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历届(1-24)“希望杯”全国数学邀请赛八年级
希望杯第一届（1990 年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分） 1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 A．45°. B．75°.C．55°. 2．2的平方的平方根是 A．2. B．?10()D．65°() D．46 5 4 3 22.9C．±2.8 73．当x=1时，a0x -a1x +a0x -a1x -a1x +a1x -a0x +a1x -a0x +a1x的值是( A．0 B．a0. C．a1 D．a0-a1 ))4. Δ ABC,若AB= ? ,BC=1+ 2 ,CA= 7 ,则下列式子成立的是(A．∠A＞∠C＞∠B;B．∠C＞∠B＞∠A;C．∠B＞∠A＞∠C;D．∠C＞∠A＞∠B 5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( A．4个 B．5个. C．6个. ] D．7 )6． 5 2 ? 7 的立方根是[ （A） 2 ? 1 .（B） 1? 2 .（C） ? ( 2 ? 1) . （D） 2 ? 1 .7．把二次根式 a ? ? 1 化为最简二次根式是[ ] a (A)a . (B) ? a . (C) ? ? a . (D)?a8．如图1在△ABC中，AB=BC=CA，且AD=BE=CF，但D，E，F不是AB，BC，CA的中点．又 AE，BF，CD分别交于M，N，P，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角 形，那么从图中能找出全等三角形( A．2组 9.已知 B．3组.C．4组 D．5组。 )x 2 ? 2 xy ? 2 y ? 1 y2 ?1 y ?1 等于一个固定的值， ? 2 ? 2 x ?1 2 y ? xy ? y ? x ? 1 x ? 1) C．2. D．4.则这个值是( A．0.B．1.把f1990化简后，等于 A．()x 1 . B.1-x. C. . D.x. x ?1 x二、填空题（每题1分，共10分）. 1. 130 ? 66 ? ________2 23 ? 9 ? 1 ? ? 3 ? 2. 121 ? 0.0196 ? ? ? . ? ? ? __________ ? 625 ? ? 125 ? ? ? ???3. 8 ? 98 ? 50 =________. 4．如图2，∠A=60°，∠1=∠2，则∠ABC的度数是______．5．如图3,O是直线AB上一点,∠AOD=117°,∠BOC=123°,则∠COD的度数是____度． 6．△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线与∠B的平分线交于O点，则∠AOB的度数是 ______度． 7．计算下面的图形的面积（长度单位都是厘米）（见图4）.答：______． 8．方程x +px+q=0，当p＞0，q＜0时，它的正根的个数是______个． 9．x，y，z适合方程组2?8x ? 2 y ? z 6 x ? z x ? y ? ? ? 5 3 2 ? ? x ? y ? z x ?1 y ?1 ? ? ? 3 5 3 ? ?3 x ? 4 y ? 5 z ? 1 ? ?则1989x-y+25z=______． 10．已知3x +4x-7=0，则6x +11x -7x -3x-7=______．2 4 3 2答案与提示 一、选择题提示： 1．因为所求角α =5(90°-α ),解得α =75°．故选(B)． 2．因为2的平方是4，4的平方根有2个，就是±2．故选(C)． 3．以x=1代入，得a0-a1+a0-a1-a1+a1-a0+a1-a0+a1=2a0-3a1+3a1-2a0=0．故选(A)． ＜3， 根据大边对大角， 有∠C＞∠B＞∠A． 5．如图5，数一数即得．又因原式中有一个负号．所以也不可能是(D)，只能选(A)．7．∵a＜0，故选(C)．8．有△ABE，△ABM，△ADP，△ABF，△AMF等五种类型．选(D)． 9． 题目说是一个固定的值， 就是说： 不论x， y取何值， 原式的值不变． 于是以x=y=0 代入，得： 故选(B)．故选(A)． 二、填空题提示：4．∠ADC=∠2+∠ADB=∠1+∠ADB=180°--∠A=120° 所以∠ADC的度数是120度． 5．∠COD度数的一半是30度．8．∵Δ =p -4q＞p ．229．方程组可化简为：解得： x=1，y=-1，z=0． ∴1989x-y+25z=1990． 10．∵6x +11x -7x -3x-7=(3x +4x-7)(2x +x+1)而3x +4x-7=0．4 3 2 2 2 2希望杯第一届（1990）第二试试题一、选择题:（每题1分，共5分） 1.等腰三角形周长是24cm，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的 底边长是[ ] A．7.5 B．12. C．4. D．12或4 ]2.已知P= 1988 ? 1989 ? 1990 ? 1991 ? 1 ? (?1989 ) 2 ，那么P的值是[ A．1987 B．1988. C．1989 D．19903． a＞b＞c， x＞y＞z， M=ax+by+cz， N=az+by+cx， P=ay+bz+cx， Q=az+bx+cy， 则[ A．M＞P＞N且M＞Q＞N. B．N＞P＞M且N＞Q＞M]C．P＞M＞Q且P＞N＞Q. D．Q＞M＞P且Q＞N＞P 4．凸四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA∶∠ABC=2∶1,AD∶CB=1∶ 3 ,则∠BDA=[ A．30° B．45°. C．60°. D．不能确定 ]5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在 三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质 的分割[ ]A．是不存在的. B．恰有一种. C．有有限多种，但不只是一种.D．有无穷多种 二、填空题:（每题1分，共5分） 1． △ABC中，∠CAB? ∠B=90°，∠C的平分线与AB交于L，∠C的外角平分线与BA 的延长线交于N．已知CL=3，则CN=______． 2． 若 a ? 1 ? (ab ? 2) 2 ? 0 ,那么1 1 1 ? ? ?? 的值是_____. ab (a ? 1)(b ? 1) ( a ?1990)( b ?1990)3． 已知a，b，c满足a+b+c=0，abc=8，则c的取值范围是______． 4． Δ ABC中, ∠B=30 ,AB= 5 ,BC= 3 ,三个两两互相外切的圆全在△ABC中，这三 个圆面积之和的最大值的整数部分是______． 5． 设a,b,c是非零整数,那么 _________.0a b c ab ac bc abc ? ? ? ? ? ? 的值等于 a b c ab ac bc abc三、解答题:（每题5分，共15分） 1．从自然数1，2，3?，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是 177．2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD和A＇B＇C＇D＇，且正方形A＇B＇C＇D＇ 的顶点A＇在正方形ABCD的中心．当正方形A＇B＇C＇D＇绕A＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自 然数n之和被7除余数都不为1， 将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列 n1＜n2＜n3＜n4??， 试求：n1?n2之值．答案与提示 一、选择题提示： 1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)． 又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．=8+1-19892 =(+=1988 3． 只需选a=1， b=0， c=-1， x=1， y=0， z=-1代入， 由于这时M=2， N=-2， P=-1， Q=-1． 从 而选(A)． 4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点， 组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的 四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于 1的正三角形．故选(D)． 二、填空题提示： 1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．当a，b，c均为正时，值为7． 当a，b，c不均为正时，值为-1． 三、解答题 1．证法一 把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，?，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个 数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至 少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是 177． 证法二 从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是 0，1，2，?，176这177种之一． 因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是 177的倍数，即a? b=k?177．又因1~354中，任两数之差小于2?177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为 177．即 a? b=177．∴从自然数1，2，3，?，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177． 2．如图9，重合部分面积SA＇EBF是一个定值． 证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知 ∠A＇BE=∠A＇CF=45°． 又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C． 在△A＇FC和△A＇EB中，∴SA＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值． 3．可能的四位数有9种： ，，，，9190． 其中 +2，+5． ,8+5,1+2, 5+5，4+3， 8+3，2+6． 即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6． 即余数只有0，2，3，5，6五种． 它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)． 而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n． 又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有 一个被7除余1．所以7是次小的n． 即 ∴ n1=4，n2=7 n1?n2=4?7=28．第二届（1991 年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共15分） 1．如图1，已知AB=8，AP=5，OB=6，则OP的长是[ A．2; B．3; C．4; D．5 2．方程x2-5x+6=0的两个根是[ A．1，6 ; B．2，3; ] ]A O P (1) BC．2，3; D．1，63．已知△ABC是等腰三角形，则[ ] A．AB=AC;B．AB=BC;C．AB=AC或AB=BC;D．AB=AC或AB=BC或AC=BC3 ?5 (1 ? 3) 4 ,则a,b,c的大小关系是[ ] 4.a= ,b ? ,c ? 2 1 1? 3 (?5) 3? 424?A．a＞b＞cB．a=b=cC．a=c＞bD．a=b＞c5.若a≠b,则(b-a) a ? b 等于[ ]3 A. 3 ( a ? b) ;B. ? 3 ?( a ? b) ;3C. ? 3 ( a ? b ) ; D. 3 ?(b ? a )336．已知x，y都是正整数，那么三边是x，y和10的三角形有[ A．3个 B．4个; C．5个 D．无数多个]7．两条直线相交所成的各角中， [ ] A．必有一个钝角;B．必有一个锐角;C．必有一个不是钝角;D．必有两个锐角 8．已知两个角的和组成的角与这两个角的差组成的角互补，则这两个角 [ ] A．一个是锐角另一个是钝角;B．都是钝角;C．都是直角;D．必有一个角是直角 9．方程x2+|x|+1=0有[ A．4; B．2; C．1; ]个实数根． D．010．一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两 位数是[ ] A．26; B．28; C．36; D．38 11．若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是[ A．179; B．181; C．183; D．185 12.如果 2 x ? 3 x ? 1, 那么 3 ( x ? 2) ? ( x ? 3) 等于[3 2]]A．2x+5B．2x-5;C．1D．1 [ ]13．方程2x5+x4-20x3-10x2+2x+1=0有一个实数根是 A. 5 ? 3 ; B. 5 ? 2 ;C. 3 ? 2 ; D. 5 ? 3 ]14．当a＜-1时，方程(a3+1)x2+(a2+1)x-(a+1)=0的根的情况是 [A．两负根;B．一正根、一负根且负根的绝对值大 C．一正根、一负根且负根的绝对值小;D．没有实数根 15．甲乙二人，从M地同时出发去N地．甲用一半时间以每小时a公里的速度行走，另一 半时间以每小时b公里的速度行走；乙以每小时a公里的速度行走一半路程，另一半路 程以每小时b公里的速度行走．若a≠b时，则[ ]到达N地． A． 二人同时; B．甲先; C．乙先; D．若a＞b时，甲先到达，若a＜b时，乙先 二、填空题:（每题1分，共15分） 1．一个角的补角减去这个角的余角，所得的角等于______度． 2.有理化分母:5? 7 =______________. 5? 73.方程 x ? 1 ? x ? 0 的解是x=________. 4．分解因式：x3+2x2y+2xy2+y3=______．5．若方程x2+(k2-9)x+k+2=0的两个实数根互为相反数，则k的值是______．a?b 6．如果2x2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c是同一个多项式的不同形式,那么 =__. c7．方程x2-y2=1991有______个整数解． 8．当m______时，方程(m-1)x2+2mx+m-3=0有两个实数根． 9．如图2，在直角△ABC中，AD平分∠A，且BD∶DC=2∶1，则∠B等于______度．D E CAF BAEB DGCCADBF(2) (3) (4) 10．如图3，在圆上有7个点，A，B，C，D，E，F，和G，连结每两个点的线段共可作出__条． 11．D，E分别是等边△ABC两边AB，AC上的点，且AD=CE，BE与CD交于F，则∠BFC等于__度． 12．如图4，△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的角平分 线，DF∥AB交AE延长线于F，则DF的长为______． 13．在△ABC中，AB=5，AC=9，则BC边上的中线AD的长的取值范围是______． 14．等腰三角形的一腰上的高为10cm，这条高与底边的夹角为45°，则这个三角形的面积 是______． 15．已知方程x2+px+q=0有两个不相等的整数根，p，q是自然数，且是质数，这个方程 的根是______． 答案与提示 一、选择题提示： 1．∵OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3．∴选(B)． 2．∵以2，3代入方程，适合．故选(B)． 3．∵有两条边相等的三角形是等腰三角形．∴选(D)． 4．∵a=1，b=-1，c=1．∴选(C)．6．∵x=y＞5的任何正整数，都可以和10作为三角形的三条边．∴选(D)． 7．两直线相交所成角可以是直角，故而(A)，(D)均不能成立．∴选(C)． 8．设两个角为α ,β .则(α +β )+(α -β )=180°, 即α =90°．故选(D)． 9．∵不论x为何实数，x2+|x|+1总是大于零的．∴选(D)． 即7a=2b+2，可见a只能为偶数，b+1是7的 倍数．故取(A)． 11．设这11个连续奇数为：2n+1，2n+3，2n+5，?，2n+21．则 (2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+?+(2n+21)=1991． 即 11(2n+11)=1991． 解得n=85．∴第六个数是2?85+11=181．故选(B)．∴选(A)． 13．原方程可化为 (2x5-20x3+2x)+(x4-10x2+1)=0． 即 (2x+1)(x4-10x2+1)=0．即 x4-10x2+1=0．故取(C)． 14．a＜-1时，a3+1＜0，a2+1＞0，a+1＜0．而若方程的两根为x1，x2，则有15．设M，N两地距离为S，甲需时间t1，乙需时间t2，则有∴t1＜t2，即甲先． 另外：设a=1，b=2，则甲走6小时，共走了9公里，这时乙走的时间为从这个计算中，可以看到，a，b的值互换，不影响结果．故取(B)． 二、填空题提示： 1．设所求角为α ，则有 (180°-α )-(90°-α )=90°．4．x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2) =(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y) =(x+y)(x2+xy+y2) 5．设二根为x1，-x1，则x1+(-x1)=-(k2-9)． 即k2-9=0．即k=±3．又，要有实数根，必须有△?0． 即 (k2-9)2-4(k+2)＞0．显然 k=3不适合上面的不等式，∴k=-3． 6．由2x2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c是恒等式，故由x=1代入，得c=-2；x2项的系数相等， 有a=2，这时再以x=0代入，得-1=a-b+c．即b=1．7．x2-y2=1991，(x-y)(y+x)=11?181可以是9．BD∶DC=2∶1，故有AB∶AC=2∶1，直角三角形斜边与直角边之比为2∶1，则有 ∠B=30°． 10．从A出发可连6条，从B出发可连5条，（因为BA就是AB），从C出发可连4条，?，从 F出发可连一条．共计1+2+3+4+5+6=21（条）． 另法：每个点出发均可连6条，共有42条．但每条都重复过一次，11．如图28． ∠F=∠1+∠A+∠2． 又：△ADC≌△CEB． ∴ ∠1=∠3． ∴ ∠F=∠3+∠A+∠2=∠B+∠A=120°． 12．△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，故AD又是垂线，又是分角线，故∠BAD=60°， ∠ADB=90°．又：AE是分角线，故∠DAE= ∠EAB=30°． 又：DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°． 在△ADF中，∠DAF=∠F=30°．∴AD=DF． 而在△ADB中，AB=9，∠B=30°．13．∵4＜BC＜14．∴当BC为4时，BD=CD=2， AD＜7．当BC=14时，BC=CD=7， 有AD＞2．∴2＜AD＜7．14． 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是45°， 则顶角是90°， 高就是腰， 其长为10cm．15．设两根为x1，x2．则 x1+x2=-p① x1x2=q②由题设及①， ②可知， 1， 2均为负整数． x x q为质数， 若q为奇数， 1， 2均为奇数． 则x x 从 而p为偶数，而偶质数只有2，两个负整数之和为-2，且不相等，这是不可能的． 若q为偶数（只能是2），两个负整数之积为2，且不相等，只能是-1和-2． ∴方程的根是-1和-2．希望杯第二届（1991 年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题1分，共10分） 1．如图29，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的 中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于 A．1 ; B．2; C．3; D．4 ) ( )2．两个正数m，n的比是t(t＞1)．若m+n=s，则m，n中较小的数可以表示为( A. Bs- C. D. . 1? s 1? t) C.-x ? D.x ? xy . )3.y&0时, ? x 3 y 等于( A.- B.4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式， 则a，b，c的关系可以写成( A．a＜b＜c. B．(a-b)2+(b-c)2=0. C．c＜a＜b. D．a=b≠c )5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE．则∠BAE是∠BAC的 ( A．4倍. B．3倍. C．2倍. D．1倍6．D是等腰锐角三角形ABC的底边BC上一点，则AD，BD，CD满足关系式( A.AD2=BD2+CD2. 7.方程 x ? 1 ?2)B．AD2＞BD2+CD2. C．2AD2=BD2+CD2. D．2AD2＞BD2+CD2 )1 9 ( x ? ) 的实根个数为( 10 10A．4B．3. C．2 D．18.能使分式x3 y 3 ? 的值为112 3 的x2、y2的值是( y x)A.x2=1+ 3 ，y2=2+ 3 ; C. x =7+4 3 ，y =7-4 3 ;2 2B. x2=2+ 3 ，y2=2- 3 ; D. x =1+2 3 ，y =2- 3 .2 29．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x，偶数的个数为y，完 全平方数的个数为z，合数的个数为u．则x+y+z+u的值为 ( A．17 B．15. C．13 D．112)10．两个质数a，b，恰好是x的整系数方程x -21x+t=0的两个根,则 A.2213; B.b a ? 等于( a b)58
; C. ; D. . 49 38 21二、填空题（每题1分，共10分） 1.1-8=______． 2.分解因式:a2+2b2+3c2+3ab+4ac+5bc=______． 3.(a2+ba+bc+ac):[(b2+bc+ca+ab):(c2+ca+ab+bc)]的平方根是______． 4．边数为a，b，c的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为180 ,那么01 1 1 ? ? =_________. a b c5.方程组 ?? x ? ay ? 5 有正整数解,则正整数a=_______. ?y ? x ?16.从一升酒精中倒出 倒 出1 升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再 31 1 升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出 升混合液, 并加入等量的水,这时, 3 3所得混合液中还有______升酒精. 7．如图31，在四边形ABCD中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且 ∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积是______． 8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______． 9. x ?2 ? 2 x ? 4 3 的最小值的整数部分是______.10．已知两数积ab≠1．且2a +a+3=0,3b +b+2=0,则22a =______. b三、解答题:（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明， 字迹与绘图力求清晰、工整） 1. 已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．2．一块四边形的地（如图33）(EO∥FK，OH∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段 水渠EOHGKF改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF的宽度不能改变，新渠占地面 积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当 怎么作？写出作法，并加以证明．答案与提示 一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)． 4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．故选(B)． 5． △ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°, 所以选(A)． 6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边的端点时， 有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故选(D)．故选(C)．∴选(C)． 9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)． 10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．二、填空题提示： 1．1-8=?104+(8) =91?． 2．原式 =a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc =(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c) =(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c) =(a+b+c)(a+2b+3c)． 3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)． 4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°．5．两式相加有 (1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去； 可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾． ∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24， 26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角的四边形的4个内角 之和． ∴和为360°．10．由已知条件可知 a是方程2x2+x+3=0的一个根，b是方程3y2+y+2=0的一个根，后 者还可以看成：三、解答题 1．设这两个正数为a，b．则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b?2． 证明（反证法）： 若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b?1，→a＞2? 式两边均为正数，→a3＞(2-b)3． →a3＞8-12b+6b2-b3． →a3+b3＞8-12b+6b2． →6b2-12b+6＜0． →b2-2b+1＜0． →(b-1)2＜0． 矛盾． b，这个不等∴a+b?2．即本题的结论是正确的． 2．本题以图33为准． 由图34知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK ∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且 只挖了△KGM这么大的一块地． 我们再看另一种方法，如图35． 作法：①连结EH，FG． ②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M． ③连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线． 又：EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积． 从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样 多．即新渠面积与原渠的面积相等． 由图35可知，第二种作法用工较多（∵要挖的面积较大）． 故应选第一种方法。希望杯第三届（1992 年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分） 1．已知a＞b＞0，则有 [ ] A.a+b&1; B.ab&1; C. bD.a-b&1.2． 已知三角形的三个内角度数之比为1∶2∶3,若这个三角形的最短边长为,那么它的最 长边等于[ ] A.2; 3.若 a ? B.2 2 ; C.3; D.3 2 .1 1 ( 5 ? 3), b ? ( 5 ? 3) ,那么a2-ab+b2的值为[ ] 2 2B.A.7 ; 29 ; 2C.11 ; 2]D.15 ? 1. 24.3 ? 2 2 的值等于[A. 3 ? 2 ;B. 3 ? 1 ;C. 3 ? 2 ;D. 2 ? 1 .5．△ABC中，∠A=θ -α ，∠B=θ ，∠C=θ +α ,0°＜α ＜θ ＜90°．若∠BAC与∠BCA 的平分线相交于P点，则∠APC= [ ] A．90° B．105°. C．120° D．150° 6．一个自然数的算术平方根为a(a＞1)，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方 根为 [ ] A.a-1,a+1; B. a ? 1, a ? 1 ; C. a ? 1, a ? 1 ; D. a -1,a +1.2 22 2 27.已知实数a满足丨1992-a丨+ a ? 1993 =0,那么a-1992 的值为[ A．1991. B．1992. C．1993. D．1994. 8．正整数a被7除，得到余数4，则a +5被7除，得到的余数是[ A．0. B．2. C．4. D．6.3]]9. 6 ? 35 ? 6 ? 35 的值为[ A. 7 ? 5 ;2] D.1. [ ]B. 14 ;C.1 ( 7 ? 5) ; 2D.10．方程x +667x+1992=0的较大的那个实根的负倒数等于 A.1 ; 664B. ?1 1 ; C. ; 667 19921 . 3二、填空题:（每题1分，共10分） 1． 一个角的补角是它的余角的3倍，则这个角的度数等于______． 2． 二次根式 x ?6 61 化为最简根式应是___________. x5 4 3 23． 若(x-1) =a0x +a1x +a2x -a3x -a4x -a5x-a6，则a6=______．2 2 2 4． 若a、 c为△ABC的三边的长,则 ( a ? b ? c ) ? (b ? c ? a ) ? (c ? a ? b) =_______. b、5．如图39，△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=60°，BC=4．在CA延长线上取点D，使AD=AB， 则D，B两点之间的距离等于______． 6. 2 的小数部分我们记作m,则m +m+ 2 =___________. 7．若a＞b＞c＞0，一元二次方程(a-b)x +(b-c)x+(c-a)=0的两个实根中，较大的一个 实根等于______． 8．如图40，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=______． 9．一个两位质数，将它的十位数与个位数字对调后 仍是一个两位质数，我们称它为“无瑕质数”， 则所有“无瑕质数”之和等于______． 2 3 2 2 2 10．若3x +4y-10=0，则15x +3x y+20xy+4y +3x -50x-6y=______．2 2答案与提示 一、选择题提示： 1．用特殊值法，不妨设a=0.4，b=0.2，则a+b=0.6＜1，可排除(A)；ab=0.08＜1，可排 除(B)；2．根据三角形内角和为180°及三个内角度数之比为1∶2∶3，容易得出三个内角为 30°，60°，90°．30°角对边为最短边，由题设知，5．由∠A+∠B+∠C=180°，即(θ -α )+θ +(θ +α )=3θ =180°，∴应选(C)．n-1=a -1，n+1=a +1，其算术平方根分别为227．由题意知a-1993?0，因而a?1993． 于是|1992-a|=a-1992．从而a- ，故a-．∴应选(C)． 8．设a=7k+4(k为正整数)，则 3 3 a +5=(7k+4) +5 3 2 2 3 =(7k) +3?(7k) ?4+3?(7k)?4 +4 +5 2 3 2 2 =7(7 k +3?7k ?4+3k?4 +9)+6 3 因此，a +5被7除余6，故应选(D)．22x +667x+1992=0不能有非负根，所以x=667排除，剩下的-664，-1992，-3三个数中，最 大者为-3，以-3代入原方程，恰好满足方程，所以应选(D)． 注：此题也可由方程化为(x+664)(x+3)=0，可知方程较大的实根为?2二、填空题提示： 1．设所求角为α ，则有180°-α =3(90°-α )，从而解得α =45°．3．令x=0，得(-1) =-a6，∴a6=-1． 4．由条件可知a＞0，b＞0，c＞0，且a＜b+c，b＜c+a，c＜a+b， ∴a-b-c＜0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，65．连结AD（如图41）． ∵AD=AB， ∴∠BDA=∠DBA=30°． 因此，在直角三角形DBC中，∠BDC的对边BC等于斜边BD之半，而BC=4，所以BD=8．7．由观察知，x=1满足方程，所以，方程(a-b)x +(b-c)x+(c-a)=0有实根1． 又知a-b＞0，b-c＞0，若x＞1，则有 2 2 (a-b)x +(b-c)x+(c-a)＞(a-b)+(b-c)+(c-a)=0，所以方程(a-b)x +(b-c)x+(c-a)=0 没有大于1的实根，因此较大的一个实根等于1． 8．如图42，∠6=∠7+∠4，∠7=∠2+∠5，但∠1+∠3+∠6=180°， ∴∠1+∠3+∠4+∠7=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180°． 9．根据题意，容易检验，两位“无瑕质数”分别是11，13，17，31，37，71，73，79， 97，共计9个，它们的和是11+13+17+31+37+71+73+79+97=429． 3 2 2 2 2 10．因为15x +3x y+20xy+4y +3x -50x-6y=(3x +4y-10)(5x+y+1)+10=10． 2 注：用因式分解的方法，凑出3x +4y-10这个因子即可．2希望杯第三届（1992 年）初中二年级第二试题一、选择题（:每题1分，共10分） 1．= [ A．47249 ]B．45829. C．43959 D．449692．长方形如图43．已知AB=2，BC=1，则长方形的内 接三角形的面积总比数( )小或相等． [ ]A.4 ; 7B.1;C.2 ; 3D.1 . 3[ ]3．当x=6，y=8时，x6+y6+2x4y2+2x2y4的值是 A．000. B．400 C．400. D．0004．等腰三角形的周长为a(cm)．一腰的中线将周长分成5∶3，则三角形的底边长为 [ A. ] 6B.3 5C.a 8 或 6 5D.4 a. 5]5.适合方程 x 2 ? 2 xy ? y 2 +3x2+6xz+2y+y2+3z2+1=0的x、y、z的值适合[? x ? 2 y ? 3z ? 0 ? x ? 3 y ? 2 z ? ?6 ? ? A. ?2 x ? y ? z ? 0 ;B. ? x ? y ? z ? 0 ; ?x ? y ? z ? 0 ?2 x ? y ? 3z ? 2 ? ? ? x ? 3 y ? 2 z ? ?6 ?x ? y ? z ? 0 ? ? C. ?2 x ? y ? z ? 0 ;D. ?? x ? y ? z ? 0 ?2 x ? y ? 3z ? 2 ?2 x ? y ? 3z ? 2 ? ?6.四边形如图44,AB=3 ,BC=1, ∠A=∠B=∠C=300,则D点到AB的距离是[ 2C.]A.1;B.1 ; 21 ; 4D.1 . 8]7．在式子|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|中，用不同的x值代入，得到对应的值，在这 些对应值中，最小的值是 [ A．1 B．2. C．3 D．48． 一个等腰三角形如图45． 顶角为A,作∠A的三等三分线AD， （即∠1=∠2=∠3） AE ， 若BD=x，DE=y，EC=z，则有 [ A．x＞y＞z ] D．x=y=z ]B．x=z＞y. C．x=z＜y9．已知方程(a+1)x2+(|a+2|-|a-10|)x+a=5有两个不同的实根，则a可以是[A．5 B．9. C．10D．11? 10.正方形如图46,AB=1, BD 和 ? 都是以1为半径的圆弧, AC则无阴影的两部分的面积的差是[ ] A.?2? 1;B. 1 ??4;C.?3?1;D. 1 ??6.二、填空题（每题1分，共10分）3 1.方程 x ?6 的所有根的和的值是______________. 1? 3 x1992 ? 1991 ,a-b= 1992 ? 1991 ,那么ab=________.2.已知a+b=3．如图47，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD 与BE交于H，则∠CHD=______． 4.已知x=1 3 3 5 2 5 ,那么 x ? x ? x +1的值是______． 2 ?1 4 2 45．如图48，已知边长为a的正方形ABCD，E为AD的中点，P为CE的中点，那么△BPD 的面积的值是______． 6. 已知x+y=4,xy=-4, 那么x3 ? y 3 =________. x3 ? y 37．在正△ABC中（如图49），D为AC上一点，E为AB上一点， BD，CE相交于P，若四边形ADPE与△BPC的面积相等，那么∠BPE=______． 8.已知方程x2-19x-150=0的一个正根为a,那么1 a ? a ?1++1 1 + +┉ a ?1 ? a ? 2 a?2 ? a?31 =____. a ? 1999 ? a ? 20009．某校男生若干名住校，若每间宿舍住4名，则还剩20名未住下；若每间宿舍住8 名，则一部分宿舍未住满，且无空房，该校共有住校男生______名． 10．n是自然数，19n+14与10n+3都是某个不等于1的自然数d的倍数，则d=______． 三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果，每题5分，共10分） 1． 若a，b，c，d＞0，证明：在方程1 2 1 x ? 2a ? d x ? cd ? 0 , x 2 ? 2b ? cx ? da ? 0 , 2 2 1 2 1 2 x ? 2a ? bx ? ab ? 0 x ? 2d ? ax ? bc ? 0 中,至少有两个方程有 2 2不相等的实数根.2．(1)能否把1，2，?，个数分成八组，使得第二组各数之和比第一组 各数之和多10，第三组各数之和比第二组各数之和多10，?，最后第八组各数之 和比第七组各数之和也多10？请加以说明． (2)把上题中的“分成八组”改为“分成四组”，结论如何？请加以说明．如果能够， 请给出一种分组法．答案与提示一、选择题提示：5．等式2x+x2+x2y2+2=-2xy化简为(x+1)2+(xy+1)2=0．∴x+1=0，xy+1=0．解之 得x=-1，y=1．则x+y=0．∴应选(B)． 6． 由题设得： xy=1， x+y=4n+2由2x2+197xy+2y2=1993， 得2(x+y)2+193xy=1993． 将 xy=1，x+y=4n+2代入上式得：(4n+2)2=900，即4n+2=30．∴n=7．∴应选(A)． 7． 由∠A=36°， AB=AC， 可得∠B=∠C=72°． ∴∠ABD=∠CBD=36°， ∠BDC=72°． ∴ AD=BD=BC．由题意，1=(AB+AD+BD)-(BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD．∴应选(B)． 8．原方程化为(x2-2x+1)-5|x-1|+6=0．即|x-1|2-5|x-1|+6=0．∴|x-1|=2，或|x-1|=3． ∴x1=-1，x2=3，x3=-2，x4=4．则x1+x2+x3+x4=4．∴应选(D)． 9．连结CB＇,∵AB=BB＇,∴S△BB＇C=S△ABC=1,又CC＇=2BC∴S△B＇CC＇=2S△ BB＇C=2．∴S△BB＇C＇=3． 同理可得S△A＇CC＇=8,S△A＇B＇A=6． ∴S△A＇B＇C＇=3+8+6+1=17．∴应选(D)． 10．原方程为|3x|=ax+1． (1)若a=3，则|3x|=3x+1．当x?0时，3x=3x+1，不成立．(2)若a＞3．综上所述，a?3时，原方程的根是负数． ∴应选(B)． 另解：（图象解法） 设y1=|3x|，y2=ax+1。分别画出它们的图象．从图87中看出，当a?3时，y1=|3x| 的图象直线y2=ax+1的交点在第二象限． 二、填空题提示： 1．∵49=7?7，∴所求两数的最大公约数为7，最小公倍数为42．设a=7m，b=7n， (m＜n)，其中(m，n)=1．由ab=(a，b)?[a，b]．∴7m?7n=7?42，故mn=6．又 (m，n)=1，∴m=2，n=3，故a=14，b=21．经检验，142+212=637．∴这两个数为 14，21． 2．∴3=(-1)?(-1993)，(1993为质数)．而x1?x2=1993，且x1，x2 为负整数根，∴x1=-1，x2=-1993．或x1=-1993，x2=-1．则4．设S△BOC=S，则S△AOB=6-S，S△COD=10-S，S△AOD=S-1．由于 S?(S-1)=(6-S)(10-S)，解之得S=4．6．∵432=＜，又＜．其他都不合适．此时所求方程为14x2-53x+14=0． 8．过E作EH⊥BC于H．∵AD⊥BC．∴EH∥AD．又∠ACE=∠BCE，EA⊥AC，EH⊥BC．∴ EA=EH，∠AEC=∠HEC．∵EH∥AD，∴∠HEC=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE．∴AE=AF， ∴EH=AF．即可推出△AGF≌△EHB．∴AG=EB=AB-AE=14-4=10．∴ BG=AB-AG=14-10=4．10．设初一获奖人数为n+1人，初二获奖人数为m+1人(n≠m)．依题意有 3+7n=4+9m，即7n=9m+1 ① 由于50＜3+7n?100，50＜4+9m?100．得n=7，8，9，10，11，12，13．m=6，7，8，9，10． 但满足①式的解为唯一解：n=13，m=10． ∴n+1=14，m+1=11．获奖人数共有14+11=25（人）． 三、解答题 1．解：若不考虑顺序，所跑的路线有三条： OABCO（或OCBAO），OACBO（或OBCAO），OBACO（或OCABO）．其中OABCO的距离 最短． 记d(OABCO)，d(OACBO)，d(OBACO)分别为三条路线的距离．在AC上截取AB＇=AB， 连结OB＇．则△ABO≌△AB＇O．∴BO=B＇O． d(OABCO)-d(OACBO) =(OA+AB+BC+CO)-(OA+AC+CB+BO) =AB+CO-AC-BO =AB+CO-AB＇B＇CB＇O =CO-(B＇C+B＇O)＜0 同理可得，d(OABCO)-d(OBACO)＜0． 所以路线OABCO的距离最短．因此x与?y是关于t的方程解二：由已知条件得两边加上a4+1，得显然0＜a＜1，0＜a2＜1．希望杯第四届（1993 年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共15分） 1．如果a＜b＜0，那么在下列结论中正确的是 [ A.a+b&-1; B.ab&1; C. ]a a &1; D. &1. b b2．已知四个命题：①?1是1的平方根．②负数没有立方根. ③无限小数不一定是无理数. ]④ ?3a 一定没有意义.其中正确的命题的个数是[ A．1 B．2 C．3 D．43.已知8个数:1 3 17 , ?8 ,0.236, (1 ? 2) 2 ,3.1416, ?? , 3 ?4 ? 2 27其中无理数的个数是[ A．3 B．4C．5 ] D．6 ]? ,? ??1 ? 3? 2 ? ? , 3? 2??24.若A= ( a 2 ? 9) 4 ,则A的算术平方根是[ A．a2+3 B．(a2+3)2. C．(a2+9)2D．a2+9 ]5．下列各组数可以成为三角形的三边长度的是 [ A．1，2，3. B．a+1，a+2，a+3，其中a＞0C．a，b，c，其中a+b＞c. D．1，m，n，其中1? 6．方程x2+|x|-6=0的最大根与最小根的差是[ A．6 B．5. C．4 D．3 ]m＜n7．等腰三角形的某个内角的外角是130°，那么这个三角形的三个内角的大小是 [ ] B．50°,50°,80°或130°,25°,25°A．50°,50°,80°.C．50°,65°,65°D．50°,50°,80°或50°,65°,65° 8.如果x+y= 7 3 ? 5 2 ,x-y= 7 2 ? 5 3 ,那么xy的值是[ A. 3 3 ? 3 2 ; B. 3 3 ? 3 2 ; ]C. 7 3 ? 5 2 ; D. 7 2 ? 5 3 .9．如图67，在△ABC中，AB=AC，D点在AB上，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F． ∠BDE=140°，那么∠DEF是 A．55° B．60°. C．65° 10.已知[ ]D．70°1 2 2 &x&1,将 (2 x ? 1) ? ( x ? 4) 化简得[ ] 2B．3+3x. C．5+x D．5-xA．3-3x.11．如图68，在△ABC中，AB=AC，G是三角形的重心， 那么图中全等的三角形的对数是[ A．5 B．6. C．7 D．8． [ ] ]12．若一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0有实数根，则k的最大整数值是 A．? 1. B．0. C．1 D．2．13．对于三边的长是三个连续自然数的任意三角形，在下列四个命题中①周长能被2整除．②周长是奇数．③周长能被3整除．④周长大于10．正确的命题的个数是[ A．1 B．2.2]C．32D．4． ]14．若方程9x -6(a+1)x+a -3=0的两根之积等于1，则a的值是[ A. ?2 3 ; B. 2 3 ; C. ?2 2 ; D. 2 2 .15．有下列四个命题： ①两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形不一定是全等三角形． ②两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形不一定是全等三角形． ③两边和第三边上的高对应相等的两个三角形是全等三角形． ④两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形． 其中正确的是 [ ] A．①，② B．②，③. C．③，④ D．④，①．二、填空题（每题1分，共15分） 1． 某自然数的平方是一个四位数，千位数字是4，个位数字是5，这个数是______． 2.实数x满足x+ 5 x ? 16 =0,则 5 x ? 16 的值为________. 3.设10个数：195.5，196.5，197.5，198.5，199.5，200，200.5，201，201.5，202.5 的平均数为A，则10A=______． 4.如果实数x、y满足2x2-6xy+9y2-4x+4=0,那么 x y =_________. 5．设△ABC的三边a，b，c的长度均为自然数，且a?b?c，a+b+c=13，则以a，b，c为三 边的三角形共有______个． 6.1 1 1 1 + + +┉┉+ =__________. 2 ?1 2? 3 3? 4 99 ? 100x2 ? 4 x2 ? 4 ?2? ? 2 =___________. 2x 2x7.当0&x&2时,8．已知方程x2+(2m+1)x+(m2+m+1)=0没有实数根，那么m为______． 9．已知a，b，c，d满足a＜-1＜b＜0＜c＜1＜d，且|a+1|=|b+1|，|1-c|=|1-d|，那么 a+b+c+d=______． 10．如图69，在△ABC中，AE是∠BAC的外角的平分线，D是AE上任意一点，则 AB+AC______DB+DC．（用“＞”、“＜”、“=”号连接＝． 11.如果x-y= 2 +1,y-z= 2 -1,那么x +y +z -xy-yz-zx=____________. 12.若u、v满足v=2 2 22u ? v v ? 2u 3 ? ? ,则u2-uv+v2=__________. 4u ? 3v 4u ? 3v 213．如图70，B，C，D在一条直线上，且AB=BC=CA，CD=DE=EC，若CM=r，则CN=______． 14．设方程x2-y2=1993的整数解为α ，β ，则|α β |=______．1 x3 ? 3 ? 7 1 x 15.若,x+ =3, 则 =__________. 1 4 x x ? 4 ?3 x答案与提示 一、选择题提示：∴应选(D)． 2．命题①，③是正确的，②，④不正确．∴应选(B)．∴应选(D)． 5．由(a+1)+(a+2)=2a+3＞a+3(∵a＞0)，所以a+1，a+2，a+3可以成为三角形的三边， 而1+2=3，故排除(A)，另外可举反例否定(C)，(D)．∴应选(B)． 6．原方程化为(|x|+3)(|x|-2)=0，解得|x|=-3，或|x|=2．但应舍去|x|=-3，故由|x|=2 得：x1,2=±2．则x1-x2=4．∴应选(C)． 7．由已知得等腰三角形的某个内角是50°．若它是底角，则三个内角是50°，50°， 80°；若它是顶角，则三个内角是50°，65°，65°．∴应选(D)．9．∵DE⊥AC，∠BDE=140°． ∴∠A=140°? ∵AB=AC， 90°=50°，∵DE⊥AC，EF⊥BC， ∴∠DEF=90°? ∠CEF，∠C=90°? ∴∠DEF=∠C=65°．∴应选(C)． ∠CEF．11．如图72，△AGD≌△AGE，△DGB≌△EGC，△BGF≌△CGF，△AGB≌△AGC，△AFB≌ △AFC，△AEB≌△ADC，△DBC≌△ECB，共7对．∴应选(C)． 12．原方程整理为(2k-1)x -8x+6=0．当Δ ?0时，方程有实数根，213．设三个连续自然数为k，k+1，k+2，则k+(k+1)+(k+2)=3(k+1)，故以k，k+1，k+2 为三边的三角形的周长总可以被3整除．又以2，3，4为三边的三角形，其周长为9，可 否定①，④；以3，4，5为三边的三角形，其周长为12，可否定②．∴应选(A)． 14．∵△?0，∴36(a+1)2-36(a2-3)?0，∴a?-2．又∵x1?x2=1， 15．命题①是正确的．如图73在△ABC与 △ABC1中，AB=AB，BC=BC1，AD⊥BC1．显然钝角△ABC与锐角△ABC1是不全等的． 命题②不正确．如图74，75，在锐角△ABC与锐角△A1B1C1中，AB=A1B1，AC=A1C1，AD⊥BC， A1D1⊥B1C1，且AD=A1D1．可先证得 △ADB≌△A1D1B1，△ADC≌△A1D1C1，即可证得△ABC≌△A1B1C1． 命题③不正确．举一反例说明．如图76，在钝角△ABC与锐角△ABC1中，AB=AB，AC=AC1， AD⊥BC1，AD=AD．但△ABC与△ABC1显然是不全等的． 命题④是正确的． 可举一例说明． 如图77， 在钝角△ABC与锐角△ABC1中， AB=AB， AC=AC1， ∠ABC=∠ABC1，但△ABC与△ABC1显然是不全等的． ∴应选(D)． 二、填空题提示： 1．由条件知，这个自然数只能是两位数，其个位数字必定是5，它的十位数字可能是6 或7。经验算，752=25．所以，这个数为65．3．经观察，这10个数都与199相近，把每个数减199所得的差，分别记作-3.5，-2.5， -1.5， -0.5， +0.5， +1.5， +2.5， +1， +2， +3.5， 上述这10个差数的平均数为+0.3， A=199.3， 所以10A=1993． 4．可把条件变成(x -6xy+9y )+(x -4x+4)=0，2 2 25．由a+b+c=13可知a+b=13-c，又a+b＞c，所以13-c＞c，即共可组成5个三角形．由0＜x＜2知，x+2＞0，x?2＜0，8．因为方程没有实数根，所以Δ ＜0，即(2m+1)2-4(m2+m+1)＜0，经整理得-3＜0，故对 任意数m，Δ ＜0． 9．由题设条件知道：b-(-1)=-1? a及d-1=1-c，即a+b=2，c+d=-2． ∴a+b+c+d=0． 10． 在BA的延长线AF上， 截取AG， 使AG=AC， 连接GD， 则△ADG≌△ADC， 于是AG=AC， DG=DC， 从而，DB+DC=DB+DG，又DB+DG＞BG，而BG=BA+AG=BA+AC，∴AB+AC＜DB+DC．经整理，得x2+y2+z2-xy-yz-yx=7．13．由条件知△ABC与△CDE都是等边三角形． 在△BCE与△ACD中，BC=AC，CE=CD，∠BCE=∠ACD=120°， ∴△BCE≌△ACD．于是，∠BEC=∠ADC，从而，△CEM≌△CDN，∴CM=CN=r． 14．由方程可知(x+y)(x-y)=1993?1，可得∴|α β |=997?996=993012．希望杯第四届（1993 年）初中二年级第二试试题一、 选择题:（每题1分，共10分）1.若a&0,则化简 a 2 ? (1 ? a ) 2 得[ A．1 B．? 1 C．2a? 1 D．1? 2a]2.若一个数的平方是5-2 6 ,则这个数的立方是[]A. 9 3 ? 11 2 或 11 2 ? 9 3 ; B. 9 3 ? 11 2 或 11 2 ? 9 3 ; C. 9 3 ? 11 2 或 11 2 ? 9 3 ; D. 9 3 ? 11 2 或 ? 11 2 ? 9 3 . 3.在四边形ABCD中,AB=1,BC= 2 ,CD= 3 ,DA=2,SΔ ABD=1, SΔ BCD= ∠ABC+∠CDA等于[ ] A．150° B．180°.C．200° D．210°．6 ,则 24．一个三角形的三边长分别为2，4，a，如果a的数值恰是方程4|x-2|2-4|x-2|+1=0 的根，那么三角形的周长为 [ A.7 ]1 1 ; B.8 ; C.9; D.10. 2 22 2 25．如果实数x，y满足等式2x+x +x y +2=-2xy，那么x+y的值是 [ A.1. B．0. C．1 .D．2． 6.设x=]n ?1 ? n n ?1 ? n 2 2 ,y= ,n为正整数,如果2x +197xy+2y =1993 n ?1 ? n n ?1 ? n] C．9. D.10成立,那么n的值为[ A．7. B．8.7．如图81，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC、BD平分∠ABC．若△ABD的周长比△BCD的 周长多1厘米，则BD的长是 [ A．0.5厘米. B．1厘米.2]C．1.5厘米. D．2厘米 ] D．4．8．方程x -2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是 [ A．? 2 . B．0. C．-2 .9．如图82，将△ABC的三边AB，BC，CA分别延长至B＇，C＇，A＇， 且使BB＇=AB，CC＇=2BC，AA＇=3AC．若S△ABC=1，那么S△A＇B＇C＇是 [ A．15. B．16. C．17. D．18. [ ] ]10．如果方程|3x|-ax-1=0的根是负数，那么a的取值范围是 A．a＞3. B.a?3. C．a＜3. D．a?3.二、填空题（每题1分，共10分） 1．若两个数的平方和为637，最大公约数与最小公倍数的和为49，则这两个数是 ______．2．设x1，x2是方程x2+px+1993=0的两个负整数根,则2 x12 ? x2 =_______. x1 x23.方程x ?1 ?1 ?x ?1 ?1 ?1 的解是____________. x ?14．如图83，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O点， 如果S△ABD=5，S△ABC=6，S△BCD=10，那么S△OBC______． 5．设二次方程ax +bx+c=0的两根为x1，x2，记S1=x1+1993x2, S2=x1 +1993x2 ,┉┉,Sn=x1 +1993x2 ,则aS1993+bS1992+cS1991=__________. 6．设[x]表示不大于x的最大整数，（例如[3]=3，[3.14=3]）,那么 [ 1900 ]+[ 1901 ]+[ 1902 ]+┉+[ 1992 ]+[ 1993 ]=_________. 7．已知以x为未知数的二次方程abx2-(a2+b2)x+ab=0，其中a，b是不超过10的质数，且 a＞b，那么两根之和超过3的方程是______． 8．如图84，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠BCA的平分线交AD于F，交AB于E， FG∥BC交AB于G．AE=4，AB=14，则BG=______． 9．已知k为整数，且关于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x+18=0有两个不相等的正整数根， 则k=______． 10．某校奖励学生，初一获奖学生中，有一人获奖品3件，其余每人获奖品7件；初二 获奖学生中，有一人获奖品4件，其余每人获奖品9件．如果两个年级获奖人数不等， 但奖品数目相等，且每个年级奖品数大于50而不超过100，那么两个年级获奖学生共 有______人． 三、解答题:(写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共10分） 1． 如图85，三所学校分别记作A，B，C．体育场记作O，它是△ABC的三条角平分线的 交点．O，A，B，C每两地之间有直线道路相连．一支长跑队伍从体育场O点出发，跑 遍各校再回到O点．指出哪条路线跑的距离最短（已知AC＞BC＞AB），并说明理由．2 2 n n 22.如果a=1 22?1 1 ? 2 ,求a2+ a 4 ? a ? 1 的值. 8 8答案与提示 一、选择题提示：5．等式2x+x2+x2y2+2=-2xy化简为(x+1)2+(xy+1)2=0．∴x+1=0，xy+1=0．解之得x=-1， y=1．则x+y=0．∴应选(B)． 6． 由题设得： xy=1， x+y=4n+2由2x2+197xy+2y2=1993， 得2(x+y)2+193xy=1993． 将xy=1， x+y=4n+2代入上式得：(4n+2)2=900，即4n+2=30．∴n=7．∴应选(A)． 7．由∠A=36°，AB=AC，可得∠B=∠C=72°．∴∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°．∴ AD=BD=BC．由题意，1=(AB+AD+BD)-(BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD．∴应选(B)． 8． 原方程化为(x2-2x+1)-5|x-1|+6=0． 即|x-1|2-5|x-1|+6=0． ∴|x-1|=2， 或|x-1|=3． ∴x1=-1，x2=3，x3=-2，x4=4．则x1+x2+x3+x4=4．∴应选(D)． 9． 连结CB＇ ,∵AB=BB＇ ,∴S△BB＇C=S△ABC=1,又CC＇ =2BC∴S△B＇CC＇=2S△BB＇C=2．∴S△BB＇C＇=3． 同理可得S△A＇CC＇=8,S△A＇B＇A=6．∴S△A＇B＇C＇=3+8+6+1=17．∴应选(D)． 10．原方程为|3x|=ax+1．(1)若a=3，则|3x|=3x+1．当x?0时，3x=3x+1，不成立．(2)若a＞3．综上所述，a?3时，原方程的根是负数．∴应选(B)． 另解：（图象解法） 设y1=|3x|，y2=ax+1。分别画出它们的图象．从图87中看出，当a?3时，y1=|3x|的图 象直线y2=ax+1的交点在第二象限． 二、填空题提示： 1．∵49=7?7，∴所求两数的最大公约数为7，最小公倍数为42．设a=7m，b=7n，(m ＜n)，其中(m，n)=1．由ab=(a，b)?[a，b]．∴7m?7n=7?42，故mn=6．又(m，n)=1， ∴m=2，n=3，故a=14，b=21．经检验，142+212=637．∴这两个数为14，21． 2．∴3=(-1)?(-1993)，(1993为质数)．而x1?x2=1993，且x1，x2为负整 数根，∴x1=-1，x2=-1993．或x1=-1993，x2=-1．则4．设S△BOC=S，则S△AOB=6-S，S△COD=10-S，S△AOD=S-1．由于S?(S-1)=(6-S)(10-S)，解之 得S=4．6．∵432=＜，又＜．其他都不合适．此时所求方程为14x2-53x+14=0． 8． 过E作EH⊥BC于H． ∵AD⊥BC． ∴EH∥AD． 又∠ACE=∠BCE， EA⊥AC， EH⊥BC． ∴EA=EH， ∠AEC=∠HEC．∵EH∥AD，∴∠HEC=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE．∴AE=AF，∴EH=AF．即 可推出△AGF≌△EHB．∴AG=EB=AB? AE=14? 4=10．∴BG=AB? -AG=14-10=4．10．设初一获奖人数为n+1人，初二获奖人数为m+1人(n≠m)．依题意有 3+7n=4+9m，即7n=9m+1 ①由于50＜3+7n?100，50＜4+9m?100．得n=7，8，9，10，11，12，13．m=6，7，8，9，10．但满足①式的解为唯一解：n=13，m=10． ∴n+1=14，m+1=11．获奖人数共有14+11=25（人）． 三、解答题 1．解：若不考虑顺序，所跑的路线有三条： OABCO（或OCBAO），OACBO（或OBCAO），OBACO（或OCABO）．其中OABCO的距离最短． 记d(OABCO)，d(OACBO)，d(OBACO)分别为三条路线的距离．在AC上截取AB＇=AB，连 结OB＇．则△ABO≌△AB＇O．∴BO=B＇O． d(OABCO)-d(OACBO) =(OA+AB+BC+CO)-(OA+AC+CB+BO) =AB+CO-AC-BO =AB+CO-AB＇-B＇C-B＇O =CO-(B＇C+B＇O)＜0 同理可得，d(OABCO)-d(OBACO)＜0． 所以路线OABCO的距离最短．因此x与?y是关于t的方程解二：由已知条件得两边加上a4+1，得显然0＜a＜1，0＜a2＜1．希望杯第五届(1994 年)初中二年级第一试试题一、 选择题:（每小题3分，共30分） 1.使等式成立的x的值是[ ] A．是正数 B．是负数. C．是0 D．不能确定 2．对于三角形的三个外角、下面结论中正确的是 [ ] A． 可能有两个直角. B．最少有一个锐角. C．不可能有三个钝角. D．最多有一个锐 角 3.如果 a ? b ? 2 3 +(a+b-2 3 ) =0,那么 A.1; B.-1; C.5-2 6 ; D.2 6 -5. ]2b 的值是[ a]4．已知线段a,b,c的长度满足a＜b＜c，那么以a,b,c组成的三角形的条件是 [ A．c? a＜b B．2b＜a+c. C．c? b＞a D．b2＜ac 5．有如下命题： ①负数没有立方根． ②一个实数的立方根不是正数就是负数． ③一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0． ④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1或0． 其中错误的是 [ ] A．①②③ B．①②④. C．②③④ D．①③④ 6.若实数x、y满足x +y -4x-2y+5=0,则2 2x?y 3y ? 2 x的值是[]A.1;B.3 ? 2 ; C. 3 ? 2 2 ; D. 3 ? 2 2 . 27．直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条直角边的长度是13，那么它的周长 为[ ] A．182 B．180. C．32 D．30 2 2 8．已知方程x -x- ，那么它的两根是 [ ] A． B．? . C．? 1994,? 1995 D．1994,? 1995 9．如图16，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°， ∠BGC=110°，则∠A的大小是 [ ] A．70° B．75°. C．80° D．85°10．n是整数，下列四式中一定表示奇数的是 [ A．(n+1)2 B．(n+1)2-(n-1)2. C．(n+1)3 二、 A组填空题（每小题3分，共30分）] .D．(n+1)3-n31.设A= 6 ? 2 ,B= 3 ? 5 ,则A、B中数值较小的是_________. 2．已知实数a满足a+ a 2 ? 3 a 3 =0,那么丨a-1丨+丨a+1丨=_________ 3.一个角的余角比它的补角的1 还多60,则这个角的度数是_________. 74.对 3 54 ? 3 250 ? 3 16 作化简,结果是__________. 5.某自然数的5倍等于数a的立方,该自然数的1 恰是数a,则这个自然数是_________. 56．在△ABC中,∠ABC=90°,又BD⊥AC于D，则在△ABC中互为余角的角共有______对． 7．如图17，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=AE，BC=BD，则∠ACD+∠BCE=______． 8.当x= 5 -3时,多项式x +5x -2x-5的值是_______________. 9．如图18，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是角A的平分线，DE平分∠ADC交AC于 E，则∠BDE=_______． 10.如果 11 的小数部分是a,而 三、 1.设M=3 21 的小数部分是b,那么b=________. aB组填空题（每小题4分）1 1 1 1 + + +┉+ , 1? 2 2? 3 3? 4 1993 ? 1994 N =_______. ( M ? 1) 2N=1-2+3-4+5-6+┉+,则2．在四边形ABCD中(图19)，AB∥CD，∠D=2∠B，AD和CD的长度 分别为a和b，那么AB的长为______．? x2 ? y 2 ? 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 3.设x= ,y= ,则 ? ? ? xy =_________. 2 2 ? 2 ?4．如图20，在△ABC中，AD平分∠A，BD⊥AD，DE∥AC交AB于E， 若AB=5，则DE的长是______． 5.计算: 7 ? 15 ? 16 ? 2 15 =______________. 6．设方程x +=0和(1994x) -x-1=0的较小根次是α ,β ，则α ?β =______． 7.若 ?2 222 1 ? x ? ,则 (3x ? 2) 2 ? 1 ? 4 x ? 4 x 2 ? 5 x 化简为____________. 3 2y ,则x+y+M的值是_______.8.设M,x,y均为正整数,且 M ? 28 = x ?9．x为任意实数，则|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|的最小值是______．10．如图21，△ABC为等腰直角三角形，D为AB中点，AB=2，扇形ADG和BDH分别是以A,B 为圆心,AD,BD为半径的圆的1 ,则阴影部分面积为__________. 4答案?提示 一、选择题提示： 1．根式内? x?0，∴x?0；又等式右端x?0，所以使等式成立的x的值只能是0．∴ 选(C)． 2．由于三角形的三个内角最多只能有一个钝角或者直角，所以它的三个外角中，不 可能有两个直角， 可能有三个钝角 （此时三角形的三个内角均为锐角） 否定了(A)， 。 (B)，(C)．故应选(D)．4．解一：可用特殊值法，不妨设a=2，b= 4，c=5，显然a＜b＜c，且组成三角形．分 别代入(A)，(B)，(C)，(D)．则仅有A成立．所以选(A)． 解二：(A)满足“三角形两边之和大于第三边”．肯定成立，故选(A)． 5．负数有立方根，0的立方根是0，又-1的立方根也是-1，所以错误命题是①②④， 应选(B)．7．设另一条直角边的长度为x，斜边的长度8．原方程可化为x -x-4)=0，即x -x-，于是由韦达定理推22知，方程的两根为1995，-1994，应选(B)． 9．解一：如图22，连接BC，设∠DBC=α ，∠DCB=β ，∠DBG=∠1，∠DCG=∠2，则α +β +∠BDC=180°． ∴α +β =180°-140°=40° 在△BGC中α +∠1+β +∠2+∠BGC=180° ∴∠1+∠2=180°-110°-(α +β )=30° 在△BAC中∠EAF+2(∠1+∠2)+α +β =180° ∴∠EAF=180°-2?30°-40°=80°．∴应选(C)． 解二：如图23延长BD分别交FC，AC于H，K． 设∠GBD=∠1，∠DCG=∠2，∠BDC=α ，∠BGC=β ，∠DHC=r． ∵α =r+∠2，r=β +∠1 ∴α =β +∠1+∠2得∠1+∠2=140°-110°=30° 同理可推得β =∠A+∠1+∠2∴∠A=80°．应选(C)．二、A组填空题 提示：2． 由条件知a+|a|+a=0， 即2a+|a|=0， 当a?0时， 2a+a=0， 所示a=0； 当a＜0时， 2a-a=0， 得a=0，矛盾．综上知a=0，于是得|a-1|+|a+1|=2．6．如图24,由题设条件可知,∠1+∠2=90°，∠1+∠4=90°,∠2+∠3=90°,∠3+∠ 4=90°，共计4对． 7．解一：如图25，设∠ACD=∠1，∠BCE=∠2，∠DCE=∠3．∵AC=AE，∴∠AEC=∠1+ ∠3． ∵BC=BD，∴∠BDC=∠2+∠3． 两式相加得∠AEC+∠BDC=(∠1+∠2+∠3)+∠3=90°+∠3． 又在△DCE中∠DEC+∠EDC+∠3=180°．∴90°+2∠3=180°,∠3=45°，∴∠1+∠ 2=45°． 解二：∵∠ACE是等腰△ACE的底角，∴9．如图26，∠B=66°，∠C=54°可知 ∠BAC=60°，因为AD是角A的平分线，所以 ∠BAD=30°,∠ADB=180°-66°-30°=84°,三、B组填空题 提示：2．如图27，自C点作CE∥AD交AB于E，则四边形AECD是平行四边形，AE=CD=b， EC=AD=a．又∠AEC=∠D=2∠B=∠B+∠ECB． ∴∠ECB=∠B，△ECB是等腰三角形．EB=EC=a，∴AB=AE+EB=a+b．解二：由题设知x+y=1 2 2 ∴x -y =(x+y)(x-y)=x-y代入得，4．如图28，由题设可知：∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3，AE=ED．又∠3+∠4=90°， ∠1+∠5=90°，∴∠4=∠5，BE=DE．6．∵前一个方程即(x+1994)(x-1)=0． 2 ∴α =? 1994．又后一个方程可化为(1994 x+1)(x? 1)=0．7．由题设知3x+2＞0，2x-1＜0． ∴原式=|3x+2|-|2x-1|+|5x| 或原式=3x+2+2x-1+5x∴xy=7，又x＞y，M=x+y=8，∴x+y+M=16． 9．根据绝对值的几何意义及对称性原理，当x=-3时，|x+3|=0，而|x+2|与|x+4|的 值相等，|x+1|与|x+5|的值相等．当x=-3时，|x+2|=|x+4|=1，|x+1|+|x+5|=2，因而原式=2?2+2?1=6，当x≠-3时，原式＞6．因此，原式的最小值为6． 10．连接CD，图21CD的右侧不动，左侧部分绕着D点逆时针方向旋转180°，使A点与 B希望杯第五届(1994 年)初中二年级第一试试题四、 选择题:（每小题3分，共30分） 1.使等式成立的x的值是[ ] A．是正数 B．是负数. C．是0 D．不能确定 2．对于三角形的三个外角、下面结论中正确的是 [ ] B． 可能有两个直角. B．最少有一个锐角. C．不可能有三个钝角. D．最多有一个锐 角 3.如果 a ? b ? 2 3 +(a+b-2 3 )2=0,那么 A.1; B.-1; C.5-2 6 ; D.2 6 -5. ]b 的值是[ a]4．已知线段a,b,c的长度满足a＜b＜c，那么以a,b,c组成的三角形的条件是 [ 2 A．c? a＜b B．2b＜a+c. C．c? b＞a D．b ＜ac 5．有如下命题： ①负数没有立方根． ②一个实数的立方根不是正数就是负数． ③一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0． ④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1或0． 其中错误的是 [ ] A．①②③ B．①②④. C．②③④ D．①③④ 6.若实数x、y满足x2+y2-4x-2y+5=0,则x?y 3y ? 2 x的值是[]A.1;B.3 ? 2 ; C. 3 ? 2 2 ; D. 3 ? 2 2 . 27．直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条直角边的长度是13，那么它的周长 为[ ] A．182 B．180. C．32 D．30 8．已知方程x2-x-，那么它的两根是 [ ] A． B．? . C．? 1994,? 1995 D．1994,? 1995 9．如图16，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°， ∠BGC=110°，则∠A的大小是 [ ] A．70° B．75°. C．80° D．85° 10．n是整数，下列四式中一定表示奇数的是 [ ]A．(n+1)2 五、B．(n+1)2-(n-1)2.C．(n+1)3.D．(n+1)3-n3A组填空题（每小题3分，共30分）1.设A= 6 ? 2 ,B= 3 ? 5 ,则A、B中数值较小的是_________. 2．已知实数a满足a+ a 2 ? 3 a 3 =0,那么丨a-1丨+丨a+1丨=_________ 3.一个角的余角比它的补角的1 0 还多6 ,则这个角的度数是_________. 74.对 3 54 ? 3 250 ? 3 16 作化简,结果是__________. 5.某自然数的5倍等于数a的立方,该自然数的1 恰是数a,则这个自然数是_________. 56．在△ABC中,∠ABC=90°,又BD⊥AC于D，则在△ABC中互为余角的角共有______对． 7．如图17，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=AE，BC=BD，则∠ACD+∠BCE=______． 8.当x= 5 -3时,多项式x3+5x2-2x-5的值是_______________. 9．如图18，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是角A的平分线，DE平分∠ADC交AC于 E，则∠BDE=_______． 10.如果 11 的小数部分是a,而 六、 1.设M=1 的小数部分是b,那么b=________. aB组填空题（每小题4分）1 1 1 1 + + +┉+ , 1? 2 2? 3 3? 4 1993 ? 1994 N =_______. ( M ? 1) 2N=1-2+3-4+5-6+┉+,则2．在四边形ABCD中(图19)，AB∥CD，∠D=2∠B，AD和CD的长度 分别为a和b，那么AB的长为______．? x2 ? y 2 ? 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 3.设x= ,y= ,则 ? ? ? xy =_________. 2 ? 2 2 ?4．如图20，在△ABC中，AD平分∠A，BD⊥AD，DE∥AC交AB于E， 若AB=5，则DE的长是______． 5.计算: 7 ? 15 ? 16 ? 2 15 =______________. 6．设方程x2+=0和(3?的较小根次是α ,β ，则α ?β =______． 7.若 ?22 1 ? x ? ,则 (3x ? 2) 2 ? 1 ? 4 x ? 4 x 2 ? 5 x 化简为____________. 3 2y ,则x+y+M的值是_______.8.设M,x,y均为正整数,且 M ? 28 = x ?9．x为任意实数，则|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|的最小值是______． 10．如图21，△ABC为等腰直角三角形，D为AB中点，AB=2，扇形ADG和BDH分别是以A,B为圆心,AD,BD为半径的圆的1 ,则阴影部分面积为__________. 4答案?提示 一、选择题提示： 1．根式内? x?0，∴x?0；又等式右端x?0，所以使等式成立的x的值只能是0．∴ 选(C)． 2．由于三角形的三个内角最多只能有一个钝角或者直角，所以它的三个外角中，不 可能有两个直角， 可能有三个钝角 （此时三角形的三个内角均为锐角） 否定了(A)， 。 (B)，(C)．故应选(D)．4．解一：可用特殊值法，不妨设a=2，b= 4，c=5，显然a＜b＜c，且组成三角形．分 别代入(A)，(B)，(C)，(D)．则仅有A成立．所以选(A)． 解二：(A)满足“三角形两边之和大于第三边”．肯定成立，故选(A)． 5．负数有立方根，0的立方根是0，又-1的立方根也是-1，所以错误命题是①②④， 应选(B)．7．设另一条直角边的长度为x，斜边的长度8．原方程可化为x2-x-4)=0，即x2-x-，于是由韦达定理推 知，方程的两根为1995，-1994，应选(B)．9．解一：如图22，连接BC，设∠DBC=α ，∠DCB=β ，∠DBG=∠1，∠DCG=∠2，则α +β +∠BDC=180°． ∴α +β =180°-140°=40° 在△BGC中α +∠1+β +∠2+∠BGC=180° ∴∠1+∠2=180°-110°-(α +β )=30° 在△BAC中∠EAF+2(∠1+∠2)+α +β =180° ∴∠EAF=180°-2?30°-40°=80°．∴应选(C)． 解二：如图23延长BD分别交FC，AC于H，K． 设∠GBD=∠1，∠DCG=∠2，∠BDC=α ，∠BGC=β ，∠DHC=r． ∵α =r+∠2，r=β +∠1 ∴α =β +∠1+∠2得∠1+∠2=140°-110°=30° 同理可推得β =∠A+∠1+∠2∴∠A=80°．应选(C)．二、A组填空题 提示：2． 由条件知a+|a|+a=0， 即2a+|a|=0， 当a?0时， 2a+a=0， 所示a=0； 当a＜0时， 2a-a=0， 得a=0，矛盾．综上知a=0，于是得|a-1|+|a+1|=2．6．如图24,由题设条件可知,∠1+∠2=90°，∠1+∠4=90°,∠2+∠3=90°,∠3+∠ 4=90°，共计4对． 7．解一：如图25，设∠ACD=∠1，∠BCE=∠2，∠DCE=∠3．∵AC=AE，∴∠AEC=∠1+ ∠3． ∵BC=BD，∴∠BDC=∠2+∠3． 两式相加得∠AEC+∠BDC=(∠1+∠2+∠3)+∠3=90°+∠3． 又在△DCE中∠DEC+∠EDC+∠3=180°．∴90°+2∠3=180°,∠3=45°，∴∠1+∠ 2=45°． 解二：∵∠ACE是等腰△ACE的底角，∴9．如图26，∠B=66°，∠C=54°可知 ∠BAC=60°，因为AD是角A的平分线，所以 ∠BAD=30°,∠ADB=180°-66°-30°=84°,三、B组填空题 提示：2．如图27，自C点作CE∥AD交AB于E，则四边形AECD是平行四边形，AE=CD=b， EC=AD=a．又∠AEC=∠D=2∠B=∠B+∠ECB． ∴∠ECB=∠B，△ECB是等腰三角形．EB=EC=a，∴AB=AE+EB=a+b．解二：由题设知x+y=1 2 2 ∴x -y =(x+y)(x-y)=x-y代入得，4．如图28，由题设可知：∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3，AE=ED．又∠3+∠4=90°， ∠1+∠5=90°，∴∠4=∠5，BE=DE．6．∵前一个方程即(x+1994)(x-1)=0． 2 ∴α =? 1994．又后一个方程可化为(1994 x+1)(x? 1)=0．7．由题设知3x+2＞0，2x-1＜0． ∴原式=|3x+2|-|2x-1|+|5x| 或原式=3x+2+2x-1+5x∴xy=7，又x＞y，M=x+y=8，∴x+y+M=16． 9．根据绝对值的几何意义及对称性原理，当x=-3时，|x+3|=0，而|x+2|与|x+4|的 值相等，|x+1|与|x+5|的值相等．当x=-3时，|x+2|=|x+4|=1，|x+1|+|x+5|=2，因而原式=2?2+2?1=6，当x≠-3时，原式＞6．因此，原式的最小值为6． 10．连接CD，图21CD的右侧不动，左侧部分绕着D点逆时针方向旋转180°，使A点与 B希望杯第五届(1994 年)初中二年级第二试试题一、选择题:（每题4分，共40分） 1.如果a&0,那么 ? a 3 =[ A.a ? a 3 ;7] C.a ? D. -a ? a .B.-5 32． 已知， y=ax +bx +cx +dx+e， 其中a,b,c,d,e为常数， 当x=2时， y=23； 当x=-2时， y=-35， 那么e的值是 [ ] D．-123A．6. B．-6. C.12.3.如果-1&a&0, 那么a,a , a 3 , A.a最小,a 最大;31 中,一定是[ aC.]B.a 3 最小,a最大;]1 最小,a最大; aD.1 3 最小,a 最大. a4．方程x2-7|x|+12=0的根的情况是 [A．有且仅有两个不同的实根.B．最多有两个不同的实根 C．有且仅有四个不同的实根.D．不可能有四个实根 5．若三角形的三边长度均为整数，其中两边长的差是7，且三角形的周长是奇数，则第 三边长可能是 [ A．9 . B．8. ] C．7. D．6.6．在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB于H， 则DH的长是 A．7.5. [ ]B．7. C．6.5. D．5.5.7.已知关于x的二次方程2x2+ax-2a+1=0的两个实数根的平方和是7 A．11或3. B．11. C．3. D．51 ,则a的值为[ 7]8.在Δ ABC的三边AB,BC,CA上分别取AD,BE,CF,使AD= 积是Δ ABC的面积的[ ]1 1 1 AB,BE= BC,CF= AC,则Δ DEF的面 4 4 4A.1 ; 4B.3 ; 8C.5 ; 8D.7 . 16[ ]9．一个凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形的边数的最大值是 A．5. B．6. C．7 .D．810．设n为大于1的自然数，则下列四个式子的代数值一定不是完全平方数的是[ A．3n2? 3n+3. B．5n2? 5n? 5. C．9n2? 9n+9 .D．11n2? 11n? 11.]二、填空题：（每题4分，共40分） 1.已知关于x的二次方程x +px+2=0的两根为x1和x2,且x1-x2=2 2 ,那么p的值为_____. 2． 如果(1-3x) =a0+a1x+a2x +a3x +a4x +a5x ， 那么|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的值为______． 3．如图30,在梯形ABCD中,AD∥BC，AB=DC=10厘米，AC与BD相交于G，且∠AGD=60°，设 E是CG的中点，F是AB的中点，则EF的长为________． 4．如图31中，以A,B,C,D,E,F,G,H这些点为端点的线段共有______条． 5.若a,b,c是实数,且a+b+c=2 3 ,a2+b2+c2=4,则(a-2b+c)1994=______. 6．编写一本数学书的页数总共用6869个数字，（例如一本10页的书， 它的页数是一位数的9个，两位数的1个，总共用去数字9+2=11个）， 那么这本数学书的页数是________． 7．一个口袋内装有红、蓝、白三种不同颜色的小球,其中蓝球数 至少是白球数的一半,但至多是红球数的 至少是55个,则红球至少有________. 8．如图32，正方形ABCD内有一个内接△AEF，若∠EAF=45°， AB=8厘米，EF=7厘米，则△EFC的面积是______． 9. 若a,b,c是实数,且a=2b+ 2 ,ab+5 2 3 4 5 21 ,白球与蓝球的总和 3bc 3 2 1 c + =0,那么 的值是_____. 4 a 210．已知：a≠0，14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c) 2，那么，a∶b∶c=______． 三、解答题（每题10分，共20分） 1． 如图33， 五边形ABCDE中， AB=AE， BC+DE=CD， ∠BAE=∠BCD=120°， ∠ABC+∠AED=180°， 连接AD．求证：AD平分∠CDE．2．如图34，甲、乙、丙三人同时分别从A、B、C出发,甲向C,乙、丙向A前进,过了2 时,甲与乙于M点相遇;又过了 之间的距离为 公里？1 小 75 小时,丙于N点追及乙,已知B点恰为N,C的中点,M与N 1410 公里；又知甲比丙提前1小时到达目的地，问A与B，B与C之间各多少 7答案?提示 一、选择题提示：2．由题设知，当x=2时，23=a?27+b?25+c?23+d?2+e7① ②当x=-2时，-35=a?(-2) +b?(-2)5+c? (-2)3+d?(-2)+e，即35=-a?27-b?25-c?23-d?2+e①+②，则得2e=-12，所以e=-6．故选(B)．4．原方程可化为|x|2-7|x|+12=0．推出(|x|-4)(|x|-3)=0．从而|x|=4或|x|=3解得x= ±3，x=±4，故选(C)． 5．不妨设三角形三边长度为a,b,c．且a? b=7，则a与b为一奇一偶，又题设知a+b+c 为奇数，所以c一定是偶数，又三角形两边之差小于第三边，即c＞a? 边长可能是8，故选(B)． 6．如图35，自C作DH的垂线CE交DH于E． ∵DH⊥AB，CB⊥AB． ∴CB∥DH又CE⊥DH． ∴四边形BCEH是矩形，则HE=BC=2，在Rt△AHD中，∠A=60°，∴∠ADH=30°，又 b=7，所以第三∠ADC=90°∴∠CDE=60°，则在Rt△CED7．设方程的两个实根为x1，x2，则整理②式得， 2+8a-33=0， a 解得a=3或a=-11． 将a=3代入①式得32+16?3-8＞0． 将a=-11 代入①式得(-11) +16?(-11)-8＜0矛盾．故选(C)． 8．如图36，连接AE．29．设∠A，∠B，∠C均为钝角，则90°＜A＜180°，90°＜B＜180°，90°＜C＜ 180°．270°＜A+B+C＜540°． n边形中其余n-3个角均小于等于90°． ∵∠A+∠B+∠C+∠D+?+∠N＜540°+(n? 3)?90°． n边形的n个角和为(n-2)?180°． ∴(n-2)?180°＜540°+(n-3)?90°推出．n＜7，∴n的最大值为6． 又极端情况为三钝角相邻，三个角的各边接近为一条角线，如图37可画出恰有三个钝 角的六边形，故选(B)． 10．解一：欲使9n2? 9n+9为某自然数的平方，有9n2-9n+9=9(n2-n+1)，必须使n2-n+1 为某自然数的平方，而n＞1时有n2-2n+1＜n2-n+1＜n2，即n2-n+1不可能为某自然数的 完全平方，故选(C)． 解二：当n=2时，3n2-3n+3=9， 当n=3时，5n2-5n-5=25， 当n=4时，11n2-11n-11=121均为完全平方数，所以排除(A)，(B)，(D)．选(C)． 二、填空题提示： 1．由题设的方程的两根为x1，x2，得2． 解法一：∵(1-3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5． 其中a0＞0，a2＞0，a4＞0，a1＜0，a3＜0，a5＜0． ∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5． 将x=-1代入原等式两端得 [1-3?(-1)] =a0+a1?(-1)+a2?(-1) +a3?(-1) +a4?(-1) +a5?(-1) 即+a2-a3+a4-a5． ∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=3 解法二：将(1-3x) 用乘法分式逐项展开，得 (1-3x)5=1-15x+90x2-270x3+405x4-243x5 ∴|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=90+270+405+243=1023． 3．如图38，连接BE． ∵AB=CD，AD∥BC． ∴四边形ABCD是等腰梯形，又∠BGC=∠AGD=60°． ∴△BCG为等边三角形，BE是CG边的中垂线． ∴BE⊥CG即△ABE是直角三角形．5 5 2 3 4 54．线段有AB,AG,AE,GE,DH,DE,HE,DF,DC,FC, Ad,BG,BH,BF,GF,HF,BC,BE,EC共20条．6．一位数9个，需9个数字，两位数90个，需2?90个数字，三位数900个，需3?900 个数字，四位数9000个，需4?9000个数字．而9+2?90+3?900＜?90+3? 900+4?9000．即＜38889．设需用x个四位数码．则9+90?2+900?3+4x=6869．解得x=995． 所以书的页数为=1994． 7．设红、蓝、白三种小球的个数分别为x,y,z．则∴y+z?y+2y=3y． x?3y=57，∴红球至少有57个． 8．延长EB到G，使BG=DF，连接AG（图39），∵AB=AD，∴△ABG≌△ADF， ∴∠2=∠3，又∠1+∠2=45°，∴∠1+∠3=45°，∠EAF=45°． 在△AEF和△AEG中，AE=AE，AF=AG，∠EAF=∠EAG∴△AEF≌△AEG，EF=EG=7． S△EFC=SABCD-SABEFD=SABCD-2S△AEG10．由题设得 14a2+14b2+14c2=a2+4b2+9c2+4ab+6ac+12bc ∴13a2+10b2+5c2-4ab-6ac-12bc=0．(4a -4ab+b )+(9a -bac+c )+(9b -12bc+4c )=0． 即(2a-b) +(3a-c) +(3b-2c) =0． ∴2a-b=0，3a-c=0，3b-2c=0． 即b=2a,c=3a，3b=2c，∴a∶b∶c=1∶2∶3． 三、解答题 1． 证一：如图40，连接AC，将△ABC绕A点旋转120°到△AEF． ∵AB=AE，∠BAE=120°，∴AB与AE重合．又∠ABC+∠AED=180°． ∴D，E，F在一条直线上，AC=AF．在△ACD和△AFD中，DE+EF=DE+BC=CD．AF=AC， ∴△ACD≌△AFD，∴∠ADC=∠ADF即AD平分∠CDE． 证二：如图41连接AC． ∵BC+DE=CD,AB=AE,∠ABC+∠AED=180°． ∴将△ABC，绕C点顺时针方向旋转至 △FGC，同时将△AED绕D点逆时针方向旋转至△FGD． 则AB与AE重合成FG，AC旋转后成CF，AC=CF，AD旋转后成DF，AD=DF，CD=CD． ∴△ACD≌△FCD，∴∠ADC=∠FDC=∠ADE．即AD平分∠CDE． 证三：如图42． ∵BC+DE=CD．在CD上，取CF=DE，则FD=BC．连接BF，FE，AF，AC． 在△BCF和△FDE中，BC=FD，CF=DE，∠BCF=120°， ∠FDE=540°-120°-120°-180°=120°（五边形内角和=540°） ∴△BCF≌△FDE．∴BF=FE，∠1=∠3，∠2=∠4． 在△ABF和△AEF中，AB=AE，BF=FE，2 2 2222222在△ACF和△ADE中，AF=AE，CF=DE，∠AFC=60°+∠2=60°+∠4=∠AED， ∴△ACF≌△ADE，∠ADE=∠ACF，AC=AD，∠ACF=∠ADF， ∴∠ADE=∠ADF，∴AD平分∠CDE． 证四：如图43，延长BC，ED相交于F，自A向BC和DE的延长线引垂线AG，AH，垂足分别 为G，H连接AF与CD相交于K． 在Rt△ABG和Rt△AEH中，AB=AE，∠ABG=180°-∠AED=∠AEH， ∴△ABG≌△AEH，∴AG=AH，∠BAG=∠EAH． 在△CDF中，∠FCD=180°-∠BCD=60°，∠CDF=180°-∠CDE． ∠CDE=540°-(180°+120°+120°)=120° ∴∠CDF=60°，∴△CDF是等边三角形．∴CD=CF=FD．在Rt△AGF和Rt△AHF中AG=AH，AF=AF，∴△AGF≌△AHF， ∴∠AFG=∠AFH=30°，∴FK平分∠CFD，FK垂直平分CD．又∵BC+DE=CD，BG=EH．在Rt△ADK和Rt△ADH中AD=AD， DK=DH， ∴△ADK≌△ADH， ∠ADK=∠ADH即AD平分∠CDH． 2．如图44，N点在M点左侧．设甲、乙、又设AB的距离为x公里，则即答：A，B之间距离为30公里，B，C之间距离为10公里．第六届(1995 年)初中二年级第一试试题一、选择题: 1.下列五个数:3.1416, A．0个 2.-1?, ? ,3.14, ? ? 1 ,其中是有理数的有[]B．1个 C．2个 D．3个 ]1 的平方的立方根是[ 8A.4; B.1 1 1 ; C.- ; D. . 8 4 4] D．3?x＜5 ]3．适合不等式2x-1＞-3x+14?4x-21的x的值的范围是 [ A．x＞3. B．x?5. C．3＜x?5a a2 a3 ? 2 ? 3 的值是[ 4.已知a是非零实数,则 a a aA．3或? 1 B．? 3或1. C．3或1 D．? 3或? 15． 若a， c为三角形的三条边长， b， 则? (a+b+c)+│a-b-c│-│b-c-a│+│c-b-a│=[ A．2(a-b-c) B．2(b-a-c). C．2(c-a-b) D．2(a+b-c)]6．如图19，已知△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于D，∠D=40°，则∠ A= [ ] A．50°2 2B．60°. C．70°2 2D．80° ]7．已知实数a、b满足条件a +b +a b =4ab-1，则 A. ?[?a ? 1 ? a ? 1 ? a ? ?1 ?a ? 1 ?a ? 1 ? a ? ?1 ; B. ? 或? ; C. ? 或? ; D. ? . ?b ? 1 ?b ? 1 ?b ? ?1 ?b ? ? 1 ?b ? ? 1 ?b ? 18．某项工程，甲单独做需a天，在甲做了c天(c＜a＝后，剩下工作由乙单独完成还需b 天，若开始就由甲、乙两人共同合做，则完成任务需[ A. ]天c ab a?b? B. ; C. ; D. . a?b a?b?c 2 a?b?c]2 2.9．如图20，在△ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点， 则PA2+PB?PC的值为[2 2A．m . B．m +1. C．2m . D.(m+1)10． 如图21， △ABC的面积为18cm2， 点D、 F分别位于AB、 CA上． E、 BC、 且AD=4cm， DB=5cm． 如 果△ABE的面积和四边形DBEF的面积相等，则△ABE的面积是 [ A．8cm2. B．9cm2. C．10cm2. D．12cm2 二、A组填空题: 1.化简: 625 ? ]36 ? 0.25 =_________. 1692 21 1 ? ? ? ? 2计算: ?10 ? ? 0.001? ? ? 0.01 ? ? 10 ? =__________. 100 1000 ? ? ? ?3．化简1+x+x(1+x)+x(1+x)2+?+x(1+x)1995，得到_____． 4．若n满足(n-95-n)2=1，则(1995-n)?(n-1994)_____． 5．如图22,已知△ABC中，∠ACB＞90°，∠B=25°，CD⊥BC于点C， BD=2AC，点E在BC的延长线上，则∠ACE的大小是______． 6．在一个凸n边形(n＞3)的n个外角中，其中最多有_____个钝角． 7．如图23，沿AE折叠长方形ABCD，使D点落在BC边的点F处，若AB=12cm，BC=13cm，则FC的长度是______． 8．已知a，b，c，d是四个不相等的正数，其中a最大,d最小,且满足条件 与b+c的大小关系为_____________. 9.若方程a c ? ,则a+d b dx?b x?a ? 2? 有唯一解,则a与b应满足的条件是____________. a b10．有5根木条，其中2根完全相同，长8cm，另外三根分别长4cm，10cm，12cm，用其中 三根组成一个三角形，则选择的办法有______种． 三、B组填空题 1． 一个自然数n减去59之后是一个完全平方数，加上30之后仍 是一个完全平方数，则n=_____． 2．已知x是实数，并且x3+2x2+2x+1=0，则x+x2000的值是_____． 3．如图24，△ABC中，∠C=90°，DE是AB的中垂线，AB=2AC， 且BC=18cm，则BE的长度是_____． 4．如图25，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D， DE⊥AB于E，且AB=10cm，则△DEB的周长是_____． 5.已知x=2- 5 ,那么x -8x +16x -x+1的值是_______. 6.化简: ?4 3 21 1? a ? a4 ? a2 ? 2 ? ? 3 ? 6 =___________. ? 2 4 2 ? a ? a ? 1 a ? 1 ? (a ? 1) ? (a ? a ? 1)7.已知:1 4 3 23 ? ? ,则 (y-x)的值是_______. x ? 2 y y ? x 2x ? 1 38．已知a，b，c，d是四个两两不等的正整数，它们的乘积abcd=1995，则a+b+c+d的最 大值是_____． 9．如图26，ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，AB∶AD=2∶3，∠BAD=2∠ABC，则FC∶FD=_____． 10．如图27，两圆半径均为1，且图中两块阴影部分的面积相等，那OC1的长度是_____．答案?提示一、选择题 提示：∴3＜x?5，选（C）． 4．当时a＞0，│a│=a，∴原式=1+1+1=3；当a＜0时，│a│=-a，原式=-1+1-1=-1， 故选（A）． 5．a，b，c为三角形的三条边长，满足条件a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b∴原式 =-(a+b+c)+(b+c-a)+(b-a-c)+(a+b-c)=2(b-c-a)，选（B）． 6．∠A=∠ACE-∠ABC=2∠DCE-2∠DBC=2∠D=80°，故选（D）．9．作AD⊥BC交BC于D，设PD=x，则BP=BD-x，PC=CD+x，BD=CD ∴BP?PC=(BD-x)(BD+x)=BD2? 而PA2=AD2+x2 ∴PA2+PB?PC=BD2-x2+AD2+x2=BD2+AD2=AB2=m2．故选(A)． 10．如图28，连接DE，DC． ∵SDBEF=S△ABE x2即S△ABE=10cm ，故选(C)． 二、A组填空题 提示：22．原式=(10+0.01+0.001)2-(0.01+0.001-10)2 =[10+(0.01+0.001)]2-[10-(0.01+0.001)]2 =4?(0.01+0.001)?10=0.44 3．原式=(1+x)+x(1+x)+x(1+x)2+?+x(1+x)1995 =(1+x)(1+x)+x(1+x)2+?+x(1+x)1995 =(1+x)2(1+x)+x(1+x)3+?+x(1+x)1995 =?=(1+x)1996 4．由条件(n-95-n)2=1 又[(1995-n)+(n-,即(1995-n)2+2(1995-n)(n-1994)+(n- ∴2(1995-n)(n-1994)=0,则(1995-n)(n-．如图29，取BD的中点G，连接CG，∠A=∠CGA=2∠B=50° ∴∠ACE=∠A+∠B=75° 6．凸n边形的n个外角的和是360°，所以最多只能有3个钝角． 7． 沿AE折叠后， 有△ADE≌△AFE， AF=AD=13cm， 在Rt△ABF中， AF=13， AB=12， ∴BF=5cm ∴FC=BC? BF=8cm．d-b-dk=(b-d)(k-1) ∵b＞d，k＞1，∴a+b＞b+cbx-b2=2ab-ax+a2,整理后，得(b+a)x=a2+2ab+b2 因方程有唯一解，故a+b≠010．选择方法有(8，8，4)，(8，8，10)，(8，8，12)，(4，8，10)，(4，10，12)， (8，10，12)共6种． 三、B组填空题 提示：②?①得 b2? a2=89 即(b+a)(b?a)=89∴n=442+59=1995 2．由x3+2x2+2x+1=0得(x+1)(x2+x+1)=0(-1)1994+(-1)1997+(-1)2000=1-1+1=13．如图30，连接AE，∴△BED≌△AED≌AEC，∠B=30°4．在△ACD和△AED中，∠CAD=∠EAD，AD=AD∴△ACD≌△AED，AC=AE，CD=DE ∴BD+DE+EB=BD+DC+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=10cm．8．abcd=?7?19=1?3?5?(7?19) 令a=1，b=3，c=5，d=133 ∴a+b+c+d=142为最大． 9．在平行四边形ABCD中，∠BAD=2∠ABC ∴∠BAD=120°，∠ABC=60°，又AE⊥BD，AF⊥CD， ∴∠BAE=30°，∠DAF=30°∴FC∶FD=1∶3又两阴影部分面积相等，希望杯第六届(1995 年)初中二年级第二试试题一、选择题，以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的． 1.设x0是方程1? x ? ? x ? 0 的一个不为1的根,则[ 2]A．x0＞2x0＞x20. B．x20＞x0＞2x0. C．x20＞2x0＞x0. D．2x0＞x20＞x0 2．设a是一个满足下列条件的最大的正整数，使得用a除64的余数是4；用a除155的余数 是5；用a除187的余数是7．则a属于集合 A.{3,4,6}; [ ]B.{7,8,9}; C.{10,15,20}; D.{25,30,35}3．某位同学在代数变形中，得到下列四个式子： (1) 3 ?(1 ? x )3 ? 1 ?(2)当x= ? 2时,分式x ?2 x2 ? x ? 6的值均为0;(3)分解因式:xn+1-3xn+2xn-1=xn?x-3xn+xn?2? 2 n? =x ? x ? 3 ? ? ; x? x ?(4)9-32)+9=(97-3)+9=．其中正确的个数是 [ A．1个. B．2个.] C．3个 D．4个.4．A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛，当比赛进行到某一天时，统计出A，B， C，D，E五队已分别比赛了5，4，3，2，1场球，由此可知，还没有与B队比赛的球队 是[ A．C队 ] B．D队. C．E队 D．F队5．如图31，已知等边△ABC的周长为6，BD是AC边的中线，E为BC延长线上一点，CD=CE， 那么△BDE的周长是 [ A.5+2 3 ; B.5+ 3 ; ] C.3+2 3 ; D.3+ 3 .6．如图32，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m， PC=n，AB=c，AC=b，则m+n与b+c的大小关系是 [ A．m+n＞b+c. B．m+n=b+c . ]C．m+n＜b+c. D．m+n＞b+c或m+n＜b+c7．两个全等的直角三角形(不等腰)纸片，可以拼成n个不同形状的四边形，则n的值为 [ ] A．3. B．4. C．5. D．6.2 2 2 28．四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，c为对边，且满足a +b +c +d =2ab+2cd， 则这个四边形一定是 [ ]A．两组角分别相等的四边形. B．平行四边形. C．对角线互相垂直的四边形. D．对角线长相等的四边形. 9．已知a，b，c为三个连续奇数(a＜b＜c＝，且它们均为质数，那么符合条件的三数组 (a，b，c)有 A．0 组. [ ] C．2组. D．多于2组.B．1组.10.在边长为的正方形内有任意5个点(包括落在四条边上),将其中任意两点与正方形中心连 结成三角形,则其中至少有一个三角形的面积S满足[ A. S ? ]1 1 1 ; B. S ? ; C. S ? ; D. S ? 1 . 2 2 2二、填空题 1． 计算： 4+5-5-6=______． 2． 直角三角形的周长是2+ 6 ,斜边的中线长为1,则它的面积为____________.3 2 2 2 3．若x+2是多项式x +x +ax+b的一个因式，且2a +3ab+b ? 0,则分式ab2 ? 4a3 ? b3 ? 4a 2 b 的值为_______. 2a 2 ? 3ab ? b 24.设[x]表示不大于x的最大整数,如 ?? ? =3,则? 1 ? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? 4 ? ? ? ? ? 100 ? =____. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?5．如图33,在菱形ABCD中,∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF的大小是_____． 6．若△ABC的三条边a，b，c满足关系式：a4+b2c2-a2c2-b4=0，则△ABC的形状是_____． 7．若不等式3x? a?0的所有正整数解的和是15，则a的取值范围是_____．8.如图34，△ABC中，AB＞AC，AH⊥BC，M为AH上异于A的一点，比较AB-AC与MB-MC的大 小，则AB-AC_____MB-MC(填“＞”，“=”或“＜”＝． 9．方程x2-y2=1995的正整数解共有_____组． 10．设x，y是不大于10的自然数，x除以3的余数记为f(x)，y除以4的余数记为g(y)．当 f(x)+2g(y)=0时，x+2y的最值是_____． 三、解答题 1．(1)已知a1，a2，a3为三个整数，且a1?a2?a3，三个数中的每一数均为其它两数的乘 积，求所有满足条件的三数组(a1，a2，a3)． (2)如果a1，a2，a3，a4，a5，a6为6个整数，且a1?a2?a3?a4?a5?a6，六个数中任一个数 均为其它五个数中某四个数的乘积，那么满足上述条件的数组(a1，a2，a3，a4，a5，a6) 共有多少组？请说明理由．2． 一个旅游区有7个不在一条直线上的编号为A， C， E， G的风景点(如图35)． B， D， F， 现 要开设一些公共汽车线路，满足以下条件： (a)由每个风景点可不换车到达其它任一风景点． (b)每条汽车线路只连结3个风景点． (c)任何两条汽车线路之间都只有一个共同的风景点． (1)该旅游区应开设几条公共汽车线路？ (2)若风景点，，在一条线路上，则该公共汽车线路写成A―B―C． 试写出该旅游区完整的公共汽车线路图．答案?提示一、选择题 提示：2．据题意，a可整除60，150，180．故a是60，150，180的最大公约数，a=30，选(D)． 3．显然①式不成立；在②式中，当x=-2时，分母为0，故②式不成立；当x=0时，③式 不成立；只有④式成立．故选(A)． 4．每个队分别与其它队比赛一场，最多赛5场，A队已经赛完5场，则每个队均与A队赛 过，E队仅赛一场(即与A队赛过)，所以E队还没有与B队赛过．选(C)．5．△ABC的周长为6，∴AB=BC=AC=2，DC=CE=1，又∠ACB=∠CDE+∠CED ∴∠CED=30°，△BDE为等腰三解形,DE=BD=6．如图36，在BA的延长线上取AF=AC，连接PF，在△APC和△APF中，AC=AF， ∠CAP=∠FAP，AP=AP． ∴△APC≌△APF，PC=PF ∴m+n=BP+PC=BP+PF＞BF =BA+AF=BA+AC=c+b．故选(A)． 7．如图37，可拼成4个不同的四边形，故选(B)． 8．由已知得(a-b)2+(c-d)2=0.∴a=b，c=d．如图38，四边形是由两个同底等腰三角形拼 接而成，故两条对角线互相垂直，故(C)． 9．3，5，7是三个连续奇数，且均为质数，∴3，5，7为符合条件的三数组，若a＞3且a 为质数，则a可分为被3除余1或2的两类． 若a=3m+1，m为自然数，则b=a+2=3m+3为合数． 若a=3m+2，m为自然数，则c=a+4=3m+6也是合数，故当a＞3时，没有符合条件的三数组， 故选(B)．角形中，根据抽屉原则，则至少有一个三角形中有两个点．那么这两个点与正方形中心 连成的三角形二、填空题 提示： 1．4+5-5- =001+001-001-001=0 2．Rt△ABC斜边上的中线长为1，∴斜边3．∵x+2是多项式x3+x2+ax+b的一个因式，根据余数定理知，f(-2)=0．即 (-2)3+(-2)2-2a+b=0，∴b-2a=4．∴原式=1?3+2?5+3?7+4?9+5?11+6?13+7?15+8?17+9?19+10=625 5．如图40，连接AC，在△ABE和△ACF中AB=AC，∠B=60°=∠ACF，∠BAE=∠CAF=60°∠EAC ∴△ABE≌△ACF，AE=AF，又∠EAF=60° 于是可知△AEF是等边三角形，∠AEF=60°，∠CEF=∠CEA-∠AEF，∠CEA=∠B+∠ BAE=80°，∴∠CEF=20°． 6．将a +b c -a c -b =0因式分解得 (a +b )(a -b )-c (a -b )=0 即(a -b )(a +b -c )=0 ∴a -b =0或a +b -c =0 ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4即15?a＜18 8．∵AH⊥BC，有AB =AH +BH ，AC =AH +HC ∴AB2-AC2=BH2-HC2 又MH⊥BC，同理有MB -MC =BH -HC ∴AB2-AC2=MB2-MC2． 即(AB+AC)(AB-AC)=(MB+MC)(MB-MC) 又M点在△ABC内，∴AB+AC＞MB+MC 则AB-AC＜MB-MC 9． -y =1995得(x+y)(x-y)=1995， 由x 其中x+y， x-y分别为1995的两个约数， 且x+y＞x-y， 又?7?19， 所以1995的正约数的个数有2?2?2?2=16个， 共可分成8组， 即：2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 210．x除以3的余数有三种，即余0，余1，余2．y除以4的余数有四种，即余0，余1，余2，余3．当f(x)+2g(y)=0时，只有f(x)=0且g(y)=0， ∴ x最大取9，y最大取8，x+2y的最大值是25．三、解答题 1．(1)由题意知a1=a2a3，a2=a1a3，a3=a1a2，三式相乘得a1a2a3=(a1a2a3) ∴a1a2a3=0或a1a2a3=1 即a 1=0或a 1=1 ∴a1=0或a1=1或a1=-1 当a1=0时，a2=a3=0 当a1=1时，a2=a3=1 当a1=-1时，a2=-1，a3=-1 ∴共有三个这样的三数组(0，0，0)，(1，1，1)，(-1，-1，-1)． (2)取a1，a2，a3，a4，a5，a6的绝对值并按大小顺序排列，不妨设为0?b1?b2?b3?b4? b5?b6，则b1，b2，b3，b4，b5，b6也满足题意要求． ①若b1=0，则b2，b3，b4，b5，b6中至少有一个为0，即b2=0．由于b1=b2=0，∴b3=b4=b5=b6=0， ∴a1=a2=a3=a4=a5=a6=0 ②若b1≠0，则b1=b2b3b4b5或b1=b3b4b5b6?b2b3b4b5 ∴b1?b2b3b4b5 又b6=b2b3b4b5或b6=b1b2b3b4?b2b3b4b52 2 2∴b1=b2=b3=b4=b5=b6，b1=b41，b1=1即a1，a2，a3，a4，a5，a6的绝对值均为1，它们只能是+1 或? -1．i)a1=a2=a3=a4=a5=a6=1符合条件． ii)若a1，a2，a3，a4，a5，a6中有-1，则最少有2个-1，最多有5个-1． 即(-1，-1，1，1，1，1)，(-1，-1，-1，1，1，1)，(-1，-1，-1，-1，1，1)，(-1， -1，-1，-1，-1，1)均符合条件．∴符合条件的数组共有6组． 2．(1)应开设7条公共汽车线路． 由A点至其它6个风景点，其中每条汽车线路只能连续除A点外的2个不同的风景点，所以 经过(2)7条公共汽车线路如下： A―B―C，A―E―G，A―D―F，B―D―E，B―F―G，C―D―G，C―F―E(注：答案不唯一)． 从几何图形考虑(图41)，将A，B，C看作三角形的三个顶点，D，E，F分别为三角形三边 的点，且AD，BE，CF相交于一点G，再作DEF的外接圆，这样7条线路也就连成了． A―G―D，A―F―B，A―E―C，B―D―C，B―G―E，C―G―F，D―E―F．希望杯第七届（1996 年）初中二年级第一试试题一、 选择题:1.下列各式中与分式?a 的值相等的是[ ] a?b ?a a a ?a A. ; B. ; C. ; D. . ?a ? b a?b b?a b?a[ ] A．58° B．59°. C．60°