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泰勒公式及其在解题中的应用
本科生毕业设计（论文）（ 2014 届）设计（论文）题目 作 分 专 论 业 文 者 院 班 级 字 数泰勒公式及其在解题中应用 周立泉 理工分院用 数 学 1001 班 徐华（讲师） 数学与应用数学）指导教师（职称） 年 4 月 3 日论文完成时间杭州师范大学钱江学院教学部制泰勒公式及其在解题中应用数学与应用数学 1001 班 周立泉 指导教师 徐华摘要： 泰勒公式是数学分析中的一个重要公式， 它的基础思想是运用多项式来逼近一个已知函数， 而该多项式的系数由给定的函数的各阶导数决定．本文主要归纳了其在证明不等式、等式，求极限， 求近似值等各方面的应用． 关键词：泰勒公式;数学分析 ;导数Taylor Formula and Its Application in Solving ProblemMathematics and Applied Mathematics class 1001 ZhouLiQuan Instructor: XuHuaAbstract：Taylor's formula is an important equation of mathematical analysis, it is the basic idea is to use polynomial approximation to a known function, and the polynomial coefficients given by the derivatives of the function determined. This paper describes the method to prove the Taylor formula,summarized in inequalities, find the limit,the approximate value and the other applications. Keyword:Taylor'M derivative.目录1 引言 .................................................................... 1 2 泰勒公式 ................................................................ 1 3 泰勒公式在解题中的应用 .................................................. 2 3.1 利用泰勒公式求近似值 .................................................. 2 3.2 利用泰勒公式求极限 .................................................... 4 3.3 泰勒公式在判断级数和广义积分敛散性的应用 .............................. 7 3.3.1 判断级数的敛散性 ................................................ 7 3.3.2 判断广义积分的敛散性 ............................................ 9 3.4 利用泰勒公式证明等式与不等式 ......................................... 10 4 结论及展望 ............................................................. 10 参考文献 ................................................................ 11 致谢 .................................................................... 12泰勒公式及其在解题中应用数学与应用数学 1001 班周立泉 指导教师徐华1 引言泰勒公式在数值微积分中起着非常重要的作用，泰勒公式“化繁为简”的功能在数学研究方面 也发挥了极大的作用．关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某 些具体的题目作出了具体的解法，如证明不等式、求极限、判断函数凹凸性和敛散性、判别函数的 极值、判断函数凹凸性及拐点、求渐近线、界的估计和近似值的计算等等．事实上，由于许多函数 都能用泰勒公式来表示，并且研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题又要借助于泰勒公式．因 此泰勒公式在数学实际应用中也是一种非常重要的应用工具，我们必须掌握它，以便更好更方便的 研究一些复杂的函数、解决更多实际的数学问题． 虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但同样也还有很多方面学者很少提及，因此在泰勒公 式及其在解题中的应用方面我们有研究的必要，并且有着相当大的空间．2 泰勒公式泰勒公式按不同的余项可以分为两类,一类是定性的,一类是定量的,它们的本质相同，但性质 各异．定性的余项为佩亚诺余项 o(( x ? x0 ) ) ，仅表示余项是 ( x ? x0 ) ，即当 ( x ? x0 ) 时高阶的无n n穷小． 定量的余项是拉格朗日型余项f ( n ?1) (? ) ， ( x ? x0 ) n ?1（ ? 也可以写成 x0 ? ? ( x ? x0 ) 0 ? ? ? 1 ） (n ? 1)!定量的余项一般用于对逼近误差进行具体的计算或者估计． 定理 1(泰勒定理)： 设 f ( x) 在 x0 处有 n 阶导数， 则存在 x0 的一个领域， 对于领域中的任一点 x ， 成立f '' ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 2 f ( x) ? f ( x0 ) ? f ( x0 )( x ? x0 ) ? ( x ? x0 ) ? ?? ? ( x ? x0 ) n ? rn ( x) （1） 2! n! ( n ?1) f (? ) ( x ? x0 ) ( n ?1) ， ? 在 x 与 x0 之间． 其中余项 rn ( x ) 满足 rn ( x) ? (n ? 1)!'上述公式（1）称为 f ( x) 在 x ? x0 处的带拉格朗日型余项的泰勒公式．余项rn ( x) ?f ( n ?1) (? ) ( x ? x0 ) n ?1 （ ? 在 x 与 x0 之间） (n ? 1)!1称为拉格朗日余项． 若不需要余项的精确表达式时，余项 rn ( x ) 也可也成 rn ( x) ? o(( x ? x0 ) ) ．此时，上述公式（1）n则称为 f ( x) 在 x ? x0 处的带有佩亚诺余项的泰勒公式． 它的前 n ? 1 项组成的多项式：pn ( x) ? f ( x0 ) ? f ' ( x0 )( x ? x0 ) ?f '' ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) ( x ? x0 ) 2 ? ?? ? ( x ? x0 ) n 2! n!称为 f ( x) 的在 x ? x0 处的 n 次泰勒多项式．当 x0 ? 0 时，上式记为f ( x) ? f (0) ? f ' (0) x ?f '' (0) 2 f ''' (0) 3 f ( n ) (0) n x ? x ? ?? ? x 2! 3! n!该式称为麦克劳林公式，是泰勒公式的特殊形式 带拉格朗日余项的泰勒公式对函数 f ( x) 的展开要求比较高，形式也相对复杂，但因为（2）对?x ?U ( x0 ) 均能成立（当 x 不同时，? 的取值可能不同） ，因此这反映出函数 f ( x) 在邻域 U ( x0 ) 内的全局性． 带佩亚诺余项的泰勒公式对函数 f ? x ? 的展开要求较低，它只要求 f ? x ? 在点 x0 处 n 阶可导，展 开形式也较为简单． （1）式说明当 x ? x0 时用右端的泰勒多项式 p n ( x ) 代替 f ( x) 所产生的误差是( x ? x0 ) n 的高阶无穷小，这反映了函数 f ( x) 在 x ? x0 时的性态，或者说反映了 f ( x) 在点 x0 处的局部性态．3 泰勒公式在解题中的应用泰勒公式也被称为泰勒中值定理，是高等数学课程中的一个重要内容，不仅在理论分析方面有 重要作用，其应用也非常广泛．但在高等数学课程中没有深入广泛地展开讨论，本文通过几个例子 也仅仅说明其中的几个方面的应用，还有很多其他方面的应用，以及二元函数的泰勒公式及其应用 等许多内容可以展开进一步的讨论，从而对泰勒公式有一个全面的认识与了解． 3.1 利用泰勒公式求近似值 由于泰勒公式是利用增量法原理进行推导而来，因而在很多近似问题中也有广泛应用．在现今 社会，由于计算机和通讯技术的发展，利用计算机进行近似计算已经成为科学研究和工程计算中的 一个重要环节．泰勒公式是一个多项式拟合问题，而多项式是一个简单函数，它的研究对我们来说 是轻松而又方便的．但必须注意的是泰勒公式是一种局部性质，因此在用它进行近似计算时， x 不 能远离 x0 ，否则效果会比较差． 利用泰勒公式可以对函数近似计算式和一些数值的近似计算,利用 f ( x) 麦克劳林展开得到函数 的近似计算式为f ( x) ? f (0) ? f ' (0) x ?f '' (0) 2 f ( n ) (0) n x ? ?? ? x 2! n!2例 1 求 e 的近似值 分析 因为 e 介于 2 和 3 之间，是个无限不循环的数，所以直接得到确定的值比较困难，在这 里我们可以利用泰勒公式导出的近似计算式进行近似得到 e 的值． 解 首先令 f ? x ? ? e ，则xf ' ( x) ? f '' ( x) ? ?? ? f n ( x) ? e x把 x ? 0 带入，得f (0) ? f ' (0) ? ?? ? f ( n ) (0) ? 1于是得到 e x 的近似式ex ? 1? x ?上式中令 x ? 1 ，有x2 xn ? ?? ? 2! n!e ? 1?1?由此可以求出 e 的近似值． 例2 求11 1 1 ? ? ?? ? 2! 3! n!?0e ? x dx 的近似值，精确到 10 ?52分析 因为?e01? x2，我们可以考虑利用泰 dx 中的被积函数是不可积的（即不能用初等函数表达）勒公式和逐项积分的方法求 解?e01? x2dx 的近似值．在 e x 的展开式中用 ? x 代替 x 得2e逐项积分，得? x22n x4 n x ? 1 ? x ? ? ?? ? (?1) ?? 2! n! 2?10e ? x dx ? ? 1dx ? ? x 2 dx ? ?21110002n x4 n 1x dx ? ?? ? ?? 1? ? dx ? ? 0 n! 2!1 1 1 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? (?1) n ? ?? 3 2! 5 n! 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? ? ? ? ? ?? 3 10 42 216 600上述式子右端是一个收敛的交错级数，由其余项 Rn 的估计式知R7 ?所以1 ? 0.00?e01? x21 1 1 1 1 1 dx ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 0. 10 42 216 我们不妨再看一例，3sin x dx 的近似值 0 x sin x 分析 因为 不是初等函数，所以不能直接用牛顿――莱布尼兹公式求值，我们考虑利用泰 x例 3 计算积分?1勒公式求其近似值． 解 由泰勒公式可得x3 x5 sin x ? x ? ? ? 3! 5!所以sin(?x ? 7 ? ) 2 x7 7!?sin(?x ? 7 ? ) sin x x x 2 x6 ? 1? ? ? x 3! 5! 7!2 4?因此sin(?x ? 7 ? ) 1 sin x x2 x4 2 x 6 )dx dx ? ( 1 ? ? ? ?0 x ?0 3! 5! 7! ? ? ? sin(?x ? 7 ? ) ? ? x3 x5 2 x7 1 ? ?x ? ? ? ?0 3 ! ? 3 5 ! ? 5 7 ! ? 7 ? ? ? ?1?s i n?( x ? 7? ) 1 1 2 ? 1? ? ? 3!?3 5!?5 7!?7由此得到??3.2 利用泰勒公式求极限10sin x 1 1 dx ? 1 ? ? ? 0.9461 x 3!?3 5!?5对于一般待定型的极限问题，我们采用洛必达法则来求．但是对于一些求导比较繁琐，或是要 多次使用洛必达法则的情况，运用泰勒公式往往比洛必达法则更为有效．对于函数多项式或有理分 式的极限问题的计算是十分简单的, 因此, 对于一些较复杂的函数可以考虑根据泰勒公式将原来较 复杂的函数极限问题转化为类似多项式或者有理分式的极限问题, 因此满足下列情况时可以考虑用 泰勒公式来求极限: （1） 运用洛比达法则时, 次数较多, 且求导及化简过程较繁锁． （2） 分子或分母中有无穷小的差, 且此差不易转化为等价无穷小的替代形式． （3 ）所遇到的函数展开为泰勒公式不难．当确定要运用泰勒公式求极限时, 关键是要确定展开的 阶数．如果分母( 或分子) 是 n 阶, 就将分子( 或分母) 展开为 n 阶麦克劳林公式．若分子, 分母 都需要展开, 可分别展开到其同阶无穷小的阶数,即合并后的首个非零项的幂次的次数． 例4 求 limx2 2x ?0cos x ? e x4?4分析 这是一个0 待定型的极限问题，如果用洛必达法则，则分子分母都需求导4次．但若用泰 0? x2 2勒公式计算就简单得多了． 解limcos x ? e x ?0 x4? x2 x4 ? ? x2 1 x2 4 ? 1 ? ? ? o ( x ) ? 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? o( x 4 ) ? ? 2! 4! ? ? 2 2! 2 ? ? ? ? lim ? 4 x ?0 x1 4 x ? o( x 4 ) ? lim 12 4 x ?0 x 1 ?? 12 ?例5 求 lim ? x ? x ln( x ? )? 的极限 x ?? x2? ?1 ? ?分析 当 x ? ? 时，此函数是 ? ? ? 型未定式，虽然可以通过变换把它转换成0 型，再用洛必 0达法则求解，但计算量较大，现在我们先用泰勒公式将 ln(1 ? ) 展开，再求其极限． 解 ln(1 ? ) ? 故1 x1 x1 1 1 2 1 ? ( ) ? o(( ) 2 ) x 2 x x1 ? ? lim ? x ? x 2 ln( x ? )? x ?? x ? ?1 1 1 ? ? ? lim ? x ? x 2 ( ? 2 ? o( 2 )) ? x ?? x 2x x ? ??1 2在高等数学的学习中利用等价无穷小替换来求解极限问题一直是我们学习的难点，即使在学习 了教材后仍然对等价无穷小替换求解极限的运用不够灵活甚至比较吃力，常常犯错． 究其原因主要 有两个: 一是平时不够努力，对于常见的等价无穷小没有准确记忆并且对于此类问题缺少练习; 二 是对于等价无穷小替换的实质还没有透彻的理解，表现在对一些等价无穷小替换的法则只知其然而 不知其所以然． 如做练习时有这样的题目:x ? sin x 3x 分析 由于 x ? 0 ，根据无穷小量替换得到， sin x ? x ，则 x ? sin x x?x lim ? lim ?0 x ?0 x ? 0 3x 3x例6 limx ?05从解答过程中我们可以看到，我们在解这道题时不管条件是否满足而生搬硬套地使用了等价无 穷小的替换法则，反映出我们对于无穷小的替换原则并未达到本质的理解，解决问题也缺乏灵活 性．下面我们利用泰勒公式来重新理解无穷小替换的法则和原理（假设所有极限问题涉及的自变量 过程变化都趋向于零） ． 性质一： ? ~ ? ? ? ? ? ? o(? ) 首先来理解 ? ~ ? ? ? ? ? ? o(? ) ， 在最初的学习过程中我们容易产生两个误区: 其一， 在学 习时容易被左边形式迷惑，潜意识里往往误认为 ? ， ? 都是单独不相关的一项；其二，对于右边的 式子中 o?? ? 我们会觉得比较抽象难以理解．根据这些容易产生的理解上的偏差，我们可以结合泰勒 公式来形象直观地理解．以正弦函数的泰勒公式为例:1 3 1 5 1 7 x ? x ? x ?? 3! 5! 7! 1 3 1 3 1 5 如果 ? 取 ? sin x ，那么 ? 可以取 x ，也可以取 x ? x ，甚至 x ? x ? x 也行，相应的 o(? ) 分 3! 3! 5! sin x ? x ?别为：?1 3 1 5 1 7 1 1 1 x ? x ? x ? ?, x5 ? x 7 ? ?, ? x 7 ? ? ， 3! 5! 7! 5! 7! 7!这样我们可以知道 o(? ) 并不是抽象的符号，它代表的是具体的表达式，而且该表达式可以很复杂， 比如可以由多个式子组成; 另一方面，由于这些式子中的每一项都是幂函数，我们能非常直观地看 出它们分别是 o( x ), o( x ), o( x ) ，那是2 4 6o( x 2 ), o( x ?1 3 1 1 x ), o( x ? x 3 ? x 5 ) 3! 3! 5!接着讨论 ? ~ ? ? ? ? ? ? o(? ) ，本质上它是等价无穷小的又一个性质――和差取大原则：? ? o(? ) ? ? ? ? ? ? ，取 ? ? x, ? ? ?? ? o(? ), ? ? ? ? x ?1 3 1 5 1 7 x ? x ? x ? ?, 则 3! 5! 7!1 3 1 5 1 7 可理解成： 正弦函数由 ? 与 ? 两部分组成， x ? x ? x ? ? ? sin x ， 3! 5! 7!其中 ? 是函数的主部项，它对函数的大小和变换趋势起主要作用， ? 是函数的次要项或者剩余项， 由 ? ? o?? ? 可知，? 实质上是相对于主部项 ? 的小扰动项，对整个函数的数值及变化趋势起次要的 作用．具体到求极限的问题中就是极限问题的结果取决于分子分母中多项式的最低次项． 性质二（和差代替规则） ：若 ? ~ ? , ? ~ ? ，并且 ? , ? 不等价，则 ? ? ? ~ ? ? ? ，并且' ' ' 'lim故对于例4， 由于 sin x ? x ?? ?? ?' ??' ? lim ? ?'1 3 1 3 1 3 x ?? ， 从而 x ? sin x ? x ? ? , 此时 x ? sin x ~ x ? ? , 所 3! 6 661 3 x x ? sin x 6 以 lim ? lim ?0 x ?0 x ?0 3 x 3x对于表面上差异较小的问题但运用等价无穷小替换法则大相径庭，而这样的问题往往能够用泰 勒公式统一解决． 说明在求极限问题的解题思路中泰勒公式比等价无穷小替换法则更普遍、 更一般， 在解决问题时往往倾向接受和使用那些放之四海而皆准的思路和方法，因此利用泰勒公式来理解等 价无穷小替换的实质也就更容易被大家理解和掌握． 3.3泰勒公式在判断级数和广义积分敛散性的应用 3.3.1判断级数的敛散性 在级数敛散性的理论中，要判定一个正项级数? ??an ?1?n是否收敛，我们通常找一个较简单的级数? bn ? ?n ?1?1 ( p ? 0) ，再用比较判定法来判定．在实际应用中较困难的问题是如何选取恰当的 p n ?1 n?nn ?11p( p ? 0) 中的 p 值，例如?（1）当 p ? 2 ，此时?nn ?1 ?12收敛，但 limn ??an ? ?? ． 1 n2（2）当 p ? 1 ，此时? n 发散，但 limn ?11n??an ?0． 1 n这里我们无法判定?an ?1?n的敛散性，为了有效地选取?nn ?1?1p中的 p 值，可以应用泰勒公式研究通项an ? 0 (n ? ??) 的阶，据此选择恰当的 p 值使 limn ? ??an ? l ，并且保证 0 ? l ? ?? ，再由比较判 1 np定法（极限形式）就可以判定1?an ?1?n的敛散性．下面我们来举例说明：例7 判定级数 解 因a ? ex? (a n ? an ?1???1 n? 2) ?a ? 0 ? 的敛散性．x ln x? 1 ? x ln a ?1 1 2 1 ln a ? o( 2 ) ， 2 2n n1 n故1 1 1 2 1 a ? 1 ? ln a ? ln a ? o( 2 ) 2 n 2! n n7a1 ? 1 n?1 n1 1 1 2 1 ? 1 ? ln a ? ln a ? o( 2 ) 2 n 2! n n因此 an ? (a n ? a 从而有 lim? 2) ?1 2 1 ln a ? o( 2 ) 2 n nn ??1 an 1 ， an ? 0 是关于 ( ) 的 2 阶． ，即 ? 1 ln 2 a n n2? 1 n? (a n ? an ?1??1? 2) 与 ?1 同收敛 2 n ?1 n??评注：当级数的通项表达式是由不同类型的函数式构成的繁难形式时，往往利用泰勒公式将级 数通项简化成统一形式，以便于利用判敛准则． 例8 讨论级数?(n ?1?1 n ?1 ? ln ) 的敛散性 n n1 n ?1 1 ? ln(1 ? ) 这个式子中，若将其泰勒展开为 的 n n n分析 直接根据通项去判断该项级数是正项级数还是非正项级数是比较困难的， 因而也就无法恰 当地选择判敛方法．在上式中我们注意到，ln 幂的形式，开二次方后恰与1 相呼应，会使判敛更容易进行． n解 ? lnn ?1 1 ? ln(1 ? ) n n 1 1 1 1 ? ? 2 ? 3 ? 4 ?? n 2n 3n 4n 1 ? nn ?1 1 ? n n 1 n ?1 ? ln ?0 n n? ln? un ?故该级数是正项级数． 又? lnn ?1 1 1 1 1 ? ? 2 ? 3 ? o( 3 ) n n 2n 3n n?1 1 1 1 1 1 1 ? 2? 3 ? ( ? 3 2 )2 ? ? 32 n n 4n n 2n n 2n1 n ?1 1 1 1 1 ? ln ? ?( ? 32)? 32 n 2n n n n 2n8? un ???1 收敛，由正项级数比较判别法知原级数收敛． 32 n ?1 2 n? n ? n ?1?? ( n ? 1) 的敛散性 分析 对于级数 ? ( n ? 1) ，运用比较法，柯西判别法，魏尔斯特拉斯判别法难以直接判断其敛例 9 判断级数n散性．因此我们可以考虑先把 n n 进行泰勒展开，再运用上述方法进行判别．1n ?1解 由泰勒公式有 n n ? e nln n1 1 ? 1 ? ln n ? o( 2 ln 2 n) n n1 2 ln n ? ? 2 1 1 1 1 ? 0( n ? ? ) 所以 n n ? 1 ? ln n ? o( 2 ln 2 n) ，而 ? ln n ? ? 发散，又 n 3 n n n ?1 n n ?1 n 2 n所以?nn ?1?12ln 2 n 收敛，故 ? ( n n ? 1) 发散．n ?1?3.3.2 判断广义积分的敛散性 在定积分中，我们总是假定积分区间是有限的，而被积函数（如果可积的话）一定是有界的．但 在理论上或实际应用中都有需要去掉这两个限制，把定积分的概念广为 （i）无限区间上的积分； （ii）无界函数的积分； 在判定广义积分?????af ( x) dx 的敛散性时，通常选取广义积分 ?a1 dx( p ? 0) 进行比较，在此通 xp常研究无穷小量 f ( x) ( x ? ??) 的阶来有效地选择 到：如果???a（注意 f ( x) dx 中的 p 值，从而判定敛散性．???af ( x) dx 收敛，则 ?1 0??a） f ( x)dx 收敛．例 10 判断广义积分 分析 我们可以知道? sin x ? x dx 的敛散性1x sin x? sin x ? x dx 是属于无界函数广义积分，在 (0,1) 上运用定积分的知识很判断0x sin x出该积分是否收敛，那么我们可以考虑是否可以运用泰勒公式将 sin x 展开，然后再进行计算． 解 ? f ?x ? ?x sin x ? 0 ， x ? ?0,1? ，即被积函数在积分区间上不变号． sin x ? x1 ? ? ? 1 ? x ? x ? x 3 ? o( x 4 )? x 2 ?1 ? x 2 ? o( x 3 )? x sin x 3! ? ? ? 6 ? ? ? 1 1 sin x ? x ? ? x 3 ? o( x 4 ) x ? ? x ? x 3 ? o( x 4 ) ? 6 3 ! ? ?1 1 ? x 2 ? o( x 3 ) ? 1 ?6 6 ? ? ?1 ? x 2 ? o( x 3 )? ?1 ? o( x)? 1 ? 6 ?x x ? o( x 2 ) 696 ? o( x ) x 16 x sin x 6 故有 lim ( 又由于广义积分 ? dx 发散， 因此用比式判别法知原广义积分收敛． ) ?1， 0 x ?0 x ? sin x x x ?例 11 研究广义积分???4( x ? 3 ? x ? 3 ? 2 x )dx 的敛散性分析 我们可以初步判断???4( x ? 3 ? x ? 3 ? 2 x )dx 属于无限区间上的积分，在区间 (4,??)不易运用定积分的知识进行判断该积分是否收敛．那么同样我们可以考虑运用泰勒公式将其展开再进 行讨论． 解 我们已经学过 ?1 ? x ? 的泰勒展开式为 (1 ? x) n ? 1 ? ?x ??? (? ? 1)2!x 2 ? o( x 2 ), 则f ( x) ?x?3 ? x?3 ?2 x1 13 3 ? x (1 ? ) 2 ? (1 ? ) 2 ? 2 x x3 1 9 1 1 3 1 9 1 1 ? x (1 ? ? ? ? 2 ) ? o( 2 ) ? (1 ? ? ? ? 2 ? o( 2 ) ? 2) 2 x 8 x x 2 x 8 x x9 1 1 ? ? ? 3 2 ? o( 3 2 ) 4 x x因此 lim?? 1 ?? f ( x) 9 3 1 ? ，即 f ( x ) ? 0 是 ( x ? ??) 的 阶，而 ? dx 收敛，故 ? f ( x) dx 收 3 2 4 4 1 2 4 x x 32 xx ? ??敛，从而???4( x ? 3 ? x ? 3 ? 2 x )dx 收敛．3.4 利用泰勒公式证明等式与不等式 关于在不等式的证明方面，我们已经知道有很多种方法，比如利用函数的凸性来证明不等式， 利用拉格朗日中值定理来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不 等式的方法，同样泰勒公式也是不等式证明的一个重要方法． 如果函数 f ( x) 存在二阶及二阶以上的导数并且有界，那么利用泰勒公式去证明这些不等式，一 般的证明思路为： (1)写出比最高阶导数低一阶的函数的泰勒展开式； (2)恰当地选择等式两边的 x 与 x 0 ；4结论及展望泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，也是研究数学各个领域的不可或缺的工具．本文章是 在大量查阅有关泰勒公式的资料的基础上作出的初步整理， 这篇文章主要对泰勒公式在近似值计算、10求极限、判断级数和广义积分的敛散性以及证明等式与不等式等方面做了简单系统的介绍和分析， 从而体现了泰勒公式在微分学应用中的重要的地位，通过以上几个方面的探讨，充分利用其解题技 巧在解题时可以起到事半功倍的效果． 值得一提的是，虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但同样也还有很多方面很少被提及， 需要不断地探索．本文通过几个例子也仅仅说明其中的几方面的应用，还有很多其他方面的应用， 以及二元函数的泰勒公式及其应用等很多内容可以展开进一步的总结讨论，从而对泰勒公式有一个 全面的认识与了解．而泰勒公式在数学实际应用中又是一种非常重要的应用工具，只有掌握了这些 知识，并且在此基础上加强训练、不断地进行总结，才能熟练的应用它，灵活的从不同角度找出解 题的途径，探索新的解题方法，以便更好更方便的研究一些复杂的函数，解决更多实际的数学问题．参考文献 [1]胡格吉乐吐.对泰勒公式的理解及泰勒公式的应用[J].内蒙古科技与经济，． [2]刘鹏.浅谈泰勒公式及其应用.科技信息[J],1-522. [3]齐成辉.泰勒公式的应用.陕西师范大学学报，):24-25. [4]费德霖.泰勒公式的应用及技巧.皖西学院学报，):84-86. [5]潘劲松.泰勒公式的证明及应用.廊坊师范学院学报,):16-21. [6]董斌斌.泰勒公式及其在解题中的应用.科技信息,3. [7]冯平、 石永廷.泰勒公式在求解高等数学问题中的应用.新疆职业大学学报,):64-66. [8]陈妙琴.泰勒公式在证明不等式中的应用.宁德师专学报(自然科学报),):155-156. [9]刘萍、王文锦.谈泰勒公式在微分有关证明题中的应用.科技信息,5. [10]http://www.ce.udel.edu/faculty/kaliakin/appendix_Taylor.pdf [11]http://www.math.wisc.edu/~robbin/221dir/taylor.pdf [12]http://www.ask.com/wiki/Taylor_series [13]http://www.ask.com/wiki/Taylor's_theore11致谢四年的大学生活即将在这个季节画上一个句号，而于我的人生只是一个逗号，我将面对又一次征 程的开始．时光匆匆如流水，转眼便是大学毕业时节，离校的日期已日趋临近，毕业论文的完成也随 之进入尾声．在本文即将完成之时，谨此向我的导师徐华讲师致以衷心的感谢和崇高的敬意．本文的 顺利完成离不开徐华老师的悉心指导，老师以她敏锐的洞察力，渊博的知识，严谨的治学态度，精益 求精的工作作风给我留下了深刻的印象，使我获益匪浅．我还要真诚地感谢我的室友张天闻同学，他 不仅在学术上给我指引，而且在生活中也给予我帮助，从他身上我学到了很多．我还要感谢我的母校 杭州师范大学钱江学院，这里严谨的学风，优美的校园环境使我的大学四年过得很充实也很愉快．最 后我要感谢我的父母，当自己怀着忐忑的心情完成这篇论文的时候，自己也从当年一个刚走进大城市 的懵懂少年变成了一个成熟的青年．十几年的求学之路，虽然只是一个本科毕业，但也实属不易．首 先，从小学到大学的生活费及学费就不是个小数目，这当然要感谢我的爸爸妈妈，他们都是农民，没 有他们的勤勤恳恳和细心安排，没有他们的支持和鼓励，我是无论如何也完成不了我的大学生活． 书到用时方恨少，在这篇论文的写作过程中，我深感自己的水平还非常的欠缺．生命不息，学 习不止，人生就是一个不断学习和完善的过程，敢问路在何方？路在脚下！12
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