线代 第三题求解答

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-03-27 05:11 标签： 平行线与相交线解答题
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线性代数第3版习题全解(上海交通大学).doc 85页
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计算下列行列式：
(1) =7×5?1×4=31；
用行列式方法求解下列线性方程组：
3．求下列各排列的逆序数：
(1) 34215；
(2) 13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2。
(1) t=2+2+1=5
4．写出四阶行列式中含有因子a11a23的项。
P3P4是2，4的全排列，即24，42，故
按行列式定义即可证明（略）。
试证明行列式性质4。
计算下列行列式：
计算n阶行列式：
(2) 把第2行的倍，第3行的倍，……，第n行的倍都加到第1行上去，D可化成下列行列式
计算下列行列式：
解：(1) ；
计算下列行列式：
(1) ；(2) ；
(3) ；(4) 。
解：(1) 从第2列开始，各列统统加到第1列上去，得
(2) 第2列的(?1)倍分别加到其他各列上去，得
(3) 先按最后一行展开，得
(4) 将Dn增加一行、一列，得到n+1阶行列式：
用克莱姆法则解线性方程组：
(2) 其中ai≠aj，i≠j(i，j=1，2，…，n)。
解：(1) ，
问λ取何值时，下列方程组有唯一解？
故当且时，方程组有唯一解。
λ，μ取何值时，下列方程组有非零解？
当，且时，方程组有唯一解（零解），
当或时，D=0，方程组有无穷多解。
求下列行列式的值：
若将其按第一行展开，当时，所有代数余子式全为0。因此，当时，；当时，；时， 。
若将其按第一列展开，当时，所有代数余子式全为0。因此，当时，；当时，；时，。
(7) 第2列的(?1)倍加到第3列，同时把第1列的(?1)倍加到第2列，其余各列不变，得
(8) 将第k行的(?1)倍加到第k+1行上去(k=n?1，n?2，n?3，…，3，2)，得
用递推法计算行列式
上式为关于的差分方程，其特征方程为，特征根为，故。又，得，从而。
设，D的展开式中，x4的系数等于______，x3的系数等于_____。
解：将D按第一列展开，得四项求和
只有第一项能出现x4，其系数是2。第一项含x3，系数?2；第二、三项不含x3；第四项含x3，其系数2。故D中x3的系数为?2+2=0。
计算阶行列式
，同理可得。
当时，从上述两式可以解得；
当时，只须对上式令即可得。
计算阶行列式(均不等于零，)
解：（范德蒙行列式）
设，求证：，其中 为将中第列元素换成后所得的新行列式。
证明：将增加一行和一列得到下列阶行列式，此行列式显然为0。
将此行列式按第一行展开，得，
已知四阶行列式，试求A41+A42与A43+A44的值。其中A4j是D的第4行元素的代数余子式(j=1，2，3，4)。
由于，分别取i=j=4，得
再取i=2，j=4，得。
将代入，得。
计算阶行列式
解：将增加一行、一列得到下列阶行列式，此行列式显然与原行列式相等，所以
设是不全为零的实数，试证明下列方程组只有零解：
证明：方程组的系数行列式
显然，满足，
根据克莱姆法则，此方程组只有零解。
计算行列式。
对调，即得的转置行列式，从而，当时，联立得
当时，对上式取极限得
计算行列式。
(1) 如果证明：；
(2) 如果证明：。
证明：(1) 假设，则由克莱姆法则的推论知，由D构成的齐次线性方程组
有非零解 。
设是该解中满足的正整数，则
与题设矛盾，故；
(2)显然，，从而，由(1)知，。
一个阶方阵，既是上三角矩阵又是下三角矩阵，问是什么类型的矩阵？
答：是对角矩阵。
设。若，试求 的值。
解：根据矩阵相等的定义，有
设有线性方程组试写出该方程组的系数矩阵和增广矩阵。
解：系数矩阵、增广矩阵分别为。
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线性代数课后习题详解第三章..doc 17页
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线性代数课后习题详解第三章.
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第三章　向量组的线性相关性
2．设其中,
3．举例说明下列各命题是错误的:
(1)若向量组是线性相关的,则可由线性表示.
(2)若有不全为0的数使
成立,则线性相关, 亦线性相关.
(3)若只有当全为0时,等式
才能成立,则线性无关, 亦线性无关.
(4)若线性相关, 亦线性相关,则有不全为0的数,
满足线性相关,但不能由线性表示.
(2) 有不全为零的数使
原式可化为
其中为单位向量,则上式成立,而
,均线性相关
(3) 由 (仅当)
取为线性无关组
满足以上条件,但不能说是线性无关的.
与题设矛盾.
4．设,证明向量组
(1) 若线性相关,则存在不全为零的数,
由不全为零,知不全为零,即线性相
(2) 若线性无关,则
由知此齐次方程存在非零解
则线性相关.
5．设,且向量组
线性无关,证明向量组线性无关.
因向量组线性无关,故
因为故方程组只有零解
则所以线性无关
6．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:
所以第1、2、3列构成一个最大无关组.
所以第1、2、3列构成一个最大无关组．
7．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:
解　(1)　线性相关.
秩为2,一组最大线性无关组为.
秩为2,最大线性无关组为.
8．设是一组维向量,已知维单位坐标向量能
由它们线性表示,证明线性无关.
维单位向量线性无关
两边取行列式，得
即维向量组所构成矩阵的秩为
故线性无关.
9．设是一组维向量,证明它们线性无关的充分必要条件
是：任一维向量都可由它们线性表示.
证明　　设为一组维单位向量，对于任意维向量
则有即任一维向量都
可由单位向量线性表示.
线性无关，且能由单位向量线性表示，即
两边取行列式，得
即都能由线性表示，因为任一维向量能由单
位向量线性表示，故任一维向量都可以由线性表示.
已知任一维向量都可由线性表示，则单位向量组：
可由线性表示，由8题知线性无关.
10．设向量组:的秩为,向量组:的秩
向量组: 的秩,证明
设的最大线性无关组分别为,含有的向量个数
(秩)分别为,则分别与等价,易知均可由
线性表示,则秩()秩(),秩()秩()，即
设与中的向量共同构成向量组,则均可由线性表示,
即可由线性表示,从而可由线性表示，所以秩()秩(),
为阶矩阵，所以秩()即.
且行向量组的最大无关组分别为
显然,存在矩阵,使得
12．设向量组能由向量组线性表示为
其中为矩阵，且组线性无关。证明组线性无关的充分必要条
件是矩阵的秩.
证明　若组线性无关
由组:线性无关知，故.
又知为阶矩阵则
由于向量组:能由向量组:线性表示,则
综上所述知即．
令,其中为实数
由于线性无关,所以
由于则(1)式等价于下列方程组:
所以方程组只有零解.所以线性无关,
问是不是向量空间？为什么？
集合成为向量空间只需满足条件：
是向量空间，因为：
不是向量空间，因为：
14．试证:由所生成的向量空间就
于是故线性无关.由于均为三维,且秩为3,
所以为此三维空间的一组基,故由所生成的向量空间
15．由所生成的向量空间记作,由
所生成的向量空间记作,试证
任取中一向量,可写成,
要证,从而得
上式中,把看成已知数,把看成未知数
16．验证为的一个基,并把
用这个基线性表示.
即矩阵的秩为3
故线性无关，则为的一个基.
故线性表示为
17．求下列齐次线性方程组的基础解系:
所以原方程组等价于
因此基础解系为
所以原方程组等价于
因此基础解系为
(3)原方程组即为
所以基础解系为
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【线代】第3题为什么选b，求详细解题过程，谢谢！
我有更好的答案
//a这题的通法如下：B：r(A)=2&3，你看见没？我并没有把过程写完，因为我注意到了经过初等列变换之后的第一列有公因式(2a+1)。
采纳率：84%
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这四道题真心不会！如果会的麻烦帮忙把步骤写一下拍个照。真的就非常非常感谢了！
同类型的题目不会做的真的就要挂了！
第四个是范德蒙德行列式，直接套公式就行！
思路应该不会有什么问题，可是我的计算能力一直是个硬伤，如果结果错了……如果结果错了你就干脆直接忽略我吧
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