& 因式分解的应用知识点 & “小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方...”习题详情
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小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．观察与操作：（1）他拼成如图②所示的正方形，根据四个小纸片的面积之和等于大正方形的面积，得到：（a+b）2=a2+2ab+b2，验证了完全平方公式；即多项式a2+2ab+b2分解因式后，其结果表示正方形的长（a+b）与宽（a+b）两个整式的积．（2）当他拼成如图③所示的矩形，由面积相等又得到：a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b），即：多项式a2+3ab+2b2分解因式后，其结果表示矩形的长（a+2b）与宽（a+b）两个因式的积．利用上述纸片，解决问题：①请你依照小刚的方法，利用拼图把a2+4ab+3b2分解因式（画出图形，并写出其结果）②探索：面积是2a2+5ab+3b2的矩形其长与宽分别是多少？（画出画形，并写出其结果）③利用图形面积解释代数恒等式（a-b）2=（a+b）2-4ab（画图，并简要说明）
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．观察与操作：（1）他拼成如图②所示的正方形，根据四个小纸片的面积之和等于大正方形的面积，得到：（a+b）2=a2+2ab+b2，验证了完全平方公式；即多项式...”的分析与解答如下所示：
①利用图形的长为（a+3b），宽为（a+b），进而得出面积；②利用图形的长为（2a+3b），宽为（a+b），进而得出面积；③利用空白面积为大正方形面积减去周围4个长方形面积进而得出答案．
解：①如图1所示：a2+4ab+3b2=（a+3b）（a+b）；；②如图2所示：2a2+5ab+3b2=（2a+3b）（a+b）；；③如图3所示：空白面积为：（a-b）2=（a+b）2-4ab．．
此题主要考查了因式分解的应用以及完全平方公式的应用，利用图形面积得出是解题关键．
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小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．观察与操作：（1）他拼成如图②所示的正方形，根据四个小纸片的面积之和等于大正方形的面积，得到：（a+b）2=a2+2ab+b2，验证了完全平方公式...
错误类型：
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经过分析，习题“小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．观察与操作：（1）他拼成如图②所示的正方形，根据四个小纸片的面积之和等于大正方形的面积，得到：（a+b）2=a2+2ab+b2，验证了完全平方公式；即多项式...”主要考察你对“因式分解的应用”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．2、利用因式分解解决证明问题．3、利用因式分解简化计算问题．
与“小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．观察与操作：（1）他拼成如图②所示的正方形，根据四个小纸片的面积之和等于大正方形的面积，得到：（a+b）2=a2+2ab+b2，验证了完全平方公式；即多项式...”相似的题目：
[2014o北京o中考]已知x-y=√3，求代数式（x+1）2-2x+y（y-2x）的值为&&&&．
[2014o汕尾o中考]已知a+b=4，a-b=3，则a2-b2=&&&&．
[2014o河北o中考]计算：852-152=（　　）7070049007000
“小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方...”的最新评论
该知识点好题
1若实数a、b满足a+b=5，a2b+ab2=-10，则ab的值是（　　）
2如图，用一张边长为a的正方形纸片，2张边长为b的正方形纸片，三张长、宽分别为b，a的长方形纸片拼成新的长方形（无缝隙），通过不同的方法计算面积，探求相应的等式．（1）你得到的等式是&&&&：（2）借助拼图的方法，将多项式a2+5ab+4b2分解因式．
该知识点易错题
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怎么解这个 用画图和代数两种方法最好 详细点谢
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在早期的小型图像编辑软件中，考虑到时间空间的限制，再加上算法本身的难度，很多看似非常简单的功能都无法实现。比如说，很多图像编辑软件只允许用户把所选的内容旋转 90 度、 180 度或者 270 度，不支持任意度数的旋转。毕竟，如果我们只是旋转 90 度的整数倍，那么所有像素仅仅是在做某些有规律的轮换，这甚至不需要额外的内存空间就能完成。但是，如果旋转别的度数，那么在采样和反锯齿等方面都将会有不小的挑战。
不过， Windows 自带的画图软件聪明地用 skew 功能(中文版翻译成“扭曲”)部分地填补了无法自由变形的缺陷。随便选中图中的一块区域，再在菜单栏上选择“图像”→“拉伸/扭曲”，然后在“水平扭曲”那儿填写一个 -89 到 89 之间的整数(表示一个角度值)，再按一下确定，于是整个图形就会像下图所示的那样被拉斜，其中 θ 就是你刚才填的度数。如果你填入的 θ 是负数值，则倾斜的方向会与下图方向相反。类似地，“垂直扭曲”功能会在竖直方向上对图形进行拉扯，如果角度值为正数，则整个图形会变得左低右高，如果角度值为负数，则整个图形会变得左高右低。
不过，这玩意儿对于我们来说似乎完全没用。估计 99% 的人在使用画图软件的时候就从来没用过这个功能吧。如果真是这样，那么今天的问题恐怕将会是大家最近一段时间见过的最有趣的问题了：想办法利用 Windows 画图中的扭曲功能(近似地)实现 28 度旋转。
答案：如下图，首先水平扭曲 -14 度，然后垂直扭曲 25 度，最后再水平扭曲 -14 度即可。这样的话，画板中被选中的内容将会被逆时针旋转 28 度。
为什么？这是因为，扭曲的本质其实就是在原图上进行一个线性变换。水平扭曲实际上相当于是对图像各行进行平移，平移量与纵坐标的位置成正比。而这又可以看作是对每个点执行了下图所示的矩阵乘法操作：
类似地，垂直扭曲则相当于对每个点执行了这么一个矩阵乘法的操作：
另外，由于
而最后一行就是大家非常熟悉的旋转矩阵！
也就是说，连续执行上式中的三次扭曲，就可以实现旋转 θ 度了。其中，第一次扭曲和第三次扭曲都是水平扭曲 -θ/2 度，当 θ = 28° 时，我们应该填写的度数就是 -14 。麻烦的就是第二次扭曲：它看上去并不符合垂直扭曲矩阵的标准形式。垂直扭曲矩阵中，左下角那一项应该是 tan(θ) ，而并非 sin(θ) 。不过，我们完全可以用正切值去模拟 sin(θ) 呀！利用计算机可以解得，当 θ = 28° 时， sin(28°) 约为 0.469 ，离它最近的正切值是 tan(25°) ≈ 0.466 。因此，我们在第二步的时候填入了垂直扭曲 25 度。
值得一提的是，实际上我们已经得到了一种非常高效并且非常容易编写的图像旋转算法：只需要连续调用三次扭曲操作即可。而每次扭曲操作本质上都是对各行或者各列的像素进行平移，因而整个算法完全不需要任何额外的内存空间！根据 的描述，这种方法是由 Alan Paeth 在 1986 年提出的。
由于 tan(25°) 并不精确地等于 sin(28°) ，因而这里实现的 28 度旋转也并不是绝对精确的。不过，画图软件本身还提供了水平缩放和垂直缩放的功能，把它们也加进来的话，线性变换的复合将会变得更加灵活，或许我们就能设计出一些更复杂但却更精确的旋转方案了。这些问题就留给感兴趣的读者继续探究吧。
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如图，△ABC中，∠ACB为钝角，（1）画图：过A点作△ABC的角平分线AE和高AD；（2）若∠ACB=120°，∠B=30°，求∠DAE的度数；（3）若∠ACB=x°，∠B=y°，求∠DAE的度数（用含x、y的代数式表示）
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（1）如图所示：（2）∵∠ACB=120°，∵∠ACD=180°-120°=60°，∵∠ADC=90°，∴∠CAD=180°-60°-90°=30°，∵∠ACB=120°，∠B=30°，∴∠BAC=30°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=∠BAC=15°，∴∠DAE=30°+15°=45°；（3）∵∠ACB=x°，∵∠ACD=180°-x°=（180-x）°，∵∠ADC=90°，∴∠CAD=180°-（180-x）°-90°=（x-90）°，∵∠ACB=x°，∠B=y°，∴∠BAC=（180-x-y）°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=∠BAC=（180-x-y）°，∴∠DAE=（x-90）°+（180-x-y）°=（x-y）°．
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（1）根据角平分线的作法以及垂线段作法求出即可；（2）根据角平分线的性质得出∠BAE=∠EAC，以及外角性质得出∠ACD=60°，进而求出即可；（3）利用（2）中解题方法表示出∠EAC的度数，进而得出∠DAE的度数．
本题考点：
作图—复杂作图．
考点点评：
此题主要考查了角平分线的作法以及其性质，根据已知熟练利用角平分线的性质以及外角性质是解题关键．
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