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2015中考数学专项突破：应用题(附带答案)
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1.主要针对小学3-6年级学生；2.对语文感兴趣的爱好者（本班已有成人、老师报名学习）；3.想增加文学知识储备，提高语文素养的人；4.成绩不好，或者语文素养欠佳的学生。
小学数学应用题一直是不少同学学习数学最难一直就是不少同学很难突破的一道难关，不管老师怎么教就是不会，因此数学就成了难以突破的一道坎，数学应用题不解决，成绩就很难提升和突破。不少家长那个朋友们都纷纷在微信上给我留言，希望我能够帮助孩子解决这个问题。 介于太多家长朋友们都有问道，今天也特意总结整理了一份较为全面的小学数学应用题总结汇总，并附上解题思路，篇幅原因今天就先为大家分享整理上半部分的内容，资料中包含了小学阶段所有常见的应用题汇总，不少数学老师都用来当备课教案了，家长们还犹豫什么，赶紧为孩子收藏吧！（此外，如果还需要更多学习资料或是还有其他疑问，都可通过微信与我交流！） 篇幅有限，今天的分享就到这里！孩子如果能拿下吃透这份资料，数学应用题基本就全部拿下了，数学得高分也是轻而易举的事情。
如果要说小学数学最难的题型是什么？我想大多数人的答案是应用题。应用题可不光是对孩子计算能力的考查，它还考查孩子的逻辑思维能力、阅读理解能力，所以孩子被应用题难道实属正常！但是难归难，问题总得解决，不是吗？ 今天跟大家分享几个专克应用题的口诀，特备适合对应用题充满恐惧的孩子，有需要的家长可以替孩子留着，非常实用！ 一 、鸡兔同笼 二、浓度问题 三、路程问题 四、盈亏问题 五、年龄问题 看完后是不是感觉捡到了一笔“意外之财”，行动不如行动，赶紧让孩子试试！ 摘自头条 网友热搜 小学奥数举一反三 小学奥数 奥数题
一部分同学不重视对数学公式的记忆。记忆是理解的基础。如果你不能将公式烂熟于心，又怎能够在题目中熟练应用呢？可是数学公式多而复杂，死记硬背不是长久之计，因此同学们要多注意理解！ 小学数学求比较数应用题公式 标准数×分(百分)率=与分率对应的比较数； 标准数×增长率=增长数； 标准数×减少率=减少数； 标准数×(两分率之和)=两个数之和； 标准数×(两分率之差)=两个数之差。 网友热搜 奥数 奥数题
一年级数学 二年级奥数 二年级数学题 三年级奥数
小学数学学习视频 育儿网官网
众所周知，小学数学是我们一生中最受用的学科。小学数学比较基础，简单，但尽管如此家长们也不能掉以轻心，只有在小学打好基础，初中学起来才不会觉得吃力。 小学数学虽简单，这是在我们家长看来，而小学生就不会这么认为了。很多小学家长与我互动时，聊到孩子的数学，说数学是孩子最头疼的科目，计算有爱粗心，特别是应用题，没有头绪。小学阶段的数学该如何提高？ 这样的疑问我解答过上千的家长，其实除了平时多加练习之外，数学的学习还应该注意各类题型的总结，特别是应用题。下边，我在私下总结了小学数学的一些重点，包括公式和一些应用题的解题技巧，家长们可以收藏了看看，以后在辅导孩子时也不至于一问三不知。 （内容来源互联网
今天，我肯定“死定了，数学考试我错了两题，一条填空，一条应用题，填空一题4分，应用题一题扣5分，我最多只有91分，不过，我如果再错几题就会成八十几、七十几了。 考试时，我没来得及及时检查最后一条应用题……“嘶!”被收了。后来，赵琪琪告诉我，我们俩都错了，我完全崩溃了!天崩地塌，苍天啊!大地啊!万能的主啊!求求您别让我再错了，一题都别错，95已经够惨的了，比95还低的成绩我不能接受。后来，刘苏童又告诉我我的一道填空题又错了，并指给我看，我霎时间成了石像，“唰”倒落成石沫。91分，呜呜……我的内心在流泪，再错一题填空：91-4=87分，哦!不不不! 中午我打电话给妈妈，告诉她我“死”定了的成绩
谁说语文老师不留数学应用题，就在昨天我们的李老师就留了一道数学应用题。刚开始我想怎么回事，难道说语文老师变数学老师了? 我回到家中，仔细的做起来，可这道题还真够烦，我怎么做也做不出来。生气的我乱做起来，做好了就一边呆着去了。我又让妈妈做，过了好一会儿，妈妈也做好了。我想妈妈怎么这么长时间才做好，莫非这题我做错了。 我又重新的想起来，服装店的老板用18元买来一件衣服，所以21元钱就不用加了。“烦死了，烦死了。”我叫了起来。就在我正烦时我的大脑给我了一个灵感可以写数字，我就在本子上写了“-18元”“+100元”“-79元”“-100元”就用这几个数字100和100相抵，这样剩下的就只有18和79了，好么18+79就等于97元。 最后，我一看妈妈的答案，只见妈妈也写了97元，我高兴的告诉妈妈。不过，我和妈妈答案的对错就要看第二天了。 【作者:沈子凯】
二。从四则混合运算开始 第一天我们学习的是用方程解应用题。虹曾经说过小慈的数学不好，但我知道初中最基础的知识之一就是解方程，于是，我从最基础的解方程开始，然后，从最简单的应用题入手来学习如何设方程。小慈对于稍微复杂一点的解方程就出现问题，我很耐心地讲解，小慈的接受能力还是不错的，凡是讲解过的题目，你再去问他的时候，他基本上都能描述出来。第一课结束后，我给小慈出了几道设方程的计算题，第二天来上课，我问小慈作业都做完了吗？有没有不会的。小慈说做完了，并拿给我看。 接过小慈的作业，我仔细看了看，基本上都做对了，我表扬了他。然后，我们开始新的题型学习。 小慈和雨遥一起学习路程问题，渐渐地在学习过程中
做题的方法 今天上午第一节上数学课。老师让我们拿出数学课本，开始讲应用题。老师讲着讲着，我突然发现老师每讲一道题，首先就会问这道题的问 题是什么，或者这道题问的是什么，然后让我们找出数量关系的公式。按照老师这种方法去做，平时觉得很难的应用题，就变得特别简单。 由此，我悟出了做应用题的方法：做题的时候要先从问题入手，找出数量关系，代入数字计算，这样做题就很简单了。
《小学数学教师》1989年第3期刊登了上海虹口区教育学院管南雄等同志写的一篇实验报告，题为《分数应用题教学研究》。这篇报告写得好，值得大家认真读一读，思考一下。 这篇报告以实验的结果说明，在小学教学分数应用题时采用目前流行的“分类型、给结语、给解题模式”的教法所产生的弊端和给学生造成的损害。这种损害在小学阶段虽然不十分明显，但是已经看到一些，到了中学就更清楚地显示出来。因而问题也就更为严重。这说明采用目前流行的教法，在小学没有真正给中学学习打好数学基础，相反地给进一步学习造成了障碍。学生没有掌握数学基础知识，靠死记硬套公式，是无法进一步学好数学的。这一点很值得我们深思，并加以改进。 这篇报告
今天我们数学小测试，拿上卷的第一反应就是抓紧时间赶紧做卷，所以为了快速做卷，做的我的脖子都僵了。交卷以后，我和田苗苗讨论题，才发现自己错了几道应用题，太催了！我得赶紧想办法把这个这个叫做“马虎”的兄弟甩掉啊，总让他跟着我也不是个事儿，先不说了，我得赶紧去骗他帮我买东西，顺便甩了他，哈哈!
汉语不仅仅是交流、表达的工具，更应该是与伟大先人沟通，塑造历史视野，培养人文情怀的媒介。大语文的学习立足于培养、熏陶美好的情感、情操，塑造完美的个性品质，帮助学生形成良好的思维方式，发展可支持终身学习的能力。学习大语文的目标：让孩子“爱上语文，做有修养的人”，拥有“渊博——自信一生”。沪江大语文教什么，对孩子的学习与成长有何作用？1.沪江大语文囊括3-6年级4个年级的语文知识点。2.划分15个阶段，循序渐进，梯度上升。3.学习沪江大语文主要提升3大综合能力：古文鉴赏、阅读理解、作文创作。沪江大语文的教学逻辑是什么？沪江大语文创新教学方法从历史背景开始，历史背景就像打开知识宝库大门的一把钥匙。为何沪江大语文的老师会有这样的教学安排呢？1. 只有了解当时的历史情况，才能与作者产生共鸣，更容易体会文章中所阐述的内容和道理。2. 了解过去的社会体制、风俗习惯、做事方法，才能理解那个时代人们的思想方式和行为习惯，从而更好的分析过去，学习古文。3. 研究不同时期的传统文化，让传统文化得以继续传承下去，这也是学习大语文的重中之重。除了主体课程之外，为了帮助孩子更好地学习，掌握大语文知识，为大家准备了班级超级服务。本课程由沪江集团旗下中小幼品牌——佳课教育提供。当前位置： >>
综合运用方程解决小学数学应用题
综合运用方程解决小学数学应用题教学目标 1、会解各种方程及方程组，熟练掌握各种解方程的解法 2、根据题意寻找等量关系的方法来构建方程及方程组 3、合理规划等量关系，设未知数、列方程（组） 。 例题精讲 【例 1】用边长相同的正六边形白色皮块、 正五边形黑色皮块总计 32 块， 缝制成一个足球， 如图所示，每个黑色皮块邻接的都是白色皮块；每个白色皮块相间地与 3 个黑色 皮块及 3 个白色皮块相邻接．问：这个足球上共有多少块白色皮块？【解析】设这个足球上共有 x 块白色皮块，则共有 3x 条边是黑白皮块共有的．另一方面， （32 ? x） 5 32 ? x） 黑色皮块有 块，共有 （ 条边是黑白皮块共有的（如图） ．由于在这个 5 32 ? x） 足球上黑白皮块共有的边是个定值，列得方程： 3 x ? （ ，解得 x ? 20 ．即这 个足球上共有 20 块白色皮块． 【例 2】某八位数形如 2abcdefg ，它与 3 的乘积形如 abcdefg 4 ，则七位数 abcdefg 应是． 【解析】设 x ? abcdefg ，则 ( ? x) ? 3 ? 10 x ? 4 ， 7 x ?
， x ? 8571428 ，即 七位数应是 8571428 【巩固】 有一个六位数 1abcde 乘以 3 后变成 abcde1 ，求这个六位数．（ 100000 ? x） ? 3 ? 10 x ? 1 ，解得 x ? 42857 ， 【解析】设 x ? abcde ，则有六位数 1x 和 x1 ，有 所以原六位数是 142857． 【例 3】有三个连续的整数，已知最小的数加上中间的数的两倍再加上最大的数的三倍的 和是 68，求这三个连续整数. 【解析】设 最 小 的 那 个 数 为 x ， 那 么 中 间 的 数 和 最 大 的 数 分 别 为 x ? 1 和 x ? 2 ． 则 x ? 2( x ? 1) ? 3( x ? 2) ? 68 ， x ? 10 ．所以这三个连续整数依次为 10、11、12． 【例 4】小军原有故事书的本数是小力的 3 倍，小军又买来 7 本书，小力买来 6 本书后， 小军所有的书是小力的 2 倍，两人原来各有多少本书？ 【解析】设小力原有故事书 x 本，则小军原有故事书 3x 本。小力原有故事书 5 本，小军原 有故事书 15 本． 【巩固】 水果店运来的西瓜的个数是白兰瓜的个数的 2 倍．如果每天卖白兰瓜 40 个， 西瓜 50 个，若干天后卖完白兰瓜时，西瓜还剩 360 个．水果店运来的西瓜和白兰 瓜共多少个？ 【解析】设白兰瓜进了 x 个，则西瓜进了 2x 个，有 ? ?4 y ? 3x ? 15?(1) ?? x ? 4 ?? y ? 3? ? xy ? 3 ，得 ? ，所以西瓜和白兰瓜共 ? （个） ． ? ?5 x ? 4 y ? 15?(2) ? ? xy ? ? x ? 4 ?? y ? 5? ? 5 法一：(涉及到分数，慎重选讲) 注意到两种瓜卖的天数相等这一等量关系， 设白兰瓜进了 2 x ? 30 个， 则西瓜进了 x ? 15 个， 列方程得： x ? 15 ，解得 y ? 15 ， 19 ? 12 ? 15 ? 15 ? 11 ? 20 ? 673 ， 所以西瓜和白兰瓜共 480 ? 960 ? 1440 个． 法二：设卖了 27 天，根据题意列方程得 18 ，解得 12 ，所以西瓜和白兰瓜共有 8 【例 5】一群学生进行篮球投篮测验， 每人投 10 次， 按每人进球数统计的部分情况如下表：进球数 人数0 71 52 4?? ??8 39 410 1还知道至少投进 3 个球的人平均投进 6 个球，投进不到 8 个球的人平均投进 3 个球．问： 共有多少人参加测验？【解析】设有 x 人参加测验． 由上表看出，至少投进 3 个球的有 ? x ? 7 ? 5 ? 4 ? 人，投进不到 8 个球的有 ? x ? 3 ? 4 ? 1? 人． 投中的总球数，既等于进球数不到 3 个的人的进球数加上至少投进 3 个球的人的进球数， 为 0 ? 7 ? 1? 5 ? 2 ? 4 ? 6 ? ? x ? 7 ? 5 ? 4? ? 5 ? 8 ? 6 ? ? x ? 16 ? ? 6 x ? 83 ； 也等于进球数不到 8 个的人的进球数加上至少投进 8 个球的人的进球数， 为 3 ? ? x ? 3 ? 4 ? 1? ? 8 ? 3 ? 9 ? 4 ? 10 ?1 ? 3 ? ? x ? 8? ? 24 ? 36 ? 10 ? 3x ? 46 ； 由此可得方程： 6 x ? 83 ? 3 x ? 46 ，解得 x ? 43 ． 故共有 43 人参加测验． 【例 6】甲、乙、丙三人同乘汽车到外地旅行，三人所带行李的重量都超过了可免费携带 行李的重量，需另付行李费，三人共付 4 元，而三人行李共重 150 千克．如果一 个人带 150 千克的行李，除免费部分外，应另付行李费 8 元．求每人可免费携带 的行李重量． 【解析】设每人可免费携带 x 千克行李．一方面，三人可免费携带 3 x 千克行李，三人携带 150 千克行李超重 ?150 ? 3x ? 千克，超重行李共付 4 元行李费；另一方面，一人携 带 150 千克行李超重 ?150 ? x ? 千克， 超重行李需付行李费 8 元． 根据超重行李每千 克应付的钱数相同，可列方程： 150 ? 3x 150 ? x ， x ? 30 ．所以每人可免费携带的行李重量为 30 千克． ? 4 8 【例 7】某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖，儿童票的价格为 30 元，成人票的 价格为 40 元，如果是团体还可以买平均 32 元一位的团体票，一个由 8 个家庭组 成的旅游团(每个家庭由两位大人，或两个大人、一个小孩组成 )来景点旅游，如 果他们买团体票那么可以比他们各自买票少花 120 元，问这个旅游团一共有多少 人？ 【解析】设八个家庭中有 x 个是三口之家， y 是个两口之家，则 20 ? (21 ? x) ? 24 ? (21 ? y) ? 924 ? 20 x ? 24 y ， 所 以 旅 游 团 一 共 有 16 x ? 18 y ? 924 ? 20 x ? 24 y 人。 【例 8】有一队伍以 1.4 米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以 2.6 米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了 10 分 50 秒。问：队伍有多 长？ 【解析】这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所行 路程差为队伍长； 通讯员从排头返回排尾是相遇问题， 他与排尾所行路程和为队伍 长。如果设通讯员从末尾到排头用了 x 秒，那么通讯员从排头返回排尾用了 ? 650 ? x ? 秒，于是不难列方程。 设通讯员从末尾赶到排头用了 x 秒，依题意得， 2.6x ? 1.4x ? 2.6 ? 650 ? x ? ? 1.4 ? 650 ? x ? ，解 得 x ? 500 推知队伍长为 ? 2.6 ? 1.4? ? 500 ? 600 （米） 。 【巩固】 解放军某部快艇追及敌舰，追到 A 岛时敌舰已逃离该岛 12 分钟，敌舰每分钟行 1000 米，我军快艇每分钟行 1360 米。如果距敌舰 600 米处可以开炮射击，解放军 快艇从 A 岛出发经过多少分钟可以开炮射击敌舰？ 【解析】根据题意可以知道题中的等量关系是：解放军所行路程-敌舰所行路程= 600 米 设解放军快艇从 A 岛出发经过 x 分钟可以开炮射击敌舰，由题意得： 1360 x ? (1000 ? 12 ? 1000 x) ? 600 1360 x ? 1000 x ? 600 ? 12000 x ? 35 所以，解放军快艇从 A 岛出发经过 35 分钟可以开炮射击敌舰。 【巩固】 铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度 为 3.6 千米/时， 骑车人速度为 10.8 千米/时， 这时有一列火车从他们背后开过来， 火车通过行人用 22 秒，通过骑车人用 26 秒，这列火车的车身总长是多少？ 【解析】本题属于追及问题，行人的速度为 3.6 千米/时= 1 米/秒，骑车人的速度为 10.8 千米/时= 3 米/秒。火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾 与骑车人的路程差。如果设火车的速度为 x 米/秒，那么火车的车身长度可表示为 22 ? x ? 1? 或 26 ? x ? 3? ，由此不难列出方程。 设这列火车的速度是 x 米/秒，依题意列方程，得 22 ? x ? 1? ? 26 ? x ? 3? ，解得 x ? 14 。 所以火车的车身长为 ?14 ? 1? ? 22 ? 286 （米） 。 【例 9】有甲、乙、丙三个人，当甲的年龄是乙的 2 倍时；丙是 22 岁，当乙的年龄是丙的 2 倍，甲是 31 岁；当甲 60 岁时，丙是多少岁? 【解析】设丙 22 岁时，乙的年龄是 x 岁，当时甲的年龄就是 2 x 岁，甲乙的年龄差为 x 岁． 那么甲是 3l 岁时，乙是 (31 ? x) 岁，丙是 22 ? (31 ? 2 x) ? 53 ? 2 x 岁， 列方程得， 31 ? x ? 2(53 ? 2 x) ，解得 x ? 25 ， 所以乙 25 岁时，甲 50 岁，丙 22 岁．那么甲 60 岁时，丙 32 岁． 【巩固】 甲、乙两人在 10 年前的年龄比为 2：3，现在他俩的年龄比为 3：4，那么 10 年后 他俩的年龄比为多少？ 【解析】设 10 年前甲的年龄为 2 x 岁，则当时乙的年龄为 3 x 岁，那根据现在两人的年龄比 可得方程： ? 2 x ? 10? : ? 3x ? 10? ? 3: 4 ，等式两边前后项交叉相乘可得8 x ? 40 ? 9 x ? 30 ， 解得 x ? 10 ， 所以 10 年前甲的年龄为 20 岁， 乙的年龄为 30 岁， 10 年后两人分别是 40 岁、50 岁，10 年后两人的年龄比为 4：5． 【巩固】 已知哥哥 5 年后的年龄与弟弟 3 年前的年龄和恰好是 29 岁，而弟弟现在的年龄是 两人年龄差的 4 倍，那么试问哥哥今年多少岁？ 【解析】在这道题中，哥哥和弟弟的年龄是多少都不知道，未知的量不止一个，那么如何设 未知数成了问题的关键．按理说弟弟的年龄小，如果设弟弟的年龄未知数，那哥哥 的年龄如何表示， 这就要涉及到题目中的一个条件――弟弟现在的年龄是两人年龄 差的 4 倍．通过这个条件可以发现，原来年龄差是他们两人年龄的最基本的组成元 素． 设他们两人的年龄差是 x 岁， 那么弟弟现在的年龄是 4 x 岁， 而哥哥现在的年龄是 4 x ? x ? 5 x 岁． 根据 “哥哥 A 年后的年龄与弟弟 B 年前的年龄和恰好是 B 岁” 这个条件可以得出方程， 两个人的年龄差是 M 岁，于是弟弟的年龄是 A 岁，哥哥的年龄是 B 岁． 【例 10】 金银合金的重量是 250 克，放在水中称重时，重量减轻了 16 克，已知金在水中称 1 1 重量减轻 ，银在水中称重量减轻 ，求这块合金中金、银各含多少克？ 19 10 【解析】设 250 克合金中，金有 x 克，则银有 (250 ? x) 克；依题意：1 1 x ? (250 ? x) ? 16 ，解得 x ? 190 ， 19 10 所以这块合金中金有 190 克，银有 250 ? 190 ? 60 克． 【巩固】 有甲、乙两块含铜率不同的合金，甲块重 6 千克，乙块重 4 千克，现在从甲、乙 两块合金上各切下重量相等的一部分，将甲块上切下的部分与乙块剩余的部分一 起熔炼，再将乙块上切下的部分与甲块剩余的部分一起熔炼，得到的两块新合金 的含铜率相同，则切下的重量为________千克． 【解析】设切下的部分重量为 x 千克，则甲切下的 x 千克与乙剩下的 (4－x) 千克混合．由于 得到的两块新合金的含铜率相同， 所以若将这两块新合金混合， 得到的大块合金的 含铜率应与原来的两块新合金的含铜率相同， 而这一大块合金是由 6 千克甲块合金 与 4 千克乙块合金混合而成的，所以 9 : 7 千克甲块合金与 7 : 5 千克乙块合金混合后 的含铜率与 x 千克甲块合金与 y 千克乙块合金混合后的含铜率相同，而甲、乙两块 合金含铜率不同，所以这两种混合中甲、乙两种合金的重量比相同，即 ?? x ? 1? : y ? 9 : 7 ? x ? 28 2 ? ，所以： ? ，解得 28 ? 21 ? 49 ．即切下的重量为 千克． ? 7 ? y ? 21 ? ? x : ? y ? 1? ? 7 : 5 【例 11】 从前有一位王子，有一天，他把几位妹妹召集起来，出了一道数学题考她们．题 目是：我有金、银两个首饰箱，箱内分别装有若干件首饰，如果把金箱中(7 x ? 70) : (3x ? 70) ? 7 : 4 的首饰送给第一个算对这个题目的人，把银箱中 x ? 30 的 首饰送给第二个算对这个题目的人，然后我再从金箱中拿出 7 ? 30 ? 210 件送给第 三个算对这个题目的，再从银箱中拿出 3 ? 30 ? 90 件送给第四个算对这个题目的 人． 最后我的金箱中剩下的首饰比分掉的多 2 件， 银箱中剩下的首饰与分掉的比是 x ．王子的金箱中原来有首饰________件，银箱中原来有首饰________件． ?x 7 ?y ? 3 ? ? x ? 210 90 【解析】设原来金箱中有首饰 y 件，银箱中有首饰 ? ? x ? 70 ? 7 件，则： ? y ? 90 ， ，解 ? ? ? y ? 70 4得 3 ，7 ? 3 ? 4 ， 故金箱中原来有首饰 7 ? 4 ? 3 件， 银箱中原来有首饰 [3, 4] ? 12 件． 【例 12】 运来三车苹果，甲车比乙车多 4 箱，乙车比丙车多 4 箱，甲车比乙车每箱少 3 个 苹果，乙车比丙车每箱少 5 个苹果，甲车比乙车总共多 3 个苹果，乙车比丙车总 共多 5 个苹果，这三车苹果共有多少个？ 【解析】设乙车运来 x 箱，每箱装 y 个苹果，根据题意列表如下： 车别 箱数 每箱苹果数 甲 乙x ? 7 ? 7 ? 2( x ? 7) ? 735丙x ? 14 ? 2 x ? 21 35 ? 7 ? 7 ? 49xx ? 35根据上表可列出如下方程： ? ?4 y ? 3x ? 15?(1) ?? x ? 4 ?? y ? 3? ? xy ? 3 ，化简为 ? ? ?5 x ? 4 y ? 15?(2) ? ? xy ? ? x ? 4 ?? y ? 5? ? 5 ⑴ ? ⑵，得： 2 x ? 30 ，于是 x ? 15 ． 将 x ? 15 代入⑴或⑵，可得： y ? 15 ． 所以甲车运 19 箱，每箱 12 个；乙车运 15 箱，每箱 15 个；丙车运 11 箱，每箱 20 个．三车 苹果的总数是： 19 ? 12 ? 15 ? 15 ? 11 ? 20 ? 673 (个)． 【例 13】 有大、中、小三种包装的筷子 27 盒，它们分别装有 18 双、 12 双、 8 双筷子，一 共装有 330 双筷子，其中小盒数是中盒数的 2 倍．问：三种盒各有多少盒？ 【解析】设中盒数为 x ，大盒数为 y ，那么小盒数为 2 x ，根据题目条件有两个等量关系：?2 x ? x ? y ? 27 ? ?18 y ? 12 x ? 8 ? 2 x ? 330?x ? 6 该方程组解得 ? ，所以大盒有 9 个，中盒有 6 个，小盒有 12 个. ?y ? 9 【巩固】 用 62 根同样长的木条钉制出正三角形、正方形和正五边形总共有 15 个.其中 正方形的个数是三角形与五边形个数和的一半，三角形、正方形和五边形各有多 少个？ ?x? y? 【解析】设三角形的个数为 x ，五边形的个数为 y ，那么正方形的个数为 ? ? ，由此可 ? 2 ? 列得方程组： ? ?x? y? ? x ? ? 2 ? ? y ? 15 ? ? ? ? ?3x ? 4 ? x ? y ? ? 5 y ? 62 ? ? ? ? 2 ? ??x ? 4 ?x? y? 该方程组解得：? ， 所以 ? 因此三角形、 正方形、 五边形分别有 4 、 ??5， y ? 6 ? 2 ? ? 5 、 6 个. 【例 14】 甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个 A 配件与一个 B 配件组成．甲每天生 产 300 个 A 配件，或生产 150 个 B 配件；乙每天生产 120 个 A 配件，或生产 48 个 B 配件．为了在 10 天内生产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能 生产出多少套产品？ （x ? 8） 【解析】假设甲、乙分别有 天和 y 天在生产 x ? 8 ? 6 配件，则他们生产 x ? 8 ? 2 配件 2 x ? 16 ）天，那么 10 天内共生产了 所用的时间分别为 x ? 8 ? 6 ? 2 天和 x ? 6 ? （ x ? 26 2 共 0 ) 配 件 ( 3x ? 0 y0 个1 ， 生 产 了 B 配 件 1 ? 5 0 x? ( 1? 0 ?y ) ?4 8 ? x 个． ( 1?y 0 ? ) 1 9 8 0 300 x ? 120 y ? 1980 ? 150 x ? 48 y ，得到 要将它们配成套， A 配件与 B 配件的数量应相等，即 330 ? 28 y 75 x ? 28 y ? 330 ，则 x ? ． 75 330 ? 28 y 此时生产的产品的套数为 300 x ? 120 y ? 300 ? ? 120 y ? 1320 ? 8 y ，要使生产的产品 75 最多，就要使得 y 最大，而 y 最大为 10，所以最多能生产出 1320 ? 8 ? 10 ? 1400 套产品． 【巩固】 某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣 16 件或裤子 20 件；乙 车间每天能生产上衣 18 件或裤子 24 件．现在要上衣和裤子配套，两车间合作 21 天，最多能生产多少套衣服？ 【解析】假设甲、乙两个车间用于生产上衣的时间分别为 x 天和 y 天，则他们用于生产裤子 的天数分别为 (21 ? x) 天和 (21 ? y ) 天，那么总共生产了上衣 (16 x ? 18 y ) 件，生产了 裤子 20 ? (21 ? x) ? 24 ? (21 ? y) ? 924 ? 20 x ? 24 y 件． 根 据 题 意 ， 裤 子 和 上 衣 的 件 数 相 等 ， 所 以 16 x ? 18 y ? 924 ? 20 x ? 24 y ， 即 2 x ， 即 2 x ? 6 ? 3.5 x 套衣服．要使生产的衣服最多，就要 7? (2 x ? 1) ? 1 ? x2 ? 1x .．那么共生产了 5 使得 1.5 x ? 6 最小，则 x ? 4 应最大，而 x 最大为 21，此时 2 ? 4 ? 1.5 ? 4 ? 14 ．故最多可以生 产出 14 ? 1.6 ? 12.4 套衣服． 【例 15】 米老鼠从 A 到 B ，唐老鸭从 B 到 A ，米老鼠与唐老鸭行走速度之比是 6∶5 ，如下 图所示．26 A C 4 M D B1504离 M 点 26 千米的 C 点有一个魔鬼， 谁从它处经过就要减速 25%， 离M M 是 A 、B 的中点， 点 4 千米的 D 点有一个仙人，谁从它处经过就能加速 25%．现在米老鼠与唐老鸭同时出发， 同时到达，那么 A 与 B 之间的距离是千米． 【解析】设 AM ? MB ? x ，米老鼠的行走速度为 6 k ，则唐老鸭的行走速度为 5k ( k ? 0 )， 如下图，则有米老鼠从 A 到 B 需要时间x-26 A C 30 x-4 M D Bx ? 26 30 x?4 ? ? 6k 6k ? (1 ? 25%) 6k ? (1 ? 25%) ? (1 ? 25%)?1 ? 16 ? ? x ? 14 ? ( x ? 4) ? ， 6k ? 15 ?唐老鸭从 B 到 A 需要时间 x?4 30 x ? 26 ? ? 5k 5k ? (1 ? 25%) 5k ? (1 ? 25%) ? (1 ? 25%)1 ? 16 ? ? x ? 20 ? ( x ? 26) ? ． 5k ? 15 ? 因为米老鼠与唐老鸭用的时间相同，所以列方程 1 ? 16 16 ? 1 ? ? ? x ? 14 ? ( x ? 4) ? ? ? x ? 20 ? ( x ? 26) ? ， 6k ? 15 5 k 15 ? ? ? 解得 x ? 46 ． 所以， A 、 B 两地相距 92 千米． ?1 1 的溶液，从乙容器取出 的溶 4 5 液，结果两个容器共剩下 2000 克.问：两个容器原来各有多少溶液？ 【解析】设甲容器有溶液 x 克，乙容器有溶液 y 克，根据题目条件有两条等量关系,一是两 容器溶液加起来等于 2600 克，二是取溶液后两容器加起来有 2000 克.由此可列得 方程组: ? x ? y ? 2600 ? ?? 1 ? ? 1? ??1 ? 4 ? x ? ?1 ? 5 ? y ? 2000 ? ? ? ?? ? x ? 1600 方程组最终解得 ? ，所以甲容器中有溶液 1600 克，乙容器中有溶液 1000 ? y ? 1000【巩固】 甲、乙两个容器共有溶液 2600 克,从甲容器取出 克． 【例 16】 甲、乙两种商品的原来价格比是 7 : 3 ．如果它们的价格各自上涨 70 元，它们的 价格比变为 7 : 4 ．求甲乙两种商品的原价各是多少元？ 【解析】方法 1 ： 设甲乙两种商品原来价格分别为 7 x 元，3 x 元， 根据涨价后价格比为 7 : 4 ， 列方程得 (7 x ? 70) : (3x ? 70) ? 7 : 4 ，解得 x ? 30 ，所以原来两种商品的原价各是 7 ? 30 ? 210 元， 3 ? 30 ? 90 元 ?x 7 ?y ? 3 ? ? x ? 210 方法 2 ：设甲乙两种商品原价各是 x 元, y 元，依题意列方程组得 ? ? x ? 70 ? 7 解得 ? y ? 90 ? ? ? y ? 70 4 甲乙两种商品原价各是 210 元, 90 元 方法 3 ：由于原来两种商品相差 7 ? 3 ? 4 份，涨价后相差 7 ? 4 ? 3 份，由于涨价钱数相同， x x?4 所以应涨 [3, 4] ? 12 份，所以原来两种商品的价格比 x ，涨价后价格比 ? 1 ? 10 ? ?1 ， 8 12 所以价格涨了 x ? 232 份，恰是 A 元，所以 B 份是 50 元，所以原来两种商品的价格各是为 A 元， 3 元 【巩固】 兄弟两人每月收入比 B ，支出钱数比 4 ，他们每月都节余 10 元，求兄弟两人月收 入各多少？ 【解析】方法 360 :设兄弟两人每月收入分别为 290 元，A 元， 根据支出钱数比 B 列方程得 A ， 解得 x ，所以兄弟两人收入各是 B 元， (50 ? x) 元 方法 A ： 9 x ? 4(50 ? x) ? 200 ? 5x ：设兄弟两人月收入各是 3x ? 10(50 ? x) ? 500 ? 7 x 元，?200? 5x ? 360 元根据两个比例列方程得 30 ? x ? 32 解得 x 所以兄弟两人收入各是 A 元， ? ?500? 7x ? 2902700 元 方法 B ：由于兄弟结余相同，所以兄弟收入差和支出差相同，而收入差为 A 份，支出差为 B 份，所以收入差应为和支出差应为 A 份，所以兄弟收入比为 B ，所以结余应为 20 ? 18 ? 15 ? 13 ? 2 份 对 应 360 元 ， 所 以 1 份 就 是 180 元 ， 所 以 兄 弟 两 人 月 收 入 各 是 1 8 0? 2 0 ? 360 0 180 ? 15 ? 2700 元 元，【例 17】 求方程 3x＋5y＝31 的整数解 【解析】方法一：利用欧拉分离法，由原方程，得 x＝ 要使方程有整数解1? y 必须为整数． 3 1? y 取 y＝2，得 x＝10－2y＋ ＝10－4＋1＝7，故 x＝7，y＝2 3 1? y 当 y＝5，得 x＝10－2y＋ ＝10－10＋2＝2，故 x＝2，y＝5 3 1? y 当 y＝8，得 x＝10－2y＋ ＝10－16＋3 无解 3 ?x ? 7 ?x ? 2 ,? 所以方程的解为： ? ?y ? 2 ?y ? 531 ? 5 y ，即 3x＝10－2y＋1? y ， 3方法二：利用余数的性质 3x 是 3 的倍数，和 31 除以 3 余 1，所以 5y 除以 3 余 1（2y 除以 3 余 1） ，根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为： 取 y＝1，2y＝2，2÷3＝0??2（舍） y＝2，2y＝4，4÷3＝1??1（符合题意） y＝3，2y＝6，6÷3＝2（舍） y＝4，2y＝8，8÷3＝2??2（舍） y＝5，2y＝10，10÷3＝3??1（符合题意） y＝6，2y＝12，12÷3＝4（舍） 当 y＞6 时，结果超过 31，不符合题意。 ?x ? 7 ?x ? 2 ,? 所以方程的解为： ? ?y ? 2 ?y ? 5?1800a ? 1200b ? 800c ? 16000 【例 18】 解方程 ? （其中 a、b、c 均为正整数） ?a ? b ? c ? 15 ?9a ? 6b ? 4c ? 80 【解析】根据等式的性质将第一个方程整理得 ? ，根据消元的思想将第二个 ?a ? b ? c ? 15( ? b ? c )? 8 0 ? 4 ? ， 15 式 子 扩 大 4 倍 相 减 后 为 ： ( 9a ? 6b ? 4c )? 4 a 整理后得 5a ? 2b ? 20 ，根据等式性质， 2b 为偶数，20 为偶数，所以 5a 为偶数，所以 a 为偶 5 ? 2 ? 2b ? 20 ， b ?5， 5 ? 4 ? 2b ? 20 ， b ?5， 数， 当 a ? 2 时， 所以 c ? 8 ， 当 a ? 4 时， ?a ? 2 ? 所以无解。所以方程解为 ?b ? 5 ?c ? 8 ?1 ? ?5 x ? 3 y ? z ? 100 【例 19】 解不定方程 ? 3 ? ? x ? y ? z ? 100(其中 x、y、z 均为正整数)?15 x ? 9 y ? z ? 300 【解析】根据等式的性质将第一个方程整理得 ? ，根据消元思想与第二个 ? x ? y ? z ? 100式子相减得 14 x ? 8 y ? 200 ，根据等式的性质两边同时除以 2 得：7 x ? 4 y ? 100 ，根 据等式性质 4 y 为 4 的倍数，100 为 4 的倍数，所以 7 y 为 4 的倍数，所以 y 为 4 的 ? x ? 4 ? x ? 8 ? x ? 12 ? ? ? 倍数试值如下 ? y ? 18, ? y ? 11, ? y ? 4 ? z ? 78 ? z ? 81 ? z ? 84 ? ? ? 【例 20】 某公交车起点站已停放 10 辆公交车，第一辆公交车开出后，每隔 8 分钟就有一 辆公交车开出，在第一辆公交车开出 4 分钟后，有一辆公交车进站，以后每隔 12分钟就有一辆公交车进站，回站的公交车在原有的公交车依次开出之后又依次每 隔 8 分钟开出一辆，问：第一辆公交车开出后，经过多少时间，车站第一次不能 正点发车？ 【解析】假设第一辆公交车开出 x 分钟后车站无车可发，可列方程： x x?4 ? 1 ? 10 ? ? 1 ，解得 x ? 232 ． 8 12 第一辆公交车开出后第 232 分钟可以发一趟车， 到第 240 分钟时就无车可发了， 所以答案是 经过 240 分钟后车站第一次不能正点发车． 【巩固】 某工厂接到任务要用甲、乙两种原料生产 A 、 B 两种产品共 50 件，已知每生产一 件 A 产品需甲原料 9 千克和乙原料 3 千克； 每生产一件 B 产品需甲原料 4 千克和乙 原料 10 千克．现在工厂里只有甲原料 360 千克和乙原料 290 千克，那么该工厂利 用这些原料，应该生产 A 、 B 两种产品各多少件，才能完成任务？请求出所有的 生产方案． 【解析】设生产 A 产品 x 件，则生产 B 产品 (50 ? x) 件． 共需要甲原料 9 x ? 4(50 ? x) ? 200 ? 5x 千克，需要乙原料 3x ? 10(50 ? x) ? 500 ? 7 x 千克．?200 ? 5 x ? 360 为避免原料不够用，则 ? ，解得 30 ? x ? 32 ． ?500 ? 7 x ? 290由于 x 是整数，所以共有 3 种方案：①生产 A 产品 30 件， B 产品 20 件；②生产 A 产品 31 件， B 产品 19 件；③生产 A 产品 32 件， B 产品 18 件． 【例 21】 如图，图中 5 、 8 和 10 分别代表包含该数字的三个三角形的面积．试问：包含 X 这个字母的四边形面积是多少？X 5 10 8 5a X b 10 8【解析】如图，设虚线把四边形 X 分成面积为 a 、 b 的两个三角形.利用同高的两个三角形 5 5 ? 10 面积之比等于相应底边之比，可得： ? （ 可 化 简 为 2a ? b ? 8 ） 和 a 8?a ?b 8 8 ? 10 （可化简为 5b ? 4a ? 20 ） ，由这两条方程构成方程组： ? b 5 ? a? b ? 2a ? b ? 8 ? a ? 10 ，方程组可解得： ? ， ? ?5b ? 4a ? 20 ?b ? 12 所以四边形 X 的面积为 10 ? 12 ? 22 . S AC B A C B 1 【巩固】 三角形 ABC 中， 1 ? 1 ? 1 ? ，问： ?DEF ? ? A1 B B1C C1 A 2 S ?ABCA B1C1A B1F C1 D B E A1F D E A1CBCC1 B 1 ? ，所 C1 A 2【解析】根据题意，直接建立 ?DEF 与 ?ABC 的联系是解答本题的关键，因为以连接 AD 后， 既可以使 ?BDC1 与 ?ABC 建立联系， 又可使四边形 AFDC1 与 ?ABC设 S?ABC也建立联系. ? 1 ， S?BDC1 ? a ， S?ADB1 ? x ，则： S?ADC1 ? 2a ， S?CDB1 ? 2x .A1C B1 A C1 B 1 ? ? ? ，可列方程： A1 B B1C C1 A 2根据题意，1 ? ? 3a ? x ? x? ? ? ? ? 3 ，方程解得 ? ? ? 2a ? 3 x ? 2 ?a ? ? ? 3 ? ?4 21 ， 1 212 ， 同理四边形 CB1 FA1 的面积和四边形 BA1 EC1 的面 7 2 1 积都是 ，所以剩下的三角形 DEF 的面积为 . 7 7 【例 22】 甲、乙、丙三个人玩三张牌，这三张牌分别写着不同的自然数，洗牌后发给每人 一张， 按每人所拿的自然数得分， 重复玩了 3 次后， 甲共得 19 分， 乙和丙各得 13 分， 那么这三张牌上写的数是哪三个数？ 【解析】三张牌上的三个数之和是 ?19 ? 13 ? 13? ? 3 ? 15 ．所以四边形 AC1 DB1 的面积等于 x ? 2a ? 因为 3 不能整除 13 和 19 ，所以甲、乙、丙谁也不可能三次拿到同一张牌， ，又因为 谁也没有拿到三张牌各 1 次，所以三人都是拿了某张牌两次、另一张牌一次．设三 张牌从大到小写的数依次为 a 、 b 、 c .由乙、丙各得 13 分，推知乙、丙的三张牌 是c 、 c、 a和 x、 ? 24 ? x ? 、x .则甲的三张牌是 8x ? ? 24 ? x ? ? 2 ? ? 24 ? x ? ? x 、x ? 6 、x. y 由 x ? y ? 24 得 8 x ? y ? 2 y ? x .? x ? y ? 24???(1) 由? 得 y ? 3x ，从而 x ? 3 x ? 24 x ? 6 . ?8 x ? y ? 2 y ? x ?(2) 将 y ? 18 代入 ?1? 、 ? 3? 得 b ? 5 ， c ? 3 .所以，三张牌从大到小写的数依次是 7 ， 5 ， 3 . 【例 23】 三张卡片上分另标有 p 、 q 、 r 数码(整数)且 0 ? p ? q ? r ，游戏时将三张卡片随 意分发给 A 、 B 、 C 三个人，每人各一张，根据每个人得到卡片上的数码数分别 给他们记分， 如此重复游戏若干轮， 结果 A 、B 、 三人得分总数分别为 20、 10、 9． 已 知 B 在最后一轮的得分是 r ， 那么⑴在第一轮得分是 q ； （2） p 、q 、r 分别是、 、 ． 【解析】三人总分为 20 ? 10 ? 9 ? 39 ? 1 ? 39 ? 3 ? 13 ． 如果游戏进行了 39 或 13 轮，则 p ? q ? r ? 1 或 3，与 0 ? p ? q ? r 矛盾；如果游戏只进行了 1 轮，则 r ? 20 ，被 A 得到，与“ B 在最后一轮的得分是 r ”矛盾．所以游戏进行了 3 轮， 且 p ? q ? r ? 13 ． ⑴因为 B 共得 10 分，且最后一次得 r 分，所以前两次都得 p 分，否则三次至少得 13 分．因 为 C 三次总分比 B 少，所以 C 没得过 r 分，前两次都得 q 分，即第一轮得 q 分的是 C ． ⑵假设 C 三次都得 q ，由 B 得 p ? p ? r ? 10 和 A 得 r ? r ? p ? 20 ，解得 r ? 10 ， p ? 0 ，与 p ? 0 矛盾，所以 C 前两次得 q ，最后一次得 p ．? p ? 2q ? 9, ? 由 ?2 p ? r ? 10, 解得 p ? 1 ， q ? 4 ， r ? 8 ． ?2r ? q ? 20, ? 【例 24】 购买 3 斤苹果，2 斤桔子需要 6.90 元；购买 8 斤苹果，9 斤桔子需要 22.80 元，那 么苹果、桔子各买 1 斤需要元. 【解析】假设购买 1 斤苹果、桔子分别需要 x 元、 y 元，则：?3x ? 2 y ? 6.9 ， ? ?8 x ? 9 y ? 22.8两式相加得 11x ? 11y ? 29.7 ，即 x ? y ? 2.7 。 所以各买 1 斤需要 2.7 元。 点评：从上面的过程可以看出，本题可以直接采用算术解法：买 3 ? 8 ? 11 斤苹果和 2 ? 9 ? 11 斤苹果，须 6.90 ? 22.80 ? 29.7 元，所以各买 1 斤需要 29.7 ? 11 ? 2.7 元. 【例 25】 有甲、乙、丙三种货物，若购甲 3 件、乙 7 件、丙 1 件，共需 20 元；若购甲 4 件、 乙 10 件、丙 1 件，共需 27 元；则购买甲、乙、丙各 1 件，共需要元。 ?3x ? 7 y ? z ? 20??(1) 【解析】设甲、乙、丙的单价分别为 x ， y ， z ，则 ? ， ?4 x ? 10 y ? z ? 27 ? ? (2) 由 (1) ? 3 ? (2) ? 2 得 x ? y ? z ? 3 ? 20 ? 2 ? 27 ? 6 ，即各买一件需要 6 元。 点评：本题实际上是三元一次方程，但整体代入消元的思想与二元一次方程是相同的。 【例 26】 假设五家共用一井取水，甲用绳 2 根不够，差乙家绳子 1 根；乙用绳 3 根不够，差 丙家绳子 1 根；丙用绳子 4 根不够。差丁家绳子 1 根；丁用绳子 5 根不够，差戊家 绳子 1 根；戊用绳 6 根不够，差甲家绳子 1 根．如果各得所差的绳子 1 根，都能到达 井深．问井深，绳长各是多少？（井深为小于 1000 的整数） 【解析】依次设甲、乙、丙、丁、戊家绳长为 A 、 B 、 C 、 D 、 E ，井深 k ，则可列出方 程组如下： ?2 A ? B ? k ?3B ? C ? k ? ? ?4C ? D ? k ?5 D ? E ? k ? ? ?6 E ? A ? k 这个方程组不是二元一次方程组， 但是解方程组的思想方法与二元一次方程组相同， 依次迭 代 B ? k ? 2 A ， C ? k ? 3B ? 6 A ? 2k ， D ? k ? 4C ? 9k ? 24 A ， E ? k ? 5D ? 120 A ? 44k ， k ，所以 A ? 265 ， 代入最后一个式子， 6 ? ?120 A ? 44k ? ? A ? k ，即 721A ? 265k ? 721 ． 于是， B ? 191 ， C ? 148 ， D ? 129 ， E ? 76 ． 【例 27】 在同一路线上有 4 个人:第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三个人乘助力 车， 第四个人骑自行车， 各种车的速度是固定的， 坐汽车的 12 时追上乘助力车的， 14 时遇到骑自行车的，而与开摩托车的相遇是 16 时．开摩托车的遇到乘助力车的 是 17 时，并在 18 时追上骑自行车的，问骑自行车的几时遇见乘助力车的？ 【解析】 12 时以前的位置关系对于这个问题的解决不起任何作用，所以我们从 12 时开始考 虑． 设汽车、摩托车、助力车、自行车的速度分别为 a 、 b 、 c 、 d ，设在 12 时骑自行车的与坐 汽车的距离为 x ，骑自行车的与开摩托车的之间的距离为 y ．? x ? 2 ? a ? d ??????1? ? ? x ? y ? 4 ? a ? b ??? ? ? 2 ? 有? ? x ? y ? 5 ? b ? c ??? ? ? 3? ? y ? 6 b ? d ???? 4 ? ? ? ? ??1? ? 2 ? ?3? ? 2 ? ? 2? ? ? 4? 得到 3x ? 10 ? c ? d ? ，即 x ?10 ?c ? d ? 3设骑自行车的在 t 时遇见骑助力车的，则 10 1 x ? ? t ? 12? ? ? c ? d ? ，即 t ? 12 ? ，所以 t ? 15 ． 3 3 所以骑自行车的在 15 时 20 分遇见骑助力车的． 【例 28】 河水是流动的，在 Q 点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从 P 到 Q ，然后穿过湖到 R ，共用 3 小时．若他由 R 到 Q 再到 P ，共需 6 小时．如果湖水也是流动 5 的，速度等于河水的速度，那么从 P 到 Q 再到 R 需 小时．问在这样的条件下， 2 从 R 到 Q 再到 P 需几小时？ 【解析】设游泳者的速度为 1 ，水速为 y ， PQ ? a ， QR ? b ，则有：? a ?1 ? y ? b ? 3???1? ? ?a ? b 5 ? ???? 2 ? ? ?1 ? y 2 ? a ? b ? 6??? 3? ? ?1 ? y 且有 1 ? y 、 1 ? y 、 y 均不为 0 ． by 1 1? y ? ，即 b ? ???? ? 4 ? ?1? ? ? 2? 得 2y 1? y 23 1 ? y2 2 ay ? 3 ，即 a ? ??? 5? ?3? ? ?1? 得 1 ? y2 2y 5 1? y ? ? 4 ? 3 y ? ，即 5 y ? 4 ? 3 y ． 由 ? 2 ? 、 ? 4 ? 、 ? 5 ? 得： ? ?1 ? y ? ? a ? b ? 2 2y5 ? 1 ? 15 1 ．由 ? 2 ? 得： a ? b ? ? ?1 ? ? ? ． 2 ? 2? 4 2 a ? b 15 ? 1 ? 15 ? ? ?1 ? ? ? 小时． 1? y 4 ? 2 ? 2 15 即题中所述情况下从 R 到 Q 再到 P 需 小时． 2 课后练习： a) 丁丁和玲玲两人摘苹果，丁丁说： “把我摘的苹果给玲玲 7 个，玲玲摘的苹果的个 数就是我的 2 倍． ”玲玲说： “把我摘的苹果给丁丁 7 个，他的苹果个数就和我的 一样多了． ”问丁丁和玲玲各摘了多少个苹果？ 【巩固】 设丁丁摘了 x 个苹果，由题意得： x ? 7 ? 7 ? 2( x ? 7) ? 7 x ? 14 ? 2 x ? 21 x ? 35 ． 即丁丁摘了 35 个苹果，而玲玲的苹果个数为 35 ? 7 ? 7 ? 49 (个)． b) 大强参加 6 次测验，第三、四次的平均分比前两次的平均分多 2 分，比后两次的 平均分少 2 分．如果后三次的平均分比前三次的平均分多 3 分，那么第四次比第 三次多得多少分？ （a ? x） （2 a ? x ? 4） 【解析】设第三次分数是 a 分， 第四次的分数为 分， 则前两次的分数之和 （2 a ? x ? 4） （2a ? x ? 4）（ ? a ? x）（ ? 2a ? x ? 4） ?a ?9， 分， 最后两次的分数之和 分， 有 解得 x ? 1 ，即第四次比第三次多得 1 分． c) 儿子与父亲下围棋，双方约定父亲胜一局就得 2 分，儿子胜一局得 8 分，负的一 方不管是谁都要扣 1 分，比赛 24 局以后，父子得分相同，问他们各胜几局？ 【解析】法一：设儿子胜了 x 局，输了 ? 24 ? x ? 局，父亲胜了 ? 24 ? x ? 局，输了 x 局，??于是， y ?则由得分关系得 8x ? ? 24 ? x ? ? 2 ? ? 24 ? x ? ? x ，解得 x ? 6 ， 所以儿子赢了 6 局，父亲赢了 18 局． 法二：本题中要求儿子和父亲各胜多少局，可分别设两个未知数为 x 和 y ，要求两个未知数 的值，一般要根据不同的等量关系列出两个方程．题中儿子、父亲比赛的总局数是 24 局， 可列出一个方程：x ? y ? 24 ． 另外， 两人的得分相同， 儿子胜的局数正好是父亲负的局数，? x ? y ? 24???(1) 由此列出另一个方程： 8 x ? y ? 2 y ? x ．所以可列出方程组： ? ?8 x ? y ? 2 y ? x ?(2) 将⑵变形为 y ? 3x ，代入⑴，得 x ? 3 x ? 24 ，解得 x ? 6 ，所以 y ? 18 ． 所以儿子胜了 6 局，父亲胜了 18 局． d) 一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数羊的只数，发现剩下 的羊中，公羊与母羊的只数比是 9 : 7 ；过了一会儿跑走的公羊又回到羊群，却又 跑走了一只母羊，牧羊人又数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是 7 : 5 ．这 群羊原来有多少只？ 【解析】设原来公羊有 x 只，母羊有 y 只，那么根据题目条件有以下数量关系：?? x ? 1? : y ? 9 : 7 ? ? ? ? x : ? y ? 1? ? 7 : 5? x ? 28 根据有关比例性质， 方程组可化简为：? ， 所以这群羊原来有 28 ? 21 ? 49 只. ? y ? 21 e) 有甲、乙、丙三堆石子，从甲堆中取出 8 个给乙堆后，甲、乙两堆的石子数就相 等了；再从乙堆中取出 6 个给丙堆，乙、丙两堆的石子数也相等；此时又从丙堆 中取 2 个给甲堆，使甲堆石子数是丙堆石子数的 2 倍，问：原来甲堆有多少个石 子？ （x ? 8） 【解析】解：设甲堆原来有 x 个石子，那么甲堆取出 8 个给乙堆后，甲乙两堆都是 个 石子；再从乙堆中取出 6 个给丙堆，乙、丙两堆的石子数都变成（ x ? 8 ? 6 ）个石 子；此时又从丙堆中取 2 个给甲堆，那么甲堆石子数变成（ x ? 8 ? 2 ）个，丙堆石 2 x ? 16） 子数变成（ x ? 8 ? 6 ? 2 ）个，有 x ? 6 ? （ ，解得 x ? 26 ． 月测备选 【备选 1】有一个五位数，在它后面写上一个 7，得到一个六位数；在它前面写上一个 7， 也得到一个六位数．如果第二个六位数是第一个六位数的 5 倍，那么这个五位数 是． 【解析】设五位数是 x，那么第一个六位数是 10 x ? 7 ，第二个六位数是 700000 ? x ．依题意 列方程 700000 ? x ? （ 5 10 x ? 7） ，解得 x ? 1425 ． 【备选 2】松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采 20 个，雨天每天可以采 12 个，它一连几天采 了 112 个松子，平均每天采 14 个，问这几天当中有几天是下雨天？ 【解析】根据题意，松鼠妈妈采的松子有晴天采的，也有雨天采的，总的采集数可以求得， 采集天数也确定，因此可列方程组来求解． 设晴天有 x 天，雨天有 y 天，则可列得方程组：? 20 x ? 12 y ? 112 ?? ?1? ? ? 112 ???? ? 2 ? ?x ? y ? ? 14 ?1? 化简为 5x ? 3y ? 28 ???? ? 3?用加减法消元： ? 2 ? ? 5 ? ? 3? 得： 5(x ? y) ? (5x ? 3 y) ? 40 ? 28 解得 y ? 6 .所以其中 6 天下雨.1 1 ；把银放在水里称，其重量减轻 ．现有一块 19 10 770 50 金银合金重 克，放在水里称共减轻了 克，问这块合金含金、银各多少克？ 【解析】设 770 克合金中金有 x 克，则银有 (770 ? x) 克，根据题意，有： 1 1 x ? (770 ? x) ? 50 ，解得 x ? 570 ， 19 10 即这块合金中金有 570 克，银有 770 ? 570 ? 200 克．【备选 3】把金放在水里称，其重量减轻【备选 4】口袋中有若干红色和白色的球．若取走一个红球，则口袋中的红球占 的不是一个红球而是两个白球，则口袋中的白球占2 ；若取出 72 .原来口袋中白球比红球多多 3少个？ 【解析】设原来红球数为 x ，白球数为 y ，那么根据题目条件有以下数量关系：2 ? ? x ? 1? ? ? x ? y ? 1? ? ?x ? 9 ? 7 方程组解得 ? ， ? ? y ? 20 ?? y ? 2 ? ? 2 ? x ? y ? 2 ? ? 3 ? 原来口袋中白球比红球多 20 ? 9 ? 11 个． 【备选 5】张老师购买了一套教师住宅，原计划采取分期付款方式．一种付款方式是开始第 一年先付 7 万元，以后每年付款 1 万元；另一种付款方式是前一半时间每年付款 2 万元，后一半时间，每年付款 1 万 5 千元．两种付款方式的付款总数和付款时间 都相同．假如一次性付款，可以少付房款 1 万 6 千元．现在张老师决定采用一次 性付款方式．问：张老师要付房款多少万元？ 【解析】设分期付款方式的付款时间为 2 x 年，则： 7 ? (2 x ? 1) ? 1 ? 2 x ? 1.5 x 2 x ? 6 ? 3.5 x 1.5 x ? 6 x ? 4． 将 x 的值代入方程的右式(也可代入左式)， 可知分期付款的付款总数为 2 ? 4 ? 1.5 ? 4 ? 14 (万 元)． 所以，一次性付款的总数为 14 ? 1.6 ? 12.4 (万元)． 【备选 6】 姐姐现在的年龄是弟弟当年年龄的 4 倍， 姐姐当年的年龄和弟弟现在的年龄相同， 26 姐姐与弟弟现在的年龄和为 岁，则弟弟现在的年龄是多少岁？ 【解析】设弟弟现在的年龄是 x 岁，那么姐姐的年龄为 26 ? x 岁，年龄差为 26 ? 2 x ， 弟弟当年年龄为 x ? (26 ? 2 x) ? 3x ? 26 岁， 由题意可列方程 (3x ? 26) ? 4 ? 26 ? x ，解得 x ? 10 所以，弟弟现在的年龄是 10 岁。
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