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高中数学学习：高一数学试题及答案
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篇一：高一数学试卷及答案(人教版)
高一数学试卷（人教版）
一、填空题
1．已知log23?a,log37?b，用含a,b的式子表示log214? 。 2． 方程lgx?lg12?lg(x?4)的解集为 。 3． 设?是第四象限角，tan???4． 函数y?
，则sin2??____________________． 4
2sinx?1的定义域为__________。
5． 函数y?2cos2x?sin2x，x?R的最大值是6． 把?6sin??2cos?化为Asin(???)(其中A?0,??(0,2?)）的形式是。 7． 函数f(x)=(
)在［－&，&］上的单调减区间为__ _。 3
8． 函数y??2sin(2x?9．
)与y轴距离最近的对称中心的坐标是＿＿＿＿。
10.设函数f(x)是以2为周期的奇函数，且 ，若
4cos2)?的值．，则f(
12.设函数y?sin??x???????0,????
,???的最小正周期为?，且其图像关于直线22???
,0?对称；(2) 图像关于点?,0?对?4??3?
对称，则在下面四个结论中：(1)图像关于点?
称；(3)在?0,
上是增函数；（4）在???6,0?上是增函数，那么所有正确结论的编号为____ 6????
二、选择题
13.已知正弦曲线y=Asin(&x+&)，(A&0，&&0)上一个最高点的坐标是(2，3)，由这个
最高点到相邻的最低点，曲线交x轴于(6，0)点，则这条曲线的解析式是( )
(C) y=sin(x+2)
(A) y=sin( 14．函数y=sin(2x+
(A) 向左平移(C) 向左平移
(D) y=sin(x-)
(B) y=sin(
)的图象是由函数y=sin2x的图像 （ ） 3
(B) 向左平移
单位2． 65?
(D) 向右平移
15.在三角形△ABC中, a?36,b?21,A?60,不解三角形判断三角形解的情况( ).
(A) 一解（B） 两解(C) 无解 (D) 以上都不对 16. 函数f(x)=cos2x+sin(
+x)是 (). 2
(B) 仅有最小值的奇函数
(D) 既有最大值又有最小值的偶函数
(A) 非奇非偶函数(C) 仅有最大值的偶函数 三、解答题
17．（8分）设函数f(x)?log2(x?1),(x??1) （1）求其反函数f
（2）解方程f
18．（10分）已知
（1）求tanx的值；
（2）若sinx,cosx是方程x2?mx?n?0的两个根，求m2?2n的值.19．（
分）已知函数
(1).求f(x)的定义域；
(2).写出函数f(x)的值域；
(3).求函数f(x)的单调递减区间；
20.（12分）设关于的方程(1).求的取值范围； (2).求
内有两相异解，；
21．（12分）我们把平面直角坐标系中，函数y=f(x),x?D上的点P?x,y?，满足． x?N?,y?N?的点称为函数y=f(x)的&正格点&
⑴请你选取一个m的值，使对函数f(x)?sinmx,x?R的图像上有正格点，并写出函数的一个正格点坐标．
⑵若函数f(x)?sinmx,x?R，m??1,2?与函数g(x)?lgx的图像有正格点交点，求m的值，并写出两个函数图像的所有交点个数．
⑶对于⑵中的m值，函数f(x)?sinmx,x??0,?时，不等式
logax?sinmx恒成立，求实数a的取值范围．
高一期末数学试卷答案
1、1?ab 2、{2} 3、?
4、?2k??,2k????(k?Z)5
,0］及［,&］ 8、（22
6、 7、［－
12、(２) (４)13、A 14、B 15、A 16、D
17. 解：（1） f
(x)?2x?1,(x?R)；--------------------------------4分
（2）由已知?2?1?4?7?(2x?3)(2x?2)?0
?2x?3?0?x?log23-----------------------------------------------------4分
18. 解： (1)tanx??3； (2)m?sinx?cosx,
-----------------------------------------4分
n?sinx?cosx ---------------------------------2分
sinx?cosx21?sin2x3
)?4??4?sin2x??） （另解：已知?(
sinx?cosx1?sin2x5?m2?2n?1?4sinx?cosx?1?2sin2x?1?2?
19. 解:(1)f(x)的定义域：
(2).函数f(x)的值域：
(3).函数f(x)的单调递减区间:
20.解: (1).由数形结合有：(2). ∵，是方程的两根
∴sin&+cos&+a=0，且sin&+两式相减得：2sin(??∴??∵
?????????????6分
cos&+a=0???????????????2分
)?????????????????
?2k????(??
)，k?Z或??
，k?Z???4分
篇二：高一数学期末试卷
学年上学期期末考试
高一数学试卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
C.{x|x?2}D.{x|1?x?2}
A．?6 B．?3 C．0 D．1
5??xxx?x? 9.已知不等式
x??cos2?m?0对于任意的?66444恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
?m?10.定义在R上的函数f(x)满足f(x?2)?3f(x),当x?[0,2]时,f(x)?x2?2x，则
x?[?4,?2]时,f(x)的最小值是（ ）
A．－ B． C．? D．－1
11．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，
2.函数y??lg(2?x)的定义域是( )
A.?1，2? B.?1，4? C.?1，2? D.?1，
点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d?f
(l)的图像大致是（ ）
A.4 B.1 C.?4 D.?1
4.为得到函数y?cos?2x??的图像，只需将函数y?sin2x的图像（）
A．向左平移
个长度单位 12
B．向右平移
个长度单位 12
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位
?x2??a?b?x?2,x?0
12.若a、b是方程x?lgx?4，x?10?4的解，函数f?x???，则
x?0?2,关于x的方程f?x??x的解的个数是（）
B.2 C.3 D.4
5.设x,y?R，向量a?(x,1),b?(1,y),c?(2,?4)且a
6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC?csinBcosA?b，
且a?b，则&B＝( )
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上) 13．已知幂函数y?f(x)的图象过点(2,2),则f(9)?. 14.化简sin(x?60?)?2sin(x?60?)?cos(120??x)的结果是 . 15．已知f(3x)?4xlog23?233，则f(2)?f(4)?f(8)?
若1?sinxcosx?0，则x不可能是( )
A. 任何象限的角 C. 第一、二、四象限的角
B. 第一、二、三象限的角 D. 第一、三、四象限的角
?f(28)的值等于．
16．?ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，???0且||?||，则向量 在
方向上的投影为
8.已知函数f(x)?log2(ax?4bx?6)，满足f(1)?1,f(2)?log26，a,b为正实数，则f(x)的最小值为（ ）
三、解答题(本大题共6小题，共70分具体为10+12+12+12+12+12分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18．已知?ABC的面积S?S?AB?BC?6． ⑴求角B的取值范围；
的值域． ⑵求函数f(B)?
19．在锐角三角形ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且3(tanA?tanB)?1?tanA?tanB.
⑴若a2?ab?c2?b2，求A、B、C的大小；
⑵）已知向量m?(sinA,cosA),n?(cosB,sinB),求|3m?2n|的取值范围.
20．如果函数y?f(x)的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得
。 f(x?a)?f(?x)成立，则称此函数具有&P(a)性质&
⑴判断函数y?sinx是否具有&P(a)性质&，若具有&P(a)性质&，求出所有a的值；若不具有&P(a)性质&，说明理由； ⑵已知y?f(x)具有&P(0)性质&，且当x?0时f(x)?(x?m)2，求y?f(x)在[0,1]上的最大值；
21．如图所示，有两条相交成60&角的直路XX&和YY&，交点是O，甲、乙分别在OX、OY上，起初甲离O点3 km，乙离O点1 km，后来两人同时用每小时4 km的速度，甲沿XX&方向，乙沿Y&Y的方向步行. ⑴起初，两人的距离是多少？
⑵用t表示t小时后两人的距离； ⑶什么时候两人的距离最短？
22．已知f(x)是定义在??1,1?上的奇函数，且f(1)?1，若m,n???1,1?,m?n?0时，有f(m)?f(n)
(x)在??1,1?上是增函数； ⑵解不等式f(x2?1)?f(3?3x)?0
⑶若f(x)?t2?2at?1对?x???1,1?,a???1,1?恒成立，求实数t的取值范围
篇三：高一数学试卷及答案
高一数学试卷
试卷说明:本卷满分150分，考试时间120分钟。学生答题时可使用专用计算器。 一、选择题。（共10小题，每题5分） 1、设集合A={x?Q|x&-1}，则（）
2、设A={a，b}，集合B={a+1，5}，若A&B={2}，则A&B=（）
A、{1，2}B、{1，5}C、{2，5}D、{1，2，5} 3、函数f(x)?
的定义域为（） x?2
A、[1，2)&(2，+&） B、(1，+&）
C、[1，2) D、[1，+&)
4、设集合M={x|-2&x&2}，N={y|0&y&2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M为定义域，N为值域的函数关系的是（）
10、某企业近几年的年产值如图，则年增长率最高的是（ ）（年增长率=年增长值/年产值） A、97年 B、98年 C、99年 D、00年
二、填空题（共4题，每题5分）
11、f(x)的图像如下图，则f(x)的值域为 ；
12、计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低1/3，现在价格为8100元的计算机，则9年后价格可降为；
13、若f(x)为偶函数，当x&0时，f(x)=x,则当x&0时，f(x)=；
14、老师给出一个函数，请三位同学各说出了这个函数的一条性质： ①此函数为偶函数； ②定义域为{x?R|x?0}； ③在(0,??)上为增函数.
其中有一个同学的结论错误，另两位同学的结论正确。请你写出一个(或几个)这样的函数
三、解答题（本大题共6小题，80分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤。） 15、（12分）设全集为R，A??x|3?x?7?，B??x|2?x?10?，求CR(AB)及?CRA?B
16、（12分）求下列各式的值
⑴ ?2????9.6???3?
5、三个数70。3，0。37，，㏑0.3，的大小顺序是（ ）
A、 70。3，0.37，，㏑0.3, B、70。3，，㏑0.3, 0.37 C、 0.37, , 70。3，，㏑0.3,D、㏑0.3, 70。3，0.37，
0.1）为（ ）
A、1.2B、1.3 C、1.4 D、1.5
x??2,x?07、函数y???x 的图像为（ ）
8、设f(x)?logax
（a&0，a&1），对于任意的正实数x，y，都有（ ）
?lg25?lg4?7log72 A、f(xy)=f(x)f(y)B、f(xy)=f(x)+f(y) C、f(x+y)=f(x)f(y) D、f(x+y)=f(x)+f(y) 9、函数y=ax2+bx+3在（-&，-1]上是增函数，在[-1，+&)上是减函数，则（ ）
A、b&0且a&0 B、b=2a&0 C、b=2a&0 D、a，b的符号不定
第1页 高一数学试卷
?x?2 (x??19、（14分）已知函数f(x)=㏒a2x
?1, (a?0,且a?1）,
17、（14分）设f(x)??
1)?x2(?1?x?2)，
（1）求f(x)函数的定义域。 （2）求使f(x)&0的x的取值范围。 ??
2x(x?2) (1)在下列直角坐标系中画出f(x)的图象； (2)若g(t)?3，求t值；
(3)用单调性定义证明在?2,???时单调递增。
20、（14分）已知函数f(x)= 2x
18、（14分）某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后各月的产量，以这三个月产品数为依据，用一个函数模拟此产品的月产量y（万件）与月份数x的关系，（1）写出函数f(x)的反函数g(x)及定义域；
模拟函数可以选取二次函数y=px2+qx+r或函数y=abx+c（其中p、q、r、a、b、c均为常数），已知4月份该新产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？求出此函数。 （2）借助计算器用二分法求g(x)=4-x的近似解（精确度0.1）
高一数学试卷
高一数学参考答案
命题：碧莲中学
一、选择题（共10题，每题4分）
11、[-4，3] 12、300 13、-x
14、y?x2 或y?{1?x,x?02
三、解答题（共44分） 15、 解：CR(A?B)?{x|
x?2或x?10}
?{x|2?x?3或7?x?10}
16、解（1）原式＝(91
4)?1?(8)?(2
=(32?23?32)?1?(2)?3?(3?2
) =33?232?1?(2)?(2
3（2）原式＝log3
?lg(25?4)?2 ?1 ＝log33
＝?14?2?2?15
17、略 18、 解：若y＝
f(x)?ax2?bx?c 则由题设
?f(1)?p??q?r?1?p??0.?
f(2)?4p?2q?r?1.2??05
?q?0.35? ?f(3)?9p?3q?r?1.3??
r?0.7 ?f(4)??0.05?42
?0.35?4?0.7?1.3(万件)
若y?g(x)?abx
?g(1)?ab?c?1??a??0.8?
g(2)?ab2?c?1.2???b?0.5? ?
g(3)?ab3?c?1.3??c?1.4
?g(4)??0.8?0.54
?1.4?1.35(万件)
?选用函数y?abx?c作为模拟函数较好
19、解：（1）2x?1&0x且2-1?0?x?0?这个函数的定义域是（0，??）
2x?1&0,当a&1时，2x?1&1?x?1;当0&a&1时，2x?1&1且x&0?0?x?120、略
高一数学试卷
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纵然是敌众我寡，纵然是深陷重围，但是，我们敢于亮剑！我们敢于战斗到最后一个人！ 一句话：狭路相逢，勇者胜！亮剑精神就是我们这支军队的军魂！剑锋所指，所向披靡！！！
我觉得做的迷迷糊糊，你自己理解一下
有4种情况使得存在3个解，1
-1还有两种就是右边和图像的切点
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高中数学典型例题解析（第五章不等式2）
三、经典例题导讲
[例1] 已知a&b(ab),比较与的大小.
错解：&a&b(ab)，&.
错因：简单的认为大数的倒数必定小，小数的倒数必定大.正确的结论是：当两数同号时，大数的倒数必定小，小数的倒数必定大.
正解：，又&a&b(ab)，
(1)当a、b同号时，即a&b&0或b&a&0时，则ab&0,b－a&0, ,&.
(2)当a、b异号时，则a&0,b&0, &0,&0&.
[例2] 当a、b为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是（　　）
A.　　　B.　　　C.　　　D.
错解：所以选B.
错因是由于在、、中很容易确定最小，所以易误选B.而事实上三者中最小者，并不一定是四者中最小者，要得到正确的结论，就需要全面比较，不可遗漏与前三者的大小比较.
正解：由均值不等式及a2+b22ab,可知选项A、B、C中，最小，而＝，由当ab时，a+b&2,两端同乘以，可得（a+b）·＞2ab,&＜，因此选D.
[例3] 已知：a&0 , b&0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值.
(a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8,
∴(a+)2+(b+)2的最小值是8.
错因：上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的.因此，8不是最小值.
正解：原式= a2+b2+++4=( a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4
&&&&&&&&&&&& =
(1－2ab)(1+)+4，
由ab≤()2=&得：1－2ab≥1－=, 且≥16，1+≥17，
∴原式≥×17+4=&(当且仅当a=b=时，等号成立)，
∴(a + )2 + (b + )2的最小值是.
[例4] 已知0 & x & 1, 0 & a
& 1，试比较的大小.
&&&&& ∵0 & 1 - x2 & 1,& &&&∴
&&&&& ∵0 & 1 - x2 & 1,& 1 + x
&&&&& ∴&& ∴
解法三：∵0 & x & 1,& ∴0 & 1 - x & 1,& 1 & 1 + x
&&&&& ∴左 -
&&&&& ∵0 & 1 - x2 & 1, 且0 & a &
[例5]已知x2 = a2 + b2，y2 = c2
+ d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac + bd
证：证法一（分析法）∵a, b,
c, d, x, y都是正数
&&&&&&&&&&&&&&
∴要证：xy≥ac + bd
&&&&&&&&&&&&&&&&
只需证：(xy)2≥(ac + bd)2
&&&&&&&&&&&&&&&&
即：(a2 + b2)(c2
+ d2)≥a2c2 + b2d2
&&&&&&&&&&&&&&&&
展开得：a2c2 + b2d2 +
a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2
&&&&&&&&&&&&&&&&
即：a2d2 + b2c2≥2abcd&&&&
由基本不等式，显然成立
&&&&&&&&&&&&&&
∴xy≥ac + bd
证法二（综合法）xy =
&&&&&&&&&&&&&&&&
证法三（三角代换法）
&&&&& ∵x2 = a2 + b2，∴不妨设a = xsina,&
y2 = c2 + d2&&&&&&&&&&&&&&& c = ysinb,&
&&&&&&&&&&&
∴ac + bd = xysinasinb
+ xycosacosb = xycos(a -
[例6] 已知x & 0，求证：
证：构造函数&则， 设2≤a&b&
显然& ∵2≤a&b&& ∴a - b
& 0,& ab -
1 & 0,& ab & 0& ∴上式 & 0
(x)在上单调递增，∴左边
四、典型习题导练
1.比较（a+3）(a－5)与（a+2）（a-4）的大小.
2.已知a,b,c,d都是正数，求证：
3.已知x & 0 , y & 0，2x + y
= 1，求证：
4.若，求证：
& 1，y & 1，求证：&
6．证明：若a & 0，则
§5.4不等式的应用
一、基础知识导学
1.利用均值不等式求最值：如果a1，a2∈R+，那么.
2.求函数定义域、值域、方程的有解性、判断函数单调性及单调区间，确定参数的取值范围等.这些问题一般转化为解不等式或不等式组，或证明不等式.
3.涉及不等式知识解决的实际应用问题，这些问题大体分为两类：一是建立不等式解不等式；二是建立函数式求最大值或最小值.
二、疑难知识导析
不等式既属数学的基础知识，又是解决数学问题的重要工具，在解决函数定义域、值域、单调性、恒成立问题、方程根的分布、参数范围的确定、曲线位置关系的讨论、解析几何、立体几何中的最值等问题中有广泛的应用，特别是近几年来，高考试题带动了一大批实际应用题问世，其特点是：
1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、税收、销售收入、市场信息”等，题目往往篇幅较长.
2．函数模型除了常见的“正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数”等标准形式外，又出现了以“函数”
为模型的新的形式.
三　经典例题导讲
[例1]求y=的最小值.
错解：&y=＝2
y的最小值为2.
错因：等号取不到，利用均值定理求最值时“正、定、等”这三个条件缺一不可.
正解：令t=,则t,于是y=
由于当t时，y=是递增的，故当t＝2即x=0时，y取最小值.
[例2]m为何值时，方程x2+(2m+1)x+m2－3=0有两个正根.
错解：由根与系数的关系得，因此当时，原方程有两个正根.
错因：忽视了一元二次方程有实根的条件，即判别式大于等于0.
正解：由题意：
因此当时，原方程有两个正根.
[例3]若正数x，y满足，求xy的最大值．
解：由于x，y为正数，则6x，5y也是正数，所以
当且仅当6x=5y时，取“=”号．
因，则，即，所以的最大值为.
[例4]&已知：长方体的全面积为定值S，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．
分析：经过审题可以看出，长方体的全面积S是定值．因此最大值一定要用S来表示．首要问题是列出函数关系式．设长方体体积为y，其长、宽、高分别为a，b，c，则y=abc．由于a+b+c不是定值，所以肯定要对函数式进行变形．可以利用平均值定理先求出y2的最大值，这样y的最大值也就可以求出来了．
解：设长方体的体积为y，长、宽、高分别是为a，b，c，则
y=abc，2ab+2bc+2ac=S．
y2=（abc）2=（ab）（bc）（ac）
当且仅当ab=bc=ac，即a=b=c时，上式取“=”号，y2有最小值
答：长方体的长、宽、高都等于时体积的最大值为.
说明：对应用问题的处理，要把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求解问题的关健.
四、典型习题导练
1.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
2.证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
3.在四面体P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，各棱长的和为m，求这个四面体体积的最大值．
4. 设函数f(x)=ax2+bx+c的图象与两直线y=x，y=-x，均不相
交，试证明对一切R都有.
5．青工小李需制作一批容积为V的圆锥形漏斗，欲使其用料最省，问漏斗高与漏斗底面半径应具有怎样的比例？
6．轮船每小时使用燃料费用(单位：元)和轮船速度(单位：海里／时)的立方成正比．已知某轮船的最大船速是18海里／时，当速度是10海里／时时，它的燃料费用是每小时30元，其余费用(不论速度如何)都是每小时480元，如果甲、乙两地相距1000海里，求轮船从甲地行驶到乙地，所需的总费用与船速的函数关系，并问船速为多少时，总费用最低？
5.5& 推理与证明&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
一、基础知识导学
1.推理一般包括合情推理和演绎推理.
2.合情推理：根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.归纳、类比是合情推理常用的思维方法.
3.归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理.
4.归纳推理的一般步骤：⑴通过观察个别情况发现某些相同性质；⑵从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.
5.类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理.
6.类比推理的一般步骤：⑴找出两类事物之间的相似性或一致性；⑵从一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.
7.演绎推理：根据一般性的真命题导出特殊性命题为真的推理.
8.直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；间接证明的一种基本方法──反证法.
9.分析法：从原因推导到结果的思维方法.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
10.综合法：从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法.&
11.反证法：判定非q为假，推出q为真的方法.
12.应用反证法证明命题的一般步骤：⑴分清命题的条件和结论；⑵做出与命题结论相矛盾的假定；⑶由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；⑷间接证明命题为真.
13.数学归纳法：设｛pn｝是一个与自然数相关的命题集合，如果⑴证明起始命题p1成立；⑵在假设pk成立的前提上，推出pk＋1也成立，那么可以断定，｛pn｝对一切正整数成立.
14.数学归纳法的步骤：
&&& （1）证明当 （如 或2等）时，结论正确；
&&& （2）假设 时结论正确，证明 时结论也正确．
二、疑难知识导析
1.归纳推理是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理.
而类比推理是根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理.
2. 应用反证法证明命题的逻辑依据：做出与命题结论相矛盾的假定，由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果
3. 数学归纳法是一种证明方法，归纳推理是一种推理方法.
三、经典例题导讲
[例1] {}是正数组成的数列,其前n项和为,并且对于所有的自然数,与2的等差中项等于与2的等比中项.
(1)写出数列{}的前3项;
(2)求数列{}的通项公式(写出推证过程);
错解：由(1)猜想数列{}有通项公式=4-2.
下面用数学归纳法证明数列{}的通项公式是
=4-2.& (∈N).
①当=1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述结论成立.
②假设n=k时结论成立,即有=4-2.由题意,有
将=4-2代入上式，得，解得
将代入，化简得
这就是说,当n=k+1时,上述结论成立.
根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立.
错因在于解题过程中忽视了取值的取舍.　
正解：由(1)猜想数列{an}有通项公式an=4n-2.
猜想数列{}有通项公式=4-2.
下面用数学归纳法证明数列{}的通项公式是
=4-2.& (∈N).
①当=1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述结论成立.
②假设n=k时结论成立,即有=4-2.由题意,有
将=4-2代入上式，得，解得
将代入，化简得
这就是说,当n=k+1时,上述结论成立.
根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立.
[例2]　用数学归纳法证明对于任意自然数，
错解：证明：假设当（N）时，等式成立，
　　　　　即，
　　　　　那么当时，
　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　这就是说，当时，等式成立．
　　　　可知等式对任意N成立．
错因在于推理不严密，没有证明当的情况 ．
正解：证明：（1）当时，左式，右式，所以等式成立．
　　　　　（2）假设当（）时，等式成立，
　　　　　即，
　　　　　那么当时，
　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　这就是说，当时，等式成立．
　　　　　由（1）、（2），可知等式对任意N成立．
[例3]　是否存在自然数，使得对任意自然数，都能被整除，若存在，求出的最大值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．
　分析　本题是开放性题型，先求出，，…再归纳、猜想、证明．
　　　　　　，
　　　　　　，
　　　　……
　　　　猜想， 能被36整除，用数学归纳法证明如下：
　　　　（1）当时，，能被36整除．
　　　　（2）假设当，（N）时，能被36整除．
　　　　那么，当时，
　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　
　　　　由归纳假设，能被36整除，
　　　　当为自然数时，为偶数，则能被36整除．
　　　　∴ 能被36整除，
　　　　这就是说当时命题成立．
　　　　由（1）、（2）对任意，都能被36整除．
　　　　当取大于36的自然数时，不能被整除，所以36为最大．
　[例4] 设点是曲线C：与直线的交点，过点作直线的垂线交轴于，过点作直线的平行线交曲线C于，再过点作的垂线作交X轴于，如此继续下去可得到一系列的点，，…，，…如图，试求的横坐标的通项公式．
　分析 本题并没有指明求通项公式的方法，可用归纳——猜想——证明的方法，也可以通过寻求与的递推关系式求的通项公式．
解：解法一　 与（，）联立，解得
　　直线的方程为，　令，得，所以点
　直线的方程为与联立，消元得（），解得，　所以点（，）．
直线的方程为，
　令，得，所以点　同样可求得点（，0）
　　　　　　……
　　由此推测（，0），即
　　　用数学归纳法证明
　　　（1）当时，由点的坐标为（，0），
　　　　即，所以命题成立．
　　　（2）假设当时命题成立，
　　　　　即，0），则当时，
　　　　　由于直线的方程为，
　　　　　把它与（，）联立，
　　　　　消去可得（），
　　　　　∴
　　　　　于是
　　　　　　即点的坐标为（，）．
　　　　　　∴ 直线的方程为
　　　　　　令得，
　　　　　　即点的坐标为（，0）
　　　　　　∴ 当时，命题成立．
　　解法二　设点，的坐标分别为（，0）、（，0），
　　　　　　建立与的递推关系，即，
　　　　　　由数列是等差数列，且，公差
　　　　　　可求得（），．
用数学归纳法证明与自然数n有关的几何命题，由k过渡到k＋1常利用几何图形来分析图形前后演变情况．
[例5] 有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2-n＋2个部分．
证明①当n＝1时，即一个圆把平面分成二个部分f(1)=2
又n＝1时，n2-n＋2＝2，∴命题成立
②假设n＝k时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k2-k＋2个
部分，那么设第k＋1个圆记⊙O，由题意，它与k个圆中每个圆
交于两点，又无三圆交于同一点，于是它与其它k个圆相交于2k
个点．把⊙O分成2k条弧而每条弧把原区域分成2块，因此这平
面的总区域增加2k块，即f(k＋1)＝k2-k＋2＋2k=(k＋1)2-(k＋1)＋2
即n＝k＋1时命题成立．
由①②可知对任何n∈N命题均成立．
说明:& 本题如何应用归纳假设及已知条件，其关键是分析k增加“1”时，研究第k＋1个圆与其它k个圆的交点个数问题．
&[例6] 已知n≥2，n∈N
②假设n=k时，原不等式成立．
由①②可知，对任何n∈N(n≥2)，原不等式均成立．
四、典型习题导练
1.用数学归纳法证明等式“1＋2＋3＋…＋（＋3）=&(N)”，
当=1时，左边应为____________.
2.已知数列{&}的前n项和，则{}的前四项依次为_______,猜想=__________.
3.已知数列
4.已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足证明.
&&&& 5. 自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能
力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.
不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，
这些比例系数依次为正常数a，b，c.
（1）求xn+1与xn的关系式；
（2）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？
（3）设a＝2，c＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的
最大允许值是多少？证明你的结论
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