字母的分式运算 完美作业网 www.wanmeila.com
分式的运算法则 根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。约分步骤：1.如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。2.分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。最简分式：一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。
　123单项式/单项式　　提公因式约去公因式结果多项式/多项式因式分解　　提公因式结果单项式/多项式因式分解提公因式结果 根据分数的基本性质，异分母的分数可以通分，使几个分数的的分母相同；同样，根据分式的基本性质，分式也可以进行类似的变形，使几个异分母分式的分母相同，而分式的值不变。通分：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分。它与约分是互逆运算。通分步骤：先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母。同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子。最简公分母的确定方法：系数取各因式系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积。 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘： 。也可表述为：除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数。 分子乘方做分子，分母乘方做分母，可以约分的约分，最后化成最简：。
分式计算要注意的点有哪些，方法有哪些 1．分式加减法法则（1）通分：把异分母的分式化为同分母分式的过程，叫做通分（2）同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变．分子相加减．用字母表示为：（3）异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分．变为同分母的分式后再加减．用字母表示为：2．分式的化简分式的化简与分式的运算相同，化简的依据、过程和方法都与运算一样，分式的化简题，大多是分式的加、减、乘、除、乘方的混合题，化简的结果保留最简分式或整式．3．分式的求值题近几年出现在中考题中的求值题一般有以下三种题型：（1）先化简，再求值；（2）由已知直接转化为所求的分式的值；（3）式中字母所表示的数没有明确给出，而是隐含在已知条件中，解这类题，一方面由已知条件求出字母的取值，另一方面化简所给出的分式，只有双管齐下，才能找出最简便的算法．分式的约分与分式的通分是分式运算中最基本的两种变形，通过前面的学习明确了约分的关键是寻求分子、分母的公因式，约分在分式的运算中起着不可替代的作用．问题：通分有哪些应注意的问题，通分与约分之间又有哪些区别与联系呢?探究：通分的关键是确定几个分式的最简公分母，其步骤如下：①将各个分式的分母分解因式；②取各分母系数的最小公倍数；③凡出现的字母或含有字母的因式为底的幂的因式都要取；④相同字母或含字母的因式的幂的因式取指数最大的；⑤将上述取得的式子都乘起来，就得到了最简公分母。如分式 ， 的最简公分母为15a2b3c2，通分的结果为老师：学习了通分和约分后，你能总结出通分和约分的区别和共同点吗?小明：通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．小勇：约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，把各分式的分母统一起来．小刚：通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，在变形中都保持分式的值不变．老师：一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式．分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．
数学中的ab和xy含义是怎么 分式里的字母怎么计算 那仅仅只是个未知数，你可以用任何字母代替，只不过习惯上用xy，ab之类，还有你描述的计算最好写成式子，或者传张图片，有歧义的，计算也只是化简而已
分式乘法怎么做？ 同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.用字母表示为：a/c±b/c=a±b/c
2.异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：a/b±c/d=ad±cb/bd
3.分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a/b * c/d=ac/bd
4.分式的除法法则:(1).两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.a/b÷c/d=ad/bc
(2).除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:a/b÷c/d=a/b*d/c
数学中的ab和xy含义是怎么 分式里的字母怎么计算 这个是初中的数学公式
平方和公式和平方差公式
你看一下应该就知道平方和公式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2平方差公式：(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
整式、分式的运算以及分式有意义的参数的取值范围 首先只含有加、减、乘、乘方运算的代数式叫整式。单项式与多项式统称整式即分母中不含字母。分式是分母中含有字母且不为0的分数。使分式有意义的取值范围应当符合分母不为0。
word里面要有分式，分式上的字母要有下标，那个高手帮帮忙？不要说那个公式3.0，试过了没用！谢谢了 不是没用，应该说是你没有用对方法。正确使用方法如下：第一步：先选择“分式和根式模板”，做一个分式；第二步：再在“分子或分母”中点击“上标和下标模板”，选择相应样式，制作出上下标。同时输入相应数字即可！
分式中分母为什么一定要含有字母 判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是A/ B的形式，关键要满足：分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式。同时无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。
2/x是分式的话，那么x/2是分数吗？ 主要想问分数的分母含有字母的话叫做分式～那么如果只有分 x/2是分数，只有分子有字母的话是分数
有意义时，字母
应满足的条件是
试题分析：分式有意义的条件：分式的分母不为0，分式才有意义.由题意得
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握分式有意义的条件，即可完成.有一个正的既约分数，如果其分子加上24，分母加上54后，其分数值不变，那么此既约分数的分子和分母的_百度知道
有一个正的既约分数，如果其分子加上24，分母加上54后，其分数值不变，那么此既约分数的分子和分母的
有一个正的既约分数，如果其分子加上24，分母加上54后，其分数值不变，那么此既约分数的分子和分母的乘积等于？希望能讲讲用什么思路去解这道题。谢谢！
我有更好的答案
(y+54)=x/y得9x=4y因为原分数是既约分数，则x=4;y,则（x+24）&#47设原分数为x&#47
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设分母为X,分子为Y，，Y/X=Y+24/X+54求解
解德X=9，Y=4
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　　引子　　化物大陆云端，距地10000米高空，万里无云，目经之处一片蔚蓝，在这寂静的天空之上却发生着一场旷世大战。　　“光之镜像!反射!”一白衣男子喊道!　　“反，我叫你反，暗灭光束，”黑衣男子戏谑的说道。　　双手一变白衣男子说道“不错哟，能量束，看我的镜面反射以点破之!”　　只见黑衣男子身法一变说道“我躲，我再躲！”　　“坑爹的，这是你逼我的，看招，漫反射，我看你咋躲!”白衣一手打碎镜面喊道，　　“不要以为只有你物理学的好!!看我黑暗量子纠缠，传送！！”黑衣男子大笑道。　　“有本事別躲啊！大家来硬碰硬，”白衣男子恼怒的骂道，　　“来就来，谁怕谁”黑衣男子不甘示弱的答道，　　“啪，嚓，砰，嗵……………”　　时间不知不觉间过去了许久。　　白衣男子上气不接下气的说：“你……还有……力气………吗？算……平手………如……何!”　　“行，100年后，让各自……徒……弟来决定胜负…”黑衣男子讲到　　“我还就不信了，我交出来的弟子会不如你的弟子，”白衣男子自信的说到。　　“来到这鬼地方100000余年了，也不知何时才能回去，诶”白衣男子忧愁的说，　　“你居然还想回去，反正我不想再回到那个令人厌恶的世界，贪官当道，我一平民百姓一点地位都没有!”黑衣男子一脸的怒气，　　“诶，……”两人异口同声地叹息道，　　………………………………………………………………………………………　　就这样，光明仙者牛子琦，黑暗斗士张皓阳之间的第10080次比拼暂告一段落　　两人从此四处寻找弟子，为这无尽的生命增添一分色彩。　　…………………………………………　　香蕉村，“思琦，别跑了”一妇人焦急的喊道，在其眼前一个小男孩飞快的跑向门外，想要看一看外面的美景，“小家伙，你当我徒弟怎样”，牛子琦笑着说道，“我为啥要当你徒弟，”稚嫩的声音回答道，“我可以教你翱翔于蔚蓝的天空！”牛子琦说，“没意思，而且我恐高，换个别的理由，”我可以教你拥有无尽的生命，”牛子琦说，“什么叫无尽的生命？有什么意义？”小孩思琦天真的问，“额，就是你永远死不了，”牛子琦无语的回答，“那我爹我娘呢？”小孩又问，“他们很难活那么久，”牛子琦淡淡的回答，“那就算了，大叔你走吧！”小孩说，“噗……”吐血ing，“我给你糖吃行不？”牛子琦悲愤的说，“好，师傅”小孩迅速的说道，“噗………………”吐血ing，“来……，磕三个头，就好，”牛子琦擦了擦“血”说道，“咣，咣，咣，”三个头磕好了，“师傅，糖！”思琦兴奋的喊道，眼中还冒着金星，“三日之后，我来接你，给你的“糖””牛子琦说完后就离开了，不一会，只听砰的一声，后山冒起了白烟，冒起了白烟。　　就这样，不久后驰骋化物大陆的光之守护旷思琦就这样被一根糖“骗”走了。　　………………………………………………………　　暮光城，“小不点，还跑，找打！”只见3、4个12、3岁的少年一边喊一边追着一个小男孩，结果可想而知，小不点被打了一顿，遍体鳞伤的小孩蜷缩在角落里，独自一人孤独的哭泣，旁人路过却一脸的冷漠，淡淡的走过，或许明天他死了也无人知晓吧！这时黑风涌动，张皓阳走了过来，“小家伙，跟着我吧，我让你变强，不再受人欺负，斩尽这世间的一切丑陋，”“好，我一定要变强”声音虽然稚嫩但气势却并不缺少!“提前奉劝你一句，一旦走上这条路，你将变得孤独，因为你生活在黑暗之中，而且还很危险，因为你行走在刀尖之上，不知你还愿意吗？”张皓阳语气凝重的说，“我愿意，反正我也没有亲人，而且我也不想再过这个日夜挨打的日子，我要复仇，我要建立一个属于自己的新世界”小不点一脸的杀气的说，“不，不要被仇恨蒙蔽了双眼，光明之中也有黑暗，黑暗中也会有光明，”张皓阳皱着眉头说，内心想到：“有点棘手啊！这孩子杀气过重，算了过几年去找老妞帮个忙吧，诶，还要去求他，真麻烦，估计又要被他耻笑好久”小不点说“不懂，但我要变强，”张皓阳说“从现在开始你就叫冷寂戮，让这个世界感受到你那冰冷，估计，充满杀戮的心，来磕三个头，拜个诗，”“咣、咣、咣”三声，“师父”冷寂戮说道，“走，回黑暗之界”，黑风一起，两人便消失与此。　　那个令人胆寒的黑暗执法者冷寂戮遇上了他的师父，他的人生轨迹从今天起就发生了转折………　　……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………赤子之心，容易受到挫折而发生转变，黑暗冷血会被善良所感染，开始如此，结果却并非如此，当光明堕落，当黑暗向善，看似矛盾，实则不然，　　欲知后事如何，且听下回分解！　　……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………　　黑暗还是光明，正义还是邪恶，好还是坏，善还是恶，又有谁可以看透，可以理解，可以说清楚，世界是对称的，有好就有坏，先人之好坏全凭后人评说。　　………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………　　作者的话：第一次写小说，各位客官，您就凑活着看吧！后面那段话纯粹就是在凑字数，您直接略过就好！嘿嘿。
　　光明世界　　那座被牛子琦改造过的大山之上一个小小的人影在向着光明深处走着，虽然一眼望不到尽头，但却依然坚持着。这个孩子就是旷思琦，走近一些就可听见旷思琦嘴里那嘟嘟囔囔的话语:“师傅说只要今天走到他的房子那里就给我一盒的阿尔卑斯棒棒糖，为了糖果我一定要走到师傅那里，”话到此处眼里闪过一丝坚定之意。孤独且疲惫的身影再一次提速几分。　　昨日拜师之后，牛子琦留下一句承诺就走到后山去了，一夜的响声震惊了整个村庄，可怜小小的旷思琦连路都不知道，只得向着光明之处去寻找。　　光明城堡中，“啊！”一声长长的哈欠声从一头如鸟窝般的头发的邋遢男子口中传出，“主人，您的徒弟已经进入光明传送阵的范围内，您是不是去接应一下？”房间墙上涌现出的脸说道，“徒弟？我收徒弟了吗？我咋不知道，我昨天不是去人界的天灵城参加拍卖会去了吗？”邋遢男子挠挠头说道，　　“您不就是去给您的徒弟买“糖”去了吗？”巨脸一阵无奈的说。　　“哦！好像是，等我吃完饭再去，光明传送阵中的光之信仰会对他进行第一次心灵进化！”仍处于半梦半醒的状态的牛子琦一脸无所谓的说道。　　“他已经进化了一次！在待下去会对身体有所损伤！”巨脸说道。　　“好吧！我现在就去，磁，给我多准备一份武士级早饭！”牛子琦吩咐道！　　“武士级，你疯了，他才几岁，”磁怒吼道！　　“没关系，他刚经过心灵的进化，且经脉被信仰守护之光强化过，应该没问题？”牛子琦思考后说道！　　“行，你说了算，反正他是你的徒弟诶，希望他可以承受吧！”磁无奈的说　　光芒一闪，牛子琦便消失了。然后，就没有然后了！　　风轻轻的吹过，牛子琦出现在旷思琦面前，：“咦！师傅你来了！哦！糖呢？”旷思琦那与身体状况严重不符神情出现在脸上，“给，西瓜味棒棒糖”　　牛子琦将手里的糖递给旷思琦，旷思琦迫不及待的将糖抢了过来，放进嘴里，只见一抹红光涌入旷思琦的身体中，包裹着经脉开始逐渐扩张，那原本就已经被改造过的经脉再一次扩张50%。。而这些，小小的旷思琦是不会知道的！　　“走吧，我带你进入生命与光之城堡”牛子琦大手一挥，云层涌动，霎那间两人便消失于无形之中。　　“wow！这里是哪？好漂亮！”旷思琦面对着一面镶嵌了九九八十枚光明圣核的墙壁惊叹不已的大喊！　　“这里是化物大陆大陆附属位面光明之界！哦，对了，你生活的大陆叫化物大陆而这光明之界则是依附于化物大陆存在的半位面，在这里人们的善良，正义，等充满正能量的品格会被放大，而与这片位面相对的是黑暗之界！你会在这里生活很长一段时间！”牛子琦同缓慢的语气说。　　————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————黑暗之界　　“主人，起床了，您的徒弟冷寂戮心态极为不正常，似乎在憎恨这个世界，虽然经过黑暗之信仰的安抚，但依旧毫无效果！”黑暗城堡卧室墙上一个狰狞的巨脸说道，　　“嗯，他年幼丧父，舅舅逼迫他母亲改嫁，虽然他母亲拼死反抗，奈何他舅舅乃是六冠武皇，岂是他母亲那区区三冠武师可抵抗，最终被洗去记忆嫁到西明国伯爵卡鲁查为妾。而他则被其祖母刘氏所照料，怎奈天有不测风云，其祖母死于1年以前，而他被红十字会所收养，但因营养不良而体质孱弱，一直被周围人所欺凌，诶，既然化解不了，就干脆让他进入那个地方吧！”张皓阳皱着眉头说道。　　突然，张皓阳不再说话，只听喀嚓一声，犹如玻璃碎了般张皓阳的身体也渐渐的随风而逝。　　冷寂戮房间内：“孩子，起来吧！”张皓阳轻声细语的呼唤着！　　冷寂戮睁开眼睛，“师傅，你怎么来了！”虽然他在掩饰眼中的戾气，但这又怎么会逃得过活了无数年月的张皓阳。　　“从今往后我会教导你，但在你没有达到我的要求时，我会讲你的记忆封禁，有些东西你暂时还碰不得！”张皓阳说罢便施展手印，只见一个封字出现然后进入冷寂戮身体中！　　片刻之后冷寂戮那因为封印而失去光彩的眼睛重新绽放神采，“你是谁？我是谁？这里又是哪来？”冷寂戮惊慌失措的叫喊着！“你叫冷寂戮，我是你的师傅，这里是黑暗城堡，你将会在这里学习很长的一段时间！”张皓阳回答道。　　“是的师傅，黑暗城堡是个什么地方？”冷寂戮天真的问，或许是因为没有了童年的痛苦回忆，冷寂戮变得开朗许多！　　“黑暗城堡是我的住处，他在黑暗之界的中心，镇压着黑暗之界与化物大陆的之间传送阵，而黑暗之界是一个依附于化物大陆的一个附属的半位面，在这个地方人类的一切劣根性都将充分的体现，在这里，实力是最为重要的。所以你的修行分为三个阶段，当你完成三个阶段后我会将你送入化物大陆去进行更深一步的提升，与黑暗之界对应的是同属于化物大陆的光明之界。”张皓阳讲到。　　“电，给我准备一份武士级早饭，他的身体刚经过改造，需要能量！”“是的，boss，请静候20分钟，”空间内一个身影说道。　　“小冷，过来做，准备吃早饭，记住早饭一定要吃好，来迎接你的黑暗特训第一步”张皓阳冷冷地说道。　　“好的师傅，不过你为什么笑得那么阴险？”冷寂戮天真的问道。　　“嘿嘿！”　　————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————　　作者的话：希望各位喜欢，在下谢谢，来小二，给每一个客官来一份武士级甜点，“嘿嘿！”
　　光明之界　　“乾，把饭带上来，这都几点了，好饿啊！”牛子琦说。　　“好的，主人”，墙上的脸再一次出现。　　“啪啪！”一扇门从墙上打开，一个银色餐盘端了上来，定睛一看，上面有着不知名的三菜一汤，吻闻起来分外诱人，菜的上面有几分的虚幻，雾气腾腾而上。怎奈何那颜色有些许之诡异，花花绿绿之上皆伴有金色。时间过去不到一分钟，有一个巨型餐盘端了上来，那其上摆着第一份，头号五簋碗十件——燕窝鸡丝汤、海参烩猪筋、鲜蛏萝卜丝羹、海带猪肚丝羹、鲍鱼烩珍珠菜、淡菜虾子汤、鱼翅螃蟹羹、蘑菇煨鸡、辘轳锤、鱼肚煨火腿、鲨鱼皮鸡汁羹、血粉汤、一品级汤饭碗。第二份，二号五簋碗十件——卿鱼舌烩熊掌、米糟猩唇、猪脑、假豹胎、蒸驼峰、梨片伴蒸果子狸、蒸鹿尾、野鸡片汤、风猪片子、风羊片子、兔脯奶房签、一品级汤饭碗。第三份，细白羹碗十件——猪肚、假江瑶、鸭舌羹、鸡笋粥、猪脑羹、芙蓉蛋、鹅肫掌羹、糟蒸鲥鱼、假斑鱼肝、西施乳、文思豆腐羹、甲鱼肉肉片子汤、茧儿羹、一品级汤饭碗。第四份，毛血盘二十件——炙、哈尔巴、小猪子、油炸猪羊肉、挂炉走油鸡、鹅、鸭、鸽、猪杂什、羊杂什、燎毛猪羊肉、白煮猪羊肉、白蒸小猪子、小羊子、鸡、鸭、鹅、白面饽饽卷子、什锦火烧、梅花包子。一百九十六道菜！“思琦，吃吧，第一份是我的，这份多的是你的，加油一定要吃完啊！”牛子琦笑着说“否则后果自负！”　　“师傅，您确定您没有搞错，我这么小，我还不想死在餐桌上！”旷思琦一脸苦逼的说！。　　“没错，每一道菜都有不同的作用，基础很重要！”牛子琦说“不要反抗ヽ(≧Д≦)ノ，加油！”　　“诶，忧伤啊！”旷思琦说着，已经走到了餐桌上开始吃！　　……　　黑暗之界　　“冷寂戮！孩子，来吃吧！给你准备的早餐，没有好的营养，你很难学完今天要学的知识！”张皓阳。　　“额（︶︿︶）=凸，老师，这有点太多了吧！”冷寂戮！　　“多吗？一点也不多→_→，那个老师有时候一时兴起会讲上几天几夜的！”张皓阳冷笑着，说！　　光暗学堂！　　“叮铃铃！叮铃铃！”如同魔音般的铃声响彻“校园”（这个校园！恩，教室一共就三个，其余全是各种各样的环境！）　　“起立！”“老师好！”两个六岁的小孩坐在200平米的教室里，一位老教师出现“好，上课，现在开始学初等教育，数学，”……～～……　　荷兰教育家弗赖登诺尔认为：“数学来源于现实，也必须扎根于现实，并且应用于现实。”的确，现代数学要求我们用数学的眼光来观察世界，用数学的语言来阐述世界。从小学生数学学习心理来看，学生的学习过程不是被动的吸收过程，而是一个以已有知识和经验为基础的重新建构的过程，因此，做中学，玩中学，将抽象的数学关系转化为学生生活中熟悉的事例，将使儿童学得更主动。从我们的教育目标来看，我们在传授知识的同时，更应注重培养学生的观察、分析和应用等综合能力。“”，好首先来学习一下数　　数　　整数、自然数、正数、负数、分数、小数　　第一：整数！　　基本内容　　整数（Integer）　　序列　　…，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，…　　中的数称为整数．整数的全体构成整数集，它是一个环，记作Z（现代通常写成空心字母Z）．环Z的势是阿列夫0．　　在整数系中，自然数为正整数，称0为零，称-1，-2，-3，…，-n，…为负整数.正整数，零与负整数构成整数系.　　正整数是从古代以来人类计数(counting)的工具.可以说，从「一头牛，两头牛」或是「五个人，六个人」抽象化成正整数的过程是相当自然的.事实上，我们有时候把正整数叫做自然数(thenaturalnumbers).　　零不仅表示「无」，更是表示空位的符号.中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件.印度-阿拉伯命数法中的零(zero)来自印度的(sunya)字，其原意也是「空」或「空白」.　　中国最早引进了负数.《九章算术.方程》中论述的「正负数」，就是整数的加减法.减法的需要也促进了负整数的引入.减法运算可看作求解方程a+x=b，如果a，b是自然数，则所给方程未必有自然数解.为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系.　　正整数，零，和负整数合称整数(theintegers).整数是人类能够掌握的最基本的数学工具.十九世纪德国伟大数学家Kronecker因此说:「只有整数是上帝创造的，其他的都是人类自己制造的.」　　一个给定的整数n可以是负数（n∈Z-），非负数（n∈Z*），零（n=0）或正数（n∈Z+）．　　参见：代数数（AlgebraicInteger），复数（ComplexNumber），可数数（CountingNumber），自然数集N，自然数（NaturalNumber），负数（Negative），正数（Positive），实数（RealNumber），Z，Z-，Z+，Z*，零（Zero）．　　数学分类　　我们以0为界限，将整数分为三大类　　1.正整数，即大于0的整数如，1，2，3······直到n。　　2.0，既不是正整数，也不是负整数，它是介于正整数和负整数的数。　　3.负整数，即小于0的整数如，-1，-2，-3······直到-n。　　注：现中学数学教材中规定：零和正整数为自然数。　　整数也可分为奇数和偶数两类。　　正整数　　它是从古代以来人类计数的工具。可以说，从“一头牛，两头牛”或是“五个人，六个人”抽象化成正整数的过程是相当自然的。　　负整数　　中国最早引进了负数。《九章算术.方程》中论述的“正负数”，就是整数的加减法。减法的需要也促进了负整数的引入。减法运算可看作求解方程a-b=c，如果a、b是自然数，则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。　　奇数　　在整数中，不能被2整除的数叫做奇数，它跟偶数是相对的。日常生活中，人们通常把奇数叫做单数，它跟双数是相对的。　　偶数　　整数中，能够被2整除的数，叫做偶数。偶数包括正偶数（俗称双数）、负偶数和0。所有整数不是奇数，就是偶数。当n是整数时，偶数可表示为2n（n为整数）；奇数则可表示为2n+1（或2n-1）。在十进制里，我们可用看个位数的方式判断该数是奇数还是偶数：个位为1，3，5，7，9的数为奇数；个位为0，2，4，6，8的数为偶数。　　零　　不仅表示“没有”（“无”），更是表示空位的符号。中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度-阿拉伯命数法中的零(Zero)来自印度的(Sunya)字，其原意也是“空”或“空白”。　　代数性质　　下表给出任何整数a，b和c的加法和乘法的基本性质。　　性质　　加法　　乘法　　封闭性　　a+b是整数　　a×b是整数　　结合律　　a+(b+c)=(a+b)+c是整数　　a×(b×c)=(a×b)×c是整数　　交换律　　a+b=b+a　　a×b=b×a　　存在单位元　　a+0=a　　a×1=a　　存在逆元　　a+（-a）=0　　在整数集中，只有1或-1关于乘法存在整数逆元　　分配律　　a×(b+c)=a×b+a×c　　性质及应用　　如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。　　定义：设a，b是给定的数，b≠0，若存在整数c，使得a=bc，则称b整除a，记作b|a，并称b是a的一个约数(因子)，称a是b的一个倍数，如果不存在上述c，则称b不能整除a。　　整数整除性的一些数码特征（即常见结论）　　（1）1与0的特性：　　1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.　　0是任何非零整数的倍数，a≠0，a为整数，则a|0.　　（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。　　（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。　　(4)若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。　　（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。　　（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。　　（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2=7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2=595，59－5×2=49，所以6139是7的倍数，余类推。　　（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。　　（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。　　（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。　　（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！　　（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。　　（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，则重复「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。　　（14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，同样重复之前的过程，直到能清楚判断为止。　　（15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，同样重复之前的计算思路，直到能清楚判断为止。　　（16）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。　　（17）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。　　（18）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除　　完全平方数　　完全平方数及其性质　　能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。平方数有以下性质与结论：　　（1）平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9；　　（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1；　　（3）奇数平方的十位数字是偶数；　　（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；　　（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除。因而，平方数被9也合乎的余数为0，1，4，7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0，1，4，7；　　（6）平方数的约数的个数为奇数；　　（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。　　（8）设正整数a，b之积是一个正整数的k次方幂（k≥2），若（a，b）=1，则a，b都是整数的k次方幂。一般地，设正整数a，b，c……之积是一个正整数的k次方幂（k≥2），若a，b，c……两两互素，则a，b，c……都是正整数的k次方幂。　　奇偶性　　(1)奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差为偶数，偶数个奇数的和、差为奇数；　　（2）奇数的平方都可以表示成(8m+1)的形式，偶数的平方可以表示为8m或（8m+4)的形式；　　（3）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。　　有了整数，就不得不说一下刚才所讲到的自然数，
　　“好，刚才讲的整数中有一些你们不懂得，所以我就在讲一下自然数，　　定义　　正整数为大于0的整数。自然数中，除了0就是正整数。正整数又可分为素数，1和合数。　　符号　　表示正整数集的符号：N+、N*、N、N　　或Z+。　　（N表示自然数集，Z表示整数集）　　分类　　以0为界　　我们以0为界限，将整数分为三大类：　　1.正整数，即大于0的整数，如，1，2，3，…，n，…　　2.0既不是正整数，也不是负整数（0是整数）。　　3.负整数，即小于0的整数，如，-1，-2，-3，…，-n，…　　皮亚诺公理　　利用皮亚诺公理可以定义如下:　　①1是正整数；　　②每一个确定的正整数a，都有一个确定的后继数a'，a'也是正整数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，1的后继数是2，2的后继数是3等等）；　　③如果b、c都是正整数a的后继数，那么b=c；　　④1不是任何正整数的后继数；　　⑤设S是正整数集的一个子集，且（i）1属于S；（ii）如果n属于S，那么n'也属于S。(这条公理也叫归纳公理，保证了数学归纳法的正确性)　　按约数　　我们知道正整数的一种分类办法是按照其约数或积因子的多少来划分的，比如仅仅有两个的（当然我们总是多余地强调这两个是1和其本身），我们就称之为质数或素数，而多于两个的就称之为合数。　　我认为这样的划分办法应该再进一步地完善，理由一：既然是以约数的个数来划分的，就应该按照这个参照把整个正整数分类完毕。比如按照老的分类办法就把1排除在外了，这么重要的数结果落的个即不是合数，也不是质数。理由二：分类不够详细，有四个及其以上约数的还应该再继续划分下去。理由三：把偶数和奇数的概念也包括进去。　　这样的话，正整数的分类就为如下样式：　　相关结论　　正整数的唯一分解定理：又称为算术基本定理。　　即：每个大于1的自然数均可写为若干个质数的幂的积，而且这些素因子按大小排列之后，写法是唯一的。　　离散不等式：若X，N为正整数，“X&N“等价于“X≥N+1“。”　　“还有没有什么疑问＼(◎o◎)／！，没有！好的，接下来讲正数，　　代数定义　　定义：比0大的数叫正数[positivenumber]。正数前面常有一个符号“+”，通常可以省略不写。　　正数有无数个，包括正整数，正分数和正无理数。　　正数的几何意义：在数轴上表示正数的点都在数轴上0的右边。　　参见：负数（Negative），非负数（Nonnegative），加号（PlusSign），零（Zero）。　　术语详解　　正数即正实数，它包括正整数、正分数（含正小数），而正整只是正数中的一小部分。　　而正数不包括0，大于0的才是正数。　　表示方法　　1.a的二次方　　2.|a|a的绝对值（|a|=a）　　3.根号a　　以上三种是初中阶段常见的表示正数的方式，其中a不等于0，等于0另论。”　　“有了正数就不得不说一下负数，　　负数是数学术语，比0小的数叫做负数，负数与正数表示意义相反的量。负数用负号（MinusSign，即相当于减号）“－”和一个正数标记，如?2，代表的就是2的相反数。于是，任何正数前加上负号便成了负数。一个负数是其绝对值的相反数。在数轴线上，负数都在0的左侧，最早记载负数的是我国古代的数学著作《九章算术》。在算筹中规定“正算赤，负算黑“，就是用红色算筹表示正数，黑色的表示负数。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。　　由来　　人们在生活中经常会遇到各种相反意义的量。比如，在记账时有余有亏;在计算粮仓存米时，有时要记进粮食，有时要记出粮食。为了方便，人们就考虑了相反意义的数来表示。于是人们引入了正负数这个概念，把余钱进粮食记为正，把亏钱、出粮食记为负。可见正负数是生产实践中产生的。　　据史料记载，早在两千多年前，我国就有了正负数的概念，掌握了正负数的运算法则。人们计算的时候用一些小竹棍摆出各种数字来进行计算。比如，356摆成|||，3056摆成等等。这些小竹棍叫做“算筹”算筹也可以用骨头和象牙来制作。　　我国三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献。刘徽首先给出了正负数的定义，他说：“今两算得失相反，要令正负以名之。”意思是说，在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分它们。　　刘徽第一次给出了正负区分正负数的方法。他说：“正算赤，负算黑；否则以邪正为异”意思是说，用红色的小棍摆出的数表示正数，用黑色的小棍摆出的数表示负数；也可以用斜摆的小棍表示负数，用正摆的小棍表示正数。　　我国古代著名的数学专著《九章算术》（成书于公元一世纪）中，最早提出了正负数加减法的法则：“正负数曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”这里的“名”就是“号”，“除”就是“减”，“相益”、“相除”就是两数的绝对值“相加”、“相减”，“无”就是“零”。　　用现在的话说就是：“正负数的加减法则是：同符号两数相减，等于其绝对值相减，异号两数相减，等于其绝对值相加。零减正数得负数，零减负数得正数。异号两数相加，等于其绝对值相减，同号两数相加，等于其绝对值相加。零加正数等于正数，零加负数等于负数。”　　这段关于正负数的运算法则的叙述是完全正确的，与现在的法则完全一致！负数的引入是我国数学家杰出的贡献之一。　　应用　　负数被广泛应用于温度、楼层、海拔、水位、盈利、增产/减产、支出/收入、得分/扣分等方面中。　　数轴：一条线，如果中点是0，那么鼬边是正数（如1、2、3、4、5、6、7、8、9……），左边是负数（如-1、-2、-3、-4、-5……）。”　　“好，负数完了，就该可爱的分数了'！　　1.数学名词。表示是一个单位的几分之几的数。　　2.评定成绩或胜负时所记分的数目。　　甘铁生《“现代派”茶馆》：“我们考，凭分数，凭本事。”　　3.规定人数，分任职务。指军队的组织编制。　　《孙子·势篇》：“凡治众如治寡，分数是也。”李贽注：“分，谓偏裨卒伍之分；数，谓十百千万之数各有统制，而大将总其纲领。”《淮南子·本经训》：“计人多少众寡，使有分数。筑城掘池，设机械险阻以为备。”《晋书·孝友传·庾衮》：“分数既明，号令不二。”　　4.指区分部署。　　《晋书·傅玄传》：“农以丰其食，工以足其器，商贾以通其货。故虽天下之大，兆庶之众，无有游手。分数之法，周备如此。”　　5.数量；程度。　　唐元稹《中书省议赋税及铸钱等状》：“臣等约计天下百姓有铜器用度者，分数无多，散纳诸使，斤两盖寡。”宋王安中《清平乐·和晁倅》词：“花时微雨，未减春分数。”　　6.指比例。　　宋苏辙《乞废忻州马城池盐状》：“其盐夹硝，味苦，人不愿买。故自四五年来作分数抑卖与铺户。”　　7.法度；规范。　　《三国志·魏志·刘劭传》：“文学之士嘉其推步详密，法理之士明其分数精比。”三国魏刘劭《人物志·接识》：“法制之人，以分数为度，故能识较方直之量，而不贵变化之术。”明谢肇淛《五杂俎·人部一》：“它如管辂之卜，华佗之医……莫不皆然，后人失其分数，思议不及，遂加傅会，以为神授。”　　8.犹天命，天数。　　明徐渭《又启诸南明侍郎》：“伏念渭小人，立身无状，堕囚有年，等诸分数，爱欲其生不胜恶欲其死之多。”《醒世姻缘传》第二八回：“谁知这人生在世，原来不止於一饮一啄都有前定，就是烧一根柴，使一碗水，也都有一定的分数。”　　定义　　定义　　把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做真分数或假分数。分母表示把一个物体平均分成几份，分子表示取了其中的几份。　　分子在上分母在下，也可以把它当做除法来看，用分子除以分母（因0在除法不能做除数，所以分母不能为0（例　　，表示把单位“1”平均分0份，取10份，完全没有意义））相反除法也可以改为用分数表示。　　百分数与分数的区别　　（1）意义不同，百分数只表示两个数的倍比关系，不能带单位名称；分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可带单位名称。　　例子：能说　　米，不能说70%米。　　（2）百分数的分子可以是整数，也可以是小数；而分数的分子不能是小数只是除0以外的自然数；百分数不可以约分，而分数一般通过约分化成最简分数。　　例子：能说42.6%，不能说42.6/100；42%不能约分，42/100可约分为21/50　　（3）任何一个百分数都可以写成分母是100的分数，而分母是100的分数并不都具有百分数的意义。　　例子：61%=61/100，但61/100没有61%的意义　　（4）应用范围的不同，百分数在生产和生活中，常用于调查、统计、分析和比较，而分数常常在计算、测量中得不到整数结果时使用。　　性质　　2→分子　　－→分数线　　3→分母　　读作：三分之二　　写作：　　2　　———　　3　　分数中间的一条横线叫做分数线，分数线上面的数叫做分子，分数线下面的数叫做分母。　　读作几分之几。　　分数可以表述成一个除法算式：如二分之一等于1除以2。其中，1分子等于被除数，－分数线等于除号，2分母等于除数，而0.5分数值则等于商。　　分数还可以表述为一个比，例如；二分之一等于1：2，其中1分子等于前项，一分数线等于比号，2分母等于后项，而0.5分数值则等于比值。分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数，所得到的分数与原分数的大小相等。a/b=a/b=a:b(b不等于零)　　分数还有一个有趣的性质：一个分数不是有限小数，就是无限循环小数，像π等这样的无限不循环小数，是不可能用分数代替的。　　分数的另一个性质是：当分子与分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数值不会变化。因此，每一个分数都有无限个与其相等的分数。利用此性质，可进行约分与通分。　　单位　　最大的分数单位是1/1，并非1/2，如果说因为1/1=1是整数，所以最大的分数单位是1/2，那么，6/6=1也是整数，所以说6/6不是分数？从教材定义可知，6/6是假分数，分数单位是1/6，同理1/1也是假分数，分数单位是1/1。所以务必告诉我们广大的中小学生是1/1，而不是1/2，莫误人子弟。（本段编辑：眺望）　　起源　　说分数的历史，得从3000多年前的埃及说起。　　3000多年前，古埃及为了在不能分得整数的情况下表示数，用特殊符号表示分子为1的分数。2000多年前，中国有了分数，但是，秦汉时期的分数的表现形式不一样。印度出现了和我国相似的分数表示法。再往后，阿拉伯人发明了分数线，今天分数的表示法就由此而来。　　200多年前，瑞士数学家欧拉，在《通用算术》一书中说，要想把7米长的一根绳子分成三等份是不可能的，因为找不到一个合适的数来表示它．如果我们把它分成三等份，每份是7/3米．像7/3就是一种新的数，我们把它叫做分数．　　为什么叫它分数呢？分数这个名称直观而生动地表示这种数的特征．例如，一只西瓜四个人平均分，不把它分成相等的四块行吗？从这个例子就可以看出，分数是度量和数学本身的需要——除法运算的需要而产生的．　　最早使用分数的国家是中国．我国古代有许多关于分数的记载．在《左传》一书中记载，春秋时代，诸侯的城池，最大不能超过周国的，中等的不得超过，小的不得超过。　　秦始皇时期，拟定了一年的天数为365又1/4天。　　《九章算术》是我国1800多年前的一本数学专著，其中第一章《方田》里就讲了分数四则算法．　　在古代，中国使用分数比其他国家要早出一千多年．所以说中国有着悠久的历史，灿分数的烂的文化。　　最简分数化小数是先看分母的素因数有哪些，如果只有2和5，那么就能化成有限小数，如果不是，就不能化成有限小数。不是最简分数的一定要约分方可判断。　　有限小数化分数，小数部分有几个零就有几位分母。例：0.45=45/100=9/20　　如是纯循环小数，循环节有几位，分母就有几个9。例：0.3（3循环）=3/9=1/3　　如是混循环小数，循环节有几位，分母就有几个9；不循环的数字有几位，9后面就有几个0，分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。例：0.12（2循环）=(12-1)/90=11/90　　注意：最后一定要约分。　　产生　　人类历史上最早产生的数是自然数（正整数），以后在度量和平均分时往往不能正好得到整数的结果，这样就产生了分数。　　用一个作标准的量（度量单位）去度量另一个量，只有当量若干次正好量尽的时候，才可以用一个整数来表示度量的结果。如果量若干次不能正好量尽，有两种情况：　　例如，用b作标准去量a:　　一种情况是把b分成n等份，用其中的一份作为新的度量单位去度量a，量m次正好量尽，就表示a含有把b分成n等份以后的m个等份。例如，把b分成4等份，用其中的一份去量a，量9次正好量尽．在这种情况下，不能用一个整数表示用b去度量a的结果，就必须引进一种新的数--分数来表示度量的结果。　　另一种情况是无论把b分成几等份，用其中的一份作为新的度量a，都不能恰好量尽（如用圆的直径去量同一圆的周长）。在这种情况下，就需要引进一种新的数-无理数。在整数除法中，两个数相除，有时不能得到整数商。为了使除法运算总可以施行，也需要引进新的一种数-分数。　　综上所述，分数是在实际度量和均分中产生的。　　分类　　分数一般包括:真分数，假分数，带分数.　　真分数小于1.分子比分母小　　假分数大于1，或者等于1.分子比分母大或相等　　带分数大于1而又是最简分数.带分数是由一个整数和一个真分数组成的。　　注意事项　　①分母不能为0，否则无意义。　　②分数中的分子或分母不能出现无理数（如2的平方根），否则就不是分数。　　③一个最简分数的分母中只有2和5两个质因数就能化成有限小数；如果最简分数的分母中只含有2和5以外的质因数那么就能化成纯循环小数；如果最简分数的分母中既含有2或5两个质因数也含有2和5以外的质因数那么就能化成混循环小数。（注：如果不是一个最简分数就要先化成最简分数再判断；分母是2或5的最简分数一定能化成有限小数，分母是其他质数的最简分数一定能化成纯循环小数）　　历史相关　　在历史上，分数几乎与自然数一样古老。早在人类文化发明的初期，由于进行测量和均分的需要，引入并使用了分数。　　在许多民族的古代文献中都有关于分数的记载和各种不同的分数制度。早在公元前2100多年，古代巴比伦人（现处伊拉克一带）就使用了分母是60的分数。　　公元前1850年左右的埃及算学文献中，也开始使用分数。　　我国春秋时代（公元前770年～前476年）的《左传》中，规定了诸侯的都城大小：最大不可超过周文王国都的三分之一，中等的不可超过五分之一，小的不可超过九分之一。秦始皇时代的历法规定：一年的天数为三百六十五又四分之一。这说明：分数在我国很早就出现了，并且用于社会生产和生活。　　意义　　一个物体，一个图形，一个计量单位，都可看作单位“1”。把单位“1”平均分成几份，表示这样一份或几份的数叫做分数。在分数里，表示把单位“2”平均分成多少份的叫做分母，表示有这样多少份的叫做分子；其中的一份叫做分数单位。　　要了解小数的意义，可从分数的意义著手，分数的意义可从子分割及合成活动来解释，当一个整体（指基准量）被等分后，在集聚其中一部份的量称为「分量」，而「分数」就是用来表示或纪录这个「分量」。例如：2/5是指一个整数被分成五等分后，集聚其中二分的「分量」。当整体被分成十等分、百等分、千等分……等时，此时的分量，就使用另外一种纪录的方法－小数。例如1/10记成0.1、2/100记成0.02、5/1000记成0.005……等。其中的「.」称之为小数点，用以分隔整数部分与无法构成整数的小数部分。整数非0者称为带小数，若为0则称纯小数。由此可知，小数的意义是分数意义的一环。分子与分母同时乘或除以一个相同的数〔0除外〕，分数的大小不变.这就是分数的基本性质。　　算筹是中国古代的计算工具，真正意义上的中国古代数学体系形成于自西汉至南北朝的三、四百年期间。《算数书》成书于西汉初年，是传世的中国最早的数学专著，它是1984年由考古学家在湖北江陵张家山出土的汉代竹简中发现的。《周髀算经》编纂于西汉末年，它虽然是一本关于“盖天说”的天文学著作，但是包括两项数学成就——（1）勾股定理的特例或普遍形式（“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”——这是中国最早关于勾股定理的书面记载）；（2）测太阳高或远的“陈子测日法”。　　《九章算术》在中国古代数学发展过程中占有非常重要的地位。它经过许多人整理而成，大约成书于东汉时期。全书共收集了246个数学问题并且提供其解法，主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关于勾股测量的计算等。在代数方面，《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；现在中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。注重实际应用是《九章算术》的一个显著特点。该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯，甚至经过这些地区远至欧洲。　　九章算术》标志以筹算为基础的中国古代数学体系的正式形成。　　中国古代数学在三国及两晋时期侧重于理论研究，其中以赵爽与刘徽为主要代表人物。　　赵爽学术成就体现于对《周髀算经》的阐释。在《勾股圆方图注》中，他还用几何方法证明了勾股定理，其实这已经体现“割补原理”的方法。用几何方法求解二次方程也是赵爽对中国古代数学的一大贡献。三国时期魏人刘徽则注释了《九章算术》，其著作《九章算术注》不仅对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理，并且多有创造。其发明的“割圆术”（圆内接正多边形面积无限逼近圆面积），为圆周率的计算奠定了基础，同时刘徽还算出圆周率的近似值——“（3.1416）”。他设计的“牟合方盖”的几何模型为后人寻求球体积公式打下重要基础。在研究多面体体积过程中，刘徽运用极限方法证明了“阳马术”。另外，《海岛算经》也是刘徽编撰的一部数学论著。　　南北朝是中国古代数学的蓬勃发展时期，计有《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》等算学著作问世。　　祖冲之、祖暅父子的工作在这一时期最具代表性。他们着重进行数学思维和数学推理，在前人刘徽《九章算术注》的基础上前进了一步。根据史料记载，其著作《缀术》（已失传）取得如下成就：①圆周率精确到小数点后第六位，得到3.1415926&π&3.1415927，并求得π的约率为22/7，密率为355/113，其中密率是分子分母在1000以内的最佳值；欧洲直到16世纪德国人鄂图（Otto）和荷兰人安托尼兹（Anthonisz）才得出同样结果。②祖暅在刘徽工作的基础上推导出球体体积公式，并提出二立体等高处截面积相等则二体体积相等（“幂势既同则积不容异”）定理；欧洲17世纪意大利数学家卡瓦列利（Cavalieri）才提出同一定理……祖氏父子同时在天文学上也有一定贡献。　　隋唐时期的主要成就在于建立中国数学教育制度，这大概主要与国子监设立算学馆及科举制度有关。在当时的算学馆《算经十书》成为专用教材对学生讲授。《算经十书》收集了《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》等10部数学著作。所以当时的数学教育制度对继承古代数学经典是有积极意义的。　　公元600年，隋代刘焯在制订《皇极历》时，在世界上最早提出了等间距二次内插公式；唐代僧一行在其《大衍历》中将其发展为不等间距二次内插公式。　　从公元11世纪到14世纪的宋、元时期，是以筹算为主要内容的中国古代数学的鼎盛时期，其表现是这一时期涌现许多杰出的数学家和数学著作。中国古代数学以宋、元数学为最高境界。在世界范围内宋、元数学也几乎是与阿拉伯数学一道居于领先集团的。　　贾宪在《黄帝九章算法细草》中提出开任意高次幂的“增乘开方法”，同样的方法至1819年才由英国人霍纳发现；贾宪的二项式定理系数表与17世纪欧洲出现的“巴斯加三角”是类似的。遗憾的是贾宪的《黄帝九章算法细草》书稿已佚。秦九韶是南宋时期杰出的数学家。1247年，他在《数书九章》中将“增乘开方法”加以推广，论述了高次方程的数值解法，并且例举20多个取材于实践的高次方程的解法（最高为十次方程）。16世纪意大利人菲尔洛才提出三次方程的解法。另外，秦九韶还对一次同余式理论进行过研究。”
　　公元1261年，南宋杨辉（生卒年代不详）在《详解九章算法》中用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。公元1274年他在《乘除通变本末》中还叙述了“九归捷法”，介绍了筹算乘除的各种运算法。公元1280年，元代王恂、郭守敬等制订公元1303年，元代朱世杰（生卒年代不详）著《四元玉鉴》，他把“天元术”推广为“四元术”（四元高次联立方程），并提出消元的解法，欧洲到公元1775年法国人别朱（Bezout）才提出同样的解法。朱世杰还对各有限项级数求和问题进行了研究，在此基础上得出了高次差的内插公式，欧洲到公元1670年英国人格里高利（Gregory）和公元年间牛顿（Newton）才提出内插法的一般公式。　　明代珠算开始普及于中国。1592年程大位编撰的《直指算法统宗》是一部集珠算理论之大成的著作。但是有人认为，珠算的普及是抑制建立在筹算基础之上的中国古代数学进一步发展的主要原因之一。分数加减法　　1、同分母分数相加减，分母不变，即分数单位不变，分子相加减，最后要约分。　　例1：2/9+5/9=（2+5）/9=7/9　　例2：1/8+3/8=(1+3)/8=4/8=1/2　　例3：5/9-1/9=(5-1）/9=4/9　　例4：3/4-1/4=（3-1）/4=2/4=1/2　　2．异分母分数相加减，先通分，即运用分数的基本性质将异分母分数转化为同分母分数，改变其分数单位而大小不变，再按同分母分数相加减法去计算，最后要约分。　　例1：3/4+5/7=21/28+20/28=（21+20）/28=41/28　　例2：5/24+1/8=5/24+3/24=（5+3）/24=8/24=1/3　　例3：7/8-1/4=7/8-2/8=（7-2）/8=5/8　　例4：8/15-1/5=8/15-3/15=（8-3）/15=5/15=1/3　　分数乘除法　　1、分数乘整数，分母不变，分子乘整数，最后要约分。　　例1：4/5×3=(4×3)/5=12/5　　例2：3/22×2=(3×2)/22=6/22=3/11　　2．分数乘分数，用分子乘分子，用分母乘分母，最后要约分。　　例1：5/6×1/3=5×1/(6×3)=5/18　　例2：2/5×1/4=(2×1)/(5×4)=2/20=1/10　　3．分数除以整数，分母不变，如果分子是整数的倍数，则用分子除以整数，最后要约分。　　例1：4/15÷2=(4÷2)/15=2/15　　例2：42/30÷7=(42÷7)/30=6/30=1/5　　4．分数除以整数，分母不变，如果分子不是整数的倍数，则用这个分数乘这个整数的倒数，最后要约分。　　例1：3/8÷2=3/8×1/2=(3×1)/(8×2)=3/16　　例2：4/5÷6=4/5×1/6=（4×1）/（5×6）=4/30=2/15　　5．分数除以分数，等于被除数乘除数的倒数，最后不是最简分数要约分。　　例1：2/3÷3/4=2/3×4/3=(2×4)/(3×3)=8/9　　例2：2/15÷1/3=2/15×3=(2×3)/15=6/15=2/5　　“小数，非常神奇，一个点将世界一分为二，小数，是实数的一种特殊的表现形式，由整数部分、小数部分和小数点组成，所有分数都可以表示成小数。小数中的圆点叫做小数点，它是一个小数的整数部分和小数部分的分界号，其中整数部分是零的小数叫做纯小数，整数部分不是零的小数叫做带小数。　　中文名:小数　　简????介:整数的写法写成不带分母的形式　　基本性质:尾添上0或去掉0，小数的大小不变　　写????法:整数、小数部分中间用小数点隔开　　简介　　根据十进制的位值原则，把十进分数仿照整数的写法写成不带分母的形式，这样的数叫做小数．小数中的圆点叫做小数点，它是一个小数的整数部分和小数部分的分界号，小数点左边的部分是整数部分，小数点右边的部分是小数部分．整数部分是零的小数叫做纯小数，整数部分不是零的小数叫做带小数．例如0.3是纯小数，3.1是带小数．小数分为无限小数和有限小数。　　基本性质　　小数末尾添上0或去掉0，小数的大小不变，但计数单位变了。而且，小数点向左移动一位、两位、三位，原来的数就缩小10倍、100倍、1000倍，小数点向右移动一位、两位、三位，原来的数就扩大10倍、100倍、1000倍，.　　意义　　可从分数的意义着手，分数的意义可从子分割及合成活动来解释，当一个整体（指基准量）被等分后，在集聚其中一部份的量称为「分量」，而「分数」就是用来表示或记录这个「分量」。例如：2/5是指一个整数被分成五等分后，集聚其中二分的「分量」。当整体被分成十等分、百等分、千等分……等时，此时的分量，就使用另外一种纪录的方法－小数。例如1/10记成0.1、2/100记成0.02、5/1000记成0.005……等。其中的「.」称之为小数点，用以分隔整数部分与无法构成整数的小数部分。整数非0者称为带小数，若为0则称纯小数。由此可知，小数的意义是分数意义的一环。　　写法　　整数部分写在小数点前，小数部分写在小数点后，中间用小数点隔开。　　读法　　有两种：一种是按照分数的读法来读．带小数的整数部分按整数读法读；小数部分按分数读法读．例如：0.38读作百分之三十八，14.56读作十四又百分之五十六．另一种读法，整数部分仍按整数的读法来读，小数点读作“点”，小数部分顺次读出每个数位上的数字，若几个零重复，不可只读一个0．例如：0.45读作零点四五；56.032读作五十六点零三二；1.0005读作一点零零零五．　　比较　　小数大小的比较方法与整数基本相同，即从高位起，依次把相同数位上的数加以比较．　　因此，比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数大；如果整数部分相同，十分位上的数大的那个数大；如果十分位上的数也相同，百分位上的数大的那个数大；　　因为小数是十进分数，所以有下列性质：①在小数的末尾添上零或去掉零，小数的大小　　不变．例如；2.4=2.400，0.060=0.06．②小数点移动会引起小数大小发生变化．把小数点分别向右移动一位、二位、三位…位，则小数的值分别扩大10倍、100倍、1000倍……例如：把7.4扩大10倍是74，扩大100倍是740……　　如果把小数点分别向左移动一位、二位、三位…则小数的值分别缩小到原来的十分之一、百分之一、千分之一…...．例如：把7.4缩小到原来的十分之1是0.74，缩小到原来的百分之一是0.074……　　小数保留　　保留小数：按要求在舍去部分最高位进行四舍五入运算。　　无限不循环小数只能用小数表示不能用分数表示，而所有的有限小数和无限循环小数均能用分数表示，小数分为有限小数和无限小数，有限小数如1/5，无限小数包括无限不循环小数（如0.……）和无限循环小数（如1/3）　　（有理数（rationalnumber)：能精确地表示为两个整数之比的数．　　如3，-98.11，5.……，7/22都是有理数．　　整数和通常所说的分数都是有理数．有理数还可以划分为正有理数，0和负有理数．　　在数的十进制小数表示系统中，有理数就是可表示为有限小数或无限循环小数的数．这一定义在其他进位制下（如二进制）也适用．《中国大百科全书》（数学））　　因此，不矛盾。　　小数乘以整数：　　把小数乘法转化成整数乘法计算。　　先把小数扩大成整数，按照整数乘法去计算，因数扩大了多少倍，积就要缩小多少倍。　　积的小数位数与被乘数的小数位数有关，被乘数有几位小数，积就有几位小数。因为要把小数乘法转化成整数乘法，被乘数扩大了多少倍，乘数不变，积也随着扩大了多少倍。因此必须再把积缩小多少倍。　　计算小数乘以整数，先按照整数乘法的计算方法算出积，再看被乘数中有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。　　类型定义　　纯小数　　整数部分是零的小数如0.1，绝对值一定小于1。　　幻灯片　　如：0.12；0.945；0.403等　　带小数　　整数部分是1或1以上的小数如1.1，绝对值一定大于等于1。　　如：1.；1.43等　　一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现，这个小数叫做循环小数。　　循环节　　一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。　　例如：0.33……循环节是“3”　　幻灯片　　例如：2.14242……循环节是“42”　　纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的。（例如：0.666……）　　混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的。（例如：0.566……）　　写循环小数时，为了简便，小数的循环部分只写出第一个循环节。如果循环节只有一个数字，就在这个数字上加一个圆点，如果循环节有一个以上的数字，就在这个循环节的首位和末位的数字上各加一个圆点。　　互化　　小数与分数、百分数、千分数可以进行互化。　　小数化分数　　有限小数化分数：小数表示的就是十分之一、百分之一、千分之一......所以，0.6可以化成十分之六，约分成五分之三。　　纯循环小数化分数：整数部分照抄，小数部分循环节如果是一位分母为9，两位为99，三位为999......如0.2525......可以化成九十九分之九十九，能约分的要约分。　　混循环小数化分数：整数部分照抄，小数部分循环节部分一位为9，两位为99，三位为999......不循环的部分有几位就在9的后面添几个零，分母整个小数部分，循环部分一位循环就只抄一位，两位就抄两位......。如0.13333......可以化成90分之13-1，就是90分之12，约分成十五分之二。　　无限不循环小数：不能化成分数，因为无限不循环小数是无理数，分数全是有理数。　　分数化小数　　分母是10，100，1000......的：可以直接化成小数，如，十分之七化成0.7，一百分之九化成0.09　　分母不是10，100，1000......的：分子除以分母。一个最简分数，如果分母分解质因数只含有2、5的，可以化成有限小数；如果含有2、5以外的质因数，就不能化成有限小数，但绝对能化成循环小数。附加：如果分母分解质因数不含有2、5，只含有2、5以外的质因数，就能化成纯循环小数，如果既含有2、5，又含有2、5以外的质因数，就能化成混循环小数。　　与百分数互化　　小数化百分数：用小数乘以100，然后添上百分号。如，0.756，化成百分数是75.6%。　　百分数化小数：就是用分母是100的分数化成小数。或去掉百分号，除以100。　　与千分数互化　　类似于百分数，只不过是除以1000，再加上千分号。”
　　中文名：百分数　　英文名：percent　　别名：百分率或百分比　　形式：符号“%”　　实质：是一种表达比例，分数数值的方法　　应用：百分数在生活中无处不在　　解释　　基本解释　　用百分之几表示的整体的一部分，百分数只表示关系，不表示数量。　　详细解释　　用100做分母的分数。通常用百分号(%)来表示，如1/100写做1%。　　百分数与分数的区别：　　1．百分数（又叫做百分率或百分比）与分数的意义截然不同。百分数是“表示一个数是另一个数百分之几的数。”它只能表示两数之间的倍数关系，不能表示某一具体数量。如：可以说1米是5米的20%，不可以说“一段绳子长为20%米。”因此，百分数后面不能带单位名称。分数可带具体名称。分数是“把单位‘1’平均分成若干份，表示这样一份或几份的数。”分数还可以表示两数之间的倍数关系。　　2．应用范围不同。百分数在生产、工作和生活中，生活中用处较多，常用于调查、统计、分析与比较。而分数常常是在测量、计算中，得不到整数结果时使用。　　3．书写形式不同。百分数通常不写成分数形式，而采用百分号“%”来表示。如：百分之四十五，写作：45%；百分数的分母固定为100，因此，无论百分数的分子、分母之间有多少个公约数，都不约分；百分数的分子可以是自然数，也可以是小数。而分数的分子只能是自然数，它的表示形式有：真分数、假分数、带分数，计算结果不是最简分数的一般要通过约分化成最简分数，是假分数的要化成带分数（现在有些教科书上，假分数也可以不化成带分数的）。任何一个百分数都可以写成分母是100的分数，而分母是100的分数并不都具有百分数的意义。　　4.百分数体现的是一个数占另一个数的百分之几，而分数体现的是一个数占另一个数的几分之几。　　5.百分数的分母是100，分数的分子或分母都可以是一切不为0的自然数。　　6.百分数的单位是百分之一。　　百分数的用处　　百分数一般有三种情况：　　①可以大于100%，如：增长率、增产率等。　　②只能100%以下，如：出油率、出面粉率等。　　③最大只能100%，如：正确率，合格率、出勤率等。　　百分数的意义　　百分数（又叫做百分率或百分比）只可以表示分率，而不能表示具体量，所以不能带单位。　　百分比虽以100为分母，但分子可以大于100，如200%即代表原本数字的2倍。举例如一间公司去年纯利100万元，今年的纯利为120万元，则可以表示成“今年的纯利比去年增加20%”，亦可写成“今年的纯利是去年的120%”，但这种写法较少使用。百分比有时可能造成误会，不少人认为一个百分比的上升会被相同下降的百分比所抵消，例如从100增加50%，等于100+50，即150。而从150下降50%则是150-75，等于75。最终结果是小于原本的数字100。百分数的分子还可以是小数。　　百分数概念的形成应以学生实际生活中的事例或工农业生产中的事例引入．例如，一年级有学生100人，其中女同学有47人，女同学即占全年级人数的百分之四十七，写作47%．又如，二年级有学生200人，其中女同学有100人，女同学即占全年级人数的百分之五十．在这两个例子中，两个年级的人数都是“标准量”，而女同学的人数为“比较量”．在百分数应用题的教学中要抓住比较量÷标准量=百分率（百分数）这一数量关系式进行分析．　　日常应用　　每天在电视里的天气预报节目中，都会报出当天晚上和明天白天的天气状况、降水概率等，提示大家提前做好准备，就像今天的夜晚的降水概率是20%，明天白天有五~六级大风，降水概率是10%，早晚应增加衣服。20%、10%让人一目了然，既清楚又很简练。　　随着现在科技的飞速发展，现在每个人几乎都配备手机，款式多种多样。伦敦大学皇家学院心理学家格伦.威尔森研究证明：老是低着头看短信，会导致工作效率低下，工作人员的大脑反应能力也会减慢，经常看短信的人智商会下降10%，以百分数的形式再次证明了手机虽为人们提供了方便，但对人体健康却十分有害。　　我国是世界上最大的节能灯生产国，但产品80%出口，国内使用量严重偏低。　　针对2001年普通高校应届本、专科生，已签约应届大学生中47.1%的人签约月薪在1500元以下。　　一项网络调查显示，有85.63%的网民，近几年一直都没读过名著。此外，8.98%的网民近十年没读过名著，还有6.75%的网民表示从来就没读过名著。　　药水比例时也会碰到百分数，比如21%。　　扩展　　表示一个数是另一个数的千分之几的数，叫做千分数，也可称它为千分数或千分率。当然，也有万分数，%是百分数，千分数是在百分数的后一个圈再加一个圈‰，‰为千分数。万分数是在千分数的后一个圈再加一圈?，?，为万分号。　　百分点　　1个百分点等于0.1.百分数是用一百做分母的分数，在数学中用“%”来表示，在文章中一般都写作“百分之多少”。百分数与倍数不同，它既可以表示数量的增加，也可以表示数量的减少。运用百分数时，也要注意概念的精确。如“比过去增长20%”，即过去为100，现在是“120”;“比过去降低20%”，即过去是100，现在是“80”；“降低到原来的20%”，即原来是100，现在是“20”。运用百分数时，还要注意有些数最多只能达到100%，如产品合格率，种子发芽率等；有些百分数只能小于100%，如粮食出粉率等；有些百分数却可以超过100%，如产品产量计划完成情况等。　　“占”、“超”、“为”、“增”﹑“是”的用法，“占计划百分之几”指完成计划的百分之几；“超计划的百分之几”，就应该扣除原来的基数(－100%)；“为去年的百分之几”就是等于或相当于去年的百分之几；“比去年增长百分之几”应扣掉原有的基数（－100%）。　　百分点是指不同时期以百分数形式表示的相对指标（如：速度、指数、构成等）的变动幅度。例如：我国国内生产总值中，第一产业占的比重由1992年的20.8%下降到1993年的18.2%。　　从上述资料中，我们可以说：国内生产总值中，第一产业占的比重，1993年比1992年下降2.6个百分点（18.2－20.8=-2.6）；但不能说下降2.6%。-表示下降，+表示上升。　　百分数的由来　　200多年前，瑞士数学家欧拉，在《通用算术》一书中说，要想把7米长的一根绳子分成三等份是不可能的，因为找不到一个合适的数来表示它。如果我们把它分成三等份，每份是7/3米，就是一种新的数，我们把它叫做分数。而后，人们在分数的基础上又以100做基数，发明了百分数。　　百分号的写法注意的地方　　%的0是左上右下，不能写在一起。　　百分数的读法　　100%可以读百分之百，也可以读百分之一百。32%：百分之三十二50%：百分之五十1%：百分之一。
　　我们常用的是十进制计数法，所谓“十进制”就是每相邻的两个计数单位之间的关系是：一个大单位等于十个小单位，也就是说它们之间的进率是“十”。计数单位应包含整数部分和小数部分两大块，并按以下顺序排列：……千亿、百亿、十亿、亿、千万、百万、十万、万、千、百、十、个（一）、十分之一、百分之一、千分之一、……整数部分没有最大的计数单位，小数部分没有最小的计数单位。写数时如果有小数部分要用小数点（.）把整数和小数分开。　　基本信息　　中文名：计数单位　　英文名：digit　　拼音：jishudanwei　　常用计数法：十进制计数法　　单位种类：时间，邮票等的计数单位　　相关文献：《五经算术》　　单位种类　　时间的计数单位　　这个是我们最熟悉的了，毫秒，秒，分，小时，天，年之间的计数单位各有不同:　　1秒=1000毫秒　　正在加载计数单位　　1分=60秒　　1小时=60分　　1天=24小时　　1年=365天(平年)　　1年=366天（闰年)　　邮票的计数单位　　枚数:它是邮票的最小计量单位，指具有独立功能的邮票。　　张数:为全张(包括小全张、小型张、小开张等)的计数单位。　　印刷全张:指从印刷机上印出时的印张。　　邮局全张:邮票印刷厂以成品形式，经包装、发送，供给邮局出售的整张邮票，称邮局全张。　　格:根据设计或印刷工艺的要求，印版上子模被排列为若干区间，印成邮票后即为若干个四周都有边纸的连票，称为格。格与格之间的边纸称为桥。　　小开张:是尺寸、规格比较小的全张邮票，俗称小版张。　　连:是指整版邮票被撕开后至少两枚以上邮票连在一起的组合形式，也指邮票与邮票之间没有撕开而连接在一起的状态。　　方连:是连票形式之一。横、直各行邮票的枚数相同，组成整齐的方形叫方连;横行、直行枚数不同，组成矩形也叫方连。　　军队的计数单位　　军队各个计数单位代表的人数是多少?我军组织结构采用三三制，即一个排三个班，一个连三个排，一个营三个连，以此类推。由于我军人数众多造成机构臃肿，官多兵少，效率低下。所以我建议改变现行的三三制，具体为营以下五五制，营以上四四制。对比如下:　　班15班10　　排45排50　　连135排250　　营405营1250　　团　　师1　　军32805军10　　师一级则从一万人变为两万人，翻了一翻，对于师一级的指挥员来说，这就给了他更大的舞台，有了更大的发挥空间。麻城新改制后如果有些任务一个团人数太少，一个师又太多，要2个团1万人，又要统一指挥，这时可以增加一个临时机构“旅“，一个旅2个团。有些特殊部队可能需要建独立旅，直属军指挥。但有师建制的部队原则上不应再设旅一级机构。　　军以上的机构应采取灵活的建制，2~3个军为集团军，6个军以下时，可以考虑组建方面军，如2个军可编为5~3个集团军，由方面军统一指挥。这时方面军人数已达到48万以上，完全可以在战争的一个方向独立的展开行动。　　数字单位　　《五经算术》：　　按黄帝为法，数有十等。及其用也，乃有三焉。　　十等者，谓“亿、兆、京、垓、秭、穰、沟、涧、正、载”也。　　三等者，谓“上、中、下”也。　　下数者，十十变之。若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也。　　中数者，万万变之。若言万万曰亿，万亿曰兆，万兆曰京也。　　上数者，数穷则变。若言万万曰亿，亿亿曰兆、兆兆曰京也。　　个十百千万亿兆　　下数（十进）0^410^5（十万，不用）10^6（百万，中国大陆）　　中数（万进）0^4（通用）10^8（万万，通用）10^12（万亿，日韩台新）　　上数0^410^810^16　　个级万级亿级兆级京级垓级.........　　计数单位依次为个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿、兆、十兆、百兆、千兆、京、十京、百京、千京、垓、十垓、百垓、千垓、秭、十秭、百秭、千秭、穰、十穰、百穰、千穰、沟、十沟、百沟、千沟、涧、十涧、百涧、千涧、正、十正、百正、千正、载、十载、百载、千载、极、十极、百极、千极、恒河沙、十恒河沙、百恒河沙、千恒河沙、阿僧祗、十阿僧祗、百阿僧祗、千阿僧祗、那由他、十那由他、百那由他、千那由他、不可思议、十不可思议、百不可思议、千不可思议、无量、十无量、百无量、千无量、大数、十大数、百大数、千大数　　亦可以写作为:万：10的四次方。亿：10的八次方。兆：10的十二次方。京：10的十六次方。垓：10的二十次方。秭：10的二十四次方。穰：10的二十八次方。沟：10的三十二次方。涧：10的三十六次方。正：10的四十次方。载：10的四十四次方。极：10的四十八次方。恒河沙：10的五十二次方。阿僧祗：10的五十六次方。那由他：10的六十次方。不可思议：10的六十四次方。无量：10的六十八次方。大数：10的七十二次方　　十进制汉字列表　　n10前缀n10前缀n10前缀n10n10n10n10n10　　0个-12兆/万亿太24秭尧36涧48极60那72格84　　1十-13十兆-25十秭-37十涧49十极61十那73十格85　　2百-14百兆-26百秭-38百涧50百极62百那74百格86　　3千千15千兆拍27千秭-39千涧51千极63千那75千格87　　4万-16京-28穰-40正52归64思7688　　5十万-17十京-29十穰-41十正53十归65十思77……　　6百万兆18百京艾30百穰-42百正54百归66百思78100古戈尔（Googol）　　7千万-19千京-31千穰-43千正55千归67千思79　　8亿-20垓-32沟-44载56僧68猴80……　　9十亿吉21十垓泽33十沟-45十载57十僧69十猴8110古戈尔普勒克斯（Googolplex）　　10百亿-22百垓-34百沟-46百载58百僧70百猴82　　11千亿-23千垓-35千沟-47千载59千僧71千猴83......　　十进制汉字列表　　n10前缀n10前缀n10前缀　　0个--12漠皮-24涅槃寂静攸　　-1分分-13模糊--25　　-2厘厘-14逡巡--26　　-3毫毫-15须臾飞-27　　-4丝--16瞬息--28　　-5忽--17弹指--29　　-6微微-18刹那阿-30　　-7纤--19六德--31　　-8沙--20虚空--32　　-9尘奈/纳-21清静仄-33　　-10埃--22阿赖耶--34　　-11渺--23阿摩罗--35　　大小比较　　兆和亿的大小　　中国报导社出版的《世界语课本》第十二课“一兆是多少“中，明确地说一兆是milion-oblemiliono=biliono（一百万个百万，即10的12次方）。要数完这一兆，假如按每分钟数200，每小时就是12000，每天288000，每年就是（一亿零五百一十二万），数完一兆，需九千五百多年这需多少代人接力数数这个一兆就是一万个亿。它是中国13亿人口数的769倍多。但是，在我们平日工作中也常碰到“兆“。如无线电中就有表频率的“兆赫芝“，表电阻的“兆欧“，压力有“兆帕“，等等。然而现代科技所称的这个“兆“绝不是“万亿“，而是“百万“，亦即milliln　　，（即10的6次方）。它是万亿的的百万分之一，换言之，两个“兆“相差一百万倍假如按上述办法数数，后一个兆则只要约三天半的时间即可数完!　　一是上法，为自乘系统:万万为亿，亿亿为兆，兆兆为京。这种系统，希腊的阿基米德也采用过；10^4=万，10^8=亿，10^16=兆，10^32=京　　二是中法，为万进系统，皆以万递进：万亿兆京垓秭穰沟(土旁)涧正载┅┅(万万为亿万亿为兆万兆为京┅┅)；10^4=万，10^8=亿，10^12=兆，10^16=京　　三是下法，为十进系统，皆以十递进：万亿　　计算机计数单位　　计算设备内存储量的计量单位有(Bbyte)、千字节（KBkilobyte）、兆字节（MBmegabyte）、吉字节（GB，gigabyte）、太字节（TB，terabyte
　　数的认识　　因数　　因数，是指整数A能被整数B整除，A叫做B的倍数，B就叫做A的约数，现在新教材叫因数。（在自然数的范围内）例：6÷2＝31、2、3和6就是6的因数。需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立。反过来说，我们称n为m的倍数。　　基本信息　　中文名：因数　　类属：数学　　定义　　在小学数学里，两个正整数相乘，那么这两个数都叫做积的因数，或称为约数。　　事实上因数一般定义在整数上：设a为整数，b为非零整数，若存在整数q，使得a=qb，则称b是a的因数，记作b|a。[1]但也有的作者不要求b≠0。　　整数A能被整数B整除，A叫做B的倍数，B就叫做A的约数，现在新教材叫因数。　　（在自然数的范围内）例：6÷2＝31、2、3和6就是6的因数。　　正在加载因数　　6的因数有：1、2、3、6　　10的因数有：1、2、5、10　　15的因数有：1、3、5、15　　分类　　A除法里，如果被除数除以除数，所得的商都是自然数而没有余数，就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。　　B我们将一个合数分成几个质数相乘的形式，这样的几个质数叫做这个合数的质因数。　　约数与因数　　约数和因数的区别有三点：　　、数域不同。约数只能是自然数，而因数可以是任何数。　　、关系不同。约数是对两个自然数的整除关系而言，只要两个数是自然数，就能确定它们之间是否存在约数关系，如：40÷5=8，40能被5整除，5就是40的约数，12÷10=1.2，12不能被10整除，10不是12的约数。因数是两个或两个以上的数对它们的乘积关系而言的。如：8×2=16，8和2都是积16的因数，离开乘积算式就没有因数了。　　、大小关系不同.当数a是数b的约数时，a不能大于b，当a是b的因数时，a可以大于b，也可以小于b。　　一般情况下，约数等于因数。　　公因数　　定义：两个或多个自然数公有的因数叫做它们的公因数。　　最大公因数：两个数共有的因数里最大的那一个。　　其它：1是所有非零自然数的公因数。　　两个成倍数关系的自然数之间，小的那一个数就是这两个数的最大公因数。　　有关因数　　）一个自然数最小的因数是1，最大的是它本身。　　）1是所有非零自然数的公因数。　　）0不考虑因数，所有的因数和倍数的讨论都是在非0自然数范围内讨论。0和任何数相乘都得0　　）不能把一个数单独叫做因数，只能说谁是谁的因数。　　倍数，是指一个整数能够把另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数注意：不能把一个数单独叫做倍数，只能说谁是谁的倍数。对于整数m(0除外)，能被n整除（m/n），那么m就是n的倍数。相对来说，称n为m的因数。如15能够被3和5整除，因此15是3的倍数，也是5的倍数。　　基本信息　　中文名：倍数　　使用地区：中国　　目前状况：使用中　　外文名：multiple　　定义　　对于整数m(0除外)，能被n整除（m/n），那么m就是n的倍数。相对来说，称n为m的因数。如15能够被3和5整除，因此15是3的倍数，也是5的倍数。　　一个数的倍数有无数个，也就是说一个数的倍数的集合为无限集。　　正在加载倍数问题　　1、一个整数能够把另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。如15能够被3或5整除，因此15是3的倍数，也是5的倍数。　　2、一个整数除以另一不为0的整数所得的商。如a÷b（b≠0）＝c，就是说a是b的c倍，a是b的倍数。　　3、一个因数能让它的积整除，那么，这个数就是因数，它的积就是倍数。　　3×5=15　　↑↑↑　　因数1因数2倍数　　例如：A÷B=C，就可以说A是B的C倍　　4、一个数的倍数(0除外)有无数个，也就是说一个数的倍数的集合为无限集.　　注意：不能把一个数单独叫做倍数，只能说谁是谁的倍数。　　特征　　2的倍数的特征　　一个数的末尾是02468，这个数就是2的倍数。　　如：的末尾为6，是2的倍数。8　　4的倍数的特征　　一个数的末两位是4的倍数，这个数就是4的倍数。　　如：=14，是4的倍数。　　5的倍数的特征　　一个数的末尾是05，这个数就是5的倍数。　　如：的末尾为5，是5的倍数。5　　8的倍数的特征　　一个数的末三位是8的倍数，这个数就是8的倍数。　　如：÷8=32，是8的倍数。　　3的倍数的特征　　一个数的位数之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。　　如：4926。（4+9+2+6）÷3=7，是3的倍数。2　　9的倍数的特征　　一个数的各个位数之和是9的倍数，这个数就是9的倍数。　　如：+0+6）÷9=1，是9的倍数。。　　7的倍数的特征　　若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。　　如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述“截尾、倍大、相减、验差”的过程，直到能清楚判断为止。　　典型例题　　1．用长是9公分、高是7公分的长方形木块叠成一正方体，至少需要这种长方体木块多少块？　　2．张师傅以1元钱3个苹果的价格买苹果若干个，又以2元钱5个苹果的价格将这些苹果卖出，如果他要赚得10元钱利润，那么他必须卖出苹果多少个？　　3．一个公共汽车站，发出五路车，这五路车为每隔3、5、9、15、10分钟发一次，第一次同时发车以后，多少分钟又同时发第二次？　　4．饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，每只猴子可得12粒；如只分给第二群，每只猴子可得125粒；如只分给第三群，每只猴子可得20粒，那么平均给三群猴子，每只猴可得花生多少粒？　　5．这样的自然数是有的：它加1是2的倍数，加2是3的倍数，加3是4的倍数，加4是5的倍数，加5是6的倍数，加6是7的倍数，在这种自然数中除了1以外最小的是多少？
　　奇数　　奇数（英文：odd）数学术语，整数中，能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数，奇数个位为1，3，5，7，9。偶数可用2k表示，奇数可用2k+1表示，这里k是整数。奇数，数学术语。奇数包括正奇数、负奇数。奇数跟奇数的和是偶数；偶数跟奇数的和是奇数；任意多个偶数的和是偶数。　　基本信息　　中文名：奇数　　外文名：oddnumber　　别称：单数　　表达式：2k+1(k为整数)　　应用学科：数学　　适用领域范围：代数　　拼音：jishu　　定义：不能被2整除的数　　概念　　奇数（英文：odd）数学术语，整数中，能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数，偶数可用2k表示，　　正在加载1　　奇数可用2k+1表示，这里k是整数。奇数包括正奇数、负奇数。　　性质　　（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数。　　（2）奇数跟奇数的和是偶数；偶数跟奇数的和是奇数；任意多个偶数的和是偶数。　　（3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数。　　（4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇偶性，即a+b与a-b同为奇数或同为偶数。　　（5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是偶数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数，即：A＊B＊C＊…＊偶数＊X＊Y＝偶数，式中A、B、C、…X、Y皆为整数，公式可简化为：奇数＊偶数＝偶数。　　(6)奇数的个位是1、3、5、7、9；偶数的个位是0、2、4、6、8.（0是个特殊的偶数。2002年国际数学协会规定，零为偶数。中国2004年也规定零为偶数。小学规定0为最小的偶数，但是在初中学习了负数，出现了负偶数时，0就不是最小的偶数了.）　　（7）奇数的平方除以8余1。　　（8）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数。　　举例　　奇数就是单数，人们在日常生活中把单数叫做奇数。　　如：正奇数：1、3、5、7、9.........负奇数：-1、-3、-5、-7、-9.........　　0是奇数还是偶数　　从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。目前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。为了方便于国际交流，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。即一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。　　《九年义务教育六年制小学数学》第十册中，关于“数的整除”及“约数和倍数”的定义并未做任何改变，教材第54页就有这样的叙述：“因为0也能被2整除，所以0也是偶数”。以此类推，0能被所有非零自然数整除，根据约数倍数的定义，0是任何非零自然数的倍数，任何非零自然数都是0的约数。但考虑到研究分解质因数、最大公约数、最小公倍数时，一般限于非零自然数范围内，如讲最小公倍数时，是把0排除在外的。为此，《九年义务教育六年制小学数学》第十册50页明确指出：“为了方便，以后在研究约数和倍数时，我们所说的数一般不包括0”。这样就避免了一些不必要的麻烦。但过去的一些说法就必须加以纠正了。例如：“一个自然数的最小倍数是它本身”、“自然数的约数的个数是有限的”等，这样的结论必须纠正。　　偶数　　整数中，能够被2整除的数，叫做偶数，正的偶数又称双数。偶数包括正偶数、负偶数和0。所有整数不是奇数（又称单数），就是偶数（又称双数）。若某数是2的倍数，它就是偶数，可表示为2n；若非，它就是奇数，可表示为2n+1（n为整数），即奇数除以二的余数是一。　　概念　　英文：evennumber　　小学阶段：在自然数中，能被2整除的数，叫做偶数