u=f(x,y,z)=e^x²+y²+z²,z=x²siny,求∂u/∂x,∂u/∂y,求详解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-05-14 04:30 标签： z f x 2 y 2 e xy
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设在部分球面x²+y²+z²=5R²,x>0,y>0,z>0上函数f(x,y,z)=lnx+lny+3lnz有极大值求该极大值,并用上述结果证明对任意a,b,c,满足abc³≤27[(a+b+c)/5]^5
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5R^2=x^2+y^2+1/3*z^2+1/3*z^2+1/3*z^2>=5/27*(xyz^3)^(2/5),即xyz^3
...求详细解
我用拉格朗日乘数法做的
证明出不来
不等式解其实也可以的，用乘数法的话
设L = lnx+lny+3lnz+λ(x²+y²+z²-5R²)
L'(x) = 1/x+2λx=0
L'(y) = 1/y+2λy=0
L'(z) = 3/z+2λz=0 得到x，y，z用λ表示
带回球面方程 -1/(2λ)-1/(2λ)-3/(2λ)=5R²
λ=-1/(2R²)
极值点为 (R, R, √3R)
f(max) = 2InR+3In(√3R)
= InR^2*√(27)R^3 = In√(27)R^5 = 5/2In(27R^2)
和不等式作的答案一样
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设u=f(x,y,z)=xyz,而z是由方程x³+y³+z³-3xyz=0所确定的x,y的函数，求u对x和y的偏导数
设u=f(x,y,z)=xyz,而z是由方程x³+y³+z³-3xyz=0所确定的x,y的函数，求u对x和y的偏导数
　　对方程　　　x³+y³+z³-3xyz = 0求微分，得　　　3x²dx+3y²dy+3z²dz-3(yzdx+xzdy+xydz) = 0，整理，得　　　dz = [(x²-yz)/(xy-z²)]dx+[(y²-xz)/(xy-z²)]dy。
(*)　　再对　　　u = f(x,y,z) = xyz求微分，得　　　du = yzdx+xzdy+xydz，把 (*) 代入，得　　　du = yzdx+xzdy+xy{[(x²-yz)/(xy-z²)]dx+[(y²-xz)/(xy-z²)]dy}　　　　 = ……，
(整理成 (*) 的形状)则　　　əu/əx = ……，əu/əy = ……。
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求函数u=根x²+y²+z²在条件（x-y）²-z²=1条件下的极值
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u^2=x²+y²+(x-y)²-1 其中(x-y)²-1=z²>=0 取y=x+1 再令x趋于正无穷可知u无最大值然后利用不等式求u^2最小值 因为(x²+y²)/2>=-xy 所以u^2=(x²+y²)/2+(x²+y²)/2+(x-y)²-1>=(x²+y²)/2-xy+(x-y)²-1=3/2(x-y)²-1>=3/2-1=1/2等号当且仅当 x=-y ,(x-y)²=1 时取到 即 x=±1/2 ,y=-x,z=0 时 u最小值为√2/2
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