求解：利用三角函数几何题解几何题

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如何解三角函数条件的几何问题
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冲刺60天2012年高考文科数学解题策略（教案） 专题二 三角函数与平面向量第四节 平面向量与几何的综合应用.doc 12页
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冲刺60天2012年高考文科数学解题策略（教案） 专题二 三角函数与平面向量第四节 平面向量与几何的综合应用.doc
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平面向量与几何的综合应用内容为每年高考必考内容，多以选择题（填空题）形式考查平面向量相关概念的几何意义及与平面几何知识的综合应用，或作为题设条件与解析几何知识综合以解答题形式出现，分值在4-12分左右；难度系数在0.3～0.6之间.
考试要求 ⑴理解平面向量的概念、两个向量平行或共线及相等的几何意义；⑵掌握向量的加减法运算及数乘运算几何意义，了解向量线性运算的性质及其几何意义；⑶了解平面向量基本定理及其意义；⑷理解平面向量的数量积的含义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，能用数量积表示两向量的夹角，会用数量积判断两向量的垂直关系；⑸会用向量方法解决简单的平面几何问题和简单力学问题及其他一些实际问题.
平面向量加减法及数乘运算的几何意义应用
⑴已知为平面上四点，且，，则(
A．点M在线段AB上
B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上
D．O、A、M、B四点共线
⑵在中，点在上，平分．若，，，，则( 　)　　　　A.
点拨：⑴考查了平面向量的加减法运算，利用数乘运算几何意义根据来判断点M的位置：⑵考查向量的基本运算和三角形的角平分线定理，关键在于确定点D在AB上的位置，由角平分线定理得出D为AB的三等分点，结合向量的基本运算求解；
解：⑴选B. 根据题意知,则，即.由判断出点Ｍ在线段AB的延长线上，即点B在线段AM上；
⑵选B．因为平分，由角平分线定理得，所以Ｄ为AB的三等分点，且，故；
易错点：⑴没有根据来判断点M的位置；⑵同学对角平分线定理不熟悉，导致求解出错.
变式与引申已知和点M满足，若存在实数使得成立，则=（
设分别是的三边上的点，且则与(
A.反向平行
B.同向平行
C.互相垂直
D.既不平行也不垂直
平面向量基本定理及数量积的几何意义应用
例2：⑴在正六边形中，点是内（包括边界）的动点，若，则的取值范围是　　　；
⑵已知， ，，，，设，如果，，，那么为何值时，三点在一条直线上？
点拨：⑴利用平面向量基本定理和向量加法的平行四边形法则，通过画图数形结合解出，或者用平面向量基本定理及线性规划的知识来解出；⑵向量个数较多，应选准一对作为基底，利用平面向量共线充要条件列出方程求解；
解：⑴方法一，的取值范围是.从特例试一试，当点与重合时(如图)，确定，过点作和（即和）的平行线得，易知，所以；同理点与重合时，也可以得；点与重合时，，所以.
方法二，如图建立直角坐标系，设六边形的边长为2，各个顶点的坐标分别是、、、、、，令，那么,,.由得 ①， ②，二者联立有，.因为点在内（包括边界），所以点必在直线和的下方，同时在直线的上方，求出直线和的方程，根据线性规划知识得到点满足的约束条件是：；把分别换成得；作图验证可知，当点与重合时，，即；点与重合时，，即.所以的取值范围是；
⑵由题设知，，三点在一条直线上的充要条件是存在实数，使得，即，整理得，①若共线，则可为任意实数；②若不共线，则有，解之得，．所以综上所述，当共线时，则可为任意实数；当不共线时，；
易错点：⑴对平面向量基本定理概念不清晰，利用向量加法进行平行四边形法则作图不到位，判断的取值出错；⑵不能正确选准一对向量来作为基底去表示，没有对是否共线进行分类讨论；
变式与引申：⑴已知在平面直角坐标系中，，，O为原点，且（其中均为实数），若N（1，0），则的最小值是
已知=1，=,,点在内，且=30°，设 ，则等于（　
平面向量与平面几何综合的问题
例３：⑴已知中，过重心的直线交于，交边于，设的面积为，的面积为，，，则①
，②的取值范围是
⑵已知圆的半径为１，为该圆的两条切线，、为两切点，那么的最小值为（　）
点拨：⑴令通过引入中间变量根据三角形的重心和平面向量的基本定理演算出和之间的关系式；⑵用的三角函数形式表示出，再使用均值不等式得到答案；或者建立适当的坐标系，使用向量数量积的坐标运算形式求解.
解：⑴；设因为是△的重心，故，又，，因为与共线，所以，即，又与不共线，
所以及，消去，得；
能重合，故
方法二：以圆心O的坐标原点，以OP为轴，建立坐标系：圆的方程为，设，，，，由，所以有．
易错点：⑴没有正确引入中间变量使得和之间的关系式运算出错：⑵对的三角形式化简方向偏离正确结构或建立坐标系没有利用得出，难以继续
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