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高二数学(条件概率和事件的相互独立性)
2.2.1条件概率 条件概率问题探究1、三张奖券中只有一张能中奖，现 三张奖券中只有一张能中奖， 三张奖券中只有一张能中奖 分别由三名同学无放回地抽取， 分别由三名同学无放回地抽取，问最 后一名同学抽到中奖奖券的概率是否 比其它同学小? 比其它同学小? 2、如果已经知道第一名同学没有抽 、 到中奖奖券， 到中奖奖券，那么最后一名同学抽到 中奖奖券的概率又是多少? 中奖奖券的概率又是多少问题探究记“第一个同学没有抽到中奖奖券” 第一个同学没有抽到中奖奖券” 为事件A 第三个同学抽到中奖奖券” 为事件A，“第三个同学抽到中奖奖券” 为事件B P(B|A)表示当事件 发生时， 表示当事件A 为事件B，用P(B|A)表示当事件A发生时， 事件B发生的概率，那么P(B|A) P(B)分 P(B|A)， 事件B发生的概率，那么P(B|A)，P(B)分 别等于多少？ 别等于多少？1 P(B|A)＝ P(B|A)＝ 21 P(B)＝ P(B)＝ 3问题探究在事件A发生的条件下事件B发生， 在事件A发生的条件下事件B发生， 等价于事件A 同时发生， 等价于事件A和B同时发生，即交事件 AB发生 发生. (A)和 (AB)分别表示事件A (AB)分别表示事件 AB发生.记n(A)和n(AB)分别表示事件A (A) 和事件AB所包含的基本事件个数， AB所包含的基本事件个数 和事件AB所包含的基本事件个数，那 P(B|A)与 (A) (A)， (AB)有什么关系？ (AB)有什么关系 么P(B|A)与n(A)，n(AB)有什么关系？n(AB) P(B | A) = n(A)概念生成一般地， 一般地，设A，B为两个事件， 为两个事件，P(AB) P(A)＞ 且P(A)＞0，称 P(B | A) = P(A) 为在事件A发生的条件下，事件B 为在事件A发生的条件下，事件B发生 条件概率，那么P(B|A) P(A|B)相 P(B|A)与 的条件概率，那么P(B|A)与P(A|B)相 等吗？ 等吗？一般不相等概念生成条件概率也是概率，那么P(B|A)的取值 条件概率也是概率，那么P(B|A)的取值 P(B|A) 范围是什么？ 范围是什么？0≤P(B|A)≤1对于三个事件A 对于三个事件A，B，C，若B与C互斥， 互斥， AB与AC也互斥 由此可P[A(B∪C)] 也互斥， P[A(B∪C)]与 则AB与AC也互斥，由此可P[A(B∪C)]与 P(AB)和P(AC)的关系如何 的关系如何？ P(AB)和P(AC)的关系如何？P[A(B∪C)]＝ P[A(B∪C)]＝P[(AB)∪(AC)] P(AB)＋ ＝P(AB)＋P(AC)概念生成结合条件概率的定义， 结合条件概率的定义，如何推导 P[(B∪C)|A]与P(B|A)，P(C|A)的关系 的关系？ P[(B∪C)|A]与P(B|A)，P(C|A)的关系？ P[(B∪C)|A]＝P(B|A)＋P(C|A) P[(B∪C)|A]＝P(B|A)＋概念生成根据条件概率的定义， 根据条件概率的定义，条件概率的 计算公式可作哪些简单变形？ 计算公式可作哪些简单变形？ P(AB)＝P(B|A)?P(A) P(AB)＝P(B|A) P(A)P(AB) P(A) = P(B | A)理论迁移道题中有3道理科题和2道文科题， 例1 在5道题中有3道理科题和2道文科题， 如果不放回地依次抽取2道题， 如果不放回地依次抽取2道题，求： 第一次抽到理科题的概率； （1）第一次抽到理科题的概率； 第一次和第二次都抽到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽到理科题的概率； 在第一次抽到理科题的条件下， （3）在第一次抽到理科题的条件下，第二 次抽到理科题的概率. 次抽到理科题的概率.3 53 101 2理论迁移一张储蓄卡的密码共有6位数字， 例2 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每 位数字都可从0 中任选一个. 位数字都可从0～9中任选一个.某人在银行 自动提款机上取钱时， 自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一 位数字， 位数字，求： 任意按最后一位数字，不超过2 （1）任意按最后一位数字，不超过2次就按 对的概率； 对的概率； 如果他记得密码的最后一位是偶数， （2）如果他记得密码的最后一位是偶数， 不超过2次就按对的概率. 不超过2次就按对的概率.1 52 5课堂小结1.求条件概率有两种方法， 1.求条件概率有两种方法，即 求条件概率有两种方法P(AB) n(AB) P(B | A) = 或 P(B | A) = P(A) n(A)解题时要适当选取. 解题时要适当选取. 2.条件概率的定义反映了P(B|A)， 2.条件概率的定义反映了P(B|A)， 条件概率的定义反映了P(B|A) P(AB)和P(A)三者之间的关系 三者之间的关系， P(AB)和P(A)三者之间的关系，若已知 其中两个概率，则可求得另一个概率， 其中两个概率，则可求得另一个概率， 这是条件概率公式的变式应用. 这是条件概率公式的变式应用.课堂小结3.互斥事件的并事件的条件概率性 3.互斥事件的并事件的条件概率性 类似于互斥事件的概率加法公式， 质，类似于互斥事件的概率加法公式， 并可以推广到多个互斥事件的并事件的 条件概率. 条件概率.2.2 2.2.2二项分布及其应用 事件的相互独立性复习回顾1.条件概率P(B|A)的含义与计算公 1.条件概率P(B|A)的含义与计算公 条件概率P(B|A) 式分别是什么？ 式分别是什么？ 含义：在事件A发生的条件下，事件B 含义：在事件A发生的条件下，事件B 发生的条件概率； 发生的条件概率；P(AB) n(AB) = 公式： 公式：P(B | A) = . P(A) n(A)复习回顾2.若事件B 2.若事件B与C互斥，则P[(B∪C)|A] 若事件 互斥， 等于什么？ 等于什么？ P[(B∪C)|A]＝P(B|A)＋ P[(B∪C)|A]＝P(B|A)＋P(C|A)问题探究1、先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子， 先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子， 设事件A 设事件A为“第一次抛掷得到点数是 1”，事件B 1”，事件B为“第二次抛掷得到点数 2”，那么事件A的发生对事件B 是2”，那么事件A的发生对事件B发生 的概率是否有影响？事件A 的概率是否有影响？事件A、B发生的 概率分别是多少？ 概率分别是多少？1 没有影响， 没有影响，都为 . 6问题探究2、某三张奖券中只有一张能中奖， 某三张奖券中只有一张能中奖， 现分别由三名同学有放回地各随机抽取 设事件A 1张，设事件A为“第一个同学没有抽到 中奖奖券” 事件B 中奖奖券”，事件B为“第三个同学抽 到中奖奖券” 那么事件A 到中奖奖券”，那么事件A的发生对事 发生的概率是否有影响？事件A 件B发生的概率是否有影响？事件A、B 发生的概率分别是多少？ 发生的概率分别是多少？ 2 1 没有影响， 没有影响， (A) = , P(B) = P33问题探究一般地，对于事件A 一般地，对于事件A，B，如果事 的发生不影响事件B发生的概率， 件A的发生不影响事件B发生的概率， 那么P(B|A) P(B)有什么关系 P(B|A)与 有什么关系？ 那么P(B|A)与P(B)有什么关系？根据 条件概率计算公式可得什么结论？ 条件概率计算公式可得什么结论？ P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝ P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(A) P(B).问题探究设A，B为两个事件，如果P(AB) 为两个事件，如果P(AB) P(A)P(B)，则称事件A与事件B ＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互 独立. 独立.你能列举一个相互独立事件的实 例吗？ 例吗？问题探究如果事件A与事件B相互独立， 如果事件A与事件B相互独立，那么 P(AB)＝P(A)P(B)一定成立吗 一定成立吗？ P(AB)＝P(A)P(B)一定成立吗？ 事件A 事件A与B相互独立P(AB)＝P(A)P(B) 相互独立P(AB)＝ P(AB) 若A为必然事件或不可能事件，则 为必然事件或不可能事件， 对任意事件B 事件A与事件B 对任意事件B，事件A与事件B相互独立 吗？ 相互独立问题探究事件A与事件B相互独立与P(B|A) 事件A与事件B相互独立与P(B|A) P(B)等价吗 等价吗？ ＝P(B)等价吗？ 不等价，因为当P(A)＝ 不等价，因为当P(A)＝0时，P(B|A) P(A) 没有意义. 没有意义.问题探究若事件A与事件B相互独立，则事件A 若事件A与事件B相互独立，则事件A 相互独立吗？为什么？ 与 B ，A与B， 与 B 相互独立吗？为什么？ A 相互独立问题探究若事件A 若事件A1，A2，…，An两两之间相 互独立， 互独立，则P(A1A2…An)等于什么？如何 等于什么？ 证明？ 证明？ P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)典例讲评某商场推出二次开奖活动， 例1 某商场推出二次开奖活动，凡购 买一定价值的商品可以获得一张奖券， 买一定价值的商品可以获得一张奖券， 每张奖券可以分别参加两次抽奖方式相 同的兑奖活动， 同的兑奖活动，如果两次兑奖活动的中 奖概率都是0.05 0.05， 奖概率都是0.05，求两次抽奖中下列事 件的概率. 件的概率. 两次都中奖； （1）两次都中奖； 0.0025 恰有一次中奖； （2）恰有一次中奖； 0.095 至少有一次中奖. （3）至少有一次中奖.0.0975典例讲评先后抛掷一枚硬币若干次， 例2 先后抛掷一枚硬币若干次，记 既有正面朝上又有反面朝上”为事件A “既有正面朝上又有反面朝上”为事件A， 至多有一次正面朝上”为事件B “至多有一次正面朝上”为事件B，在下 列情形下，试推断事件A 列情形下，试推断事件A与B是否相互独 立？ 先后抛掷一枚硬币2 不相互独立 （1）先后抛掷一枚硬币2次； 先后抛掷一枚硬币3 （2）先后抛掷一枚硬币3次.相互独立课堂小结1.事件A 相互独立可直观理解为： 1.事件A与B相互独立可直观理解为： 事件 事件A的发生对事件B 事件A的发生对事件B发生的概率没有影 同时事件B的发生对事件A 响，同时事件B的发生对事件A发生的概 率也没有影响.在实际应用中， 率也没有影响.在实际应用中，如果事件 是在相同条件下进行的随机试验， A与B是在相同条件下进行的随机试验， 则事件A 相互独立. 则事件A与B相互独立.课堂小结2.公式P(AB)＝P(A)P(B)可以理解 2.公式P(AB)＝P(A)P(B)可以理解 公式P(AB) 为：相互独立事件同时发生的概率， 相互独立事件同时发生的概率， 等于它们的概率之积.如果事件A与B不 等于它们的概率之积.如果事件A 相互独立，那么事件A与B同时发生的 相互独立，那么事件A 概率应利用条件概率求解. 概率应利用条件概率求解.课堂小结3.两个事件互斥与两个事件相互独 3.两个事件互斥与两个事件相互独 立是完全不同的两个概念，若事件A 立是完全不同的两个概念，若事件A与B 互斥， P(A∪B)＝P(A)＋P(B)， 互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，这是 和事件的加法公式；若事件A 和事件的加法公式；若事件A与B相互独 P(AB)＝P(A)P(B)， 立，则P(AB)＝P(A)P(B)，这是积事件 的乘法公式. 的乘法公式.布置作业练习： P54练习：1，2，3. P55练习：1，2，3，4. 练习：
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高二数学条件概率
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高二数学条件概率
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条件概率综合测试题(含答案)
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
条件概率综合测试题(含答案)
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文 章来源 莲山 课 件 w w w.5Y k J. c oM 选修2-3& 2.2.1 条件概率
一、1．下列式子成立的是(　　)A．P(A|B)＝P(B|A)　　　　B．0&P(B|A)&1C．P(AB)＝P(A)•P(B|A)& D．P(A∩B|A)＝P(B)[答案]　C[解析]　由P(B|A)＝P(AB)P(A)得P(AB)＝P(B|A)•P(A)．2．在10个形状大小均相同的球中有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为(　　)A.35　　　&&B.25　　　C.110　　　&&D.59[答案]　D[解析]　设第一次摸到的是红球(第二次无限制)为事件A，则P(A)＝6×910×9＝35，第一次摸得红球，第二次也摸得红球为事件B，则P(B)＝6×510×9＝13，故在第一次摸得红球的条件下第二次也摸得红球的概率为P＝P(B)P(A)＝59，选D.3．已知P(B|A)＝13，P(A)＝25，则P(AB)等于(　　)A.56& &&&B.910& C.215& &&&D.115[答案]　C[解析]　本题主要考查由条件概率公式变形得到的公式，P(AB)＝P(B|A)•P(A)＝13×25＝215，故答案选C.4．抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率是(　　)A.14& &&&B.13& C.12 &&&&D.35[答案]　B[解析]　抛掷红、黄两颗骰子共有6×6＝36个基本事件，其中红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件，两颗骰子点数之积包含4×6,6×4,6×5,6×6共4个基本事件．所以其概率为.5．一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是(　　)A.56& &&&B.34& C.23& &&&D.13[答案]　C6．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830.则在吹东风的条件下下雨的概率为(　　)A.911& &&&B.811& C.25& &&&D.89[答案]　D[解析]　设事件A表示“该地区四月份下雨”，B表示“四月份吹东风”，则P(A)＝1130，P(B)＝930，P(AB)＝830，从而吹东风的条件下下雨的概率为P(A|B)＝P(AB)P(B)＝.7．一个口袋中装有2个白球和3个黑球，则先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是(　　)A.23& &&&B.14& C.25& &&&D.15[答案]　C[解析]　设Ai表示第i次(i＝1,2)取到白球的事件，因为P(A1)＝25，P(A1A2)＝25×25＝425，在放回取球的情况P(A2|A1)＝25×2525＝25.8．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为(　　)A．1& &&&B.12& C.13& &&&D.14[答案]　B[解析]　设Ai表示第i次(i＝1,2)抛出偶数点，则P(A1)＝1836，P(A1A2)＝，故在第一次抛出偶数点的概率为P(A2|A1)＝P(A1A2)P(A1)＝6＝12，故选B.二、题9．某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则问题由乙答对的概率为________．[答案]　0.310．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为________．[答案]　9599[解析]　设“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到正品”为事件B，则P(A)＝5100，P(AB)＝，所以P(B|A)＝P(AB)P(A)＝9599.准确区分事件B|A与事件AB的意义是关键．11．一个家庭中有两个小孩．假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，则这时另一个小孩是男孩的概率是________．[答案]　12[解析]　一个家庭的两个小孩只有3种可能：{两个都是男孩}，{一个是女孩，另一个是男孩}，{两个都是女孩}，由题目假定可知这3个基本事件的发生是等可能的．12．从1～100这100个整数中，任取一数，已知取出的一数是不大于50的数，则它是2或3的倍数的概率为________．[答案]　3350[解析]　根据题意可知取出的一个数是不大于50的数，则这样的数共有50个，其中是2或3的倍数共有33个，故所求概率为3350.三、解答题13．把一枚硬币任意掷两次，事件A＝“第一次出现正面”，事件B＝“第二次出现正面”，求P(B|A)．[解析]　P(B)＝P(A)＝12，P(AB)＝14，P(B|A)＝P(AB)P(A)＝1412＝12.14．盒中有25个球，其中10个白的、5个黄的、10个黑的，从盒子中任意取出一个球，已知它不是黑球，试求它是黄球的概率．[解析]　解法一：设“取出的是白球”为事件A，“取出的是黄球”为事件B，“取出的是黑球”为事件C，则P(C)＝1025＝25，∴P(C)＝1－25＝35，P(BC)＝P(B)＝525＝15∴P(B|C)＝P(BC)P(C)＝13.解法二：已知取出的球不是黑球，则它是黄球的概率P＝55＋10＝13.15．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？(2)从2号箱取出红球的概率是多少？[解析]　记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球．P(B)＝42＋4＝23，P(B－)＝1－P(B)＝13.(1)P(A|B)＝3＋18＋1＝49.(2)∵P(A|B－)＝38＋1＝13，∴P(A)＝P(A∩B)＋P(A∩B－)＝P(A|B)P(B)＋P(A|B－)P(B－)＝49×23＋13×13＝1127.16．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人．从该班任选一个作学生代表．(1)求选到的是第一组的学生的概率；(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．[解析]　设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团员”．(1)由题意，P(A)＝1040＝14.(2)要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)．不难理解，在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P(A|B)＝415.&文 章来源 莲山 课 件 w w w.5Y k J. c oM
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