您所在位置： &
&nbsp&&nbsp&nbsp&&nbsp
高数-极限求解方法与技巧总结.docx 9页
本文档一共被下载：
次 ,您可全文免费在线阅读后下载本文档。
下载提示
1.本站不保证该用户上传的文档完整性，不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
2.该文档所得收入(下载+内容+预览三)归上传者、原创者。
3.登录后可充值，立即自动返金币，充值渠道很便利
高数-极限求解方法与技巧总结
你可能关注的文档：
··········
··········
极限论极限可以说是整个高等数学的核心，贯穿高等数学学习的始终。因为有关函数的可积、连续。可导等性质都是用极限来定义的。毫不夸张地说，所谓高数，就是极限。衡量一个人高等数学的水平只需看他对极限的认识水平，对极限认识深刻，有利于高等数学的学习，本章将介绍数列的极限、函数的极限以及极限的求解。重点是求极限。一、求极限的方法1.利用单调有界原理单调有界原理：若数列具有单调性、且有有界性，也即单调递增有上界、单调递减有下界，则该数列的极限一定存在。可以说，整个高等数学是从该结论出发来建立体系的。利用该定理一般分两步：1、证明极限存在。2、求极限。说明：对于这类问题，题中均给出了数列的第项和第项的关系式，首先用归纳法或作差法或作商法等证明单调性，再证明其有界性（或先证有界、再证单调性），由单调有界得出极限的存在性，在最终取极限。例1设证的极限存在，并求其极限。分析：本题给出的是数列前后两项的关系，所以应该用单调有界原理求解。解：由基本不等式，，所以可知数列有下界；下面证单调性，可知当时，有，则单调递减。综合可得，则单调递减有下界，所以存在；令，带入等式解得。评注：对于该题，再证明有界性的过程中用到基本不等式；特别是在证明单调性的过程中并没有用传统的作差或作商的方法，而是用了这一代换（原因是正是数列的极限值，这正是本题的高明之处，在以后的证明过程中可以借鉴，掌握这一套路。例2设，证明的极限存在。分析：本题给出的是数列的通项，看似很难下手，其实应该注意到的原函数就是，而且正好可以与定积分的和式挂钩，这就是本题的突破口。证：可视为高（长）度为，宽度为1的矩形的面积和。由于在上单调递减且恒大于0，则由定积分的几何意义可知，，所以有所以，下证单调性由式（1.1）和（1.2）可知，数列单调递减有下界，所以存在。得证。评注：本题以的原函数就是，而且可视为定积分的和式这一突破口，结合函数的单调性运用定积分的几何意义构造不等式进行有界性，单调性的证明。对于单调性的证明，也可其本质上是一样的。前面，我们讨论的数列都是单调的，但有时候数列本身不单调，而其奇、偶子列单调且其有相同的极限值，则原数列也有极限。下面以例子说明。例3设证明收敛，并求之。分析：首先可知，可知并不单调，但可以考虑奇子列和偶子列。证明：用数归法证明单调性。由，知成立。假设当时，有成立则有当时，所以，当时也成立。其奇子列单调递减。由于，而，且，所以有。则其奇子列单调递减且有下界。同理可证，偶子列单调递增且有上界，由单调有界原理可知，奇、偶子列的极限均存在，不妨设为和。则有，解得评析：在应用数学归纳法证明单调性的过程中用到了是增函数这一性质，当然，数学归纳法证明单调性也并不是唯一的方法，下面用作差法证明：所以可知与的符号相同，由于,则；同理，则。即奇子列单调递减，偶子列单调递增。这样的讨论显然比较繁琐，有没有更简单的方法呢？当然有，下面再讨论。2.压缩映象原理其实应用压缩映象原理求极限的基础实质上就是极限的定义。下面介绍该原理：定理：设和是两个常数，是一个给定的数列，只要满足下列两个条件之一：,.那么必收敛，并在第二种条件下，有证明：由，则有，由级数的比较审敛法，可知收敛，则有收敛，所以也收敛，则其部分和的极限存在，并设为。则有两边同时取极限，可知，得证.由，则当充分大时，有由极限的定义可知，有。特别的，虽然说证明是认为从开始时满足上述条款1,2.但事实上从某一项开始满足上述两条款也是成立的。下面我们运用压缩映象原理再证例3由于，则有，所以有可知其满足条款1，所以存在。显然，没有对比就没有差距，第二种方法要简单很多，这正是压缩映象原理的魅力。3.夹逼定理夹逼定理实际上就是运用数列极限的性质求极限，其实质上就是掌握不等式的放缩技巧，做到放缩有度。例4.求【法一】设，因为，则有将式（1.3）与式（1.4）两边相乘，则有，有，由夹逼定理，则有当然，夹逼定理能证明，但是世界总是多元的，方法也当然不只是一种。可看到，也许我们可以很快想到【法二】将原问题转化为求，求该极限值也有两种方法由修正后的积分中值定理可知注意到当（即）时，必有，所以必须在这一点处开始分段，取为一充分小的正数，将分为，两个区间对于第一项，由于在上单调递增，则有（当时，有）对于第二项，由于在上单调递增，则有将式（1.5）与（1.6）相加，则有由极限的定义可知，有评注：法一与法二的求解明了高等数学的整体性，他们都是高等数学最基本的套路，应该重点掌握。为了更进一步理解和熟悉运用夹逼定理，在对上述例4求解的基础上，我们更一般的衍生出更一般的例5。例5.求解：设，在例4的基础上，已知，则必有，而，而左边为0，所以不能用夹逼定理，原因是左边放缩过度，放缩得太小，必须重新放缩。则有所以有，而，由双边夹逼定理，则有.评注：总结例4和例5，
正在加载中，请稍后...欢迎各位小可爱们关注CHD学霸讲堂~投稿：18粉丝：631未经作者授权 禁止转载
看过该视频的还喜欢miniOFF同步各端记录
下载PC客户端，上传视频更轻松！
药品服务许可证(京)-经营-
请使用者仔细阅读优酷、、
Copyright(C)2017 优酷 youku.com 版权所有
不良信息举报电话:高等数学函数极限视频
用户：萤火虫爱心艺术团
播放：1518&次
分类：教育
用户：生人勿近2012
播放：1273&次
分类：教育
用户：在线大学
播放：4810&次
分类：教育
用户：在线大学
播放：3643&次
分类：教育
用户：数学物理qq
播放：477&次
分类：教育
用户：数学物理qq
播放：860&次
分类：教育
用户：数学物理qq
播放：1026&次
分类：教育
用户：数学物理qq
播放：866&次
分类：教育
用户：数学物理qq
播放：556&次
分类：教育
用户：数学物理qq
播放：527&次
分类：教育
用户：萤火虫爱心艺术团
播放：1518&次
分类：教育
用户：qhhxuwu
播放：827&次
分类：教育
用户：51爱学习
播放：183&次
分类：教育
用户：许鑫668635
播放：17&次
分类：其他
用户：大鱼用户1618
播放：245&次
分类：教育
用户：小龙女的光光
播放：15&次
分类：其他
用户：楼君白
播放：39464&次
分类：教育
用户：小龙女的光光
播放：22&次
分类：其他
用户：冰豆沙-
播放：2431&次
分类：教育
用户：MeIsBob燃
播放：8970&次
分类：教育
用户：数学物理qq
播放：3122&次
分类：教育
用户：fsg88点com
播放：11002&次
分类：教育
用户：在线大学
播放：1389&次
分类：教育
用户：快乐儿号
播放：17437&次
分类：教育
用户：在线大学
播放：2108&次
分类：教育
用户：生人勿近2012
播放：1273&次
分类：教育
用户：在线大学
播放：2200&次
分类：教育
用户：数学物理qq
播放：5077&次
分类：教育
用户：考试点考研视频
播放：338&次
分类：教育
用户：煮3国
播放：345&次
分类：教育
用户：流苏树的四季之歌
播放：1293&次
分类：教育
用户：数学老师不上课难受
播放：7069&次
分类：教育
用户：discuz建站网络工程师视频教程
播放：122&次
分类：教育
用户：我叫李小白i
播放：2898&次
分类：教育
用户：在线大学
播放：19633&次
分类：教育
用户：在线大学
播放：4051&次
分类：教育
用户：在线大学
播放：4810&次
分类：教育
用户：在线大学
播放：3643&次
分类：教育
用户：在线大学
播放：1468&次
分类：教育
&版权所有(C)&高数求极限什么时候要代数进去？什么时候不能带？
极限这一部分？到底什么时候该把数带进去算？什么时候不能带必须要化简…？？？头好大。。有没有懂研友指导下我…
极限存在的时候就可以代入，极限不存在的时候就不可以，最常见的情况就是分母为0的时候。（编辑：忘了提未定式这个碴，在是未定式的前提下不可带入，不是未定式就可以，例如lim(x->0)x-1/x?=∞。具体应当参考高数第一章第五节。）
[&此帖被玛德金刚在 05:54修改&]
连续可代入。
发自手机虎扑 m.hupu.com
建议多做题，观察是否有连续等字眼，有的话可以代入。而且要记住可导必连续。
当然以上针对抽象函数。
如果不是抽象函数例如2x这种，也可以直接代入。
当然你说的我不太明白是不是这个意思。。。。一般情况下我说的这几个应该注意下。。多做题，多观察题目，找找规律，加油老哥
发自手机虎扑 m.hupu.com
未定式和非未定式你恐怕没分清。
引用3楼 @ 发表的:建议多做题，观察是否有连续等字眼，有的话可以代入。而且要记住可导必连续。
当然以上针对抽象函数。
如果不是抽象函数例如2x这种，也可以直接代入。
当然你说的我不太明白是不是这个意思。。。。一般情况下我说的这几个应该注意下。。多做题，多观察题目，找找规律，加油老哥我说的不是抽象函数，就是简单的极限计算题
引用4楼 @ 发表的:未定式和非未定式你恐怕没分清。老哥能否详细讲下
引用1楼 @ 发表的:极限存在的时候就可以代入，极限不存在的时候就不可以，最常见的情况就是分母为0的时候。（编辑：忘了提未定式这个碴，在是未定式的前提下不可带入，不是未定式就可以，例如lim(x->0)x-1/x?=∞。具体应当参考高数第一章第五节。）相乘的前提下吧
引用7楼 @ 发表的:相乘的前提下吧以相乘为前提的是等价无穷小代换。比较下面2个例子：
例1：lim(x->π)(x-sinx)/x
例2：lim(x->0)(x-sinx)/x
引用6楼 @ 发表的:老哥能否详细讲下未定式就是这样一类极限：0/0、∞/∞，以及各种衍生物如0*∞、∞的∞次幂等等
比如lim(x->0)(x-sinx)/x就是未定式，分子和分母的极限都为0，这时要么使用等价无穷小代换要么洛必达法则，不可直接代入。
未定式不可以代入
一共有7种未定式
因式可以代进去
代数的时候你要确定带入之后有确定的极限（也就是极限不是无穷）
因为极限的运算法则决定的
两极限相乘得极限 相乘的两极限有确定值看看这个链接
先化简，后代入，几乎很少有直接带入的………
化简后带入呗。如果带入能算出清楚的值，那就行了。
来，看这个，给你总结下哈哈
引用15楼 @ 发表的:来，看这个，给你总结下哈哈感恩字数字数
引用12楼 @ 发表的:代数的时候你要确定带入之后有确定的极限（也就是极限不是无穷）
因为极限的运算法则决定的
两极限相乘得极限 相乘的两极限有确定值看看这个链接谢谢谢谢谢
引用9楼 @ 发表的:未定式就是这样一类极限：0/0、∞/∞，以及各种衍生物如0*∞、∞的∞次幂等等
比如lim(x->0)(x-sinx)/x就是未定式，分子和分母的极限都为0，这时要么使用等价无穷小代换要么洛必达法则，不可直接代入。懂啦懂啦谢谢谢谢谢
同问各位大哥啊，我画圈这个，题设f（0）等于零，导数不为零，这时候在这一步把零带入，得到的结果就是4这种情况为什么就能把cos0＝1带入了？
引用19楼 @ 发表的:同问各位大哥啊，我画圈这个，题设f（0）等于零，导数不为零，这时候在这一步把零带入，得到的结果就是4这种情况为什么就能把cos0＝1带入了？兄弟你看看我上面发的那个图，就明白啦。因式情况下只有整体因式才能带入的。
您需要登录后才可以回复，请或者
833人参加团购599.00元&849.00元
893人参加团购69.00元&139.00元
128人参加团购49.00元&119.00元
204人参加团购59.00元&129.00元
405人参加团购869.00元&1499.00元
444人参加团购779.00元&1399.00元
399人参加团购388.00元&799.00元
331人参加团购178.00元&499.00元
797人参加团购329.00元&1099.00元
280人参加团购1058.00元&1699.00元
668人参加团购498.00元&799.00元
92人参加团购139.00元&299.00元