罗增儒：怎样解答高考数学题.pdf
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【强烈推荐】罗增儒--怎样解答高考数学题(35页)
① a?bb?cc?a
② ?a?b???b?c???c?a?所以，有一个流行的说法，此题不能用等比定理．我的老师当学生的时候人们这样说，到了我的学生也当老师的时候，人们还是这样说．设比例系数k是一个经典的处理，并被认为是最关键的步骤： xyz???k，
③ a?bb?cc?a?x?k?a?b?,?则有
?y?k?b?c?,
④ ??z?k?c?a?,解法1
?ka??b??kb?ca
⑤ ?c??k??
?k???a?b???b?c???c?a???
⑦ 反思分析
分析这个解题过程我们看到三个步骤（解题过程的结构分析）：
第1步，引进参数k，把三个外形不同而比值相等的代数式 个符号k来表示，可以有效防止“形异”对“值同”的干扰． 第2步，把x,y,z与a,b,c分离，以便于计算x?y?z的值． 第3步，计算x?y?z的值，这是实质性的运算，其最基本的想法是转化为a,b,c有关式的计算，关键步骤是第⑤式． 根据这个分析，设比例系数k的作用有两个：第一，有效防止“形异”对“值同”的干扰；第二，把x,y,z与a,b,c分离以便于计算x?y?z的值．但这都只是辅助步骤，前两步并未开始x,y,z的求和，抓住实质性的第3步提出问题： （1）（正面思考）有与k功能类似的替代式吗？ （2）（反面思考）不用k还能计算x?y?z吗？ 回应1
如果对 取代k得 xyz,,用同一a?bb?cc?axyz,,等值看得很清楚，那就可以把第③式直接代入⑤，a?bb?cc?axy?a??b??a?bb?czb??c??c?ac??
?x??a?b???b?c???c?a????0. a?b?回应2
如果⑧式中的“形异”对“值同”的干扰还比较大，想不到作这样的变形，看 12 不清当中的公因式．那可以直接用 解法3
由已知有 x?z来表示k，有 c?az?a?b?， c?az
y??b?c?， c?azzz相加得
x?y?z? ?a?b???b?c???c?a? c?ac?ac?az?0. ?
??a?b???b?c???c?a????a?b这样，我们就有了不增设参数k的２个解法，只要作解题反思，人人都能做到．但是，反思还没有结束． 反思再深入
至少还可以再指出两点：结论也是已知信息，障碍也是隐含条件． （1）结论也是已知信息． 我们还浪费了一个信息，就是当我们分析解题过程时，结论已经成为了已知信息：
⑩ 这就如同摸索在黑房子里拉开了电灯，原来我们只须证⑩式（当初并不知道），这用等比定理是可以做到的． 解法4
对已知式的前两项用等比定理，有
?a?b?b?cc?a????x?yz，
???c?a?c?a即
x?y??z， 得
x?y?z?0． 原来，在我们的心里有一个误区（涉及解题的情感态度），对三项连比式用等比定理时，会产生分母为零，就吓得两项都不敢用等比定理了．我们说，用比例的性质来处理比例问题，更接近问题的本质（也使得设比值成为多余）． （2）障碍也是隐含条件． 让我们再来看①、②中用等比定理时产生分母为0的问题
① a?bb?cc?a
② ?a?b???b?c???c?a?这时候的“分母为０”构成了我们解题的一个障碍，但在上述的所有解法中又都用到了“分母为０”
?a?b???b?c???c?a??0，
13 所以，与其说②式给我们带来了麻烦，不如说②式显化了题目的一个隐含条件○11式．这是一个积极的收获，当我们对尚未成功的②式“视而不见”、而把目光同时注视①、○11式时，①式让我们看到了两条直线重合：
xX?yY?z?0 ，
13 ?a?b?X??b?c?Y??c?a??0，
○而○11式告诉我们直线○13通过点?1,1?，因而直线○12也通过点?1,1?，得
x?y?z?0．（可记为解法5）
防止解题错误 有一种简单化的认识，以为错误都是知识不过关造成的，其实，解题错误的类型不只一个，在知识过关的情况下也会出现差错．既然成功的解题有知识因素，能力因素，经验因素和情感因素，那么不成功或失败的解题也会与这些因素相关，我们总结为：知识性错误，逻辑性错误，策略性错误，心理性错误． 13.1 知识性错误 知识性错误主要指由于数学知识上的缺陷所造成的错误．如误解题意、概念不清、记错法则、用错定理，不顾范围使用方法等．核心是所涉及的内容是否符合数学事实． 例8
能与数轴上的点构成一 一对应的数集是（
）．（单项选择题） (A)整数集
(B) 有理数集
(C) 无理数集
(D) 实数集 解
因为实数与数轴上的点构成一 一对应，所以选（D）．
评析 这正是命题者的预设答案，但是命题者忘了，无理数集与实数集之间存在一 一对应关系，这是无穷集合的特性：本身可以与其真子集一 一对应（尽管中学生不太清楚这一点），所以，无理数集也能与数轴上的点构成一 一对应，选择(C)，(D)都成立．这样一来，题目又与单项选择题“有且只有一项正确”矛盾．在这里既有错解又有错题，既有知识缺陷又有逻辑矛盾，但最根本的还是知识问题，由知识性错误导致命题的逻辑性错误． 1.3.2
逻辑性错误 逻辑性错误主要指由于违反逻辑规则所产生的推理上或论证上的错误．如虚假论据，不能推出，偷换概念，循环论证等，常常表现为四种命题的混淆，充要条件的错乱，反证法反设不真等．核心是所进行的推理论证是否符合逻辑规则． 知识性错误与逻辑性错误既有联系又有区别． (1) 知识性错误与逻辑性错误有联系． 由于数学知识与逻辑规则常常是相依共存的，从广义上说，我们也不能把逻辑知识排除在数学知识之外，所以，逻辑性错误与知识性错误常是同时存在的，从哪个角度进行分析取决于比重的大小与教学的需要．在上面的例子中我们已经看到，当我们说它有知识性错误时并不排除它也有逻辑性错误；同样，当我们说它有逻辑性错误时也不排除它还有知识性错误． (2)知识性错误与逻辑性错误又有区别． 知识性错误主要指涉及的命题是否符合事实(是否符合定义、法则、定理等)，核心是命题的真假性；逻辑性错误主要指所进行的推理论证是否符合逻辑规则，核心是推理论证的 14 有效性．虽然，数学命题的事实真假性与推理论证的逻辑有效性是有联系的，但是数学毕竟不是逻辑，数学毕竟比逻辑大得多，我们依然应该在知识盲点的基本位置和主要趋势上区分知识性错误与逻辑性错误．
在四边形ABCD中，AB大于其余三边，BC小于其余三边，
则?BAD,?BCD的关系为（
）． （A）?BAD??BCD
（B） ?BAD??BCD （C）?BAD??BCD
（D）不能确定 解法1
如图4，联结BD，在BD的同侧作BC1D?DCB，则?BC1D??BCD，C1D?BC，C1B?CD，且C1D是四边形ABC1D中的最短边，AB是四边形ABC1D中的最短边．连AC1，在ABC1中，由AB为四边形的最长边，有
AB?C??BAC1??BC1A．
图4 1B在AC1D中，由C1D为四边形的最短边，有
AD?C??DAC1??DC1A．
② 1D①+②得
?BAD??BC1D??BCD．选（A）．
对照图4，反复检查也找不到任何知识上的问题，但是，这个解法默认了四边形ABC1D为凸四边形，因而①、②式相加，得出?BAD小于?BC1D．若ABC1D为凹四边形（如图5），便会出现①、②式相减，得?BAD与?BC1D无法确定大小．
BD为等腰直角三角形，解法2
如图6，取一个平行四边形ABCD，使C作CBD的外接圆O，以D为圆心、以DC为半径，画弧交AB延长线于E，连DE交O于C1，交BC于
图5 C2，又在线段C1E内取点C3，连BC1,BC3，则在四边形ABCiD?i?1,2,3?中，AB大于其余三边，BCi小于其余三边，有 ?BAD??BC2D， ?BAD??BC1D， ．
?BAD??BC3D，选（D）评析
解法1“默认四边形ABC1D为凸四边形”，得出了一个假命题，有知识性错误，对四边形分类不全又有逻辑性错误，而“默认”本身还可能有心理原因，但从错误的基本位置上看，主要还是对四边形分类不全造成的，所找出的反例主要是考虑了四边形的多种情况．
图6 1．3.3
策略性错误 这主要指由于解题方向上的偏差，造成思维受阻或解题长度过大．对于考试而言，即使做对了，若费时费事，也会造成潜在丢份或隐含失分，存在策略性错误．在解题探求中，思维受阻或思路曲折是不可避免的，因而，探索阶段的策略性错误是很难完全消除的． 例10
sin15osin75o的值是_____． （1992年数学高考全国卷理科第（20）题） 思路1
本来题目很简单，也有课本的现成背景，用一次诱导公式、一次倍角公式、一 15 次特殊角的函数值，一共3个知识点便可得出答案 原式?sin15cos15（诱导公式） oo?1sin30o（倍角公式） 21?．（特殊角的函数值） 4填1．但是，有的考生却用了如下解法： 41?cos30o思路2
原式?sin(45o?30o) 2?2?3(sin45ocos30o?cos45osin30o) 42?326?2 4??(6?2)2?3． 8至此，就再也算不下去了，应该说，解法的每一步运算都没有知识性错误，但从整体上看，有解题方向调控上的策略性错误． 第一，使用的基础知识过多、书写的解题长度过大，会导致考试的“潜在丢分”或“隐含失分”． 第二，根式运算还要继续化简为最终结果：证明(6?2)2?31?，这是一种48典型的“会而不对、对而不全”．
心理性错误
这主要指解题主体虽然具备了解决问题的必要知识与技能，但由于某些心理原因而产生的解题错误．如顺序心理、滞留心理、潜在假设，以及看错题、抄错题、书写丢三落四等．
设a6x?a5x?a4x?a3x?a2x?a1x?a0??3x?1?，求a6?a5?a4+ 6a3?a2?a1?a0． （1985年高考数学理科第?题） 讲解
将已知式与求值式逐项对齐，并进行差异分析 a6x6?a5x5?a4x4?a3x3?a2x2?a1x?a0??3x?1?a6 ?
a1?a0?？6， 可见，已知中的每一项都有字母x，结论中的每一项都没有字母x．“没有字母x”是
联系客服：cand57il.com数学 罗增儒
罗增儒教授简介 罗增儒教授, 汉族, 男, 1945 年 1 月生, 广东省惠州市人. 1962 年就读中山大学数学力学系数学专业, 毕业后在陕西省耀县水泥 厂当过矿山职工和...
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