页 共 68 页1．导数的概念及导数的几何意义． 2．常见函数的导数公式． 3．导数的应用． 本章的难点是： 1．导数概念的理解． 2．利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值． 【基础知识导引】 1．了解曲线的切线的概念． 2．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念． 3．了解导数的概念，并能利用导数定义求导数． 4．了解导数的几何意义． 【教材内容全解】 1．曲线的切线 在初中学过圆的切线，直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆 的切线，惟一的公共点叫做切点．圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的概念推广为一 段曲线的切线，即直线和曲线有惟一公共点时，直线叫做曲线过该点的切线，显然这种推广 是不妥当的．如图 3―1 中的曲线 C 是我们熟知的正弦曲线 y=sinx．直线 l1 与曲线 C 有惟一 公共点 M，但我们不能说直线 l1 与曲线 C 相切；而直线 l 2 尽管与曲线 C 有不止一个公共点， 我们还是说直线 l 2 是曲线 C 在点 N 处的切线．因此，对于一般的曲线，须重新寻求曲线的切 线的定义．所以课本 P110 利用割线的极限位置来定义了曲线的切线．2．瞬时速度 在高一物理学习直线运动的速度时， 涉及过瞬时速度的一些知识， 物理教科书中首先指 出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发， 结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明．物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述， 有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度． 3．导数的定义 导数定义与求导数的方法是本节的重点， 推导导数运算法则与某些导数公式时， 都是以第 16 页 共 68 页此为依据． 对导数的定义，我们应注意以下三点： (1)△x 是自变量 x 在 x 0 处的增量(或改变量)． (2)导数定义中还包含了可导或可微的概念， 如果△x→0 时， 在点 x 0 处可导或可微，才能得到 f(x)在点 x 0 处的导数． (3)如果函数 y=f(x)在点 x 0 处可导，那么函数 y=f(x)在点 x 0 处连续(由连续函数定义 可知)．反之不一定成立．例如函数 y=|x|在点 x=0 处连续，但不可导． 由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行： (1)求函数的增量 ? y ? f ( x 0 ? ? x ) ? f ( x 0 ) ；?y ?x ? f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?x?y ?x?y ?x有极限， 那么函数 y=f(x)(2)求平均变化率；(3)取极限，得导数 f ' ( x 0 ) ? lim 4．导数的几何意义?x? 0。函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数，就是曲线 y=(x)在点 P ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线的斜率．由 此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步： (1)求出函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数，即曲线 y=f(x)在点 P ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线的斜 率； (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y ? y 0 ? f ' ( x 0 )( x ? x 0 )特别地，如果曲线 y=f(x)在点 P ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线平行于 y 轴，这时导数不存，根 据切线定义，可得切线方程为 x ? x 0【难题巧解点拨】 例 1 已知 f(x)在 x=a 处可导，且 f′(a)=b，求下列极限： （1） lim 分析f (a ? 3h ) ? f (a ? h ) 2h?h? 0； （2） limf (a ? h ) ? f (a )2?h? 0h在导数定义中，增量△x 的形式是多种多样，但不论△x 选择哪种形式，△y 也必须选择相对应的形式。利用函数 f(x)在 x ? a 处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等 变形转化为导数定义的结构形式。 解 （1） limf (a ? 3h ) ? f (a ? h ) 2hh? 0? limf (a ? 3h ) ? f (a ) ? f (a ) ? f (a ? h ) 2hh? 0第 17 页 共 68 页f (a ? 3h ) ? f (a ) f (a ) ? f (a ? h) ? l i m ?l i m h? 0 h? 0 2h 2h ? ? f (a ? 3h ) ? f (a ) 1 f (a ? h) ? f (a ) l i m ? l i m 2 h? 0 3h 2 h? 0 ?h 3 3 2 f ' (a ) ? 1 2f (a ? h ) ? f (a )2f ' (a ) ? 2b? f (a ? h 2 ) ? f (a ) ? lim ? 2 h? 0 h ? ? h? ?（2） limh? 0h2f (a ? h ) ? f (a ) ? l i m ? l i m ? f ' (a ) ? 0 ? 0 h 2 h? 0 h? 0 h点拨 只有深刻理解概念的本质， 才能灵活应用概念解题。 解决这类问题的关键是等价 变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。例 2 （1）求函数 y ?2x 在 x=1 处的导数；（2）求函数 y ? x ? ax ? b （a、b 为常数）的导数。 分析 解?y ?x根据导数的定义求函数的导数，是求导数的基本方法。 （1） ? y ?1 ? ?x ? 1?1 ? ?x ? 1 ?x? lim?1 1 ? ?x ? 11 ? 1，?x? 0lim?y ?x?x? 01 ? ?x ? 12 ，∴ y ' | x ?1 ?1 2。2 2（2） ? y ? [( x ? ? x ) ? a ( x ? ? x ) ? b ] ? ( x ? ax ? b )? 2 x ? ?x ? (?x) ? a ? ?x ，2?y ?x?(2 x ? a )?x ? (?x) ?x2? (2 x ? a ) ? ?x 。?x? 0?y l i m ? l i m ?( 2 x ? a ) ? ? x ? ? 2 x ? a ? ?x ? 0 ?x∴y′=2x+a 点拨 应熟练掌握依据导数的定义求函数的导数的三个步骤。例 3 已知抛物线 y ? x ? 4 与直线 y=x+2 相交于 A、B 两点，过 A、B 两点的切线分2第 18 页 共 68 页别为 l1 和 l 2 。 （1）求 A、B 两点的坐标； （2）求直线 l1 与 l 2 的夹角。 分析 理解导数的几何意义是解决本例的关键。 解 （1）由方程组? y ? x 2 ? 4, ? ? y ? x ? 2,解得 A(-2，0)，B(3，5) （2）由 y′=2x，则 y ' | x ? ? 2 ? ? 4 ， y ' | x ? 3 ? 6 。设两直线的夹角为θ ，根据两直线的夹 角公式，tan ? ? ?4?6 1 ? (?4) ? 610 23?10 23所以 ? ? arctan点拨 本例中直线与抛物线的交点处的切线， 就是该点处抛物线的切线。 注意两条直线 的夹角公式有绝对值符号。例 4 证明：如果函数 y=f(x)在点 x 0 处可导，那么函数 y=f(x)在点 x 0 处连续。 分析 从已知和要证明的问题中去寻找转化的方法和策略，要证明 f(x)在点 x 0 处连续，x ? x0必须证明 lim f ( x ) ? f ( x 0 ) ，由于函数 f(x)在点 x 0 处可导，因此根据函数在点 x 0 处可导的 定义，逐步实现这个转化。 已知： l i m?x? 0f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?x? f '(x0 )求证： l i m ( x ) ? f ( x 0 ) fx ? x0证明：考虑 lim f ( x ) ，令 x ? x 0 ? ? x ，则 x ? x 0 ，等价于△x→0，于是x ? x0x ? x0l i m (x) ? l i m (x0 ? ?x) f f?x? 0第 19 页 共 68 页? l i m? f ( x 1 ? ? x ) ? f ( x 0 ) ? f ( x 0 ) ??x? 0? f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ? ? l i m? ? ?x ? f ( x0 )? ?x? 0 ?x ? ? ? f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ? ? f ( x 0 ) ? l i m? ? ?x? ?x? 0 ?x ? ? ? f (x0 ) ? l i m?x? 0f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?x? l i m?x?x? 0? f '(x0 ) ? 0 ? f (x0 ) ? f (x0 )∴函数 f(x)在点 x 0 处连续。 点拨 函数 f(x)在点 x 0 处连续、 有极限以及导数存在这三者之间的关系是： 导数存在 ?连续 ? 有极限。反之则不一定成立，例如 y=|x|在点 x=0 处有极限且连续，但导数不存在。 【课本习题解答】 练习（P111） 1． （1）切线的斜率为 4； （2）切线方程为 y=4x-2。 2．切线方程为 y=-4x-3。 练习（P113） 1．瞬时速度为 10m/s（比较略） 。 2．瞬时速度为 8m/s（比较略） 。 练习（P116） 1．16． 2．2 1 x? 4。3．切线方程 y=4x-2。 4．切线方程为 y ? ? 习题 3．1(P116) 1．速度为 210m/s． 2．速度为 2.8m/s 3．y′=2x-2， y ' | x ? 2 ? 2 ． 4． y ' ? ?1 ( x ? 1)224 3x ? 8。, y '| x?0 ? ?15．(1) y ' ? 3 x ；第 20 页 共 68 页1(2) y ' ? limx ? ?x ?x1?1 x ? lim x ? x ? ?x? ? 1 2x x 。x ? ?x x ? ?x?x? 0?x? 0? lim?x? 0x ? ?xx(x ?x ? ?x )6．切线方程为 y=6x+1 及 y=2x+1． 7．切线方程为 y=8x-10． 8．切线方程为 y=-x+6． 9．切线方程为 y=15x+16．【同步达纲练习】 一、选择题 1．设函数 f(x)在 x 0 处可导，则 lim B． f ' ( ? x 0 )f (x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) 3? x f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?x?x? 0等于（）A． f ' ( x 0 )C． ? f ' ( ? x 0 )? 1 ，则 f ' ( x 0 ) 等于（D． ? f ( ? x 0 )2．若 lim2 3?x? 0）A．B．3 2C．3D．23．若函数 f(x)的导数为 f′(x)=-sinx，则函数图像在点（4，f（4） ）处的切线的倾斜角 为（ ） A．90° B．0° C．锐角 D．钝角 4． 一直线运动的物体， 从时间 t 到 t+△t 时， 物体的位移为△s， 那么 lim A．从时间 t 到 t+△t 时，物体的平均速度 B．时间 t 时该物体的瞬时速度 C．当时间为△t 时该物体的速度 D．从时间 t 到 t+△t 时位移的平均变化率 5．对任意 x，有 f ' ( x ) ? 4 x ，f(1)=-1，则此函数为（3?s ?t?t ? 0为 （））4A． f ( x ) ? x4B． f ( x ) ? x ? 24C． f ( x ) ? x ? 1 ）D． f ( x ) ? x ? 246．设 f(x)在 x 0 处可导，下列式子中与 f ' ( x 0 ) 相等的是（f (x0 ) ? f (x0 ? 2?x) 2?x（1） lim?x? 0；（2） limf (x0 ? ?x) ? f (x0 ? ?x) ?x?x? 0；第 21 页 共 68 页（3） limf (x0 ? 2?x) ? f (x0 ? ?x) ?x?x? 0（4） limf (x0 ? ?x) ? f (x0 ? 2?x) ?x?x? 0。A． （2） （1） 二、填空题B． （3） （1）C． （3） （2）D． （2） （4） （1） （3）7． 若函数 f(x)在点 x 0 处的导数存在，则它所对应的曲线在点 ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线方程 是_____________。 8．已知曲线 y ? x ?1 x，则 y ' | x ?1 ? _____________。f ( x 0 ? h ) ? f ( x 0 ? 3h ) h9．设 f ' ( x 0 ) ? ? 3 ，则 limh? 0? _____________。2 10．在抛物线 y ? x 上依次取两点，它们的横坐标分别为 x 1 ? 1 ， x 2 ? 3 ，若抛物线上过点 P 的切线与过这两点的割线平行，则 P 点的坐标为_____________。 三、解答题 11．曲线 f ( x ) ? x 在点 A 处的切线的斜率为 3，求该曲线在 A 点处的切线方程。312．在抛物线 y ? x 上求一点 P，使过点 P 的切线和直线 3x-y+1=0 的夹角为2?4。13．判断函数 f ( x ) ? ?? x( x ? 0) ?? x( x ? 0)在 x=0 处是否可导。1 x14．求经过点（2，0）且与曲线 y ?相切的直线方程。参考答案 【同步达纲练习】 一、选择题 1．C 2．B 3．C 二、填空题4．B5．B6．B7． y ? f ( x 0 ) ? f ' ( x 0 )( x ? x 0 ) 。 8．1 2。9．-6。 10． （2，4） 。 三、解答题 11．由导数定义求得 f ' ( x ) ? 3 x ，2第 22 页 共 68 页令 3 x 2 ? 3 ，则 x=±1。 当 x=1 时， 切点为 （1， ， 1） 所以该曲线在 （1， 处的切线方程为 y-1=3(x-1)即 3x-y-2=0； 1） 当 x=-1 时， 则切点坐标为 （-1， ， -1） 所以该曲线在 （-1， 处的切线方程为 y+1=3(x+1) -1） 即 3x-y+2=0。 12．由导数定义得 f′(x)=2x，设曲线上 P 点的坐标为 ( x 0 , y 0 ) ，则该点处切线的斜率 为 k p ? 2 x 0 ，根据夹角公式有 解得 x 0 ? ? 1 或 x 0 ?1 42 x0 ? 3 1 ? 2 x0 ? 3?1，由 x 0 ? ? 1 ，得 y 0 ? 1 ；1 4 y0 ? 1 16 ； 1 )。 4 16 f (0 ? ? x ) ? f (0 )?由 x0 ?，得则 P（-1，1）或 P ( , 13． limlim ?y?1?x? 0?x? lim?x? 0?x ?x? lim?x ? 0??x ? 0?x? 1，?y??x? 0?x?? limf (0 ? ? x ) ? f (0)??x? 0? lim? ?x ? 0??x? 0?x? ?1 ，∵ lim ∴lim?y ?x?x? 0? lim?y??x? 0?x，?y ?x?x? 0不存在。∴ 函数 f(x)在 x=0 处不可导。 14．可以验证点（2，0）不在曲线上，故设切点为 P ( x 0 , y 0 ) 。1 ? 1 x0 ? lim ? ?x ?x ? (x0 ? ?x) ? x0?x? 0由 y ' | x ? x ? lim0x0 ? ?x ?x?1?x? 0? lim?x? 0x0 (x0 ? ?x)? ?1 x02，得所求直线方程为y ? y0 ? ? 1 x02(x ? x0 ) 。由点（2，0）在直线上，得 x 0 y 0 ? 2 ? x 0 ，2再由 P ( x 0 , y 0 ) 在曲线上，得 x 0 y 0 ? 1 ，第 23 页 共 68 页联立可解得 x 0 ? 1 ， y 0 ? 1 。所求直线方程为 x+y-2=0。导数应用的题型与方法一．复习目标： 1．了解导数的概念，能利用导数定义求导数．掌握函数在一点处的导数的定义和导数 的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念．在了解瞬时速度的基础上抽象出 变化率的概念． 2．熟记基本导数公式（c,xm(m 为有理数)，sin x, cos x, e , a , lnx, log a x 的导数） 。xx掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则， 会求某些简单函数的导数， 利能 够用导数求单调区间，求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用． 3．了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。能正 确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。 4． 了解复合函数的概念。 会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。 掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。 二．考试要求： ⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等） ，掌 握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。 ⑵熟记基本导数公式（c,xm(m 为有理数)，sin x, cos x, e , a ,lnx, log a x 的导数） 。掌xx握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 ⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系， 了解可导函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件（导数要极值点两侧异号） ，会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最 小值。 三．教学过程： （Ⅰ）基础知识详析 导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导 数的学习，主要是以下几个方面: 1．导数的常规问题： （1）刻画函数（比初等方法精确细微） ； （2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线） ； （3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于 n 次多项 式的导数问题属于较难类型。 2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法 快捷简便。 3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力 的一个方向，应引起注意。 4．曲线的切线 在初中学过圆的切线，直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做 圆的切线，惟一的公共点叫做切点．圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的概念推广为 一段曲线的切线，即直线和曲线有惟一公共点时，直线叫做曲线过该点的切线，显然这种推第 24 页 共 68 页广是不妥当的．如图 3―1 中的曲线 C 是我们熟知的正弦曲线 y=sinx．直线 l1 与曲线 C 有惟 一公共点 M，但我们不能说直线 l1 与曲线 C 相切；而直线 l 2 尽管与曲线 C 有不止一个公共 点，我们还是说直线 l 2 是曲线 C 在点 N 处的切线．因此，对于一般的曲线，须重新寻求曲 线的切线的定义．所以课本利用割线的极限位置来定义了曲线的切线．5．瞬时速度 在高一物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先 指出： 运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度， 然后从实际测量速度出发， 结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明．物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述， 有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度． 6．导数的定义 导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是 以此为依据． 对导数的定义，我们应注意以下三点： (1)△ x 是自变量 x 在 x 0 处的增量(或改变量)． (2)导数定义中还包含了可导或可微的概念， 如果△ x→0 时， 在点 x 0 处可导或可微，才能得到 f(x)在点 x 0 处的导数． (3)如果函数 y=f(x)在点 x 0 处可导，那么函数 y=f(x)在点 x 0 处连续(由连续函数定义可 知)．反之不一定成立．例如函数 y=|x|在点 x=0 处连续，但不可导． 由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行： (1)求函数的增量 ? y ? f ( x 0 ? ? x ) ? f ( x 0 ) ；?y ?x ? f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?x?y ?x有极限， 那么函数 y=f(x)(2)求平均变化率；第 25 页 共 68 页(3)取极限，得导数 f ' ( x 0 ) ? lim 7．导数的几何意义?y ?x?x? 0。函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数，就是曲线 y=(x)在点 P ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线的斜率．由 此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步： (1)求出函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数， 即曲线 y=f(x)在点 P ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线的斜率； (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y ? y 0 ? f ' ( x 0 )( x ? x 0 )特别地，如果曲线 y=f(x)在点 P ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线平行于 y 轴，这时导数不存，根 据切线定义，可得切线方程为 x ? x 0 8．和（或差）的导数 对于函数 f ( x ) ? x ? x 的导数，如何求呢？我们不妨先利用导数的定义来求。3 2f ' ( x ) ? limf (x ? ?x) ? f (x) ?x2?x? 0? lim2(x ? ?x) ? (x ? ?x) ? (x ? x )3 2 3 2?x? 0?x3 2? lim3 x ? ?x ? 3 x(?x) ? (?x) ? 2 x ? ?x ? (?x) ?x2 2?x ? 0? lim ( 3 x ? 2 x ? 3 x ? ? x ? ( ? x ) ? ? x )?x ? 0 2? 3x ? 2x我们不难发现 ( x ? x )' ? 3 x ? 2 x ? ( x )' ? ( x )' ， 即两函数和的导数等于这两函数的3 2 2 3 2导数的和。 由此我们猜测在一般情况下结论成立。事实上教材中证明了我们的猜想，这就是两个 函数的和（或差）的求导法则。 9．积的导数 两个函数的积的求导法则的证明是本节的一个难点，证明过程中变形的关键是依据导 数定义的结构形式。 （具体过程见课本 P120） 说明： （1） ( uv )' ? u ' v ' ； （2）若 c 为常数，则(cu) ′=cu′。 10．商的导数 两个函数的商的求导法则，课本中未加证明，只要求记住并能运用就可以。现补充证 明如下： 设 y ? f (x) ?u(x) v(x)第 26 页 共 68 页?y ? ?u ( x? ? x ) v( x ? ?x)?u ( x) v( x)?u ( x ? ? x )v ( x ) ? u ( x )v ( x ? ? x ) v ( x ? ? x )v ( x )?u ( x ? ? x ) ? u ( x ) ?v ( x ) ? u ( x ) ?v ( x ? ? x ) ? v ( x ) ?v ( x ? ? x )v ( x )u(x ? ?x) ? u(x) v(x) ? u (x) v(x ? ?x) ? v(x) ?x?y ?x??xv ( x ? ? x )v ( x )因为 v(x)在点 x 处可导，所以它在点 x 处连续，于是△ x→0 时，v(x+△ x)→v(x)，从而lim ?y ?x ? u ' ( x )v ( x ) ? u ( x )v ' ( x )?x? 0?v ( x ) ?2即 y'? ?u ' v ? uv ' ?u? 。 ?' ? 2 v ?v?说明： （1） ?u' ?u? ； ?' ? v' ?v?（2） ?u ' v ? uv ' ?u? ?' ? 2 v ?v?学习了函数的和、差、积、商的求导法则后，由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、 减、乘、除运算得到的简单的函数，均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数 的定义去求。 11. 导数与函数的单调性的关系 ㈠ f ? ( x ) ? 0 与 f ( x ) 为增函数的关系。3 f ? ( x ) ? 0 能推出 f ( x ) 为增函数，但反之不一定。如函数 f ( x ) ? x 在 ( ?? , ?? ) 上单调递增，但 f ? ( x ) ? 0 ，∴ f ? ( x ) ? 0 是 f ( x ) 为增函数的充分不必要条件。 ㈡ f ? ( x ) ? 0 时， f ? ( x ) ? 0 与 f ( x ) 为增函数的关系。 若将 f ? ( x ) ? 0 的根作为分界点，因为规定 f ? ( x ) ? 0 ，即抠去了分界点，此时 f ( x ) 为 增函数，就一定有 f ? ( x ) ? 0 。∴当 f ? ( x ) ? 0 时， f ? ( x ) ? 0 是 f ( x ) 为增函数的充分必要 条件。 ㈢ f ? ( x ) ? 0 与 f ( x ) 为增函数的关系。f ( x ) 为增函数，一定可以推出 f ? ( x ) ? 0 ，但反之不一定，因为 f ? ( x ) ? 0 ，即为 f ? ( x ) ? 0 或 f ? ( x ) ? 0 。当函数在某个区间内恒有 f ? ( x ) ? 0 ，则 f ( x ) 为常数，函数不具有单调性。∴ f ? ( x ) ? 0 是 f ( x ) 为增函数的必要不充分条件。 函数的单调性是函数一条重要性质， 也是高中阶段研究的重点， 我们一定要把握好以上 三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用 开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的第 27 页 共 68 页讨论问题，要谨慎处理。 ㈣单调区间的求解过程，已知 y ? f ( x ) （1）分析 y ? f ( x ) 的定义域； （2）求导数 y ? ? f ? ( x )（3）解不等式 f ? ( x ) ? 0 ，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式 f ? ( x ) ? 0 ，解集在定义域内的部分为减区间 我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系， 才能准确无误地判断函数的 单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数 y ? f ( x ) 在某个区间内可导。 ㈤函数单调区间的合并 函数单调区间的合并主要依据是函数 f ( x ) 在 ( a , b ) 单调递增，在 ( b , c ) 单调递增，又 知函数在 f ( x ) ? b 处连续，因此 f ( x ) 在 ( a , c ) 单调递增。同理减区间的合并也是如此，即 相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为以个区间。y ? f ( x) x ? [a , b]（1） f ? ( x ) ? 0 恒成立∴ y ? f ( x) 为 (a , b) 上 ?f ( a ) ? f ( x ) ? f (b )∴ 对任意 x ? ( a , b ) 不等式 （2） f ? ( x ) ? 0 恒成立恒成立∴ y ? f ( x) 在 (a , b) 上 ? 恒成立∴ 对任意 x ? ( a , b ) 不等式 f ( a ) ? f ( x ) ? f ( b )㈥注意事项 1．导数概念的理解． 2．利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值． 复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。 课本中先通过实例， 引出复合函数 的求导法则，接下来对法则进行了证明。 对于复合函数，以前我们只是见过，没有专门定义和介绍过它，课本中以描述性的方式 对复合函数加以直观定义， 使我们对复合函数的的概念有一个初步的认识， 再结合以后的例 题、习题就可以逐步了解复合函数的概念。 3．要能正确求导，必须做到以下两点： （1）熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数 的求导法则。 （2）对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变 量求导。 4．求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行： （1）适当选定中间变量，正确分解复合关系； （2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导） ；第 28 页 共 68 页（3）把中间变量代回原自变量（一般是 x）的函数。 也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系 y=f(μ)，μ=f(x)；然后 将已知函数对中间变量求导 ( y ' ? ) ，中间变量对自变量求导 ( ? ' x ) ；最后求 y ' ? ? ? ' x ，并将 中间变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解――求导――回代。熟练以后，可以 省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。 （Ⅱ） 范例分析 例 1． y ? f ( x ) ? ??x2 ? ax ? b ?x2 ? ax ? bf (1) ? 1x ?1 x ?1 x ?1 x ?1在 x ? 1 处可导，则 a ?b ?思路： y ? f ( x ) ? ?lim ? f ( x ) ? a ? b在 x ? 1 处可导，必连续 lim f ( x ) ? 1x?1?x?1∴ a?b ?1 ∴ a ? 2b ? ?1?x? 0lim?y??x? 2?x? 0lim ??y ?x? a例 2．已知 f(x)在 x=a 处可导，且 f′(a)=b，求下列极限： （1） limf (a ? 3h ) ? f (a ? h ) 2h?h? 0；（2） limf (a ? h ) ? f (a )2?h? 0h分析： 在导数定义中， 增量△ x 的形式是多种多样， 但不论△ x 选择哪种形式， y △ 也必须选择相对应的形式。利用函数 f(x)在 x ? a 处可导的条件，可以将已给定的极限式恒 等变形转化为导数定义的结构形式。 解： （1） limf (a ? 3h ) ? f (a ? h ) 2hh? 0? limf (a ? 3h ) ? f (a ) ? f (a ) ? f (a ? h ) 2hh? 0? lim ? ? 3 2 3 2f (a ? 3h ) ? f (a ) 2hh? 0? lim ?f (a ) ? f (a ? h) 2h lim f (a ? h) ? f (a ) ?hh? 0h? 0limf (a ? 3h ) ? f (a ) 3h 1 2 f ' (a ) ? 2b1 2h? 0f ' (a ) ?（2） limf (a ? h ) ? f (a )2h? 0h2? f (a ? h 2 ) ? f (a ) ? ? lim ? h? 2 h? 0 h ? ?? limf (a ? h ) ? f (a ) h2h? 0? lim h ? f ' ( a ) ? 0 ? 0h? 0说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价 变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。第 29 页 共 68 页例 3．观察 ( x ) ? ? nxnn ?1， (sin x ) ? ? cos x ， (cos x ) ? ? ? sin x ，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。 解：若 f ( x ) 为偶函数f ? ( ? x ) ? limf (? x) ? f ( x)令 lim? limf (x ? ?x) ? f (x)f (? x ? ?x) ? f (? x) ? ?x f (x ? ?x) ? f (x)???x f ( x ? ?x) ? f (x)?x? 0? f ?( x )?x? 0?x? 0? ?x? lim ??x? 0? ? f ?( x )∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数 另证： f ? ? [ f ( ? x ) ] ? ? f ?( ? x ) ? ( ? x ) ? ? ? f ?( x ) ∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数2x x ?12例 4． （1）求曲线 y ?在点（1，1）处的切线方程；t ?1 t2（2）运动曲线方程为 S ?? 2 t ，求 t=3 时的速度。2分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数 y=f(x)在 x 0 处的导数就 是曲线 y=f(x)在点 p ( x 0 , y 0 ) 处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数 S(t)对时间的导数。 解： （1） y ' ?2?2 4 2x x ?122 ( x ? 1) ? 2 x ? 2 x2( x ? 1)22?2 ? 2x22 2( x ? 1)，y ' | x ?1 ?? 0 ，即曲线在点（1，1）处的切线斜率 k=0因此曲线 y ?在（1，1）处的切线方程为 y=1（2） S ' ? ?? t ?1? 2 ? ' ? ( 2 t )' 2 ? t ?2?t? 2 t ( t ? 1) t4? 4t ? ?26 271 t2?2 t3? 4tS '|t ?3 ? ?1 9?2 27? 12 ? 11。例 5． 求下列函数单调区间 （1） y ? f ( x ) ? x ?31 2x ? 2x ? 52（2） y ?x ?12x第 30 页 共 68 页（3） y ?k2? x(k ? 0)x（4） y ? 2 x ? ln ?2解： （1） y ? ? 3 x ? x ? 2 ? ( 3 x ? 2 )( x ? 1) x ? ( ?? , ?22 3) ? (1 , ? ? ) 时 y ? ? 0x ? (?2 3, 1)y? ? 0∴ ( ?? , ?x22 3) ， (1 , ? ? ) ?(?2 3, 1) ?（2） y ? ??12∴ (?? , 0 ) ， ( 0 , ? ? ) ?x（3） y ? 1 ?k x2 2∴ x ? ( ?? , ? k ) ? ( k , ? ? ) ∴ ( ?? , ? k ) ， (k , ? ? ) ?1 x 4x ?12y? ? 0x ? (? k , 0) ? (0 , k )y? ? 0(? k , 0 ) ， (0 , k ) ?（4） y ? ? 4 x ?x ? (0 , 1 2?定义域为 ( 0 , ? ? )x?( 1 2 , ? ?)y? ? 0x)y? ? 0??例 6．求证下列不等式 （1） x ?x2? ln( 1 ? x ) ? x ?x222 (1 ? x )x ? (0 , ? ? )（2） sin x ?2x?x ? (0 ,?2) x ? (0 ,x2（3） x ? sin x ? tan x ? x?2)1 1? x x ?12证： （1） f ( x ) ? ln( 1 ? x ) ? ( x ?)f (0) ? 0f ?( x ) ??1? x ?2x ?1? 0∴ y ? f ( x ) 为 (0 , ? ? ) 上 ?x2∴ x ? (0 , ? ? )x2f ( x ) ? 0 恒成立∴ ln( 1 ? x ) ? x ?g (x) ? x ?22 (1 ? x )? l n 1 ? x) (g (0) ? 0g ?( x ) ? 1 ?4x ? 4x ? 2x224 (1 ? x )2?1 1? x?2x2 24 (1 ? x )? 0第 31 页 共 68 页∴ g ( x ) 在 (0 , ? ? ) 上 ?sin x x∴ x ? (0 , ? ? )2x?x22 (1 ? x )? ln( 1 ? x ) ? 0 恒成立（2）原式 ?x ? (0 ,??令 f ( x ) ? sin x / xx ? t a nx ? 0∴ f ?( x ) ?f() cos x ? 0 2 cos x ( x ? tan x )x2?∴ x ? (0 ,2x?2)f ?( x ) ? 0(0 ,?2) ??2) ?2?∴ sin x ??f (0) ? 02（3）令 f ( x ) ? tan x ? 2 x ? sin xf ? ( x ) ? sec2x ? 2 ? cos x ?(1 ? cos x )(cos x ? sin cos2x)xx ? (0 ,?2)f ?( x ) ? 0∴ (0 ,?2)?∴ tan x ? x ? x ? sin x 例 7．利用导数求和： （1） （2） 。；分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度， 由求导公式 ( x )' ? nxn n ?1，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。 解： （1）当 x=1 时，； 当 x≠1 时，∵ 两边都是关于 x 的函数，求导得，即（2）∵，第 32 页 共 68 页两边都是关于 x 的函数，求导得 令 x=1 得 ， 即 。。例 8．求满足条件的 a （1）使 y ? sin x ? ax 为 R 上增函数 （2）使 y ? x ? ax ? a 为 R 上……3（3）使 f ( x ) ? ax ? x ? x ? 5 为 R 上 ?3 2解： （1） y ? ? cos x ? aa ? 1时∴ a ?1 ∴ a ? [1 , ? ? )a ? 0时y ? s i nx ? x 也成立2（2） y ? ? 3 x ? a （3） a ? [1 3 , ? ?)a ? 0y ? x 也成立3∴ a ? [0 , ? ? )x ?1 x x 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ln n ? 1 ? ? ? ? n ? 2 求证 （2） n ? N 2 3 n 2 n ?1 1 1 x ? x ? 0 ∴ t ?1 （1）证：令 1 ? ? t x t ?1 1 1 原不等式 ? 1 ? ? ln t ? t ? 1 令 f ( t ) ? t ? 1 ? ln t ∴ f ?( t ) ? 1 ? t tt ? (1 , ? ? ) f ?( t ) ? 0例 9． （1） x ? ( 0 , ? ? ) 求证1? lnx ?1?1∴ t ? (1 , ? ? )1 tf (t ) ?∴ f ( t ) ? f (1) ? 01 t ? 1 t2∴ t ? 1 ? ln tt ? (1 , ? ? )令 g ( t ) ? ln t ? 1 ?g ?( t ) ? 0∴ g ?( t ) ?g (t ) ??t ?1 t2∴ t ? (1 , ? ? )1 t∴ g ( t ) ? g (1) ? 0∴ ln t ? 1 ?∴1 x ?1? lnx ?1 x?1 x（2）令 x ? 1 , 2 ? n ? 1 上式也成立 将各式相加1 2 ? 1 3 ?? ? 1 n ? ln 2 1 ? ln 3 2 ? ? ? lg n n ?1 ?1? 1 2 ?? ? 1 n ?1第 33 页 共 68 页即1 2?1 3?? ?1 n? ln n ? 1 ?1 2?? ?1 n ?1例 10．设 a ? 0 ，求函数 f ( x ) ?x ? ln( x ? a )( x ? ( 0 , ?? ) 的单调区间.分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运 算能力. 解： f ? ( x ) ?2 1 x ? 1 x?a ( x ? 0) .当 a ? 0, x ? 0 时2 2 f ?( x ) ? 0 ? x ? ( 2 a ? 4 ) x ? a ? 0 .2 2 f ?( x ) ? 0 ? x ? ( 2 a ? 4 ) x ? a ? 0（i）当 a ? 1 时，对所有 x ? 0 ，有 x ? ( 2 a ? 4 ) ? a ? 0 .2 2即 f ? ( x ) ? 0 ，此时 f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 内单调递增. （ii）当 a ? 1 时，对 x ? 1 ，有 x ? ( 2 a ? 4 ) x ? a ? 0 ，2 2即 f ? ( x ) ? 0 ，此时 f ( x ) 在（0，1）内单调递增，又知函数 f ( x ) 在 x=1 处连续，因此， 函数 f ( x ) 在（0，+ ? ）内单调递增2 2 （iii）当 0 ? a ? 1 时，令 f ? ( x ) ? 0 ，即 x ? ( 2 a ? 4 ) x ? a ? 0 .解得 x ? 2 ? a ? 2 1 ? a , 或 x ? 2 ? a ? 2 1 ? a . 因此，函数 f ( x ) 在区间 ( 0 , 2 ? a ? 2 内也单调递增.2 2 令 f ?( x ) ? 0 , 即 x ? ( 2 a ? 4 ) x ? a ? 0 ，1 ? a ) 内单调递增，在区间 ( 2 ? a ? 2 1 ? a , ?? )解得 2 ? a ? 2 1 ? a ? x ? 2 ? a ? 2 1 ? a .（ 因此，函数 f ( x ) 在区间 2 ? a - 2 1 ? a , 2 ? a ? 2 1 ? a ) 内单调递减.说明：本题用传统作差比较法无法划分函数的单调区间，只有用导数才行，这是教材新 增的内容。其理论依据如下（人教版试验本第三册 P148） ： 设 函 数 y ? f ( x ) 在 某 个 区 间 内 可 导 ， 如 果 f ?( x ) ? 0 ， 则 f ( x ) 为 增 函 数 ； 如 果f ? ( x ) ? 0 ，则 f ( x ) 为减函数。如果 f ? ( x ) ? 0 ，则 f ( x ) 为常数。例 11．已知抛物线 y ? x ? 4 与直线 y=x+2 相交于 A、B 两点，过 A、B 两点的切线2第 34 页 共 68 页分别为 l1 和 l 2 。 （1）求 A、B 两点的坐标； （2）求直线 l1 与 l 2 的夹角。 分析：理解导数的几何意义是解决本例的关键。 解 （1）由方程组? y ? x 2 ? 4, ? ? y ? x ? 2,解得 A(-2，0)，B(3，5) （2）由 y′=2x，则 y ' | x ? ? 2 ? ? 4 ， y ' | x ? 3 ? 6 。设两直线的夹角为 θ，根据两直线的夹 角公式，tan ? ? ?4?6 1 ? (?4) ? 6 ? 10 23所以 ? ? arctan10 23说明：本例中直线与抛物线的交点处的切线，就是该点处抛物线的切线。注意两条直线 的夹角公式有绝对值符号。例 12．设 a ? 0 ， f ( x ) ? （I）求 a 的值；ex?a ex是 R 上的偶函数。a（II）证明 f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上是增函数。e?x解： （I）依题意，对一切 x ? R 有 f ( ? x ) ? f ( x ) ，即 ∴ (a ?1 a )( e ?x? a ea?x?1 aex? ae ，x1 ex) ? 0 对一切 x ? R 成立，2由此得到 a ?1 a? 0 ，a?1，又∵ a ? 0 ，∴ a ? 1 。 （II）证明：由 f ( x ) ? e ? ex ?x x ?x ?x 2x ，得 f ? ( x ) ? e ? e ? e ( e ? 1) ，当 x ? ( 0 , ?? ) 时，有 e?x(e2x? 1) ? 0 ，此时 f ? ( x ) ? 0 。∴ f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上是增函数。 例 13．设函数 f ( x ) ?x ? 1 ? ax ，其中 a ? 0 。2（I）解不等式 f ( x ) ? 1 ；第 35 页 共 68 页（II）证明：当 a ? 1 时，函数 f ( x ) 在区间 [ 0 , ?? ) 上是单调函数。 解 1： （I）分类讨论解无理不等式（略） 。 （II）作差比较（略） 。 解 2： f ? ( x ) ?x x ?12?a（i）当 a ? 1 时，有x x ?12? 1 ? a ，此时 f ? ( x ) ? 0 ，函数 f ( x ) 在区间 ( ?? , ?? ) 上是单调递减函数。但 f ( 0 ) ? 1 ，因此，当且仅当 x ? 0 时， f ( x ) ? 1 。 （ii） 0 ? a ? 1 时， 当 解不等式 f ? ( x ) ? 0 ， x ? 得 是单调递减函数。 解方程 f ( x ) ? 1 ，得 x ? 0 或 x ?2a 1? a2a 1? a2， f ( x ) 在区间 ( ?? ,a 1? a2]上，∵0 ?a 1? a2?2a 1? a2，∴当且仅当 0 ? x ?2a 1? a2时， f ( x ) ? 1 ，综上， （I）当 0 ? a ? 1 时，所给不等式的解集为： ? x | 0 ? x ???2a 1? a2? ?； ?当 a ? 1 时，所给不等式的解集为： ?x | x ? 0 ? 。 （II）当且仅当 a ? 1 时，函数 f ( x ) 在区间 [ 0 , ?? ) 上时单调函数。例 14 ．已知 a ? 0 ，函数 f ( x) ?1 ? ax x, x ? ( 0 , ?? ), 设 0 ? x 1 ?2 a，记曲线y ? f ( x ) 在点 M ( x 1 , f ( x 1 )) 处的切线为 l 。（Ⅰ）求 l 的方程； （Ⅱ）设 l 与 x 轴的交点为 ( x 2 , 0 ) ，证明：① 0 ? x 2 ? 解： （1） f ( x ) 的导数 f ? ( x ) ? ?1 x21 a②若 x 1 ?1 a，则 x 1 ? x 2 ?1 a，由此得切线 l 的方程第 36 页 共 68 页y?1 ? ax 1 x1? ?1 x12( x ? x1 ) ，（2）依题得，切线方程中令 y ? 0 ，得x 2 ? x 1 (1 ? ax 1 ) ? x 1 ? x 1 ( 2 ? ax 1 ) ，其中 0 ? x 1 ?2 a，1 a ) ?2（）由 0 ? x 1 ? ∴0 ? x2 ?1 a2 a， x 2 ? x 1 ( 2 ? ax 1 ) ，有 x 2 ? 0 ，及 x 2 ? ? a ( x 1 ?1 a1 a，，当且仅当 x 1 ?1 a 1时， x 2 ?1 a。1 a（）当 x 1 ? 所以 x 1 ? x 2 ?时， ax 1 ? 1 ，因此， x 2 ? x 1 ( 2 ? ax 1 ) ? x 1 ，且由（） x 2 ? ， 。，a例 15．已知 a ? 0 , n 为正整数.（Ⅰ）设 y ? ( x ? a ) n , 证明 y ? ? n ( x ? a ) n ?1 ； （Ⅱ）设? ? n n f n ( x ) ? x ? ( x ? a ) , 对任意 n ? a , 证明 f n ? 1 ( n ? 1) ? ( n ? 1) f n ( n ).分析：本题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能 力。 证明： （Ⅰ）因为 ( x ? a ) n ??Ck ?0nk n(? a )n?kx ，k所以 y ? ?? kCk ?0nk n(? a )n?kxk ?1??nk ?0nC n ?1 ( ? a )k ?1n?kxk ?1? n(x ? a)n ?1.（Ⅱ）对函数 f n ( x ) ? x ? ( x ? a ) 求导数:n n? f n ( x ) ? nx ?n ?1? n(x ? a)n ?1n ?1,n ?1所以 f n ( n ) ? n [ n? (n ? a )].? 当 x ? a ? 0时 , f n ( x ) ? 0 . ? 当 x ? a时 , f n ( x) ? xn? ( x ? a ) 是关于 x 的增函数 .n n因此 , 当 n ? a 时 , ( n ? 1) ? ( n ? 1 ? a )n? nn? (n ? a )n∴ f n ? 1 ( n ? 1) ? ( n ? 1)[( n ? 1) n ? ( n ? 1 ? a ) n ] ? ( n ? 1)( n n ? ( n ? a ) n )? ( n ? 1)( n ? n ( n ? a )n n ?1?? ) ? ( n ? 1) f n ( n ).即对任意 n ? a , f n ? 1 ( n ? 1) ? ( n ? 1) f n ( n ).??第 37 页 共 68 页（Ⅲ） 、强化训练 1．设函数 f(x)在 x 0 处可导，则 limf (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?x?x? 0等于（）A． f ' ( x 0 )B． f ' ( ? x 0 )C． ? f ' ( ? x 0 )D． ? f ( ? x 0 )2．若 limf (x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) 3? x?x? 0? 1 ，则 f ' ( x 0 ) 等于（）A．2 33B．3 2C．3D．2 （ ）3．曲线 y ? x ? 3 x 上切线平行于 x 轴的点的坐标是A． （-1，2） B． （1，-2） C． （1，2） D． （-1，2）或（1，-2） 4． 若函数 f(x)的导数为 f′(x)=-sinx， 则函数图像在点 （4， 4） 处的切线的倾斜角为 f （ ） （ A．90° B．0° C．锐角 D．钝角 5．函数 y ? 2 x ? 3 x ? 12 x ? 5 在[0，3]上的最大值、最小值分别是 （3 2））A．5，－15B．5，－4C．－4，－15D．5，－16?s ?t?t ? 06．一直线运动的物体，从时间 t 到 t+△ t 时，物体的位移为△ s，那么 lim A．从时间 t 到 t+△ t 时，物体的平均速度 B．时间 t 时该物体的瞬时速度 C．当时间为△ t 时该物体的速度 D．从时间 t 到 t+△ t 时位移的平均变化率 7．关于函数 f ( x ) ? 2 x ? 6 x ? 7 ，下列说法不正确的是3 2为（）（）A．在区间（ ? ? ，0）内， f ( x ) 为增函数 B．在区间（0，2）内， f ( x ) 为减函数 C．在区间（2， ? ? ）内， f ( x ) 为增函数 D．在区间（ ? ? ，0） ? ( 2 , ?? ) 内， f ( x ) 为增函数 8．对任意 x，有 f ' ( x ) ? 4 x ，f(1)=-1，则此函数为3（4） D． f ( x ) ? x ? 24A． f ( x ) ? x4B． f ( x ) ? x ? 24C． f ( x ) ? x ? 19．函数 y=2x3-3x2-12x+5 在[0,3]上的最大值与最小值分别是 A.5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -16 10．设 f(x)在 x 0 处可导，下列式子中与 f ' ( x 0 ) 相等的是（）（）第 38 页 共 68 页（1） limf (x0 ) ? f (x0 ? 2?x) 2?x?x? 0；（2） limf (x0 ? ?x) ? f (x0 ? ?x) ?x?x? 0；（3） limf (x0 ? 2?x) ? f (x0 ? ?x) ?x?x? 0（4） limf (x0 ? ?x) ? f (x0 ? 2?x) ?x?x? 0。A． （2） （1） B． （3） （1） C． （3） （2） D． （2） （4） （1） （3） 11．f( x )是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令 g（ x ）=af（ x ）+b，则下 列关于函数 g（ x ）的叙述正确的是（ ）A．若 a&0,则函数 g（ x ）的图象关于原点对称. B．若 a=－1，－2&b&0,则方程 g（ x ）=0 有大于 2 的实根. C．若 a≠0,b=2,则方程 g（ x ）=0 有两个实根. D．若 a≥1,b&2,则方程 g（ x ）=0 有三个实根. 12．若函数 f(x)在点 x 0 处的导数存在，则它所对应的曲线在点 ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线方程是 _____________。 13．设 f ( x ) ? x ?1 x，则它与 x 轴交点处的切线的方程为______________。f ( x 0 ? h ) ? f ( x 0 ? 3h ) h3 214．设 f ' ( x 0 ) ? ? 3 ，则 limh? 0? _____________。15．垂直于直线 2x-6y+1=0，且与曲线 y ? x ? 3 x ? 5 相切的直线的方程是________． 16．已知曲线 y ? x ?1 x，则 y ' | x ?1 ? _____________。17．y=x2ex 的单调递增区间是 18．曲线 y ?33 x ? 1 在点 (1, 3 4 ) 处的切线方程为____________。219．P 是抛物线 y ? x 上的点，若过点 P 的切线方程与直线 y ? ?21 2x ? 1 垂直，则过 P 点处的切线方程是____________。2 20．在抛物线 y ? x 上依次取两点，它们的横坐标分别为 x 1 ? 1 ， x 2 ? 3 ，若抛物线上过点 P 的切线与过这两点的割线平行，则 P 点的坐标为_____________。 21．曲线 f ( x ) ? x 在点 A 处的切线的斜率为 3，求该曲线在 A 点处的切线方程。322．在抛物线 y ? x 上求一点 P，使过点 P 的切线和直线 3x-y+1=0 的夹角为2?4。23．判断函数 f ( x ) ? ?? x( x ? 0) ?? x( x ? 0)在 x=0 处是否可导。第 39 页 共 68 页24．求经过点（2，0）且与曲线 y ? 25．求曲线 y=xcosx 在 x ??21 x相切的直线方程。处的切线方程。26．已知函数 f(x)=x2+ax+b，g(x)=x2+cx+d. 若 f(2x+1)=4g(x)，且 f'x=g'(x)，f(5)=30，求 g(4).27． 已知曲线 C 1 : y ? x 与 C 2 : y ? ? ( x ? 2 ) 。 直线 l 与 C 1 、C 2 都相切， 求直线 l 的方程。2 228．设 f(x)=(x-1)(x-2)…(x-100)，求 f′(1)。 29．求曲线 y ?1 (3 x ? x )2 2在点 (1,1 16) 处的切线方程。30．求证方程 x ? lg x ? 1 在区间 ( 2 , 3 ) 内有且仅有一个实根 31． a 、 b 、 x 、 y 均为正数 且 a ? b ? 1 n ? N 求证： axnn ?1? byn? ( ax ? by )n32． （1）求函数 y ?x 在 x=1 处的导数；2（2）求函数 y ? x ? ax ? b （a、b 为常数）的导数。33．证明：如果函数 y=f(x)在点 x 0 处可导，那么函数 y=f(x)在点 x 0 处连续。 34． 已知 a ? 0 , 函数 f ( x ) ? x ? a , x ? [ 0 , ?? ) ，设 x 1 ? 0 ，记曲线 y ? f ( x ) 在点3M ( x 1 , f ( x 1 )) 处的切线为 l 。（Ⅰ）求 l 的方程；1 3 1 3 1（Ⅱ）设 l 与 x 轴的交点为 ( x 2 , 0 ) ，证明：① x 2 ? a ；②若 x 1 ? a ，则 a 3 ? x 2 ? x 1 。 （Ⅳ） 、参考答案 1－5 CBDCA； 6－10 BDBAB； 12． y ? f ( x 0 ) ? f ' ( x 0 )( x ? x 0 ) 14．-6 17．(-∞,-2)与(0,+ ∞) 19．2x-y-1=011 B 13．y=2(x-1)或 y=2(x+1) 16．1 215．3x+y+6=0 18． x ?32y ?1? 020． （2，4）第 40 页 共 68 页21．由导数定义求得 f ' ( x ) ? 3 x ，2令 3 x 2 ? 3 ，则 x=± 1。 当 x=1 时，切点为（1，1） ，所以该曲线在（1，1）处的切线方程为 y-1=3(x-1)即 3x-y-2=0； 当 x=-1 时，则切点坐标为（-1，-1） ，所以该曲线在（-1，-1）处的切线方程为 y+1=3(x+1)即 3x-y+2=0。22．由导数定义得 f′(x)=2x，设曲线上 P 点的坐标为 ( x 0 , y 0 ) ，则该点处切线的斜率为k p ? 2 x 0 ，根据夹角公式有2 x0 ? 3 1 ? 2 x0 ? 31 4 1 16 ；?1解得 x 0 ? ? 1 或 x 0 ?1 4 y0 ?，由 x 0 ? ? 1 ，得 y 0 ? 1 ；1 1由 x0 ?，得则 P（-1，1）或 P ( ,)。4 16?x ? 0?23． lim?y??x? 0?x lim? lim ?y?f (0 ? ? x ) ? f (0 )??x? 0?x?x? 0?? lim?x ? 0?x?x? 0?? 1， ? ?1 ，?x? 0?x?? limf (0 ? ? x ) ? f (0) ?x ?y?? lim? ?x ? 0 ?x∵ lim ∴ lim?y ?x?x? 0? lim?x? 0?x，?y ?x?x? 0不存在。∴函数 f(x)在 x=0 处不可导。24．可以验证点（2，0）不在曲线上，故设切点为 P ( x 0 , y 0 ) 。1 ? 1 x0 ? lim ? ?x ?x ? (x0 ? ?x) ? x0?x? 0由 y ' | x ? x ? lim0x0 ? ?x ?x?1?x? 0? lim?x? 0x0 (x0 ? ?x)? ?1 x02，得所求直线方程为y ? y0 ? ? 1 x02(x ? x0 ) 。由点（2，0）在直线上，得 x 0 y 0 ? 2 ? x 0 ，2第 41 页 共 68 页再由 P ( x 0 , y 0 ) 在曲线上，得 x 0 y 0 ? 1 ， 联立可解得 x 0 ? 1 ， y 0 ? 1 。所求直线方程为 x+y-2=0。25．Y’=x'cosx+x?(cosx)'=cosx-xsinxy '|?2x?? ??2，切点为 ???? ,0 ? ， ? 2 ?∴切线方程为： y ? 0 ? ??2(x ??2)即 2? x ? 4 y ? ?2? 0。26 解：由已知(2x+1)2+a(2x+1)+b=4(x2+cx+d)∴ =2x+a2=2x+c∴a=c ③ ∴5a+b=5 ④又知 5 +5a+b=30 由①③知 a=c=2. 依次代入④、②知 b=－5，d=－g(4)=42+2× 4－=232 227．解：设 l 与 C 1 相切于点 P ( x 1 , x 1 ) ，与 C 2 相切于 Q ( x 2 , ? ( x 2 ? 2 ) ) 。对 C 1 : y ' ? 2 x ， 则与 C 1 相切于点 P 的切线方程为 y ? x 1 ? 2 x 1 ( x ? x 1 ) ，即 y ? 2 x 1 x ? x 1 。22①对 C 2 : y ' ? ? 2 ( x ? 2 ) ，则与 C 2 相切于点 Q 的切线方程为y ? ( x 2 ? 2)2? ? 2 ( x 2 ? 2 )( x ? x 2 ) ，即 y ? ? 2 ( x 2 ? 2 ) x ? x 2 ? 4 。2②∵ 两切线重合，∴ ?? x1 ? 0 , ? x 2 ? 2;? 2 x1 ? ? 2 ( x 2 ? 2 ) ? ? x1 ? x 2 ? 42 2，解得 ?或?? x1 ? 2 ?x2 ? 0，∴直线方程为 y=0 或 y=4x-4。28．解：∴第 42 页 共 68 页令 x=1 得29．解： y ? ( 3 x ? x )2?2，则 y ' ? ? 2 ?53 ? 2x (3 x ? x )2 332 1 5 ? ? ( x ? 1) ∴切线方程为 y ? 16 32 4y ' | x ?1 ? ? 2 ?53? ?。 即 5x+32y-7=0。x ? ( 2 , 3) y? ? 030 解： y ? f ( x ) ? x lg x ? 1y ? f ( x ) 在 ( 2 , 3) ?y ? ? lg x ? lg 10 ? lg 10 xf ( 2 ) ? lg4 10? 0f ( 3 ) ? lg 2 . 7 ? 0∴ y ? f ( x ) 在 ( 2 , 3 ) 内与 x 轴有且仅有一个交点 ∴ 方程 x ? lg x ? 1 在 ( 2 , 3 ) 内仅有一解31．证：由对称性不妨设 x ? y （1）若 x ? y 显然成立 （2）若 x ? y ∴ f ? ( x ) ? nax 设 f ( x ) ? axn ?1 n? byn? ( ax ? by )n ?1n? nbyn ?1n ?1? n ( ax ? by ) ? ( ax ? by )?a? na [( a ? b )xn ?1n ?1]? na [( ax ? bx )n ?1? ( ax ? by )n ?1]∵ x? y∴ f ?( x ) ? 0 ∴ ax∴ x ? ( y , ? ? ) 时 f ( x) ?n∴ f ( x) ? f ( y) ? 0? byn? ( ax ? by )n32．分析：根据导数的定义求函数的导数，是求导数的基本方法。 解（1） ? y ?1 ? ?x ? 1?y ?x?1 ? ?x ? 1 ?x?1 1 ? ?x ? 1，第 43 页 共 68 页?x? 0lim?y ?x? lim1 1 ? ?x ? 12?x? 0?1 2 ，2∴ y ' | x ?1 ?1 2。（2） ? y ? [( x ? ? x ) ? a ( x ? ? x ) ? b ] ? ( x ? ax ? b )? 2 x ? ?x ? (?x) ? a ? ?x ，2?y ?xlim?(2 x ? a )?x ? (?x) ?x2? (2 x ? a ) ? ?x 。?y ?x?x? 0? lim ? ?( 2 x ? a ) ? ? x ? ? 2 x ? a?x ? 0∴y′=2x+a 说明 应熟练掌握依据导数的定义求函数的导数的三个步骤。33．分析：从已知和要证明的问题中去寻找转化的方法和策略，要证明 f(x)在点 x 0 处连续， 必须证明 lim f ( x ) ? f ( x 0 ) ，由于函数 f(x)在点 x 0 处可导，因此根据函数在点 x 0 处可x ? x0导的定义，逐步实现这个转化。 已知： limf (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?x ? f '(x0 )?x? 0求证： lim f ( x ) ? f ( x 0 )x ? x0证明：考虑 lim f ( x ) ，令 x ? x 0 ? ? x ，则 x ? x 0 ，等价于△ x→0，于是x ? x0? lim?x? 0? f ( x1? ? x ) ? f ( x 0 ) ? f ( x 0 )?? f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ? ? lim ? ? ?x ? f ( x0 )? ?x? 0 ?x ? ? ? f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ? ? f ( x 0 ) ? lim ? ? ?x? ?x? 0 ?x ? ? ? f ( x 0 ) ? lim f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?x?x? 0? lim ? x?x? 0? f '(x0 ) ? 0 ? f (x0 ) ? f (x0 )∴函数 f(x)在点 x 0 处连续。 说明： 函数 f(x)在点 x 0 处连续、 有极限以及导数存在这三者之间的关系是： 导数存在 ? 连续 ? 有极限。反之则不一定成立，例如 y=|x|在点 x=0 处有极限且连续，但导数不存在。2 34．解： （1） f ( x ) 的导数 f ?( x ) ? 3 x ，由此得切线 l 的方程y ? ( x1 ? a ) ? 3 x1 ( x ? x1 ) ，3 2第 44 页 共 68 页（2）依题意，在切线方程中令 y ? 0 ，得 x 2 ? x 1 ?1 1 2x1 ? a33 x11 32?2 x1 ? a33 x12，（） x 2 ? a1 33?1 3 x1(2 x ? a ? 3 x a ) ?3 1 2 1 31 3 x121 2( x1 ? a ) ( 2 x1 ? a 3 ) ? 0 ，1∴ x 2 ? a ，当且仅当 x 1 ? a 3 时取等成立。13 （）若 x 1 ? a 3 ，则 x 1 ? a ? 0 ， x 2 ? x 1 ?x1 ? a313 x12? 0 ，且由（） x 2 ? a 3 ，1所以 a 3 ? x 2 ? x 1 。谈导数应用第 45 页 共 68 页「内容摘要」 ：导数进入高中数学，为中学数学问题的解决注入了新的活力， 为数学解题提供了有力的工具，突出表现在解决函数、几何等问题时，不但避开 了初等函数变形的难点，而且使解法程序化。变“巧法”为“通法” 。事实上， 导数在中学数学各类问题中都有着广泛的应用。 「内容摘要」 ：导数 函数 几何 不等式 一． 利用导数求曲线在某一点处的切线方程。 例 1．求曲线 y ? x 3 ? 3 x 2 ? 6 x ? 10 在点 ( ? 1, ? 14 ) 处的切线方程。 解： ∵ y ' ? 3 x 2 ? 6 x ? 6 ∴ k ? y x ? ?1 ? 3 ,∴ 所求切线方程为 y ? ( ? 14 ) ? 3? x ? ( ? 1) ? , 即 3 x ? y ? 11 ? 0 。 注意 ：利用导数求曲线在某点的切线方程，一般是该曲线方程可写成函数形式 且该函数可导，从而利用导数几何意义求解。利用导数研究函数的性态。 例 2． （北京卷）已知函数 f ( x ) ? ? x 3 ? 3 x 2 ? 9 x ? a 。 （Ⅰ）求 f ( x ) 的单调递减区第 46 页 共 68 页间； （Ⅱ）若 f ( x ) 在区间 ?? 2 , 2 ? 上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值。 解（Ⅰ） f ' ( x ) ＝ ? 3 x 2 ? 6 x ? 9 ，令 f ' ( x ) ＜0，解得 x ＜ ? 1 或 x ＞ 3 ， 所以函数 f ( x ) 得单调递减区间为 ( ?? , ? 1) , ( 3 , ?? ) 。 （Ⅱ）因为 f ( ? 2 ) = 8 ? 12 ? 18 ? a ? 2 ? a , f ( 2 ) ? ? 8 ? 12 ? 18 ? a ? 22 ? a , 所以 f ( 2 ) ＞ f ( ? 2 ) ，因为在 ( ? 1,3 ) 上 f ' ( x ) ＞0，所以 f ( x ) 在 ?? 1, 2 ? 上单调 递增， 又由于 f ( x ) 在 ?? 2 , ? 1? 上单调递减， 因此 f ( 2 ) 和 f ( ? 1) 分别是 f ( x ) 在区间 ?? 2 , 2 ? 上的最大值和最小值，于是有 22 ? a ? 20 , 解得 a ? ? 2 。 故 f ( x ) ? ? x 3 ? 3 x 2 ? 9 x ? 2 ，因此 f ( ? 1) ? 1 ? 3 ? 9 ? 2 ? ? 7 ， 即函数 f ( x ) 在 ?? 2 , 2 ? 上的最小值为 ? 7 。 例 3．已知 a ? R ,讨论函数 f ( x ) ? e x ( x 2 ? ax ? a ? 1) 的极值点的个数。 解： f ' ( x ) ? e x ( x 2 ? ax ? a ? 1) ? e x ( 2 x ? a ) ? e x ?x 2 ? ( a ? 2 ) x ? 2 a ? 1? ， 令 f ' ( x ) ? 0 ，得 x 2 ? ( a ? 2 ) x ? ( 2 a ? 1) ? 0 (1)当 ? ? ( a ? 2 ) 2 ? 4 ( 2 a ? 1) ? a 2 ? 4 a ? a ( a ? 4 ) ? 0 。 即 a ? 0 或 a ? 4 时，方程 x 2 ? ( a ? 2 ) x ? ( 2 a ? 1) ? 0 有两个不同得实根 x 1 , x 2 ，不妨设 x 1 ? x 2 ， 于是 f ' ( x ) ? e x ( x ? x 1 )( x ? x 2 ) 从而有下表： 即此时 f ( x ) 有两个极值点。xf '(x) f (x)( ?? , x 1 )x1( x1 , x 2 )?J 大值0f ( x1 )_x2( x 2 , ?? )0f (x2 )?为极 J为极K大值（2）当 ? ? 0 即 a ? 0 或 a ? 4 时，方程 x 2 ? ( a ? 2 ) x ? ( 2 a ? 1) ? 0 有两个相第 47 页 共 68 页同的实根 x 1 ? x 2 于是 f ' ( x ) ? e x ( x ? x 1 ) 2 故当 x ? x 1 时， f ' ( x ) ? 0 ；当 x ? x 2 时， f ' ( x ) ? 0 ，因此 f ( x ) 无极值。 （ 3 ） 当 ??0f '( x) ? ex即 0?a?4时 ， x 2 ? ( a ? 2 ) x ? ( 2 a ? 1) ? 0，?x2? ( a ? 2 ) x ? ( 2 a ? 1) ? 0 ，故 f ( x ) 为增函数，此时 f ( x ) 无?极值， 因此当 a ? 4 或 a ? 0 时，f ( x ) 有 2 个极值点， 0 ? a ? 4 时，f ( x ) 当 无极值点。 评注 函数的性态包括函数的单调性、函数的极值点和函数的最值情况等，利用 导数研究函数的性态时导数最重要也是最广泛的应用。 导数的引入一方面扩大了研究范围，比如由单一的多项式函数扩展到与分 式、对数、指数、三角有关的函数。另一方面它不仅避开了初等函数变形 的难点，而且使解法程序化。 三、利用导数研究函数图象与图象交点个数问题，方程根的分布问题。 例 4． 设函数 f ( x ) ? (1 ? x ) 2 ? ln( 1 ? x ) 2 ， 关于 x 的方程 f ( x ) ? x 2 ? x ? a 在区间 ?0 , 2 ? 上恰有 2 个相异实根，求实数 a 的取值范围。 解： 设 g ( x ) ? ( x 2 ? x ? a ) ? ?(1 ? x ) 2 ? ln( 1 ? x ) 2 ? ? ln( 1 ? x ) 2 ? x ? a ? 1 ， 则 g '(x) ?2 1? x ?1。当 x ? ( 0 ,1) 时， g ' ( x ) ? 0 ； 当 x ? (1, 2 ) 时， g ' ( x ) ? 0 。 所以 g ( x ) 在 ( 0 ,1) 上递增，在 (1, 2 ) 上递减。 又 g ( x ) ? 0 在 ?0 , 2 ? 上有 2 个相异实根，g (0) ? 0,所以g (1) ? 0 , g (2) ? 0? 2 ? ln 2 ? a ? 3 ? 2 ln 3 。例 5． 已知函数 f ( x ) ? ? x 2 ? 8 ， g ( x ) ? 6 ln( x ) ? m 。 是否存在实数 m，使得 y ? f ( x ) 的图象和 y ? g ( x ) 的图象有且只有三个 不同点？若存在，求出 m 的取值范围，若不存在，说明理由。 解：第 48 页 共 68 页函数 y ? f ( x ) 的图象和 y ? g ( x ) 的图象有且只有三个不同的交点， ∴ f ( x) ? g ( x) ∴ g ( x) ? f ( x) ? 0 。 ∵x ? 0 ∴函数 ? ( x ) ? g ( x ) ? f ( x ) ? x 2 ? 8 x ? 6 ln x ? m 的图象与 x 轴有且只有三个不同的交点。 ∵函数 ? ' ( x ) ? 2 x ? 8 ?6 x ? 2x ? 8x ? 62?2 ( x ? 1)( x ? 3 ) x( x ? 0) ，x当 x ? ( 0 ,1) ? ' ( x ) ? 0 ，? ( x ) 是增函数；当 x ? (1,3 ) 时，? ' ( x ) ? 0 ，? ( x )? ? 是减函数； x ? ( 3 , ?? ) 时， ' ( x ) ? 0 ， ( x ) 是增函数， x ? 1 或 x ? 3 当 当时， ? ' ( x ) ? 0 。 ∴ ? ( x ) 极大值 ＝ ? （1）＝ m － 7 ，? ( x ) 极小值 ＝ ? （ 3）＝ m ＋ 6 ln 3 ? 15 。∵当 x ? 0 ? 时， ? ( x ) ? ?? ， 当 x ? ?? 时， ? ( x ) ? ?? 。 ∴要使 ? ( x ) ? 0 有三个不同的正实数根，必须且只须? ( x ) 极大值 ＝ m － 7 ? 0 ，? ( x ) 极小值 ＝ m ＋ 6 ln 3 ? 15 ? 0 。∴ 7 ? m ? 15 ? 6 ln 3 。 所以存在实数 m ,使得函数 y ? f ( x ) 与 y ? g ( x ) 的图象有且只有三个不同 的交点，m 的取值范围为 ( 7 ,15 ? 6 ln 3 ) 。 （分析草图见下图 1）y y yxx图1图2图3评注 用导数来探讨函数 y ? f ( x ) 的图象与函数 y ? g ( x ) 的图象的交点问题，有第 49 页 共 68 页以下几个步骤：①构造函数 ? ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ；②求导 ? ' ( x ) ；③研究函 数 ? ( x ) 的单调性和极值（必要时研究函数图象端点的极限情况） ；④画出 函数 ? ( x ) 的草图，观察与 x 轴的交点情况，列不等式；⑤解不等式得解。 解题的关键时运用数形结合思想来研究问题。 四、利用导数证明不等式 例 6．已知 b ? a ? 0 ，求证 lnb a ? 2 (b ? a ) a?b。解析： 先视 b 为变元 x ，构造函数f ( x ) ? ln1 xx a?2( x ? a ) x?a4a，则f '(x) ??(a ? x)2。由 b ? a ? 0 ，知 x ? 0 时有 f ' ( x ) ? 0 ，所以 f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上单调递 增。 所以 即f (b ) ? f ( a ) ，lna b?2 (b ? a ) a?b。点评: 利用函数单调性证明不等式，关键在于相应的函数，然后在相应区间上用 导数知识证明其单调性，再得到所证不等式。 例 7 ． 已 知 f ( x ) ? x 2 ? x ? c 的 定 义 域 为 ( 0 ,1) ， 且 x 1 ? x 2 ， 求 证 ：f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x1 ? x 2解:∵ x1 ? x 2 . 原不等式等价于f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2 ? 1。要证函数 f ( x ) ? x 2 ? x ? c ， x ? ( 0 ,1) 图象上任两点的斜率 k ? 1 。f ' ( x ) ? 2 x ? 1 ，当 0 ? x ? 1 时，?1 ? 2x ?1 ? 1，? 1 ? f '(x) ? 1 ?f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2? 1。f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x1 ? x 2。第 50 页 共 68 页函数 y ? f ( x ) 在点 x 0 处导数的 几 何意义就是 曲线 y ? f ( x ) 在点P ( x 0 , f ( x 0 ))处的切线的斜率。评注：在现行高中教材《数学》第三册（选修Ⅱ）中，用运化的观点将曲线 C 的 割线 PQ 的极限位置所在的定义为 C 在点 P ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线。 的证明利用了两次转化， 首先是由代数转化为几何， 将式f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2 ?1转换成直线的斜率，然后，再由几何到代数，由割线的斜率转换成切线的 斜率，再转换成函数的导数，这充分体现了中学里的几种重要的数学思想 方法。 五、利用导数解决与解析几何有关的问题。 例 8. 如图，对每个正整数 n , A n ( x n , y n ) 是抛物线 x 2 ? 4 y 上的点，过焦点 F 的直 线 FA n 交抛物线于另一点 B n ( s n , t n ) 。 （Ⅰ）试证： x n s n ? ? 4 ( n ? 1) ； （Ⅱ）取 x n ? 2 n ，并记 C n 为抛物线上分别以 A n 与 B n 为切点的两条切线的 交点，试证: FC 1 ? FC2? ? ? FCn? 2 ?2n? n ?1? 1( n ? 1) 。证明： （Ⅰ）对任意固定的 n ? 1 ，因为焦点 F ( 0 ,1) ，所以可设直线 A n B n 的方程y ?1 ? kn x，将它与抛物线方程 x 2 ? 4 y 联立得第 51 页 共 68 页x ? 4k n x ? 4 ? 0 ，2由一元二次方程根与系数的关系得 x n s n ? ? 4 。 （Ⅱ）对任意固定的 n ? 1 ，利用导数知识易得抛物线 x 2 ? 4 y 在 A n 处的切 线的斜率 k A ?nxn 2，故 x 2 ? 4 y 在 A n 的切线方程为y ? yn ?xn 2(x ? xn )，①类似的，可求得 x 2 ? 4 y 在 B n 的切线方程为y ? tn ? sn 2 (x ? sn ) 。②由②减去①得yn ? tn ? ? xn ? sn 2 xn ? sn 2 xn ? sn2 2x?xn ? sn22，22 xn ? sn2从而xn 42?sn 42? ?x?，2xn ? sn 2x ?，4xn ? sn 2 xn ? sn 2x ?，③将③代入①并注意 x n s n ? ? 4 得交点 C n 的坐标为（ 由两点间的距离公式得FC2 n,? 1 ） 。xn sn ? xn ? sn ? ? ? ? ?2 ? ? 4 ? 2 4 4 ? ?2 22?xn 42?4 xn2? xn 2 ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? x ? n ? ?2从而 现在FCn?xn 2?2 xnxn ? 2n，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得，第 52 页 共 68 页FC 1 ? FC? 1 22? ? ? FCn( x1 ? x 2 ? ? ? x n ) ? 2 (1 x1?1 x2?? ?1 xn)?1 2(2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? 2(2 nn ? n ?11 2n?1 22?? ??11 2n)? ( 2 ? 1) ? ( 2 ? 2)? 2 ?2? n ?1例 9． 一水渠的横截面如下图所示，它的横截面曲线是抛物线形，渠口宽 AB 为 2 m, 渠深 OC 为 1.5 m。水面 EF 距 AB 为 0.5m。 （1）求截面图中水面宽 EF 的长度； （2） 如把此水渠改造成横截面是等腰梯形， 要求渠深不变， 不准往回填土， 只准挖土，试求截面梯形的下底（渠底）边长为多大时，才能使所挖 的土最少？解： （1）设抛物线的方程为 y ? ax 2 ? b 由题意可知抛物线过 C ( 0 , ? 1 . 5 ) ， B (1, 0 ) ∴? 1 .5 ? b 0 ? a?b∴a ? 1 .5 b ? ? 1 .5∴抛物线的方程为 y ? 1 . 5 x 2 ? 1 . 5 （2）∵ f ( x ) ? 1 . 5 x 2 ? 1 . 5 ∴ f '( x) ? 3x 设 P 为抛物线上任一点 P ( x 0 ,1 . 5 x 02 ? 1 . 5 )x 0 ? ?0 ,1?第 53 页 共 68 页则过 P 的切线的斜率 k ? f ' ( x 0 ) ? 3 x 0 ∴过 P 的切线的方程为 令y ? 0 得 x1 ?1 2x0 2y ? (1 . 5 x 0 ? 1 . 5 ) ? 3 x 0 ( x ? x 0 )2x0 ?1 2 x0令 y ? ? 1 .5 得 x ?3 1 3 S 梯 ? （2 x 0 ? ）? 4 x0 22当且仅当 x 0 ?2 2时取等号。∴截面梯形的下底边长为2 2时,才能使所挖的土最少。评注： 在解析几何中，一般有两类问题可考虑用导数解决。一类是解析几何背 景下的函数最值问题。这里的导数起到的仍是“工具”作用。另一类是 曲线的切线问题用导数的几何意义解决这类问题往往起到事半功倍的效 果，充分体现了导数的优越性。参考文献：中学数学教学参考 2007-3 中学数学教学参考 2006-5 中学数学教与学 2007-8 中学数学教学月刊 2007-10 导数的应用的教学一窥“新课标”在课程的观念、目标上的一个发展，就是在数学学习和数学教学 中更加强调对数学本质的认识与理解。无论是基础知识、基本技能、数学的推理 与论证、数学的应用，都必需牢牢把握这一主线。在《导数》的教学中，通过对 函数性质的再研究，再次提升对函数概念及其本质的认识。在导数的学习过程 中，应当强化对导数本质的认识，不仅将导数作为一种规则，更作为一种重要的 思想方法来学习，能真切地感受导数在研究函数性质中的意义和作用，尤其是与 初等方法相比较，处理相应问题中作为同性同法的一般性和有效性。 教学必须达到课程标准的要求， 在教学过程中应当把导数的应用――研究函 数的单调性和最值作为教学的重点内容， 利用导数研究函数图象的大致形状和利 用导数证明不等式也是高考命题的方向。 （一）导数在函数单调性问题上的应用。 若函数f'f ? x ? 在区间0I 上单调增加（单调减少） ? 对于 I 中的任意 x ，有?x ? ?（ f ' ?x ? ? 0 ） ，因此我们通过导数来求出函数的单调区间。第 54 页 共 68 页例 1．讨论函数 f ? x ? ? x 3 ? 6 x 2 ? 9 x ? 2 的单调性。 解：函数 f ? x ? 的定义域为 R ，f'?x ? ?3 x ? 12 x ? 9 ? 3 ? x ? 1 ?? x ? 3 ?2令 f ' ? x ? ? 0 ，得 x 1 ? 1, x 2 ? 3 。它们将 R 分成了三个区间。 因为导函数 f ' ? x ? 在每个区间上符号不变，所以 f ' ? x ? 在区间某一点的 符号就是导函数 f ' ? x ? 在该区间上的符号。例如： 0 ? ? ? ? ,1 ? ，而f'?0 ? ?9 ? 0，即导函数 f ' ? x ? 在区间 ? ? ? ,1 ? 是正号，不难判断f'?x ? ??? 0 ?? 0x ? ? ? ? ,1 ? 或 x ? ?3 , ?? x ? ?1, 3 ??因此函数 f ? x ? 在 ? ? ? ,1 ? 与 ?3 , ?? ? 增加，在 ?1, 3 ? 减少。 作表如下：? ? ? ,1 ?f'?1, 3 ?K?3 , ?? ?+ J?x ?+ Jf ?x ?其中“J”表示增加， “K”表示减少 （二） ．函数的极值、最值。 函数极值的判别法：若函数 f ? x ? 在 U (? ) 可导，且 f ' ?? ? ? 0 ，存在 ? ? 0 , 有f&#39