一个分数，如果它的分子N小于分母M，可以称为真分数。一个分数，如果它的分子N大于分母M（而M不能整除N），那么这个分数可以称为带分数。一个分数，如果它的分...
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小学奥数6年级1000题
小学奥数基础教程（六年级）杨祖阔迎难而上 1.“通分子”。-1-小学奥数基础教程(六年级)第 1 讲 比较分数的大小 第 2 讲 巧求分数 第 3 讲 分数运算的技巧 第 4 讲 循环小数与分数 第 5 讲 工程问题(一) 第 6 讲 工程问题(二) 第 7 讲 巧用单位“1” 第 8 讲 比和比例 第 9 讲 百分数 第 10 讲 商业中的数学 第 11 讲 圆与扇形 第 12 讲 圆柱与圆锥 第 13 讲 立体图形(一) 第 14 讲 立体图形(二) 第 15 讲 棋盘的覆盖 第 16 讲 找规律 第 17 讲 操作问题 第 18 讲 取整计算 第 19 讲 近似值与估算 第 20 讲 数值代入法 第 21 讲 枚举法 第 22 讲 列表法 第 23 讲 图解法 第 24 讲 时钟问题 第 25 讲 时间问题 第 26 讲 牛吃草问题 第 27 讲 运筹学初步（一） 第 28 讲 运筹学初步（二） 第 29 讲 运筹学初步（三） 第 30 讲 趣题巧解当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大， 而分子的最小 公倍数比较小时， 可以把它们化成同分子的分数， 再比较大 小，这种方法比通分的方法简便。如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲 的方法可以称为“通分子”。 2.化为小数。这种方法对任意的分数都适用， 因此也叫万能方法。但 在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。 3.先约分，后比较。 有时已知分数不是最简分数，可以先约分。4.根据倒数比较大小。5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子） 大的分数较大； 若两个假分数的分子与分母的差相等，则分 母（子）小的分数较大。也就是说，第一讲比较分数的大小 6.借助第三个数进行比较。有以下几种情况： （1）对于分数 m 和 n，若 m＞k，k＞n，则 m＞n。同学们从一开始接触数学， 就有比较数的大小问题。 比 较整数、小数的大小的方法比较简单， 而比较分数的大小就 不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。 对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分 母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是： 分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大； 分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。 第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是 采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再 比较大小。 由于要比较的分数千差万别， 所以通分的方法不一定是 最简捷的。下面我们介绍另外几种方法。 （2）对于分数 m 和 n，若 m-k＞n-k，则 m＞n。小学奥数基础教程（六年级）杨祖阔迎难而上-2-第二讲巧求分数我们经常会遇到一些分数的分子、分母发生变化的题 目，例如分子或分母加、减某数，或分子与分母同时加、减 某数， 或分子、 分母分别加、 减不同的数， 得到一个新分数， 前一个差比较小，所以 m＜n。 （3）对于分数 m 和 n，若 k-m＜k-n，则 m＞n。 求加、减的数，或求原来的分数。这类题目变化很多，因此 解法也不尽相同。数。 注意，（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数 k 小于 原来的两个分数 m 和 n；（3）中借助的数 k 大于原来的两 个分数 m 和 n。 （4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一 个新分数。新分数一定介于两个已知分数之间， 即比其中一 个分数大，比另一个分数小。利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小， 新分数 与其中一个已知分数容易比较大小时， 就可以借助于这个新 分数。 分析：若把这个分数的分子、分母调换位置，原题中的 分母加、减 1 就变成分子加、减 1，这样就可以用例 1 求平 均数的方法求出分子、 分母调换位置后的分数， 再求倒数即 可。 比较分数大小的方法还有很多， 同学们可以在学习中不 断发现总结，但无论哪种方法，均来源于：“分母相同，分 子大的分数大； 分子相同， 分母小的分数大” 这一基本方法。 练习 1 1.比较下列各组分数的大小： 个分数。 分析与解：因为加上和减去的数不同， 所以不能用求平均数 的方法求解。答案与提示练习 1 ，这个分数是多少？ 分析与解： 如果把这个分数的分子与分母调换位置， 问 题就变为：这个分数是多少？小学奥数基础教程（六年级） 于是与例 3 类似，可以求出杨祖阔迎难而上 应加 8×2=16。-3-在例 8 中，分母应加的数是 在例 1～例 4 中，两次改变的都是分子，或都是分母，如果 分子、分母同时变化，那么会怎样呢？ 在例 9 中，分子应加的数是 数 a。 分析与解：分子减去 a，分母加上 a，（约分前）分子与分 母之和不变，等于 29+43=72。约分后的分子与分母之和变 为 3+5=8，所以分子、分母约掉 由此，我们得到解答例 8、例 9 这类分数问题的公式： 分子应加（减）的数=分母所加（减）的数×原分数； 分母应加（减）的数=分子所加（减）的数÷原分数。45-43=2。 分析与解：这道题的分子、分母分别加、减不同的数，可以 说是这类题中最难的，我们用设未知数列方程的方法解答。 求这个自然数。同一个自然数，得到的新分数如果不约分，那么差还是 45， 新分数约分后变 （2x+2）×3=（x+5）×4， 6x+6=4x+20， 2x=14， x=7。 例 7 一个分数的分子与分母之和是 23，分母增加 19 后得到一个新分数， 练习 2分子与分母的和是 1+5=6，是由新分数的分子、分母同时除 以 42÷6=7 得到是多少？ 分析与解：分子加 10，等于分子增加了 10÷5=2（倍），为 保持分数的大小不变， 分母也应增加相同的倍数， 所以分母小学奥数基础教程（六年级）杨祖阔迎难而上-4-答案与提示练习 22.约分法5.5。解：(53+79)÷(4+7)=12， a=53-4×12=5。 6.13。解：（67-22）÷（16-7）=5，7×5-22=13。3.裂项法 若能将每个分数都分解成两个分数之差， 并且使中间的 分数相互抵消，则能大大简化运算。解：设分子为 x，根据分母可列方程第三讲分数运算的技巧对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则 外，还应该掌握一些特殊的运算技巧，才能提高运算速度， 解答较难的问题。 1.凑整法 与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分 利用四则运算法则和运算律 （如交换律、 结合律、 分配律） ， 使部分的和、差、积、商成为整数、整十数??从而使运算 得到简化。小学奥数基础教程（六年级）杨祖阔迎难而上-5-原式中分母为 2～20 的分数之和依次为 例 7 在自然数 1～100 中找出 10 个不同的数，使这 10 个数的倒数的和等于 1。 分析与解：这道题看上去比较复杂，要求 10 个分子为 1，而分母不同的就非常简单了。练习 3括号。此题要求的是 10 个数的倒数和为 1，于是做成：所求的 10 个数是 2，6，12，20，30，42，56，72，90， 10。的 10 和 30，仍是符合题意的解。 4.代数法8.在自然数 1～60 中找出 8 个不同的数， 使这 8 个数的倒 数之和等于 1。答案与提示 1.3。练习 35.分组法分析与解： 利用加法交换律和结合律， 先将同分母的分 数相加。分母为 n 的分数之和为小学奥数基础教程（六年级）杨祖阔迎难而上-6-因为 40=2 ×5，含有 3 个 2，1 个 5，所以化成的小数 有三位。 （2）中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没 有质因数 2 和 5。 （3）中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含 有质因数 2 或 5，又含有 2 和 5 以外的质因数，化成的混循 环小数中的不循环部分的位数与35，所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。 于是我们得到结论： 一个最简分数化为小数有三种情况： （1）如果分母只含有质因数 2 和 5，那么这个分数一 定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因 数 2 与 5 中个数较多的那个数的个数； （2）如果分母中只含有 2 与 5 以外的质因数，那么这 8.2，6， 8， 12， 20， 30， 42， 56。 个分数一定能化成纯循环小数； （3）如果分母中既含有质因数 2 或 5，又含有 2 与 5 以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并 且不循环部分的位数等于分母中质因数 2 与 5 中个数较多 的那个数的个数。 例 1 判断下列分数中， 哪些能化成有限小数、 纯循环小 数、 混循环小数？能化成有限小数的， 小数部分有几位？能 9.5680。 解：从前向后，分子与分母之和等于 2 的有 1 个，等于 3 的有 2 个，等于 4 的有 3 个人??一般地，分子与分母之 和等于 n 的有(n-1)个。 分子与分母之和小于 9+99=108 的有 1+2+3+?+106=5671（个） 分析与解：上述分数都是最简分数，并且 32=2 ，21=3×7，250=2×5 ，78=2×3×13， 117=3 ×13，850=2×5 ×17， 根据上面的结论，得到： 0（个）。 第四讲 循环小数与分数 任何分数化为小数只有两种结果， 或者是有限小数， 或 者是循环小数， 而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数 两类。那么，什么样的分数能化成有限小数？什么样的分数 能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。 不循环部分有两位。 将分数化为小数是非常简单的。反过来，将小数化为分数， 同学们可能比较熟悉将有限小数化成分数的方法， 而对将循 环小数化成分数的方法就不一定清楚了。 我们分纯循环小数 和混循环小数两种情况，讲解将循环小数化成分数的方法。 1.将纯循环小数化成分数。 （1）中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只有 质因数 2 和 5，化3 2 5 3化成混循环小数的，不循环部分有几位？小学奥数基础教程（六年级）杨祖阔迎难而上 例 6 计算下列各式：-7-将上两式相减，得将上两式相减，得从例 2、例 3 可以总结出将纯循环小数化成分数的方法。 纯循环小数化成分数的方法： 分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各 位数都是 9，9 的个数与循环节的位数相同。 练习 4 1.下列各式中哪些不正确？为什么？2.将混循环小数化成分数。将上两式相减，得 2.划去小数 0. 后面的若干位，再添上表示循 环节的两个圆点，得到一个循环小数，例如 0.274836。请 找出这样的小数中最大的与最小的。 3.将下列纯循环小数化成最简分数：将上两式相减，得 4.将下列混循环小数化成最简分数：5.计算下列各式： 从例 4、例 5 可以总结出将混循环小数化成分数的方法。 混循环小数化成分数的方法： 分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节 的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得 的差；分母的头几位数字是 9，末几位数字都是 0，其中 9 的个数与循环节的位数相同， 的个数与不循环部分的位数 0 相同。 答案与提示 练习 4 1.（1）（3）（4）不正确。掌握了将循环小数化成分数的方法后， 就可以正确地进 行循环小数的运算了。小学奥数基础教程（六年级）杨祖阔迎难而上-8-例 2 某项工程，甲单独做需 36 天完成，乙单独做需 45 天 完成。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的 工程，那么乙队又做了 18 天才完成任务。问：甲队干了多 少天？ 分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干 18 天，后 面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简 单多了。第五讲工程问题（一）答：甲队干了 12 天。 例 3 单独完成某工程，甲队需 10 天，乙队需 15 天，丙队 需 20 天。 开始三个队一起干， 因工作需要甲队中途撤走了， 结果一共用了 6 天完成这一工程。问：甲队实际工作了几 天？ 分析与解：乙、丙两队自始至终工作了 6 天，去掉乙、丙两 队 6 天的工作量， 剩下的是甲队干的， 所以甲队实际工作了顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问 题。其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也 括行路、水管注水等许多内容。 在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是： 工作量=工作效率×工作时间， 工作时间=工作量÷工作效率， 工作效率=工作量÷工作时间。 工作量指的是工作的多少， 它可以是全部工作量， 一般 用数 1 表示，也可例 4 一批零件， 张师傅独做 20 时完成， 王师傅独做 30 时完成。 如果两人同时做， 那么完成任务时张师傅比王师傅 多做 60 个零件。这批零件共有多少个？ 分析与解： 这道题可以分三步。 首先求出两人合作完成 需要的时间，工作效率指的是干工作的快慢， 其意义是单位时间里所干的 工作量。单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可 以是时、分、秒等。 工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”， 或“工作量/时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写 工作效率的单位。 例 1 单独干某项工程， 甲队需 100 天完成， 乙队需 150 天完成。甲、乙两队合干 50 天后，剩下的工程乙队干还需 多少天？ 分析与解：以全部工程量为单位 1。甲队单独干需 100 天， 甲的工作效 例 5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管 5 时可将空池灌满， 单开排水管 7 时可将满池水排完。 如果一 开始是空池， 打开放水管 1 时后又打开排水管， 那么再过多 长时间池内将积有半池水例 6 甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全 程甲需 60 分钟，乙需 40 分钟。出发后 5 分钟，甲因忘带东 西而返回出发点， 取东西又耽误了 5 分钟。 甲再出发后多长 时间两人相遇？小学奥数基础教程（六年级）杨祖阔迎难而上 5.6000 米。-9-分析：这道题看起来像行程问题， 但是既没有路程又没 有速度，所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。 甲出发 5 分钟后返回，路上耽误 10 分钟，再加上取东西的 5 分钟，等于比乙晚出发 15 分钟。我们将题目改述一下： 完成一件工作，甲需 60 分钟，乙需 40 分钟，乙先干 15 分 钟后，甲、乙合干还需多少时间？由此看出，这道题应该用 工程问题的解法来解答。6.8 时。 提示：甲管 12 时都开着，乙管开7.280 千米。 答：甲再出发后 15 分钟两人相遇。 练习 5 1.某工程甲单独干 10 天完成， 乙单独干 15 天完成， 他 们合干多少天才可完成工程的一半？ 2.某工程甲队单独做需 48 天， 乙队单独做需 36 天。 甲 队先干了 6 天后转交给乙队干， 后来甲队重新回来与乙队一 起干了 10 天，将工程做完。 求乙队在中间单独工作的天数。 3.一条水渠，甲、乙两队合挖需 30 天完工。现在合挖 12 天后，剩下的乙队单独又挖了 24 天挖完。这条水渠由甲 队单独挖需多少天？ 第六讲 工程问题（二） 上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题。 在较复杂的工程问题中，工作效率往往隐藏在题目条件里， 这时， 只要我们灵活运用基本的分析方法， 问题也不难解决。 则完成任务时乙比甲多植 50 棵。这批树共有多少棵？ 5.修一段公路，甲队独做要用 40 天，乙队独做要用 24 天。 现在两队同时从两端开工， 结果在距中点 750 米处相遇。 这段公路长多少米？ 6.蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需 18 时注满，单 开乙管需 24 时注满。如果要求 12 时注满水池，那么甲、乙 两管至少要合开多长时间？ 7.两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需 8 时，比快车从 从上图可直观地看出： 15 天的工作量和乙 12 天的工 甲 作量相等， 即甲 5 天的工作量等于乙 4 天的工作量。 于是可 40 千米。求甲、乙两地的距离。 答案与提示 练习 5 用“乙工作 4 天”等量替换题中“甲工作 5 天”这一条件， 通过此替换可知乙单独做这一工程需用 20+4=24（天） 例 1 一项工程，如果甲先做 5 天，那么乙接着做 20 天 可完成；如果甲先做 20 天，那么乙接着做 8 天可完成。如 果甲、乙合做，那么多少天可以完成？ 分析与解：本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的 工作效率，我们先画出示意图：2.14 天。3.120 天。甲、乙合做这一工程，需用的时间为例 2 一项工程，甲、乙两队合作需 6 天完成，现在乙 队先做 7 天，然后 4.350 棵。 么还要几天才能完成？ 分析与解：题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率， 只知道他们合作小学奥数基础教程（六年级）杨祖阔迎难而上 工作效率之和是- 10 -分析与解：与例 4 类似，可求出一、二、三、四小队的 们把“乙先做 7 天，甲再做 4 天”的过程转化为“甲、乙合 做 4 天，乙再单独例 6 甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、 丙的顺序每人一天轮流去做， 恰好整天做完， 并且结束工作 的是乙。若按乙、丙、甲的顺序轮流例 3 单独完成一件工作，甲按规定时间可提前 2 天完 成，乙则要超过规定时间 3 天才能完成。如果甲、乙二人合 做 2 天后，剩下的继续由乙单独做， 那么刚好在规定时间完 成。问：甲、乙二人合做需多少天完成？ 分析与解：乙单独做要超过 3 天，甲、乙合做 2 天后乙 继续做，刚好按时完成，说明甲做 2 天等于乙做 3 天，即完 成这件工作，乙需要的时间是甲的 件工作，要用多少天才能完成？ 分析与解：把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮。在 一轮中，无论谁先谁后，完成的总工作量都相同。所以三种 顺序前面若干轮完成的工作量及用的天数都相同 （见下图虚 线左边），相差的就是最后一轮（见下图虚线右边）。，乙需要 10+5=15（天）。甲、乙合作需要 由最后一轮完成的工作量相同，得到 例 4 放满一个水池的水，若同时打开 1，2，3 号阀门， 则 20 分钟可以完成；若同时打开 2，3，4 号阀门，则 21 分钟可以完成；若同时打开 1，3，4 号阀门，则 28 分钟可 以完成；若同时打开 1，2，4 号阀门，则 30 分钟可以完成。 问：如果同时打开 1，2，3，4 号阀门，那么多少分钟可以 完成？ 分析与解：同时打开 1，2，3 号阀门 1 分钟，再同时打 开 2，3，4 号阀门 1 分钟，再同时打开 1，3，4 号阀门 1 分钟，再同时打开 1，2，4 号阀门 1 分钟，这时，1，2，3， 4 号阀门各打开了 3 分钟，放水量等于一 有多少个？ 练习 6 1.甲、 乙二人同时开始加工一批零件， 每人加工零件总数的 一半。甲完成需的时间相等。问：甲、乙单独做各需多少天？ 3.加工一批零件，王师傅先做 6 时李师傅再做 12 时可 例 5 某工程由一、二、三小队合干，需要 8 天完成； 由二、三、四小队合干，需要 10 天完成；由一、四小队合 干，需 15 天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、 四、??的顺序，每个小队干一天地轮流干，那么工程由哪 个队最后完成？ 完成， 王师傅先做 8 时李师傅再做 9 时也可完成。 现在王师 傅先做 2 时，剩下的两人合做，还需要多少小时？小学奥数基础教程（六年级）杨祖阔迎难而上- 11 -独修各需几天？ 5.蓄水池有甲、乙、丙三个进水管，甲、乙、丙管单独 灌满一池水依次需要 10，12，15 时。上午 8 点三个管同时 打开， 中间甲管因故关闭， 结果到下午 2 点水池被灌满。 问： 甲管在何时被关闭？ 6.单独完成某项工作，甲需 9 时，乙需 12 时。如果按 照甲、乙、甲、乙、??的顺序轮流工作，每次 1 时，那么 完成这项工作需要多长时间？ 7.一项工程，乙单独干要 17 天完成。 如果第一天甲干， 第二天乙干，这样交替轮流干，那么恰好用整天数完成；如 果第一天乙干，第二天甲干，这样交替轮流干，那么比上次 轮流的做法多用半天完工。问：甲单独干需要几天？ 答案与提示练习 6 1.360 个。 7.8.5 天。 解： 如果两人轮流做完的天数是偶数， 那么不论甲先还是 乙先， 两种轮流做的方式完成的天数必定相同 （见左下图） 。 甲乙甲乙??甲乙甲乙甲乙??甲乙 甲 2.甲 18 天，乙 12 天。 现在乙先比甲先要多用半天， 所以甲先时， 完成的天数 一定是奇数， 于是得到右上图， 其中虚线左边的工作量相同， 右边的工作量也相同， 说明乙做 1 天等于甲做半天， 所以乙 做 17 天等于甲做 8.5 天。 第七讲 3.7.2 时。 解：由下页图知，王干 2 时等于李干 3 时，所以单独干李需 12+6÷2×3=21（时），王需 21÷3×2=14（时）。所求为 巧用单位“1” 在工程问题中，我们往往设工作总量为单位“1”。在许多 分数应用题中，都会遇到单位“1”的问题，根据题目条件 正确使用单位“1”，能使解答的思路更清晰，方法更简捷。 6.10 时 15 分。 5.上午 9 时。分析：因为第一天、第二天都是与全书比较，所以应以 全书的页数为单位答：这本故事书共有 240 页。小学奥数基础教程（六年级）杨祖阔迎难而上- 12 -分析与解：与例 3 类似，甲、乙组人数都发生了变化， 不变量是甲、乙组的总人数，所以以甲、乙组的总人数为单 位“1”。 分析与解：本题条件中单位“1”的量在变化，依次是 “全书的页数”、“第一天看后余下的页数”、“第二天看 后余下的页数”，出现了 3 个不同的单位“1”。按照常规 思路，需要统一单位“1”，转化分率。但在本题中，不统 一单位“1”反而更方便。我们先把全书看成“1”，看成“1”，就可以求出第三天看后余下的部分占全书的例 5 公路上同向行驶着三辆汽车，客车在前，货车在 中，小轿车在后。在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离 相等；走了 10 分钟，小轿车追上了货车；又过了 5 分钟， 小轿车追上了客车，再过多少分钟，货车追上客车？ 分析与解：根据“在某一时刻，货车与客车、小轿车的 距离相等”，设这段距离为单位“1”。由“走了 10 分钟， 小轿车追上了货车”，可知小轿 共有多少本图书？ 分析与解：故事书增加了，图书的总数随之增加。题中 出现两个分率， 可知小轿车(10+5)分钟比客车多行了两个这样的距离， 每分 钟多行这段距离的 这给计算带来很多不便，需要统一单位“1”。统一单位“1” 的一个窍门就是抓“不变量”为单位“1”。 本题中故事书、 图书总数都发生了变化， 而其它书的本 数没有变，可以以 两班各有多少人？图书室原来共有图书 乙班有 84-48=36（人）。 练习 7小学奥数基础教程（六年级）杨祖阔迎难而上- 13 -树上原有多少个桃？6.男生 15 人，女生 21 人。剩下的部分收完后刚好又装满 6 筐。 共收西红柿多少千克？7.一班 45 人，二班 49 人。7.六年级两个班共有学生 94 人， 其中女生有 39 人， 已 知一班的女生占本 第八讲 比和比例 比的概念是借助于除法的概念建立的。 两个数相除叫做两个数的比。 例如，5÷6 可记作 5∶6。 答案与提示 练习 7 1.35 个。 比值。 表示两个比相等的式子叫做比例 （式） 如， 。 3∶7=9∶21。 2.60 个。 判断两个比是否成比例， 就要看它们的比值是否相等。两个 比的比值相等，这两个比能组成比例，否则不能组成比例。 在任意一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。 即：如果 a∶b=c∶d，那么 a×d=b×c。 两个数的比叫做单比， 两个以上的数的比叫做连比。例 3.64 吨。 如 a∶b∶c。连比中的“∶”不能用“÷”代替，不能把连 比看成连除。 把两个比化为连比， 关键是使第一个比的后项 等于第二个比的前项， 方法是把这两项化成它们的最小公倍 数。例如， 甲∶乙=5∶6，乙∶丙=4∶3， 因为[6，4]=12，所以 5∶ 6=10∶ 12， 4∶3=12∶9， 得到甲∶乙∶丙=10∶12∶9。 例 1 已知 3∶(x-1)=7∶9，求 x。 4.384 千克。 解： 7×(x-1)=3×9， x-1=3×9÷7，例 2 六年级一班的男、女生比例为 3∶2，又来了 4 名 女生后，全班共有 44 人。求现在的男、女生人数之比。小学奥数基础教程（六年级）杨祖阔迎难而上- 14 -分析与解：原来共有学生 44-4=40（人），由男、女生 人数之比为 3∶2 知，如果将人数分为 5 份，那么男生占 3 份，女生占 2 份。由此求出按比例分配得到 女生增加 4 人变为 16+4=20（人），男生人数不变，现 在男、女生人数之比为 24∶20=6∶5。 在例 2 中，我们用到了按比例分配的方法。 将一个总量按照一定的比分成若干个分量叫做按比例 分配。按比例分配的方法是将按已知比分配变为按份数分 配，把比的各项相加得到总份数， 各项与总份数之比就是各 个分量在总量中所占的分率，由此可求得各个分量。 例 3 配制一种农药，其中生石灰、硫磺粉和水的重量 比是 1∶2∶12，现在要配制这种农药 2700 千克，求各种原 料分别需要多少千克。 分析：总量是 2700 千克，各分量的比是 1∶2∶12，总 份数是 1+2+12=15， 例 6 某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大 客车 30 元，小客车 15 元，小轿车 10 元。某日通过该收费 站的大客车和小客车数量之比是 5∶6，小客车与小轿车之 比是 4∶11，收取小轿车的通行费比大客车多 210 元。求这 天这三种车辆通过的数量。 分析与解： 大客车、 小轿车通过的数量都是与小客车相 比， 如果能将 5∶6 中的 6 与 4∶11 中的 4 统一成[4， 6]=12， 就可以得到大客车∶小客车∶小轿车的连比。 由 5∶6=10∶12 和 4∶11=12∶33，得到 大客车∶小客车∶小轿车=10∶12∶33。 以 10 辆大客车、12 辆小客车、33 辆小轿车为一组。因 为每组中收取小轿车的通行费比大客车多 10×33-30× 10=30（元），所以这天通过的车辆共有 210÷30=7（组）。 答： 生石灰、 硫磺粉、 水分别需要 180， 360 和 2160 千克。 在按比例分配的问题中， 也可以先求出每份的量， 再求出 各个分量。 如例 3 中， 总份数是 1+2+12=15， 每份的量是 2700 ÷15=180 （千克） 然后用每份的量分别乘以各分量的份数， ， 即用 180 千克分别乘以 1，2，12，就可以求出各个分量。 例 4 师徒二人共加工零件 400 个，师傅加工一个零件 用 9 分钟，徒弟加工一个零件用 15 分钟。完成任务时，师 傅比徒弟多加工多少个零件？ 分析与解：解法很多，这里只用按比例分配做。师傅与 徒弟的工作效率 这天通过 大客车=10×7=70（辆）， 小客车=12×7=84（辆）， 小轿车=33×7=231（辆）。 练习 8 1.一块长方形的地， 长和宽的比是 5∶3， 周长是 96 米， 求这块地的面积。 2.一个长方体， 长与宽的比是 4∶3， 宽与高的比是 5∶ 4， 体积是 450 分米 。 长方体的长、 高各多少厘米？ 问： 宽、 3.一把小刀售价 6 元。 如果小明买了这把小刀， 那么小明与 小强的钱数之比是 3∶5；如果小强买了这把小刀，那么小 明与小强的钱数之比是 9∶11。问：两人原来共有多少钱？35.甲、乙、丙三人分 138 只贝壳，甲每取走 5 只乙就取 走 4 只，乙每取走 5 只丙就取走 6 只。问：最后三人各分到 多少只贝壳？ 6.一条路全长 60 千米，分成上坡、平路、下坡三段， 有多少学生？ 各段路程的长度之比是 1∶2∶3，某人走各段路程所用的时小学奥数基础教程（六年级） 走完全程用多少时间？杨祖阔 第九讲迎难而上 百分数 百分数有两种不同的定义。- 15 -间之比是 3∶4∶5。已知他走平路的速度是 5 千米/时，他 7.某俱乐部男、女会员的人数之比是 3∶2，分为甲、 乙、丙三组，甲、乙、丙三组的人数之比是 10∶8∶7。如 果甲组中男、女会员的人数之比是 3∶1，乙组中男、女会 员的人数之比是 5∶3，那么丙组中男、女会员的人数之比 是多少？ 答案与提示练习 8 1.540 米 。2（1）分母是 100 的分数叫做百分数。这种定义着眼于 形式，把百分数作为分数的一种特殊形式。 （2）表示一个数（比较数）是另一个数（标准数）的 百分之几的数叫做百分数。 这种定义着眼于应用， 用来表示 两个数的比。所以百分数又叫百分比或百分率。 百分数通常不写成分数形式， 而采用符号 “％” 来表示， 叫做百分号。 在第二种定义中，出现了比较数、标准数、分率（百分 数），这三者的关系如下：2.长 100 厘米，宽 75 厘米，高 60 厘米。 解：长∶宽∶高=20∶15∶12， 450000÷(20×15×12)=125=5 。 长=20×5=100（厘米），宽=15×5=75（厘米）， 高=12×5=60（厘米）。 3.86 元。 解：设小明有 x 元钱。根据小强的钱数可列方程3比较数÷标准数=分率（百分数）， 标准数×分率=比较数， 比较数÷分率=标准数。 根据比较数、标准数、分率三者的关系，就可以解答许 多与百分数有关的应用题。 例 1 纺织厂的女工占全厂人数的 80％，一车间的男工 占全厂男工的 25％。问：一车间的男工占全厂人数的百分 之几？ 分析与解：因为“女工占全厂人数的 80％”，所以男 工占全厂人数的 1-80％=20％。 又因为“一车间的男工占全厂男工的 25％”，所以一36+50=86（元）。 4.2640 元。车间的男工占全厂人数的 20％×25％=5％。 例 2 学校去年春季植树 500 棵，成活率为 85％，去年 秋季植树的成活率为 90％。已知去年春季比秋季多死了 20 棵树，那么去年学校共种活了多少棵树？ 分析与解： 去年春季种的树活了 500×85％=425 （棵） ， 死了 500-425=75（棵）。去年秋季种的树，死了 75-20=555.甲 50 只，乙 40 只，丙 48 只。 解：甲∶乙∶丙=25∶20∶24，138÷(25+20+24)=2， 甲=2×25=50（只），乙=2×20=40（只）， 丙=2×24=48（只）。 6.12 时。（棵），活了 55÷（1-90％）×90％=495（棵）。所以， 去年学校共种活 425+495=920（棵）。 例 3 一次考试共有 5 道试题。做对第 1，2，3，4，5 题的人数分别占参加考试人数的 85％，95％，90％，75％， 80％。 如果做对三道或三道以上为及格， 那么这次考试的及 格率至少是多少？ 分析与解： 因为百分数的含义是部分量占总量的百分之 几，所以不妨设总量即参加考试的人数为 100。 由此得到做错第 1 题的有 100×（1-85％）=15（人）；7.5：9同理可得，做错第 2，3，4，5 题的分别有 5，10，25， 20 人。 总共做错 15+5+10+25+20=75（题）。 一人做错 3 道或 3 道以上为不及格， 75÷3=25 由 （人） ， 推知至多有 25 人不及格， 也就是说至少有 75 人及格，及格 率至少是 75％。 例 4 育红小学四年级学生比三年级学生多 25％，五年 级学生比四年级学生少 10％，六年级学生比五年级学生多 10％。如果六年级学生比三年级学生多 38 人，那么三至六 年级共有多少名学生？小学奥数基础教程（六年级）杨祖阔 果重迎难而上- 16 -分析：以三年级学生人数为标准量， 则四年级是三年级 的 125％，五年级是三年级的 125％×（1-10％），六年级 是三年级的 125％×（1-10％）×（1+10％）。因为已知六 年级比三年级多 38 人，所以可根据六年级的人数列方程。 解： 设三年级有 x 名学生， 根据六年级的人数可列方程： x×125％×（1-10％）×（1+10％）=x+38， x×125％×90％×110％=x+38， 1.2375x=x+38， 0.2375x=38， x=160。 三年级有 160 名学生。 四年级有学生 160×125％=200（名）。 五年级有学生 200×（1-10％）＝180（名）。 六年级有学生 160+38=198（名）。 160+200+180+198=738（名）。 答：三至六年级共有学生 738 名。 在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题。我们都知 道，将糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂， 糖水叫溶液。如果水的量不变，那么糖加得越多，糖水就越 甜，也就是说，糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液 =糖+水）二者重量的比值决定的， 这个比值就叫糖水的含糖 量或糖含量。类似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二 者重量的比值就叫酒精含量。溶质、溶剂、溶液及溶质含量 有如下基本关系： 溶液重量=溶质重量+溶剂重量， 溶质含量=溶质重量÷溶液重量， 溶液重量=溶质重量÷溶质含量， 溶质重量=溶液重量×溶质含量。 溶质含量通常用百分数表示。例如，10 克白糖溶于 90 克水中，含糖量（溶 例 5 有含糖量为 7％的糖水 600 克， 要使其含糖量加大 到 10％，需要再加入多少克糖？ 分析与解：在 600 克含糖量为 7％的糖水中，有糖（溶 质）600×7％=42（克）。 设再加 x 克糖，可使其含糖量加大到 10％。此时溶质有 （42+x）克，溶液有（600+x）克，根据溶质含量可得方程分析与解：可将水果分成“水”和“果”两部分。一开始， 100×（1-90％）=10（千克）。 一星期后含水量变为 80％，“果”与“水”的比值为因为“果”始终是 10 千克，可求出此时“水”的重量为 所以总重量是 10+40=50（千克）。 练习 9 1.某修路队修一条路， 天完成了全长的 20％。 5 照此计 算，完成任务还需多少天？ 2.服装厂一车间人数占全厂的 25％，二车间人数比一 车间少 20％，三车间人数比二车间多 30％。已知三车间有 156 人，全厂有多少人？ 3.有三块地，第二块地的面积是第一块地的 80％，第 三块地的面积比第二块多 20％，三块地共 69 公顷，求三块 地各多少公顷。 4.某工厂四个季度的全勤率分别为 90％，86％，92％， 94％。问：全年全勤的人至少占百分之几？ 5.有酒精含量为 30％的酒精溶液若干，加了一定数量 的水后稀释成酒精含量为 24％的溶液，如果再加入同样多 的水，那么酒精含量将变为多少？ 6.配制硫酸含量为 20％的硫酸溶液 1000 克，需要用硫 酸含量为 18％和 23％的硫酸溶液各多少克？ 7.有一堆含水量 14.5％的煤，经过一段时间的风干， 含水量降为 10％，现在这堆煤的重量是原来的百分之几？ 答案与提示 练习 9 1.20 天。 解：5÷20％-5=20（天）。 2.600 人。解：156÷[(1-20％) × (1+30％)]÷25％ =600（人）。 3.第一、二、三块依次为 25，20 和 24 公顷。解：第一 块地的面积为 69÷[1+80％+80％×(1+20％)]=25（公顷）， 第二块地为 25×80％=20（公顷），第三块地为 69-25=24 （公顷）。 4.62％。解；设全厂有 100 人，则四个季度没有全勤的 共有 10+14+8+6=38（人次）。当四个季度没有全勤的人互 不相同时，全年没有全勤的人最多，为 38 人，所以至少有 100-36=62（人）全勤，即全年全勤率至少为 62％。 5.20％。 解：设酒精含量为 30％的酒精溶液有 100 克，则溶质 为 30 克。稀释成酒精含量为 24％的酒精溶液需加水 30÷需要再加入 20 克糖。 例 6 仓库运来含水量为 90％的一种水果 100 千克，一 星期后再测，发现含水量降低到 80％。现在这批水果的总 重量是多少千克？24％-100=25（克）。若再加入 25 克水，则酒精含量变为 30÷(100+25+25)=20％。 6.600 克，400 克。 提示：设需要 18％的溶液 x 克，则需要 23％的溶液 (100-x)克。根据溶质重量可得小学奥数基础教程（六年级） 7.95％。杨祖阔迎难而上 这种商品的成本是多少元？- 17 -x×18％+(1000-x)×23％=1000×20％。解得 x=600。 解：设原有 100 吨煤，则有水份 14.5 吨。又设风干掉 水份 x 吨，则由含则由于张先生多订购， 获得的利润反而比原来多 100 元。 问： 分析与解：设这种商品的成本是 x 元。减价 5％就是每 件减 100×5％=5（元），张先生可多买 4×5=20（件）。由 获得利润的情况，可列方程 （100-x）×80 +100=（100-5-x）×（80 + 20），现在煤的重量为 100-5=95（吨），是原来的 95％。 第十讲 商业中的数学 市场经济中有许多数学问题。 同学们可能都有和父母一起去 买东西的经历，都知道商品有定价， 但是这个价格是怎样定 的？这就涉及到商品的成本、利润等听起来有些陌生的名 词。 这一讲的内容就是小学数学知识在商业中的应用。 利润=售出价-成本，0=x， 20x=1400， x=70， 这种商品的成本是 70 元。 由例 2、例 3 看出，商品降价后，由于增加了销售量， 所以获得的利润有时反而比原来多。 例 4 某商店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克 1.20 元。从产地到商店的距离是 400 千米，运费为每吨货 物每运 1 千米收 1.50 元。如果在运输及销售过程中的损耗 是 10％，商店要想实现 25％的利润率，零售价应是每千克 多少元？例如，一件商品进货价是 80 元，售出价是 100 元，则 这件商品的利润是 100-80=20（元），利润率是分析与解：本题的成本包括收购价、运费、损耗。每千 克的收购价加运费是 1.20+1.50×400÷（元）。 因为有 10％的损耗，所以每千克的成本为 1.80÷ （1-10％）=2.00（元）在这里我们用“进货价”代替了“成本”，实际上成本 除了进货价，还包括运输费、仓储费、损耗等，为简便，有 时就忽略不计了。 例 1 某商品按每个 7 元的利润卖出 13 个的钱，与按每 个 11 元的利润卖出 12 个的钱一样多。 这种商品的进货价是 每个多少元？ 解： 设进货价是每个 x 元。 “售出价=进货价+利润” 由 ， 根据前、后两次卖出的钱相等，可列方程 （x+7）×13=（x+11）×12， 13x+91=12+132 x=41。 答：进货价是每个 41 元。 例 2 租用仓库堆放 3 吨货物，每月租金 7000 元。这些 货物原计划要销售 3 个月， 由于降低了价格， 结果 2 个月就 销售完了，由于节省了租仓库的租金，所以结算下来，反而 比原计划多赚了 1000 元。问：每千克货物的价格降低了多 少元？ 分析与解：原计划租仓库 3 个月，现只租用了 2 个月， 节约了 1 个月的租金 7000 元。如果不降低价格，那么应比 原计划多赚 7000 元， 但现在只多赚了 1000 元， 说明降价损 失是 00（元）。 因为共有 3 吨，即 3000 千克货物，所以每千克货物降 低了 =2（元）。 例 3 张先生向商店订购了每件定价 100 元的某种商品 80 件。张先生对商店经理说：“如果你肯减价，那么每减 价 1 元， 我就多订购 4 件。 商店经理算了一下， ” 若减价 5％， 例 6 某厂向银行申请甲、乙两种贷款共 40 万元，每年 需付利息 5 万元。甲种贷款年利率为 12％，乙种贷款年利 率为 14％。该厂申请甲、乙两种贷款的金额各是多少？ 解：设申请甲种贷款 x 万元，则申请乙种贷款（40-x） 万元。根据需付利息可得方程 x×12％+（40-x）×14％=5， 0.12x+5.6-0.14x＝5， 0.02x＝0.6， x=30（万元）。 40-30=10（万元）。 答：申请甲种贷款 30 万元，乙种贷款 10 万元。 售出价=成本×（利润率+1） =2.00×（25％+1） =2.50（元）， 即零售价应是每千克 2.50 元。 例 5 小明到商店买了相同数量的红球和白球， 红球原价 2 元 3 个，白球原价 3 元 5 个。新年优惠，两种球都按 1 元 2 个卖，结果小明少花了 8 元钱。问：小明共买了多少个球？小学奥数基础教程（六年级） 练习 10杨祖阔迎难而上 7.250 本。- 18 -1.商店进了一批钢笔， 用零售价 10 元卖出 20 支与用零售价 11 元卖出 15 支的利润相同。这批钢笔的进货价每支多少 元？ 2.某种蜜瓜大量上市， 这几天的价格每天都是前一天的 80％。妈妈第一天买了 2 个，第二天买了 3 个，第三天买了 5 个，共花了 38 元。若这 10 个蜜瓜都在第三天买，则能少 花多少钱？ 3.商店以每双 13 元购进一批凉鞋， 售价为 14.8 元， 卖 到还剩 5 双时，除去购进这批凉鞋的全部开销外还获利 88 元。问：这批凉鞋共多少双？ 4.体育用品商店用 3000 元购进 50 个足球和 40 个篮球。 零售时足球加价 9％，篮球加价 11％，全部卖出后获利润 298 元。问：每个足球和篮球的进价是多少元？ 5.某种商品的利润率是 20％。如果进货价降低 20％， 售出价保持不变，那么利润率将是多少？ 6.某商店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克 1.20 元。从产地到商店的距离是 400 千米，运费为每吨货 物每运 1 千米收费 1.50 元。如果不计损耗，那么商店要想 实现 25％的利润率，零售价应是每千克多少元？解：将售出的挂历分组，每组 5 本，其中原价的 2 本， 减价的 3 本。每组可获利润 18×2+8×3=60（元），推知共 有 （组）， 所以共售出 5×50=250（本）。 第 11 讲 圆与扇形 五年级已经学习过三角形、矩形、平行四边形、梯形以 及由它们形成的组合图形的相关问题， 这一讲学习与圆有关 的周长、面积等问题。圆的面积=π r ， 圆的周长=2π r，2本书中如无特殊说明，圆周率都取π =3.14。 例 1 如下图所示， 米赛跑的起点和终点都在直跑道 200 上，中间的弯道是一个半圆。已知每条跑道宽 1.22 米，那减价 10 元出售，全部售完，共获利润 3000 元。书店共售出 这种挂历多少本？ 答案与提示 练习 10 1.7 元。 解：（10×20-11×15）÷（20-15）=7（元）。 2.6 元。 解：设第一天每个蜜瓜 x 元。由 2x+3x×80％+5x×80％=38， 解得 x=5（元）。10 个瓜都在第三天买要花 5×10×80％×80％=32（元）， 少花 38-32=6（元）。 3.90 双。 解：(88+14.8×5)÷(14.8-13)=90（双）。 4.足球 32 元，篮球 35 元。 解：设 50 个足球的进价为 x 元， 40 个篮球的进价为 则 (3000-x)元。根据利润可得方程 x×9％+(3000-x)×11％=298。 解得 x=1600。每个足球的进价为 （元）， 每个篮球的进价为(3000-x)÷40=35（元）。 5.50％。 解： 设原来进价为 1 元， 则售出价为 1×(1+20％)=1.2 元） （ 。 现在的进价为 1×(1-20％)=0.8（元），利润率为 （1.2-0.8）÷0.8=50％。 6.2.25 元。 解：(1.20+1.50×400÷1000)×(1+25％)=2.25（元）。么外道的起点在内道起点前面多少米？（精确到 0.01 米）分析与解：半径越大，周长越长，所以外道的弯道比内 道的弯道长，要保证内、外道的人跑的距离相等，外道的起 点就要向前移，移的距离等于外道弯道与内道弯道的长度 差。 虽然弯道的各个半径都不知道， 然而两条弯道的中心线 的半径之差等于一条跑道之宽。 设外弯道中心线的半径为 R， 内弯道中心线的半径为 r， 则两个弯道的长度之差为 π R-π r＝π （R-r） ＝3.14×1.22≈3.83（米）。 即外道的起点在内道起点前面 3.83 米。 例 2 有七根直径 5 厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它 们勒紧成一捆 （如左下图） 此时橡皮筋的长度是多少厘米？ ，分析与解：由右上图知，绳长等于 6 个线段 AB 与 6 个 BC 弧长之和。将图中与 BC 弧类似的 6 个弧所对的圆心角平小学奥数基础教程（六年级）杨祖阔迎难而上- 19 -移拼补，得到 6 个角的和是 360°，所以 BC 弧所对的圆心 角是 60°，6 个 BC 弧等于直径 5 厘米的圆的周长。而线段 AB 等于塑料管的直径，由此知绳长=5×6＋5×3.14＝45.7 （厘米）。 例 3 左下图中四个圆的半径都是 5 厘米，求阴影部分 的面积。 所以，扇形的半径是 4 厘米。 例 6 右图中的圆是以 O 为圆心、径是 10 厘米的圆，求 阴影部分的面积。分析与解： 直接套用公式， 正方形中间的阴影部分的面 积不太好计算。容易看出， 正方形中的空白部分是 4 个四分 之一圆，利用五年级学过的割补法，可以得到右上图。右上 图的阴影部分的面积与原图相同， 等于一个正方形与 4 个半 圆（即 2 个圆）的面积之和，为（2r） ＋π r ×2=10 ＋3.14 ×50≈257（厘米 ）。 例 4 草场上有一个长 20 米、宽 10 米的关闭着的羊圈， 在羊圈的一角用长 30 米的绳子拴着一只羊（见左下图）。 问：这只羊能够活动的范围有多大？ S3 的面积又要用下图的基本思路求： 从这个基本思路可以看出：要想得到阴影部分 S1 的面 积，就必须想办法求出 S2 和 S3 的面积。2 2 2 2分析与解：解此题的基本思路是：分析与解：如右上图所示，羊活动的范围可以分为 A， B，C 三部分，所以羊活动的范围是例 5 右图中阴影部分的面积是 2.28 厘米 ，求扇形的半径。 现在就可以求出 S3 的面积，进而求出阴影部分的面积 了。 分析与解：阴影部分是扇形与等腰直角三角形相差的部分。 S3=S4-S5=50π -100（厘米 ）， S1=S2-S3=50π -（50π -100）=100（厘米 ）。 练习 11 1.直角三角形 ABC 放在一条直线上， 斜边 AC 长 20 厘米， 直角边 BC 长 10 厘米。如下图所示，三角形由位置Ⅰ绕 A 点转动，到达位置Ⅱ，此时 B，C 点分别到达 B1，C1 点；再 绕 B1 点转动，到达位置Ⅲ，此时 A，C1 点分别到达 A2，C2 点。 求 C 点经 C1 到 C2 走过的路径的长。2 22小学奥数基础教程（六年级）杨祖阔迎难而上- 20 -解：设∠CAB 为 n 度，半圆 ADB 的半径为 r。由题意有 2.下页左上图中每个小圆的半径是 1 厘米， 阴影部分的 周长是多少厘米？ 解得 n=60。 5.1∶3。 3.一只狗被拴在一个边长为 3 米的等边三角形建筑物的墙 角上（见右上图），绳长是 4 米，求狗所能到的地方的总面 积。6.3 圈。5.右上图是一个 400 米的跑道， 两头是两个半圆， 每一 半圆的弧长是 100 米，中间是一个长方形，长为 100 米。求 两个半圆的面积之和与跑道所围成的面积之比。 6.左下图中，正方形周长是圆环周长的 2 倍， 当圆环绕正方 形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，这个圆环转了几 圈？ 7.8 厘米 。2解：圆的面积是 4 π =16π （厘米 ），空白扇形面积占 圆面积的 17.右上图中，圆的半径是 4 厘米，阴影部分的面积是 14π 厘米 ，求图中三角形的面积。 答案与提示 练习 11 1.68 厘米。 的等腰直角三角形，面积为 4×4÷2=8（厘米 ）。 第 12 讲2 222圆柱与圆锥这一讲学习与圆柱体和圆锥体有关的体积、表面积等问题。2.62.8 厘米。 解：大圆直径是 6 厘米，小圆直径是 2 厘米。阴影部分 周长是 6π +2π ×7=62.8（厘米）。 3.43.96 米 。 解：如下页右上图所示，可分为半径为 4 米、圆心角为 300°的扇形与两个半径为 1 米、圆心角为 120°的扇形。 面积为 例 1 如右图所示，圆锥形容器中装有 5 升水，水面高 度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水？ 4.60°。2小学奥数基础教程（六年级）杨祖阔迎难而上- 21 -例 4 皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。皮球的直 分析与解： 本题的关键是要找出容器上半部分的体积与 下半部分的关系。 中后，水桶中的水面升高了多少厘米？ 径为 15 厘米，水桶这表明容器可以装 8 份 5 升水， 已经装了 1 份， 还能装 水 5×（8－1）=35（升）。 例 2 用一块长 60 厘米、宽 40 厘米的铁皮做圆柱形水 桶的侧面，另找一块铁皮做底。 这样做成的铁桶的容积最大 是多少？（精确到 1 厘米 ） 分析与解： 铁桶有以 60 厘米的边为高和以 40 厘米的边 为高两种做法。3解：皮球的体积是水面升高的高度是 450π ÷900π ＝0.5（厘米）。 时桶的容积是 答：水面升高了 0.5 厘米。 例 5 有一个圆柱体的零件，高 10 厘米，底面直径是 6 厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是 4 厘米，孔深 5 厘米（见右图）。如果将这个零件接触空气的 部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？ 桶的容积是例 3 有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈）， 容积是 30 分米 。现在瓶中装有一些饮料， 正放时饮料高度 为 20 厘米，倒放时空余部分的高度为 5 厘米（见右图）。 问：瓶内现有饮料多少立方分米？3分析与解：需要涂漆的面有圆柱体的下底面、外侧面、上面 的圆环、圆孔的侧面、圆孔的底面，其中上面的圆环与圆孔 的底面可以拼成一个与圆柱体的底面相同的圆。 涂漆面积为分析与解： 瓶子的形状不规则， 并且不知道底面的半径， 似乎无法计算。 比较一下正放与倒放， 因为瓶子的容积不变， 装的饮料的体积不变， 所以空余部分的体积应当相同。 将正 放与倒放的空余部分变换一下位置， 可以看出饮料瓶的容积 应当等于底面积不变，高为 20＋5=25（厘米）例 6 将一个底面半径为 20 厘米、高 27 厘米的圆锥形 铝块， 和一个底面半径为 30 厘米、 20 厘米的圆柱形铝块， 高 熔铸成一底面半径为 15 厘米的圆柱形铝块，求这个圆柱形 铝块的高。 解：被熔的圆锥形铝块的体积：小学奥数基础教程（六年级）杨祖阔迎难而上- 22 -被熔的圆柱形铝块的体积： ×302×20=18000π（厘米 ） π 。 熔成的圆柱形铝块的高：（3600π ＋18000π ）÷（π ×15 ） =21600π ÷225π =96（厘米）。 答：熔铸成的圆柱体高 96 厘米。 练习 12 1.右图是一顶帽子。帽顶部分是圆柱形，用黑布做；帽 沿部分是一个圆环，用白布做。如果帽顶的半径、高与帽沿 的宽都是 a 厘米，那么哪种颜色的布用得多？ 5.表面积 2942 厘米 ，体积 11140 厘米 。2 3 236.5 厘米。 2.一个底面直径为 20 厘米的圆柱形木桶里装有水，水 中淹没着一个底面直径为 18 厘米、 高为 20 厘米的铁质圆锥 体。当圆锥体取出后，桶内水面将降低多少？ 3.用直径为 40 厘米的圆钢锻造长 300 厘米、宽 100 厘 米、厚 2 厘米的长方形钢板，应截取多长的一段圆钢？ 第 13 讲 立体图形（一） 我们学过的立体图形有长方体、正方体、圆柱体、圆锥 体等。这一讲将通过长方体、正方体及其组合图形，讲解有 关的计数问题。 例 1 左下图中共有多少个面？多少条棱？容器高度的几分之几？分析与解：如右上图所示，可以分前、后、左、右、上、 下六个方向看这个立体图形。 5.右上图是一个机器零件，其下部是棱长 20 厘米的正 方体，上部是圆柱形的一半。求它的表面积与体积。 6.有两个盛满水的底面半径为 10 厘米、 高为 30 厘米的 圆锥形容器，将它们盛的水全部倒入一个底面半径为 20 厘 米的圆柱形容器内，求水深。 答案与提示 练习 12 1.一样多。 前、后看各有 1 个面，左面看有 1 个面，右面看有 2 个面，上面看有 2 个面，下面看有 1 个面。所以共有 1＋1+1+2＋2＋1= 8（个）面。 前后方向的棱有 6 条， 左右方向的棱有 6 条， 上下方向 的棱也有 6 条，所以共有棱 6＋6＋6=18（条）。 例 2 右图是由 18 个边长为 1 厘米的小正方体拼成的， 求它的表面积。2.5.4 厘米。 分析与解： 如果一面一面去数， 那么虽然可以得到答案， 但太麻烦，而且容易出错。仔细观察会发现，这个立体的上 3.47.8 厘米。 解： （300×100×2）÷（3.14×202）≈47.8（厘米）。 面与下面、左面与右面、前面与后面的面积分别相等。解：设水面高度是容器高度的 x 倍， 则水面半径也是容 器底面半径的 x 倍。根据题意得到小学奥数基础教程（六年级） 如上图所示，可求得表面积为 （9＋7＋8）×2=48（厘米 ）。2杨祖阔迎难而上 红色，不在面上的小立方体没有涂上红色。 根据上面的分析得到： 三面涂有红色的小立方体有 8 块；- 23 -方体两面涂有红色， 在面上而不在棱上的小立方体一面涂有例 3 右图是由 22 个小正方体组成的立体图形，其中共 有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方 体有多少个？两面涂有红色的小立方体， 因为每条棱上要去掉两头的 2 块，故有［（4-2）＋（5-2）+（6-2）］×4=36（块）； 一面涂有红色的小立方体， 因为每个面上要去掉周围一 圈的小立方体，故有 ［（4-2）×（5-2）＋（4-2）×（6-2）＋（5-2）× （6-2）］×2＝ 52（块）。分析与解：正方体只可能有两种： 由 1 个小正方体构成的正方体，有 22 个； 由 8 个小正方体构成的 2×2×2 的正方体，有 4 个。 所以共有正方体 22＋4=26（个）。 由两个小正方体组成的长方体， 根据摆放的方向可分为 下 图所示的上下位、左右位、前后位三种，其中上下位有 13 个， 左右位有 13 个， 前后位有 14 个， 共有 13＋13＋14=40 （个）。一般地， a， c 都不小于 2 时， 当 b， 对于 a×b×c 的立方体： 三面涂有红色的小立方体有 8 块； 两面涂有红色的小立方体的块数是： ［（a-2）＋（b-2）＋（c-2）］×4； 一面涂有红色的小立方体的块数是： ［（a-2）×（b-2）＋（a-2）×（c-2）＋（b-2）×（c-2）］ ×2； 没有被涂上红色的小立方体的块数是： （a-2）×（b-2）×（c-2）。 例 6 给一个立方体的每个面分别涂上红、黄、蓝三种 颜色中的一种， 每种颜色涂两个面， 共有多少种不同涂法？ （两种涂法， 经过翻动能使各种颜色的位置相同， 认为是相例 4 有一个棱长为 5 厘米的正方体木块，从它的每个 面看都有一个穿透的完全相同的孔（见下页左上图），求这 个立体图形的表面积。同的涂法。） 分析与解：根据两个红色面相对还是相邻可分为两情况。 （1）两个红色面相对。此时，有蓝蓝相对和蓝蓝相邻 两种涂法。 （2）两个红色面相邻。此时，除蓝蓝相对和黄黄相对 两种涂法外，当蓝黄相对时，按右图摆放，底面有蓝或黄两 种涂法。 所以共有 6 种不同涂法。分析与解： 由于正方体中间被穿了孔， 表面积不好计算。 我们可以将这个立体图形看成由 8 个棱长为 2 厘米的正方体 和 12 个棱长为 1 厘米的立方体粘合而成。如右上图所示， 八个棱长为 2 厘米的正方体分别在 8 个顶角，12 个棱长 1 厘米的正方体分别在 12 条棱的中间。由于每个小正方体都 有 2 个面分别粘接两个较大正方体， 相对于不粘接， 减少了 表面积 4 厘米 ，所以总的表面积为 （2×2×6）×8＋（1×1×6）×12-4×12=216（厘米 ）。 例 5 右图是由 120 块小立方体构成的 4×5×6 的立方 体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面三面被涂 成红色的小立方体各有多少块？ 2.有 30 个边长为 1 米的正方体，在地面上摆成右上图的 形式， 然后把露出的表面涂成红色。 求被涂成红色的表面积。 3.有一个正方体，红、黄、蓝色的面各有两面。在这个 正方体中， 有一些顶点是三种颜色都不同的面的交点，这种 分析与解：一个长方体有 8 个角、12 条棱、6 个面，角 上的 8 个小立方体三面涂有红色， 在棱上而不在角上的小立 顶点最多有几个？最少有几个？2 2练习 13 1.下页左上图中共有多少个面？多少条棱？小学奥数基础教程（六年级） 1 厘米3杨祖阔迎难而上 （见右上图）。- 24 -4.将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个体积为 的小正方体，其中一点红色都没有的小立方体只有 3 块。求原来长方体的体积。 5.将一个 5×5×5 的立方体表面全部涂上红色， 再将其 分割成 1×1×1 的小立方体， 取出全部至少有一个面是红色 的小立方体，组成表面全部是红色的长方体。那么，可组成 的长方体的体积最大是多少？ 6.在边长为 3 分米的立方体木块的每个面的中心打一 个直穿木块的洞，洞口呈边长为 1 分米的正方形（见左下 图）。求挖洞后木块的体积及表面积。最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染 2 个红色方格 所以，红色方格最多有 5×2+4×2+2×2=22（个）。 第 14 讲 立体图形（二） 本讲主要讲长方体和立方体的展开图， 各个面的相对位 置，提高同学们的看图能力和空间想象能力。例 1 在下面的三个图中，有一个不是右面正四面体的 展开图，请将它找出来。7.把正方体的六个表面都划分成 9 个相等的正方形 （右 上图）。用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有 公共边的正方形染不同的颜色， 那么， 用红色染的正方形最 多有多少个？ 答案与提示 练习 13 1.9 个面，21 条棱。 2.56 米 。 解：4×4+（1+2+3+4）×4=56（米 ）。 3.8 个；2 个。 提示：颜色相同的面两两相对时有 8 个； 颜色相同的面两两相邻时有 2 个。 4.45 厘米 。 解： 3 块小立方体构成的长方体体积为 1×1×3 厘米 ， 由 故原来长方体的体积为 （1+2）×（1+2）×（3+2）=45（厘米 ）。 5.96。 解：至少有一个面是红色的小立方体有 5 -3 =98（个），其 中三面红的 8 个，两面红的 36 个，一面红的 54 个。可以组 成 4×4×6 的表面全是红色的长方体，体积是 4×4×6=96。 6.20 分米 ；72 分米 。 7.22 个。 解：一个面最多有 5 个方格可染成红色（见左下图）。 因为染有 5 个红色方格的面不能相邻， 可以相对， 所以至多 有两个面可以染成 5 个红色方格。 我们可以借助一个现成工具――右手， 帮助判断三个面 的相对位置。 伸出右手， 让除大姆指外的四指从 A 向 B 弯曲， 此时， 左上图中 C 位于大姆指指向的方向， 右上图中 C 位于 其余四个面中， 每个面的四个角上的方格不能再染成红 色，至多能染 4 个红色方格（见上中图）。因为染有 4 个红 色方格的面也不能相邻， 可以相对， 所以至多有两个面可以 染成 4 个红色方格。 大姆指指向的相反方向。所以两个图 A，B，C 三个面的相对 位置不同。 用这种方法判断三个面相对位置的方法称为右手 方法。（这也是建立空间坐标系的方法）。 用右手方法很容易判断出，图 4 是所求的展开图。3 3 3 3 3 3 3 2 2分析与解：观察四面体容易看出， 每个顶点都是三个面的 交点，即四面体的每个顶点只与三个面相连，而在图 2 中， “中心点” 与四个面相连， 所以图 2 不是正四面体的展开图。 例 2 在下面的四个展开图中，哪一个是右图所示立方 体的展开图？分析与解：观察立方体图形，A，B，C 三个面两两相邻， 即三个面有一个公共顶点。再看四个展开图，图 1 中 A 与 C 不相邻，是相对的两个面，不合题意；图 3 中 C 与 B 是相对 的两个面，也不合题意；图 2、图 4 中 A，B，C 三个面都相 邻，还需进步判别。我们看下面的两个立方体图形：这两个图虽然相似， 但是 A， C 三个面的相对位置不同。 B，小学奥数基础教程（六年级） 时，1 点与哪些点重合？杨祖阔迎难而上- 25 -例 3 右图是一个立方体纸盒的展开图，当折叠成纸盒分析与解：截的方法有多种，所以一定要分情况讨论。截口 通过 1 条棱是 1 种情况， 截口通过 2 条棱是 1 种情况，截口 不通过任何棱有 2 种情况。所以共有下图所示的四种可能。分析与解： 直接想象将展开图折叠成纸盒时的情景， 也 可以得到答案。现在我们从另一个角度来分析。 在左下图所 示的立方体上观察 8 个顶点，其中与 A 点不在一个 练习 14 1.在下列各图中，哪些是正方体的展开图？表面上的只有 B 点，也就是说，沿着表面走，这两个点 的路程最远。在展开图上， 这两个点恰好是相邻两个小正方 形所构成的长方形的对角线上的两个端点。在上页右下图 中，1，2，6 点都距 9 点最远，也就是说，1，2，6 点都与 9 点不在一个表面上。而与 9 点不在一个表面上的只有一个 点，所以 1，2，6 点是同一个点，即折叠成纸盒时，1，2， 6 点重合。 例 4 有两块六个面上分别写着 1～6 的相同的数字积 木，摆放如下图。在这两块积木中，相对两个面上的数字的 乘积最小是多少？分析与解：由两图看出，5 与 1，3，4，6 都相邻，所 以 5 的对面只能是 2；对右上图使用右手方法，四指由 5 向 4 弯曲，大姆指指向 6，将 5，4，6 的这个关系移到左上图， 立刻得到 1 的对面是 4，3 的对面是 6。 5×2＝10，1×4＝4，3×6＝18， 相对两个面上的数字的乘积最小是 4。 例 5 有五颗相同的骰子放成一排（如下图），五颗骰 子底面的点数之和是多少？ 2.将左下图沿虚线折成一个立方体， 它的相交于一个顶点处 的三个面上的数字之和的最大值是多少？最小值是多少？3.有四枚相同的骰子，展开图如右上图（1）。问：在 分析与解：五颗骰子有三颗露出了 5，并且 5 和 1，2， 3，6 相邻，所以 5 的对面是 4；2 与 1，3，5 相邻，因为 5 与 4 相对，故 2 也与 4 相邻，所以 2 的对面是 6；剩下的 1 与 3 必相对。 五颗骰子底面的点数从左至右依次是 4，6，3，1，4， 其和为 4＋6＋3＋1＋4＝18。 例 6 用一平面去截一个立方体，把立方体截成两个部 分， 截口是一个矩形的。 这两个部分各是几个面围成的？ 问： 4.将一个立方体纸盒沿棱剪开， 使之展开成右图所示的 图形，一共要剪开几条棱？ 5.左下图是图（1） （2） （3）中哪个正方体的展开图？ 右上图（2）中，从上往下数第二、三、四枚骰子的上顶面 的点数之和是多少？小学奥数基础教程（六年级）杨祖阔迎难而上 设 C 只写了一遍，所以 C 写了两遍。 7.A。- 26 -判断，图（2）与图（3）不符。这个矛盾的出现，是因为假提示：木块沿直线滚动 4 格，与原来的状态相同，所以 6.在一个立方体的六个面上分别写有 A，B，C，D，E 五个字母，其中两个面写有相同的字母。 下图是它的三个视 图。问：哪个字母被写了两遍？ 木块到第 5，9，13，17，21 格时，与在第 1 格的状态相同。 第 15 讲 棋盘的覆盖 同学们会下棋吗？下棋就要有棋盘， 下面是中国象棋的 棋盘（图 1），围棋棋盘（图 2）和国际象棋棋盘（图 3）。7.右图中第 1 格内放着一个立方体木块， 木块六个面上 分别写着 A，B，C，D，E，F 六个字母，其中 A 与 D，B 与 E， C 与 F 相对。如果将木块沿着图中方格滚动，那么当木块滚 动到第 21 个格时，木块向上的面写的是哪个字母？ 用某种形状的卡片， 按一定要求将棋盘覆盖住， 就是棋 盘的覆盖问题。实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只 要是有关覆盖若干行、 若干列的方格网的问题， 就是棋盘的 覆盖问题。 棋盘的覆盖问题可以分为两类：一是能不能覆盖的问 题，二是有多少种不同的覆盖方法问题。 例 1 要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多 少个右图所示的图形？ 答案与提示 练习 14 1.（2）（3）（6）（8）（9）（12）（14）（16）（17） （19）（20）共 11 个。 2.13；8。 提示：最大是 6+4+3=13；最小是 1+2+5=8。 3.12。 提示：用右手方法可得，第二、三、四枚骰子上顶面的 点数依次为 3，6 和 1。 4.7 条。 提示： 每剪开一条棱， 展开图的周长就会增加 2 条棱长。 展开图的周长是 14 条棱长，所以剪开了 14÷2=7（条）棱。 注：沿棱剪，无论剪成哪种连通的展开图，都要剪开 7 条棱。也就是说，无论哪种展开图，周长都等于 14 条棱长。 5.图（1）。 提示：图（2）正面有两个相连的阴影的正方形，展开 图中找不到，所以不是图（2）；图（3）正面与右侧面各有 两个阴影正方形，这四个阴影正方形没有相邻的边， 而展开 图中有两个阴影正方形的面，折叠后有两个阴影正方形相 邻，所以不是图（3）。 6.C。 解：假设 C 只写了一遍。因为 C 与 A，B，D，E 都相邻， 所以被写了两遍的字母在 C 的对面。 C 相邻的四个字母的 与 相互位置是确定的。图（2）（3）都有 D，C，用右手方法 分析与解：在五年级学习“奇偶性”时已经讲过类似问 题。左上图共有 34 个小方格，17 个 1×2 的卡片也有 34 个 小方格，好象能覆盖住。我们将左上图黑白相间染色，得到 右上图。细心观察会发现，右上图中黑格有 16 个，白格有 18 个，而 1×2 的卡片每次只能盖住一个黑格与一个白格， 分析与解： 因为图形由 3 个小方格构成， 所以要拼成的 正方形内所含的小方格数应是 3 的倍数， 从而正方形的边长 应是 3 的倍数。经试验，不可能拼成边长为 3 的正方形。所 以拼成的正方形的边长最少是 6（见右图），需要用题目所 示的图形 36÷3= 12（个）。小学奥数基础教程（六年级） 盖住左上图。杨祖阔迎难而上- 27 -所以 17 个 1×2 的卡片应当盖住黑、白格各 17 个，不可能 例 3 下图的七种图形都是由 4 个相同的小方格组成的。 现在要用这些图形拼成一个 4×7 的长方形（可以重复使用 某些图形），那么，最多可以用上几种不同的图形？ 综上所述，要拼成 11×11 的正方形，至少要用 1 个 1 ×1 的小正方形。 分析与解：先从简单的情形开始考虑。显然，只用 1 种图形是可以的，例如用 7 个（7）；用 2 种图形也没问题， 例如用 1 个（7），6 个（1）。经试验，用 6 种图形也可以 拼成 4×7 的长方形（见下图）。 例 5 用七个 1×2 的小长方形覆盖下图，共有多少种不 同的覆盖方法？能否将 7 种图形都用上呢？7 个图形共有 4×7=28 个） （ 小方格，从小方格的数量看，如果每种图形用 1 个，那么有 可能拼成 4×7 的长方形。但事实上却拼不成。为了说明， 我们将 4×7 的长方形黑、白相间染色（见右图），图中黑、 白格各有 14 个。在 7 种图形中，除第（2）种外，每种图形 都覆盖黑、白格各 2 个，共覆盖黑、白格各 12 个，还剩下 黑、白格各 2 个。第（2）种图形只能覆盖 3 个黑格 1 个白 格或 3 个白格 1 个黑格， 因此不可能覆盖住另 6 种图形覆盖 后剩下的 2 个黑格 2 个白格。分析与解：盲目无章的试验，很难搞清楚。我们采用分 类讨论的方法。如下图所示， 盖住 A 所在的小格只有两种情况， 其中左 下图中①②两个小长方形只能如图覆盖， 其余部分有 4 种覆 盖方法： 右下图中①②③三个小长方形只能如图覆盖，其余 部分有 3 种覆盖方法。所以，共有 7 种不同覆盖方法。 例 6 有许多边长为 1 厘米、2 厘米、3 厘米的正方形硬 纸片。 用这些硬纸片拼成一个长 5 厘米、 3 厘米的长方形 宽综上所述， 要拼成 4×7 的长方形， 最多能用上 6 种图形。 例 4 用 1×1， 2×2， 3×3 的小正方形拼成一个 11×11 的大正方形，最少要用 1×1 的正方形多少个？ 分析与解： 3 个 2×2 正方形和 2 个 3×3 正方形可以 用 拼成 1 个 5×6 的长方形（见左下图）。用 4 个 5×6 的长方 形和 1 个 1×1 的正方形可以拼成 1 个 11×11 的大正形 （见右下图）。的纸板， 共有多少种不同的拼法？ （通过旋转及翻转能相互 得到的拼法认为是相同的拼法） 解：有一个边长 3 厘米纸片有如下 3 种拼法：有两个边长 2 厘米纸片的有如下 4 种拼法：有一个边长 2 厘米及 11 个边长 1 厘米纸片的有 2 种拼 法，边长全是 1 厘米纸片的有 1 种拼法。 上面说明用 1 个 1×1 的正方形和若干 2×2， 3×3 的正方 形可以拼成 11×11 的大正方形。那么，不用 1×1 的正方 形， 只用 2×2， 3×3 的正方形可以拼成 11×11 的正方形吗？ 将 11×11 的方格网每隔两行染黑一行（见下页右上 图）。将 2×2 或 3×3 的正方形沿格线放置在任何位置，都 将覆盖住偶数个白格，所以无论放置多少个 2×2 或 3×3 的正方形，覆盖住的白格数量总是偶数个。但是，右图中的 白格有 11×7=77（个），是奇数，矛盾。由此得到，不用 1 ×1 的正方形不可能拼成 11×11 的正方形。 共有不同的拼法 3＋4＋2+1=10（种）。 答：共有 10 种不同的拼法。 练习 15小学奥数基础教程（六年级） 卡片？（要求卡片的边缘与格线重合）杨祖阔迎难而上 4.25 种。- 28 -在不重叠的情形下， 不能再在正方形中多放一个这样的形如图（A）（B）（C）（D）的依次有 3，10，6，6 种。5.6 种。 解：用小正方形拼成边长为 4 的大正方形有 6 种情形： （1）1 个 3×3，7 个 1×1；（2）1 个 2×2，12 个 1×1； （3）2 个 2×2，8 个 1×1； （4）3 个 2×2，4 个 1×1； 4.小明有 8 张连在一起的电影票（如右图），他自己要 留下 4 张连在一起的票， 其余的送给别人。 他留下的四张票 可以有多少种不同情况？ （5）4 个 2×2；（6）16 个 1×1。 6.5 种。 提示： 盖住 A 有下图所示的 5 种方法， 其中左下图所示的 3 种都无法覆盖；下中图中，①放好后，左下方和右上方各 有 2 种放法， 共有 4 种覆盖方法； 右下图只有 1 种覆盖方法。5.有若干个边长为 1、边长为 2、边长为 3 的小正方形，从 中选出一些拼成一个边长为 4 的大正方形， 共有多少种不同 拼法？ （只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼 法） 7.不能。 提示：用 1，2，3，4 对 6×6 棋盘中的小方格编号（见 右图）。一个 1×4 的矩形一次只能覆盖 1，2，3，4 号各一 个，而 1，2，3，4 号数目不等，分别有 9，10，9，8 个。7.能不能用 9 个 1×4 的长方形卡片拼成一个 6×6 的正方 形？ 答案与提示 练习 15 1.3 个。提示：左下图是一种放法。 第 16 讲 找规律 同学们从三年级开始，就陆续接触过许多“找规律”的 题目，例如发现图形、数字或数表的变化规律，发现数列的 变化规律， 发现周期变化规律等等。 这一讲的内容是通过发 现某一问题的规律，推导出该问题的计算公式。 例 1 求 99 边形的内角和。 2.图（2）。 提示：图（1）的小方格数不是 3 的倍数；图（3）的小 方格数是 3 的倍数但拼不成；图（2）的拼法见右上图。 3.不能。 提示：右图中黑、白格各 18 个，每张卡片盖住的黑格 数是奇数，9 张卡片盖住的黑格数之和仍是奇数，不可能盖 住 18 个黑格。 如上图所示，将四边形 ABCD 分成两个三角形，每个三角形 的内角和等于 180°，所以四边形的内角和等于 180°×2= 360°；同理，将五边形 ABCDE 分成三个三角形，得到五边 分析与解：三角形的内角和等于 180°，可是 99 边形 的内角和怎样求呢？我们把问题简化一下， 先求四边形、五 边形、六边形??的内角和，找一找其中的规律。小学奥数基础教程（六年级）杨祖阔迎难而上- 29 -形的内角和等于 180°×3＝540°；将六边形 ABCDEF 分成 四个三角形，得到六边形的内角和等于 180°×4＝720°。 通过上面的图形及分析可以发现， 多边形被分成的三角 形数，等于边数减 2。由此得到多边形的内角和公式： n 边形的内角和=180°×（n-2）（n≥3）。 有了这个公式，再求 99 边形的内角和就太容易了。 99 边形的内角和=180°×（99-2）＝17460°。 例 2 四边形内有 10 个点， 以四边形的 4 个顶点和这 10 个点为三角形的顶点，最多能剪出多少个小三角形？ 分析与解：在 10 个点中任取一点 A，连结 A 与四边形 的四个顶点，构成 4 个三角形。 再在剩下的 9 个点中任取一 点 B。如果 B 在某个三角形中，那么连结 B 与 B 所在的三角 形的三个顶点，此时三角形总数增加 2 个（见左下图）。如 果 B 在某两个三角形的公共边上， 那么连结 B 与 B 所在边相 对的顶点，此时三角形总数也是增加 2 个（见右下图）。分析与解：4 条直线时，我们可以试着画，100 条直线 就不可能再画了，所以必须寻找到规律。如下图所示，一个 圆是 1 块；1 条直线将圆分为 2 块，即增加了 1 块；2 条直 线时，当 2 条直线不相交时，增加了 1 块，当 2 条直线相交 时，增加了 2 块。由此看出，要想分成的块尽量多，应当使 后画的直线尽量与前面已画的直线相交。再画第 3 条直线时， 应当与前面 2 条直线都相交，这样 又增加了 3 块（见左下图）；画第 4 条直线时，应当与前面 3 条直线都相交，这样又增加了 4 块（见右下图）。所以 4 条直线最多将一个圆分成 1＋1＋2＋3＋4=11（块）。类似地，每增加一个点增加 2 个三角形。 所以，共可剪出三角形 4＋ 2× 9= 22（个）。 如果将例 2 的“10 个点”改为 n 个点，其它条件不变， 那么由以上的分析可知，最多能剪出三角形 4＋2×（n-1）=2n＋2=2×（n＋1）（个）。 同学们都知道圆柱体，如果将圆柱体的底面换成三角 形，那么便得到了三棱柱（左下图）；同理可以得到四棱柱 （下中图），五棱柱（右下图）。由上面的分析可以看出， 画第 n 条直线时应当与前面已 画的（n―1）条直线都相交，此时将增加 n 块。因为一开始 的圆算 1 块，所以 n 条直线最多将圆分成 1＋（1＋2＋3＋?＋n） =1＋n（n+1）÷2（块）。 当 n=100 时，可分成 1＋100×（100＋1）÷2=5051（块）。 例 5 用 3 个三角形最多可以把平面分成几部分？10 个三角 形呢？ 分析与解：平面本身是 1 部分。 一个三角形将平面分成三角 形内、外 2 部分，即增加了 1 部分。两个三角形不相交时将 平面分成 3 部分，相交时，交点越多分成的部分越多（见下 图）。如果底面是正三角形、 正四边形、 正五边形??那么相 应的柱体就是正三棱柱、正四棱柱、正五棱柱?? 例 3 n 棱柱有多少条棱？如果将不相交的两条棱称为一 对，那么 n 棱柱共有多少对不相交的棱？ 分析与解：n 棱柱的底面和顶面都是 n 边形，每个 n 边 形有 n 个顶点，所以 n 棱柱共有 2n 个顶点。观察三棱柱、 四棱柱、五棱柱的图形，可以看出，每个顶点都与三条棱相 连，而每条棱连接 2 个顶点，所以 n 棱柱共有棱 2n×3÷ 2=3n（条）。 进一步观察可以发现，n 棱柱中每条棱都与 4 条棱相交，与 其余的 3n－4-1 =（3n－5）条棱不相交。共有 3n 条棱，所 以不相交的棱有 3n×（3n- 5）（条），因为不相交的棱是 成对出现的，各计算一遍就重复了一遍， 所以不相交的棱共 有 直线呢？ 3n×（3n-5）÷2（对）。 例 4 用四条直线最多能将一个圆分成几块？用 100 条 由上图看出， 新增加的部分数与增加的交点数相同。所 以，再画第 3 个三角形时，应使每条边的交点尽量多。对于 每个三角形， 因为 1 条直线最多与三角形的两条边相交，所 以第 3 个三角形的每条边最多与前面 2 个三角形的各两条边 相交，共可产生 3×（2×2）= 12（个）交点，即增加 12 部分。因此， 3 个三角形最多可以把平面分成 1＋1＋6＋12= 20（部分）。 由上面的分析，当画第 n（n≥2）个三角形时，每条边 最多与前面已画的（n―1）个三角形的各两条边相交，共可 产生交点小学奥数基础教程（六年级）杨祖阔迎难而上- 30 -3×［（n―l）×2］=6（n―1）（个），能新增加 6（n －1）部分。因为 1 个三角形时有 2 部分，所以 n 个三角形 最多将平面分成的部分数是 2＋6×［1＋2＋?＋（n―1）］ 这个过程还可以继续下去，虽然一直没有得到 100，但 当 n=10 时， 可分成 2＋3×10× （10―1） =272 （部分） 。 练习 16 1.求 12 边形的内角和。 2.五边形内有 8 个点。 以五边形的 5 个顶点和这 8 个点 为三角形的顶点，最多能剪出多少个小三角形？ 3.已知 n 棱柱有 14 个顶点，那么，它有多少条棱？ 4.n 条直线最多有多少个交点？ 5.6 条直线与 2 个圆最多形成多少个交点？ 6.两个四边形最多把平面分成几部分？ 答案与提示练习 16 1.1800°。 2.19 个。 提示：与例 2 类似可得 5+2×（8-1）=19（个）。 3.21 条棱。提示：n 棱柱有 2n 个顶点，3n 条棱。 4.n（n-1）÷2。 解：1+2+3+?+（n-1）=n（n-1）÷2。 5.41 个。 解：6 条直线有交点 6×（6-1）÷2=15（个），每条直 线与两个圆各有 2 个交点， 两个圆之间有 2 个交点， 共有交 点 15+6×4+2=41（个）。 6.10 部分。 提示：见右图。与例 5 类似，当画第 n（n≥2）个四边 形时，每条边应与已画的（n-1）个四边形的各 2 条边相交， 共可产生交点 也不能肯定得不到 100。当然，连续操作下去会发现，数字 一旦重复出现后， 这一过程就进入循环， 这时就可以肯定不 会出现 100。因为这一过程很长，所以这不是好方法。 解： 因为 231 和 121 都是 11 的倍数， 不是 11 的倍数， 2 所以在操作过程中产生的数也应当是 11 的倍数。100 不是 11 的倍数，所以不可能出现。 由例 1 看出，操作问题不要一味地去“操作”，而要找 到解决问题的窍门。 例 2 对任意两个不同的自然数，将其中较大的数换成 这两数之差， 称为一次变换。 如对 18 和 42 可进行这样的连 续变换： 18， 42―→ 18， 24―→ 18， 6―→ 12， 6―→ 6， 6。直到两数相同为止。问：对 12345 和 54321 进行这样的 连续变换，最后得到的两个相同的数是几？ 分析与解：如果两个数的最大公约数是 a，那么这两个 数之差与这两个数中的任何一个的最大公约数也是 a。因此 在每次变换的过程中， 所得两数的最大公约数始终不变，所 以最后得到的两个相同的数就是它们的最大公约数。因为 12345 和 54321 的最大公约数是 3，所以最后得到的两个相 同的数是 3。 注： 这个变换的过程实际上就是求两数最大公约数的辗转相 除法。 例 3 右图是一个圆盘，中心轴固定在黑板上。开始时， 圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着 0。然后转动圆盘， 每次可以转动 90°的任意整数倍，圆盘上的四个数将分别 正对着黑板上写数的位置， 将圆盘上的数加到黑板上对应位 置的数上。问：经过若干次后，黑板上的四个数是否可能都 是 999？ 4×[（n-1）×2]=8（n-1）（个），新增加 8（n-1）部分。 因为 1 个四边形有 2 部分， 所以 n 个四边形最多将平面分成 2+8×[1+2+?+（n-1）]=2+4n（n-1）（部分）。 第 17 讲 操作问题 所谓操作问题， 实际上是对某个事物按一定要求进行的 一种变换，这种变换可以具体执行。例如，对任意一个自然 数，是奇数就加 1，是偶数就除以 2。这就是一次操作，是 可以具体执行的。 操作问题往往是求连续进行这种操作后可 能得到的结果。 例 1 对于任意一个自然数 n， n 为奇数时， 当 加上 121； 当 n 为偶数时，除以 2。这算一次操作。现在对 231 连续进 行这种操作，在操作过程中是否可能出现 100？为什么？ 讨论：同学们碰到这种题，可能会“具体操作”一下，得到 解： 不可能。 因为每次加上的数之和是 1＋2＋3＋4=10， 所以黑板上的四个数之和永远是 10 的整数倍。 999× 4=3996， 不是 10 的倍数， 所以黑板上的四个数不可都是 999。 例 4 在左下图中，对任意相邻的上下或左右两格中的 数字同时加 1 或减 1， 这算作一次操作。 经过若干次操作后， 左下图变为右下图。问：右下图中 A 格中的数字是几？小学奥数基础教程（六年级）杨祖阔迎难而上- 31 -分析与解： 每次操作都是在相邻的两格， 我们将相邻的 两格染上不同的颜色（见右图）。因为每次操作总是一个黑 格与一个白格的数字同时加 1 或减 1，所以所有黑格内的数 字之和与所有白格内的数字之和的差保持不变。 因为原题左 图的这个差是 13，所以原题右图的这个差也是 13。由（A ＋12）-12=13 解得 A=13。 例 5 将 1～10 十个数随意排成一排。如果相邻两个数 中，前面的数大于后面的数，那么就交换它们的位置。如此 操作下去，直到前面的数都小于后面的数为止。当 1～10 十个数如下排列时，需交换多少次？ 8，5，2，6，10，7，9，1，4，3。 分析与解：为了不打乱仗，我们按照一定的方法来交换。例 如， 从最大的数 10 开始交换， 10 交换到它应在的位置后， 将 再依次对 9，8，7，?实施交换，直至按从小到大排列为止。 因为 10 后面有 5 个比它小的数，所以对 10 连续交换 5 次， 10 到了最右边，而其它各数的前后顺序没有改变；再看 9， 9 后面有 3 个比它小的数， 需交换 3 次， 到了右边第二位， 9 排在 10 前面；再依次对 8，7，6，?实施这样的交换。 10 后面有 5 个比它小的数，我们说 10 有 5 个逆序；9 后面有 3 个比它小的数，我们说 9 有 3 个逆序；类似地，8， 7，6，5，4，3，2 依次有 7，3，3，4，1，0，1 个逆序。 因为每个数要交换的次数就是它的逆序数，所以需交换 5＋3＋7＋3＋3＋4＋1＋0＋1= 27（次）。 例 6 右图是一个 5×6 的方格盘。先将其中的任意 5 个方格 染黑。然后按以下规则继续染色： 如果某个格至少与两个黑格都有公共边， 那么就将这个格染 黑。 这样操作下去，能否将整个方格盘都染成黑色？2.在黑板上任意写一个自然数， 然后用与这个自然数互 质并且大于 1 的最小自然数替换这个数， 称为一次操作。 问： 最多经过多少次操作，黑板上就会出现 2？ 3.口袋里装有 101 张小纸片，上面分别写着 1～101。 每次从袋中任意摸出 5 张小纸片， 然后算出这 5 张小纸片上 各数的和， 再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋 中。经过若干次这样的操作后，袋中还剩下一张纸片，这张 纸片上的数是几？ 4.在一个圆上标出一些数： 第一次先把圆周二等分，在 两个分点分别标上 2 和 4。 第二次把两段半圆弧分别二等分， 在分点标上相邻两分点两数的平均数 3（见右图）。第三次 把四段弧再分别二等分， 在四个分点分别标上相邻两分点两 数的平均数。如此下去，当第 8 次标完后，圆周上所有标出 的数的总和是多少？5.六个盘子中各放有一块糖， 每次从任选的两个盘子中 各取一块放入另一个盘子中， 这样至少要做多少次， 才能把 所有的糖都集中到一个盘子中？ 6.将 1～10 十个数随意排成一排。如果相邻两个数中， 前面的大于后面的， 那么就交换它们的位置。 如此操作下去， 直到前面的数都小于后面的数为止。已知 10 在这列数的第 4 位，那么最少要交换多少次？最多要交换多少次？ 7.在右图的方格表中， 每次给同一行或同一列的两个数 加 1，经过若干次后，能否使表中的四个数同时都是 5 的倍 数？为什么？答案与提示 分析与解：以一个方格的边长为 1，开始时 5 个黑格的 总周长不会超过 4×5=20。以后每染一个格，因为这个格至 少与两个黑格都有公共边， 所以染黑后所有黑格的总周长不 会增加。左下图中，A 与 4 个黑格有公共边，染黑后，黑格 的总周长将减少 4；下中图中，A 与 3 个黑格有公共边，染 黑后，黑格的总周长将减少 2；右下图中，A 与 2 个黑格有 公共边，染黑后，黑格的总周长不变。也就是说按照这种方 法染色，所有黑格的总周长永远不会超过 20，而 5×6 方格 盘的周长是 22，所以不能将整个方格盘染成黑色。 1.106。练习 17提示：操作一次，黑板上的数减少 1 个，数字总和减少 1。经过 14 次操作，剩下的一个数是 （1+2+?+15）-14=106。 2.2 次。 提示：若写的是奇数，则只需 1 次操作；若写的是大于 2 的偶数，则经过 1 次操作变为奇数，再操作 1