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高数下习题正式版1-80
高等数学课外习题系 §5.1 一． 单项选择题第五章专业向量代数与空间解析几何班 姓名 学号向量及其线性运算1. 在纵轴上与点 A(1, ?4,7) 和 B(5,6,5) 等距离的点 M 是（ （A）M (0， 1， ? 0) （B）M (0，0) 1， （C）M (31， ，6) ）3 3 3 , , ) 3 3 3） （D）M (6，12) 2，2. 与三坐标轴正向成等角的单位向量是（ （A） ?(3 3 3 , , ) 3 3 3（B） (（C） ?(1,1,1)（D） (1,1,1)??? ? 3. 向量 AB 的终点为 B(5, 4, ?3) ， 且在 x 轴、y 轴、z 轴上的投影依次为 2,6 和?2 ，则起点 A 的坐标为（（A）A(?3,2,1)） （C）A(7,10, ?5) ）,? ?,? ?（B）A(3, ?2, ?1)（D）A(0,0,0)? ? ? ? 4. 向量 a ? i ? 2 j ? k 与各坐标轴的夹角分别是（（A） ? ? （C） ? ? 二． 填空题??63,? ?,? ???44,? ?,? ???66（B） ? ? （D） ? ???33??34,? ?,? ???331. 点 M (?5, 2, 4) 到 ox 轴、 oy 轴、 oz 轴及原点 o 的距离分别是d (M , x) ? d (M , z) ?， ，d ( M , y) ? d (M , o) ?， . , ?? . .? ? 2. 已知 a ? (? ,5, ?1) 与 b ? (3,1, ? ) 平行,则 ? ??????? ?????? ???? ? 3. 设 M1 (1, 7, ?6) 和 M 2 (5, ?5, ?2) ,点 M 使 M 1M ? 3MM 2 , OM ?? ? ? ? ? 4. 设 a ? 4 , 且 a 与 x 轴 、 y 轴 和 z 轴 正 向 夹 角 依 次 为 , 和 ， 则 3 4 3 ? a? .-1-三． 计算题 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1. 设 ? ? {1,1,1}, ? ? {2, ?3,1}, ? ? {0,1, ?2} ， （1） ? , ? , ? ； 求 （2） ? , ? , ? 的 求? ? ? ? ? ? ? ? ? 单位向量 ? 0 , ? 0 , ? 0 ； （3）用 ? 0 , ? 0 , ? 0 表示 ? , ? , ? .? ? ? ? ? ? ? 2. 设 a ? {3,5,8}, b ? {2, ?4, ?7}, c ? {5,1, ?4} ， （1）求 m ? 4a ? 3b ? c ； （2）求? ? ? ? Prjx m ； （3）求 m 在 y 轴上的分向量； （4）求 m 的方向余弦； （5）求与 m平行的单位向量.3. 已知动点 M ( x, y, z) 到 xoy 平面的距离与 M 到点 P(1, ?1,2) 的距离相等， 求M 的轨迹方程.??? ? ??? ? 4. 已知点 A(2, ?1,7), B(4,5, ?2) ，线段 AB 交 xoy 面于 P 点，且 AP ? ? PB ，求? 的值.-2-高等数学课外习题系第五章专业向量代数与空间解析几何班 姓名 学号§5.2向量的乘法运算一． 单项选择题 ? ? ? ? 1. 设 a,b,c ? 0 ，则下列命题成立的是（? ? ? ? （A） a ? b ? a ? b）? ? ? ? （B） a ? b ? b ? a? ? ? ? ? ? （D） a ? b ? a ? c时，有b=c? ? ? ? ? ? （C）当 a ? c ? b ? c时，有a ? b? ? 2. 以a ? {1,1, 2}和b ? {2,1,1}为邻边的平行四边形的面积S= （）（A） 11（B） 5（C）11 2（D） 2 11 ）? ? 3. 同时垂直于向量a ? {1, ?3,1}和b ? {2, ?1,3}的单位向量是 （（A） {?8 1 5 ， ? ， } 90 90 90（B） ?{?8 1 5 ， ? ， } 90 90 90（C） ?{?8， 1， ? 5}（D） {?8， 1， ? 5}二． 填空题 ? ? ? ? 1. 与 a ? {2, ?1, 2}共线且满足a ? x ? ?18的向量x ?. . .? ??? ? 2. 已知a ? {2， b ? {3， ，则sin(a,b)= 11} ，和 0,1}? ??? ? ? ? ? 3. 若 a ? 3, b ? 7, 且(a,b)= ，则 a ? b ? 3? ? ? ? ，? ? 4. 已知a ? {11， 4}和b ? {1， 2, 2}，则Prjba= ? ? ? ? ? ? 5. 若 a ? 2, b ? 2, 且a ? b ? 2，则 a ? b ?；(a,b)= .???.? ? ? ? 则 6. 设 a ? {3,5, ?2}和b ? {2, ?1, 4} ， 又 ? a ? ?b与z轴垂直， ?，? 满 足 关 系式.-3-三． 计算题 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1. 设 ? a ? b ? ? c ? 2, 求 ?? a ? b ? ? (b ? c ) ? ? ? c ? a ? . ? ?? ? ? 2. 已知 a ? {2, ?3,1}, b ? {1, ?1,3}, c ? {1, ?2, 0} ，计算（1） a ? b c ? ? a ? c ? b ； （2） a+b ? b ? c ； （3） a ? b ? c .?? ? ??? ? ??? ? ??? ???? ???? ? ? ? ? ??? ? ? 3. 若 a ? 3, b ? 1, 且(a,b)= ， 计算以 a ? 2b与a ? 3b 为邻边的平行四边形 6的面积.四． 证明题? ? ? ?2 ? ? 试证明对于任意的向量 a, b , 有 a ? b ? a ? b??2?2 ?2 ?a b .-4-高等数学课外习题系第五章专业 §5.3向量代数与空间解析几何班 姓名 学号平面与直线一． 单项选择题? x ?1 x ?1 y ? 2 z ?1 ? ? ? , L2 : ? y ? ?1 ? t 的位置关系是（ 1. 两直线 L1 : 1 2 1 ? z ? 2?t ?）（A）平行 （B）垂直 （C）异面 （D）重合 x?3 y ?4 z 2. 直线 L : 和平面 ? : 4 x ? 2 y ? 2 z ? 1 ? 0 位置关系是（ ? ? 2 7 ?3 （A） L // ? （B） L ? ? （C） L与? 斜交 （D） L ? ? ））3. 过点 (1,1, 2) 且与平面 2 x ? 3 y ? z ? 12 ? 0 平行的平面是（ （A） 2 x ? 3 y ? z ? 7 ? 0 （C） x ? y ? 2 z ? 12 ? 0 （B） 2 x ? 3 y ? z ? 7 ? 0 （D） x ? y ? 2 z ? 6 ? 04. 平面 ax ? by ? cz ? 1(abc ? 0) 与三个坐标面围成四面体的体积是（ （A） abc 二． 填空题 1. 点 M (1,2,1) 到平面 x ? 2 y ? 2 z ? 10 ? 0 的距离 d ? 2. 过点 M (5, ?6,3) 且包含 z 轴的平面方程是???? ? 3. 过点 M (?3,1, 2) 且垂直于 OM 的平面方程是，）（B）1 abc（C） 6 abc（D）1 1 6 abc. . .4. 平面 2 x ? 2 y ? z ? 5 ? 0 与各坐标面的夹角余弦分别是? x ? y ? z ?1 5. 直线 L : ? 的对称式方程是 ?2 x ? y ? z ? 4.-5-三． 计算题 1. 求过点 (1, 2,3) 且与直线 L :x?2 y ?3 z ? ? 平行的直线方程. 1 ?2 22. 求通过直线 L1 : 方程.x ?1 y ? 2 z ? 3 x y z 且平行于直线 L2 : ? ? 的平面的 ? ? 2 3 4 1 1 2?2 x ? y ? z ? 1 ? 0 3. 求过直线 L : ? 且垂直于 x ? 2 y ? z ? 0 的平面方程. ? x ? y ? z ?1 ? 04. 求点 A(3,7,5) 关于平面 x ? 2 y ? z ? 16 ? 0 的对称点.-6-高等数学课外习题系第五章专业向量代数与空间解析几何班 姓名 学号§5.4-§5.5 一. 填空题曲面与曲线,半径 R ? .1. 球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 z ? 0 的中心是 2. 以点 (2, ?3,5) 为球心,且通过原点的球面方程是.3. 将 xoy 面上的双曲线 4 x 2 ? 9 y 2 ? 36 绕 x 轴旋转一周所形成的旋转曲面方 程是 4. 方程 ,绕 y 轴旋转一周所形成的旋转曲面方程是x2 y2 ? ? 1 所表示的曲面是 2 3..x2 z 2 5.方程 y ? ? 表示的旋转曲面是由坐标面 2 2上的曲线绕坐标轴旋转一周所生成的., 在空间解析? x2 y 2 ?1 ? ? 6. 方程组 ? 4 9 在平面解析几何中表示 ? y?3 ?几何中表示2 2 与 z? 2 7. 曲 面 z ? x ? y.? 2的 交 线 在 xoy 面 上 的 投 影 曲 线 方 程 x是 二.. 计算题 1. 分别写出下列曲线旋转后所得到的曲面方程并画出旋转后的图形. (1) yoz 面上的直线 z ? 3 y 绕 z 轴旋转一周所形成的旋转曲面 (2) xoz 面上的抛物线 z ? x 2 绕 z 轴旋转一周所形成的旋转曲面-7-2. 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别代表什么? (1) x ? 2 (2) x 2 ? y 2 ? 4?2 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 16 3. 分别求出母线平行于 x 轴及 y 轴且通过曲线 ? 2 的柱面方 2 2 ? x ?y ?z ?0程.? y2 ? z2 ? 2x ? 0 4. 求曲线 ? 对 xoy 面的投影柱面和在 xoy 面上的投影曲线方 z?3 ?程.5. 求由上半球面 z ? a2 ? x2 ? y2 ,柱面 x 2 ? y 2 ? ax ? 0 及平面 z ? 0 所围成 的立体在 xoy 平面上的投影.-8-高等数学课外习题系第五章专业 习 题向量代数与空间解析几何班 课 姓名 学号一.单项选择题 ? ? ? 1. 设 a , b ? 0 ,则下列等式正确的是（? ? ? ? ? （A） a ? b ? a Prja b）? ? ? ? （B） a ? b ? b ? a? ? ? ? （D） a ? b ? a b sin ?? ? ? ? ?2 ?2 （C） a ? b ? a ? b ? a ? b?? ??2. 点 (a, b, c) 关于 y 轴对称的点是（ （A）? ?a, ?b, ?c ? 3. 若两直线 L1 : （B）? ? a, b, ?c ?） （C）? a, ?b, ?c ? （D）? ? a, ?b, c ? ）x ?1 y ?1 z ?1 x ?1 y ?1 z ? ? 与L2 : ? ? 垂直,则必有（ 1 ?2 ? 1 1 1 （A） ? ? ?1 （B） ? ? 1 （C） ? ? ?2 （D） ? ? 2 4. 下列曲面是圆锥面的是（ ）（A） z ? x 2 ? y 2 （C） ? z ? 1? ? x 2 ? y 22（B） x ? y ? 1 （D） x 2 ? y 2 ? z 2 ? 6二.填空题? x ?1 x ?1 y ? 2 z ?1 ? 1. 与两直线 ? y ? ?1 ? t 及 都平行，且过原点的平面方程为 ? ? 1 2 1 ? z ? 2?t ?. 2. 点 (?1, 2, 0) 在平面 x ? 2 y ? z ? 1 ? 0 上的投影是 3. 曲面 z ? x 2 ? y 2 与 x ? z ? 1交线在 xoy 面投影曲线方程为? x2 ? 2 y2 ? 6 ? 4. 曲线 ? 绕 x 轴旋转一周而成的曲面方程为 z?0 ? ?. . .? x2 ? y 2 ? z 2 ? 2 ? 5. 母线平行于 x 轴且通过曲线 ? 的柱面方程为 x2 ? 3 ? y 2 ? ?.-9-三.计算题 1. 过点 (0, 2, 4) 且与两平面 x ? 2z ? 1 和 y ? 3z ? 2 平行的直线方程.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2. 设 A ? 2a ? b , B ? ka ? b ,其中 a ? 1, b ? 2 ,且 a ? b ,若以 A, B 为邻边的平行四边形的面积为 6 ,则正数 k 为多少?3.求点 P(1,3, ?4) 关于 ? : 3x ? y ? 2 z ? 0 的对称点.?2 x ? y ? z ? 1 ? 0 4. 求 L : ? 在平面 ? : x ? 2 y ? z ? 0 上的投影直线方程. ? x ? y ? z ?1 ? 0- 10 -高等数学课外习题系第五章专业向量代数与空间解析几何班 姓名 学号习题课（课外作业） 一． 单项选择题 ? ? ? 1. 设 a , b ? 0 ,则下列等式正确的是（? ? ? ? ? ? ? ? （A） ? a ? b ? ? ? a ? b ? ? a ? a ? b ? b ? ? ? ? ? ? ? ? （C） ? a ? b ? ? ? a ? b ? ? a ? a ? b ? b）? ? ? ? ?2 ?2 （B） a ? b ? a ? b ? a ? b????? ? ? ? ?2 ?2 （D） a ? b ? a ? b ? a ? b?? ??2. 设有直线 l1 : （A）? x? y ?6 x ?1 y ? 5 z ? 8 ? ? 与l2 : ? ,则 l1与l2 的夹角为 （ 1 ?2 1 ?2 y ? z ? 3）? ? ? （B） （C） 6 4 3 3. 以下各数组可以作为向量的方向余弦的是（1 1? ? （A）? 1, ? , ? 2 2? ? ?2 1 ? （B）? , ,1? ?3 2 ?（D） ）? 2?2 1 2? （D）? , , ? ? ?3 3 3??1 1 ? （C）? , ,1? ?2 3 ?4. 下列曲面表示柱面的是（ （A） z ? x 2 ? y 2 （C） x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2 二． 填空题） （B） z ? 3 ? x2 ? y 2 ? （D） x2 ? z ? 6? x ? ?t ? 2 ? 1.过点 M ?1, 2, ?1? 且与直线 ? y ? 3t ? 4 垂直的平面方程是 ? z ? t ?1 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2. 设向量 a , b , c 满足a ? b ? c ? 0 ,且 a ? 3, b ? 1, c =4 ,则 a ? b ? b ? c +c ? a ?..? 3. a 与三个坐标面夹角为 ? ,? , ? ,则 cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ?4. 曲面 z ? x 2 ? y 2与z ? 2 ? x 2 ? y 2 交线在 xoy 面的投影曲线方程为. .- 11 -三． 计算题? ? 1. 求过点 (1, 0, ?1) 且平行于向量 a ? ?2,1,1? 和 b ? ?1, ?1, 0? 的平面方程.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2. 设 a ? 4, b ? 3,(a,b)= , 求以 a ? 2b , a ? 3b 为邻边的平行四边形的面积. 63. 已知动点 M ? x, y, z ? 与 xoy 平面的距离和 M 到点 A ?1, ?1, 2 ? 的距离相等,求M 的轨迹方程.4. 求点 M ? ?1, 2, 0 ? 在平面 ? : x ? 2 y ? z ? 1 ? 0 上的投影点.? 2x ? 4 y ? z ? 0 5. 求直线 L : ? 在平面 ? : 4 x ? y ? z ? 1 上的投影直线方程. ?3 x ? y ? 2 z ? 9 ? 0- 12 -高等数学课外习题系 §6.1 一． 单项选择题 1.x ? x0第六章班多元函数微分学姓名 学号专业多元函数的基本概念 （ ）lim f ( x ) ? A 等价于:（A） f ( x ) 在 x0 处左右极限都存在 （B） f ( x ) 在 x0 处左极限都存在 （C） f ( x ) 在 x0 处右极限都存在 2.( x , y )?( x0 , y0 )（D） f ( x ) 在 x0 处左右极限存在等于 A ）limf ( x, y ) ? A 等价于: （（A） ( x, y ) 沿任一直线趋近于 ( x0 , y0 ) 时, f ( x, y ) 都趋于 A （B） ( x, y ) 沿任一曲线趋近于 ( x0 , y0 ) 时, f ( x, y ) 都趋于 A （C） ( x, y ) 沿任一折线趋近于 ( x0 , y0 ) 时, f ( x, y ) 都趋于 A （D） ( x, y ) 沿任一方式趋近于 ( x0 , y0 ) 时, f ( x, y ) 都趋于 A 二． 填空题 1. f ( x, y) ? ln( x 2 ? y) 的定义域是____________. 2. 已知 f ( x, y ) ?2 xy , f (2, y) ? _____________; f ( x, 2) ? __________: x ? y22f ( y, 2 x) ? _____________.ln( x ? e y ) sin( x3 ? y 3 ) ? ___________; ? __________; lim 3. lim ( x , y ) ? (1,0) ( x , y ) ?(0,0) x2 ? y 2 x2 ? y2( x , y ) ?(0,0)limx sin1 sin xy ? ____________. y x4. u ?1 x ? y22在____________间断.三． 计算题 1. 求 u ? x ? 1 ? y 的定义域,并画草图.- 13 -2. 求下列极限 (1)x2 ? y 2 ( x , y ) ? (0,0) x ? y lim提示: x 2 ? y 2 ? ( x ? y )2(2)ln(1 ? x 2 y 2 ) ( x , y ) ? (0,0) sin x 2 y 2 lim四． 证明下列极限不存在 1.xy ( x , y ) ?(0,0) x ? y 2 lim22.1 ? cos( x 2 ? y 2 ) ( x , y ) ?(0,0) ( x 2 ? y 2 ) x 2 y 2 lim3.1 ? x2 ? y 2 ( x , y ) ?(0,0) x2 ? y 2 lim- 14 -高等数学课外习题系 专业 §6.2 一． 单项选择题第六章班 偏导数多元函数微分学姓名 学号1. 设 f ( x, y ) 在 (a, b) 处偏导数存在,则 limx ?0f ( a ? x, b ) ? f ( a , b ) ?（ x）（A） f x (a, b)（B） f y (a, b)（C） f y (a, y )?f ? （ ?x（D） f y ( x, b)2. 设 f ( x, y ) ? xy ? x 2 ? y 2 ,则 （A） x） （D） 2 y ( ) （D）无关条件（B） x ? 2x（C） y ? 2 x3. 多元函数在某一点偏导存在是多元函数在该点连续的 （A）充分条件 （B 必要条件 （C）充要条件 二． 填空题 1. 设 u ? ln( x ? y 2 ? z 3 ) , 则 u x =___________;u z =______________.uy =____________;2. 设 z ? x sin( x ? y) ,则?z ?z ? ____________ . ? ____________; ?y ?x3. 若 f xy ( x, y ) 与 f yx ( x, y ) 均连续,则恒有_______________,4. 设 u ? ln x 2 ? y 2 ,则当 x 2 ? y 2 ? 0 时,? 2u ? 2u ? ? ______________, ?x 2 ?y 25. 设 f ( x, y ) ? x ? ( y ? 1) arcsin 6. 设 u ? ? et dt ,则2x ,则 f x ( x,1) =__________, yyzxz?u ?u =________________; ? ________________; ?y ?x?u ? ______________. ?z- 15 -三． 计算题 1. 设 z ? x ln( xy) ,求?2 z ?x?y2. 设 z ? x y ,求?z ?z ? 2 z ? 2 z , , , . ?x ?y ?x 2 ?y 23. 设 u ? arctanx ,求 u xx ? u yy y四． 证明题 1 设 u ? , r ? x 2 ? y 2 ? z 2 ,求证: u xx ? u yy ? u zz ? 0 r- 16 -高等数学课外习题系 专业第六章班 全微分多元函数微分学姓名 学号§6.3 一． 单项选择题1. 设 z ? f ( x, y) 可微,且 ? ? (?x) 2 ? (?y ) 2 则 lim? ?0?z ? dz??（）（A）1（B）0（C）-1（D）不存在2. z ? f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续和偏导数存在是它在 ( x0 , y0 ) 存在全微分的 （ ） （A）充分条件 （B）必要条件 （D）既不充分,也非必要 (C）充要条件 ）3. z ? f ( x, y) 的偏导数 f x ( x, y), f y ( x, y) 连续是 f ( x, y ) 可微的（ （A）充分条件 （B）必要条件 （D）既不充分,也非必要 二． 填空题 (C）充要条件1. 设 z ? x 2 y ? xy 2 ,则 dz ? ________________. 2. 设 u ? e x sin( x ? y ) 则 du ? ________________. 3. 设 u ? ln x 2 ? y 2 ? z 2 ,则 du (1,1,1) ? ________________. 4. 若 du ?xdx ? ydy x2 ? y2,则 u ? _____________.x 5. 若 u ? ( ) z ，则 du = y.三． 计算题 1. 设 f ( x, y) ? ln( x ? y 2 ) ,求 f y (1,1) .2. 设 u ? x y ,求 du (1,0) .- 17 -3. 设 z ? e ，求 dz (1,2) .x y4. u ? x(1 ? cos y) ? yz ，求 du .四． 证明题 证明 f ( x, y ) ? 处不可微.xy 在(0.0)点处连续, f x (0, 0), f y (0, 0) 存在,但是在(0,0)点- 18 -高等数学课外习题系 §6.4 一． 单项选择题 专业第六章班多元函数微分学姓名 学号复合函数的求导法则1. z ? f (u, v), u ? ? (t ), v ? ? (t ) 均为 C (1) 类函数,则下列公式中,正确的是(dz ?f du ?f dv ? ? dt ?u dt ?v dt dz df du df dv （C） ? ? dt du dt dv dt 二． 填空题)（A）（B）?z ?f du ?f dv ? ? ?t ?u dt ?v dt dz ?f ?u ?f ?v （D） ? ? dt ?u ?t ?v ?t1. 设 z ? f ( x ? y) ,则 dz ? ________________. 2. 设 u ? f ( x, y, z), z ? ? ( x, y), y ? ? ( x),du ? ________________. dx其 中f ,?,?均 可 微 , 则3. 设 u ? f ( x 2 ? y 2 ) ,则? 2u ? ________________. ?x?y4. 若 z ? f ( x 2 ? y 2 , e xy ) ,则?z ? _________________; ?x?z ? _________________. ?y三． 计算题 1. 设 z ? e x sin y, x ? 2st , y ? t ? s 2 ,求?z ?z , . ?s ?t?z ?z ? 2 z x 2. 设 z ? f ( x, ) ? C (2) ,求 , , 2 . ?x ?y ?x y- 19 -3. 设 z ? f (u, x, y) ? C (2) ,其中 u ? xe y ,求?z ? 2 z . , ?x ?x?y?2 z x y 4. 设 z ? f ( xy, ) ? g ( ) ,其中 f , g 具有二阶连续偏导,求 . ?x?y y x四． 证明题 设 z ? f (r ) ? C (2) , r ? x 2 ? y 2 , 则 y?z ?z ?x ?0. ?x ?y- 20 -高等数学课外习题系 §6.5 一． 选择题 专业第六章班多元函数微分学姓名 学号隐函数的求导公式1. 若 F ( x, y ) ? 0 确定函数 y ? f ( x) ,则有( （A）F dy ?? x dx Fy)（B）dy Fx ? dx FyFy dy ?? dx Fx（C）dy Fy ? dx Fx（D）2. 若 F ( x, y, z) ? 0 确定函数 z ? f ( x, y) ,则有( （A）F ?z ?? x ?x FzFy ?z ?? ?y Fz)(多选)（B）?z Fx ? ?x Fz?z Fy ? ?y Fz（C）（D）3. 设 x ? x( y, z), y ? y( z, x), z ? z ( x, y) 都是由 F ( x, y, z) ? 0 所确定,具有连续偏 导数且不为 0,则 （A）1 二． 填空题 1. 设 x ? y ? z ? e z ,则?z ?z ? _______________. ? ______________; ?y ?x ?z ?z ? _______________. ? ______________; ?y ?x?x ?y ?z ? ( ?y ?z ?x) （D）不存在（B）0（C）-12. 设 sin( xy) ? ln z ? 0 ,则3. 若 x z ? y ,则?z ?z ? ___________________; ? __________________; ?y ?xdz ? ____________.4. 设 F ( x, x ? y, x ? y ? z ) ? 0 则?z ?z ? _____________; ? ______________. ?y ?x- 21 -三． 计算题 1. 设 xyz ? e z ,求?z ?z ? 2 z . , , ?x ?y ?x?y2. 设 ln z ? x ? y ? ? e?t dt ,求2xy?z ?z , . ?x ?y四． 证明题 1. 设 由 方 程 z ? x ? y? ( z) 确 定 函 数 z ? z ( x, y ) , 设 1 ? y? '( z ) ? 0, 证 明?z ?z ? ? ( z) . ?y ?x2. 设 F (u, v) 可微,证明由方程 F (cx ? az, cy ? bz ) ? 0 所定义的函数 z ? z ( x, y ) 满足 a?z ?z ?b ?c. ?x ?y- 22 -高等数学课外习题系 §6.6-6.7 一． 单项选择题 专业第六章班多元函数微分学姓名 学号方向导数与梯度 多元函数微分学的几何应用?z ?x ?1. 函数 z ? x ? y 在 M (1, 2) 处沿 x 轴正方向的方向导数 （A）1 （B）0 （C）-1?(M)（D）22. 设金属板上的电压分布为 V ? 50 ? 2 x 2 ? 4 y 2 ,在点(1,-2)处,电压下降最快 的方向是（ （A）(-4,16) 二． 填空题 1. 设 u ? xe xy 在点 A (-3, 0)处沿从点 A (-3, 0)到点 B (-1, 3)的方向导数为 __________. 2. 设 f ( x, y ) ? arctanx , 则 gradf (1,1) ? _______________. y） （B）(4,16)（C）(4,-16)（D）(-4,-16)3. 曲 线 x ? sin 2 t , y ? sin t cos t , z ? cos 2 t 在 t ?处 的 切 线 方 程 为 4 ________________;法平面方程为______________.?? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 3x ? 0 4. 曲线 ? 在点(1,1,1)处的切线方程是_______________; ?2 x ? 3 y ? 5 z ? 4 ? 0法平面方程是__________________. 5. 曲面 e z ? z ? xy ? 3 在点 M (2,1, 0) 处的切平面方程是__________________; 法线方程是_________________. 三． 计算题 1. 求 u ? xyz 在点 M (1,1,1) 处沿方向 l ? (2, ?1,3) 的方向导数.?- 23 -2. 求 u ? x 2 ? 2 y 2 ? 3z 2 ? xy ? 3x ? 2 y ? 6 z 在 O(0,0,0) 处的梯度.3. 在曲面 z ? xy 上求一点,使过这点的法线垂直与平面 ? : x ? 3 y ? z ? 9 ? 0 , 并写出此法线的方程.4. 在 曲 线 x ? t , y ? t 2 , z ? t 3 上 求 一 点 , 使 过 此 点 的 切 线 平 行 于 平 面? : x ? 2y ? z ? 4.四． 证明题 曲面 x ? y ? z ? a (a ? 0) 上任意点处的切平面在各坐标轴上截距之和 等于 a .- 24 -高等数学课外习题系 专业 §6.8 一． 单项选择题 1.z ? f ( x, y) 在 M 点成立?f ?x第六章班多元函数微分学姓名 学号多元函数的极值?f ?y?0且M? 0 是 M 点为 z ? f ( x, y) 的极值M点的（ ） （A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）无关条件x y 2. 已知 f ( x , y )? C ( 2 ) , f x ? 2 ? y ? 2,f y ? 2 ? x ? 1 f xx ? 2, f yy ? 2 , f xy ? ?1, ,则 (1, 0) 是 f ( x, y ) 的（ （A）极大值点） （C）非极值点 ） （D）零点 （D）零点（B）极小值点3. f ( x, y ) ? 4( x ? y ) ? x 2 ? y 2 在 (2, ?2) 处取得（ （A）极大值 二. 计算题 1. 求 f ( x, y ) ?x2 y 2 ? ( p ? 0, q ? 0) 的极值. 2 p 2q（B）极小值（C）非极值2. 求 f ( x, y ) ? x 2 ? xy ? y 2 ? 2 x ? y 的极值.- 25 -3. 求 z ? x 2 ? 2 xy ? 4 x ? 8 y 在区域 0 ? x ? 1,0 ? y ? 2 上的最值.4. 求函数 f ( x, y, z ) ? x ? y ? z 在条件 xyz ? c3 下的极值.5. 要制造一容积为 4 立方米的无盖长方形水箱,问这水箱的长,宽,高为多少 时所用的材料最省.- 26 -高等数学课外习题系 专业 习 一． 单项选择题 1. 二元函数 z ? ln （A） 1 ? x 2 ? y 2 ? 4 （C） 1 ? x 2 ? y 2 ? 4 2. 设 f ( x, y ) ?1? y2 （A） 2x第六章班 课多元函数微分学姓名 学号题4 1 ? arcsin 2 的定义域是( 2 x ?y x ? y22).（B） 1 ? x 2 ? y 2 ? 4 （D） 1 ? x 2 ? y 2 ? 4 ).x2 （D） 2 xyx2 ? y2 y ,则 f (1, ) ? ( 2 xy x（B）x2 ? y2 2 xyy （C） 2x3. limx ?0 y ?asin xy ? ( x0).（A）（B） y（C）2（D） a?2 z ?( ?y 24. 设 z ? f ( x, v), v ? v( x, y) 其中 f , v 具有二阶连续偏导数.则? 2 f ?v ?f ? 2v ? (A) ?v?y ?y ?v ?y 2 ?f ? 2v (B) ?v ?y 2).(C)? 2 f ?v 2 ?f ? 2v ( ) ? ?v 2 ?y ?v ?y 2(D)? 2 f ?v ?f ? 2v ? ?v 2 ?y ?v ?y 25. 曲面 xyz ? a 3 的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积 V=( (A)3 3 a 2).(B)3a 3(C)9 3 a 2(D) ).6a 36、二元函数 z ? 3( x ? y ) ? x 3 ? y 3 的极值点是( (A) (1,2) (B) (1，-2) (C)(-1,2)(D)(-1,-1)- 27 -二． 求下列函数的一阶偏导数: 1. z ? x ln y .2. u ? f ( x, xy, xyz), z ? ? ( x, y ) .三． 设 u ? f ( x, z ), ,而 z ? z ( x, y ) 是由方程 z ? x ? y? ( z ) 所确定的函数,求 du .四． 设 z ? f (u, x, y ), u ? xe y ,其中 f 具有连续的二阶偏导数,求?2z . ?x ?y五． 设 X 轴正向到方向 l 的转角为 ? , 求函数 f ( x, y ) ? x 2 ? xy ? y 2 在点(1,1) 沿方向 l 的方向导数,并分别确定转角 ? , 使这导数有(1)最大值；(2)最小 值；(3)等于零 .??- 28 -高等数学课外习题系 专业第六章班多元函数微分学姓名 学号习题课（课外作业） 一． 填空题 1. 若点 P( x, y ) 以不同的方式趋于 P0 ( x0 , y0 ) 时, f ( x, y ) 趋于不同的常数,则 函数 f ( x, y ) 在 P0 ( x0 , y0 ) 处的二重极限___________. 2. 函数 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 连续是函数在该点处可微分的________条件,是 函数在该点处可偏导的__________条件. （A）充分而不必要； （B）必要而不充分； （C）必要且充分； （D）既不必要也不充分? xy ? 2 2 3. 函数 f ( x, y ) ? ? x ? y ? 0 ? x2 ? y2 ? 0 x ? y ?02 2在点 (0, 0) 处___________,? xy x2 ? y2 ? 0 ? 2 2 函数 g ( x, y ) ? ? x ? y 在点 (0, 0) 处___________. ? 0 x2 ? y2 ? 0 ? （A）连续但不可偏导； （B）可偏导但不连续； （C）连续且可偏导但不可微分； （D）可微分4. gradf ( x0 , y0 ) 的方向是函数 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处取得___________的方向;gradf ( x0 , y0 ) 是等量线 f ( x, y ) ? f ( x0 , y0 ) 上点 ( x0 , y0 ) 处的_____________向量并指向等量线的高值方向. 二． 计算题 1. 设函数 z ? z ( x, y ) 由方程 x y ? y z ? z x ? 1 确定,求?z ?z , . ?x ?y- 29 -1 2. 过点 P(2,1, ) 的所有平面中,哪一个平面与三个坐标面在第一卦限内围成 3 的四面体体积最小.三． 证明题? x2 ? z ? 0 ?9 x ? 7 y ? 21z ? 0 证明曲线 ? 上点 A(1,? 2,1)处的法平面与直线 ? 平 ?x ? y ? z ? 0 ?3 x ? 2 y ? 1 ? 0行.- 30 -高等数学课外习题系 §7.1 一． 单项选择题 专业 班第七章姓名重积分学号二重积分的概念与性质 ）.1. 设 D : 0 ? y ? 4 ? x 2 ，则 ?? y 2 sin xdxdy ? （? （B） 2? 2 2. ?? | sin( x 2 ? y 2 ) | d?（A）DD（C）01 2 ? ，其中 ? 是圆域 D : x 2 ? y 2 ? 4 2 的面积，（D）? ? 16? . （A） ? （B） ?二． 填空题（C） ?（D）无法判断1. 函数 f ( x, y ) 在有界闭区域 D 上的二重积分存在的充分条件是 f ( x, y ) 在D 上， 在 此 条 件 下 ， 必 有 点 (? ,? ) ? D ， 使 得 . .?? f ( x, y)d? ?D2. 二重积分 ?? f ( x, y )d? 的几何意义是D3. 设 D1 ? {( x, y ) | | x |? 1, | y |? 2}, D2 ? {( x, y ) | 0 ? x ? 1,0 ? y ? 2}, 则由二重积 分的几何意义可知： ?? x 2 ? y 2）d? ? （D1 3?? ( xD22? y 2 ) 3 d? .4. 比较下列各题中两个积分的大小： （1） D 由 x 轴， y 轴与直线 x ? y ? 1 围成，则 ?? ( x ? y ) 2 d?D?? ( x ? y ) d? .3 D（2） 是顶点为 (1,0), (1,1), (2,0) 三角形区域， ln( x ? y )d? D ??D?? [ln( x ? y )] d? .2 D5. 若 f ( x, y ) 在 D ? {( x, y ) | x 2 ? y 2 ? r 2 } 连续，lim ?r ?01 ?r 2?? f ( x, y )d? ?D. .6. 设 D ? {( x, y ) | x 2 ? y 2 ? 4, y ? 0}, 则 ?? x(3 ? x 2 y 2 )dxdy ?D- 31 -三．计算题：利用二重积分的性质，估计下列各二重积分的值（1） I ??? xy( x ? y)d? , 其中 D ? {( x, y) | 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1}D（2） I ??? sinD2x sin2 yd? , 其中 D ? {( x, y ) | 0 ? x ? ? ,0 ? y ? ? }四． 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值（1）?? (a ?Dx 2 ? y 2 )d? , 其中 D : x 2 ? y 2 ? a 2 ；（2）??Da 2 ? x 2 ? y 2 )d? , 其中 D : x 2 ? y 2 ? a 2 .- 32 -高等数学课外习题系 §7.2 一． 单项选择题1 x第七章班 姓名重积分学号专业二重积分计算法（一）1. I ? ? dx? 2 f ( x, y )dy, 更换积分次序后得 I ? （0 x）y（A） ? 2 dy? f ( x, y )dyx 0x1（B） ? dy?0 y y1y 1f ( x, y )dx（C） ? dy? 2 f ( x, y )dx0 yD1y（D） ? dy? f ( x, y )dx02. 设 f ( x, y ) 连续且 f ( x, y ) ? xy ? ?? f ( x, y )d xd y 其中 D 由 x ? 0, y ? 1, y ? x , 围成的区域，则 f ( x, y ) ? （ （A） xy ?1 8）1 4（B） xy ?（C） xy ? 1（D） xy ? 2 ）3. 设 D ? {( x, y ) | | x |? 1, | y |? 2} ，则 ?? ( x 2 ? xy 2 )dxdy ? （ （A）2 3（B）4 3（C）6 3（D）8 3二． 填空题 1. 设 D : 0 ? x ? 1,?1 ? y ? 0 ，则 ?? xe xy dxdy ?D.2. 设 f ( x, y ) 为连续函数，更换积分次序： （1） ? dy? 20 4 1 ( y ?4)? 4? yf ( x, y )dx2 4? x 2.（2） ? dx? f ( x, y )dy ? ? dx?0 0 11x201f ( x, y )dy ?x. .3. 更换积分次序计算二次积分 ? dx?0xsin y dy ? yxy 1? y3 dxdy ?4. D 由 x ? 0, y ? 1, x ?y 围成， 则积分 ??D.- 33 -三． 计算题 1. 画出积分区域，并求 ?? ( x 2 ? y 2 ? x)dxdy ，其中 D 是由直线 y ? 2, y ? x 及Dy ? 2 x 所围成的闭区域.2. 计算 ?? max{ x, y}dxdy ，其中 D : 0 ? x ? 3,0 ? y ? 1 .D3. 求 由 平 面 x ? 0, y ? 0, x ? y ? 1 所 围 成 的 柱 体 被 平 面 z ? 0 及 抛 物 面x 2 ? y 2 ? 6 ? z 截得的立体的体积.4. 设平面薄片所占的闭区域 D 由直线 x ? y ? 2, y ? x 和 x 轴所围成，它的面 密度 u( x, y ) ? x 2 ? y 2 ，求该薄片的质量.- 34 -高等数学课外习题系 §7.2 一． 单项选择题 专业第七章班 姓名重积分学号二重积分计算法（二） ）.1. 设 f (u ) 在 D : x 2 ? y 2 ? 1, y ? 0 上连续，则 ?? f ( x 2 ? y 2 )dxdy ? （D（A）? ? f ( r )dr01（B） 2? ? rf (r )dr01（C） 2? ? f (r )dr02 a cos ? 01（D）? ? rf (r )dr012. 将极坐标系下的累次积分 I ? ? 2 d? ?0?f ( r cos ? , rs sin? )rdr 化为直角坐2a a2 ? y2标下累次积分 I ? （ （A） ? dx? f ( x, y )dy0 0 2a a）. （B） ? dy?0 2a 0 0 2 ay ? y 2f ( x, y )dx f ( x, y )dx（C） ? dx?02a2 ax? x 20f ( x, y )dy（D） ? dy?03. 设 D 为 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 及 y 轴 围 成 的 第 一 象 限 部 分 ， 化 重 积 分?? f ( x, y)dxdy 为极坐标系下的二次积分 I ? （D）.2sin ?（A）?2?0d? ? d? ?2cos?0f (r cos? , r sin ? )rdr f (r cos? , r sin ? )dr（B）??20d? ??20f ( r cos? , r sin ? )rdr f ( r cos? , r sin ? )dr（C）?2?2cos?（D）00?0d? ?2sin ?0二． 填空题 1. 设 f ( x, y ) 在 D 上连续，将 I ? ?? f ( x, y )dxdy 化成极坐标下二次积分：D（1）当 D ? {( x, y ) | x 2 ? y 2 ? 2 x} ，则 I ?. . .（2）当 D ? {( x, y ) | a 2 ? x 2 ? y 2 ? b 2 } ，其中 0 ? a ? b, 则 I ? 2. 从二次积分为极坐标形式， ? dx?0 2 3xxf ( x 2 ? y 2 )dy ?3. 计算 ?? ln(1 ? x 2 ? y 2 )d? ?D，其中 D 由圆周 x 2 ? y 2 ? 1 及坐标轴所围成的在第 ? 象限内的区域. 4. 计算2x ? y ?12?? e? x2 ? y2dxdy ?.- 35 -三． 计算题 1. 计 算y ?? arctan x d x d ， 其 中DyD 圆 周 x 2 ? y 2 ? 4, x 2 ? y 2 ? 1 及 直 线y ? 0, y ? x 所围成的在第 I 象限内的闭区域.? 4, x2 ? y2 ? 4 2. 设 D : x ? y ? 9, f ( x, y ) ? ? 2 ，计算 ?? f ( x, y )dxdy . 2 2 2 ?x ? y , x ? y ? 4 D2 23. 计 算 以 x o y面 上 的 圆 周 x 2 ? y 2 ? ax 围 成 的 闭 区 域 为 底 ， 而 以 曲 面z ? x 2 ? y 2 为顶的曲顶柱体的体积.4. 设平面薄片所占的闭区域 D 是由螺线 r ? 2? 上一段弧 (0 ? ? ??2) 与直线???2所围成，它的面密度为 ? ( x, y ) ? x 2 ? y 2 ，求这薄片的质量.- 36 -高等数学课外习题系 §7.3 一． 选择题 1. 设 ? : x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 ，则 ????第七章班 姓名重积分学号专业三重积分的计算（一）z ln(1 ? x 2 ? y 2 ? z 2 ) dxdydz ? （ 1? x2 ? y2 ? z2）.（A） 1（B） 2（C） 0（D） 32. 设 ?1 : x 2 ? y 2 ? z 2 ? R 2 , z ? 0 ； ? 2 : x 2 ? y 2 ? z 2 ? R 2 , x ? 0, y ? 0, z ? 0 ， 则下述等式正确的是（ （A） ??? xdv ? 4??? xdv?1 ?2）. （B） ??? ydv ? 4??? ydv?1 ?2（C） ??? zdv ? 4??? zdv?1 ?2（D） ??? xyzdv ? 4??? xyzdv?1 ?23. 设 f ( x, y, z ) 为连续函数，则 lim ?r ?01 r3x2 ? y 2 ? z 2 ?r 2??? f ( x, y, z )dv ? （?3 f (0,0,0)）.（A）4? f (0,0,0) 34 （B） ?f ( x, y , z ) 3（C）（D）?3f ( x, y , z )二． 填空题： 1. 设 f ( x, y, z ) 为闭区域 ? 上的连续函数， ? 由曲面 z ? x 2 ? y 2 , y ? x 2 及平 面 y ? 1, z ? 0 围 成 , 则 I ? ??? f ( x, y, z )dxdydz 化 为 三 次 积 分?为. （截面法） .?2. ? 由 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 ， ? 0, y ? 2 围成， ??? e y dxdydz ? 则 y3. 设 ? 由 曲 面 z ? x 2 ? 2y 2 及 z ? 2 ? x 2 所 围 成 ， 化 为 三 重 积 分I ???为三次积分 I ? f ? ? ( x, y, z )d x d y d z.4. 设 ? 是由 z ? 分x 2 ? y 2 和 z ? h 所围成的空间闭区域（ h ? 0 ） ，化三重积2I ? ??? ze x?? y2dv为 直 角 坐 标 系 下 的 三 次 积 分 .I?- 37 -三． 计算题： 1. 计算 ????dxdydz ，其中 ? 有平面 x ? 0, y ? 0, z ? 0 及 x ? y ? z ? 1 所 (1 ? x ? y ? z ) 3围成的四面体.2. 计算 ??? zdxdydz ， 其中 ? 由锥面 z ??2 2 x ? y 2 与平面 z ? 2 所围成的闭区 3域.3. 计算 ??? xyzdxdydz，其中 ? 为球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 及三个坐标面所围成的?在第一象限内的闭区域.? y 2 ? 2z, 四． 计算 I ? ??? ( x 2 ? y 2 )dV ，其中 ? 为平面曲线 ? 绕 z 轴旋转一周形 ?x ? 0 ?成的曲面与平面 z ? 8 所围成的区域.- 38 -高等数学课外习题 系 §7.3 一． 多项选择题 1. 球面坐标系下， z 2 dv ? ????第七章 班重积分姓名 学号专业三重积分的计算（二）， 其中 ? : z ? 3( x 2 ? y 2 ) , x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 . （B） ? d? ? 6 sin? cos 2 ?d? ? r 4 dr0 0 0 2?（A） ? d? ? 3 sin? cos 2 ?d? ? r 4 dr0 0 02??1?1（C） ? d? ? 3 sin? cos ?d? ? r 2 dr0 0 02 2 2 22??1（D） ? d? ? 6 sin? cos ?d? ? r 2 dr0 0 0 2 2 22??12. ? : x ? y ? z ? R ，则 ??? x ? y ? z dv ??.4 2 （A） ?R 4 （B） ?R 4 （C） ?R 4 （D） 2?R 4 3 3 3. 柱面坐标下，计算 I ? ??? zdv ， ? 为 z 2 ? x 2 ? y 2 , z ? 1 围成的立体，则正?确的解法为 （A） I ? ? d? ? ?d? ? zdz0 0 0 2? 1 1. （B） I ? ? d? ? ?d? ? zdz0 0 2? 1 1?（C） I ? ? d? ? dz? ?d?0 02?11?（D） I ? ? dz? d? ? z?d?0 0 012?z二． 填空题： 1. 设 函 数 f ( x, y, z ) 在 ? : x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2az( a ? 0) 上 连 续 ， 则I ???( ? f ?x, y, z )dx d 在球坐标系下的三次积分为 y d z.2. ? ? {( x, y, z ) | x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2 ( a ? 0), x ? 0, y ? 0}, 3. 设 f ( x, y, z ) 连续，则 I ? ? dx??3 3 9? x 2??? xdxdydz ??.? 9? x 2dy?3 x2 ? y2f ( x, y, z )dz 的柱坐标形式为I??，球坐标形式为 I ?.4. 将三重积分 I ? ??? ( x 2 ? y 2 ? z 2 )dv 用三种坐标系化为累次积分，其中 ? 是 由 x 2 ? y 2 ? z 2 ? R 2 和 x 2 ? y 2 ? z 2 ( z ? 0) 所 围 成 的 区 域 ， 直 角 坐 标I? 球面坐标 I ?，柱面坐标 I ? .，- 39 -三． 计算题： 1. 求 I ? ??? xyzdv ，其中 ? 是由 z ? 1 ? x 2 ? y 2 和三坐标面在第一象限内所?围成的空间闭区域.2. 计 算??? z?x 2 ? y 2 dv ， 其 中 ? 是 由 柱 面 y ? 2 x ? x 2 与 平 面z ? 0, z ? 1, y ? 0 所围成的闭区域.3. 求由曲面 x 2 ? y 2 ? az 与 z ? 2a ? x 2 ? y 2 (a ? 0) 所围成立体的体积.4. 球心在原点，半径为 R 的球体，在其上任意一点的体密度与这点到球心 的距离成正比，求这个球体的质量.四. 设 f (u ) 为连续函数，求证x 2 ? y 2 ? z 2 ?1???f ( z )dxdydz ? ? ? (1 ? u 2 ) f (u )du?11- 40 -高等数学课外习题系 专业 §7.4 一． 单项选择题 1. 曲面 z ? （A） 3? 班第七章姓名重积分学号重积分应用举例x 2 ? y 2 包含在圆柱 x 2 ? y 2 ? 2 x 内部的面积 S ? （）.（B） 2?（C） 5?（D） 2 2?2. 由直线 x ? y ? 2, x ? 2, y ? 2 所围成的质量分部均匀（设面密度为 u ）的平 面薄板，关于 x 轴的转动惯量 I x ? （ （A） 3u （B） 5u （C） 4u ）. （D） 6u ）.3. 由锥面 z ? 1 ? x 2 ? y 2 与平面 z ? 0 所围成的圆锥体的形心（ （A）M (0,0,1) 二． 填空题： 1. 若 f (u ) ? c (1) ， f (0) ? 0 ，则 lim1 r ? ?0 r 3（B）M (0,1,0)（C）M (0,0, )1 4（D）M (0, ,0)1 4x ? y ?r2 2?? f (2x 2 ? y 2 )dxdy ?.2. 设平面薄片所占的闭区域 D 是由直线 x ? y ? 2, y ? x 和 x 轴所围成的，其 面密度 ? ( x, y ) ? x 2 ? y 2 , 则该薄片的质量= .3. 以 xoy 面 上 的 圆 周 x 2 ? y 2 ? ax (a ? 0) 围 成 的 闭 区 域 为 底 ， 以 曲 面z ? x 2 ? y 2 为顶的曲顶柱体的体积 V ?.4. 底圆半径相等的两个直交圆柱面 x 2 ? y 2 ? R 2 , x 2 ? z 2 ? R 2 所围立体的表 面积 A ? 5. 求锥面 z ? .x 2 ? y 2 被柱面 z 2 ? 2 x 割下部分面积 A ?.6. 设均匀薄片 （面密度为常数 1） 所占为区域 D ? {( x, y ) | 0 ? x ? a,0 ? y ? b} ， 则对 x 轴的转动惯量 I x ? ， y 轴的转动惯量 I y ? 对 .- 41 -三． 计算题： 1. 求球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2 含在圆柱面 x 2 ? y 2 ? ax( a ? 0) 内部的那部分面 积.2. 设有一等腰直角三角形薄片， 腰长为 a ， 各点处的面密度等于该点到直角 顶点的距离的平方，求该薄片的重心.3. 求由抛物线 y ? x 2 及直线 y ? 1 所围成的均匀薄片（面密度为常数 ? ）对 于直线 y ? ?1 的转动惯量.4. 在均匀半圆形薄片的直径上拼接一个一边与直径等长的均匀矩形薄片 （材料相同） ，为使整个薄片重心正好落在圆心上，问接上的矩形另一边 的长度等于多少？5. 设物体 ? 由 z ?1 2 ( x ? y 2 ) 及 z ? 2a ? x 2 ? y 2 ( a ? 0) 围成，其密度为常 a数 ? ? 1 ，求该物体关于 z 轴的转动惯量.- 42 -高等数学课外习题系 专业 习 一． 单项选择题 1. 题 班 课第七章姓名重积分学号?10dx?2? 31? x 201 ? x 2 ? y 2 dy ? （（B）4? 3）.（A） 2.（C） ）.? 6（D）? 8?10dx? e ? y dy ? （21x（A） 1 ? e?11 （B） (1 ? e ?1 ) 2（C） 1 ? e?y ?a, ? a1 （D） (1 ? e) 21| 3. 平 面 区 域 D ? { ( x , y )? x? x } a ? D { ( x, ? y) ?x , | ，y,a0 ? x ? a} ，则 ?? ye x dxdy =（2）.2D（A） 0 二． 填空题（B） ?? ye x dxdy2（C） 2?? ye x dxdyD1（D） 4?? ye x dxdy2D1D11. 求极限 lim ?r ?01 ?r 2x ? y ?r2 2?? ex2 ? y22cos(x ? y )dxdy ?.2. 二次积分 ? dx? f ( x, y )dy 的极坐标形式是0 01x2； .二次积分 ? dx? 20 x1x1 x ? y22dy 的极坐标形式是3. 积分 ? dx?1202? 2 x? xdy? f ( x, y, z )dz 的柱面坐标形式是0t ?0x.24. 若 f (u ) 连续可导, f (0) ? 0, f ?(0) ? 1, lim ?1 t5x ? y ? z ?t2 2 2??? f ( x2? y 2 ? z 2 )dv ?.5. 设物体占空间区域 ? ? [0,1] ? [0,1] ? [0,1] ， 密度函数为 ? ( x, y, z ) ? x ? y ? z ， 则该物体的质量 .- 43 -三． 计算题 1. 计算 ??? e | z| dv ，其中 ? ? {( x, y, z ) | x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1} .?2. 计算 ??? z 2 dv ，其中 ? 是由曲面 z ? 1 ? x 2 ? y 2 与 x 2 ? y 2 ? z ? 1 所围成?的闭区域.3. 计算 ??Dx? y dxdy ，其中 x 2 ? y 2 ? 1, x ? y ? 1 . 2 2 x ?y4. 计 算??? ( x?2? y 2 )zdxdydz, ? 由 锥 面 z ? x 2 ? y 2 与 柱 面 x 2 ? y 2 ? 1 及z ? 0 围成区域.- 44 -高等数学课外习题系 专业第七章班 姓名重积分学号习 题 课（课外作业） 一． 选择题 1. 设函数 f (t ) 在闭区域 ? t : x 2 ? y 2 ? t 2 ,0 ? z ? 1上连续可导，且 f ?(0) ? 1 ， 则 lim ?t ?01 t4??? f ( x?t2? y 2 )dv ? （）. （D） ? ?（A）? 2（B）0（C） ?2. 设 D 为 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 及 x 轴 围 成 的 第 一 象 限 部 分 ， 化 为 二 重 积 分?? f ( x, y)dxdy 为极坐标系下的二次积分 I ? （D）?2 sin ?（A） d? ? ?02?2 cos?0f (r cos? , r sin? )drf ( r cos ? , r sin? )rdr（B） 2 d? ? ?00( r cos ? , r sin? )rdr ( r cos ? , r sin? )dr（C）? 2 d? ?0?2 cos ?0（D）? 2 d? ?0?2 sin ?03. 设空间区域 ? ? {( x, y, z ) | x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2 }, ?1 ? {( x, y, z ) | x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2 ，x ? 0, y ? 0, z ? 0} ，则下列等式不成立的是（）.（A） ??? ( x ? y ? z ) 2 dV ? ??? ( x 2 ? y 2 ? z 2 )dV? ?（B） ??? ( x ? y ? z ) dV ? 8??? ( x 2 ? y 2 ? z 2 )dV2 ? ?1（C）??? ( x ? y ? z ) dV ? 24 ??? x 2 dV （D）??? ( x ? y ? z ) 2 dV ? 8??? ( x ? y ? z ) 2 dV2 ? ?1 ? ?1二． 填空题： 1. 设 D :| x |? 1, | y |? 1 ，则 ?? xecos( xy ) sin(xy)dxdy ?D2. 交换累次积分次序 ? dx? 2 f ( x, y )dy ?0 x1x3. 设 ? : x ? y ? z ? 1, z ? 0 ，则 ??? zdv ?2 2 2?- 45 -三． 计算题 1. 将极坐标累次积分 I ? 形式.??2 ??4d? ?2 cos ?0f ( ? cos? , ? sin? )?dr 化成直角坐标2. 计算 ??? ( x ? y ? z )dxdydz, ? 是由曲面 z 2 ? x 2 ? y 2 与平面 z ? 1 围成的闭区?域.3. 计算 ??? x 2 dxdydz, ? : x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2 z .??z ? y ? 1 ? 4. 由曲线 ? 绕 y 轴旋转后得一曲面，求 y ? 1 到 y ? 3 所围成立体的 ?x ? 0 ?重心坐标（假设密度 ? 为常量）.- 46 -高等数学课外习题系 §8.1 一． 单项选择题 专业第八章班曲线积分与曲面积分姓名 学号数量值函数的曲线积分（第一类曲线积分） ）1. 设 L 是从点 A(1, 2)到点（-2，-1） 的直线段，则 ? ( y ? x )ds ? （ B L （A） ? （C） ??2 1 ?2 1(2 x ? 1)ds (2 x ? 1) 2dxL（B） ?1 ?2 2(2 x ? 1) 2ds（D） ? (2 y ? 1) 2dy?12. 设 L : x 2 ? y 2 ? 2 y, 则 ? x x2 ? y 2 ds ? （ （A）2 二． 填空题 （B）4 （C）0） （D）31. 第一类曲线积分 ? f ( x, y ) ds 与曲线的方向L（有关，无关） ；利用 L 的参数方程将该曲线积分化为定积分，则积分?L f ( x, y )ds ?小于，等于）.，下限 ?上限 ? （大于，2. 设曲线型构件 L 在点 ( x, y)处线密度为? ( x, y)，则： （1） 曲线 L的质量M＝ （3） 曲线 L对x轴,y轴的转动惯量J x＝ （4） 曲线 L的重心坐标为xG＝ ； （2） 曲线 L的长度S＝J ， y＝； ； .y ， G＝3. 设光滑曲线 L关于x轴对称，L1是L在x轴上方的部分， ( x, y ) 在 L 上连续， f （1）若 f ( x, y)关于y 为奇函数，则 ? f ( x, y ) ds ?L；（2）若 f ( x, y)关于y 为偶函数，则 ? f ( x, y ) ds ?L?Lf ( x, y)ds .； .14. 设 L是圆周x 2 ? y 2 ? 4, 则（1） ? | x | ds ? ?L（2）?（y+x）ds ? ?L；（3）? x x2 ? y 2 ds = ?L- 47 -三． 计算题 1. 计算 ? eLx2 +y2ds, 其中 L为圆周x2 ? y 2 ? a2与直线 y ? x及 x轴 在第一象限内所围成的扇形的整个边界.2. 设曲线 L : x 2 ? y 2 ? ax(a ? 0) 上任一点 ( x , y ) 处质量密度为该点到原点的 距离，求分布在 L 上的质量.? x ? t cos t ? 3. 计算 ? zds ，其中 ?为曲线 ? y ? t sin t (0 ? t ? 1) . ? ?z ? t ?4. 计算 ? ( x 3 ? y 3 )ds ，其中 L为星形线x 3 ? y 3 ? a 3 .L44222- 48 -高等数学课外习题系 §8.2 一． 单项选择题 专业第八章班曲线积分与曲面积分姓名 学号数量值函数的曲面积分（第一类曲面积分）2 1. 设曲面?：x 2 ? y 2 ? z 2 ? a（z ? 0）,?1为?在第一卦限部分， 则（）（A） ?? xdS ? 4?? xdS? ?1（B） ?? ydS ? 4 ?? ydS? ?1（C） ?? zdS ? 4?? zdS? ?1（D） ?? xyzdS ? 4?? xyzdS? ?12. 设 ?为抛物面z ? 2 ? ( x 2 ? y 2 )在xoy面上方部分，则?? dS ? （?）（A） ?2? 2dx ?2? x 22? 2? xdy（B） ?2?0d? ?2021 ? 4? 2 d ? ；1 ? 4? 2 ? d ?（C） ? 二． 填空题2?0d? ?20?d ?（D） ?2?0d? ?01. 设有一分布着质量的曲面 ?在点(x, y, z )处的面密度为（x, y, z）,则 ： ? （1） 曲面的质量 M＝ （3）曲面 对z轴的转动惯量J z＝ （4）曲面 的重心坐标为xG＝ ， yG＝?； 曲面 的面积S＝ （2） ； ， zG＝；.2. 设 ?为yoz面内的一个闭区域D, 则将曲面积分?? f ( x, y, z )dS化成D上 的 二 重积分为?. ； ； . .3. 设 ?为球面x 2 ? y 2 ? z 2 ? R2 ,则(1)?? ( x ? y ? z )dS ?(2)?? ( x 2 ? y 2 ? z 2 )dS ??4. 设 ?为上半球面z ? 4 ? x 2 ? y 2，则?? ( x 2 ? y 2 )dS ??5. 曲面z ? x 2 ? y 2 被柱面z 2＝2x割下部分面积A=- 49 -三． 计算题 1. 计算 ?? (2 x ??4 x y z y ? z )dS，其中?为平面 ? ? ? 1在第一卦限部分. 3 2 3 42. 计算曲面积分 ?? ( x 2 ? y 2 ) dS ，其中 ?为锥面 z ??x2＋ y2及平面 z? 1所围成区域的整个边界曲面.1 3. 求抛物面壳 z ? ( x 2＋y 2 )(0 ? z ? 1)的质量，此壳的面密度? ( x, y, z ) ? z. 24. 求均匀曲面 z ? a 2 ? x 2 ? y 2的重心坐标.- 50 -高等数学课外习题系 §8.3 专业第八章班曲线积分与曲面积分姓名 学号向量值函数在定向曲线上的积分（第二类曲线积分）一． 判断下列解法是否正确？若错误，改正之. 1. 设 L 是从点 A( R,0)到点（-R，0） 的上半圆弧 x 2 ? y 2 ? R 2 ，则： B?L( x2 ? y 2 )dx ? ? R2 dx ? R2 ? dx ? 2R3 .L ?RR答： 2. 设 L 单位圆上由 点A(0,1)到点B( ,曲线积分 ?? ydx ? ?AB1 23 ) 的一段劣弧(小于半圆的弧)，则 21 2 01 ? x 2 dx答： 二． 填空题 1. 第二类曲线积分 ? P ( x, y ) dx ?Q ( x, y ) dy 的积分弧 L 是L（定向，不定 ， .向） ；利用 L 的参数方程 ? P ( x, y ) dx ?Q ( x, y ) dy =L下限 ? 对应，上限 ? 对应2. 设 L为xoy面内从点(a,0)到点(a,b)的一段直线，则 ： （1）曲线积分 ? P ( x, y )dx ?L； .（2）曲线积分 ? P ( x, y )dx ?Q ( x, y )dy化为定积分为LA 3. 设L是从原点沿y ? 1 ? x ? 1 至点（2，0）的折线段,?L xdy ? ydx ?.1 1 4. 设L为xoy面内曲线xy ? 1从点( ,2)到点(2, )的一段弧，则 2 2?L cos( x ? y)( ydx ? xdy) ?.1 5. 设L为抛物线y ? x 2从点(0,0)到点(1,)的一段弧，则对坐标的曲线积分?L P( x, y)dx ?Q( x, y)dy化成对弧长的曲线积分为.- 51 -三． 计算题 1. 计算 ? x 2 y 2 dx ? xy 2 dy , L为抛物线x ? y 2与直线x ? 1所围 区域边界正向. ?L2. 计算 ?( x ? y )dx ? ( x ? y )dy ，其中 L：x 2 +y 2 =a2 （逆时针）. L x 2 +y2? x ? 1 ? cos t ? 3. 计算 ? ydx ? xdy ? zdz , ，其中 ?为曲线 ? y ? sin t 对应t ? 0到t ? ? ? ?z ? t3 ?的一段弧 .?? 4. 设一质点受变力 F ( x, y ) ? (? y, x)作用从点A(a, 0)沿椭圆x ? a cos t ,y ? bs i n正向移动到点B(0,b),求变力所作功. t- 52 -高等数学课外习题系 专业 §8.4 一． 多项选择题第八章班曲线积分与曲面积分姓名 学号格 林 公 式1. 设 P( x, y), Q( x, y)在单连通区域D内具有一阶连续偏导数，C为D 内任一条 分段光滑的闭曲线正向，则下列条件与其他条件不等价的是（ （A）?Q ?P ? ?x ?yC）（B） Pdx ? Qdy是某一个函数的全微分 （D） ? Pdx ? Qdy ? 2? ?C（C） ? Pdx ? Qdy ? 0 ?2. 若简单正向封闭曲线L围成的区域面积为S , 则S ? （ ）1 ? xdx ? ydy 2 ?L 1 （C） ? xdy ? ydx 2 ?L 二． 填空题（A）（B）1 ? ydx ? xdy 2 ?LL（D） ? ? ydx ?1. 设P( x, y), Q( x, y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分?A Pdx ? Qdy与路径无关 ?? ?. 2. 若f (u)具有连续的导数，C为简单闭曲线，则： （1）? f ( xy )( ydx ? xdy ) ? ?CB； ? f ( x 2 ? y 2 )( xdx ? ydy ) ? （2）?C.3. 设f ( x, y )在x2 x2 ? y 2 ? 1具有连续二阶偏导数，C为椭圆 ? y 2 ?（顺时针 1 4 4C方向）边界，则? [ 3y ? f x x y, dx]? f y x y dy = ) ( ) ( ,., 4. 设C为顺时针方向圆周x 2 ? y 2 ? 4 x(y ? 0) 则第二类曲线积分? ? ( xeC2y? 1)dx ? ( x 2e 2 y ? 2 x )dy. 的全微分.5. 4sin x sin 3 y cos xdx ? 3cos3 y cos 2 xdy是二元函数- 53 -三． 计算题 1. 验证曲线积分 ? 该积分值.(2,1) (1,0)并计算 (2 xe y ? y)dx ? ( x 2e y ? x ? 2y)dy 与积分路径无关，???????? ? ? ? 2. 设一质点受变力 F ? x, y ? ? ? 2 xy3 ? y2 cos x? i ? ? 1 ? 2 y sin x ? 3 x2 y2 ? j作用从点 A(1,0) 经点 B(0,1)到点C(2, 2) 的圆弧移动，求变力所做的功.3. 计算 ? ?C( x ? y )dx ? ( x ? y )dy 其中C：(1)不包围原点的正向闭曲线； x 2 +y2（2） ? y ? 1 ( x 逆时针方向 ) .4. 利用曲线积分计算星形线 x ? a cos3 t , y ? a sin 3 t所围图形面积.- 54 -高等数学课外习题系 §8.5 一． 单项选择题 专业第八章班曲线积分与曲面积分姓名 学号向量值函数在定向曲面上的积分（第二类曲面积分）2 1. 设?1表示上半球面x 2 ? y 2 ? z 2 ? R（z ? 0）的上侧,?2表示下半球面x 2 ? y 22 ? z 2 ? R（z ? 0）的下侧，若I1 ? ?? zdxdy, I2 ? ?? zdxdy, 则必有（ ?1 ?2）（A） I1 ? I2（B） I1 ? I2（C） I1 ? I2 ? 0（D） I1 ? I22. 设 ?为z ? x 2 ? y 2 (0 ? z ? 1)的下侧，投影区域为D, 则对坐标曲面积分?? f ( x, y, z )dxdy化为二重积分为（?）（A） ?? f ( x, y, x 2 ? y 2 )dxdy?（B） ?? f ( x, y, x 2 ? y 2 )dxdyD（C） ? ?? f ( x, y, x ? y )dxdy2 2 D（D） ? ?? f ( x, y, x 2 ? y 2 )dxdy?二． 填空题 1. 第二类曲面积分?? R(x, y, z ) xdy的积分曲面?是 d?（定向，不定向）的；利用曲面?的方程z ? f x, y 化该积分为二重积分， ?? R(x, y, z ) xdy ? （ ） 则 d?，其中正负号根据2 2 2 ?确定.2. 设?为平面x ? z ? a含在柱面x ? y =a 内的那一部分,则(1)?? ( x ? z )dS ? ；(2)?（上侧）??( x ? z )dxdy ?. ； .3. 设?为球面x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2的外侧，则（1） dxdy ? ???（2） zdxdy ? ???； （3） z 2 dxdy ? ???4. 若?为坐标面x ? 0被柱面 y ? z ? 1所截部分的前侧，则将第二类曲面积分?? P( x, y, z)dydz ? Q( x, y, z)dzdx ? R( x, y, z)dxdy化为第一类曲面积分为?.- 55 -三． 计算题 1. 计算 ?? xdydz ? xydzdx ? xzdxdy，其中?为平面3x ? 2 y ? z ? 6在第一象限.?部分的上侧.2. 计算?? zdxdy，其中?为有向曲面z ? x 2 ? y 2(0 ? z ? 1)的下侧.?3. 计算?? xdydz ? ydzdx ? zdxdy，其中?是柱面x 2＋y 2 =1被平面z=0及z=3所截?得的第一卦限部分的前侧.4. 计算?? xz 2 dydz，其中?:z= R 2 ? x 2 ? y 2的上侧 .?- 56 -高等数学课外习题系 专业 §8.6第八章班曲线积分与曲面积分姓名 学号高斯公式与散度一． 判断下列做法是否正确？若错误，改正之. 1. 设?为球面x 2 ? y 2 ? z 2 ? R 2的外侧,则? x3dydz ? y 3dzdx ? z 3dxdy ???? 3??? ( x ? y ? z )dV ? 3R2 2 2 ?2??? dV =4? R?5答： 2. 设?为球面x 2 ? y 2 ? z 2 ? R 2的外侧,记r= x 2 ? y 2 ? z 2 ,P=由x y z ,Q= 3 ,R= 3 3 r r r?P ?Q ?R xdydz ? ydzdx ? zdxdy ?P ?Q ?R + ? =0,则?? ? ??? ( + ? )dV ? 0 3 ?x ?y ?z r ?x ?y ?z ? ?答： 二． 填空题 1. 若P( x, y, z )，Q( x, y, z )，R( x, y, z )在空间单连通区域G内具有一阶连续偏导数，?为G内任一闭曲面，则曲面积分?? Pdydz ? Qdzdx ? Rdxdy ? 0的充要条件是?. 2. 若用空间闭区域?的边界闭曲面?（外侧）的曲面积分表示该区域?的 体积 V ,则 V = .3. 设?是介于平面z ? 0与z=3之间的圆柱体x 2 ? y 2 ? 9的整体表面的外侧，?? xdydz ? ydzdx ? zdxdy ??.4. 若?是由x ? 1，x ? 2, y ? 1, y ? 2, z ? 1, z ? 3所围成六面体的表面的内侧，则?? ( xy ? z )dxdy ? ( xz ? y)dxdz ? ( yz ? x)dydz ??. ； ； . .5. 设?为球面x2 ? y 2 ? z 2 ? 1 的外侧,则(1)?? y 2 dzdx ??(2) ?? x 2 dydz ? y 2 dzdx ? z 2 dxdy ??(3) ?? x3dydz ? y 3dzdx ? z 3dxdy ??? ? ? ? ? 6. 向量场A=exy i+ cos( xy)j+cos(xz 2 )k,则散度divA=- 57 -三． 计算题 1. 计算曲面积分?? (2 x ? z )dydz ? zdxdy， ?为有向曲面z ? x 2 ? y 2(0 ? z ? 1)的上侧.?2. 计算曲面积分?? xz 2 dydz ? ( x 2 y ? z 3 )dzdx ? (2 xy ? y 2 z )dxdy，其中 ?为?z ? 4 ? x 2 ? y 2的上侧.3. 计算?? xzdydz ? x 2 ydzdx ? y 2 zdxdy，其中?为z ?x 2＋y 2，x 2＋y 2 =1和三个坐标面?围成的第一卦限部分立体的内侧.4. 计算?? xdydz ? ydzdx ? zdxdy，?为球面x 2 ? y 2 ? z 2 =a 2在第一卦限部分的上侧.?- 58 -高等数学课外习题系 专业第八章班曲线积分与曲面积分姓名 学号? §8.7? 一． 求下列向量场 A 的旋度：斯托克斯公式环流量与旋度1.? ? ? ? A ? (2 z ? 3 y)i ? (3x ? z ) j ? ( y ? 2 x)2. A ? x 2 sin yi ? y 2 sin zj ? z 2????3. A ? ( z ? sin y )i ? ( z ? x cos y ) j .???? 二． 求下列向量场 A 沿定向闭曲线 ? （依逆时针方向）的环流量：? ? ? ? 1. A ? ? yi ? xj ? ck (c为常数)，?为圆周x 2 ? y 2 ? 4, z ? 0.? ? ? ? 2. A ? ( x ? z )i ? ( x 3 ? yz ) j ? 3 xy 2 k，?为圆周z=2- x 2 ? y 2 , z ? 0.- 59 -三． 利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分,所有曲线从 z 轴正向看去均取逆 时针方向：? x2 ? y 2 ? z 2 ? a2 ； 1. 计算 ? ydx ? zdy ? xdz , ，其中 ?为圆周 ? ? ?x ? y ? z ? 02. 计算 ? x 2zdx ? xy2 dy ? z 2 dz , 其中?是抛物面z=1 ? x 2 ? y 2 位于第一卦限部 ??分的边界线；3. 计算? z 2 dx ? x 2 dy ? y2 dz , 其中?是球面x 2 ? y 2 +z2 =4位于第一卦限部分的边 ??界线.- 60 -高等数学课外习题系 专业 习 一． 单项选择题第八章班 题 课曲线积分与曲面积分姓名 学号1. 设L是由 y =1-x 2(-1 ? x ? 1)表示曲线的正向,则? xdx ? ydy ? （ ?L）（A） 2?（B） ?2?（C）1（D） 0x2 ? y 22. 设 L为y ? x从O(0，0)到M(1,1)的直线段，则 ? eLds ? （2）（A） e2（B） e（C） e ? 1?（D） e ）?13. 设?为球面x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1的外侧,则?? y 2 dzdx ? （ （A） 2 （C） ?22x 2 ? z 2 ?1??(1 ? x 2 ? z 2 )dxdz(1 ? x 2 ? z 2 )dxdz（B） 0 （D）2 ）x ? z ?12??4. 设?为上半球面z= a 2 ? x 2 ? y 2 ,则?? ( x 2 ? y 2 ? z 2 )dS ? （?（A） 2? a 2（B） 2? a 4（C） ? a4（D） ? a3 ）5. 设C为x 2 ? y 2 ? a 2 (取逆时针方向)，则? ? （A） 0 二． 填空题 （B） ?2? （C） 2?Cydx ? xdy ?（ x2 ? y2（D） ?1 , 1. L是右半圆周x 2 ? y 2 ?（x ? 0） 则 ? |y| ds =L.2 2ex 2 xe x dx ? 2. 设C:(x ? 2) ? ( y ? 4) ? 9的正向一周, 则 ? ( x ? 2 )dy ? ?C y y2 2. .3. 设?为圆z=a, x2 ? y 2 ? b2(a, b ? 0)的下侧，则?? dxdy ??4. 设?为锥面z ? x 2 ? y 2 被柱面x 2 ? y 2＝2ay所截部分，则?? ( xy ? xz ? 1)dS ??； 5. 设光滑闭曲面?（外侧）围成闭域?， y 3dzdx ? z 3dxdy ? x3dydz ? ???.- 61 -三． 计算题 1. 设平面曲线 L : y ? ? 4 ? x 2 , 其中L上任一点（x，y）处质量密度为? ?x 2 ? y 2 ，求该曲线 L 对 x 轴的转动惯量.2. 计算?? zdxdy，其中?为有向曲面z ? x 2 ? y 2(0 ? z ? 1)的上侧.?3. 计 算?L( 1? xe 2 y dx ? x 2e 2 ? y dy , 其 中 L 为 从 点 O(0,0) 沿 下 半 圆 周 ) ( y )2 y ? ? 4 x ? x 到点 A(4,0) .4. 设球面x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2上任一点处的面密度为该点到z轴的距离， 球 面 求 的质量.- 62 -高等数学课外习题系 专业第八章班曲线积分与曲面积分姓名 学号习题课（课外作业） 一． 计 算 ?（x ? y）e x ??2+y2ds, ?为圆弧y ? a 2 ? x 2 与直线y ? x, y ? ? x 所 围 成 的扇形区域的整个边界.1 1 二． 计算 ?（ ? 2 xy)dx ? x 2 dy, 其中L为上半椭圆x 2 ? 2 y 2 ?（逆时针方向）.L三． 计算 ?(2,? )(1,0)( y ? e x cos y)dx ? ( x ? e x sin y)dy .- 63 -1 四． 设物体 ?由z= ( x 2 ? y 2 )及z ? 2a ? x 2 ? y 2 (a ? 0)围成， 其体密度为 ? ? 1 ， a求该物体关于 z 轴的转动惯量.五．x2 y 2 求?? xdydz ? ydzdx ? ( x ? y ? z ? 1)dxdy，为上半椭球面z ? c 1 ? 2 ? 2 的上侧. ? a b ?2 六． 设半径为 R 的球面球心在定球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? a（a为常数2a ? R ? 0）上,试证当前者夹在定球面内部的表面积最大时 R ?4 a. 3- 64 -高等数学课外习题系 §9.1 专业第九章班无穷级数学号姓名常数项级数的概念与性质一． 填空题 2 3 4 5 1. ? ? ? ? ??? 1 2 3 4 2.x x x x ? ? ? 2 2? 4 2 4 6 ? ?an ? ____________ ；x ???? ? ? ? 8 2 4 62an ? ____________ ；3.1 1 1 1 ? ? 3 ? 4 ? ??? 3 3 3 3an ? ____________ ,? lim an ? _________ ,n ???级数____________（收敛，发散）4.3 32 33 34 ? ? ? ? ??? 2 2 2 23 2 4an ? ____________ ,? lim an ? _________ ,n ???级数____________（收敛，发散）.二．求出下列级数的前 n 项部分和 S n ，并用定义判别其收敛性。 1.? ?? n ?1n ?1 ? n?2.? ?3n ? 2??3n ? 1?n ?1?13.3 5 2n ? 1 ? ? ??? ? 2 ? ??? 4 36 n (n ? 1)2- 65 -三．判别下列级数的敛散性 1.8 82 83 84 ? ? ? ? ??? ， 9 9 2 93 9 42.1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? n ? ? ??? 2 10 4 20 2 10n四．判别下列级数的敛散性，并求出其中收敛级数的和。1.?n ?1?3 ? ?? 1? 2nn2.? lnn?2?n2 ?1 n2- 66 -高等数学课外习题系 专业 §9.2 一． 多项选择题 1. 下列正项级数发散的是（ （A） ?n ?1 ?第九章班无穷级数学号姓名正项级数及其审敛法 ） （C） ?n ?1 ?1 2n ? 1（B） ?1? n 2 n ?1 1 ? n?1 ?n ? 1??n ? 4?（D） sin ?n ?1??2n2. 由比值判别法可知下列级数收敛的是（ （A） ?n ?1 ?） （C） ?n ?1 ?n2 3n（B）?n ?1?3n n! nn3n 2 n ?n2 n ?13. 由根值判别法可知下列级数收敛的是（ （A） ?n ?1 ?） （C） ?n ?1 ?? n ? ? ? ? 2n ?1 ?n（B） ?n ?1?1 ?ln ?n ? 1??n? n ? ? ? ? 3n ? 1 ?二． 填空（提示：利用级数收敛的必要条件） 1. 求极限 lim2 n n! ? _________ n ?? n n(n!) 2 2. 求极限 lim ? _________ n ?? ( 2 n ? 1)!三． 判别下列级数的敛散性 1.? n ? n ? 2? ;n ?1?n ?1- 67 -2.?2n ?1?ns inn 3?3.?n ?1?1 ?a ? 0? 1? an4.? ?n?? n ?1n3 ?1??n5.?n ?1?1? an ?a ? 0, b ? 0? 1 ? bn- 68 -高等数学课外习题系 §9.3 专业第九章班 姓名无穷级数学号交错级数及其审敛法一． 单项选择题1. 下列级数条件收敛的是（? 1 ? ? n （A） ? ?? 1? ln ?1 ? 2 ? ? n ? n ?1?） （B） ? ?? 1? sinn n ?1 ?1 n（C） ?n ?1? ?1?ncos1 n（D） ? lnn ?1?1? n n2.? a? n? 设 a 为常数，则级数 ? ?? 1? ?1 ? cos ? 必（ n? ? n ?1） （D）敛散性与 a 有关（A） 发散（B） 绝对收敛（C）条件收敛二．判别下列级数的敛散性 ，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 1.? ?? 1?n ?1?n1 n212.? ?? 1?n ?1?n1 n233.? ?? 1?n ?1?n ?1n 3n ?1- 69 -4.1 ? ?? 1? ?2n ? 1?n ?1 n ?1?3；5.?n ?1?1 n? ； sin n 26.n ?1 ? ?? 1? (e n ? 1) n ?1?17.? (?1)n ?1?nn?1 ? n?1 n- 70 -高等数学课外习题系 专业 §9.4 一． 1.第九章班 姓名无穷级数学号幂级数填空:写出下列幂级数的收敛半径和收敛域.?n ?1 ??xn ?? 1? 2 的收敛半径 R= nn，收敛域.2.?n ?1 ?xn 的收敛半径 R= ( 2 n )!!，收敛域.3.?n ?1 ?2n ? 1 2 n ? 2 的收敛半径 R= x 2nn，收敛域.4. 若 ? an ? x ? 1? 在 x ? ?1 处收敛， 则此级数在 x ? 2 处n ?1（发散，收敛，绝对收敛，敛散性不能确定）. 5. 若幂级数 ? cn x n 和 ? ncn x n ?1 的收敛半径分别是 R1 和 R2 ， R1 和 R2 的 则n ?1 n ?1 ? ?大小关系是 R1 6. 若 幂 级 数 ?n ?1 ?R2 ( ?, ?, ? ).an ( x ? 1) n 在 x=3 处 条 件 收 敛 ， 则 此 级 数 的 收 敛 半 径R= 二．?. 求下列幂级数的收敛域.1.?n ?1? x ? 5? nn- 71 -2.?n ?0?2 n ?1 ?x ? 1?n n ?1三．?利用逐项求导或逐项积分，求下列幂级数在收敛域内的和函数。1.? ?n ? 1?xn ?0n(-1&x&1)2.?n ?1?x 4 n ?1 4n ? 1(-1&x&1)? x3 x5 3. x ? ? ? ? ?? 1 ? x ? 1? ，并求级数 ? 3 5 n ?11 的和. ?2n ? 1?2 n4.?n ?1?1 n ?1 x ?? 2 ? x ? 2? n2n- 72 -高等数学课外习题系 §9.5--§9.6 专业第九章班 姓名无穷级数学号函数的泰勒级数，函数的幂级数展开式的应用一． 填空：利用已知函数展开式将下列函数展开成 x 的幂级数，并求展开式 成立的区域. 1. cos 2x =______________ , 收敛域________________. 2. ln(a ? x)(a ? 0) =_____________ 收敛域________________. 3.a x ?a ? 0, a ? 1? =______________,,收敛域________________.d ? ex ?1 ? ? ? 的 幂 级 数 展 开 式 为 dx ? x ? ? ?4.?n ?1?________________, 或?n ?0?_______________,由此可得 ?n ?1?n ? __________ . __ ?n ? 1?!二．将函数 s ? ln1? t 展开成 t 的幂级数，并求展开式成立的区域. 1? t三．将函数 f ?t ? ? lg t 展开成（t-1）的幂级数，并求展开式成立的区域.- 73 -四． 将函数 f ?x ? ?1 展开成 ?x ? 4? 的幂级数，并求展开式成立的区域. x ? 3x ? 22五． 幂级数 ?n ?1?xn ?? 4 ? x ? 4? 的和函数. n ? 4n六．幂级数 ?n ?0??? 1?n x 2 n , x ? ?? ?,?? ? 的和函数.n!七．将函数 y ? ln ?1 ? x ? 2 x 2 ?展开成 x 的幂级数，并求展开式成立的区域.- 74 -高等数学课外习题系 §9.7 专业第九章班 姓名无穷级数学号傅里叶多项式，傅里叶级数及其收敛性质一． 填空 1.? ? 1,?? ? x ? 0 设 f ?x ? ? ? 2 ?1 ? x ,0 ? x ? ?，则其以 2 ? 为周期的傅立叶级数在点x ? ? 处收敛于_______________,在 x ? 0 处收敛于_______________, ? 在 x ? 处收敛于_______________. 22.?? 1,?? ? x ? 0 设 f ?x ? ? ? ，在[― ? ， ? ]上的傅立叶级数的和函数为 ? x ,0 ? x ? ?S ( x) ,则 S (? ) + S ( ) =_______________. 3?3.? x,?? ? x ? 0 设 函 数 f ?x ? ? ? ，它的傅立叶级数的和函数为 ? 1 ,0 ? x ? ?s( x) =a0 ? 1 ? ? ?an cos nx ? bn sin nx? ， 其 中 an ? 2 n ?1 ???? ? f ( x) cos nxdx ，??bn ?f ( x) sin nxdx ，则 S (?5? ) =_______________. ? ??1?? 1,?? ? x ? 0 二．设 f (x) 的周期为 2 ? ，在[― ? ， ? ]上的表达式为： f ? x ? ? ? ， ? 1 ,0 ? x ? ?试写出它的 n 阶傅立叶多项式.- 75 -三． f (x) 的周期为 2 ? ，表达式为： f ( x) ? 3x 2 ? 1?? ? ? x ? ? ? ，试写出它的 n 阶 傅立叶多项式.四f (x) 的周期为 2 ? ，表达式为： f ( x) ? cosx ?? ? ? x ? ? ? ，试写出它的 n 阶 2傅立叶多项式。五． f (x) 的周期为 2 ? ，表达式为： f ( x) ? x?? ? ? x ? ? ? ，试写出它的 n 阶傅立 叶多项式。- 76 -高等数学课外习题系 §9.8 专业第九章班 姓名无穷级数学号一般周期函数的傅里叶级数一． 单项选择题?1 ? ? ? x,0 ? x ? 1 2 ， S ?x ? ? 1. 设 f ? x ? ? ? 2 ? bn sin n?x 1 n ?1 ? 1 ? x, 2 ? x ? 1 ?1 ? 5? bn ? 2? f ( x) s i n?x d ，则 S ? ? ? =（ ） x 0 ? 2??? ? ? x ? ???，其中? A? 12?B ? 14?C ? ? 12?D ? ? 1?4? x ,0 ? x ? ? 2 2. 设 f ? x ? ? ? ? ， S 0, 2 ? x ? ? ??x ? ? ? bn sin nx ?? ? ? x ? ???n ?1， 其 中bn ???2?0? 5 ? f ( x) s inn x ，则 S ? ? ? ? =（ d x ? 2 ?）2 二． 填空? A? ??B ? ?4?C ?0?D ? ? ??41. 设 f ?x ? ? x ,0 ? x ? ? ， S4?x ? ? ? bn sin nx ?? ? ? x ? ???n ?1， 其 中bn ???2?0? 1? ?1? f ( x) s in n x ，则 S ? ? ? =_____________，S ? ? =__________. d x ? 2? ?2?2. 设 f ? x ? 是以 6 为周期的周期函数，它在一个周期的表达式为?? 2,?1 ? x ? 0 ? ， f ? x ? 的傅立叶级数为 S ( x) ，则 f ?x ? ? ? 26,0 ? x ? 1 ? 0,1 ? x ? 3 ? S（4）=___________，S（6）=___________，S（7）=___________.- 77 -三． 将下列各周期函数展成傅立叶级数（下面给出函数在一个周期内的表达 式）. 1.f ?x ? ? 1 ? x 2 , ?1 ?x? 21 22.?0, ?2 ? x ? 0 f ? x? ? ? ?1, 0 ? x ? 2- 78 -高等数学课外习题系 习 一． 填空 1. 专业 题第九章班 课 姓名无穷级数学号? 4?x ? 1?n ?1?n的收敛域是?.2. 设常数 k 〉 则级数 ? 0，n ?1?? 1?n k ?2 nn（发散， 条件收敛，绝对收敛，敛散性与 k 有关）. 3.? ? ?1?n ?0?n? x ? 1?n3n ? n ? 1的收敛域是.4. 若周期为 2 的周期函数在一个周期[―1，1）上的表达式为 f ? y ? ? y ，其 傅立叶级数的和函数为 S （y） S ,则 （-5） = 二． 求下列级数的和 1. . .?n ?1?? 2 n ?1 4 ? ? n ?1 ? 2 ? ?3 4n ? 1 ? ? ?2.? ? ? x ?1 ? x ?1 2n ?1?n0dx （提示，令 t ? 1 ? x )?- 79 -三． 判断下列级数的收敛性 1.? ?? n ?1n2 ?1?2.?2n ?1?ln nn四． 求下列幂级数的收敛域的和函数 1.?n ?1?1 xn n?n ? 1?2.e ? ?n ? 1?? ?n ?0??? n ?x ? ? n! ??x五． 把函数 f ( x) ??1 ? x ?21展开成 x 的幂级数，并指出其收敛域.六．?把函数 f ( x) ? x arctan x ?1 ln(1 ? x) 2 展开成 x 的幂级数，并求 2?? 1?n ? ?2n ? 1??2n ? 2? 的和. n ?0- 80 -
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