高中数学复数怎么算？_百度知道
高中数学复数怎么算？
高中数学复数怎么算？运算法则和怎么解复平面的问题
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高中数学复数运算法则加减法加法法则&复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数， 则它们的和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。&复数的加法满足交换律和结合律，&即对任意复数z1,z2,z3,有： z1+z2=z2+z1; (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 减法法则&复数的减法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数， 则它们的差是 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 两个复数的差依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的虚部是原来两个虚部的差。&2乘除法乘法法则&规定复数的乘法按照以下的法则进行：&设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.&其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，展开得: ac+adi+bci+bdi²，因为i²=-1，所以结果是(ac－bd)+(bc+ad)i 。两个复数的积仍然是一个复数。 除法法则&复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商 运算方法：可以把除法换算成乘法做,在分子分母同时乘上分母的共轭. 所谓共轭你可以理解为加减号的变换,互为共轭的两个复数相乘是个实常数. 除法运算规则：&①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)， 即(a+bi)÷(c+di)=x+yi&分母有理化&∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.&由复数相等定义可知 cx-dy=a，dx+cy=b&解这个方程组，得 x=(ac+bd)/(c²+d²) y=(bc-ad)/(c²+d²)&于是有:(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c²+d²)+i(bc-ad)/(c²+d²)②利用共轭复数将分母实数化得（见右图）：&点评：①是常规方法；②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的 的对偶式，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法。&怎么解复平面的问题，此问题太大，就高中数学而言，和解平面解析几何问题类似。平面几何问题的复数解法复数是高中数学的重要内容之一,在中学数学中,有许多数学问题,如果我们能够根据题目的具体特征,将其转化为复数问题,那么这类数学问题往往可以得到复巧解妙证.&用复数方法解解平面几何的基本思路是,首先运用复数表示复平面上的点,然后利用复数的模和幅角的有关性质,复数运算的几何意义以及复数相等的条件,化几何问题为复数问题来处理.1.用于证三角形为正三角形&典型1.求证:若三角形重心与其外心重合,则该三角形必 为正三角形.&证明思路分析 以三角形的相重合的外心(重心),为原点O建立起复平面上的直角坐标系.设321,,ZZZ表示三角形的三个顶点,其对应的复数是.,,321zzz因O为外心,故,||||||321rzzz又O为重心，故
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高二文科数学
1. 复数的概念及其表示形式:
() 形 如 () 的 数 称 为 复 数 , 分 别 叫 做 复 数 的 实 部 、 虚 部 1a bi a b R a b +∈, ,
当 时 , 表 示 实 数 ; 当 时 , 表 示 虚 数 ; b a bi b a bi =+≠+00
{}{}当 , 时 , 表 示 纯 虚 数 , 显 然 , 纯 虚 数 虚 数 , a b a bi =≠+?00
{}{}{}实 数 虚 数 复 数
通常复数 z 的实部记作 R复数 z 的虚部记作 Imz.
两个重要命题:
定 理 :复 数 是 实 数 的 充 要 条 件 是 ; 1z z z =
定 理 :复 数 是 纯 虚 数 的 充 要 条 件 是 () 200z z z z +=≠
(2)复数的几何形式:复数集与平面上的点集之间能建立一一对应关系,故可用平
面 上 的 点 来 表 示 复 数 , 一 般 地 , 可 用 点 () 表 示 复 数 , () ,
Z a, b a +bi a, b R ∈或 用 向 量 表 示 复 数 O Z a bi →
() 复 数 相 等 :且 3a bi c di a c b d +=+==.
00a bi a +==且 b=0
这是解决复数问题时进行虚实转化的工具:
() 共 轭 复 数 :与 () 互 为 共 轭 复 数 。 4z a bi z a bi a b R =+=-∈,
在复平面上,互为共轭复数的两个点关于实轴对称:
另 外 z z =||
注:复数的分类:0, 0) 0) 0, 0) Z a bi a a ??
=+≠≠??≠??
(b=0)复 数 一 般 虚 数 (b虚 数
(b纯 虚 数 (b
虚数不能比较大小,只有等与不等。即使是 3, 62i i ++也没有大小。
() 复 数 的 模 :设 在 复 平 面 上 对 应 的 点 为 () , 则
5z a bi a b R Z a b =+∈(, ) , 把 向 量 的 模 (即 线 段 的 长 度 ) 叫 做 复 数 的 模 。 O Z O Z z →
||() z a b =
积或商的模可利用模的性质(1) 112n n z z z z z ?=???
, (2) ()112
(6)共轭复数的运算性质:
z z z z z z z z z z z z z z z z 12
+=+-=-?=?=
z z z z z z n n =?==() ||||; 22
(7)复数的模的运算性质:
||||||||||z z z z z z z z O Z O Z -≤+≤+→→
(当 与 , 对 应 的 向 量 , 同 向 时 , 右 边
的 等 号 成 立 :当 , 反 向 时 , 左 边 的 等 号 成 立 ) O Z O Z 12→→
||||||||||z z z z z z 121212-≤-≤+(取 等 号 的 情 形 与 以 上 相 反 )
||||||||||
||. z z z z z z z z z
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