（1）本节的重点不是怎么求傅里叶变换或者傅里叶级数，而是了解掌握 常见的信号 的傅里叶变换，所以 解题时用的方法都是常见的角度 公式 和技巧。
将时域转换成频域，为了便于分析。学习第一章 （确知信号）也是为了后面章节（第二章 随机过程）的学习做准备。
确知信号 有明确的时域表达式，随机过程没有明确的时域表达式，所以 可以将信号分为确知信号和随机信号 没有交叉的两大类。
（2）看到一个确知信号的时域表达式，需要先判断是功率信号还是能量信号吗？视情况而定。有的信号需要求它的能量，如果能出来，那就是能量信号；有的信号就是常见的信号，知道它的图像，就可以直接判断是什么类的信号了。但是，但大部分情况下的计算，不需要考虑它是什么信号，直接用傅氏变换的相关性质计算就可以了。所以，根据问题来思考需要考虑什么---再强调一遍！根据命题人的意图来做题！。
欧拉公式： &&cosx=(1/2 )[e^jx + e^(-jx)] & & sinx= (1/2j) [e^jx - e^(-jx)]
抽样函数： & Sa(x)=sinx/x，limx=0&sinx/x=1
分部积分： &∫ba &F1&′(x)F2(x)dx =&&[F1(x)F2(x)]ba &-&&∫ba&F1(x)F2’(x)&dx
换元积分：（dw时）2∏nf0=w0 （dt时不用），&df=(1/2∏) dw
2.功率信号- 周期信号 - 频谱函数：F(w)~w
（1）频谱函数(f(t)的傅里叶级数的系数):&F(f)=F(nf0)=(1/T)∫(- 1/2 T)( 1/2 T) &f(t) e^(-j2∏nf0t) dt & & &&(f=nf0)
（2）周期信号(的傅里叶级数): & & & & & & &f(t)=Σ∞-∞& Fn&e^(j2∏nf0)
周期信号的频谱函数Fn是离散的，只有在f0的整数倍上取值。
周期性方波：
& & & & & (1)周期性方波偶函数的频谱函数：Vζ/T&Sa(n∏ζ/T)（偶函数图像），高V 宽ζ，频谱零点为 2∏/ζ , 4∏/ζ, 6∏/ζ...
& & & & & (2)周期性方波非偶：频谱函数是复数表达式。
非周期性的功率信号：可以看做T→∞，但是一般积分很难积出来。
3.能量信号- 非周期信号 -频谱密度函数：频率密度的谱 :能量信号f(t)频谱密度函数F(w)
& & & & & & & & &非周期信号：冲激信号，门函数，直流信号
& &(1)能量信号f(t)频谱密度函数F(w)
& & & & & & &f(t)的傅里叶变换是F(f)： &&F(f)=∫∞-∞&&f(t) e^(-j2∏ft) dt & & &(f=nf0)-----------因为调频调的是f，所以记住重点关于f的公式形式，w的形式可很快的推导
& & & & & & &【F(f)的逆傅里叶变换是f(t)】: &f(t)= ∫∞-∞&&F(f) e^(j2∏ft) df & & & &&
& & & & 即 & & &&
& & & & & & &&【F(w)的逆傅里叶变换是f(t):】 （时域） f(t)=(1/2∏)&∫∞-∞&&F(f)&e^(jwt) dw & & &
& & & & & & & f(t)的傅里叶变换是F(w)： &（频域） & F(w)=∫∞-∞&&f(t) e^(-jwt) dt & & & & &注意：因为是对t积分，所以没有换元积分，所以直接2∏f=w
& & & & & & 时域&--&频域
& &（2）矩形脉冲: &高不一定为1（高为A的脉冲，矩形的，宽度ζ）
& & & & &&单脉冲:&门函数 ga(t)的频谱密度= Aζ Sa(wζ/2)，零点是 1/ζ,2/&ζ, 3/ζ,...-------ga(t)Aζ Sa(∏fζ)&=Aζ Sa(wζ/2) & &&
& & & & & & & & & &&& & & & & & & & & & & & & 注意：I.如果是Ga(w)~w图像，w=2∏f，频谱零点w=2∏/ζ，4∏/ζ，...
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 II.频谱的第一个零点=时域信号的 &2pi*高/宽度 &&
& & & & &周期性冲击串：∑A ga(t-nT) &/////////
（3）(单位)冲激函数δ(t)（高为1）的频谱密度 &=1 （叫 均匀谱，又叫白色谱）--------------------------即 &δ(t)1
& & & & & & & & & & & & & & & & & & &注意：δ(t)是偶函数。所以δ(t-t0)=δ(t0-t) & &&
& & & & & & & & & & & & & & & & & & &δ函数在t=t0对f(t)的抽样f(t0) & =∫∞-∞&&f(t)δ(t-t0)&dt &，证明：
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ∫∞-∞&&f(t)δ(t-t0)&dt &= &∫∞-∞&&f(t)δ(t0-t)&dt =&∫t0-t0+ &f(t)δ(t0-t)&dt =&∫t0-t0+ &f(t0)δ(t0-t)&dt =f(t0)∫t0-t0+&δ(t0-t)&dt =&f(t0)
（4）直流信号f(t)=1&的频谱密度= 2∏&δ（w）-----------------------即1&&2∏&δ（w） & & & & & & & & & & & & & & & & &
（5）功率信号(只说周期信号)的频谱密度：认为T→∞，引入冲激函数表示频谱
& & & & I（周期信号）余弦信号 f(t)=cos&2∏f0t = &cos w0t =(1/2)&[e^jw0t + e^(-jw0t)] & &∏[δ(w-w0)+δ(w+w0)]
& & & & II（周期信号）正弦信号 f(t)=sin 2∏f0t = &sin&w0t =(1/ 2j) [e^jw0t - e^(-jw0t)] & &(∏/j)[δ(w-w0)-δ(w+w0)]-----是复数，带相位j，所以一般不选用。
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
傅里叶变换性质
1.对称性： &&f(t)F(w)&
& & & & & & & & &F(t)2∏ f(-w) & & & & & & ------时域有限频域无限 ，时域无限频域有限
2.线性： & & &fi(t)Fi(w) ，i=1,2...
& & & & & & & & &Fi(t)2∏&fi(-t)& &
3.比例性: & &&f(t)F(w)&
& & & & & & & & &f(at)(1/|a|) F(w/a) & &&------时域越宽频域越窄 ，时域越窄频域越宽
4.频率搬移特性：（调制概念）
f(t) e^(jw0t) & &F(w-w0) & & & & & & & & & & &------jw0t中有相位j，所以不常使用e^(jw0t)作为调制信号
f(t) cosw0t && & 1/2 &[F(w-w0)+F(w+w0)] & ------将f(t)搬到了以w0为中心（比如搬到高频点）
5.时移性：（时移了一个信号，幅度谱F(w)没变，相位谱变了一个-w0t）
f(t-t0)F(w) e^(-jw0t)
6.微分特性 ：（相当于经过了一个RC电路）
7.积分特性
8.时域卷积：（输入信号f(t)经过系统信号f2(t)（传输函数H(w)=F2(w)）后的输出信号R(t)就是f1f2的卷积）（因为按照时域分析比较复杂，所以转换到频域分析）
f1(t)*f2(t)F1(w) F2(w)
f1(t) f2(t)(1/2∏) [F1(w) * F2(w)]
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
一些证明：（如果有些重要的公式记不牢的话，可以帮助记忆）
1. &f(t)=1& F(w)=2∏δ(w)
& & 证： & f(t)=(1/2∏)∫∞-∞&2∏&δ(w) e^(jwt) dw
2. &周期性冲激函数：δT(t)=Σ&n=-∞∞&δ(t-nT) & & & &
& & & & & & & & & & & & & & & 因为单位冲击串δ(t)的(傅里叶级数的系数) & F(w)=(1/T)&∫（- 1/2 T）（ 1/2 T）δ(t) e^(-jnw0t) dt =&1/T
& &所以， &δT(t)= (1/T)Σ&n=-∞∞ e^(jnw0t) & &FT(w)&=&&w0&Σ&n=-∞∞&&δ(w-nw0)
& &所以，周期性冲击串（高为1）的 傅里叶变换F(w)~w&也是 周期性冲击串 (高为w0=2∏/T)！！
3.周期性矩形脉冲： GT(t)=&Σ&n=-∞∞ G(t-nT)&
因为门函数G(t)（高为A=1）的（傅里叶级数的系数）F(w)=(1/T)&∫（- 1/2 T）（ 1/2 T）G(t) e^(-jnw0t) dt&=(ζ/T)Sa(nw0ζ/2) & &ζSa(w0ζ/2)
所以， &GT(t)= (ζ/T)Σ&n=-∞∞&Sa(nw0ζ/2)&e^(jnw0t) &&& FT(w)= &w0&Σ&n=-∞∞&&δ(w-nw0)
（1）单位冲激函数 的F(w)~w 是 高为1的均匀谱，
&直流信号f(t)=1 的F(w)~w 是 高为2∏的冲激函数，
& 即： & 单位冲激函数图像 &直流信号的图像&
&&& & & & &直流信号的图像&&单位冲激函数图像（高为1）
（2）门函数 的F(w)~w 是 抽样函数的拉伸，经过点(0,ζ) &(1/ζ,0) (2/ζ,0) ...图像是连续谱
& & & &周期矩形信号的F(w)~w 是&抽样函数的拉伸...F(w)图像是离散谱， 在X=nw0处取值，n=0,+/- 1,+/- 2,...
******************************************************************&
习题易错点点拨：
1.求功率信号s(t)的频谱：
功率信号和它的频谱函数 不是傅里叶变换对！
S(w)是s(w)展开成傅里叶级数的系数，只能用系数的表达式求得。
2.指数函数的模：
cosx+ j sinx =e^jx&
cosx- j sinx =e^-jx
所以，|e^jx|=|e^-jx|=1
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 　　　　　
& & & & & & & & & & & & & & & & & &&
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设M=∫(x(cosx)^4)dx,N=∫(x^2(sinx)+(cosx)^4)dx,P=∫(x^2(sinx)^3-(cosx)^4)dx；积分为定积分；积分下上限分别为-π/2,π/2;M,N,P之间的大小关系是什么情况
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M=∫(x(cosx)^4)dx = 0 奇函数在对称区间上的定积分N=∫ (x^2(sinx)+(cosx)^4) dx = ∫ (cosx)^4 dx > 0P=∫(x^2(sinx)^3-(cosx)^4) dx = ∫ - (cosx)^4 dx < 0P < M < N
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∫sinx/x从0到x积分怎么求?
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sinx/x的原函数不是初等函数,即∫sinx/x*dx“积不出”.故原题不能通过通常的方法求定积分可以由泰勒展开式来做：sinx=∑[n=1,∞](-1)^(n-1)*x^(2n-1)/(2n-1)!sinx/x=∑[n=1,∞](-1)^(n-1)*x^(2n-2)/(2n-1)!∫sinx/x*dx=∑[n=1,∞](-1)^(n-1)*x^(2n-1)/[(2n-1)*(2n-1)!]+C∫[0,x0]sinx/x*dx=∑[n=1,∞](-1)^(n-1)*x0^(2n-1)/[(2n-1)*(2n-1)!]然后由计算机求此无穷级数的和,精度可人为指定
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这个用初等函数应该不能表示吧...
扫描下载二维码定积分∫(1,-1)(|x|+sinx)dx＝？求解！谢谢！_百度知道
定积分∫(1,-1)(|x|+sinx)dx＝？求解！谢谢！
课后题答案是1，求解题详细过程！
sinx是奇函数，积分为0；|x|为偶函数，积分为半区间上积分的2倍，所以，原积分为1。
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