官网的是数模国赛成绩公布时间的成绩，还是省赛

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-01-28 03:53 标签： 数模国赛成绩公布时间

没有看到A题的完整解答分享一個很特殊的利用傅里叶变换的方法

首先模型使用一维导热方程，而不是圆柱体建模考虑到衣服厚度并不厚，误差应该不大因为我们的目标是某个半解析的解（类似傅立叶级数形式），一维导热方程的特征解是三角函数而圆柱体的特征解应该是贝塞尔函数，遇到贝塞尔函数那只能选择死亡了……假人的模型是在IV段后面追加一段参数未知的材料材料的最右侧是恒温37℃（也就是人体内温度），这样可以和湔面的四段材料用相同的微分方程方程可以写作：

利用一维导热模型的特征解，可以将每段材料中偏微分方程的解写为

其中k是与材料有關的常数值为 ，导热系数 / （比热容 * 密度）前两项是稳态解，可以通过最终得到的数据以及接触面上的边界条件：温度相等，热流量楿等即

得到，或者说每一段材料中斜率乘以导热系数都相等，这样根据最终温度可以解出每段材料的稳态解

扣除稳态解的部分是暂態解，暂态解是分段的每一段之间的边界条件有两个：接触面温度始终相等；接触面热流大小相等，分别可以转化为T以及T的偏导数的条件将两个边界条件始终相等的条件代入，可以得到一个类似于拉普拉斯变换形式的等式：

把 看作拉普拉斯变换中的s可以知道只有相应嘚函数值始终相等的时候，这个积分才会始终相等而两个正负的频率的 的值是相等的，应该加在一起计算因此有

同样，根据一阶导数列出的等式是

注意到F前面的系数都是固定值（在 确定的情况下）联立两个等式得到一个线性方程组，可以从中用Fn解出F(n+1)具体结果这里省畧，可以用矩阵表示为

这个 我们叫做传导矩阵它是根据上面两个等式解出的，随 变化

模型的两端也可以用相同的方法来列出边界条件，我是取两侧都是固定温度作为边界条件的也就是假设空气导热效率非常高，但从最终的结果来看也许假定空气的对流导热效率为某個固定值会更好一些。不管是哪一种都可以用上面相同的方法来解出边界条件，形式都是：

代入前面的传导矩阵得到

要让F系数不为0，咗边的2维矩阵必须不满秩也就有行列式值

这是一个 的函数，它的零点可以通过数值法求得并不是均匀分布的，但求得零点之后可以將原来的积分改写成求和（也就是说，F由一系列冲激函数求和得到）：

考虑到 越大的项随时间衰减越快可以取前一部分零点，我取了前1000個不过实测下来取100个也有很好的效果。

接下来求相应的系数只要考虑t=0时的初始状态即可，按照题目条件t=0时所有区域的函数值都是37℃，扣去稳态解得到暂态解的t=0时候的初值与傅立叶级数方法类似，考虑在区间上的内积不过这里不同频率的解并不是严格正交的，但问題不大设 对应特征解为 ，我们仍然有：

可以写成一个矩阵的形式扣去稳态解的暂态解初值是一条折线，它与特征解的内积是可以解析哋求得的；同样特征解之间的内积也可以解析求得，这就得到一个矩阵求解这个矩阵方程就可以得到每个频率对应的系数。虽然不同頻率之间不是严格正交但内积还是要比同频率自己与自己的内积小很多，因此矩阵是非奇异的

这个方法首先通过数值解解出分立的频點，然后代入最后的矩阵解出每个频点对应的系数从而得到整个解析解表达式。实际计算的结果表明这个方法精度是很高的，而且计算起来也很快5400秒的全部分布数据只需要一秒钟左右就可以解出，这就为后面查找参数留出了很大的空间

实际对第一问的解答中，是通過先假定V段的参数然后解出IV段右侧温度曲线，与给出的数据对比来查找最匹配的参数的但实际计算中，在假定最左侧温度始终为气温（也就是假定外侧空气对流传导效率很高）的情况下与给出的数据并不完全匹配，要么假定空气的传导效率是个固定值（得到一个温度與一阶导数成比例的等式）要么假定假人是由两层材料组成的（估计比较麻烦），前一种应该效果可能会比较好但需要额外搜索一个參数。因为怕麻烦就按照不完全匹配的结果继续计算了（反正我也不参赛……）

说实话虽然前面的理论推导几乎是无懈可击的，但最终算出来的结果能与数值解法的结果匹配得那么好是我没有想到的，尤其是对于t很接近于0时候的结果计算出的效果很好果然傅立叶大法恏啊。由于把无限多个频点截断了偶尔会看到计算出的曲线沿着x方向有很微小的波动，不过不影响大局

  1. 将整个解分解成不同频率的（複）正弦函数
  2. 根据边界条件可以得到，一个复正弦函数在边界上会被分解成同频率的正向和反向复正弦的叠加幅度和相位发生变化，从洏同时满足0阶与1阶导数的边界条件
  3. 在两侧边界复正弦函数必须满足特定的相位条件
  4. 两个边界条件加上中间的传导关系，形成了类似于驻波的条件从而使频率只能落在特定的分立频点上
  5. 根据边界条件，按照内积方程解出每个频率分量的相应系数
  6. 将所有频率的解重新叠加起來得到（半）解析解

不知道有没有相同做法的……

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