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高中一道数学计算题lg√27+lg8-log4(8)除以1/2lg0.3+lg2。。。。。也就是前一个是分子后一个是分母。。。不会解。。。哪个大哥大姐说下
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答案是3(1/2)lg0.3=(1/2)lg(3/10)=lg√(3/10)=lg√(3)-lg√(10)=lg√(3)-1/2【前面的系数可以变成对数的幂把
1/2就是根号】lg√27=lg(√3)^3=3lg(√3)【√27=(√3)^3】lg8=lg2^3=3lg2log4(8)=log4(4*2)=log4(4)+log4(2)=1+1/2=3*(1/2)那么总的式子是lg√27+lg8...
lg√27这是什么？？？？
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新课标人教A版高中数学必修1教案完整版
第一章 集合与函数概念一. 课标要求： 本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁 性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能 力 . 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型 来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学 生对变量数学的认识 . 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号. 2. 理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描 述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、 归纳的逻辑思维能力. 4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义. 5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集, 培养学生从 具体到抽象的思维能力. 6. 理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 . 7. 能使用 Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用 . 8. 学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号 y=f(x)的含义；了解函数构成 的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应 关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示 法 . 9. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰 当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 10. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 11. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇 偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 12. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 13. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1. 教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的 集合语言表示有关的数学对象， 从而体会集合语言的简洁性和准确性， 发展运用数学语言进 行交流的能力. 教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例， 使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算. 教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性 基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培 养学生的抽象概括的能力， 增强学生应用数学的意识， 教学中要高度重视数学概念的背景教 学. 2. 教材尽量创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，并注意运用 Venn 图表达集合的关系及运算，帮助学生借助直观图示认识抽象概念. 教学中，要充分体 现这种直观的数学思想，发挥图形在子集以及集合运算教学中的直观作用。 3. 教材在例题、习题教学中注重运用集合的观点研究、处理数学问题，这一观点，一 直贯穿到以后的数学学习中. 4. 在例题和习题的编排中，渗透了集合中的分类思想，让学生体会到分类思想在生活 中和数学中的广泛运用，这是学生在初中阶段所缺少的. 在教学中，一定要循序渐进，从繁 到难，逐步渗透这方面的训练 . 5. 教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解， 而对定义域、 值域的繁难计算， 特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡，教师要准确把握这方面的要求，防止拨高教学. 6. 函数的表示是本章的主要内容之一， 教材重视采用不同的表示法 （列表法、 图象法、 分析法），目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念. 在教学中，既要充分 发挥图象的直观作用， 又要适当地引导学生从代数的角度研究图象， 使学生深刻体会数形结 合这一重要数学方法 . 7. 教材将映射作为函数的一种推广， 进行了逻辑顺序上的调整， 体现了特殊到一般的 思维规律，有利于学生对函数概念学习的连续性 . 8. 教材加强了函数与信息技术整合的要求，通过电脑绘制简单函数动态图象,使学生 初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用. 9. 为了体现教材的选择性,在练习题安排上加大了弹性,教师应根据学生实际,合理地 取舍.三. 教学内容及课时安排建议 本章教学时间约 13 课时。 1.1 集合 1.2 函数及其表示 1.3 函数的性质 实习作业 复习 4 课时 4 课时 3 课时 1 课时 1 课时§1.1.1 集合的含义与表示教学目标： 一. 教学目标： l.知识与技能 (1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； . . (4)会用集合语言表示有关数学对象； (5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观 . 使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性. 教学重点. 二. 教学重点.难点 重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 三. 学法与教学用具 1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节 . . . 课的教学目标. 2. 教学用具：投影仪. 四. 教学思路 (一)创设情景，揭示课题 1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子 吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价. . 2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. . （二）研探新知 1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面 9 个实例： (1)1―20 以内的所有质数； (2)我国古代的四大发明；(3)所有的安理会常任理事国； (4)所有的正方形； (5)海南省在 2004 年 9 月之前建成的所有立交桥； (6)到一个角的两边距离相等的所有的点； (7)方程 x ? 5 x + 6 = 0 的所有实数根；2(8)不等式 x ? 3 & 0 的所有解； (9)国兴中学 2004 年 9 月入学的高一学生的全体. 2．教师组织学生分组讨论：这 9 个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出――位同学发表本组的讨论结果， 在此基础上， 师生共同概括出 9 个实 例的特征，并给出集合的含义. 一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合 的元素. 4.教师指出：集合常用大写字母 A，B，C，D，…表示，元素常用小写字母 a, b, c, d … 表示. (三)质疑答辩，排难解惑，发展思维 1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点?并注意个别辅 导， 解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性， 即:确定性.互异性和无序性.只要构成 . 两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等. 2．教师组织引导学生思考以下问题： 判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)大于 3 小于 11 的偶数； (2)我国的小河流. 让学生充分发表自己的建解. 3. 让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由. 教师对学生的学习活动给予及时的评价. 4.教师提出问题，让学生思考 (1)如果用 A 表示高―(3)班全体学生组成的集合， a 表示高一(3)班的一位同学， 是 用 b 高一(4)班的一位同学， 那么 a, b 与集合 A 分别有什么关系?由此引导学生得出元素与集合的 关系有两种：属于和不属于. 如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A，记作 a ∈ A . 如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于集合 A，记作 a ? A . (2)如果用 A 表示“所有的安理会常任理事国”组成的集合，则中国.日本与集合 A 的关 . 系分别是什么?请用数学符号分别表示． (3)让学生完成教材第 6 页练习第 1 题. 5.教师引导学生回忆数集扩充过程， 然后阅读教材中的相交内容， 写出常用数集的记号. 并让学生完成习题 1.1A 组第 1 题. 6.教师引导学生阅读教材中的相关内容，并思考.讨论下列问题： . . (1)要表示一个集合共有几种方式? (2)试比较自然语言.列举法和描述法在表示集合时，各自有什么特点?适用的对象是什 . 么? (3)如何根据问题选择适当的集合表示法?使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。 (四)巩固深化，反馈矫正 教师投影学习： (1)用自然语言描述集合{1，3，5，7，9}； (2)用例举法表示集合 A = {x ∈ N |1 ≤ x & 8} (3)试选择适当的方法表示下列集合：教材第 6 页练习第 2 题. (五)归纳整理，整体认识 在师生互动中，让学生了解或体会下例问题： 1．本节课我们学习过哪些知识内容? 2．你认为学习集合有什么意义？ 3．选择集合的表示法时应注意些什么? (六)承上启下，留下悬念 1．课后书面作业：第 13 页习题 1.1A 组第 4 题. 2. 元素与集合的关系有多少种？如何表示？类似地集合与集合间的关系又有多少种 呢？如何表示？请同学们通过预习教材.§1.1.2 集合间的基本关系教学目标: 一. 教学目标: 1．知识与技能 (1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。 (2)理解子集.真子集的概念。 . (3)能使用 venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 2. 过程与方法 让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义. 3.情感.态度与价值观 . . (1)树立数形结合的思想 ． (2)体会类比对发现新结论的作用. 教学重点. 二.教学重点.难点 重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念. 难点：难点是属于关系与包含关系的区别． 三.学法与教学用具 1.学法：让学生通过观察.类比.思考.交流.讨论，发现集合间的基本关系. . . . . 2.学用具：投影仪. 四.教学思路 (―)创设情景，揭示课题 问题 l：实数有相等.大小关系，如 5=5，5＜7，5＞3 等等，类比实数之间的关系，你 . 会想到集合之间有什么关系呢？ 让学生自由发言，教师不要急于做出判断。而是继续引导学生；欲知谁正确，让我们一 起来观察.研探. . (二)研探新知 投影问题 2：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？ （1） A = {1, 2,3}, B = {1, 2,3, 4,5} ；(2)设 A 为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B 为这个班学生的全体组成的集 合； (3)设 C = {x | x是两条边相等的三角形}, D = {x | x是等腰三角形}; (4) E = {2, 4, 6}, F = {6, 4, 2} . 组织学生充分讨论.交流，使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系，从而类比 . 得出两个集合之间的关系: ①一般地，对于两个集合 A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，我 们就说这两个集合有包含关系，称集合 A 为 B 的子集. 记作： A ? B(或B ? A)读作：A 含于 B(或 B 包含 A). ②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等. 教师引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么 类似之处，强化学生对符号所表示意义的理解。并指出：为了直观地表示集合间的关系，我 们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 Venn 图。如图 l 和图 2 分别是表示问 题 2 中实例 1 和实例 3 的 Venn 图.BA（B） 图1 图2投影问题 3：与实数中的结论“若 a ≥ b, 且b ≥ a, 则a = b ”相类比，在集合中，你能 得出什么结论? 教师引导学生通过类比，思考得出结论: 若 A ? B, 且B ? A, 则A = B . 问题 4：请同学们举出几个具有包含关系.相等关系的集合实例，并用 Venn 图表示. . 学生主动发言，教师给予评价. (三)学生自主学习，阅读理解 然后教师引导学生阅读教材第 7 页中的相关内容，并思考回答下例问题： (1)集合 A 是集合 B 的真子集的含义是什么?什么叫空集? (2)集合 A 是集合 B 的真子集与集合 A 是集合 B 的子集之间有什么区别? (3)0，{0}与 ? 三者之间有什么关系? (4)包含关系 {a} ? A 与属于关系 a ∈ A 正义有什么区别?试结合实例作出解释. (5)空集是任何集合的子集吗?空集是任何集合的真子集吗? (6)能否说任何一人集合是它本身的子集，即 A ? A ? (7)对于集合 A，B，C，D，如果 A ? B，B ? C，那么集合 A 与 C 有什么关系? 教师巡视指导， 解答学生在自主学习中遇到的困惑过程， 然后让学生发表对上述问题看 法. (四)巩固深化，发展思维 1. 学生在教师的引导启发下完成下列两道例题：例 1．某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格。若用 A 表示合格产 品，B 表示质量合格的产品的集合,C 表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成 立？A ? B, B ? A, A ? C , C ? A试用 Venn 图表示这三个集合的关系。 例 2 写出集合{0，1，2)的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 2.学生做教材第 8 页的练习第 l～3 题，教师及时检查反馈。强调能确定是真子集关系 . 的最好写真子集，而不写子集. (五)归纳整理，整体认识 1． 请学生回顾本节课所学过的知识内容有建些， 所涉及到的主要数学思想方法又那些. 2. 在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方,请向老师提出. (六)布置作业 第 13 页习题 1.1A 组第 5 题.§1.1.3 集合的基本运算教学目标： 一. 教学目标： 1. 知识与技能 (1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集. (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. (3)能使用 Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 2. 过程与方法 学生通过观察和类比，借助 Venn 图理解集合的基本运算. 3.情感.态度与价值观 . (1)进一步树立数形结合的思想. (2)进一步体会类比的作用. (3)感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确. 教学重点. 二.教学重点.难点 重点：交集与并集，全集与补集的概念. 难点：理解交集与并集的概念.符号之间的区别与联系． . 三.学法与教学用具 1.学法：学生借助 Venn 图，通过观察.类比.思考.交流和讨论等，理解集合的基本运算. . . . . 2.教学用具：投影仪. . 四. 教学思路 (一)创设情景，揭示课题 问题 1：我们知道，实数有加法运算。类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加” 呢? 请同学们考察下列各个集合，你能说出集合 C 与集合 A.B 之间的关系吗? . (1) A = {1,3,5}, B = {2, 4, 6}, C = {1, 2,3, 4,5, 6}; (2) A = {x | x是理数}, B = {x | x是无理数}, C = {x | x是实数} 引导学生通过观察，类比.思考和交流，得出结论。教师强调集合也有运算，这就是我 .们本节课所要学习的内容。 (二)研探新知 l.并集 ―般地， 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合， 称为集合 A 与 B 的并集. 记作：A∪B. 读作：A 并 B. 其含义用符号表示为：A ∪ B = {x | x ∈ A, 或x ∈ B}用 Venn 图表示如下：AB请同学们用并集运算符号表示问题 1 中 A，B，C 三者之间的关系. 练习.检查和反馈 . (1)设 A={4，5，6，8)，B={3，5，7，8)，求 A∪B. (2)设集合 A A = {x | ?1 & x & 2}, 集合B = { x |1 & x & 3}, 求A ∪ B. 让学生独立完成后，教师通过检查，进行反馈，并强调： （1）在求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次. (2)对于表示不等式解集的集合的运算，可借助数轴解题. 2.交集 （1）思考：求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗？ 请同学们考察下面的问题，集合 A.B 与集合 C 之间有什么关系？ . ① A = {2, 4, 6,8,10}, B = {3,5,8,12}, C = {8}; ② A = {x | x是国兴中学2004年9月入学的高一年级女同学}. B={ x | x 是国兴中学 2004 年 9 月入学的高一年级同学}，C={ x | x 是国兴中学 2004 年 9 月入学的高一年级女同 学}. 教师组织学生思考.讨论和交流，得出结论，从而得出交集的定义； . 一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为 A 与 B 的交集. 记作：A∩B. 读作：A 交 B 其含义用符号表示为：A ∩ B = {x | x ∈ A, 且x ∈ B}.接着教师要求学生用 Venn 图表示交集运算. A B（2）练习.检查和反馈 . 直线 l1 上点的集合为 L2 ， 试用集合的运算表示 l1 的 ①设平面内直线 l1 上点的集合为 L1 ， 位置关系. ②学校里开运动会，设 A={ x | x 是参加一百米跑的同学}，B={ x | x 是参加二百米跑的 同学}，C={ x | x 是参加四百米跑的同学}，学校规定，在上述比赛中，每个同学最多只能参 加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释集合运算 A∩B 与 A∩C 的含义. 学生独立练习，教师检查，作个别指导.并对学生中存在的问题进行反馈和纠正. （三）学生自主学习，阅读理解 1．教师引导学生阅读教材第 11～12 页中有关补集的内容，并思考回答下例问题： （1）什么叫全集？ （2）补集的含义是什么？用符号如何表示它的含义？用 Venn 图又表示？ （3）已知集合 A = {x | 3 ≤ x & 8}, 求?R A . （4） S={ x | x 是至少有一组对边平行的四边形}， x | x 是平行四边形}， x | x 设 A={ B={ 是菱形}，C={ x | x 是矩形}，求 B ∩ C , 痧B, ASA.在学生阅读.思考的过程中，教师作个别指导，待学生经过阅读和思考完后，请学生回 . 答上述问题，并及时给予评价. （四）归纳整理，整体认识 1．通过对集合的学习，同学对集合这种语言有什么感受？ 2．并集.交集和补集这三种集合运算有什么区别？ . （五）作业 1．课外思考：对于集合的基本运算，你能得出哪些运算规律？ 2．请你举出现实生活中的一个实例，并说明其并集.交集和补集的现实含义. . 3．书面作业：教材第 14 页习题 1.1A 组第 7 题和 B 组第 4 题.§1.2.1 函数的概念 .2.1一、教学目标 1、 知识与技能： 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间 的依赖关系， 同时还用集合与对应的语言刻画函数， 高中阶段更注重函数模型化的思想与意 识． 2、过程与方法： （1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基 础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； （2）了解构成函数的要素； （3）会求一些简单函数的定义域和值域； （4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域； 3、情态与价值，使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性。二、教学重点与难点： 教学重点与难点：重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示； 三、学法与教学用具 1、学法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目 标 . 2、教学用具：投影仪 . 四、教学思路 （一）创设情景，揭示课题 1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想； 2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想： （1）炮弹的射高与时间的变化关系问题； （2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题； （3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点。 4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系； 5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系． （二）研探新知 1、函数的有关概念 （1）函数的概念： 设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个 数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数（function）． 记作： y=f(x)，x∈A． 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域（domain）；与 x 的值相对应 的 y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）． 注意： ① “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ②函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值，一个数，而不是 f 乘 x． （2）构成函数的三要素是什么？ 定义域、对应关系和值域 （3）区间的概念 ①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； ②无穷区间； ③区间的数轴表示． （4）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？ 通过三个已知的函数：y=ax+b (a≠0) 2 y=ax +bx+c (a≠0) y=k x(k≠0)比较描述性定义和集合，与对应语言刻画的定义，谈谈体会。 师：归纳总结 （三）质疑答辩，排难解惑，发展思维。 1、如何求函数的定义域例 1：已知函数 f (x) = （1）求函数的定义域； （2）求 f（－3），f (x+3 +2 )的值； 31 x+2（3）当 a＞0 时，求 f（a）,f(a－1)的值. 分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例.如果只给出解 析式 y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数 的集合，函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 解：略 例 2、设一个矩形周长为 80，其中一边长为 x，求它的面积关于 x 的函数的解析式，并 写出定义域. 分析：由题意知，另一边长为 所以 s=80 ? 2 x ? x = （40－x）x 280 ? 2 x ，且边长为正数，所以 0＜x＜40. 2（0＜x＜40）引导学生小结几类函数的定义域： （1）如果 f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集 R . （2）如果 f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 . （3）如果 f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数 的集合. （4）如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有 意义的实数集合.（即求各集合的交集） （5）满足实际问题有意义. 巩固练习：课本 P22 第 1 2、如何判断两个函数是否为同一函数 例 3、下列函数中哪个与函数 y=x 相等？ （1）y = ( x )2 ; （3）y = x2（2）y = ( 3 x ) ;3;x2 （4）y= x分析： 1 ○ 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决 定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一 函数） 2 ○ 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数 值的字母无关。 解：（略） 课本 P21 例 2 （四）巩固深化，反馈矫正： （1）课本 P22 第 2 题 （2）判断下列函数 f（x）与 g（x）是否表示同一个函数，说明理由？ ① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1② f ( x ) = x； g ( x ) =x2③ f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 ④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) = （3）求下列函数的定义域 ① f ( x) = ② f ( x) =x21 x? | x |1 1+ 1 x1 2? x③ f(x) =x +1 +x+4 x+2④ f(x) =⑤ f ( x) = 1 ? x +x + 3 ?1（五）归纳小结 ①从具体实例引入了函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概 念；②初步介绍了求函数定义域和判断同一函数的基本方法，同时引出了区间的概念。 （六）设置问题，留下悬念 1、课本 P28 习题 1．2（A 组） 第 1―7 题 （B 组）第 1 题 2、举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出 函数的定义域、值域和对应关系。§1．2．2 函数的表示法一．教学目标 1．知识与技能 （1）明确函数的三种表示方法； （2）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数； （3）通过具体实例，了解简单的分段函数及应用． 2．过程与方法： 学习函数的表示形式，其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深理 解函数概念的形成过程． 3．情态与价值 让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法。 二．教学重点和难点 教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念． 教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数 的表示及其图象．三．学法及教学用具 1．学法：学生通过观察、思考、比较和概括，从而更好地完成本节课的教学目标． 2．教学用具：圆规、三角板、投影仪． 四．教学思路 （一）创设情景，揭示课题． 我们在前两节课中，已经学习了函数的定义，会求函数的值域，那么函数有哪些表示 的方法呢？这一节课我们研究这一问题． （二）研探新知 1．函数有哪些表示方法呢？ （表示函数的方法常用的有：解析法、列表法、图象法三种） 2．明确三种方法各自的特点？ （解析式的特点为：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用 解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域．列表法的特点为：不通过计算就知 道自变量取某些值时函数的对应值、 图像法的特点是： 能直观形象地表示出函数的变化情况） （三）质疑答辩，排难解惑，发展思维． 例 1．某种笔记本的单价是 5 元，买 x( x ∈ 1, 2,3, 4,5}) 个笔记本需要 y 元，试用三种 表示法表示函数 y = f ( x) ． 分析：注意本例的设问，此处“ y = f ( x) ”有三种含义，它可以是解析表达式，可以 是图象，也可以是对应值表． 解：（略） 注意： ①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等； ②解析法：必须注明函数的定义域； ③图象法：是否连线； ④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征． 例 2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均 分表： 第一次 王 张 赵 伟 城 磊 98 90 68 88.2 第二次 87 76 65 78.3 第三次 91 88 73 85.4 第四次 92 75 72 80.3 第五次 88 86 75 75.7 第六次 95 80 82 82.6{班平均分请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析． 分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借 助什么工具？ 解：（略） 注意： ①本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变 化特点： ②本例能否用解析法？为什么？例 3．画出函数 y =| x | 的图象 解：（略） 例 4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1）乘坐汽车 5 公里以内，票价 2 元； （2）5 公里以上，每增加 5 公里，票价增加 1 元（不足 5 公里按 5 公里计算），已知 两个相邻的公共汽车站间相距约为 1 公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设 20 个汽车 站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象． 分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义，根据实际情况公共汽车到站才能停 车，所以行车里程只能取整数值． 解：（略） 注意： ①本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义； ②象例 3、例 4 中的函数，称为分段函数． ③分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用 一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． （四）巩固深化，反馈矫正． （1）课本 P27 练习第 1，2，3 题 （2）国内投寄信函（外埠），假设每封信函不超过 20 g ，付邮资 80 分，超过 20 g 而 不超过 40 g 付邮资 160 分，每封 xg （0＜ x ≤100＝的信函应付邮资为（单位：分） （五）归纳小结 理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数， 注意分段函数的表示方法及其图象的画法。 （六）设置问题，留下悬念． （1）课本 P28 习题（A 组）1，2； （2）如图，把截面半径为 25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的边长为 x ，面 积为 y ，把 y 表示成 x 的函数．§1.2.2 映射一．教学目标 1．知识与技能： （1）了解映射的概念及表示方法； （2）结合简单的对应图表，理解一一映射的概念． 2．过程与方法 （1）函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合；（2）通过实例进一步理解映射的概念； （3）会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，一一映射． 3．情态与价值 映射在近代数学中是一个极其重要的概念，是进一步学习各类映射的基础． 教学重点： 二．教学重点：映射的概念 教学难点： 教学难点：映射的概念 三．学法与教学用具 1．学法：通过丰富的实例，学生进行交流讨论和概括；从而完成本节课的教学目标； 2．教学用具：投影仪． 四．教学思路 （一）创设情景，揭示课题 复习初中常见的对应关系 1．对于任何一个实数 a ，数轴上都有唯一的点 p 和它对应； 2．对于坐标平面内任何一个点 A，都有唯一的有序实数对（ x, y ）和它对应； 3．对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应； 4．某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应； 5．函数的概念． （二）研探新知 1．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空 数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应 关系，这种对应就叫映射（板书课题）． 2．先看几个例子，两个集合 A、B 的元素之间的一些对应关系： （1）开平方； （2）求正弦； （3）求平方； （4）乘以 2． 归纳引出映射概念： 一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f ，使对于集合 A 中的任意一个元素 x ，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f ：A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射． 记作“ f ：A→B” 说明： （1） 这两个集合有先后顺序， 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是截然不同的， A 其中 f 表 示具体的对应法则，可以用多种形式表述． （2）“都有唯一”什么意思？ 包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思． （三）质疑答辩，排难解惑，发展思维 例 1．下列哪些对应是从集合 A 到集合 B 的映射？ （1）A={ P | P 是数轴上的点}，B=R，对应关系 f ：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）A={ P | P 是平面直角坐标中的点}， B = ( x, y ) | x ∈ R, y ∈ R} , 对应关系 f ：平 面直角坐标系中的点与它的坐标对应； （3）A={三角形}，B= {x | x是圆}, 对应关系 f ：每一个三角形都对应它的内切圆； （4）A={ x | x 是新华中学的班级}， B = x | x 是新华中学的学生 , 对应关系 f ：每 一个班级都对应班里的学生． 思考：将（3）中的对应关系 f 改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对 应关系 f 改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应 f ：B→A 是从集合 B 到集合 A 的 映射吗？ 例 2．在下图中，图（1），（2），（3），（4）用箭头所标明的 A 中元素与 B 中元 素的对应法则，是不是映射？是不是函数关系？ A 开平方 B A 求正弦 B{{}9 4 13 －3 2 －2 1 －1300 450 600 9001 22 23 2（1）（2）1A求平方BA乘以 2 B1 －1 2 －2 3 －31 4 9 1 2 31 2 3 4 5 6（3） （4） （四）巩固深化，反馈矫正 1、画图表示集合 A 到集合 B 的对应（集合 A，B 各取 4 个元素） 已知：（1） A = 1, 2, 3, 4} , B = 2, 4, 6,8} ，对应法则是“乘以 2”； （2）A= { x | x ＞ 0} ，B=R，对应法则是“求算术平方根”； （3） A = { x | x ≠ 0} , B = R ，对应法则是“求倒数”；{{（4） A = {∠α | 0 ＜ ∠α ≤ 9000} , B = { x | x ≤ 1} , 对应法则是“求余弦”．2 的原象是什么？ 22．在下图中的映射中，A 中元素 600 的象是什么？B 中元素 A 求正弦 B300 450 600 9001 22 23 21（五）归纳小结 提出问题： 怎样判断建立在两个集合上的一个对应关系是否是一个映射， 你能归纳出几 个“标准”呢？ 师生一起归纳：判定是否是映射主要看两条：一条是 A 集合中的元素都要有象，但 B 中元素未必要有原象；二条是 A 中元素与 B 中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对 应形式． （六）设置问题，留下悬念． 1．由学生举出生活中两个有关映射的实例． 2．已知 f 是集合 A 上的任一个映射，试问在值域 f (A)中的任一个元素的原象，是否 都是唯一的？为什么？ 3．已知集合 A = a, b} , B = ?1, 0,1} , 从集合 A 到集合 B 的映射，试问能构造出多少 映射？{{函数的最大（ §1．3．1 函数的最大（小）值一．教学目标 1．知识与技能： 理解函数的最大（小）值及其几何意义． 学会运用函数图象理解和研究函数的性质． 2．过程与方法： 通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的 纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识． 3．情态与价值利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发 学生学习的积极性． 二．教学重点和难点 教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义 教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值． 三．学法与教学用具 1．学法：学生通过画图、观察、思考、讨论，从而归纳出求函数的最大（小）值的方 法和步骤． 2．教学用具：多媒体手段 四．教学思路 （一）创设情景，揭示课题． 画出下列函数的图象， 指出图象的最高点或最低点， 并说明它能体现函数的什么特征？ ① f ( x) = ? x + 3 ③ f ( x) = x 2 + 2 x + 1 （二）研探新知 1．函数最大（小）值定义 最大值：一般地，设函数 y = f ( x) 的定义域为 I，如果存在实数 M 满足： （1）对于任意的 x ∈ I ，都有 f ( x ) ≤ M ； （2）存在 x0 ∈ I ，使得 f ( x0 ) = M ． 那么，称 M 是函数 y = f ( x) 的最大值． 思考：依照函数最大值的定义，结出函数 y = f ( x) 的最小值的定义． 注意： ①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在 x0 ∈ I ，使得 f ( x0 ) = M ； ②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的 x ∈ I ，都有 ② f ( x) = ? x + 3x ∈ [?1, 2]④ f ( x) = x 2 + 2 x + 1x ∈ [?2, 2]f ( x ) ≤ M ( f ( x) ≥ m) ．2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法． ①配方法 ②换元法 ③数形结合法 （三）质疑答辩，排难解惑． 例 1．（教材 P36 例 3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值． 解（略） 例 2．将进货单价 40 元的商品按 50 元一个售出时，能卖出 500 个，若此商品每个涨价 1 元，其销售量减少 10 个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？ 解：设利润为 y 元，每个售价为 x 元，则每个涨（ x －50）元，从而销售量减少10( x ? 50)个, 共售出500-10(x-50)=100-10x(个)∴ y=(x-40)(1000-10x)=-10(x-70)2 + 9000 (50 ≤ x ＜100）∴ x = 70时ymax = 90002 在区间[2，6] 上的最大值和最小值． x ?1答：为了赚取最大利润，售价应定为 70 元． 例 3．求函数 y = 解：（略） 例 4．求函数 y = x + 1 ? x 的最大值． 解：令 t = 1 ? x ≥ 0 有x = ?t 2 + 1则1 5 y = ?t 2 + t + 1 = ?(t ? ) 2 + ∵t ≥ 0 2 4 1 ∴?(t ? ) 2 ≤ 0 2 1 5 5 ∴?(t ? ) 2 + ≤ 2 4 4 5 ∴ 原函数的最大值为 . 4（四）巩固深化，反馈矫正． （1）P38 练习 4 （2）求函数 y =| x ? 3 | ? | x + 1| 的最大值和最小值． （3）如图，把截面半径为 25cm 的图形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为 x ，面 积为 y ，试将 y 表示成 x 的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积 最大？25（五）归纳小结 求函数最值的常用方法有： （1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的 取值范围确定函数的最值． （2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值． （3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值． （六）设置问题，留下悬念． 1．课本 P45（A 组） 6．7．8 2．求函数 y = x + 2 x ? 1 的最小值．3．求函数 y = x ? 2 x + 3当自变量x在下列范围内取值时的最值 ．2① ?1 ≤ x ≤ 0② 0≤ x≤3③ x ∈ ( ?∞, +∞ )§1.3.1 函数的单调性一、教学目标 1、知识与技能： （1）建立增（减）函数的概念 通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函 数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调 性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步骤。 （2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生 通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。 2、过程与方法 （1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．3、情态与价值，使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性， 增强学习 函数的紧迫感. 二、教学重点与难点 重点：函数的单调性及其几何意义．难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性． 三、学法与教学用具 1、从观察具体函数图象引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。通过 练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。 2、教学用具：投影仪、计算机. 四、教学思路： （一）创设情景，揭示课题 1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： y 1 -1 -1 1 x -1 -1 y 1 1 x -1 -1 y 1 1 x1 ○ 随 x 的增大，y 的值有什么变化？ 2 ○ 能否看出函数的最大、最小值？ 3 ○ 函数图象是否具有某种对称性？ 2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律： （1）f(x) = x 1 ○ 从左至右图象上升还是下降 ______? 2 ○ 在区间 ____________ 上，随着 x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． -1y 1 1 -1 y 1 x（2）f(x) = -x+2 -1 1 x 1 ○ 从左至右图象上升还是下降 ______? -1 2 ○ 在区间 ____________ 上，随着 x 的增 y 大，f(x)的值随着 ________ ． （3）f(x) = x2 1 1 ○在区间 ____________ 上， -1 1 x f(x)的值随着 x 的增大而 ________ ． -1 2 ○ 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着 x 的增大而 ________ ． 3、从上面的观察分析，能得出什么结论？ 学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变 化趋势不同， 同一函数在不同区间上变化趋势也不同， 函数图象的这种变化规律就是函数性 质的反映， 这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质――函数的单调性 （引出课题） 。 （二）研探新知 2 1、y = x 的图象在 y 轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？ 学生通过观察、思考、讨论，归纳得出： 2 函数 y = x 在（0，+∞）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于（0，+∞） 2 2 上的任意的 x1，x2，当 x1＜x2 时，都有 x1 ＜x2 . 即函数值随着自变量的增大而增大，具有 这种性质的函数叫增函数。 2．增函数 一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I， 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1&x2 时，都有 f(x1)&f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数（increasing function）． 3、从函数图象上可以看到，y= x2 的图象在 y 轴左侧是下降的，类比增函数的定义，你 能概括出减函数的定义吗？ 注意： 1 ○ 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 2 ○ 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2；当 x1&x2 时，总有 f(x1)&f(x2) ． 4．函数的单调性定义 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区 间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间： （三）质疑答辩，发展思维。 根据函数图象说明函数的单调性．例 1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数 y=f(x)，根据图象说出函数的单 调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？解：略 例 2 物理学中的玻意耳定律 P=k （k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当 V k 在区间（0，+∞）上是减函数即可。 V其体积 V 减少时，压强 P 将增大。试用函数的单调性证明之。 分析：按题意，只要证明函数 P=证明：略 3．判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤： ① 任取 x1，x2∈D，且 x1&x2； ② 作差 f(x1)－f(x2)； ③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差 f(x1)－f(x2)的正负）； ⑤下结论（即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性）． 巩固练习： 1 ○ 课本 P38 练习第 1、2、3 题； 2 ○ 证明函数 y = x +1 在（1，+∞）上为增函数． x例 3．借助计算机作出函数 y =－x2 +2 | x | + 3 的图象并指出它的的单调区间． 解：（略） 思考：画出反比例函数 y =1 的图象． x1 ○ 这个函数的定义域是什么？ 2 ○ 它在定义域 I 上的单调性怎样？证明你的结论． （四）归纳小结 函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机， 求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步： 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 （五）设置问题，留下悬念 1、教师提出下列问题让学生思考： ①通过增（减）函数概念的形成过程，你学习到了什么？ ②增（减）函数的图象有什么特点？如何根据图象指出单调区间？③怎样用定义证明函数的单调性？ 师生共同就上述问题进行讨论、交流，发表自己的意见。 2、书面作业：课本 P45 习题 1、3 题（A 组）第 1-5 题。§1．3．2 函数的奇偶性一．教学目标 1．知识与技能： 理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判 断函数的奇偶性； 2．过程与方法： 通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合 的数学思想． 3．情态与价值： 通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力． 教学重点和难点： 二．教学重点和难点： 教学重点：函数的奇偶性及其几何意义 教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式 三．学法与教学用具 学法：学生通过自己动手计算，独立地去经历发现，猜想与证明的全过程，从而建立奇 偶函数的概念． 教学用具：三角板 投影仪 四．教学思路 （一）创设情景，揭示课题 “对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下 列各函数有什么共性？ 观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．f ( x) = x 2f ( x) =| x | ?1x( x) =1 x2yyy0x－1 0－11x0x通过讨论归纳：函数 f ( x ) = x 2 是定义域为全体实数的抛物线；函数 f ( x ) =| x | ?1 是定 义域为全体实数的折线； 函数 f ( x ) =1 是定义域为非零实数的两支曲线， 各函数之间的共 x2 性为图象关于 y 轴对称．观察一对关于 y 轴对称的点的坐标有什么关系？归纳：若点 ( x, f ( x )) 在函数图象上，则相应的点 (? x, f ( x)) 也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等． （二）研探新知 函数的奇偶性定义： 1．偶函数 一般地，对于函数 f ( x ) 的定义域内的任意一个 x ，都有 f ( ? x ) = f ( x ) ，那么 f ( x ) 就 叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义． 2．奇函数 一般地，对于函数 f ( x ) 的定义域的任意一个 x ，都有 f ( ? x ) = ? f ( x) ，那么 f ( x ) 就 叫做奇函数． 注意： ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任 意一个 x ，则 ? x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）． 3．具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称． （三）质疑答辩，排难解惑，发展思维． 例 1．判断下列函数是否是偶函数． （1） f ( x) = x 2 （2） f ( x) =x ∈ [?1, 2]x3 ? x 2 x ?1解：函数 f ( x) = x 2 , x ∈ [ ?1, 2] 不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称． 函数 f ( x) =x3 ? x 2 也不是偶函数，因为它的定义域为 { x | x ∈ R且x ≠ 1} ，并不关于 x ?1原点对称． 例 2．判断下列函数的奇偶性 （1） f ( x) = x 4 （2） f ( x) = x5 （3） f ( x ) = x +1 x（4） f ( x ) =1 x2解：（略） 小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定 f ( ? x)与f ( x)的关系 ； ③作出相应结论： 若 f ( ? x) = f ( x)或f ( ? x) ? f ( x) = 0, 则f ( x)是偶函数 ； 若 f ( ? x) = ? f ( x)或f ( ? x) + f ( x) = 0, 则f ( x)是奇函数 ． 例 3．判断下列函数的奇偶性：① f ( x ) = lg (4 + x ) + g (4 ? x )?1 2 ? 2 x + 1 ( x & 0) ? ② g ( x) = ? ?? 1 x 2 ? 1 ( x & 0) ? 2 ?分析：先验证函数定义域的对称性，再考察 f ( ? x)是否等于f ( x)或 ? f ( x) ． 解：（1） f ( x )的定义域是 x |4+x ＞0 且 4 ? x ＞ 0} = { x | ?4 ＜ x ＜ 4} ，它具有对称 性．因为 f ( ? x ) = lg (4 ? x ) + lg (4 + x ) = f ( x ) ，所以 f ( x ) 是偶函数，不是奇函数． （2）当 x ＞0 时，－ x ＜0，于是{1 1 g (? x) = ? (? x) 2 ? 1 = ?( x 2 + 1) = ? g ( x) 2 2 当 x ＜0 时，－ x ＞0，于是 1 1 1 g (? x) = (? x) 2 + 1 = x 2 + 1 = ?(? x 2 ? 1) = ? g ( x) 2 2 2综上可知，在 R ∪R+上， g ( x ) 是奇函数． 例 4．利用函数的奇偶性补全函数的图象． 教材 P41 思考题： 规律：偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据． 例 5．已知 f ( x ) 是奇函数，在（0，+∞）上是增函数． 证明： f ( x ) 在（－∞，0）上也是增函数． 证明：（略） 小结：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上 单调性一致． （四）巩固深化，反馈矫正． （1）课本 P42 练习 1．2 P46 B 组题的 1．2．3 （2）判断下列函数的奇偶性，并说明理由． ① f ( x ) = 0, x ∈ [ ?6, ?2] ∪ [2, 6] ; ② f ( x ) =| x ? 2 | + | x + 2 | ③ f ( x ) =| x ? 2 | ? | x + 2 | ④ f ( x ) = lg ( x 2 + 1 + x ) （五）归纳小结，整体认识．－本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象 法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单 调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点， 需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和 奇偶性这两个性质． （六）设置问题，留下悬念． 1．书面作业：课本 P46 习题 A 组 1．3．9．10 题 2．设 f ( x)在R上是奇函数,当x ＞0 时， f ( x ) = x (1 ? x) 试问：当 x ＜0 时， f ( x ) 的表达式是什么？ 解：当 x ＜0 时，－ x ＞0，所以 f ( ? x ) = ? x (1 + x ) ，又因为 f ( x ) 是奇函数，所以f ( x) = ? f (? x) = ?[? x(1 + x)] = x(1 + x) ．基本初等函数（ 第二章 基本初等函数（Ⅰ）一、课标要求： 教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和 图象的直观， 揭示这三种函数模型增长的差异及其关系， 体会建立和研究一个函数模型的基 本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题. 1. 了解指数函数模型的实际背景. 2. 理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 3. 理解指数函数的概念和意义，掌握 f(x)=ax 的符号、意义，能借助计算器或计算机 画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）. 4. 通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型. 5. 理解对数的概念及其运算性质， 了解对数换底公式及其简单应用， 能将一般对数转 化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用. 6. 通过具体函数， 直观了解对数函数模型所刻画的数量关系， 初步理解对数函数的概 念，掌握 f(x)=logax 符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计 算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）. 7. 知道指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数（a＞0, a≠1），初步了解反函 数的概念和 f- -1(x)的意义. 8. 通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数 y = x, y = x , y = x , y = x 2 的3 ?1 1图象，了解它们的变化情况 .二、编写意图与教学建议： 1. 教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养 学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望. 教学中要充分发挥课本的这些材料的 作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情景创设. 2. 在学习对数函数的图象和性质时， 教材将它与指数函数的有关内容做了比较， 让学 生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想. 建议教学中重视知识间的迁移与 互逆作用. 3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念，目的在于强化指数函数与对数函 数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展 . 4. 教材对幂函数的内容做了削减， 仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数， 并且安排 的顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担. 5. 通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学 习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能 .. 6. 教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研 读. 三、教学内容与课时安排的建议 本章教学时间约为 14 课时. 2.1 指数函数： 2.2 对数函数： 2.3 幂函数： 小结： 6 课时 6 课时 1 课时 1 课时§2.1.1 指数（第 1―2 课时） 指数（ 课时）一．教学目标： 教学目标： 1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念； （2）掌握分数指数幂和根式之间的互化； （3）掌握分数指数幂的运算性质； （4）培养学生观察分析、抽象等的能力. 2．过程与方法： 通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质. 3．情态与价值 （1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想； （2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯； （3）让学生体验数学的简洁美和统一美.二．重点、难点 重点、 1．教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解； （2）掌握并运用分数指数幂的运算性质； 2．教学难点：分数指数幂及根式概念的理解 三．学法与教具 1．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法 2．教具：多媒体 教学设想： 四、教学设想：第一课时一、复习提问： 什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？ 归纳：在初中的时候我们已经知道：若 x = a ，则 x 叫做 a 的平方根.同理，若 x = a ，2 3则 x 叫做 a 的立方根. 根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如 4 的平方 根为 ±2 ，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如D8 的立方根为D2；零的平方根、 立方根均为零. 二、新课讲解 类比平方根、立方根的概念，归纳出 n 次方根的概念. n 次方根：一般地，若 x = a ，则 x 叫做 a 的 n 次方根（throot），其中 n ＞1，且 nn∈Ｎ ,当 n 为偶数时，a 的 n 次方根中，正数用 n a 表示，如果是负数，用 ? n a 表示， n a＊叫做根式.n 为奇数时，a 的 n 次方根用符号 n a 表示，其中 n 称为根指数，a 为被开方数. 类比平方根、立方根，猜想：当 n 为偶数时，一个数的 n 次方根有多少个？当 n 为奇数 时呢？?n为奇数, a的n次方根有一个,为 n a ? a为正数:? ?n为偶数, a的n次方根有两个,为 ± n a ??n为奇数, a的n次方根只有一个,为 n a ? a为负数:? ?n为偶数, a的n次方根不存在. ?零的 n 次方根为零，记为 n 0 = 0 举例：16 的次方根为 ±2 ， ?27的5次方根为 5 ?27 等等，而 ?27 的 4 次方根不存在. 小结：一个数到底有没有 n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还 要分清 n 为奇数和偶数两种情况. 根据 n 次方根的意义，可得：( n a )n = a ( n a ) n = a 肯定成立， n a n 表示 an 的 n 次方根，等式 n a n = a 一定成立吗？如果不一定成立，那么 a 等于什么？ 让学生注意讨论，n 为奇偶数和 a 的符号，充分让学生分组讨论. 通过探究得到：n 为奇数， a = an nnnn 为偶数,n?a, a ≥ 0 a n =| a |= ? ?? a, a & 0如 3 ( ?3) =33?27 = ?3, 4 (?8) 4 =| ?8 |= 8n n小结：当 n 为偶数时， a 化简得到结果先取绝对值，再在绝对值算具体的值，这样 就避免出现错误： 例题：求下列各式的值 （1） (1)3(?8)3(2)n(?10)2(3)4(3 ? π ) 4(4)( a ? b) 2分析：当 n 为偶数时，应先写 a n =| a | ，然后再去绝对值. 思考： a n = ( n a ) n 是否成立，举例说明.n课堂练习：1. 求出下列各式的值(1) 7 (?2)7(2) 3 (3a ? 3)3 (a ≤ 1)(3) (3a ? 3)442．若 a 2 ? 2a + 1 = a ? 1, 求a的取值范围 . 3．计算 3 ( ?8) + 4 (3 ? 2) ? 3 (2 ? 3)3 4 3三．归纳小结： 1．根式的概念：若 n＞1 且 n ∈ N ，则 x是a的n次方根,n为奇数时,x= n a ,*n 为偶数时， x = ± n a ；2．掌握两个公式： n为奇数时,( n a ) , n为偶数时, a =| a |= ?n n n?a (a ≥ 0) ?? a (a & 0)3．作业：P69 习题 2.1A组 第1题第二课时提问： 1．习初中时的整数指数幂，运算性质？a n = a ? a ? a ??? a, a 0 = 1 (a ≠ 0) , 00 无意义a ?n =1 an(a ≠ 0)a m ? a n = a m + (a m ) n = a mn (a n ) m = a mn , (ab) n = a n b n什么叫实数？ 有理数，无理数统称实数. 2．观察以下式子，并总结出规律： a ＞0 ① ③5a10 = 5 (a 2 )5 = a 2 = a 5 a12 = 4 (a 3 )4 = a 3 = a 410②5a8 = (a 4 ) 2 = a 4 = a 2108124④ a= ( a 2 )5 = a 2 = a 5510小结： 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时， 根式可以写成分数作为指数的形式， （分数指数幂形式）. 根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：3a = a = (a & 0)22 3b = b = (b & 0)41 2c 5 = c 4 = (c & 0)n m5即： am= a n (a & 0, n ∈ N * , n & 1)m为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：a n = n a m (a & 0, m, n ∈ N * )正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同. 即： a? m n=1 am n(a & 0, m, n ∈ N * )规定：0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂无意义. 说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的 一种新的写法，而不是 a m = a m ? a m ??? a m ( a & 0) 由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂 的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： （1） a r ? a s = a r + s ( a & 0, r , s ∈ Q ) （2） (a r ) S = a rs ( a & 0, r , s ∈ Q ) （3） (a ? b) r = a r b r (Q & 0, b & 0, r ∈ Q ) 若 a ＞0，P 是一个无理数，则 P 该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课n 1 1 1本 P62――P62. 即： 2 的不足近似值，从由小于 2 的方向逼近 2 ， 2 的过剩近似值从大于 2 的 方向逼近 2 . 所以， 当 2 不足近似值从小于 2 的方向逼近时，52的近似值从小于 52的方向逼近5 2.当 2 的过剩似值从大于 2 的方向逼近 2 时， 52的近似值从大于 52的方向逼近5 2 ，(如课本图所示)所以， 52是一个确定的实数.一般来说，无理数指数幂 a p ( a & 0, p是一个无理数) 是一个确定的实数，有理数指数 幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过 剩近似值无限地逼近以确定大小. 思考： 2 的含义是什么？ 由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实 数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：3a r ? a s = a r + s (a & 0, r ∈ R, s ∈ R) (a r ) s = a rs (a & 0, r ∈ R, s ∈ R) (a ? b) r = a r b r (a & 0, r ∈ R)3．例题 （1）．（P60，例 2）求值 解：① 8 3 = (2 ) 3 = 23 2 2 3× 2 3= 22 = 41 2×( ? ) 2② 25?1 2= (52 )?1 2=5= 5 ?1 =1 5③ ( )1 2?5= (2?1 ) ?5 = 2?1×( ?5) = 3216 ? 3 2 4×( ? 3 ) 2 ?3 27 4 ④( ) = ( ) 4 = ( ) = 81 3 3 8（2）．（P60，例 3）用分数指数幂的形式表或下列各式（ a ＞0） 解： a . a = a ? a 2 = a3 3 1 3+ 1 2 7= a2a ? a ?a ?a = a2 3 2 22 32+2 3=a8 3a3a = a ? a = a = (a ) = a1 34 34 1 3 22 3分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算. 课堂练习：P63 练习 第 1，2，3，4 题 补充练习：1 (2 n +1 )2 ? ( ) 2 n +1 2 1. 计算： 的结果 n ?2 482. 若 a3 = 3,a10 = 384, 求a3 ? [(a10 1 n ?3 ) 7 ] 的值 a3小结： 1．分数指数是根式的另一种写法. 2．无理数指数幂表示一个确定的实数. 3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的. 作业：P69 习题 2.1 第 2 题第三课时一．教学目标 1．知识与技能： （1）掌握根式与分数指数幂互化； （2）能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简，求值. 2．过程与方法： 通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质. 3．情感、态度、价值观 （1）培养学生观察、分析问题的能力； （2）培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力. 重点、难点： 二．重点、难点 1．重点：运用有理指数幂性质进行化简，求值. 2．难点：有理指数幂性质的灵活应用. 学法与教具： 三．学法与教具： 1．学法：讲授法、讨论法. 2．教具：投影仪 教学设想： 四．教学设想 1．复习分数指数幂的概念与其性质 2．例题讲解 例 1．（P60，例 4）计算下列各式（式中字母都是正数） （1） (2a 3 b 2 )( ?6a 2 b 3 ) ÷ ( ?3a 6 b 6 )1 2 1 1 1 1 5（2） (m 4 n 8 )?3 8（先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析、提问、解答） 分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的. 整 数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后， 其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺 序. 我们看到（1）小题是单项式的乘除运算；（2）小题是乘方形式的运算，它们应让如何 计算呢？ 其实，第（1）小题是单项式的乘除法，可以用单项式的运算顺序进行. 第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算. 解：（1）原式= [2 × ( ?6) ÷ ( ?3)]a = 4ab =4 a1 8 02 1 1 + ? 3 2 6b1 1 5 + ? 2 3 6（2）原式= ( m 4 ) ( n 8 ) =m n2 ?3?3 8例 2．（P61 例 5）计算下列各式 （1） ( 3 25 ? 125) ÷ 4 25 （2）a2 a.3 a2(a ＞0）分析：在第（1）小题中，只含有根式，且不是同类根式，比较难计算，但把根式先化 为分数指数幂再计算，这样就简便多了，同样，第（2）小题也是先把根式转化为分数指数 幂后再由运算法则计算. 解：（1）原式= (25 ? 125 ) ÷ 25 = (5 ? 5 ) ÷ 5 = 52 1 ? 3 2 1 2 3 3 2 1 2 1 3 1 2 1 4?53 1 ? 2 2= 56 ? 5 = （2）原式=65 ?5a2 a2 ? a31 2=a1 2 2? ? 2 3= a 6 = 6 a55小结：运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也 不能既有分母，又含有负指数. 课堂练习： 化简：（1） ( 9) 3 ( 10 ) 2 ÷ 1003 25?292（2） 3 + 2 2 ? 3 ? 2 2 （3）a aa a归纳小结： 1． 熟练掌握有理指数幂的运算法则，化简的基础. 2．含有根式的式子化简，一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算. 作业：P65 习题 2.1 A组 第4题 B组 第2题指数函数及其性质（ 个课时） 2.1.2 指数函数及其性质（2 个课时）教学目标： 一. 教学目标： 1．知识与技能 ①通过实际问题了解指数函数的实际背景； ②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质. ③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2．情感、态度、价值观 ①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理. ②培养学生观察问题，分析问题的能力. 3．过程与方法 展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质. 二．重、难点 重点：指数函数的概念和性质及其应用. 难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用. 学法与教具： 三、学法与教具： ①学法：观察法、讲授法及讨论法. ②教具：多媒体.第一课时一．教学设想： 教学设想 1. 情境设置 ①在本章的开头， 问题 （1） 中时间 x 与 GDP 值中的 y = 1.073x ( x ∈ x ≤ 20)与问题(2)1 5 中时间t和C-14含量P的对应关系P=[( ) 30 ]t ，请问这两个函数有什么共同特征. 2②这两个函数有什么共同特征11 t 1 1 把P=[( )5730 ]变成P = [( ) 5730 ]t ，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量 2 2为指数，即都可以用 y = a x （ a ＞0 且 a ≠1 来表示）. 二．讲授新课 指数函数的定义 一般地，函数 y = a x （ a ＞0 且 a ≠1）叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义 域为 R. 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1） y = 2x+2（2） y = ( ?2) （5） y = x 2x（3） y = ?2x（4） y = π x （7） y = x x（6） y = 4 x 2 （ a ＞1，且 a ≠ 2 ）x（8） y = (a ? 1) x小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为 a ＞0， x 是任意一个实数时， a 是一个 确定的实数，所以函数的定义域为实数集 R.?当x & 0时,a x等于0 ? 若a = 0, ? x ?当x ≤ 0时,a 无意义 ?若 a ＜0，如 y = ( ?2) , 先时,对于x = , x =x1 61 等等,在实数范围内的函数值不存在. 8没有研究的意义， 只有满足 y = a x ( a & 0, 且a ≠ 1) 的 若 a =1, y = 1x = 1, 是一个常量，1形式才能称为指数函数， a为常数,象y=2-3 ,y=2 x , y = x , y = 3x xx +5, y = 3x + 1等等,不符合 y = a x ( a & 0且a ≠ 1)的形式,所以不是指数函数 .我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研 究. 下面我们通过 先来研究 a ＞1 的情况 用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数 y = 2 x 的图象x?3.00?2.50?2.00?1.50?1.000.000.501.001.502.00y = 2x1 ?81 41 21 y=2x24y0 x再研究，0＜ a ＜1 的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数 y = ( ) 的图象.x1 2x1 y = ( )x 2?2.50 ?2.00 ?1.50 ?1.00 0.00 1.00 1.50 2.00 2.501 4 1 2124?1? y =? ? ?2?xyx从图中我们看出 y = 2 与y = ( ) 的图象有什么关系?x x通过图象看出 y = 2 与y = ( ) 的图象关于y轴对称, 实质是 y = 2 x 上的 点(-x, y )x1 与y =( )x 上点(-x, y )关于y轴对称. 2 1 x x 讨论： y = 2 与y = ( ) 的图象关于 y 轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？ 2-0 -----x1 21 2?1? y =? ? ?5?② 利 用 电 脑 软 件 画 出 y=5 , y=3 ,y=( ) ,y =( )x x xx8y = 5x y = 3x1 31 5x的 函 数 图 象 .?1? y =? ? ?3?x6420-2 -4-6-8问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律. 从 图 上 看 y = ax （ a ＞ 1 ） 与 y = ax （ 0 ＜ a ＜ 1 ） 两 函 数 图 象 的 特 征 .8y = a (0 & a & 1)x6y = a x (a & 1)420-2 -4-6-8问题 2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、 奇偶性. 问题 3：指数函数 y = a x （ a ＞0 且 a ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关 系.图象特征函数性质a ＞1 0＜ a ＜1 向 x 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称函数图象都在 x 轴上方 函数图象都过定点（0，1） 自左向右， 图象逐渐上升 在第一象限内的图 象纵坐标都大于 1 自左向右， 图象逐渐下降 在第一象限内的图 象纵坐标都小于 1a ＞1非奇非偶函数0＜ a ＜1函数的定义域为 R 函数的值域为 R+a 0 =1增函数 减函数x ＞0， a x ＞1x ＞0， a x ＜1在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1在第二象限内的图 象纵坐标都大于 1x ＜0， a x ＜1x ＜0， a x ＞15．利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在 [ a, b]上, f (x)=a x （ a ＞0 且 a ≠1）值域是 [ f ( a ), f (b)]或[ f (b), f ( a )]; （2）若 x ≠ 0, 则f (x) ≠ 1; f (x)取遍所有正数当且仅当x ∈ R;x （3）对于指数函数 f ( x) = a （ a ＞0 且 a ≠1），总有 f (1) =（4）当 a ＞1 时，若 x1 ＜ x2 ，则 f ( x1 ) ＜ f ( x2 ) ； 例题： 例 1：（P66 例 6）已知指数函数 f ( x) = a x （ a ＞0 且 a ≠1）的图象过点（3，π）， 求f (0), f (1), f (?3)的值.分析：要求 f (0), f (1), f ( ?3)的值,只需求出a, 得出f(x)=(π 3 ) , 再把 0，1，3 分别x 1代入 x ，即可求得 f (0), f (1), f ( ?3). 提问：要求出指数函数，需要几个条件？ 课堂练习：P68 练习：第 1，2，3 题 补充练习：1、函数 f ( x ) = ( ) 的定义域和值域分别是多少?x1 22、当 x ∈ [ ?1,1]时, 函数f ( x ) = 3x ? 2的值域是多少? 解（1） x ∈ R, y & 0 （2）（－5 ，１） 3例 2：求下列函数的定义域： （1） y = 2 x ? 44（2） y = ( )2 3| x|分析：类为 y = a x ( a ≠ 1, a & 0) 的定义域是 R，所以，要使（1），（2）题的定义域， 保要使其指数部分有意义就得 . 3．归纳小结 作业：P69 习题 2.1 A 组第 5、6 题 1、理解指数函数 y = a x ( a & 0), 注意a & 1与0 & a & 1两种情况。 2、解题利用指数函数的图象，可有利于清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨论的数学思想 .第 2 课时教学过程： 1、复习指数函数的图象和性质 2、例题 例 1：（P66 例 7）比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.73 ( 2 ) 0.8?0.1与 0.8?0.2( 3 ) 1.70.3 与0.93.1解法 1：用数形结合的方法，如第（1）小题，用图形计算器或计算机画出 y = 1.7 x 的 图象，在图象上找出横坐标分别为 2.5, 3 的点，显然，图象上横坐标就为 3 的点在横坐标为8 642y = 1 .7 x5 10-10-50-2-4-6-82.5 的点的上方，所以1.7 2.5 & 1.73 .2.5解法 2：用计算器直接计算： 1.7 所以， 1.72.5≈ 3.771.73 ≈ 4.91& 1.73解法 3：由函数的单调性考虑 因为指数函数 y = 1.7 x 在 R 上是增函数，且 2.5＜3，所以， 1.72.5& 1.73仿照以上方法可以解决第（2）小题 . 注：在第（3）小题中，可以用解法 1，解法 2 解决，但解法 3 不适合 . 由于 1.70.3=0.93.1 不能直接看成某个函数的两个值， 因此， 在这两个数值间找到 1， 0.3 3. 1 把这两数值分别与 1 比较大小，进而比较 1.7 与 0.9 的大小 . 思考： 1、已知 a = 0.80.7 , b = 0.80.9 , c = 1.20.8 , 按大小顺序排列 a, b, c . 2. 比较 a 与a 的大小 （ a ＞0 且 a ≠0）. 指数函数不仅能比较与它有关的值的大小，在现实生活中，也有很多实际的应用. 例 2（P67 例 8）截止到 1999 年底，我们人口哟 13 亿，如果今后，能将人口年平均均 增长率控制在 1%，那么经过 20 年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？ 分析：可以先考试一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题： 1999 年底 人口约为 13 亿1 3 1 2经过 1 年 人口约为 13（1+1%）亿 经过 2 年 人口约为 13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)2 亿 经过 3 年 人口约为 13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3 亿 经过 x 年 人口约为 13(1+1%) x 亿 经过 20 年 人口约为 13(1+1%)20 亿 解：设今后人口年平均增长率为 1%，经过 x 年后，我国人口数为 y 亿，则y = 13(1 + 1%) x当 x =20 时， y = 13(1 + 1%)20≈ 16(亿)答：经过 20 年后，我国人口数最多为 16 亿. 小结：类似上面此题，设原值为 N，平均增长率为 P，则对于经过时间 x 后总量y = N (1 + p ) x , 像y = N (1 + p ) x 等形如y = ka x ( K ∈ R ， a ＞0 且 a ≠1）的函数称为指数型函数 . 思考：P68 探究： （1）如果人口年均增长率提高 1 个平分点，利用计算器分别计算 20 年后，33 年后的 我国人口数 . （2）如果年平均增长率保持在 2%，利用计算器
年，每隔 5 年相应的人口数 . （3）你看到我国人口数的增长呈现什么趋势？ （4）如何看待计划生育政策？ 3．课堂练习 （1）右图是指数函数① y = a x ② y = bx ③ y = cx8④ y = d x 的图象，判断y = bx y = cx6y = ax-10 -5y = dx42510-2-4-6a, b, c, d 与 1 的大小关系；（2）设 y1 = a ① y1 = y23 x +1, y2 = a ?2 x , 其中 a ＞0， a ≠1，确定 x 为何值时，有：② y1 ＞ y2（3）用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的3 ，写出存留污垢 y 与漂洗次数 x 的函数 4关系式，若要使存留的污垢，不超过原有的 1%，则少要漂洗几次（此题为人教社 B 版 101 页第 6 题）. 归纳小结： 本节课研究了指数函数性质的应用， 关键是要记住 a ＞1 或 0＜ a ＜时 y = ax的图象，在此基础上研究其性质 .本节课还涉及到指数型函数的应用，形如 y = ka （a＞0x且 a ≠1）. 作业：P69 A 组第 7 ，8 题P70 B 组第 1，4 题对数（第一课时） 对数（第一课时）一．教学目标： 教学目标： 1．知识技能： ①理解对数的概念，了解对数与指数的关系； ②理解和掌握对数的性质； ③掌握对数式与指数式的关系 . 2. 过程与方法： 通过与指数式的比较，引出对数定义与性质 . 3．情感、态度、价值观 （1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力. （2）通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质 . （3）在学习过程中培养学生探究的意识. （4）让学生理解平均之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力. 重点与难点： 二．重点与难点： （1）重点：对数式与指数式的互化及对数的性质 （2）难点：推导对数性质的 学法与教具： 三．学法与教具： （1）学法：讲授法、讨论法、类比分析与发现 （2）教具：投影仪 教学过程： 四．教学过程： 1．提出问题 思考： 72 思考题）y = 13 × 1.01x 中， （P 哪一年的人口数要达到 10 亿、 亿、 亿……， 20 30 该如何解决？ 即：18 20 30 = 1.01x , = 1.01x , = 1.01x , 在个式子中， x 分别等于多少？ 13 13 13象上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数（引 出对数的概念）. 1、对数的概念 一般地， a x = N ( a & 0, 且a ≠ 1) ， 若 那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数， 记作 x = log a Na 叫做对数的底数，N 叫做真数.举例：如： 4 = 16, 则2 = log 4 16 ，读作 2 是以 4 为底，16 的对数.24 2 = 2 ，则11 1 = log 4 2 ，读作 是以 4 为底 2 的对数. 2 2提问：你们还能找到那些对数的例子 2、对数式与指数式的互化 在对数的概念中，要注意： （1）底数的限制 a ＞0，且 a ≠1 （2） a = N ? log a N = xx指数式 ? 对数式 幂底数← a →对数底数 指 数← x →对数 幂 ←N→真数 说明：对数式 log a N 可看作一记号，表示底为 a （ a ＞0，且 a ≠1），幂为 N 的指数 工表示方程 a = N （ a ＞0，且 a ≠1）的解. 也可以看作一种运算，即已知底为 a （ a ＞0，x且 a ≠1）幂为 N，求幂指数的运算. 因此，对数式 log a N 又可看幂运算的逆运算. 例题： 例 1（P73 例 1） 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. （1）54=645 （4） log 1 16 = ?42（2） 21 1 m （3） ( ) = 5.73 64 3 （5） log10 0.01 = ?2 （6） log e 10 = 2.303?6=注：（5）、（6）写法不规范，等到讲到常用对数和自然对数后，再向学生说明. （让学生自己完成，教师巡视指导） 巩固练习：P74 练习 1、2 3．对数的性质： 提问：因为 a ＞0， a ≠1 时， a = N ? x = log ax N则 由１、 a 0=1 ２、 a 1= a ②负数和零有没有对数？ ③根据对数的定义， alog a N如何转化为对数式=？（以上三题由学生先独立思考，再个别提问解答） 由以上的问题得到 ① ∵ a 0 = 1, a1 = a ② （ a ＞0，且 a ≠1）∵ a ＞0，且 a ≠1 对任意的力， log10 N 常记为 lg N . 恒等式： alog a N=N4、两类对数 ① 以 10 为底的对数称为常用对数， log10 N 常记为 lg N .②以无理数 e=2.71828…为底的对数称为自然对数， log e N 常记为 ln N . 以后解题时， 在没有指出对数的底的情况下， 都是指常用对数， 100 的对数等于 2， 如 即 lg100 = 2 .说明：在例 1 中， log10 0.01应改为lg 0.01, log e 10应改为 ln10 . 例 2：求下列各式中 x 的值 （1） log 64 x = ?2 3? 2 3（2） log x 8 = 6（3） lg100 = x（4） ? ln e = x2分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出 x. 解：（1） x = (64)= (43 )1 6?2 3=412 3?( ? ) 3= 4?2 =1 1 31 16（2） x = 8, 所以( x ) 6 = (8) 6 = (2 ) 6 = 2 2 =62（3） 10 x = 100 = 10 2 , 于是x = 2 （4）由 ? ln e 2 = x, 得 ? x = ln e 2 , 即e-x = e 2 所以 x = ?2 课堂练习：P74 练习 3、4 补充练习：1. 将下列指数式与对数式互化，有 x 的求出 x 的值 . （1） 5? 1 2=x1 5（2） log4 2=x（3） 3 =x1 275（4） ( ) = 64 2．求 alog a b?logb c?log c N1 4（5） lg 0.0001 = x（6） ln e = x的值(a,b,c ∈ R + , 且不等于 1，N＞0）.log 3 1 53．计算 3log 3 5+ 3的值.4．归纳小结：对数的定义a b = N ? b = log a N (a ＞0 且 a ≠1）1 的对数是零，负数和零没有对数 对数的性质log a a = 1a log a N = Na ＞0 且 a ≠1作业：P86 P88习题2.2A组 B组1、2 1对数（第二课时） 对数（第二课时）一．教学目标： 教学目标： 1．知识与技能 ①通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简， 并掌握化简求值的技能. ②运用对数运算性质解决有关问题. ③培养学生分析、综合解决问题的能力. 培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2. 过程与方法 ①让学生经历并推理出对数的运算性质. ②让学生归纳整理本节所学的知识. 3. 情感、态度、和价值观 让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性. 教学重点、 二．教学重点、难点 重点：对数运算的性质与对数知识的应用 难点：正确使用对数的运算性质 三．学法和教学用具 学法：学生自主推理、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 教学用具：投影仪 四．教学过程 1．设置情境 复习：对数的定义及对数恒等式log a N = b ? a b = N指数的运算性质.（ a ＞0，且 a ≠1，N＞0），a m ? a n = a m+a m ÷ a n = a m?nm(a ) =m n mna =ann m2．讲授新课 探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的 关系以及指数运算性质， 得出相应的对数运算性质吗？如我们知道 a ? a = am n m+n， m+n 那如何表示，能用对数式运算吗？ 如： a m ? a n = a m + n ,设M = a m , N = a n。 于是 MN = a m + n , 由对数的定义得到M = a m ? m = log a M , N = a n ? n = log a N MN = a m + n ? m + n = log a MN ∴ log a M + log a N = log a MN (放出投影)即：同底对数相加，底数不变，真数相乘提问：你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗？ （让学生探究，讨论） 如果 a ＞0 且 a ≠1，M＞0，N＞0，那么： （1） log a MN = log a M + log a N （2） log aM = log a M ? log a N Nn（3） log a M = n log a M 证明： （1）令 M = a , N = am n(n ∈ R)M = a m ÷ a n = a m?n N M ∴ m ? n = log a N则：m 又由 M = a ,N = an∴ m = log a M , n = log a N即： log a M ? log a N = m ? n = log anM NN（3） n ≠ 0时, 令N = log a M , 则M = a nb = n log a M , 则M = a n ∴a n = an∴N = b M 即 log a = log a M ? log a N N 当 n =0 时，显然成立. ∴ log a M n = n log a M提问：1. 在上面的式子中，为什么要规定 a ＞0，且 a ≠1，M＞0，N＞0？ 2． 你能用自己的语言分别表述出以上三个等式吗？ 例题：1. 判断下列式子是否正确， a ＞0 且 a ≠1， x ＞0 且 a ≠1， x ＞0， x ＞ y ， 则有 （1） log a x ? log a y = log a ( x + y ) （3） log a （2） log a x ? log a y = log a ( x ? y ) （4） log a xy = log a x ? log a yN bbx = log a x ÷ log a y y（5） (log a x) = n log a xn（6） log a x = ? log a1 x（7） n log a x =1 log a x n例 2：用 log a x ， log a y ， log a z 表示出（1）（2）小题，并求出（3）、（4）小题的 值. （1） log axy z（2） log ax2 y38（3） log z (4 × 2 )7 5（4） lg 5 100分析：利用对数运算性质直接计算： （1） log a （2） log axy = log a xy ? log a z = log a x + log a y ? log a z z x2 y3z= log a x 2 y ? log a 3 z = log a x 2 + log a 1 1 log a y ? log a z 2 37 5y ? log a 3 z= 2 log a x +7 5（3） log 2 (4 × 2 ) = log 2 4 + log 2 2 = 14 + 5 = 19 （4） lg 5 100 = lg10 5 =22 5点评：此题关键是要记住对数运算性质的形式，要求学生不要记住公式. 让学生完成 P79 练习的第 1，2，3 题 提出问题： 你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？ a ＞0，且 a ≠1， c ＞0，且 e ≠1， b ＞0log a b =log c b log c a先让学生自己探究讨论，教师巡视，最后投影出证明过程. 设 M = log c a, N = log c b, 则a = c , b = cM N且 a M = c, 所以c = ( a M ) = a M = bN N11N即：N N log c b = log a b, 又因为 = M M log c a log c b = log a b log c a所以：小结：以上这个式子换底公式，换的底 C 只要满足 C＞0 且 C≠1 就行了，除此之外， 对 C 再也没有什么特定的要求.提问：你能用自己的话概括出换底公式吗？ 说明：我们使用的计算器中，“ log ”通常是常用对数. 因此，要使用计算器对数，一 定要先用换底公式转化为常用对数. 如：log 2 3 =lg 3 lg 23即计算 log 2 的值的按键顺序为：“ log ”→“3”→“÷”→“ log ”→“２” →“=” 再如：在前面要求我国人口达到 18 亿的年份，就是要计算x = log1.0118 13所以18 18 lg18 ? lg13 1.2553 ? 1.139 x = log1.01 = 13 = ≈ 13 lg1.01 lg1.01 0.043 lg= 32.8837 ≈ 33(年) 练习：P79 练习 4 让学生自己阅读思考 P77~P78 的例 5，例的题目，教师点拨. 3、归纳小结 （1）学习归纳本节 （2）你认为学习对数有什么意义？大家议论. 4、作业 （1）书面作业：Ｐ８６ 习题２.２ 第 3、4 题 P87 第 11、12 题 2、思考：（1）证明和应用对数运算性质时，应注意哪些问题？ （2） log 2 ( ?3)( ?5)等于 log 2 ( ?3) + log 2 ( ?5)吗?对数函数及其性质（第一、二课时） §2.2.2 对数函数及其性质（第一、二课时）一．教学目标 1．知识技能 ①对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律. ②掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题. 2．过程与方法 让学生通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质. 3．情感、态度与价值观 ①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力； ②培养学生严谨的科学态度. 二．学法与教学用具1．学法：通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质； 2．教学手段：多媒体计算机辅助教学． 三．教学重点、难点 1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质. 2、难点：底数 a 对图象的影响及对数函数性质的作用. 四．教学过程 1．设置情境 在 2．2．1 的例 6 中，考古学家利用 logP 估算出土文物或古遗址的年代，对于每一个 C14 含量 P，通过关系式，都有唯一确定的年代 t 与之对应．同理，对于每一个对数 式 y = log a 中的 x ， 任取一个正的实数值， y 均有唯一的值与之对应，所以 y = log a 关于xx x的函数． 2．探索新知 一般地，我们把函数 y = log a x （ a ＞0 且 a ≠1）叫做对数函数，其中 x 是自变量，函 数的定义域是（0，+∞）． 提问：（1）．在函数的定义中，为什么要限定 a ＞0 且 a ≠1． （2）．为什么对数函数 y = log a x （ a ＞0 且 a ≠1）的定义域是（0，+∞）．组织学 生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解. 答：①根据对数与指数式的关系，知 y = log a x 可化为 a = x ，由指数的概念，要使ya y = x 有意义，必须规定 a ＞0 且 a ≠1．②因为 y = log a x 可化为 x = a ，不管 y 取什么值，由指数函数的性质， a ＞0，所以y yx ∈ (0, +∞) ．例题 1：求下列函数的定义域 （1） y = log a x2（2） y = log a (4 ? x )2（ a ＞0 且 a ≠1）x2分析：由对数函数的定义知： x ＞0； 4 ? x ＞0，解出不等式就可求出定义域． 解：（1）因为 x ＞0，即 x ≠0，所以函数 y = log a 的定义域为 { x | x ≠ 0} .2（2）因为 4 ? x ＞0，即 x ＜4，所以函数 y = log a(4 ? x )的定义域为 { x | x ＜ 4} .x下面我们来研究函数的图象，并通过图象来研究函数的性质： 先完成 P81 表 2－3，并根据此表用描点法或用电脑画出函数 y = log 2 的图象, 再利用 电脑软件画出 y = log 0.5 的图象.xxy1 2－11 02 14 26 2.588 312 3.5816 4yy = log 0.5 x０xy = log 2 x注 意 到 ： y = log 1 x = ? log 2 x ， 若 点 ( x, y )在y = log 2 x 的 图 象 上 ， 则 点2( x, ? y )在y = log 1 x 的图象上. 由于 x, ? y ） （ x, ? y ） （ 与 关于 x 轴对称， 因此，y = log 1 x2 2的图象与 y = log 2 x 的图象关于 x 轴对称 . 所以，由此我们可以画出 y = log 1 x 的图象 .2先由学生自己画出 y = log 1 x 的图象，再由电脑软件画出 y = log 2 x 与 y = log 1 x 的图2 2象. 探究：选取底数 a ( a ＞0，且 a ≠1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的 对数函数的图象．观察图象，你能发现它们有哪些特征吗？ .作法：用多媒体再画出 y = log 4 x ， y = log 3 x ， y = log 1 x 和 y = log 1 x3 4y = log 3 x2y = log 4 x0-25y = log 1 x y = log 1 x4 3提问：通过函数的图象，你能说出底数与函数图象的关系吗？函数的图象有何特征， 性质又如何？ 先由学生讨论、交流，教师引导总结出函数的性质. (投影) 图象的特征 （1）图象都在 y 轴的右边 （2）函数图象都经过（1，0）点 （3）从左往右看，当 a ＞1 时，图象逐渐 上升，当 0＜ a ＜1 时，图象逐渐下降 . 函数的性质 （1）定义域是（0，+∞） （2）1 的对数是 0 （3）当 a ＞1 时， y = log a 是增函数，当x0＜ a ＜1 时， y = log a x 是减函数. （4）当 a ＞1 时x ＞1，则 log a x ＞0（4）当 a ＞1 时，函数图象在（1，0）点 右边的纵坐标都大于 0，在（1，0）点左 边的纵坐标都小于 0. 当 0＜ a ＜1 时，图 象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标 都小于 0，在（1，0）点左边的纵坐标都