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高二数学同步辅导教材(第17讲)
高二数学同步辅导教材(第 17 讲)一, 本章主要内容 8.6 抛物线的简单几何性质 课本第 120 页至第 123 页 二, 本讲主要内容 1,抛物线的简单几何性质及运用 2,直线和抛物线的位置关系 三,学习指导 1,抛物线的简单几何性质 (1)自身固有的几何性质 ① 位置关系:焦点在对称轴上,准线垂直于对称轴;顶点是焦点及焦点在准线上射影的中点; ② 数量关系:焦点到准线距离为 p. 离心率 e=1,通径长为 2p (2)解析性质:以抛物线 y =2px(p&0)为例 ① 范围:x≥0,y∈R ② 基本参数:焦点 F(2 2p p ,0) ,准线 x=
,顶点(0,0) 2 2 p 2③ 焦半径:抛物线 y =2px(p&0)上点 P(x0,y0)到焦点 F 距离 r=x0+ 抛物线 y =-2px(p&0)上点 P(x0,y0)到焦点 F 距离 r=2p -x0 2 p 2 抛物线 x =2py(p&0)上点 P(x0,y0)到焦点 F 距离 r=y0+ 2 p 2 抛物线 x =-2py(p&0)上点 P(x0,y0)到焦点 F 距离 r= -y0 22,直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线的位置关系与直线与椭圆双曲线的位置关系一样,有三种:相离,相交,相切,判断 方程仍然是判别式法(△法) ,其中当直线与抛物线对称轴平行时,直线与抛物线只有一个交点,此时直 线方程与抛物线方程联立消元后所得方程为一元一次方程.所以在用判别式的符号判断直线与抛物线位 置关系时,应注意这一退化情形. 四,典型例题 典型例题 例 1,当 k 为何值时,直线 y=kx+k-2 与抛物线 y =4x 有两个公共点?仅有一个公共点?无公共点? 解题思路分析: 直线与抛线线位置关系的判断通过它们的方程构成的方程组的解的情况来判断. y = kx + k
2 2 2 2 2 由
2 得:k x +2(k -2k-2)x+(k-2) =0 y = 4x x = 1 当 k=0 时,方程退化为一次方程,-4x+4=0,该方程只有一解 x=1,原方程组只有一组解
y = 22∴直线 y=-2 与抛物线只有一个公共点. 当 k≠0 时,二次方程的△=4(k -2k-2) -4k (k-2) =-16(k -2k-1) 当△&0 得 k -2k-1&0, 1
2 & k & 1 + 2 ,∴当 1
2 & k & 0 ,或 0 & k & 1 + 2 时,直线与抛物线2 2 2 2 2 2有两个公共点1由△=0 得 k= 1 ± 2 ,此时直线与抛物线相切,只有一个公共点 由△&0 得 k & 1
2 ,或 k & 1 + 2 ,此时直线与抛物线无公共点 注:1,由本题可知,直线与抛物线只有一个公共点的含义有两种位置情形:直线与抛物线相交 ( 此直线平行于抛物线对称轴)
直线与抛物线相切 2,因抛物线方程不是关于 x,y 的齐次式,故在消元过程中应适当加以选择,如本题,应消去 x 较 方便.请同学们实践一下. 例 2,过抛物线 y =2px(p&0)焦点 F 的直线与抛物线交于 P,Q 两点,线段 PQ 的中垂线交 x 轴于 R, 求证:|PQ|=2|FR|. 解题思路分析: 引入参数求出|PQ|及|FR|,因 PQ 是过 F 的旋转直线系,所以将直线 PQ 的斜率作为参数. 显然直线 PQ 的斜率存在p 设直线 PQ: y = k ( x
k2p y = k(x
2 得: k 2 x 2
p( k 2 + 2) x + =0 4
y 2 = 2px ,Q(x2,y2) ,则由抛物线定义得: 设 P(x1,y2)p p 2p(k 2 + 1) | PQ |=| PF | + | QF |= ( x 1 + ) + ( x 2 + ) = x 1 + x 2 + p = 2 2 k2为求|FR|,下求点 k 坐标,设 PQ 中点(x0,y0) 则 x0 =x 1 + x 2 p ( k 2 + 2) p p = , y 0 = k (x 0 + ) = 2 2 2 k 2k p p ( k 2 + 2) 1 =
) k k 2k 2∴ PQ 中垂线方程: y
令 y=0,得: x k = ∴ |FR|= | x k
∴ |PQ|=2|FR|p(3k 2 + 2) k2p p(k 2 + 1) |= 2 k2注:1,本题在求弦长|PQ|时,因直线 PQ 过焦点,故采用了定义,简化计算. 2,在求 PQ 中点 M 坐标时,除了用韦达定理法,还可用点差法,而且因为抛物线方程是非次式,用 点差法相对来说简单一些. y1 =2px1 y2 =2px2 ∵ x1≠x2 ∴y1
y 2 2p = x 1
x 2 y1 + y 2 2p 2y 022 2① ②①-②得:(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2)∴ k=∴ y0 =p k2例 3,抛物线 C:y =4x,过点 A(0,-2)的直线交 P,Q 两点,OP,OQ 为邻边作平行四边形 CPRQ. (1)求点 R 的轨迹方程; (2)是否存在直线,使四边形 OPRQ 为正方形,证明你的结论. 解题思路分析: 本题的关键是如何利用平行四边形的性质找到点 R 满足的等量关系.利用对角线互相平分,即相对 顶点的中点重合的性质较简单,因 P,Q 为直线与抛物线的中点,故在求 PQ 中点时,应考虑利用韦达定 理. 设直线 PQ:y=kx-2y 2 = 4x 2 2 由 得:k x -4(k+1)x+4=0(*)
2设点 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,R(x0,y0) ∵ POQR 为平行四边形 ∴ PQ 与 OR 互相平分x + x 2 = x 0 即
y1 + y 2 = y 0 4( k + 1) ∴ x0 = k2①4 k2y 0 = (kx 1
2) + ( kx 2
2) =②①,②两式消去 k 得:y +4y=4x 又因式(*)的△=16(k+1) -16k &0 ∴ k& 1 22 22∴ y0&0,或 y0&-8 ∴ 点 R 的轨迹方程是 y +4y=4x,y&-8 或 y&0 (2)平行四边形 OPRQ 要成为正方形,需要增加两个条件,所以应在定性(垂直等)及定量(相等等) 选择适当的条件. ①由 OP⊥OQ 得:x1x2+y1y2=0 ∴ x1x2+(kx2-2)(kx2-2)=0 即 (1+k )x1x2-2k(x1+x2)+4=0 由韦达定理得: (1 + k 2 )
∴ k=1 2 4 k22 2k 4(k + 1) k2+4=0②由 OR⊥PQ 得: k OR = 2 ∴y0 = 2 x0∴ y0=-6,但 y0&-8,或 y0&0 ∴ 不存在 例 4,点 A 在第一象限,点 B 在第四象限,线段 AB 过 x 轴上一定点 M(m,0) (m&0) ,且 A,B 到 x 轴的距离之积为 2m,以 x 轴为对称轴,过 O,A,B 三点作抛物线 P,求:3(1)P 的方程; (2)当 tan∠AOB=-1 时,m 的取值范围. 解题思路分析: 用待定系数法求 P 的方程 (1)设 P:y =2px,直线 AB:y=k(x-m)(k≠0) y 2 = 2px 2 由 得:ky -2py-2kmp=0 y = k ( x
m) 2设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ∵ |y1||y2|=2m,y1y2&0 ∴ 2mp=2m,p=1 ∴ P:y =2x (2)由条件 tan∠AOB=-1 转化为建立关于 m 的函数关系,利用函数值域的概念确定 m 的取值范围. (i)当直线 AB 的斜率不存在时x = m 由 2 得:A( m, y = 2x22m ) ,B( m,
2m ) k OA = ,2 m, k OB = 2 m代入 tan∠AOB= ∴ m=6±4 2 又由k OA
k OB 2 2m 2 得: = 1 ,m -12m+4=0 1 + k OA k OB m22 2m = 1 得:m&2 m2∴ m=64 2 (ii)当直线 AB 的斜率存在时 y 2 = 2x 2 得:ky -2y-2km=0 由
m)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)(y1&0,y2&0) , 则 k OA =y1 2 2 = , k OB = x 1 y1 y2 k OA
k OB 2( y 2
y1 ) 得: = 1 1 + k OA k OB
2m + 42代入 tan∠AOB= ∴ y2-y1=m-2又 (y2-y1) =(y2+y1) -4y1y2 ∴ ( m
2) 2 =4 k2
4(2m) 4 k22∴ m 2
12m + 4 = ∵4 k22,将此式看成是 m -12m+4 关于 k 的函数2&0∴ m -12m+4&0 ∴ m&6- 4 2 ,或 m&6+ 4 2 (舍) 综上所述,m∈(0,6- 4 2 ] 注:在(1)中化简|y1y2|时,通过分析点 A,B 的位置特征,确定 y1y2&0,体现了数形结合的思想. 五,同步练习4(一)选择题 1,等腰直角△ABO 内接于抛物线 y =2px(p&0) 为抛物线的顶点,OA⊥OB,则△ABO 的面积是 ,O A, 8p2 2B,4p2 2C,2p2D,p22,已知 A,B 是抛物线 y =2px(p&0)上两点,O 为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB 的垂心恰好是 抛物的焦点,则直线 AB 的方程是 A,x=92B,x=3pC,x=3 p 2D,x=5 p 23,过抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,如果 x1+x2=6,则|AB|等于 A,10 M 点坐标是 A, (0,0) B, (4, 4 2 )1 C, (4,
4 2 ) D, ,-1) ( 8B,82C,6D,44,已知 P(4,-1) 为抛物线 y =8x 的焦点,M 为此抛物线上的点,且使|MP|+|MF|的值最小,则 ,F5,方程 y = 2 x 所表示的曲线形状是AB2CD6,过(0,20 的直线与抛物线 y =4x 仅有一个公共点,则满足条件的直线共有 A,1 条2B,2 条 B,mn=42C,3 条 C,m+n=mna p + 2 2D,4 条 D,m+n=2mna p
2 27,设抛物线 y =4x 的焦点弦被焦点分为两部分,它们的长度分别为 m 和 n,则 m 与 n 的关系是 A,m+n=4a 22,则弦 AB 中点 M 到 y 轴的最短距离为 8,抛物线 y =2px(p&0)的动弦 A 降为 a(a≥p) A, B,p 2C,D,9,抛物线 y=x 上点到直线 y=2x-4 的距离最短的点的坐标是1 1 A, , ) ( 2 43 x 62B, (1,1)3 9 C, , ) ( 2 43 x 6D, (2,4)10,边长为 1 的正△AOB,O 为原点,AB⊥x 轴,以 O 为顶点且过 A,B 两点的抛物线方程是 A, y 2 = B, y 2 = 3 x 6C, y 2 = ±D, y 2 = ±3 x 3(二)填空题 ,则此弦所在直线方程是________. 11,抛物线 y =-12x 一条弦 AB 的中点 M(-2,-3) 12,过抛物线 y =4x 的焦点作一条倾斜角为α的弦 AB,若|AB|≤8,则α的取值范围是________. 13,已知直线:y=mx-4 与抛物线 C:y =8x 只有一个公共点,则实数 m=________. 14,已知直线与抛物线 y =8x 交于 A,B 两点,且经过抛物线的焦点,A 点坐标为(8,8) ,则线段 AB 中点到准线的距离是________. 15,若抛物线 y =2ax 与椭圆 (三)解答题 16,若抛物线 y =2px(p&0)上一点 P 到准线及对称轴距离分别是 10 和 6,求 P 点横坐标及抛物线52 2 2 2 2x 2 y2 + = 1 有共同的焦点,则 a=________. 25 16方程. 17,求与直线:x=-2 相切且过点 A(2,0) ,圆心在直线 4x-5y+12=0 上的圆方程. 18,已知抛物线 y =4ax(a&0)的焦点为 A,以 B(a+4,0)为圆心,|AB|长为半径,在 x 轴上方的半 圆交抛物线于不同的两点 M,N,P 是 MN 中点. (1)求|AM|+|AN|的值; (2)问是否存在这样的 a 值,使|AM|,|AP|,|AN|成等差数列. 19,A,B 是抛物线 y =2px(p&0)上两点,OA⊥OB(O 为原点) ,求证: (1)A,B 两点的横坐标之积,纵坐标之积分别是定值; (2)直线 AB 经过一定点. 20,已知抛物线 y =2px(P&0)上有三点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) ,且 x1&x2&x3,若线段 AB,BC 在 x 轴上的射影之长相等,求证:A,B,C 三点到焦点的距离顺次成等差数列. 六,参考答案 (一)选择题y = x
x = 2p 0 1,B. A,B 关于 x 轴对称,OA,OB 与 x 轴夹角为 45 ,由
2 得 或 ,∴
y = 2p2 2 2|OA|=|OB|= 2 2 P,∴S=1 2 2 |OA| =4P 22pm ) ,设焦点 F( p , 2,B( m, 2,D. A,B 关于 x 轴对称,设直线 AB:x=m,则 A( m,
2pm ) 0) ,由 AF⊥OB 得 k AF
k OB =-1,∴2pm 5 =-1,解之得 m = p . p 2 m m 2 p p 3,B. |AB|=|AF|+|BF|= x 1 + + x 2 + ,∴|AB|=x1+x2+p=6,∴|AB|=8. 2 2
y = 1 x = 4, |MF|等于点 M 到准线 x=2 的距离, D. |MP|+|MF|的最小值为 P 到准线距离,
2 由 得 8 ,
y = 1 即为此时点 M 坐标. 5,D. y = kx + 2 6,C. 当 k 不存在时,方程为 x=0(y 轴) ,与抛物线只有一个公共点;当 k 存在时,由
2 y = 4x得 k x +4(k-1)x+4=0,当 k=0 时,方程的解为 x=1,直线与抛物线只有一个公共点;当 k≠0 时,由△ =16(k-1) -16k =0 得 k= 也可直接画图求解. 7,C. 当 m=n 时,焦点弦垂直 x 轴,在 y =4x 中,令 x=1,得 y =4,y=±3,m=n=2,m+n=4=当 y = k ( x
1) 2 2 2 2 m≠n 时,设焦点弦所在直线方程为 y=k(x-1),由
2 得 k x -2(k +2)x+k =0,设焦点弦的两端点 y = 4x2 2 2 22 21 时,方程只有一解,直线与抛物线只有一个公共点.所以直线共有三条,本题 2横坐标分别为 x1,x2,则 x1+x2=2( k 2 + 2) k2,x1x2=1,∴m+n=x1+1+x2+1=x1+x2+2,mn=(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=x1+x2+2,∴m+n=mn. 8,D. 当 AB 过焦点时,其中点到 y 轴距离最短,大小为6ap . 29, 设抛物线上任一点 P 0, 0) 则 P 到直线 y=2x-4 的距离为 d = C. (x y , ≥3 5| 2x 0
4 | 5=| ( x 0
1) 2 + 3 | 5,当且仅当 x0=1,y0=1 时等号成立.3 1 3 1 3 2 , ) ,或 ( , ) 代入 y =2mx(m≠0)得 m=± . 2 2 2 2 12 y1
12 , = x 1
x 2 y1 + y 210,C. A( (二)填空题,B(x2,y2) ,则 y1 =-12x,y2 =-12x2,两式相减得 11, 2x-y+1=0 .设 A(x1,y1) ∴k=2,又 AB 过点 M(-2,-3) ,∴AB 所在直线方程为 y+3=2(x+2).222p 4 4 π 3 2 12, [ , π] .由弦长公式得|AB|= ,∴ ≤8,sinα≤
(舍) ,或 sinα = 2 2 2 4 4 2 sin α sin α sin α≥2 π 3 ,又α∈[0,π) ,∴ ≤α≤ π . 2 4 413,0,
y=-8,x=8. y = mx
4 1 1 2 .由
2 得 my -8y-32=0,当 m=0 时,y=-4,x=2;当 m≠0 时,由△=0 得 m =
x + x 2 + p 25 25
2) 2 3 14, .由
得 2x -17x+8=0,∴ d = 1 = . 4 2 4
y 2 = 8x 15, ±6 .椭圆焦点(±3,0) ,∴ (三)解答题 16,解:设 P(x0,y0)6 2 = 2px 0
p x 0 + = 10 2
0 p = 2|a| = 3 ,∴a=±6. 2∴ P 点横坐标为 9,抛物线方程为 y =4x 17,解:圆心到的距离与到点 A 距离相等 ∴ 圆心在抛物线 y =8x 上1
x = 18 x = 由 得 2 ,或
y = 12 4 x
5 y + 12 = 0
y = 2 22∴ 圆心坐标为( ∴ 半径 r=1 ,-2),(18,12) 21 5 + 2 = ,或 r=20 2 2 1 25 2 2 ∴ 所求圆的方程为 ( x
) 2 + ( y + 2) 2 = ,或(x-18) +(y-12) =400. 2 418,解: (1)|AB|=4,圆方程为[x-(a+4)] +y =167222 2
(a + 4)] + y = 16 2 2 由 得:x +2(a-4)x+8a+a =0
y 2 = 4ax 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,P(x0,y0) 则 x1+x2=-2(a-4),x1x2=a +8a ∴ 当△=4(a-4) -4(a +8a)&0,0&a&1 时 |AM|+|AN|=x1+2a+x2+2a=8. (2) x 0 =x1 + x 2 =4a, 2y1 + y 2 = 2 4ax 1 + 4ax 2 2 = a ( x1 + x 2 ) 22 2 2y0 == a x 1 + x 2 + 2 x 1 x 2 = a 8
2a + 2 a 2 + 8a∴ P(4-a, a 8
2a + 2 a 2 + 8a ) ∵ 2|AP|=|AM|+|AN|=8 ∴ |AP|=4 ∵ A(a,0)(2a
4) 2 + ( a (8
2a ) + 2a a 2 + 8a ) 2 = 4∴∴ (2a
4) 2 + a (8
2a ) + 2a a 2 + 8a = 16 解之得 a=1 ∴ a
(0,1) ∴这样的 a 不存在. 19,解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 则 y1 =2px1,y2 =2px2 ∵ OA⊥OB ∴y1 y 2
= 1 x1 x 22 2∴ x1x2+y1y2=08∴ y1 y 2 +y1 y 2 4p 2222=02∴ y1y2=-4p ,x1x2=4p y 2 = 2px 1 y
1 ,相减得 1 2 x 1
x 2 y1 + y 2
y 2 = 2px 2 ∴ k AB =2p y1 + y 2 2p (x
x 1 ) y1 + y 2∴ 直线 AB: y
y1 =y 2 2p (x
1 ) y1 + y 2 2p∴ y=2p ( x
2p ) y1 + y 2∴ 直线 AB 过定点(2P,0) . 20,由已知,x2-x1=x3-x2 ∴ 2x2=x1+x3 又 |AF|+|CF|= x 1 +p p p + x 3 + = 2x 2 + p = 2( x 2 + ) =2|BF| 2 2 2∴ |AF|,|BF|,|CF|成等差数列. 七,附录 y = kx + k
2 2 2 2 2 例 1 的解:由
2 得:k x +2(k -2k-2)x+(k-2) =0 y = 4x (1)当 k=0 时,x=1,y=-2,直线 x=1 与抛物线只有一个公共点; (2)当 k≠0 时,△=4(k -2k-2) -4k (k-2) =-16(k -2k-1) ①由△&0 得:1
2 & k & 1 + 2 ,∴ 1
2 & k & 0 ,或 0 & k & 1 + 2 时,直线与抛物线有两个公共 点 ②由△=0 得:k= 1 ± 2 ,此时直线与抛物线相切,只有一个公共点 ③由△&0 得: k & 1
2 ,或 k & 1 + 2 ,此时直线与抛物线无公共点 综上所述,当 k=0,或 k= 1 ± 2 时,直线与抛物线只有一个公共点; 当 1
2 &k&0,或 0&k& 1 + 2 时,直线与抛物线有两个公共点; 当 k& 1
2 ,或 K& 1 + 2 时,直线与抛物线无公共点.p 例 2 的解:设直线 PQ: y = k ( x
) 292 2 2 2 2p
k2p y = k(x
2 得: k 2 x 2
p( k 2 + 2) x + =0 4
y 2 = 2px 设 P(x1,y2) ,Q(x2,y2) ,则由抛物线定义得:p p 2p(k 2 + 1) | PQ |=| PF | + | QF |= ( x 1 + ) + ( x 2 + ) = x 1 + x 2 + p = 2 2 k2设 PQ 中点(x0,y0) 则 x0 =x 1 + x 2 p ( k 2 + 2) p p = , y 0 = k (x 0 + ) = 2 2 2 k 2kp p ( k 2 + 2) 1 =
) k k 2k 2∴ PQ 中垂线方程: y
令 y=0,得: x k = ∴ |FR|= | x k
∴ |PQ|=2|FR|p(3k 2 + 2) k2p p(k 2 + 1) |= 2 k2例 3 的解:设直线 PQ:y=kx-2y 2 = 4x 2 2 由 得:k x -4(k+1)x+4=0(*) y = kx
2 设点 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,R(x0,y0) 则 x1 + x 2 =4(k + 1) k2, y1 + y 2 = k (x 1 + x 2 )
4 =4 k∵ POQR 为平行四边形 ∴ PQ 与 OR 互相平分 ∴x 0 = x1 + x 2 = y 0 = y1 + y 2 =24(k + 1) k2 4 k2 2消去 k 得:y +4y=4x ∵ 式(*)的△=16(k+1) -16k &0 ∴ k& 1 22∴ y0&0,或 y0&-8 ∴ 点 R 的轨迹方程是 y +4y=4x(y&-8 或 y&0) (2)①由 OP⊥OQ 得:x1x2+y1y2=0 ∴ (1+k )x1x2-2k(x1+x2)+4=0 ∴ (1 + k 2 )
∴ k=1 2 4 k22 2k 4(k + 1) k2+4=0②由 OR⊥PQ 得: k OR = 2 ∴y0 = 2 x010∴ x0 = 2y0 22代入 y0 +4y0=4x0 得:y0 +6y0=0 ∴ y0=0,或 y0=-6 但 y0&-8,或 y0&0 ∴ 舍去 ∴ 满足条件的直线不存在 例 4 的解: (1)设 P:y =2px,直线 AB:y=k(x-m)(k≠0) y 2 = 2px 2 由 得:ky -2py-2kmp=0
m)2设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 则 |y1||y2|=2m,又 y1y2&0 ∴ 2mp=2m,p=1 ∴ P:y =2x (2)当直线 AB 的斜率不存在时 设直线 AB:x=m 则 A( m, ∴ k OA =2m ) ,B( m,
2m )2 m , k OB =
2 m2代入 tan∠AOB=2k OA
k OB 2 2m 得: = 1 1 + k OA k OB m2化简得:m -12m+4=0 ∴ m=6±4 2 ∵ m&2 ∴ m=64 2 当直线 AB 的斜率存在时 设 AB:y=k(x-m) y 2 = 2x 2 由 得:ky -2y-2km=0 y = k ( x
m) 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)(y1&0,y2&0) , 则 k OA =y1 2 2 = , k OB = x 1 y1 y2 k OA
k OB 2( y 2
y1 ) 得: = 1 1 + k OA k OB
2m + 42代入 tan∠AOB= ∴ y2-y1=m-2又 (y2-y1) =(y2+y1) -4y1y22 ∴ ( m
2 ) 2 = ( ) 2
4 ( 2 m ) k 4 2 ∴ m 2
12m + 4 = 2 ,将此式看成是 m -12m+4 关于 k 的函数 k 4 ∵ 2 &0 k112∴ m -12m+4&0 ∴ m&6- 4 2 ,或 m&6+ 4 2 (舍) 综上所述,m 的取值范围是(0,6- 4 2 )212
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> 2017高二数学知识点归纳整理：高二数学题解析
2017高二数学知识点归纳整理：高二数学题解析
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篇一：高二数学试题及答案
六盘水市实验一中学年度第二学期期末考试
高二数学试卷（文）
一 选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合A?{x|?3&x&0},B={x|-1&x&3},则A&B=（ ）
A．［-1,0］B．［-3,3］C．［0,3］D．［-3,-1］
2. 一个容量为100的样本分成若干组，已知某组的频率为0.3，则该组的频数是 （ A. 3 B. 30C. 10D. 300
3.由a1?1，d?3确定的等差数列?an?，当an?298时，序号n等于 （ Ａ．99 Ｂ．100 Ｃ．96 Ｄ．101
4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是A 球 B 三棱锥 C 正方体D 圆柱
5.函数y＝0.5x、 y＝x－2 、y＝log0.3x 的图象形状如图所示,依次大致是 （ ） A．（1）（2）（3） B．（2）（1）（3） C．（3）（1）（2） D．（3）（2）（1）
（1） （2） （3）
6.要得到y?sin(2x?
)的图象，只要将y?sin2x的图象（ ）
A、向左平移
B、向右平移
C、向左平移
D、向右平移
7．已知点A(1,2)、B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）
A．4x?2y?5 B．4x?2y?5 C．x?2y?5 D．x?2y?5
8.函数f(x)?x3
?x?3的零点落在的区间是（ ）
A.?0,1?B.?1,2? C.?2,3? D.?3,4?
9.设x,y满足约束条件?
?y?x,则z?3x?y的最大值为 （）
y??2A． 5B. 3 C. 7 D. -8 10. 如果执行如图的框图，输入N＝5，则输出的数等于( )
11. 平面&截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面&的距离为，则此球的体积为
（A）&（B）43& （C）4& （D）6&
12.当0&x&时，4&logax，则a的取值范围是 （ ）
2) （B）(1)（C）(1，（D）(2，2) 22
二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分. 把正确答案填在题中横线上.
13.已知x?0，函数y?
的最小值是
x的位置关系是。
14. 圆(x?1)?y?
15.已知正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为____________.
16.关于x的不等式kx?6kx?k?8?0的解集为空集，求实数k的取值范围. 三、解答题：
17. （本小题满分10分）在等比数列?an?中，已知a6?a4?24,a3a5?64，求?an?前8项的和S8。
18 .（本小题满分12分）.在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b
是方程x2??2?0的两个根， 且2coc(A?B)?1。
求：(1)角C的度数；
(2)AB的长度。19．（本小题满分12分）
甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
（I）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2
名教师性别相同的概率； （II）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来
自同一学校的概率．
20.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B1?A1C1，D，E分别是棱，且AD?DE，F为B1C1的中点． BC，CC1上的点（点D 不同于点C）
求证：（1）平面ADE?平面BCC1B1； （2）直线A1F//平面ADE．
21. （本小题满分14分） 已知向量a??cos
x,sinx?,b??cos,?sin?,且22?22??
x??0,?,f?x??a?b?2?a?b,（?为常数）求(1) a?b及a?b;(2)若f?x?的最小
,求实数?的值.
请考生在第22、23、两题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．
22．(本小题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲
如图，已知圆上的 , 过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：
(1)&ACE＝&BCD； (2)BC2＝BE&CD.
23.（本小题满分10分）选修4&5：不等式选讲
已知函数f(x) = |x + a| + |x－2|.
(Ⅰ)当a =－3时，求不等式f(x)&3的解集；
(Ⅱ)若f(x)&|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围。
六盘水市实验一中学年度第二学期期末考试
高二数学试卷（文） 答案
一．选择题:1.A 2.B 3.B 4.D 5.B 6.D 7.B 8.B 9.C 10.D 11.B 12.B 二．填空题:13. 4 14. 相交15.16. ?0,1?
三．解答题:
17、(10分)设数列?an?的公比为q，依题意，
a6?a4?a1q?q?1??24,.....................(1)
将a1q3??8代入到(1)式，得q2?1??3,q2??2,舍去。
将a1q?8代入到(1)式,得q?1?3,q??2.当q?2,a1?1,S8?
当q??2,a1??1,S8?
a1?q?1?q?1
18．(12分) 解：（1）cosC?cos????A?B????cos?A?B???
??a?b? （2
）由题设：?
?AB2?AC2?BC2?2AC?BCcosC?a2?b2?2abcos120?
?a?b?ab??a?b??ab?23
19.(12分)．解：（I）甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；
乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：
（A，D）（A，E），（A，F），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F）共9种。
从中选出两名教师性别相同的结果有：（A，D），（B，D），（C，E），（C，F）共4种，
选出的两名教师性别相同的概率为P?
（II）从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为： （A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），
（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共15种，
从中选出两名教师来自同一学校的结果有：
（A，B），（A，C），（B，C），（D，E），（D，F），（E，F）共6种， 选出的两名教师来自同一学校的概率为P?
20. .(12分) 证明：（1）∵ABC?A1B1C1是直三棱柱，∴CC1?平面ABC。
又∵AD?平面ABC，∴CC1?AD。
又∵AD?DE，CC1，DE?平面BCC1B1，CC1?DE?E，∴AD?平面BCC1B1。
又∵AD?平面ADE，∴平面ADE?平面BCC1B1。 （2）∵A1B1?A1C1，F为B1C1的中点，∴A1F?B1C1。平面BCC1B1?平面A1B1C1,A1F?平面BCC1B1 由（1）知，AD?平面BCC1B1，∴A1F∥AD。
又∵AD?平面ADE, A1F?平面ADE，∴直线A1F//平面ADE
21.(14 分)解：⑴a?b?cos
|a?b|?(cos
?2?2cos2x?2cosx
],?cosx?0,?|a?b|?2cosx
⑵f(x)?cos2x?4?cosx?2(cosx??)?1?2? ?
∵x?[0,],?0?cosx?1.
①当??0时，当且仅当cosx?0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾；
篇二：高二数学数列测试题及答案
2014年高二年级数列测试题
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．等差数列{an}中，若a2＋a8＝16，a4＝6，则公差d的值是( )
A．1B．2C．－1D．－2
2．在等比数列{an}中，已知a3＝2，a15＝8，则a9等于( )
A．&4B．4 C．－4D．16
3．数列{an}中，对所有的正整数n都有a1&a2&a3&an＝n2，则a3＋a5＝( )
612525A.B. C.
4．已知－9，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则b2(a2－a1)＝( )
A．8 B．－8 C．&8 9D. 8
5．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a7＋a12＝30，则S13的值是( )
A．130B．65 C．70D．75
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于( )
A．6 B．7C．8D．9
7．已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n&N＋，则S10的值为( )
A．－110B．－90 C．90 D．110
8．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15＝( )
A．&2 B．&4 C．2D．4
9．首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是( )
888A．d&3 B．d&3 C.3d&3 D.3&d&3
10.等比数列?an?中，首项为a1，公比为 q，则下列条件中，使?an?一定为递减数列的条件是（ ）
A．q?1 B、a1?0,q?1C、a1?0,0?q?1或a1?0,q?1 D、q?1
11. 已知等差数列?an?共有2n?1项，所有奇数项之和为130，所有偶数项之和为120，
Ｃ．11 Ｄ．12 则n等于（ ） Ａ．9 Ｂ．10
12．设函数f(x)满足f(n＋1)＝
A．95 2f(n)?n (n&N＋)，且f(1)＝2，则f(20)为( ) 2B．97 C．105 D．192
二、填空题(每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知等差数列{an}满足：a1＝2，a3＝6.若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________．
14.已知数列{an} 中,a1=1且1
an?1?11 N+),则a10=? (n&an3
15．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且满足an?an?1?3(n?1)(n?2)，则数列{an}的通项公式为an?a?1?*16．已知数列满足：a1＝1，an＋1＝(n&N)，若bn＋1＝(n－&)?a1?，?n?an＋2
b1＝－&，且数列{bn}是单调递增数列，则实数&的取值范围为
三、解答题(本大题共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（10分）在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n&N+).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前20项和为S20.
18．(12分)已知数列{an}前n项和Sn?n?27n，(1)求{|an|}的前11项和T11；
(2) 求{|an|}的前22项和T22； 2
19．(12分)已知数列{an}各项均为正数,前n项和为Sn,且满足 2Sn=an+ n－4 (n&N+).
(1)求证:数列{an}为等差数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
20．(12分)数列?a
n?的前n项和记为Sn，a1?1,an?1?2Sn?1?n?1?.
（1）求?an?的通项公式； 2
b,（2）等差数列?bn?的各项为正，其前n项和为Tn，且T3?15，又a1?b1,a2?23a?3b
成等比数列，求Tn．
21．(12分)已知数列{an}，{bn}满足a1＝2, 2an＝1＋anan＋1，bn＝an－1(bn&0)．
1(1)求证数列{b是等差数列； n
1，求数列{cn}的通项公式． an?1
22．（12分）在等差数列{an}中，已知公差d?2，a2是a1与a4的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn?an(n?1)，记Tn??b1?b2?b3?b4?&?(?1)nbn，求Tn.
2014年高二年级数列试题答案
1---12：BBABAAD CDCDB
?3n?1(n为奇数)??21an??13---16：－11，，?3n?2(n为偶数)，&&2 4??2
17．解：(1)∵数列{an}满足an＋2－2an＋1＋an＝0，∴数列{an}为等差数列，设公
2－8差为d.∴a4＝a1＋3d，d＝3＝－2.∴an＝a1＋(n－1)d＝8－2(n－1)＝10－2n.
(2) Sn=n(9?n)得S20= －220
18.解：Sn?n2?27n ?an?2n?28
∴当n?14时，an?0n?14时an?0
(1)T11?|a1|?|a2|???|a11| ??(a1???a11)??S11?176
(2)T22?(|a1|?|a2|???|a13|)?(a14|???|a22|)
??(a1?a2???a13)?a14?a15???a22 ??S13?S22?S13?S22?2S13?254
19.(1)证明:当n=1时,有2a1=+1-4,
当n&2时,有2Sn-1=-2a1-3=0,解得a1=3(a1=-1舍去).+1, +n-5,又2Sn=+n-4,两式相减得2an=-即-2an
+1=,也即(an-1)2=,因此an-1=an-1或an-1=-an-1.若an-1=-an-1, 则an+an-1=1.而a1=3,所以a2=-2,这与数列{an}的各项均为正数相矛盾, 所以an-1=an-1,即an-an-1=1,因此数列{an}为等差数列.
(2)解:由(1)知a1=3,d=1,所以数列{an}的通项公式an=3+(n-1)&1=n+2,即an=n+2. n2?5n得Sn? 2
篇三：高二数学试卷分析
高二数学试卷分析
高二数学试卷分析
一．试题考查的内容和学生失误的分析：
第1题： 属复数问题，考查共轭复数的概念及性质，学生容易错选
第2题： 考查方差的基本运算公式，。较为简单。
第3题： 考查分布列相关知识，较简单。
第4题： 相互独立时间同时发生的概率。
第5题：考查二项式定理的应用，属较难题型。
第6题：考查复合函数函数导数公式，计算比较复杂，属较难题型。
第7题：纯虚数定义，较为简单。
第8题：考查分类计数原理和排列组合的相关知识。
第9题：考查函数导数，极值。
第10题：考察条件概率，属于中档题型
第11题：概率问题，排列，组合的应用。
第12题：考查定积分的基本运算。
第13题：考查正态分布，难度不大。
第14题：考查推理证明类比思想。
第15题：考查导数应，有些难度，属于中档题型。
第16题：考查二项展开式中某一项的系数、二项展开式的通项。学 生的得分率一般，反映了学生对有关公式掌握不牢，运算有问题。
第17题：考查概率相互独立事件，属于基本题型，学生得分率较高。
第18题：考查定积分应用，属基础题型，学生得分率较高。
第19题：考查导数的运算、函数的极值的求法、曲线的切线方程的
求法，虽属综合题目，但难度不大，学生得分率较高。
第20题：考查二项展开式中某一项的系数、二项展开式的通项。学 生的得分率一般，反映了学生对有关公式掌握不牢，运算有问题。
第20题：考查概率分布列基础知识，属于常见题型，主要考查分析
问题，解决问题的能力。属于中档题型。
第22题： 考查函数的单调区间的求法及利用不等式求参数的取值
范围。学生失分的主要原因有：
①不能从本质上领会有关概念的定义；
②运算能力薄弱；
③不等式的常规解法不熟练，没有基本思路。
从整体来看，本卷在着重考查基础知识、基本方法的同时，注
意对学生进行能力考查，且对重点知识和重要方法进行重点考查，选
题较恰当，难度适中，是一份较成功的高二期中考试试卷。
二．对今后教学的建议：
1．加强基础知识的教学
考查学生对基础知识的掌握程度，是数学高考的重要目标之一。本卷命题者对这一点非常重视，但从学生答题的情况来看，学生对基础知识的掌握程度令人担忧。知识是能力的载体，如何通过有效的教学，让学生牢固掌握基础知识，是教师在今后的教学中必须重视和解决好的问题。
2．努力提高学生的运算能力
近年来，高考对运算能力的要求比以往有所降低，但明确算理、合理运算仍是高考的基本要求，况且解数学题目是离不开运算（包括数值计算、字母运算和恒等变形）的。从本卷的考查结果看，学生的运算能力亟待提高，尤其是数值计算的正确率较低。看来，在平时的教学中，应严格要求学生不用计算器。
3．加强基础知识和基本解题方法的教学
基本数学思想和基本解题方法，是高考考查的重要目标之一。可以说，本卷多数试题考查的都是基本方法，但从学生答题的情况来看，学生对基本方法的掌握程度，是令人担忧的。因此在今后的教学中，必须通过实实在在的训练，让学生切实掌握基本的数学思想方法，并能用之于解题。
4． 加强答题规范的教学
对解题过程进行规范的表达，是正确解题的基础，也是考试得分的必经之路。从本次考试的情况看，学生由于答题不规范被扣分的情
况是相当严重的，包括：解完题目没有明确的结论；将不可省略的步骤忽略不写；解应用题不&答&，等等。因此，在平时的教学中，教师在作好示范的同时，对学生的答题规范必须严格要求，逐步使学生养成规范表达的习惯。
高二数学组 日
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