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双曲线渐近线方程
双曲线渐近线方程，是一种几何图形的算法，这种主要解决实际中建筑物在建筑的时候的一些数据的处理。双曲线的主要特点：无限接近，但不可以相交。分为铅直渐近线、水平渐近线和。是一种根据实际的生活需求研究出的一种算法。[1]
双曲线渐近线方程渐近线特点
无限接近，但不可以相交。分为垂直渐近线、水平渐近线和。[1]
当曲线上一点M沿曲线无限远离时，如果M到一条直线的距离无限于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
需要注意的是：并不是所有的曲线都有渐近线，渐近线反映了某些曲线在无限延伸时的变化情况。
根据渐近线的位置，可将渐近线分为三类：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线。
y=k/x(k≠0)是，其图象关于，x=0，y=0为其渐近线方程
当焦点在x轴上时 双曲线渐近线的方程是y=[+(-)b/a]x
当焦点在y轴上时 双曲线渐近线的方程是y=[+(-)a/b]x
双曲线渐近线方程几何性质
1.双曲线 x^2/a^2-y^2/b^2 =1的简单几何性质
(1)范围：|x|≥a,y∈R.
(2)：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点.
(3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为，长为2a，虚轴长为2b，且c^2=a^2+b^2.与椭圆不同.
(4)渐近线：双曲线特有的性质
方程：y=±(b/a)x（当焦点在x轴上），y=±(a/b)x (焦点在y轴上）
令双曲线标准方程 x^2/a^2-y^2/b^2 =1中的1为零即得渐近线方程.
(5)离心率e&1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.
(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2=a2(a≠0),它的渐近线方程为y=±b/a*x,离心率e=c/a=√2　(7)共轭双曲线：方程 x^2/a^2-y^2/b^2=1与x^2/a^2-y^2/b^2=-1 表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注重方程的表达形式.
双曲线渐近线方程注意
1.与双曲线 - =1共渐近线的双曲线系方程可表示为 - =λ(λ≠0且λ为待定常数)
2.与椭圆 =1(a&b&0)共焦点的方程可表示为 - =1(λ0时为椭圆， b2&λ&a2时为双曲线)
2.双曲线的第二定义
平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x=+(-)a^2/c 的距离之比等于常数e=c/a (c&a&0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的，()p= a2/c，与椭圆相同.
3.( - =1,F1(-c,0)、F2(c,0))，点p(x0,y0)在双曲线 - =1的右支上时，|pF1|=ex0+a,|pF2|=ex0-a;
P在左支上时，则 |PF1|=ex1+a　|PF2|=ex1-a.
．百度百科[引用日期]
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时间： 10:26:59
&&&&&&&&清华大学大学数学竞赛培训教材&&&&&&&&1，2，3，5章及其经典习题第一部分例题精讲与习题&&&&第一章&&&&1.1基本概念与内容提要&&&&1）.极限存在的条件：左极限等于右极限。相关联的题型：（1）函数连续性和可导性的判断及应用；（2）求函数的间断点：①第一类间断点（左右极限存在）：a可去间断点：左右极限存在且相等但函数在该点无定义或函数值不等于极限值。b跳跃间断点：左右极限存在但不相等。②第二类间断点：除第一类间断点以外所有的间断点；（3）用定义求导数，若lim&&&&则函数在x0处可导且f?x0limx?x&&&&0&&&&&&&&极限与连续性&&&&&&&&x?x&&&&&&&&0&&&&&&&&f?xf?x0?是否存在；(4)求函数的渐近线：①水平渐近线：limf?xA，则xx?xx?x0y=A是f(x)的水平渐近线；②铅直（垂直）渐近线：limf?x?，则x?x0是y?f?x?lim&&&&0&&&&&&&&f?xf?x0?。所以，判断可导性就是判断极限x?x0&&&&&&&&f?xf?x0?存在，x?x0&&&&&&&&x?x0&&&&&&&&的铅直（垂直）渐近线；③斜渐近线：y?kx?b其中k?lim&&&&x&&&&&&&&f?x?,b?lim?f?xkx；x?x&&&&&&&&④斜渐近线最多有两条，水平渐近线最多有两条，水平渐近线与斜渐近线的总条数最多有两条。2）.连续函数的极限3）.常用极限：lim&&&&n&&&&x?&&&&&&&&a?1?a?0?,limn?1,limarccotx?0,limarccotx,,limarctanx?,limarctanx22lime?0,lime,limx?1,limxlnx?0&&&&nnnx?&&&&x?x?xxxx?x?x?0&&&&?&&&&&&&&x?0?&&&&&&&&4）.极限的四则运算5）恒等变形、约去零因子、有理化等常用化简方法6）.极限存在准则（夹逼定理、单调有界定理）&&&&&&&&sinx?1,lim?1?xe7）.两个重要极限及其变形：limx&&&&1xx?0x?0&&&&&&&&8）.洛比达法则（重点），常与洛比达法则一起交替使用，常考的共有七种不定式极限：&&&&&&&&&&&&0型，常用方法：约去零因子；等价无穷小替换；变量代换；洛比达法则；恒等变形0?②型，常用方法：分子分母同时除以最高次幂项；变量替换；洛比达法则?③?型，常用方法：通分；倒代换；有理化?④0?型，常用方法：变形；变量代换；取倒数化为型?0⑤0型，常用方法：取对数化为0?型；恒等变形；变量代换0⑥?型，常用方法：取对数化为0?型；恒等变形消除不定式；利用重要极限&&&&①&&&&&&&&lim?1?x?x?e；等价替换&&&&x?0&&&&&&&&1&&&&&&&&⑦1型，常用方法：取对数化为0?型；利用重要极限lim?1?xe&&&&&&&&x?0&&&&&&&&1x&&&&&&&&9）.无穷小得比较设lim?&&&&x?x&&&&0&&&&&&&&x0,x0，则x?,x?即为无穷小量，?x0,xlim?xx0，则称当x?x0时x?是比x?高阶的无穷（1）若limx?xx?小，记为xox?，或者说当x?x0时x?是比x?低阶的无穷小；xC?C?0?，则称当x?x0时x?是与x?同（2）若limx?xx?阶的无穷小。特别的，当C=1时，称当x?x0时x?与x?是等价无穷小，记为x?xx?x0?；xC?C?0?，则称当x?x0时x?是与x?（3）若limkx?xx?&&&&0&&&&&&&&0&&&&&&&&0&&&&&&&&0&&&&&&&&的k阶无穷小。等价无穷小替换求极限（注意：有界函数与无穷小的积是无穷小）：等价无穷小是指在乘积型极限中，一个无穷小因式可以用与它等价的无穷小因式代替。x常用等价无穷小：当x?0时，sinxx,tanxx,e?1x,ln?1?x?x,&&&&&&&&1?cosx&&&&&&&&arctaxnx。注意：高阶无穷小、k阶无穷小的判断及应用。&&&&&&&&a121x,?1?x1ax,ax?1xlna,n1?x?1x,arcsinx2n&&&&&&&&x,&&&&&&&&补充：无穷大量比较：①当n时，无穷大的阶数由低到高排列为：lnnn,?n?0,?an?a?0?n,n；1,?&&&&&&&&x时，无穷大的阶数由低到高排列为：lxnx?,?x?0,?ax?a?0?x,x。1,?&&&&②当&&&&?&&&&&&&&&&&&9）.利用泰勒公式、中值定理求极限，求极限常用迈克劳林公式有：&&&&&&&&xx2xne?1?...o?xn?1!2!n!n?1?1?x2n?1x3x5?sinx?x?...o?x2n?3!5!?2n?1?!&&&&x&&&&&&&&?1?x2nx2x4?cosx?1?...o?x2n?1?2!4!?2n?!12tanx?x?x3?x5?o?x5?315nn?1x1213ln?1?xx?x?x?...?1o?xn?23n&&&&n&&&&&&&&1?1?x?x2?...?xn?o?xn?1?x&&&&10）.利用定积分的定义求极限11）证明数列极限存在的方法：①夹逼定理②单调有界定理③级数敛散法：若级数&&&&&&&&&&&&an存在④级数收敛的必要条件：若级数?an收敛，则an?an?1?收敛，则limnliman?0。&&&&n&&&&&&&&n?1&&&&&&&&n?1&&&&&&&&补充：给定数列?an?，则liman存在的充要条件是级数&&&&n&&&&&&&&a&&&&n?1&&&&&&&&?&&&&&&&&n&&&&&&&&?an?1?收敛。&&&&&&&&所以，判断数列的敛散性可以转化为判断级数的敛散性。&&&&&&&&12）&&&&&&&&?a0?b,n?m0a0xn?a1xn?1?...?an抓大头公式：lim0,n?m，数列极限也可用。xb0xm?b1xm?1?...?bn,n?m?&&&&&&&&13）中值定理求极限：关键是将欲求的极限写成中值定理的形式，在求函数式具有规律比或其分子分母之项具有中值定理那样的关联或函数式非常复杂难以化简时，尤其是像求类未定的极限如limsinx?1?sinx，可以考虑使用中值定理。&&&&x?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&14）&&&&&&&&利用级数收敛的必要条件求极限：若&&&&&&&&则limf?nlimf?x0。?f?n?收敛，&&&&n?1&&&&nx&&&&&&&&?&&&&&&&&求极限可以转化为求定积分、判断级数的敛散性等。&&&&&&&&1.2例题选讲&&&&&&&&&&&&etanx?esinx例1：lim。x?0x?sinx&&&&&&&&etanx?sinx?etanx?esinxsec2x?cosx?lim?lim?limx?0x?0x?sinxx?0x?sinx1?cosx31?cosx2?limsecxlim?lim?1?cosx?cos2x3x?0x?0x?01?cosx&&&&方法二：先处理一下，在使用等价无穷小和洛比达法则&&&&&&&&?e?e?tanx?sinx?，其中?在sinx?与tanx之间，当x?0时0,e?1&&&&解：方法一：由拉格朗日中值定理得e&&&&tanxsinx&&&&&&&&?&&&&&&&&eetanx?esinxlim?limx?0x?sinxx?0&&&&例&&&&122.求n0&&&&&&&&sinx&&&&&&&&?e&&&&&&&&tanx?sinx&&&&&&&&?1?&&&&&&&&x?sinx&&&&&&&&?lim&&&&&&&&tanx?sinx?3x?0x?sinx&&&&&&&&xdx。1?x11xn?nxn?n?1?dx?dx?lim?0解：0,?使得?2，?lim?201?xn01?xn2?1?2?12?221e?x?ycos?x?y?dxdy=___________.例3.设Dr:x2?y2?r2，则lim2?r?0rDrlim?&&&&解：?,?Dr使得&&&&?&&&&?xeDr&&&&2&&&&&&&&n&&&&&&&&?y2&&&&&&&&cos?x?y?dxdyr2e&&&&&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&cos?，&&&&&&&&当r?0时,0,0?，&&&&&&&&?lim?&&&&r?0&&&&&&&&1r2&&&&&&&&?xeDr&&&&&&&&2&&&&&&&&?y2&&&&&&&&cos?x?y?dxdy?lim?e&&&&00&&&&&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&cos?&&&&&&&&n?1?)?nn例4.nn?2?n?1?1lim?cos2?cos2?...?cos2?0cos2?xdxnn?nnn?1x?sin2?x1?11?cos2?x20dx?0222lim(cos2?cos2?cos2&&&&例5.求极限lim解：当k&&&&nk?1k?nCn?1?knn?1&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&2n&&&&&&&&.&&&&&&&&。&&&&&&&&?n?1时，&&&&&&&&k?k?1k?2?...2n?1?k11?nCn?n?1n?2n?3?...?n?k?n&&&&k2n&&&&&&&&2&&&&&&&&?0?&&&&&&&&n?1?k1?2?k?n?1?knCnn&&&&&&&&&&&&k0?n?1?k?nCn&&&&&&&&n?112n?122nk?1nnn2n?12n?1k?1lim?0，即0?n?1?knCn，又nn2k?1n2&&&&n?1&&&&&&&&由夹逼定理得lim例6.证明：数列求其极限。&&&&&&&&nk?1&&&&&&&&k?n?1?k?nCn0&&&&&&&&n&&&&&&&&?1&&&&&&&&7,7?7,7?7?7,7?7?7?7,...收敛，并&&&&?7?7?xn&&&&，令&&&&&&&&证明：设该数列通项为xn，则xn?2则f(2)=2，xn?2存在?介于x，2之间，使得&&&&&&&&?f?xn?,xn?2?2?f?xnf?2?，由拉格朗日中值定理得：&&&&&&&&f?x7?7?x&&&&&&&&，&&&&&&&&f?xf?2fx?2?，&&&&，&&&&&&&&f、?x?&&&&&&&&147?x7?7?x&&&&&&&&?xn?2?2?f?xnf?2fn?xn?2，由题意得0?xn?7，&&&&&&&&?0n?7,f、n&&&&即?&&&&&&&&147n7?7n&&&&&&&&?&&&&&&&&1477?14&&&&&&&&?1&&&&&&&&?fn?，则xn?2?2xn?2,0?1&&&&&&&&?x2k?2k?1x2?2,&&&&由0?&&&&&&&&x2k?2k?1x2?2且lim?k?1x2?2?0，&&&&k&&&&&&&&由夹逼定理得lim所以，limxn&&&&n&&&&&&&&k&&&&&&&&x2k?2?0即limx2n?2，同理可得limx2n?1?2，&&&&nn&&&&&&&&?2，即原数列的极限为2。&&&&&&&&?2x?1,x1?3例7.设函数f?x?x,?1?x?2，又设?,?分别是y?f?x?的反函数?2?x?4,x?2y?g?x?的不可导点中横坐标最小者和最大者。求：&&&&（1）求?,?；（2）设x0?&&&&&&&&,,xn?1?&&&&&&&&2?1?xn?2?xn&&&&&&&&,n?0,1,2,...，求limxn。&&&&n&&&&&&&&&&&&解：（1）&&&&&&&&g、?x&&&&&&&&&&&&1f&&&&、&&&&&&&&?x?&&&&&&&&，g(x)的不可导点即&&&&&&&&f、?x?不存在或f、?x0的点的&&&&&&&&取值，显然&&&&&&&&f?00，又&&&&&&&&f?28,lim&&&&3&&&&&&&&f?xf?2?x?2&&&&&&&&x?8、同理可得f1?不存?12,?f、2?不存在，?x?2x?2?x?2?x?2在，?g?x?在x1?f?00,x2?f1?1,x3?f?28处均不可导，1,82?2xn?2，（2）由题意得xn?1?2?xn?2lim?lim&&&&&&&&f?xf?2?&&&&&&&&x?2?&&&&&&&&x2?4?lim?4，?x?2x?2&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?xn?1?2?&&&&&&&&2?2xn?2?2?2xn?2xn?2&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&，&&&&&&&&?0?xn?2?2?2&&&&n&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&n&&&&&&&&x0?2&&&&&&&&，又lim&&&&&&&&n&&&&&&&&?&&&&&&&&2?2&&&&&&&&?&&&&&&&&n&&&&&&&&x0?2?0，&&&&&&&&?limxn?2?0,?limxn?2&&&&n&&&&&&&&1。ni?1i2?1n?n2i2i2?1?i?1?i2?1?ii?1?2?2?2?,?由介值定理得i,解：?使得?i?2，nnn2nnnn11n?1111n?11?limlimlim?lim?ni?1i2?1nni?1i2?1nn2?1nni?11i2n?1?2n?nnn1?10dx?41?x2n2?n2k例9.求极限lim?kCn。nn?n?1?k?1&&&&例8.求极限lim?&&&&n&&&&&&&&解：kCn&&&&n&&&&&&&&k&&&&&&&&?&&&&&&&&nk?1knCn?1k2Cnk?1&&&&&&&&?nk?1?&&&&k?1&&&&&&&&n&&&&&&&&k?1Cn?1&&&&&&&&k?1?n?Cn?1k?1&&&&&&&&n&&&&&&&&kk2Cn?n?n?1?2n?2?n2n?1?n?n?1?2n?2k?1&&&&&&&&&&&&n2?n12k?lim?kCn?nn?n?1?k?14&&&&&&&&?k?k?1sin2。nk?1?n?nk?k1?解：由泰勒公式得sin2?2?o?2?，nn?n?n?1?k?k?1n?1?k?k3n?1?1lim1sin2lim1?limo?2?nk?1?nnk?1?n?n?nn2n?n?51?0x?1?x?dx.当x?0时，无穷小量f?xx?x?x?x关于x的阶为______。&&&&例10.求极限lim&&&&n?1&&&&&&&&解：&&&&&&&&5&&&&&&&&x?x?&&&&23115x&&&&&&&&115x&&&&&&&&?1&&&&9x5&&&&&&&&5x3&&&&&&&&1?5&&&&&&&&&&&&115x&&&&&&&&115x&&&&&&&&?15?53x3?1?x?o5?&&&&&&&&?19?95x?xx5?1?x?o31??f?xx15?x3?x5?o?x3o?x5是关于x的阶。?1、例12.设函数f(x)满足f?01,limf?xA，且f?xxxe?f?x?&&&&325&&&&&&&&?1&&&&&&&&1?3&&&&&&&&?x?0?，求证：1?A?1?ln2。&&&&证明：由&&&&&&&&f、?x&&&&&&&&1?0得f(x)单调递增，?f?xf?01，xe?f?x?&&&&&&&&11exxdtf?xx?,?f?xf?0?0t?lnx?ln2e?f?x?ex?1e?1e?1&&&&、&&&&&&&&ex?1?f?x1?ln2?lnx,?1?A?1?ln2。e?1&&&&&&&&&&&&?x2?例13.求函数f?xlimn1?x?n?2?&&&&n&&&&&&&&n&&&&&&&&的表达式。&&&&nn&&&&&&&&解：当&&&&&&&&x?1时f(x)=1；当&&&&&&&&x2x2?22?nx?2时f?xlim12?；2n2?xx?&&&&n&&&&&&&&1?x?当1?x?2时f?xxlimn1?nx；nx?2?&&&&&&&&1?x?当?2?x1时，若n为偶数f?x?xlimn1?n?x，nx?2?&&&&1?x?若n为奇数f?xxlimn1?nx,nx?2当?2?x1时该极限不存在，即f?x?不存在；&&&&又&&&&n&&&&&&&&n&&&&&&&&f?11,f?2limn1?2n?1?2，&&&&n&&&&&&&&11时，若n为偶数f11，若n为奇数f1,?f1?不存在；2当x2时，若n为偶数f22，若n为奇数f21,?f2?不存在；&&&&当x&&&&&&&&1,?1?x?1,故，f?x?x,1?x?2,，其定义域为?,?21,2?x,x?2或x22&&&&.已知xn...?n?1241622&&&&解：分子?分母?2&&&&n?1&&&&&&&&，则limxn=_________。&&&&n&&&&&&&&?2&&&&&&&&2&&&&&&&&?122?124?1...22&&&&?22&&&&n?1&&&&&&&&&&&&2n&&&&&&&&&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&n?1&&&&&&&&?1?22?1，&&&&&&&&?&&&&&&&&n&&&&&&&&1?2?22?...?2n?1&&&&&&&&，&&&&&&&&?limxn?lim&&&&n&&&&&&&&2?122&&&&n?1&&&&&&&&n&&&&&&&&?1lim?2?n2。n?22?1?&&&&&&&&&&&&真题演练：设xn答案：limxnn&&&&&&&&1?a?1?a2...1?a2,其中a?1，求limxn。&&&&n&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&n&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&11?a&&&&&&&&12x?1?1?x22例15.求lim。x?0x22cosx?esinx&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&解：由迈克劳林公式得：&&&&&&&&1?x2?1?&&&&&&&&21cosx?1?x2?ox2,ex?1?x2?ox?1?1?x2?x4?ox4,cosx?exx2?oxx?ox4x?1?1?x2881?lim2?lim?2x?0x?02?32312?cosx?exsinx2xx?ox22?2?&&&&&&&&&&&&&&&&1214x?x?ox428&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&&&&&&&&&例16.求lim?&&&&&&&&n?n?lnn?&&&&nn?lnn?lnn&&&&&&&&nlnn?lnn?n&&&&&&&&。&&&&n?lnn2n2lnnn?lnn&&&&&&&&2lnnlim?1n?n?lnn2x?2?2exp?lim?explim?x?1e?x?x?lnx?1xn?1?11?1?例17.求lim?1?...n23n&&&&解：lim?&&&&n?1&&&&&&&&n?n?lnn?&&&&&&&&2n?exp?limnn?lnn?&&&&&&&&1?，则11解：设Sn?1?...?23n111?1?...?1......232n?32n?1242n?&&&&&&&&&&&&1111111?...?2?...2n242n?...1?...2n23n23?1111111...?...?n?n?1n?2n?nn?1?11?21nnn1?111?11?limS2n?lim?...dx?ln2nnn12n01?x?1?1?1nnn1limS2n?1?lim?S2n?limS2n?ln2nn?2n?nn?1?11?1limSn?lim?1?...?ln2nn23n&&&&例18.设lim&&&&&&&&n?&&&&&&&&n&&&&&&&&nn?1?&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?2011，求?,?的值。&&&&&&&&解：&&&&&&&&n?n?n?1?&&&&n?n?n?1?x?11?x?&&&&?&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&n?&&&&?&&&&&&&&?lim&&&&又lim&&&&x?0&&&&&&&&n&&&&&&&&?1?11?n?xlim??x?011?x?&&&&&&&&x?1?lim?limx1?2011x?0?x?x?0&&&&&&&&?1?0,&&&&&&&&211?xn?7x4?2xA?0，求?。例19.已知有整数n?n?4?使极限lim?x?xn?7x4?2xlim?xn?1?7x4?n?2x?nx?解：limxx?2011,&&&&&&&&1&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&&&&&由极限的存在性得n?&&&&&&&&?1,n?&&&&&&&&1&&&&&&&&?&&&&&&&&，&&&&&&&&?14?n?limx1?7x?2x?x?lim?xt?0tn?4n?7t?2t11?limlim7tn?5?2tn?1?A?0,?n?5,?t?0t?0tn?14?1n?1?例20.求lim?3...3?n2?133?143?1n?1&&&&&&&&?&&&&&&&&?n?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&1?7tn?4?2tn&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&nk?1?k?1?k?11k3?1?lim?解：原式?lim?3nk?2k?1nk?2k?1k2?k?12n2?n?12?lim?nn?n?1?33n2&&&&&&&&k3?6k2?11k?5例21.求lim?nk?1?k?3?!&&&&n&&&&&&&&解：原式?&&&&&&&&?11?limnk?1k!?k?3?!?11111?5?lim?1?n2!3!n?1!n?2!n?3!3&&&&n&&&&&&&&?1222n23?...?3例22.求lim?3。22?nn?12n?2n?nnk2k2k2k2解：设xn3,3?3?3222k?1n?kn?nn?kn?1n12又?k?n?n?12n?1?,6k?1n?n?12n?1?n?n?12n?1?x?n6n3?n26n3?1&&&&又lim&&&&&&&&n?n?12n?1?6n3?n2&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&n&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?lim&&&&&&&&n?n?12n?1?6n3?1&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&n&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&13&&&&&&&&&&&&??limxn?即lim?32?3?...?3?22?nn3n?n?3?n?1n?2&&&&例23.求lim解：原式?&&&&&&&&?n?1?2&&&&k?n2&&&&&&&&n&&&&&&&&?&&&&&&&&1k&&&&&&&&2n?1?1?111lim?...?lim2nn2?1n2?2n?1?nk?0n2?k?n2n?2,n?1n?1k?0n2?knn2?kn2n?12n?22n?21lim?lim?2,?lim22nn?1nnk?0nn?k&&&&&&&&?lim?&&&&&&&&1?2n2kk?n1!?2!?...?n!例24.求limnn!1!?2!?...n?1?!1!?2!?...?n!?1?lim解：limnnn!n!1!?2!?...n?1?!?n?2n?2?!n?1?!2n?30?n!n!n?n?1?1!?2!?...n?1?!2n?3?lim?0,?lim?0nn?n?1?nn!1!?2!?...?n!?lim?1nn!&&&&例25.求lim解：原式?&&&&n&&&&&&&&?n?1?2&&&&&&&&sin?n2?n&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&n&&&&&&&&limsin?&&&&&&&&?&&&&&&&&n2?n?n?limsin&&&&n&&&&&&&&?&&&&&&&&?n&&&&n?n?n&&&&2&&&&&&&&?1&&&&&&&&例26.设f(x)在R上连续，lim证明：令F&&&&&&&&f?x?x&&&&&&&&x&&&&&&&&?0，求证：?R使得f0。&&&&f?xx?&&&&&&&&F?xlimx?1xf?xx，则xlim?x?&&&&&&&&&&&&f?x?limF?xlimx?1?x?x?xN?0使得F?N0,FN0，&&&&由零点定理得：?R使得F&&&&?na?nb例27.求limn?2&&&&nnnn&&&&&&&&0即f0&&&&?2na?nb?2?n?n?n2a?b?2&&&&&&&&a?b?a?b?2?=lim?1?解：lim?n?n?22&&&&nn&&&&&&&&11nnnn?1?a?b?2a?1b?1?exp?limnexp?limnn1122n?n?&&&&&&&&?e&&&&&&&&11lna?lnb22&&&&&&&&?ab&&&&&&&&例28.若函数f(x)在x?1处可导,且f(1)?1,f(1?x)?f(1?2sinx)?2f(1?3tanx)求lim。x?0xf(1?x)?f(1?2sinx)?2f(1?3tanx)解：limx?0xf(1?x)?f(1)?f(1?2sinx)?f(1)?2[f(1?3tanx)?f(1)]=limx?0xf(1?2sinx)?f(1)2sinxf(1?3tanx)?f(1)?3tanx2lim?=f(1)?limx?0x?02sinxx?3tanxx=1+f(1)?2?2f(1)?(?3)?1?2?6?9&&&&?x?1?例29.设F(x)除x?0与x?1两点外，对全体实数有定义，且满足F(x)?F?1?x，?x?求函数F(x)。x?1?x?1?解：F(x)?F?,1?x(1)，将x代换成x?x?&&&&?x?11x?1x?1?x?12x?11?x?F?FF?(2)F?1?xx?x?1xxx?1?x11?1?1x?1F1F?x11?x?2(3)，F?x代换成F?x?1x?1x?11x?1x?1?x?1(1)+(3)-(2)得&&&&&&&&&&&&x?22x?1x(x2?1)?x(x?2)?(x?1)(2x?1)x3?x2?1=x?1xx(x?1)x(x?1)32x?x?1即F(x)?2x(x?1)2F(x)?(1?x)?&&&&例30.设an&&&&&&&&?0,n?1,2,3,...,aa2xn?11?a1(1?a1)(1?a2)证明:limxn存在&&&&n&&&&&&&&?&&&&&&&&an(1?a1)(1?a2)&&&&&&&&(1?an)&&&&&&&&，&&&&&&&&证明：&&&&&&&&an?0,n?1,2,...,xn?单调增加，x1?1?&&&&&&&&x2?11?&&&&&&&&1?a2??a1(1?a1)(1?a2)1?a11?a1(1?a1)(1?a2)&&&&&&&&1，1?a1&&&&&&&&1(1?a1)(1?a2)&&&&&&&&设xn?1&&&&&&&&1(1?a1)(1?a2)(1?an?1)anxn?xn?1?(1?a1)(1?a2)(1?an)?1?&&&&(1?an)&&&&&&&&1?anan?(1?a1)(1?a2)(1?an?1)(1?an)(1?a1)(1?a2)1?1?(1?a1)(1?a2)(1?an)?xn?1,?xn?单调有界，limxn存在.?1?&&&&x?0&&&&&&&&例31.n为自然数,f(x)在[0,n]上连续，f(0)?f(n)，试证：存在a,a?1?[0,n]，使f(a)?f(a?1)。证明：当n=1,存在a?0,使f(0)?f(1),结论成立；当n1,令g(x)?f(x?1)?f(x),g(x)在[0,n-1]上连续,存在最小值m和最大值M，1mg(0)?g(1)?g(n?1)Mn由介值定理,存在a?[0,n?1](即有a,a?1?[0,n]),使1g(a)g(0)?g(1)?g(n?1)?n11=?f(1)?f(0)?f(2)?f(1)?f(n)?f(n?1)?f(n)?f(0)0nn&&&&&&&&&&&&即有a,a?1?[0,n],使g(a)?f(a?1)?f(a)=0,即f(a)?f(a?1).&&&&&&&&1?0，求f(x)。x解：对?x,?,?T?0使f?xf?x?nT11?由limf?0得：f?xlimf?x?nTlimf?tlimf?0x?0?x?ntx?0?x?例33.求limarctan?x?lnxsinx?&&&&例32.如果f(x)是&&&&x?&&&&&&&&?f,?上的周期函数，且limx?0&&&&&&&&lnx?lnx0,sinx有界，sinx?x?1?sinx?，当x?时xxlnx?sinx?0,x?lnxsinx?,?limarctan?x?lnxsinxx?x22x2?52x2?7?4?例34.求limx?arctan2?arctan2?xx?1x?22x2?52x2?7解：x时arctan2?arctan2?0x?1x?22x2?52x2?7?4limx?arctan2?arctan2?xx?1x?2&&&&解：x?lnx&&&&&&&&cos?xecos?xe?例35.求lim&&&&x?xx?0&&&&&&&&?2x2?52x2?7limxtan?arctan2?arctan2?xx?1x??224x?1x?2?limx2x2x?52x2?71?2x?1x2?23x43?lim2?xx?1x2?2?2x2?52x2?75&&&&4&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&x3xex?xe?xxex?xe?x?2sinsin22解：原式?lim3x?0x&&&&&&&&&&&&xex?xe?xxex?xe?xex?e?xex?e?x1222limlim3x?02x?0xx?2x4xee?11e2x?e?2x114xlimlimlim22x?0x2x?0x2x?0x例36.求limn?x?a1x?a2?...?a?anx&&&&&&&&?&&&&&&&&&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&x?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&a1a2an解：原式?limx?n?1?1...?1?1?x?xxx1aaa?limx1?11?2?...?1?n1?x?n?xxx1?a1t1?a2t?...?1?ant1a1?a2?...?an?lim?t?0ntn1?x1?3x...1?nx例37.求limn?1x?1?1?x?&&&&&&&&?&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&?&&&&&&&&?1?解：原式?lim&&&&x?1&&&&&&&&1?(x?1)1?31?(x?1)...1?n1?(x?1)&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&1n!&&&&&&&&?&&&&&&&&?1?x?&&&&&&&&n?1&&&&&&&&lim&&&&x?1&&&&&&&&111x?1...?x?1?x?12?3n?&&&&&&&&?ln?x?ex3223344?例38.求极限lim?x?x?x?x?1?x?x?x?1?x?xx?111?3x?ln?ex?1?解：原式?limx12?3?4?12?3x?xxxxx?xxx?&&&&?lim&&&&t?0&&&&&&&&?1?x?&&&&&&&&n?1&&&&&&&&?&&&&&&&&?1?t?t&&&&&&&&2&&&&&&&&?t?t&&&&3&&&&&&&&4&&&&&&&&?1?t?t&&&&t&&&&&&&&14&&&&&&&&2&&&&&&&&?t&&&&&&&&133&&&&&&&&?&&&&&&&&11t?t2?t3?t4?t?t2?t313?lim4t?0t12&&&&&&&&&&&&例39.设F?x,y&&&&&&&&12y?y?5,x0?0,x1?F?x0,2x0?,...,2x2xn?1?F?xn,2xn?,n?1,2,...,证明：limxn存在，并求此极限值。,F?1,y&&&&n&&&&&&&&f?y?x?&&&&&&&&证明：令x=1得：&&&&&&&&122y?y?5,f?y?1y2?2y?10y?19，22?y?x?2?92，?f?y?x?y?x9,F?x,y2x22x0?9xn?9x1?,xn?1?,n?1,2,...，2x02xnx1?9?1?9?xn?0,?xn?1xn?3,n?11?21即3?xn?1?xn2?xn?xn2?xn?xn?单调递减且有下界，?limxn存在F?1,y?&&&&n&&&&&&&&f?y?1?&&&&&&&&设A?limxn，对xn?1?&&&&n&&&&&&&&2xn&&&&&&&&?limxn?3&&&&n&&&&&&&&?9A2?9两边同时取极限得A?，解得A?32A2xn&&&&&&&&例40.设a1?解：设&&&&&&&&1,...,an?1an，求lima1a2...an。n22222&&&&，则a1?cos&&&&&&&&?&&&&2&&&&&&&&?&&&&2&&&&&&&&,a2?&&&&n&&&&&&&&由数学归纳法可得an?cos&&&&&&&&?&&&&2&&&&&&&&11?cos?cos,...2?2?22&&&&&&&&，&&&&&&&&2ncoscos2...cosnsinn?2222?lima1a2...an?limcoscos2...cosn?lim?nnn2222nsinn2sin?sin?sin?2?lim?lim?nn?nn2sinn2n22an2例41.设a1?3,an?2an?1?1?n?2?，求lim。nn2aa...a12n?1&&&&解：由a1?3?1,an?2an?1?1及数学归纳法得an?1&&&&2&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&&&&&2224222an?1an?1an?122an?1an?1?1?2an?1an?2an?2?22?...?22n?2anan?1an?1an?2...a1a1?1?2?2...a1&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?2?2aa...a?&&&&n12n?1&&&&&&&&2&&&&&&&&得&&&&&&&&?2aa...a?&&&&n12n?1&&&&&&&&2an?1&&&&&&&&2&&&&&&&&?2，又an?1，?lim&&&&?0，&&&&2an?1&&&&&&&&12a1a2...an?1&&&&n&&&&&&&&n&&&&&&&&?0，&&&&&&&&即lim&&&&&&&&1&&&&&&&&n&&&&&&&&?2aa...a?&&&&n12n?1&&&&&&&&2&&&&&&&&?lim&&&&&&&&n&&&&&&&&?2aa...a?&&&&n12n?1&&&&&&&&2an&&&&&&&&2&&&&&&&&?lim&&&&&&&&n&&&&&&&&?2aa...a?&&&&n12n?1&&&&&&&&2&&&&&&&&?lim&&&&&&&&1&&&&&&&&n&&&&&&&&?2aa...a?&&&&n12n?1&&&&&&&&2&&&&&&&&?2&&&&&&&&即lim&&&&&&&&an&&&&&&&&n2naa...a12n?1&&&&&&&&?2&&&&&&&&例42.设&&&&&&&&f?0?存在，且lim&&&&x?0&&&&&&&&arctanx?xf?x?x3&&&&&&&&?1，求&&&&&&&&f?0?,f、?0?,f?0?的值。&&&&&&&&1、?fx?xf?x?2arctanx?xf?x?1?x?lim解：由1?lim得：32x?0x?0x3x1?f?00?f?012x2f、?xxf?x?1、2?f?xxf?x?1?x2?2?1?x由1?lim得:?limx?0x?03x26x2f、?x?2?f?x?22x1?x、得:f?00,由1?limx?06f、?x?8?2?2lim?f?06?3f?0?8,f?0?x?0x38?f?01,f、?00,f?0?3&&&&例43.计算&&&&x?&&&&&&&&lim(?arctanx)2&&&&&&&&?&&&&&&&&1lnx&&&&&&&&&&&&解：&&&&&&&&lim(?arctanx)x?2&&&&x&&&&&&&&?&&&&&&&&1lnx&&&&&&&&?lime&&&&x?&&&&&&&&?lnarctanx2?lnx&&&&&&&&?e&&&&22&&&&&&&&x&&&&&&&&lim&&&&&&&&2&&&&&&&&?1?2arctanx?1?x?x&&&&&&&&1?x1?1?x2?lim?lim?lim12?xx?x?1?x211?xarctanx?21?x2&&&&&&&&1?x2&&&&&&&&?lim(?arctanx)?e?1x?2例44.已知f(x)在x?6的邻域内为可导函数,&&&&&&&&?&&&&&&&&1lnx&&&&&&&&?t6f(u)du?dt?6t?。且limf(x)?0,limf?(x)?2010,求极限lim3x?6x?6x?6(6?x)x6?t6f(u)du?dtxf(u)du?6tx?lim解：lim2x?6x?6(6?x)3?3?x?6?&&&&x&&&&&&&&lim&&&&x?6&&&&&&&&6&&&&&&&&x&&&&&&&&f(u)du?xf?x6?x?6?&&&&1t&&&&&&&&?lim&&&&x?6&&&&&&&&?2f?xxf?x6&&&&&&&&?2010&&&&&&&&例45.求极限lim&&&&&&&&1?te.1t?021tet?arctan?t&&&&1t1&&&&&&&&1t?e1?tex?ext?lim1?lim解：lim1t?0t?02121xex?2xarctanxtet?arctanet?arctant?ttxx1?ee?lim?lim?1xxxx22x4e?arctanx?e?21?x21?x2?&&&&x2?0ecostdt?x?2例46.计算：limx?0?x?tanx?x?1?1&&&&xt&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&&&&&xx2x2t?0ecostdt?x?2?0ecostdt?x?2?lim解：limx?0x?01x?tanxx?1?1?x?tanx?x2xxecosx?1?xecosx?1?x?2lim2limx?0x?tanx?xtan2xx?0x3excosx?exsinx?1?2exsinx22lim2lim?x?0x?03x26x3xt&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&例47.求极限lim&&&&x?0&&&&&&&&cosx?ex2[2x?ln(1?2x)]&&&&&&&&?&&&&&&&&x22&&&&&&&&解：cosx?1?&&&&&&&&x2x4o(x4)2!4!&&&&&&&&x21x22x2x4o(x4)?(?)?o(x4)?1?2822!21ln(1?2x)2x?(?2x)2?o(x2)2x?2x2?o(x2)2由此得到：x2x4x2x41?x4?o(x4)1?o(x4)?[1?o(x4)]12!4!28?lim124?原式?limx?o(x)x?024[2x?2x?2x?o(x)]x例48.设函数f(x)具有二阶连续导函数，且f(0)?0，f?(0)?0，f(0)?0.在曲线y?f(x)上任意一点(x,f(x))（x?0）作曲线的切线，此切线在x轴上的截距记作&&&&&&&&e&&&&&&&&?&&&&&&&&x22&&&&&&&&?1?&&&&&&&&?，求lim&&&&&&&&xf(?)x?0?f(x)&&&&&&&&解：过点(x,f(x))的曲线y?f(x)的切线方程为：Y?f(x)?f?(x)(X?x)注意到由于f?(0)?0，f(0)?0，所以x?0时f?(x)?0.因此切线在x轴上的截距为：?&&&&&&&&?x?&&&&&&&&f(x)f(x)?0；，且limlimx?limx?0x?0x?0f?(x)f?(x)&&&&&&&&将f(x)在x0?0处展成泰勒公式得：&&&&&&&&f(x)?f(0)?f?(0)x?&&&&将x代入得：&&&&&&&&11f(?1)x2?f(?1)x2，?1在0与x之间；2211f(?2)?2?f(?2)?2，?2在0与?之间；22&&&&&&&&f(?)?f(0)?f?(0)&&&&&&&&&&&&1f(?2)?2f(?2)xf(?)lim?lim2?lim?lim?x?0?f(x)x?0x?0f(?)x?0x11f(?1)x22?xf(x)?f(x)f(x)f(0)?lim?lim?x?0x?0f?(x)xf?(x)?f(x)f(0)?f(0)xx?&&&&例49.设当x?1时,1?&&&&&&&&f(0)?limf(0)x?0&&&&?12&&&&&&&&x?&&&&&&&&f(x)f?(x)x&&&&&&&&m1?xxm?1&&&&&&&&是x?1的等价无穷小,则m?____&&&&&&&&m?1xm?mx?m?1m?11?xx解：lim?limm?1m1x?1x?1xx?12?x?x?1?m?3&&&&&&&&1?&&&&&&&&m&&&&&&&&1111?xn?nn?2nn?3nn?n?n111?1解：limxn?nn?2nn?3nn?n?n?1?1?1?nnnn?limxn112tdt1dx?2?t?ln1?t?0?2?2ln2001?t1?x&&&&例50.求lim?&&&&&&&&?&&&&&&&&2arctanx?ln&&&&例51.已知极限lim&&&&x?0&&&&&&&&1?x?ln(1?x)?ln(1?x)1?xx2x3x2x323?[x?o?x?]?[x?o?x3?]?2x?x3?o(x3)，3232311又?1?x2?o?x2?,?arctanx?x?x3?o(x3)，21?x313242(x?x?o(x3))?(2x?x3?o(x3))?x3?o?x3?33?lim3?C?原式?limnx?0x?0xxn&&&&解：法1：ln&&&&4可知：n?3，C.3&&&&&&&&xn&&&&&&&&1?x1?x?C?0，试确定常数n和C的值。&&&&&&&&&&&&法2：运用洛必达法则可知：&&&&&&&&211?4x?x1?x1?x原式?lim?limn?1limn?1?Cx?0x?0nxnxn?1nx?0x&&&&4故n?3，C.3例52.设f?xsinx?1?sinx2?sinx?...?2010?sinx?，求f?(0)&&&&&&&&解：设f?xsinxg?x?,g?x?1?sinx2?sinx?...?2010?sinx?则f&&&&&&&&&&&&?xsinxg?xcosxg?x?,?f?0g?02010!&&&&n&&&&&&&&例53.求&&&&&&&&lim?&&&&n&&&&&&&&n&&&&&&&&e&&&&&&&&kn&&&&&&&&。&&&&1k&&&&kn&&&&&&&&k?1n?&&&&&&&&解：&&&&&&&&n&&&&&&&&lim?&&&&n&&&&&&&&e&&&&&&&&kn&&&&&&&&k?1n?&&&&&&&&1k&&&&&&&&?lim&&&&&&&&edx?e?1n?nk?1&&&&1x0&&&&&&&&n&&&&&&&&e&&&&&&&&n&&&&&&&&lim?&&&&&&&&e&&&&&&&&kn&&&&&&&&k?1n?n&&&&&&&&1k&&&&&&&&?lim&&&&kn&&&&&&&&?limn?n?1nn?1k?1&&&&&&&&n&&&&&&&&e&&&&&&&&kn&&&&&&&&1&&&&&&&&e&&&&&&&&1n&&&&&&&&?e?1e?1&&&&1n&&&&&&&&e?1&&&&&&&&?lim&&&&&&&&n?k?1&&&&&&&&e&&&&&&&&n?&&&&&&&&1k&&&&&&&&?e?1&&&&1，x?f2(x)&&&&2&&&&&&&&例54.设函数f(x)满足f(1)?1，且对x?1时，有f?(x)?证明：（1）证明：（1)?&&&&&&&&x?&&&&&&&&limf(x)存在（2）limf(x)?1?&&&&x?&&&&&&&&π。4&&&&&&&&f?(x)?&&&&&&&&1?0?f?x?递增,?f?xf?11,x2?f2(x)&&&&&&&&?0?f?(x)?&&&&&&&&xx111?f(x)dx11?x2dxx2?f2(x)1?x2?1&&&&&&&&即f?x1?arctanx?&&&&&&&&?&&&&4&&&&&&&&,f?x1?&&&&&&&&?&&&&4&&&&&&&&?arctanx&&&&&&&&?1?f?xlim?1arctanx1?x?44f(x)单调且有界，所以limf(x)存在&&&&x?&&&&&&&&&&&&（2）由&&&&&&&&f?x1?&&&&&&&&?&&&&4&&&&&&&&?arctanx得：&&&&&&&&limf?xlim?1arctanx1?x?x?4?4?&&&&例55.设函数y?y(x)是由x&&&&3&&&&&&&&?y3?3axy?0（a?0）确定，求xlim?&&&&&&&&解：由题意得：当x?时y?且&&&&&&&&y。x&&&&&&&&?x?yx2?xy?y2x3?y3?3axy,x?y?&&&&&&&&3axy,x2?xy?y2y3ay6ayy1?21lim12x?xxx?xy?y2x2?y2x?y?&&&&&&&&例56.&&&&&&&&12nln?1ln?1?n?ln?1?n?...n求极限lim?n11n?1n?n12n?&&&&n&&&&&&&&?kk?ln?1ln?1n?nlim?n1ln1?xdx?2ln2?1解：lim?0nn1nk?1k?1n?k?kkk?ln1?ln1?ln1nnnn?n?n?nlimlimlim?nnnn?11n?1nk?1k?1k?1n?k?k?ln?1n1n?ln?1?x?dx?ln2?1?lim?2ln2?10n1k?1n?k&&&&tan(tanx)?sin(sinx)x?0tanx?sinxx3x33解：由麦克劳林公式得：tanx?xo?x?,sinx?xo?x3?33!&&&&例57.求极限lim&&&&&&&&&&&&tan?tanxtanxx?&&&&&&&&?tanx?&&&&3&&&&&&&&3&&&&&&&&x31?x3?3?o?xx?x?o?x3?33?3?&&&&&&&&3&&&&&&&&23x?o?x3?333?sinx?x31?x3?3sin?sinxsinxo?xx?x?o?x3?3!3!3!?3!?1?x?x3?o?x3?321x?x3?o?x3x?x3?o?x3?tan(tanx)?sin(sinx)33lim?lim?33x?0x?0tanx?sinxxx3?3xo?xxo?x33!&&&&&&&&?lim&&&&x?0&&&&&&&&x3?o?x3?&&&&&&&&13x?o?x3?2&&&&&&&&?2&&&&1&&&&&&&&?ex?e2x?...?enx?x例58.求极限lim，其中n是给定的自然数。x?0n&&&&lim?e?e?...?e?x?0lime?n解：x?0x2xnx1xlnex?e2x?...?enx?lnnx&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?e&&&&&&&&x?0&&&&&&&&lim&&&&&&&&ex?2e2x?...?nenxe?e?...?e&&&&x2xnx&&&&&&&&?e&&&&&&&&1?2?...?nn&&&&&&&&?e&&&&&&&&n?12&&&&&&&&例59.设数列{xn}满足：nsin&&&&&&&&11，则?xn?(n?2)sinn?1n?1&&&&&&&&limn&&&&&&&&1n?xk?_______。n?1k?1&&&&xn?xn?1?a(?a?)yn?yn?1&&&&&&&&STOLZ(施托尔茨定理)：&&&&&&&&设{yn}严格单增，且yn?+?，如果limn则limn&&&&推论：&&&&&&&&xnxn?xn?1=lim=aynnyn?yn?1&&&&&&&&&&&&（1）设limxn存在，则limnn&&&&&&&&x1+x2+L+xn?limxnnnx1+x2+L+xn(x1+x2+L+xn)?(x1+x2+L+xn?1)Qlim?lim?limxnnnnnn?(n?1)&&&&&&&&n（2）设limxn存在(xn0)，则limx1x2Lxn?limxnnnn&&&&&&&&由（1）可证Qlimn&&&&&&&&lnx1+lnx2+L+lnxn?limlnxnnn即limlnnx1x2Lxn?limlnxnnn&&&&&&&&（3）设limn&&&&&&&&xnxnn存在(xn0)，则limxn?limnnxn-1xn-1xnxn-1xn-2x1xnL?limnxn-1xn-2xn-31xn-1&&&&&&&&nnQlimxn=limnn&&&&&&&&证明显然，Qnsin&&&&&&&&11?xn?(n?2)sin?xn?1；n?1n?1&&&&&&&&xk?1nnk?1nk?1?limlim?lim?1?xk?limnnnn?1k?1n?1nn?1nn&&&&例60.设x0&&&&?&&&&&&&&?xk&&&&&&&&n&&&&&&&&n&&&&&&&&?0，x?&&&&&&&&2(1?xn?1)（n?1,2,3,...）.2?xn?1&&&&&&&&证明limxn存在，并求之.&&&&n&&&&?&&&&&&&&分析：证明数列极限存在的方法：①夹逼定理②单调有界定理③级数敛散法：若级数&&&&&&&&an?an?1?收敛，则liman存在④级数收敛的必要条件：若级数?an收敛，则&&&&n?1&&&&n&&&&&&&&n?1&&&&&&&&liman?0。给定数列?an?，则liman存在的充要条件是级数an?an?1?收敛，所以，&&&&nn&&&&&&&&?&&&&&&&&n?1&&&&&&&&判断数列的敛散性可以转化为判断级数的敛散性。下面对各种解法给出示例。证明：方法一（单调有界定理）.由题意得xn&&&&&&&&?0，对于一切的n恒有&&&&&&&&xn?12?1，xn?22，因此知数列{xn}有界；又2?xn?12?xn?122xn?1?xn?(2?)?(2?)2?xn2?xn?12(xn?xn?1)11?2(?)?2?xn?12?xn(2?xn?1)(2?xn)2(xn?1?xn?2)2(x1?x0)xn?xn?1?,...，x2?x1?(2?xn?2)(2?xn?1)(2?x0)(2?x1)于是可知xn?1?xn与x1?x0同号，故当x1?x0时数列{xn}单调递增；当x1?x0时数xn?1?&&&&&&&&&&&&列&&&&&&&&?xn?单调递减.即数列?xn?为单调数列，从而数列?xn?必有极限.&&&&n&&&&&&&&设limxn即limxn&&&&n&&&&&&&&?A，则A?limxn?lim&&&&n&&&&&&&&2(1?xn?1)2(1?A)，解之得A?2，?n2?x2?An?1&&&&xn?2&&&&&&&&?2.&&&&&&&&方法二（级数敛散法）由方法一得1?&&&&&&&&222(1?xn)2?xn2?xn?1xn?1?xnxn2?xn2?xn?2?xn?13?2xn?1?&&&&&&&&22?xnx?x11?1xn?xn?1?,?n?1n?12?xn?1xn?xn?13?2xn?15&&&&&&&&由正项级数的比值判别法得：级数&&&&&&&&x&&&&n?1&&&&&&&&?&&&&&&&&n?1&&&&&&&&?xn?绝对收敛，&&&&&&&&?limxn收敛，以下同方法一。&&&&n&&&&&&&&方法三（级数收敛的必要条件）&&&&&&&&2(1?xn?1)?2xn?22?xn?12?2xn?22(1?xn?1)?22?22?xn?1?xn?由正项级数的比值判别法得：级数?n?1xn?&&&&?limxn?2?0即limxn?2nnx?2n&&&&122&&&&&&&&xn?2xn?2&&&&22&&&&&&&&?3?22&&&&&&&&?&&&&&&&&x?x&&&&&&&&n&&&&&&&&?2?2&&&&&&&&n&&&&&&&&绝对收敛&&&&&&&&例61.设fn?xCncosx?Cncosx?...?1?Cncosx，求证：&&&&n?1nn&&&&&&&&（1）对于任意自然数n，方程fn?x（2）设xn0,&&&&&&&&1?在?0,?内仅有一解；2?2?&&&&&&&&1。x满足fn?xn，则limnn22?2?n?证明：（1）fn?x11?cosx?,fn?x?在?0,?上连续，?2?1fn?01,fn?0根据介值定理得?xn0,?使得fn?x。2?22?&&&&&&&&&&&&由fn?x?nsinx?1?cosx?&&&&&&&&&&&&n?1&&&&&&&&?0?0?x得fn?x?在?0,?上递减，故根xn唯2?2?&&&&n&&&&&&&&一。&&&&&&&&1?1?（2）fn?arccos11,n?n?n1?1111?limfarccos?1?lim11?fx?nnnnnn?e22n?1?故?N?0当nN时fn?arccosfn?xn?，由fn?x?在?0,?上递减得n?2?1?1?arccos?xn?又limarccos?limlimx?nn2nnn22n2&&&&例62.设函数f(x)可导，且f(0)=0,F解：令u&&&&&&&&?x?0tn?1f?xn?tn?dt，求limx?0&&&&x&&&&&&&&F?x?x2n&&&&&&&&。&&&&&&&&?x?t&&&&n&&&&&&&&n&&&&&&&&则F&&&&&&&&?x?0t&&&&&&&&x&&&&&&&&n?1&&&&&&&&1xnf?x?t?dtf?u?dun0&&&&nn&&&&&&&&1xnnn?1f?u?dufxx?F?x?0?lim2n?limn?limx?0xx?0x?0x2n2nx2n?1f?xn?1f?xnf?0?f?0?1?lim?lim?2nx?0xn2nx?0xn2n11例63.求lim?n!?nnn&&&&&&&&1?n!?解：lim?n!lim?nennnn&&&&1n&&&&?x&&&&&&&&1n&&&&&&&&1ilnnnni?1lim&&&&&&&&?&&&&&&&&n&&&&&&&&lnxdx?e?0?e?1&&&&&&&&1&&&&&&&&例64.设函数f(x)在(-L,L)上连续，在x=0处可导且（1）求证：对于任意给定的&&&&&&&&f?00；&&&&&&&&0xL，存在&&&&&&&&0?1使得&&&&&&&&?。（2）求极限lim?&&&&x?0&&&&&&&&?f?t?dt&&&&0&&&&&&&&x&&&&&&&&0&&&&&&&&f?t?dt?xfxf?x?；&&&&&&&&（1）证明：设F拉格朗日&&&&?x0&&&&&&&&?x?0f?t?dt0&&&&中值定理&&&&&&&&x&&&&&&&&?x&&&&&&&&f?t?dt，则F(0)=0,F(x)在[0,x]上可微，由&&&&&&&&得&&&&&&&&F?xF?0Fx?x,0?1即&&&&&&&&?&&&&&&&&x&&&&&&&&0&&&&&&&&f?t?dt&&&&&&&&f?t?dt?xfxf?x?&&&&&&&&&&&&?（2）解：由（1）得&&&&?&&&&&&&&x&&&&&&&&0&&&&&&&&f?t?dt&&&&&&&&&&&&?x&&&&&&&&2x令x?0由f(0)存在且f?00得上式的：&&&&左边=lim?&&&&&&&&02&&&&&&&&f?t?dt&&&&&&&&?&&&&&&&&fxf?x2?x&&&&&&&&f?xfx?1?f?0?x?04x2fxf?x?11f0lim?右边=lim，故limx?0?x?0?x?0?2?x22&&&&&&&&?ln?x?ex3223344?例65.求极限lim?x?x?x?x?1?x?x?x?1?x?xx?111?3x?ln?ex?1?解：原式?limx12?3?4?12?3x?xxxxx?xxx?&&&&&&&&?lim&&&&t?0&&&&&&&&?1?t?t2?t3?t4?41?t?t2?t3?3&&&&t&&&&&&&&1&&&&&&&&1&&&&&&&&11t?t2?t3?t4?t?t2?t313?lim4t?0t12&&&&例66.求函数f(x)?e?xsinx2的值域。解：要求f(x)?e?xsinx2的值域，只需求出函数的最大值与最小值即可.注意到函数&&&&22&&&&&&&&f(x)?e?xsinx2为偶函数，故只需考虑x?0的情况.为计算方便，令t?x2，得到g(t)?e?tsint，t?0，显然，g(t)与f(x)有相同的值域.求g(t)的驻点：g?(t)e?tsint?e?tcost?e?t(cost?sint)?令g?(t)?0，得到驻点tkk?(k?0,1,2,?)，其对应的函数值为4?(?k?)?2?(4?k?)k4g(tk)?esin(?k?)?(?1)e42?2?4显然，当k?2m(m?0,1,2,?)时，g(t2m)?0，其中最大值为g(t0)?e；25?2?4当k?2m?1(m?0,1,2,?)时，g(t2m)?0，其中最大值为g(t1)e.252?42?4e,于是得到函数g(t)的值域，亦即函数f(x)的值域为：(?e）.22例67.若f?xC?a,b?且对任意xa,b?存在相应的ya,b?使得&&&&&&&&2&&&&&&&&f?y&&&&&&&&1f?x?，证明：至少存在一点x0使f?x00。2&&&&&&&&&&&&证明：假设?x?a,b有f?x0，则f?x0或f?x0仅取其一。不妨设&&&&&&&&f?x0,?xa,b?，由f(x)在?a,b?上连续得f(x)有最小值，记f?x?min?fx，由题意得0a,b?使得0?1fff?x0f?x0?而这与f?x0?是最小值矛盾。2&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&1.3.练习题&&&&&&&&?xx2?1.求lim?1。2?nn2n1?2?...?n11?22.求lim?3...。n?nn3n3?xxx3.求limcoscos2...cosn。n222n?nb?1?4.求lim?1，其中a0,b0。na2nx?n?1x?x?0?。5.求limn&&&&n&&&&&&&&n&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&1?cosxcos2x3cos3x6.求limx?0x2&&&&7.设a?0,x1?0，定义xn?1?&&&&2&&&&&&&&。&&&&&&&&1?a?3xn?3?,n?1,2,...，求limxn。?n4?xn?&&&&&&&&8.设&&&&&&&&?sinxln(1?t)dt?0,x?0，在x?0处连续，则a?f(x)2x2x2e?2e?1?x?0a,&&&&&&&&&&&&9.&&&&&&&&x?sinx1?22n?1?n2?22?...?n2n?1。10.计算lim2?nn?f?x?f?x?111.已知limxln?14，则lim3=_________?x?0x?02?1x?1?cosx?&&&&x?2&&&&&&&&lim&&&&&&&&4x2?x?1?x?1&&&&&&&&?&&&&&&&&12.已知曲线y?f(x)在点(1,0)处的切线在y轴上的截距为?1,&&&&&&&&1求lim[1?f(1?)]nnn&&&&13.若当x?0时，F(x)?&&&&&&&&?0(x&&&&x&&&&&&&&x&&&&&&&&2&&&&&&&&?t2)f(t)dt的导数与x2为等价无穷小，求f(0)。&&&&&&&&?sint?sint?sinx14.设f?xlim?，求limf?xt?xsinxx?0&&&&?ex?e2x?e3x?sinx15.求limx?03&&&&16.求极限lim?&&&&1&&&&&&&&?a1?a2?...?an,ai?0,i?1,2,...。x?0n&&&&xxx&&&&&&&&1x&&&&&&&&17.设函数f(x)在点a处可微，且&&&&&&&&f&&&&&&&&1?f?a?n。?a0，试求limn?f?a&&&&&&&&n&&&&&&&&122222[n?1?2n?2(n?1)?n?(n?1)]。3nnatanx?b(1?cosx)19.若lim?2，则a?_________。x?0ln(1?2x)?c(1?e?x)&&&&18.求极限lim&&&&2&&&&&&&&1(cosx)x2,x?020.设要使函数f(x)在区间(,)上连续，则aa,x?0?1?f(x)tanx?1?3，则limf(x)?________________。21.已知limx?0x?0e2x?1&&&&&&&&.&&&&&&&&2sinsin?n?n?...?sin22.计算limn12n?1?nn?nn&&&&&&&&&&&&2n?1?nnn?222?23.求极限lim?...?nn?111n?n2n&&&&&&&&24.&&&&&&&&第二章微分学&&&&2.1.基本概念与内容提要&&&&1.导数的概念：f&&&&&&&&&&&&lim?x0?x?0&&&&&&&&f?x0?xf?x0?f?xf?x0limx?x0xx?x0&&&&&&&&2.平面曲线的切线和法线方程3.一元求导法则（1）.参数方程的导数：?&&&&、2&&&&&&&&dyy?t?dyx?t?y?ty?t?x?t,?dxx?t?dxx?t?&&&&、、、2、3&&&&&&&&x?x?t?所确定的函数的一阶、二阶导数分别是：y?y?t?&&&&&&&&（2）.求隐函数的导数的方法：①方程两边同时对x求导，要记住是的函数，求导．．．y．．x．．．．时y别忘了；②公式法：由F&&&&、&&&&&&&&?x,y0得&&&&dy。dx&&&&&&&&FdydxF&&&&&&&&x&&&&&&&&③利用微分形式不变性，对方&&&&&&&&y&&&&&&&&程两边同时取微分，然后解出&&&&&&&&dx11d2x?1?dxy（3）.反函数求导：,、,2、、3dydyydyydyx?y?dx&&&&?y、?dx3?yd3xdy3?y?xdy&&&&、2&&&&&&&&、&&&&&&&&y?y?y?&&&&、、5&&&&&&&&&&&&&&&&（4）.高阶导数的求法：①求一元函数的高阶导数：利用直接法、函数的麦克劳林展开&&&&&&&&&&&&式或递推公式，&&&&&&&&?uv?&&&&&&&&?n?&&&&&&&&Cu?&&&&kk?0n&&&&&&&&n&&&&&&&&n?k?&&&&&&&&?v。&&&&k&&&&&&&&展开成幂级数（两种方法、两种类型）之后直接求导。②求分式有理函数的高阶导数：先将有理假分式通过多项式除法化为整式与有理真分式之和，再将有理真分式写成部分分式之和，最后仿&&&&&&&&?x?&&&&m&&&&&&&&?n?&&&&&&&&的表达式写出给定的有理函数&&&&&&&&的n阶导数；③求由三角函数通过四则运算构成函数的高阶导数：利用三角函数中积化和差与倍角公式把函数的次数逐次降低，最后变成sinkx,coskx之和或之差的形式，&&&&&&&&n?kx?ksin?kx,2n?coskx?kcos?kx，将给定函数的n阶导数写出来。2n?几个常见高阶导数公式：sinkx?ksin?kx,2n?1?n!?coskx?kcos?kx?,1?2x?x?n?1n?1?n?1?!?n1?lnx1?n&&&&再用公式sin&&&&n&&&&&&&&?n?&&&&&&&&n&&&&&&&&n&&&&&&&&n&&&&&&&&n&&&&&&&&、&&&&&&&&n&&&&&&&&n&&&&&&&&n&&&&&&&&n?1&&&&&&&&?x?&&&&n&&&&&&&&?k?&&&&&&&&x?x?n!?xn?k?1?k?n?,xn?n?k?!&&&&hx&&&&&&&&&&&&&&&&?k?&&&&&&&&?0?k?n?&&&&&&&&4.必须掌握的三种常见变限函数求导是：&&&&、gxf?t?dt,则y、?fh?x?h?xfg?x?g?x?；xx⑵y0f?x?g?t?dt，则y?f?x0g?t?dt，&&&&&&&&⑴y&&&&&&&&y、?f、?x0xg?t?dt?f?x?g?x?；&&&&&&&&u10xf?xt?dt，方法是变量代换，令u?xt,则t?,dt?du，xxx22x?0f?u?du、2xfx0f?u?duy?,y?；xx2x②y0f?x?t?dt，方法也是变量代换，令u?x?t,&&&&⑶①y&&&&2&&&&&&&&&&&&&&&&2&&&&&&&&则&&&&&&&&t?x?u,dtdu，y0xf?u?du,y、?f?x?&&&&&&&&5.利用导数判断函数单调性：导函数大于0原函数递增，导函数小于0原函数递减。6.极值的判别方法（1）极值的定义&&&&&&&&&&&&例.设f(x)在x=0的某邻域内连续，且limA．不可导B．可导，且&&&&&&&&f?00&&&&&&&&f?x2，则在点x=0处f(x)（x?01?cosx&&&&C．取得极大值&&&&0&&&&&&&&）&&&&&&&&D．取得极小值&&&&&&&&解：由极限的存在性得f(0)=0，又由极限的保号性得：x?U?0?,&&&&&&&&?f?x0?f?0?，f(0)是极小值。&&&&（3）用高阶导数判断极值：设f极小值；若f&&&&&&&&&&&&f?x0，1?cosx&&&&&&&&（2）利用导数判断单调性后得出极值点：导函数在极值点的左右符号不同&&&&&&&&?x00则f?x0?为极大值&&&&&&&&若f?x00则f?x0?为?x00,f?x00，&&&&&&&&7.函数的最值：闭区间内最值可能出现在极值点、断点8.函数图象的凹凸性与二阶导数有关：正凹负凸；凹凸性改变的点（二阶导数改变符号的点）即为拐点。补充：不动点为f?xx点；零点为f?x0的点；驻点为f&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&?x0的点；极&&&&&&&&值点为f&&&&&&&&?x?改变符号的点；拐点为f?x?改变符号的点。&&&&&&&&6.多元函数微分学及应用?z?z?u?u?u全微分：dz?dx?dydu?dx?dy?dz具有形式不变性。?x?y?x?y?z&&&&z?f?x,y?偏导数的几何意义：fx、?x0,y0?和fy、?x0,y0?分别表示曲线?在点?x0，y0，z0?y?y0处的切线对x轴和y轴的斜率。函数的连续性和可微、可导必须会用定义判断。&&&&&&&&连续的混合高阶偏导数与求导顺序无关。二元函数的偏导数存在是连续的既不充分又不必要条件。&&&&&&&&二元函数存在两个偏导数是可微的必要不充分条件。偏导数连续是函数可微的充分不必要条件。函数连续是可微的必要不充分条件。全微分的近似计算：?z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y&&&&dz?z?u?z?v多元复合函数的求导法：z?f[u(t),v(t)]dt?u?t?v?t?z?z?u?z?vz?f[u(x,y),v(x,y)]?x?u?x?v?x?u?u?v?v当u?u(x,y)，v?v(x,y)时，du?dx?dydv?dx?dy?x?y?x?y隐函数的求导公式：&&&&FFFdydyd2y隐函数F(x,y)?0，x，2?(?x)＋(?x)?dxFydx?xFy?yFydx&&&&&&&&FyF?z?z隐函数F(x,y,z)?0，x，?xFz?yFz&&&&&&&&&&&&?F?FFFv?F(x,y,u,v)?0?(F,G)?u?v隐函数方程组：J?uG?GGuGv?(u,v)?G(x,y,u,v)?0?u?v?u1?(F,G)?v1?(F,G)?u1?(F,G)?v1?(F,G)?,?,?,xJ?(x,v)?xJ?(u,x)?yJ?(y,v)?yJ?(u,y)7.多元函数微分学在几何上的应用：?x(t)x?xy?y0z?z0?1).空间曲线?y(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：0，(t0)(t0)(t0)?z(t)?&&&&曲线在点M处的切向量为T(t0)，(t0)，(t0)?，同时也是法平面的法向量，在点M处的法平面方程：(t0)(x?x0)?(t0)(y?y0)?(t0)(z?z0)?0&&&&&&&&2).空间曲线y=y?x?,z?z?x?在点?x0，y0，z0?处的切向量T=?1，y?x0?,z?x0,切线方程为&&&&&&&&?x?x0?y?y0?z?z2?,法平面方程为x?x?yxy?y?zxz?z?0?00?02?0?1y?x0?z?x0?&&&&?F(x,y,z)?03).若空间曲线方程为：,过该曲线的曲面束方程为F(x,y,z)G(x,y,z)?0G(x,y,z)?0&&&&、、、则切向量TFx、,Fy、,Fz、?Gx,Gy,Gz{&&&&&&&&FyGy&&&&&&&&FzFz,GzGz&&&&&&&&FxFx,GxGx&&&&&&&&Fy}，Gy&&&&&&&&切线方程为&&&&&&&&x?x0y?y0z?z0,FzFxFyFzFxFyGzGxGyGzGxGy&&&&FzGz(x?x0)?FzGzFxGx(y?y0)?FxGxFyGy(z?z0)?0&&&&&&&&Fy法平面方程：Gy&&&&&&&&（还有一种方法自己到书上去查）&&&&&&&&4).曲面z=f?x,y?在点?x0，y0?处的法向量nfx?x0,y0?,fy?x0,y0?,?1?,&&&&&&&&切平面方程z?z0?fx?x0,y0x?x0fy?x0,y0y?y0?法线方程x?x0y?y0z?z0fx?x0,y0?fy?x0,y01&&&&&&&&&&&&5).曲面F(x,y,z)?0上一点M(x0,y0,z0)处的法向量：n?{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)(z?z0)?0x?x0y?y0z?z0法线方程：Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)&&&&方向导数与梯度：&&&&&&&&&&&&?f?f?f函数z?f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：?cossin?，?l?x?y?f?f其中?为x轴到方向l的转角。方向导数与方向有关，?ll?f?f?f?f?coscoscos?其中?、?、?为l的方向角。?l?x?y?z?f?f函数z?f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)?i?j，它与方向导数的关系是：?x?y?f?gradf(x,y)?e，其中e?cosi?sinj为l方向上的单位向量。?l?f是gradf(x,y)在l上的投影。沿梯度方向函数的方向导数最大，函数变化最快。?l8.多元函数的极值及其求法：设fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?0，令：fxx(x0,y0)?A,fxy(x0,y0)?B,fyy(x0,y0)?C，?B2?AC对u=f?x,y,z?,&&&&?A?0,f(x0,y0)为极大值则：当?0时，；当?0时,无极值；当?0时,不确定A?0,f(x0,y0)为极小值拉格朗日乘法求极值：函数z?f(x,y)在条件x,y0下极值的求法：令F?x,yf?x,y?x,y?&&&&?Fx?x,yfx?x,yx?x,y0?由?Fy?x,yfy?x,yy?x,y0，求解的驻点?x0,y0?就可能是极值点，三元函数同?x,y0?理。9.高数中处理中值定理的四种思维定势1）在题设条件下若函数f(x)二阶或二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展开成泰勒公式再说。2）在题设条件或欲证结论中有定积分的表达式时，则先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。&&&&&&&&3）在题设条件下若函数f(x)在&&&&&&&&?a,b?上连续，在?a,b?上可导，且f(a)=0或f(b)=0&&&&a?,&&&&x&&&&&&&&或f(a)=f(b)=0，则先用拉格朗日中值定理或洛尔定理处理一下再说。如：⑴若f(a)=0，则f?xf?fx?⑵若f(a)=f(b)=0可得①a,b?,f0&&&&&&&&或?f&&&&&&&&x&&&&&&&&f?x?f、?t?dt?f?a?f、?t?dt&&&&aa&&&&&&&&x&&&&&&&&②f?xf?xf?af1x?a?,f?xf?xf?bf2x?b?4）对定限或变限函数，若被积函数或其主要部分为复合函数，则先做变量代换使之成为简单形式再说。例：设函数f(x)在[a,b]上有连续的导数，且f?af?b0，M?maxf、?x?，求证：&&&&xa,b?&&&&&&&&f?x?dx?M。2?b?aa&&&&&&&&4&&&&&&&&b&&&&&&&&&&&&证明：由思维3，f?xf?xf?af1x?a?,&&&&&&&&f?xf?xf?bf2x?b?，?f?xM?x?a?,f?xM?b?x?&&&&f?x?dx&&&&aba?b2a&&&&&&&&M?x?a?dxa?bM?b?x?&&&&2&&&&&&&&b&&&&&&&&?b?a?dx?&&&&4&&&&&&&&2&&&&&&&&M&&&&&&&&?&&&&&&&&f?x?dx?M。?b?a&&&&2a&&&&&&&&4&&&&&&&&b&&&&&&&&10.零点定理证明：1）.一般用连续函数介值定理证。证明（或由已知）f(x)在&&&&&&&&f?a?f?b0，则至少存在一点?a,b?使f0。&&&&2）.证明f(x)至多几个零点：设函数f(x)有k个零点，则有k-2个零点，,&&&&&&&&?a,b?上连续且&&&&&&&&&&&&f&&&&&&&&、&&&&&&&&f?&&&&&&&&k?1?&&&&&&&&?x?有1个零点，f?x?没有零点。&&&&?k?&&&&&&&&?x?有k-1个零点，f?x?&&&&&&&&注：函数只有连续性，考虑用零点定理、介值定理。函数一阶可导考虑用罗尓定理、中值定理。函数二阶或二阶以上可导，考虑用泰勒公式或对低一阶用中值定理或罗尓定理。11.中值定理证明：第一积分中值定理：a,b?，使得&&&&&&&&?f?x?dxb?a?f?第二积分中值定理：a,b?，使得?f?x?g?x?dx?gf?x?dx又叫广义积分&&&&abbaa&&&&&&&&b&&&&&&&&中值定理。1）.欲证结论：至少存在一点?使得思路一：验证&&&&&&&&?x?在?a,b?上满足罗尔定理条件，由该定理即可得证；思路二：验证?为f?x?的最值或极值点，用费马定理即可得证。2）.欲证结论：至少存在一点?a,b?使得fk及其代数式的命题。思路提示：①作辅助函数F?x?；②验证F?x?满足罗尔定理条件；③由定理的结论&&&&f?&&&&n?1?&&&&&&&&f0的命题。&&&&n&&&&&&&&?n?1?&&&&&&&&?n?&&&&&&&&即可得证。构造辅助函数的方法：（1）原函数法：①将欲证结论中的?换成x；②通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式（或称之为易积分形式）；③用观察法或积分法求出原函数（即不含导函数的式子），为简便积分常数取作0；④移项使等式一边为0，则另一边即为所求辅助函数。（2）常数k值法：①令常数部分为k；②恒等变形，使等式一端为a及f(a)构成的代数式，另一端为b及f(b)构成的代数式；③分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式，若是只要把端点a改成x，相应的函数值f(a)改成f(x)，则换变量后的端点表达式就是所求辅助函数F(x)。3）.欲证结论：至少存在一点?,&&&&&&&&?a,b?且?满足某种关系式的命题。&&&&&&&&思路：使用两次拉格朗日中值定理或者柯西中值定理，或者一次拉格朗日中值定理、一次柯西中值定理，然后再将它们做某种运算。4）.用拉格朗日中值定理求极限：关键是将欲求的极限写成中值定理的形式。&&&&&&&&&&&&?e?e?tanx?sinx?，其中?在sinx与tanx?之间，当x?0时0,e?1e?tanx?sinx?e?esecx?cosx?lim?lim?limx?sinxx?sinx1?cosx1?cosx?limsecxlim?lim?1?cosx?cosx31?cosx&&&&解：由拉格朗日中值定理得e&&&&?&&&&tanxsinx&&&&&&&&e?e例：lim。x?sinx&&&&tanxsinxx?0&&&&&&&&?&&&&&&&&tanx&&&&&&&&sinx&&&&&&&&2&&&&&&&&x?0&&&&&&&&x?0&&&&&&&&x?0&&&&&&&&3&&&&&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&x?0&&&&&&&&x?0&&&&&&&&x?0&&&&&&&&5）.用积分中值定理求极限&&&&&&&&xn?1?xdx。11xn?nxn?n?1?2dx?dx?lim?0解：0,?使得?，?lim?201?xn01?xn2?1?2?12?1?x2?y2ecos?x?y?dxdy=___________.例2.设Dr:x2?y2?r2，则lim2r?0?rDr&&&&例1.求lim解：?,?Dr使得&&&&?&&&&&&&&12n0&&&&&&&&e&&&&Dr&&&&&&&&?x2?y2&&&&&&&&cos?x?y?dxdyr2e&&&&&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&cos?，&&&&&&&&当r?0时,0,0?，&&&&&&&&?lim?&&&&r?0&&&&&&&&1r2&&&&&&&&e&&&&Dr&&&&&&&&?x2?y2&&&&&&&&cos?x?y?dxdy?lim?e&&&&00&&&&&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&cos?&&&&&&&&6）.用泰勒公式求极限7）.泰勒公式的乘法和长除法：例：将&&&&&&&&ln?1?x?展开到x3项。xe&&&&&&&&解：方法一：ln?1?xx?&&&&&&&&ln?1?xx2x311x3eln1?x?x?ox1?x?x2?x3?o?x3xe?x?x2?x3?x2?x3x3?o?x3x?x2?x3?o?x3?222?323?23xxx?o?x3?ln?1?x?3423x?x2?x3?o?x3?。方法二：长除法x11e231?x?x2?x3?o?x3?26&&&&&&&&x2x311o?x3?,e?x?1?x?x2?x3?o?x3?,2326&&&&&&&&&&&&115x?x3?x?o?x5?sinx126120x?x3?x5?o?x5?练习：用长除法可得tanx?cosx1?1x2?1x4?ox5315224&&&&8）.泰勒公式在微分有关证明题中的应用：泰勒公式是高等数学的一个重要内容，它在近似计算、极限运算、微积分证明、级数与广义积分的敛散性判断等方面有着广泛的应用。泰勒公式建立了函数及其导数之间的联系，使用时，展开点通常选择在区间的端点、中点、极值点和已知点。常考的一些题型有：①利用泰勒展开式求高阶导数②求极限③判断级数的敛散性④判断无穷小的阶数⑤利用展开式进行证明，常与连续函数的介值定理、最大值和最小值定理、费马定理等中值定理结合使用。若函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内存在n+1阶的导数，则当x在(a,b)内时，f(x)可以表示为&&&&&&&&f?x0?f?nx0?2nf?xf?x0f?x0x?x0?x?x0...x?x0Rn?x?其中2!n!?n?1?f?x?xn?1叫做拉格朗日余项，这里?是介于x与x之间的某个值。或Rn?x?0?0?n?1?!&&&&&&&&n&&&&&&&&者Rn?xox?x0?x?x0?叫做皮亚诺余项。在证明题中一般用带拉格朗日余项的&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&泰勒公式。9）.泰勒公式在微分问题中关于等式的证明例1.设函数f(x)在[a,b]上有三阶连续导数，试证：存在一点?a,b?，使得&&&&&&&&1?a?b?f?bf?af?b?a?fb?a24?2?&&&&&&&&&&&&3&&&&&&&&此题可用k值法构造辅助函数来解决。在此使用泰勒公式来证明。思路分析：题目给的条件很简单，又是三阶（高阶）可导，具备泰勒公式的条件，关键是怎样选择合适的x0点。观察到结论中出现了f?两个特殊点，也应满足泰勒公式。&&&&&&&&a?b?a?b，不妨取x0?2，而a,b是?2?&&&&&&&&a?ba,b?处的泰勒公式为223a?b?1?a?ba?b?1a?ba?b?a?bf?xf?f?x?f?x?fx2?2?22?6222?a?b这里?介于x与x0?之间。2&&&&证明：由条件得：f(X)在x0?当x=a，x=b时分别有&&&&1?a?ba?b?1?a?ba?ba?ba?b?f?af?f?f?f?6?2?&&&&223&&&&&&&&?12?&&&&&&&&1?a?bb?a?1?a?bb?aa?bb?a?f?bf?f?f?f?6?2?&&&&&&&&3&&&&&&&&&&&&其中，?1介于a与&&&&&&&&a?ba?b之间，?2介于与b之间。22&&&&&&&&式（2）减去（1）得&&&&31?a?b?f?bf?af?b?a?ff?b?a12482?&&&&&&&&因为&&&&&&&&f&&&&&&&&&&&&&&&&2ff&&&&&&&&?x?&&&&&&&&f?&&&&12&&&&&&&&在[a,b]上连续，由介值定理得：存在?a,b?使得&&&&&&&&&&&&所以&&&&&&&&31?a?b?f?bf?af?fb?a?b?a24?2?&&&&&&&&在证明微分中的等式问题时，其条件都是高阶（二阶或二阶以上）可导或可微，其关键是要根据已知条件，选择恰当的x0，然后使用泰勒公式，就可得到所要的结论。10）泰勒公式在微分问题中关于不等式的证明f?x?1，求证：存在一点例2.设函数f(x)在[0,1]上二次可微，且f(0)=f(1)=0，min0?x?1&&&&&&&&?0,1?使得f8。&&&&&&&&思路分析：f(x)在[0,1]上二次可微且有最小值?1?0，所以在(0,1)内一定有极值点，该点的导数为0。又高阶可导，想到泰勒公式，要证的结论中无一阶导数，故选最小值点为x0。f(x)在x0处的泰勒公式为：&&&&&&&&证明：由题意，不妨设x00,1?为f(x)在[0,1]上的最小值点，则f?x0?1,f?x00。&&&&&&&&f?xf?x0f?x0x?x0&&&&即f?x?1?&&&&&&&&12fx?x0?2&&&&&&&&12fx?x0?，这里?介于x与x0之间。2112分别令x=0,1得：f?0?1?f1?x02,f?1?1?f21?x0?2222其中01?x02?1，由f(0)=f(1)=0得f12,f22x0?1?x0?&&&&所以，当x00,?时f1&&&&&&&&综上所述，存在一点?0,1?使得f8。&&&&&&&&&&&&&&&&1?2?&&&&&&&&22?18，当x0,1?时f22?82x0?1?x02?&&&&&&&&另解：由题意得f?x?在[0,1]上连续，?由介值定理得?1,?2?使得&&&&&&&&f&&&&&&&&1121?f?8?ff，212?x02?1?x0?x0?1?x0?2?&&&&&&&&在证明微分问题的不等式问题时，其条件只要是高阶（二阶或二阶以上）可导或可微，利用泰勒公式处理问题时，其关键是要根据已知条件，选择恰当的x0，将泰勒公式进行适当的放大或缩小，就可以接近目标，使问题得以解决。（11）.泰勒公式在微分问题中其他问题的证明&&&&&&&&&&&&例3.设函数f(x)在R上三阶可导，且f?x?和f(x)有界，求证：f、?x?,f?x?也有界。&&&&3&&&&&&&&思路分析：该题条件是函数f(x)高阶（三阶）可导，应能想到利用泰勒公式求解。其关键是如何选择合适的x0点，并要选择在某处将函数展开，并恰好约掉多余项，利用&&&&&&&&f?3x?和f(x)有界的条件，从而得到结论。注意到x+1,x-1与x正好相差1和-1，不妨取x0?x,且x取x?1,x?1时，利用泰勒公式，约掉其中一个未知量，即可得到另一个&&&&未知量的结论。证明：根据题目条件，f(x)在x0处的泰勒公式为&&&&&&&&1213f?x0x?x0fx?x0?26这里?介于x与x0之间。分别取x0?x,且x取x?1,x?1有：11f?x?1f?xf、?xf?xf1?,26其中x?12?x1?x?111、f?x?1f?xf?xf?xf2?,26、两式相加消去f?x?得f?xf?x0f?x0x?x01f?xf?x?1f?x?12f?x?f2f16两式相减消去f?x?得11?f?x?1f?x?1f2f12123由f?x?和f(x)有界，可知f、?x?,f?x?也有界。f、?x&&&&这类问题的证明，使用泰勒公式时有一定的技巧性，要多注意归纳、总结，才能灵活使用泰勒公式解决问题。（12）利用泰勒展开式判断级数的敛散性：&&&&&&&&1?例：判断级数?nn?2n?1?&&&&?n&&&&&&&&的敛散性。&&&&&&&&?1?n?解：?1n&&&&?n&&&&&&&&?&&&&&&&&12&&&&&&&&11?&&&&n&&&&&&&&111?o?11o,?3n2nnnnn2n?1?2n&&&&nnn&&&&&&&&1?1nnn?2n?2n?1?&&&&敛。&&&&&&&&&&&&&&&&1o3?，三个级数都收敛，故原级数也收nnn?2n?22n2?&&&&&&&&1&&&&&&&&在判断级数的敛散性时，可以利用泰勒公式展开，很容易判断一般项趋于0的速度，在级数敛散性的题目中用泰勒公式判断应用很广且是一种有效的方法。12.中值定理的常用方法总结：&&&&1）.所证式仅与ξ相关①观察法与凑方法&&&&&&&&&&&&例1:设f(x)在[0,1]上二阶可导，f(0)?f(1)?f?(0)?02f?(?)试证至少存在一点(a,b)使得f(?)?.1分析：把要证的式子中的?换成x，整理得f(x)?xf(x)?2f?(x)?0由这个式可知要构造的函数中必含有f?(x)，从xf(x)找突破口因为[xf?(x)]xf(x)?f?(x)，那么把(1)式变一下：f(x)?f?(x)?[xf(x)?f?(x)]?0?f(x)?f?(x)?[xf?(x)]0这时要构造的函数就看出来了F(x)?(1?x)f?(x)?f(x)&&&&②原函数法&&&&&&&&(1)&&&&&&&&例2:设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f(a)?f(b)?0，又g(x)在[a,b]上连续求证：?(a,b)使得f?(?)?g(?)f(?).分析：这时不论观察还是凑都不容易找出要构造的函数，于是换一种方法现在把与f有关的放一边，与g有关的放另一边，同样把?换成x两边积分f?(x)?g(x)?lnf(x)g(x)dx?lnC?f(x)?Ce?g(x)dxf(x)?f(x)eg(x)dx?C现在设C?0，于是要构造的函数就很明显了F(x)?f(x)eg(x)dx&&&&③一阶线性齐次方程解法的变形法&&&&&&&&对于所证式为fpf?0型，（其中p为常数或x的函数）&&&&pdxpdx可引进函数u(x)?e?，则可构造新函数F(x)?f?e?例：设f(x)在[a,b]有连续的导数，又存在c?(a,b)，使得f?(c)?0f(?)?f(a)求证：存在(a,b)，使得f?(?)?b?af(?)?f(a)分析：把所证式整理一下可得：f?(?)0b?a1?[f(?)?f(a)][f(?)?f(a)]?0，这样就变成了fpf?0型b?a&&&&&&&&?－dx－引进函数u(x)?eb?a＝eb?a（令C=0），于是就可以设F(x)?eb?a[f(x)?f(a)]注：此题在证明时会用到f?(c)?&&&&2）.所证式中出现两端点①凑拉格朗日&&&&&&&&1&&&&&&&&x&&&&&&&&x&&&&&&&&f(b)?f(a)?0?f(b)?f(a)这个结论b?a&&&&&&&&例3设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导bf(b)?af(a)证明:至少存在一点(a,b)使得?f(?)f?(?).b?a分析：很容易就找到要证的式子的特点，那么可以试一下，不妨设F(x)?xf(x),用拉格朗日定理验证一下F?(?)?f(?)f?(?)?bf(b)?af(a)b?a&&&&&&&&&&&&②柯西定理&&&&&&&&例4设0?x1?x2，f(x)在[x1,x2]可导，证明在(x1,x2)至少存在一点c，使得ex?f(c)?f?(c)f(x2)exf(x2)?exf(x1)分析：先整理一下要证的式子?f(c)?f?(c)ex?ex这题就没上面那道那么容易看出来了&&&&x1&&&&212&&&&1212&&&&&&&&e1ex?exf(x1)&&&&&&&&发现exf(x2)?exf(x1)是交叉的，变换一下，分子分母同除一下ex?xf(x2)f(x1)?xexe于是这个式子一下变得没有悬念了11?exex用柯西定理设好两个函数就很容易证明了&&&&121&&&&&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&1&&&&&&&&2&&&&&&&&1&&&&&&&&③k值法&&&&&&&&仍是上题分析：对于数四，如果对柯西定理掌握的不是很好上面那题该怎么办呢？(k值法)第一步是要把含变量与常量的式子分写在等号两边exf(x2)?exf(x1)设?k整理得e?x[f(x1)?k]?e?x[f(x2)?k]xxe?e很容易看出这是一个对称式，也是说互换x1x2还是一样的那么进入第二步，设F(x)?e?x[f(x)?k]，验证可知F(x1)?F(x2)&&&&121212&&&&&&&&记得回带k，用罗尔定理证明即可。以此题为例已经是规范的形式了，现在就看常量的这个式子&&&&④泰勒公式法老陈常说的一句话，管它是什么，先泰勒展开再说。当定理感觉都起不上作用时，泰勒法往往是可行的，而且对于有些题目，泰勒法反而会更简单。3）、所证试同时出现ξ和η①两次中值定理&&&&&&&&例5f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f(a)?f(b)?1试证存在?，(0,1)使得e?[f(?)?f?(?)]?1分析：首先把?与?分开，那么就有e?[f(?)?f?(?)]?e?一下子看不出来什么，那么可以先从左边的式子下手试一下很容易看出e?[f(?)?f?(?)]?[e?f(?)]?，设F(x)?exf(x)&&&&&&&&利用拉格朗日定理可得F?(?)?&&&&&&&&ebf(b)?eaf(a)再整理一下b?a&&&&&&&&&&&&eb?eaeb?ea只要找到与e?的关系就行了b?ab?ax这个更容易看出来了，令G(x)?e则再用拉格朗日定理就得到e[f(?)?f?(?)]?&&&&?&&&&&&&&G?(?)?e&&&&&&&&eb?ea?e?[f(?)?f?(?)]b?a&&&&&&&&②柯西定理（与之前所举例类似）有时遇到ξ和η同时出现的时候还需要多方考虑，可能会用到柯西定理与拉氏定理的结合使用，在习题里经常出现类似的题。&&&&&&&&2.2.例题选讲&&&&例1.是否存在可微函数f(x)使得解：令g&&&&2435ff?x1?x?x?x?x，若存在，请求&&&&&&&&出f(x)的解析式；若不存在，请给出证明。&&&&&&&&2345?xff?xx?1?x?x?x?x?x,g16?0，&&&&&&&&1?x6当x1时g?x1?x&&&&则g&&&&&&&&，由g(x)=0得x=1(x=-1舍去)，?x&&&&&&&&?1是g(x)=0的唯一&&&&&&&&解。令f(1)=t，则g(1)=f(t)-1=0，?&&&&&&&&、?tf?1t?0?t?1,f?11g、?xf、f?x?f?x1，2、23411，另一方面g、?g、f1，x1?2x?3x?4x?5x?1?g、?1?3与g、?1?1矛盾，所以不存在满足题意的f(x)。、例2.设f?xCa,b?D?a,b?，且f?x0，f?eb?ea?e。证明：,?a,b?使得b?af?&&&&&&&&f?t1，&&&&&&&&证明：&&&&&&&&例3.设函数f(x)在R上可微，且f(0)=0，&&&&&&&&f、?xpf?x?,0?p?1，&&&&&&&&&&&&证明：&&&&&&&&f?x0,x?R。&&&&&&&&证明：由拉格朗日中值定理得&&&&&&&&f?xf?xf?0f1?x,?1介于0，x之间，&&&&&&&&?当x0,1?时，f?xf1?x?f1pf1?,?10,x?，&&&&?f1pf2?,?20,?1?,...,?f?xpnfn?，&&&&&&&&pn?0,?limpnfn0,?0,1?上有界，又0?p?1,nlimn?f?x0,x0,1?,f?10、、当x1,2?时，同上f?xf?xf?1f1x?1f1f?xpf1p2f2...?pnfn?,limpnfn0,?f?x0,x1,2?n依次可得f?x0,x0,?当x?1,0?时f?xf?xf?0f1?x?f1f?xpf1p2f2...?pnfn?,limpnfn0,?f?x0,x?1,0?n同理，依次可得f?x0,x,0?，所以f?x0,x?R3n例4.设函数f?xlimn1?x，则f(x)在R上的不可导点为_____________。n&&&&解：当当&&&&&&&&?n0,?n?1?0,?n?2...0,1?,&&&&&&&&f?x?在?0,1?上连续，?f?x?&&&&&&&&在&&&&&&&&x?1时f?x1，当x?1时f?x&&&&3?3nn&&&&&&&&1lim2nn&&&&&&&&?1，&&&&&&&&x?1时f?xxlimn1?x&&&&3&&&&&&&&?x&&&&&&&&3&&&&&&&&x,当x?1时,?f?x?，显然f(x)的不可导点为x11,当x?1时,tanxx例5.当x0,?时，求证：。xsinx?2?2证明：令f?xtanxsinx?x，&&&&则&&&&&&&&f、?x&&&&&&&&sinxsinx?sinx?2x?2?sinx?2x?2tanx?2x?022cosxcosx&&&&&&&&&&&&?f?x?递增，?f?xf?00，即&&&&&&&&tanxx?xsinx2n?1x?tx?t?x?tnt?x...?例6.求f?x?0?1edt的n阶导数。1!2!n?1!kn?1x?x?t?解：设gk?x?0entdt，则f?x?gk?x?，k!k?0k?1?x?t?entdt?gxgk?x?0xk?1?k?1?!&&&&?k?&&&&&&&&?gk&&&&&&&&?xgk?1?x...xg0?x&&&&g1&&&&&&&&?k?1?&&&&&&&&xnt?0edt&&&&&&&&enx?1?n&&&&n?1k?0&&&&&&&&gk&&&&&&&&?k?1?&&&&&&&&?xe&&&&&&&&nx&&&&&&&&，当nk时gk&&&&&&&&?n?&&&&&&&&?xn&&&&&&&&n?k?1&&&&&&&&?e&&&&&&&&nx&&&&&&&&，由&&&&&&&&f?x?gk?x?得：&&&&&&&&nnf?x?gk?xenx?nn?k?1?enxnn?1?nn?2?...?n?1k?0k?0&&&&&&&&n?1&&&&&&&&n?1&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&例7.设f(x)在&&&&&&&&?1,?上由连续的二阶导数，f?10,f?11，且二元函数&&&&22&&&&&&&&?2z?2zz?x?yfx?y满足2?2?0。?x?y求：（1）f(x)；（2）f(x)在?1,?上的最大值。&&&&&&&&?&&&&&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&&&&&&&&&?&&&&&&&&解：（1）设r&&&&&&&&?x2?y2，则z?r2fr2,&&&&&&&&&&&&&&&&?zxx?2rfr2?r2fr22r?2xfr2?2xr2fr2,?xrr2?z?2fr2?8x2?2r2fr2?4x2r2fr22?x?2z?2?2fr2?8y2?2r2fr2?4y2r2fr2?y2?z?2z?2?4fr2?12r2fr2?4r4fr22?x?y&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&&&&&&&&&?&&&&2&&&&&&&&?&&&&2&&&&&&&&&&&&&&&&?f?r3rf?rrf?r0，令r?e，则f?e3ef?eef?e0&&&&224&&&&&&&&2&&&&&&&&x&&&&&&&&x&&&&&&&&x&&&&&&&&&&&&&&&&x&&&&&&&&2x&&&&&&&&&&&&&&&&x&&&&&&&&&&&&?xf?ex?，则g、?xexf?ex?,g?xexf?exe2xf?exg?x2g、?xg?x0，解得g?x?c1?c2x?e?x&&&nbsp&&&&;&令g&&&&&&&&?fex?g?x?c1?c2x?e?x,f?x&&&&&&&&c1?c2lnxxlnx由f?10,f?11得c1?0,c2?1,?f?xx1?lnx、、、（2）f?x，当1xe时，当xe时fx?0f?x0x2&&&&&&&&&&&&&&&&?f?x?在?1,e?上递增，在?e,?上递减，?f?x?的最大值为f?e&&&&例8.设x(t)是方程5x&&&&&&&&&&&&?10x?6x?0的解，证明：函数f?t&&&&&&&&&&&&1?x?t?&&&&4&&&&&&&&x2?t?&&&&&&&&1。e&&&&&&&&?t?R?&&&&&&&&有最大值，并求出此最大值。解：解原微分方程：特征根方程为5r则x&&&&2&&&&&&&&?10r?6?0，解得r1?&&&&&&&&5i，5&&&&&&&&55?t?c2sint?，55x2?t?11又f?t21?x4?t?x2t?12x?t?对于?t?R，若x?t0，则f?t0，最大值为0；&&&&&&&&?te?t?c1cos&&&&&&&&?&&&&&&&&?t?0，则c1,c2不全为0，不妨设c1?0，取tk25k?,k?N25k?则x?tkec1，当k?时，tk?,x?tk又limx?t0?1,limx?t?1，t?t?&&&&若x由连续函数的介值定理得：?t0?&&&&&&&&?,?使得x?t01，此时f?t0&&&&1。2&&&&&&&&1，2&&&&&&&&?x?t?0时，f(t)的最大值为&&&&综上，当x&&&&&&&&1。2&&&&&&&&?t0时最大值为0，当x?t?0时最大值为&&&&&&&&&&&&dn例9.设P?x1?xmndx&&&&&&&&?，其中m,n是正整数，则P?1____________。解：?1?x?1?x1?x?x?...?x?d令u?x?1?x?,v?x?1?x?x?...?x，则Pxuvdx&&&&n&&&&mnn2m?1nn2m?1n&&&&&&&&?&&&&&&&&n&&&&&&&&n&&&&&&&&kP?x?Cnuk?0&&&&&&&&n&&&&&&&&n?k?&&&&&&&&n?kkn?kv，当k0时u?1?&&&&&&&&n!k?1?x?，?n?k?1?!&&&&&&&&u?&&&&&&&&n?k?&&&&&&&&?10,?P?1Cn0u?n1?v?011?&&&&f?xx?3x?2cos&&&&2&&&&&&&&n&&&&&&&&n!mn&&&&&&&&例10.设&&&&&&&&16?x2nn解：f?x?x?2x?1?cos，16&&&&令g&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&n&&&&&&&&?x2&&&&&&&&，求&&&&&&&&nf?2?&&&&&&&&?x?x?2?&&&&nk?0&&&&&&&&n&&&&&&&&,h?x?x?1?cos&&&&n&&&&&&&&?x2&&&&16&&&&&&&&，则&&&&&&&&f?xg?x?h?x?&&&&&&&&f&&&&&&&&?n?&&&&&&&&?x?Cnkg?n?kx?h?kx?&&&&&&&&n2nk?n?kf?2?Cng?2?h?k2Cn0g?n2?h?02n!2k?01?x?2例11.求一函数f(x)，使其在任一有限区间上有界，且满足f?xf?x?x2?2?1、?x?、解：令x=0得f(0)=0，对原方程求导得：f?xf?1?2x4?2?1?x?13?x?3f?xf2,f?x4f?0,...8?2?2?2?416?3?、,f?00,...,令x=0得f?00,f?0,f?0?37nf?00?n?3?1148?f?xf?0f、?0?x?f?0?x2?f?30?x3?...?x?x22!3!37n?L?0使得f?xL,n?N,x?R例12.设f(x)在R上无穷阶可导，且满足（1）&&&&&&&&&&&&?1?f?0,n?N*，求证：f?x0,x?R。?n?1*?n?、证明：记xn?,n?N，由题意得f?x?,f?x?,f?x?,...,f?x?在x=0处n?1?连续，?f?0limf?xnlimf?0，nn?n?f?xnf?xn?1?，由罗尓定理得?ynxn?1,xn?使f?yn0，且&&&&（2）&&&&n&&&&&&&&limyn?0,f?0limf?yn0&&&&n&&&&&&&&?ynf?yn?1?，由罗尓定理得?znyn?1,yn?使limzn?0,f?0limf?zn0nn&&&&f&&&&&&&&&&&&f?zn0，且&&&&&&&&同理，可得&&&&&&&&3nf?00,...,f?00,&&&&&&&&?f?0f、?0f?0...?f?n00&&&&&&&&f?n12对?x?R有f?xf?0f?0?x?f?0?x?...?x,?2!n!nnf?nf?nLnx,f?xx?x于0,x之间，?f?xn!n!n!&&&&n、&&&&&&&&介&&&&&&&&?0,?f?x0n!例13.设f(x)在[a,b]上二阶可导，f?af?b0，求证：a,b?使得&&&&级数?&&&&n?1&&&&&&&&?&&&&&&&&x&&&&&&&&n&&&&&&&&n!&&&&&&&&?e&&&&&&&&x&&&&&&&&收敛，?lim&&&&&&&&x&&&&&&&&n&&&&&&&&n&&&&&&&&f4&&&&&&&&f?bf?a?&&&&&&&&?b?a?&&&&&&&&2&&&&&&&&证明：将f(x)在x=a,x=b处用泰勒公式展开得&&&&&&&&12f1x?a?,?1介于x,a之间，212f?xf?bf?bx?bf2x?b?,?2介于x,b之间，2f?xf?af?ax?a&&&&&&&&&&&&12?a?bffa?f?b?a,1?8?2?12?a?b?ffb?f?b?a2?8?2?12两式相减得f?bf?a?b?af1f28设fmaxf1?,f2?，则&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&12f1f2?b?a81122b?af1f2b?a?f?48f?bf?af42?b?a?f?bf?a&&&&例14.已知函数f(x)在[a,b]上二阶可导，对于[a,b]内每一点x，有证明：方法一：设f(x)在[a,b]上有两个零点x1,x2&&&&&&&&f?x?f&&&&&&&&&&&&&&&&?x0，且&&&&&&&&?x1?x2?，2、、、令g?xf?x?f?x?，则g?x?f?x?f?x?f?x0?g?x?单调递增，g?x1g?x20,xx1,x2?有g?x0，&&&&21fxf?x?f、?x0，积分得?C，由f?x10得C=0，2?xx1,x2?有f?x0，与题意在[a,b]的任一子区间上f(x)不恒等于0矛盾&&&&&&&&在[a,b]的任一子区间上f(x)不恒等于0，求证：f(x)在[a,b]中至多有一个零点。&&&&&&&&x?x1在x2的左邻域内f?x0?f?x2?,f?xf?x2f?x2f?x2?lim?0x?x2x?x2?&&&&x?x1&&&&&&&&?x1?x2?是f(x)在[a,b]上的两个相邻零点，即在?x1,x2?之间无其他零点，不妨设对?xx1,x2?有f(x)0，则f?x0?f、?x?在?x1,x2?上递增，在x1的右邻域内f?x0?f?x1?,f?xf?x1f?x1f?x1?lim?0?&&&&方法二：设x1,x2&&&&&&&&&&&&x1?x2,f、?x?递增，?f?x1f?x2?,与f?x10?f?x2?矛盾。&&&&例15.f(x)在[a,b]上连续在(a,b)内可导且f(a)?f(b)?0求证：存在(a,b)使?f(?)?f(?)?0证明：令F(x)?ef(x)，F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导,且F(a)?F(b)?0，由罗尔定理得?(a,b)使F(?)?0，即?e2&&&&?2&&&&x22&&&&&&&&f(?)?e2f(?)?0,&&&&&&&&?2&&&&&&&&e2?0,f(?)?f(?)?0&&&&例16.设一元函数u?f(r)当0?r?时有连续的二阶导数，且f(1)?0,f?(1)?1，又&&&&&&&&?2&&&&&&&&?2u?2u?2uu?f(x?y?z)满足方程2?2?2?0，试求f(r)的表达式。?x?y?zxu?f(r(x,y,z)),ux?f(f?:f?(r))rf?ff?xf?x2fx2f?uxxx(?2)?2?3rrrrrrr22fyfyff?z2fz2f?对称地，uyy2?3,uzz2?3rrrrrrfuxx?uyy?uzz?f?2?0rP?21C令P=f?，=?,lnP?ln2?lnC?ln2PrrrC111P?f?(r)?2?2(f?(1)?1)?f(r)?C(f(1)?0)rrrr222?u?u?u注?0，称为（三维）拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方程，?x2?y2?z2&&&&222&&&&&&&&是一种偏微分方程。因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。在一般条件下解拉普拉斯方程超出考试范围。本题是讨论特殊条件下的拉普拉斯方程求解问题。补充题1：设u?f(x?y),且u满足（二维）拉普拉斯方程,&&&&22&&&&&&&&求u?f(x,y)的表达式。22分析：函数u?f(x,y)是x?y的函数，可以考虑用极坐标进行转化，利用求微分方&&&&程的方法得到表达式。解：令r?&&&&&&&&?u?u?rx、f?rx?r?xr?2uy2x2、?2ux2y2、同理可得?f?r3f?rf?r3f?rx2r2r?y2r2r&&&&x2?y2，则u?f(x,y)?f?r?，&&&&&&&&&&&&f?r2u?2u1、1?2?2?f?rf?r0,、积分得?x?yrf?r?rclnf、?r?lnr?lnc0,f、?r0,f?rc0lnr?c1r1u?c0ln?x2?y2c1?c2ln?x2?y2c12&&&&补充题2：u?f(x,y)，试求出（二维）拉普拉斯方程&&&&&&&&?2u?2u0?x2?y2&&&&&&&&在极坐标系下的表达式。&&&&例17.设u?f(x,y,z)，f是可微函数，若&&&&&&&&fx?fy?fz?，证明u仅为r的函数，其中xyz&&&&&&&&r?x2?y2?z2。&&&&&&&&利用球坐标变换：设x?rsin?cos?,y?rsin?sin?,z?rcosnf?f以下只需证明0即可。?f=fx?rcos?cosfy?rcos?sinfz?rsins?f?f?ff令x?y?z?t，则=tr(xcos?cosycos?sinzrsin?)xyz22?tr(sin?cos?cossin?cos?sin2cos?sin?)?0?f类似可证?0。&&&&?2u?2u?(x,2x)?x2，例18.设函数u(x,y)的所有二阶偏导数都连续，2?2且u(x,2x)?x，u1?x?y(x,2x).求u112?(x,2x)?2u解：u(x,2x)?x两边对x求导，得到：u12(x,2x)?1，代入u1(x,2x)?x求得：&&&&u?2(x,2x)?1?x2；2(x,2x)?2u12(x,2x)?2x；?(x,2x)?x2两边对x求导，得到：u11u11?x2(x,2x)?2u22(x,2x)x.两边对x求导，得到uu(x,2x)x?u21，故u11以上两式与2?2联立，又二阶导数连续，所以u123?x?y&&&&&&&&u?2(x,2x)?&&&&&&&&2z?2z1?z?2z?u?x?ay例19.设变换?把方程2?y20化为?0，求a.2?y?u?y?x?yv?x?2y解：计算一、二阶偏导数：&&&&&&&&&&&&?z?z?u?z?v?z?z，?x?u?x?v?x?u?v?z?z?u?z?v?za?z11?a?z?z，?y?u?y?v?y?u2y?vyy?2?u?v?&&&&&&&&?2z?2z?2z?2z2?，?x2?u2?u?v?v2&&&&?2?a?z?z?1?z?az?az?1?，y?222y2yu4y?u?vy?vy2?u?v22?z?z1?z代入方程2?y20，得到2?y?x?y&&&&&&&&?2z?2z1?za2?2z?2z?y(1?)?(2?a)?0?x2?y22?y4?u2?u?v?a2?0?1?于是有?，所以a2.4?2?a?0?例20.求函数f(x)?x2ln(1?x)在x?0点处的100阶导数值.解：方法1：利用莱布尼兹公式100?99f(100)(x)?x2[ln(1?x)](100)?100[ln(1?x)](99)?(2x)?[ln(1?x)](98)?2，2112![ln(1?x)][ln(1?x)]而[ln(1?x)]，，，21?x(1?x)(1?x)33!(n?1),?，由归纳可得：[ln(1?x)](n)?(?1)n?1，故4(1?x)(1?x)n97；所以f(100)(0)990?97!.(1?x)98&&&&方法2：利用泰勒公式f(x)?x3?故&&&&x4x5x1002398&&&&&&&&11f(100)(0)，f(100)(0)990?97!.100!98例21.设f(u,v)有一阶连续偏导数，z?f(x2?y2,cos(xy))，x?rcos?，y?rsin?，证?z1?z?z?zsin2x?ysin(xy).明：cos?rr?u?v22解：设：u?x?y，v?cos(xy)，则?z?z?x?z?y?x?z?u?z?v?y?z?u?z?v?(?)?(?)?r?x?r?y?r?r?u?x?v?x?r?u?y?v?y?z?z?2(xcosysin?)?sin(xy)?(ycosxsin?)?u?v?z?z?z类似可得2r(xsinycos?)?rsin(xy)?(ysinxcos?),代入原式左边得：?r?u?v?z1?z?z?zcossin2cos(xcosysin?)?cos?sin(xy)(ycosxsin?)?rr?u?v&&&&&&&&&&&&?2&&&&&&&&?z?z?z?z?sin?(xsinycos?)?sin(xy)sin?(ysinxcos?)?2x?ysin(xy)?u?v?u?v&&&&&&&&u?x?11?z?z?2例22.已知函数z=z(x,y)满足x?y2?z2，设?v，对函数yx?x?y11zx?u,v?，求证：?0。?uu11证明：由题意得x?u,y?，则?是u,v的复合函数，则1?uvzx1z?x?z?y?111z1?z?2?2uzx?u?y?u?u2u2z2x?y1?uvy111zy2?z2?22?x1?uv?uuzxx?y?&&&&?11?2?z112?zx?y2?2?0222?uxzx?y?ux&&&&11?1?1设整数n1，求证：?1?。2nee?n?ne&&&&nn&&&&&&&&例23.&&&&&&&&?1?1?111?1证明：先证右边，?11,即?1ln?10?n?e?nnn?n1令x?0,1?,f?x?1?x?ln?1?xx，f?x?ln?1?x0n?f?x?在（0,1）上递增，?f?xf?00&&&&?11?11ln?10得证。?nn?nn1?1?11?11?1再证左边，?11,即ln?1?ln?10?n?e?2n?n?2nn?nx1?xx?1则g?xxln?1?ln?1?xx,g?xln?122?2?x1?x&&&&&&&&&&&&?2?x1?xg?xg?00?g?x?在（0,1）上递增，g?xg?00&&&&22&&&&&&&&g?x&&&&&&&&&&&&x?x2?5x?5?&&&&&&&&?0?g?x?在（0,1）上递增，&&&&&&&&1?11?1?ln?1?ln?10得证。n?2nn?nn11?1?1故，?1?。2nee?n?ne&&&&例24.证明不等式1?xlnx?1?x2?1?x2，x?(,).证明：设f(x)?1?xln(x?1?x)?1?x2，则x1?x1?x2?f?(x)?ln(x?1?x2)?x?ln(x?1?x2)22x?1?x1?x1令f?(x)?0，得到驻点x?0.由f(x)0可知x?0为极小值点，亦即最小值1?x2点，最小值为f(0)?0，于是对任意x?(,)有f(x)?0，即所证不等式成立.&&&&2&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&1?x?2x?e.1?x证明：令F(x)?(1?x)e?2x?x?1，则F?(x)?e&&&&例25.证明：当0?x?1时，&&&&&&&&?2x&&&&&&&&?2(1?x)e&&&&&&&&?2x&&&&&&&&?1?1?(2x?1)e&&&&&&&&?2x&&&&&&&&，&&&&&&&&F(x)2e?2x?2(2x?1)e?2x?4xe?2x由于在(0,1)上F(x)?0，故知F?(x)在[0,1]上单调递增，又F?(0)?0，故F?(x)?0，从而函数F(x)也在[0,1]上单调递增，且由F(0)?0可知当x?(0,1)1?x?2x时F(x)?F(0)?0，即?e。1?x&&&&&&&&x2?ln(1?x2)?a在[-1，1]上有两个相异的实根。例26.试确定a值，使方程22x?ln(1?x2),则f(x)在[-1，1]上是偶函数，则f(x)=a在（0，1]上解：令f?x22xx?12xfx?x?0，仅有一个根。在（0，1]上221?x1?x?f?x?在（0，1]上单调递减，1?f?x?的最小值是f?1?ln2，最大值是f?0021由题意得?ln2?a?02&&&&&&&&&&&&例27.设正值函数f(x)在[1,)上连续，求函数&&&&x?22?F(x)[lnxlnt?]f(t)dt的最小值点。1?xt?xx2d?2?(?lnx)f(t)dt?(?lnt)f(t)dt解：F?(x)11tdxx?21x2221x?(?2?)?f(t)dt?(?lnx)f(x)?(?lnx)f(x)?(?2?)?f(t)dtx1xxxxx1&&&&&&&&注意到：在[1,)上f(x)?0，因此当x?1时，&&&&&&&&?1&&&&&&&&x&&&&&&&&f(t)dt?0.&&&&&&&&令F?(x)?0得?20，解得此方程的唯一驻点x?2;又当1?x?2时，xx；当2?x时，F?(x)?0，所以F(x)在点x?2处取得最小值F(2).F?(x)?0121例28.设F(x)(1?e?1)x?te?tdt，试证明在区间[?1,1]上F(x)有且仅有两个实?12根.x1221证明：F(x)(1?e?1)(x?t)e?tdt(t?x)e?tdt?1x2xx?e?1)?x?e?tdtte?tdtte?tdt?x?e?tdt?1?1xx2由te?tdtte?tdt?e?x?e?1，&&&&222&&&&&&&&2&&&&&&&&1&&&&&&&&x&&&&&&&&1&&&&&&&&?1&&&&&&&&x&&&&&&&&?&&&&2&&&&&&&&1x&&&&&&&&e?tdte?tdte?tdt?e?tdte?tdt&&&&22222&&&&&&&&0&&&&&&&&1&&&&&&&&x&&&&&&&&?1&&&&&&&&x&&&&&&&&0&&&&&&&&0&&&&&&&&0&&&&&&&&x2213代入得：F(x)?e?1?e?x?2x?e?tdt022&&&&&&&&由于e?x是偶函数，所以?e?tdt是奇函数，2x?e?tdt是偶函数，于是知F(x)为偶函数.&&&&2&&&&2&&&&&&&&x&&&&&&&&x&&&&&&&&0&&&&&&&&0&&&&&&&&又注意到：F(0)?&&&&&&&&e?3?0，2e&&&&&&&&F(1)(?)?2?e?tdt(?)?2?e?tdt?e&&&&&&&&F?(x)2xe?x?2xe?x?2?e?tdt?0（x?0）&&&&222&&&&&&&&x&&&&&&&&0&&&&&&&&因此函数F(x)在(0,1)内有且仅有一个实根；又由F(x)为偶函数，故F(x)在(?1,0)内同样有且仅有一个实根.于是知函数F(x)在闭区间[?1,1]上有且仅有两个实根.例29.设常数k?ln2?1，证明：当x?0且x?1时，(x?1)(x?ln2x?2klnx?1)?0.证明：设函数f(x)?x?ln2x?2klnx?1(x?0)，故要证(x?1)(x?ln2x?2klnx?1)?0，只需证：当0?x?1时，f(x)?0；当1?x时，f(x)?0.2lnx2k1(x?2lnx?2k)，显然：f?(x)?1?xxx2x?2命?(x)?x?2lnx?2k，则(x)?1.当x?2时，(x)?0，x?2为唯一驻点；xx&&&&&&&&&&&&21，?(2)0，所以x?2为?(x)的唯一极小值点，22x故?(2)?2(1?ln2)?2k?2[k?(ln2?1)]?0为函数?(x)的最小值（x?0），即当x?0时f?(x)?0，从而f(x)严格单调递增.又因f(1)?0，所以当0?x?1时，f(x)?0；当1?x时,f(x)?0.&&&&&&&&又?(x)?&&&&&&&&故，(x?1)(x?ln2x?2klnx?1)?0。&&&&&&&&例30.设f(x)二次可微，f(0)=f(1)=0，maxf?x2，证明：minf&&&&0?x?1&&&&&&&&&&&&&&&&0?x?1&&&&&&&&?x?16。&&&&&&&&证明：函数f(x)在[0,1]上连续，有最大值和最小值，又因最大值是2，端点处函数值是0，故最大值在(0,1)内部取得。即存在x00,1?使得f?x0maxf?x2，于是f?x0?是极大值，?f&&&&&&&&&&&&在x?x0处按泰勒公式展开，,?0,1?使得&&&&&&&&?x00，&&&&&&&&0?x?1&&&&&&&&112f0?x02?f?x?f?1f?x0f1?x02?f1?x0?224?4minf?xmin?f?,f?min2,20?x?1x01?x00?f?0f?x0&&&&&&&&?1?142?2?16?2xx1?x1?x000?0?例31.如果f(x)在[a,b]上有二阶导数，f?af?b0，证明：a,b?使得4ff?bf?a?。2?b?a?&&&&?a?b分别在点a,b处展开，注意到?2?a?bf?af?b0，1,?2,a1?2?b使得22211?a?bb?aa?bb?a?f?f?af1?,f?f?bf2?两式22?2222?12?相减得f?bf?a?ff?b?a?012?8?4f?bf?a?11f1f2?f1f2?f?222?b?a?&&&&证明：应用泰勒公式将f?其中当f&&&&&&&&&&&&1&&&&&&&&例32.设f(x)在0,1上有二阶连续导数，f?0f?10，且当x0,1?时&&&&&&&&f2?时?1；当f2f1?时?2&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&1f?xM，求证：f?xM。2&&&&分析：对于函数具有二阶或二阶以上连续导数，且最高阶导数的大小或上下界已知的命题可以考虑用泰勒公式。方法是写出比最高阶低一阶的函数展开成泰勒公式，适当选取等式两边的变量，根据已知条件对展开式进行放缩。证明：由题意将f(x)在任一点x0处展开成一阶泰勒公式得：&&&&&&&&12fx?x0?其中?在x,x0之间。212令x=0，则1,01?x0?1,f?0f?x0f?x0?x0?f1?x02f?xf?x0f?x0x?x0&&&&令x=1，则&&&&&&&&12f21?x0?2122将上面两式相减得：f?x0?f1?x0?f21?x0?2?又x0,1?时f?xM，2,02?x0?1,f?1f?x0f?x01?x0&&&&?f?x0M?2MM2x01?x02x02?2x0?1?22?21由于x0的任意性知f?xM。2例33.设f(x)在?0,1?上是非负单调递减的连续函数，且0ab1,aab证明：?f?x?dx?f?x?dx。0b?a?a&&&&证明：由积分中值定理得：&&&&ba2&&&&&&&&?f?x?dx?afaf?a?,?0,a?,&&&&a011&&&&2&&&&&&&&?f?x?dxb?a?f?b?a?f?a?,?a,b?,&&&&?&&&&a1a1babfxdx?fa?fxdx?fxdx?f?x?dx?0a?0b?a?ab?a?a例34.设函数f(x)在?a,b?上二阶可导，且f?af?b0及f?x8，&&&&&&&&求证：f?&&&&&&&&2?a?bb?a?。?2?&&&&&&&&证明：把f(a)、f(b)分别在x?&&&&&&&&a?b点处展开得：22a?b?1a?ba?b?a?bf?af?f?a?f?x1a2?2222?&&&&a?b?1a?ba?b?a?bf?bf?f?b?f?x1b2?2222?&&&&2&&&&&&&&&&&&其中x1a,&&&&&&&&?a?ba?b?,b?因为f?af?b0，两式相加得：?,x22?2?2?a?b?12f?f?x1f?x2?b?a02?8&&&&&&&&2?a?b?1?f?f?x1f?x2b?a2?161b?a?2b?a?2fx?fx12?16?&&&&&&&&例35.设f(x)在a,b上二阶可导且f&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&?xM，f&&&&&&&&a?b?0，b?a?1，求证：?2?&&&&&&&&1f?af?bM。4&&&&证明：把f(a)、f(b)分别在x?&&&&&&&&&&&&a?b点处展开，结合2&&&&&&&&?a?b?f?0得：?2?&&&&2&&&&&&&&a?b?1a?ba?b?f?af?a?f?x1a2?222?&&&&&&&&&&&&a?b?1a?ba?b?f?bf?b?f?x1b2?222?12两式相加得：f?af?b?f?x1f?x2?b?a?812?f?af?b?f?x1f?x2?b?a?81b?a?2?1Mfx?fx12?8?41?1?2例36.设f?x0,x0,1?，证明：?f?x?dx?f。0?3?12证明：把f?x?在x?点处展开得321?1?121?2?12f?xf?f?x?fx3?2333?&&&&111f?x0,?f?x2f?f?x?1?1211?2两边同时积分得?f?x?dxfdxf?xdx?f?2b例37.设函数f(x)0，f?x0，证明：f?xf?x?dx。b?a?a&&&&&&&&2&&&&&&&&&&&&证明：设函数在x?x0处取得最大值，把最大值点在任意点处展开得：&&&&&&&&f?x0f?xf?xx0?x&&&&两边积分得&&&&&&&&12fx0?xf?xf?xx0?x?2&&&&bab&&&&&&&&?&&&&&&&&b&&&&&&&&a&&&&&&&&f?x0?dxf?x?dxf?xx0?x?dx&&&&abaa&&&&b&&&&&&&&b&&&&&&&&b?a?f?x0?f?x?dx?x0?x?df?x?&&&&?2?f?x?dxb?x0?f?b?x0?a?f?a2?f?x?dx&&&&aab&&&&&&&&?f?x0&&&&&&&&2f?x?dxb?a?a&&&&b&&&&&&&&2bf?x?dx。b?a?a例38.设函数f(x)在[a,b]上二阶连续可导，且f?af?b0,f?x0，&&&&因为f?x0?是f(x)的最大值，所以f?x证明：&&&&&&&&?&&&&?&&&&&&&&b&&&&&&&&a&&&&&&&&f?x?4。dx?f?x?b?a&&&&&&&&证明：令f?x0M?maxf?x?，由f?af?b0得x0a,b?在区间a,x0,x0,b上分别用拉格朗日