考研数学-高等数学微分方程相关内容； 关于微分方程的内容一直很迷糊,比如二阶线性微分方程和二阶常系数微分方程到底本质区别是什么啊?线性主要是指
学而思问答
考研数学-高等数学微分方程相关内容；关于微分方程的内容一直很迷糊,比如二阶线性微分方程和二阶常系数微分方程到底本质区别是什么啊?线性主要是指什么?
微分方程中,线性微分方程指的是：未知函数和它的各阶导数是一次的就是线性微分方程.例如y=y(x)是题设未给的,其中y的n阶导、（n-1）阶导、（n-2）阶导...一直到y的一阶导数和y本身的幂都是一次的,则这个微分方程就是线性的,如果y的最高阶导数的阶次是n,则称为n阶线性微分方程.所以二阶线性微分方程就是指y的最高阶次是2,且y的2阶导、1阶导和y的都是一次幂.反例：如果方程中出现了y的平方就不能算是线性微分方程了.常系数微分方程,顾名思义,就是说微分方程前的系数都是常数,不是一个x的方程.二阶常系数微分方程就是指未知函数y的最高阶导数为二阶,但是它各阶的幂次没有限制,且系数都为常数.比如微分方程中未知函数y的各阶导数前的系数都是常数,但是有y的平方,不是线性微分方程,但是是常系数微分方程.在这些微分方程中,x是自变量,y是因变量,y是x的一个隐函数,重点是求出y(x),求出来的是方程,不再是数了.所谓线性,就是F(MA+NB)=MF(A)+NF(B),M.N是常数 ,F是某种运算法则只要满足这个的方程都是线性方程,也就是说,线性方程的解满足叠加原理,而非线性方程不满足这个原理.keywords：y的各阶导数、y的各阶导数的幂、y的各阶导数前的系数
已知集合A=（X属于R/ax平方+2x+1=0,a属于R）只有一个元素,问A的值.0怎么想的啊,请求思路讲解思路高等数学（基础学科名称）_百度百科
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?基础学科名称
（基础学科名称）
指相对于初等数学而言，数学的对象及方法较为繁杂的一部分。广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学，也有将中学较深入的代数、几何以及简单的初步、逻辑初步称为中等数学的，将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡。通常认为，高等数学是由，较深入的学、以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。主要内容包括：、、与、、。工科、理科研究生考试的基础科目。
高等数学相关内容
在中国各类专业的学生（数学专业除外，数学专业学），学的数学较难，课本常称“高等数学”；科各类专业的学生，学的数学稍微浅一些，课本常称“”。的不同专业，文史科的不同专业，深浅程度又各不相同。研究变量的是高等数学，可高等数学并不只研究变量。至于与“高等数学”相伴的课程通常有：（数学专业学），与（有些数学专业分开学）。
初等数学研究的是与匀，高等数学研究的是非匀变量。高等数学（它是几门课程的总称）是理、工科院校一门重要的基础学科，也是非数学专业理工科专业学生的必修数学课,也是其它某些专业的课。
作为一门，高等数学有其固有的特点，这就是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。抽象性和计算性是数学最基本、最显著的特点，有了高
变量与函数的研究
度抽象和统一，我们才能深入地揭示其本质规律，才能使之得到更广泛的应用。严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理中，无论是概念和表述，还是判断和推理，都要运用逻辑的规则，遵循思维的规律。所以说，数学也是一种思想方法，学习数学的过程就是思维训练的过程。人类社会的进步，与数学这门科学的广泛应用是分不开的。尤其是到了现代，电子计算机的出现和普及使得数学的应用领域更加拓宽，正成为科技发展的强大动力，同时也广泛和深入地渗透到了社会科学领域。
高等数学历史发展
一般认为，16世纪以前发展起来的各个数学学科总的是属于的范畴，因而，17世纪以后建立的数学学科基本上都是高等数学的内容。由此可见，高等数学的范畴无法用简单的几句话或列举其所含分支学科来说明。
19世纪以前确立的几何、、分析三大数学分支中，前两个都原是初等数学的分支，其后又发展了属于高等数学的部分，而只有分析从一开始就属于高等数学。分析的基础——被认为是“的数学”的开始，因此，研究是高等数学的特征之一。原始的变量概念是物质世界变化的诸量的直接抽象，现代数学中变量的概念包含了更高层次的抽象。如中研究的限于实变量，而其他数学分支所研究的还有取复数值的复变量和、形式的，以及各种、，还有取值具有偶然性的、模糊变量和变化的（概率）空间——范畴和随机过程。描述变量间依赖关系的概念由函数发展到、以至于函子。与初等数学一样，高等数学也研究空间形式，只不过它具有更高层次的抽象性，并反映变化的特征，或者说是在变化中研究它。例如，曲线、的概念已发展成一般的。按照埃尔朗根纲领，几何是关于图形在某种变换群下不变性质的理论，这也就是说，几何是将各种空间形式置于变换之下来来研究的。
进入数学，这是高等数学的又一特征。现实世界的各种事物都以有限的形式出现，无穷是对他们的共同本质的一种概括。所以，无穷进入数学是数学高度理论化、抽象化的反映。数学中的无穷以和两种形式出现。在过程中，变量的变化是无止境的，属于潜无穷的形式。而极限值的存在又反映了实无穷过程。最基本的极限过程是和函数的极限。数学分析以它为基础，建立了刻画函数局部和总体特征的各种概念和有关理论，初步成功地描述了现实世界中的非均匀变化和运动。另外一些形式上更为抽象的极限过程，在别的数学学科中也都起着基本的作用。还有许多学科的研究对象本身就是无穷多的个体，也就说是无穷集合，例如、、之类及各种抽象空间。这是数学中的实无穷。能够处理这类无穷集合，是数学水平与能力提高的表现。为了处理这类无穷集合，数学中引进了各种结构，如、和。另外还有一种度量结构，如抽象空间中的、距离和等，它使得个体之间的关系定量化、数字化，成为数学的定性描述和定量计算两方面的桥梁。上述结构使得这些无穷集合具有丰富的内涵，能够彼此区分，并由此形成了众多的数学学科。
写满公式的纸
数学的计算性方面。在初等数学中甚至占了的地位。它在高等数学中的地位也是明显的，高等数学除了有很多理论性很强的学科之外，也有一大批计算性很强的学科，如微分方程、、统计学等。在高度抽象的理论装备下，这些学科才有可能处理现代科学技术中的复杂计算问题。
解读词条背后的知识
程民德，何思谦等．数学辞海（第一卷）：山西教育出版社 中国科学技术出版社 东南大学出版社，2002
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随着社会科学技术的迅猛发展，特别是计算机科学技术以及信息技术日新月异的发展，数学已经渗透到了人类生活的各个领域。学习任何一门工科课程都必须用到高等数学知识。同时，高等数学也是各高校本科生必修的一门重要基础课。“高等数学（一）”共4章内容，包括：微积分的理论基础（函数、极限及连续），一元函数微分学及其应用（导数、微分、中值定理、函数形态），一元函数积分学及其应用（定积分、微积分基本公式、不定积分、反常积分），常微分方程（几类简单的微分方程、二阶线性微分方程、二阶常系数线性微分方程）。为方便在线学习，我们将每讲内容分成了若干小片段，每个片段讲解1~2个知识点，便于学习者理解掌握。而针对每一讲的教学内容都配有一定量的典型例题、释义解难、思考题、数学史资料等，每讲还配有自测题供学习者作为平时成绩考核之用。& & & & &本课程的教学目标是要求学生系统地掌握一元函数微积分学，常微分方程的基本概念、基本理论和基本方法，同时通过数学实验来培养学生的综合素质，即实验动手能力、分析设计能力及团队合作精神，拓展学生思维，激发学生的创新意识，使学生在分析问题的基本思维方面受到必要的训练，在运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力方面有一定提高，并对现代数学的某些思想方法有所了解，为继续学习现代数学接轨。&&
第一章&&&微积分的理论基础第一节&函数．集合的概念映射函数．几个函数及图形的例子．函数的几种特性．复合映射与复合函数．逆映射与反函数基本初等函数与初等函数双曲函数第二节数列极限的概念．数列的概念．数列极限的描述性定义．数列极限的严格定义．数列极限的几何解释第三节&收敛数列的性质．收敛数列极限的唯一性．收敛数列极限的有界性．收敛数列极限的保号性．子数列的概念第四节&自变量趋于无穷大时函数极限的概念．自变量趋于无穷大时函数极限的定义．自变量趋于无穷大时函数极限的几何解释第五节&自变量趋于有限值时函数极限的概念．自变量趋于有限值时函数极限的定义．自变量趋于有限值时函数极限的几何解释．左右极限及其与极限存在的关系第六节&函数极限的性质．函数极限的几个简单性质．函数极限与数列极限的关系第七节&无穷小与无穷大．无穷小的概念．无穷大的概念第八节&函数极限的运算法则．函数极限的四则运算法则．复合函数极限的运算法则第九节&极限存在准则及两个重要极限．极限存在的夹逼准则．重要极限sin x / x及其在求极限中的应用举例．数列的单调有界收敛准则．重要极限其在求极限中的应用举例第十节&无穷小的比较．无穷小阶的概念．等价无穷小在求极限中的应用举例第十一节&函数的连续性．函数连续的概念．连续函数举例第十二节&函数的间断点．函数的间断点．间断点举例第十三节&连续函数的运算第十四节&初等函数的连续性第十五节&闭区间上连续函数的性质第二章&&一元函数微分学及其应用第一节&导数的概念．引例．导数的定义．左右导数及其与可导的关系．在一个区间上的可导性与可导函数．导数的几何意义．函数可导性与连续性的关系第二节&函数的求导法则．函数求导的四则运算法则．反函数的求导法则．复合函数的求导法则．基本初等函数的导数公式表第三节&高阶导数．高阶导数的概念．高阶导数的计算．几个基本初等函数的高阶导数公式第四节&隐函数的求导法．隐函数的概念．隐函数的求导法及应用举例第五节&由参数方程所确定的函数的导数．由参数方程所确定的函数的概念．由参数方程所确定的函数的求导法．参数方程求导法应用实例第六节&相关变化率．相关变化率的概念与计算．相关变化率的应用实例第七节&函数的微分．微分的概念．可微与可导的关系．微分的几何意义．微分运算法则．微分在近似计算中的应用第八节&罗尔定理．罗尔定理及其几何意义2．罗尔定理的证明．罗尔定理的应用举例第九节&拉格朗日定理．拉格朗日定理及其几何意义2．拉格朗日定理的证明．拉格朗日公式的几种形式．f(x)的导函数在区间I上恒为零的充要条件．拉格朗日公式的其他应用举例第十节&柯西中值定理．柯西中值定理及其几何意义．柯西中值定理的证明3．三个中值定理间的关系4.&柯西中值定理的应用举例第十一节&洛必达法则比零型未定式的洛必达法则．无穷比无穷型未定式的洛必达法则．&用洛必达法则求无穷减无穷型和0乘无穷型未定式的极限4．&用洛必达法则求其他型未定式的极限5．不能用洛必达法则求解的未定式的例子第十二节&泰勒定理．多项式逼近函数与泰勒公式．具有佩亚诺余项的泰勒定理．具有拉格朗日余项的泰勒定理．常用函数的麦克劳林公式及其应用举例第十三节&函数的单调性．函数单调性的判别法．函数单调性的应用举例&&&&&第十四节&函数曲线的凹凸性．曲线凹凸性的定义和几何解释．曲线凹凸性的判别法．拐点的定义和几何解释．拐点的判别法&&&&第十五节&函数的极值．函数极值的概念．函数极值点的必要条件．函数极值点的第一充分条件．函数极值点的第二充分条件&第十六节&函数的最值．函数最大值最小值的求法．函数最值的应用实例第十七节&函数图形的描绘．借助导数描绘函数图形的步骤．函数作图举例．利用软件函数作图第十八节&平面曲线的曲率&．弧微分及其计算公式．曲率的概念．曲率的计算公式．曲率圆与曲率半径& & &．曲率的应用举例第三章&&一元函数积分学及其应用第一节&&定积分的概念1．定积分问题举例2．定积分的定义3．定积分的几何意义4．定积分存在的条件第二节&定积分的性质& & && 1．线性性质及、区间的可加性及积分不等式& & && 2．定积分的中值定理第三节&微积分基本公式与基本定理1.&牛顿-莱布尼茨公式2.&变上限积分求导3.&变上限积分求导举例4.&不定积分第四节&两种基本积分法1．不定积分的第一换元法2．不定积分的第二换元法3．定积分的换元公式4．不定积分的分部积分法5．定积分的分部积分法6．初等函数的积分问题第五节&反常积分& & & & 1．无穷区间上的积分2．无界函数的积分3．伽马函数第六节&定积分的元素法（微元法）第七节&定积分在几何上的应用& & &&& 1．直角坐标系下面积的计算&&& &&& 2．极坐标系下面积的计算3．旋转体体积的计算4．平行截面面积已知的立体体积的计算5．平面曲线弧长的计算第八节&定积分在物理上的应用1．变力沿直线做功的计算2．液体压力的计算3．引力的计算第四章 常微分方程第一节& 常微分方程的基本概念1．&引例与微分方程的定义2．&微分方程的阶、解、通解、初值条件、特解的含义3．&一阶微分方程及其解的几何意义第二节& 可分离变量的微分方程第三节&齐次微分方程第四节&一阶线性微分方程1．一阶线性微分方程的一般形式2．一阶线性微分方程的解法第五节&伯努利方程第六节&一阶微分方程的应用举例1．用几何、物理知识建立微分方程举例2．用微元法建立微分方程举例第七节&可降阶的高阶微分方程1．第一型微分方程及其降阶法2．第二型微分方程及其降阶法3．第三型微分方程及其降阶法4．可降阶微分方程的应用举例第八节 二阶齐次线性微分方程1．二阶线性微分方程的概念2．二阶齐次线性微分方程解的性质．函数的线性相关与线性无关．二阶齐次线性微分方程通解的结构第九节 二阶非齐次线性微分方程．二阶非齐次线性微分方程解的性质．二阶非齐次线性微分方程的解法第十节 二阶常系数齐次线性微分方程．二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式．二阶常系数齐次线性微分方程的解法．高阶常系数齐次线性微分方程的解法第十一节 二阶常系数线性非齐次微分方程．第一型微分方程的解法．第二型微分方程的解法第十二节 欧拉方程1．欧拉方程的一般形式2．欧拉方程的解法第十三节 二阶常系数线性微分方程的应用举例
高中毕业所要求的数学知识。
本课程的学习包含：观看讲课视频及其他课程资源、完成每周测试题、参与课程讨论、参加期末考试。&& &课程学习成绩由二部分构成：& （1）单元测验：每周学习结束后有一次单元测验，题型为单项选择题和判断题，每次测试题10道，每题10分。每人每周有3次机会可以尝试，有效成绩为三次提交的最高分数。所有单元测验分数占课程成绩的50%。& （2）课程考试：课程结束后，学生可以参加课程的最后考试，成绩占50%。&&& && 完成课程学习并考核合格(&=60分)的可获得合格证书，成绩优秀(&85分)的可获得优秀证书。
（1）王绵森，马知恩，工科数学分析基础（第三版& 上册），高等教育出版社，2017.&&&&& && 点击购买链接：&&&& && 或者& （2）武忠祥，工科数学分析基础教学辅导书（上册），高等教育出版社，2006.（3）魏战线，工科数学分析基础释疑解难，高等教育出版社，2007.
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(C) icourse163.org微分方程_中华文本库
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§ 1 微分方程的基本概念
1、由方程x 2-xy+y2=C所确定的函数是方程（
A. (x-2y)y'=2-xy
C.(x-2)dx=(2-xy)dy
D.(x-2y)dx=(2x-y)dy
2、曲线族y=Cx+C2
(C为任意常数) 所满足的微分方程
4. 微分方程y '=
y x 21-写成以y 为自变量，x 为函数的形式为（
A. y x 21dx dy -=
B. y x 21dy
D. y'=2x-y §2
可分离变量的微分方程
1. 方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（
A. 可分离变量的微分方程
一阶微分方程的对称形式， C. 不是微分方程
D. 不能变成)
y , x (P ) y , x (Q dy dx -= 2、方程xy '-ylny=0的通解为（
3、方程满足初始条件：y '=e2x-y
, y|x=0=0的特解为（
A. ey =e2x
21e ln x 2+=
C. y=lne2x +1-ln2
D. ey =21e 2x +C 4、已知y=y(x)在任一点x 处的增量α+?+=
1y y 2，且当?x →0时，α是?x 高阶无穷小，y(0)=π, 则y(1)=(
π 5、求特解
cosx sinydy=cosy sinxdx ，
y|x=0=4π 解：分离变量为tanydy=tanxdx，即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnC，cosy=ccosx代入初始条件：y|x=0=4π得：2
2C =特解为：2cosy=cosx 6、求微分方程()2y x cos y x 21cos dx dy +=-+满足y(0)=π的特解。
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