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不等式历年高考题
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2014年高考数学不等式试题汇编
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
2014年高考数学不等式试题汇编
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文章来源莲山课 件 w w w.5y K J.Co m &&&&&&&&&&&&&&&&&& 数&&& 学&E单元　不等式&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& E1　不等式的概念与性质5．，，[;山东卷] 已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是(　　)A. 1x2＋1＞1y2＋1& B. ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)& C. sin x＞sin y& D. x3＞y35．D　4．[;四川卷] 若a&b&0，c&d&0，则一定有(　　)A.ac&bd& B.ac&bd& C.ad&bc& D.ad&bc4．D　
E2& 绝对值不等式的解法9．、[;安徽卷] 若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为(　　)A．5或8& B．－1或5C．－1或－4& D．－4或89．D　[解析] 当a≥2时，f(x)＝3x＋a＋1（x&－1），x＋a－1－a2≤x≤－1，－3x－a－1x&－a2.&由图可知，当x＝－a2时，fmin(x)＝f－a2＝a2－1＝3，可得a＝8.当a&2时，f(x)3x＋a＋1x&－a2，－x－a＋1－1≤x≤－a2，－3x－a－1（x&－1）.&由图可知，当x＝－a2时，fmin(x)＝f－a2＝－a2＋1＝3，可得a＝－4.综上可知，a的值为－4或8.
E3　一元二次不等式的解法 2．、[;全国卷] 设集合M＝{x|x2－3x－4&0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝(　　)A．(0，4]& B．[0，4)& C．[－1，0)& D．(－1，0]2．B　12．、[;新课标全国卷Ⅱ] 设函数f(x)＝3sinπxm，若存在f(x)的极值点x0满足x20＋[f(x0)]2＜m2，则m的取值范围是(　　)A．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)12．C　
E4& 简单的一元高次不等式的解法E5　简单的线性规划问题5．[;安徽卷] x，y满足约束条件x＋y－2≤0，x－2y－2≤0，2x－y＋2≥0.若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(　　)A.12或－1& B．2或12& C．2或1& D．2或－15．D　 &6．[;北京卷] 若x，y满足x＋y－2≥0，kx－y＋2≥0，y≥0，且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为(　　)A．2& B．－2& C.12& D．－126．D　&11．[;福建卷] 若变量x，y满足约束条件x－y＋1≤0，x＋2y－8≤0，x≥0，则z＝3x＋y的最小值为________．11．1　&3．[;广东卷] 若变量x，y满足约束条件y≤x，x＋y≤1，y≥－1，且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝(　　)A．5& B．6& C．7& D．83．B　&14．[;湖南卷] 若变量x，y满足约束条件y≤x，x＋y≤4，y≥k，且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝________.14．－2　&14．[;全国卷] 设x，y满足约束条件x－y≥0，x＋2y≤3，x－2y≤1，则z＝x＋4y的最大值为________．&14．5　9．、[;新课标全国卷Ⅰ] 不等式组x＋y≥1，x－2y≤4的解集记为D，有下面四个命题：p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2，p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2，p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3，p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.其中的真命题是(　　)A．p2，p3& B．p1，p2C．p1，p4& D．p1，p39．B　&9．[;新课标全国卷Ⅱ] 设x，y满足约束条件x＋y－7≤0，x－3y＋1≤0，3x－y－5≥0，则z＝2x－y的最大值为(　　)A．10& B．8& C．3& D．2
9．B　&9．[;山东卷] 已知x，y满足约束条件x－y－1≤0，2x－y－3≥0，当目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取到最小值2　5时，a2＋b2的最小值为(　　)A. 5& B. 4& C. 5& D. 29．B　&18．，[;陕西卷] 在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．(1)若PA→＋PB→＋PC→＝0，求|OP→|；(2)设OP→＝mAB→＋nAC→(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．18．解：(1)方法一：∵PA→＋PB→＋PC→＝0，又PA→＋PB→＋PC→＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，∴6－3x＝0，6－3y＝0，解得x＝2，y＝2，即OP→＝(2，2)，故|OP→|＝22.方法二：∵PA→＋PB→＋PC→＝0，则(OA→－OP→)＋(OB→－OP→)＋(OC→－OP→)＝0，∴OP→＝13(OA→＋OB→＋OC→)＝(2，2)，∴|OP→|＝22.(2)∵OP→＝mAB→＋nAC→，∴(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，∴x＝m＋2n，y＝2m＋n，&两式相减得，m－n＝y－x，令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.5．，[;四川卷] 执行如图1&1所示的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为(　　)&图1&1A．0& B．1& C．2& D．35．C　&2．[;天津卷] 设变量x，y满足约束条件x＋y－2≥0，x－y－2≤0，y≥1，则目标函数z＝x＋2y的最小值为(　　)A．2& B．3& C．4& D．52．B　&13．　[;浙江卷] 当实数x，y满足x＋2y－4≤0，x－y－1≤0，x≥1时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．13.1，32　&
E6　基本不等式 16．、[;辽宁卷] 对于c&0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，3a－4b＋5c的最小值为________．16．－2　14．，[;山东卷] 若ax2＋bx6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．14．2　10．，[;四川卷] 已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA→•OB→＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)A．2& B．3& C.1728& D.1010．B　14．，[;四川卷] 设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|•|PB|的最大值是________．14．5
E7& 不等式的证明方法20．[;北京卷] 对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，…，(an，bn)，记T1(P)＝a1＋b1，Tk(P)＝bk＋max{Tk－1(P)，a1＋a2＋…＋ak}(2≤k≤n)，其中max{Tk－1(P)，a1＋a2＋…＋ak}表示Tk－1(P)和a1＋a2＋…＋ak两个数中最大的数．(1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值；(2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小；(3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论)20．解：(1)T1(P)＝2＋5＝7，T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8.(2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}．当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b.因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)．当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b.因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)．所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．(3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小，T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52.19．、、[;天津卷] 已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.证明：若an&bn，则s&t.19．解：(1)当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2•2＋x3•22，xi∈M，i＝1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，ai，bi∈M，i＝1，2，…，n及an&bn，可得s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(an－1－bn－1)qn－2＋(an－bn)qn－1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)qn－2－qn－1＝（q－1）（1－qn－1）1－q－qn－1＝－1&0，所以s&t.
E8　不等式的综合应用9．、[;安徽卷] 若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为(　　)A．5或8& B．－1或5C．－1或－4& D．－4或89．D　&
&13．[;福建卷] 要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．13．160　&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 21．，，，[;陕西卷] 设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表达式；(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)设n∈N＋，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n－f(n)的大小，并加以证明．21．解：由题设得，g(x)＝x1＋x(x≥0)．(1)由已知，g1(x)＝x1＋x，g2(x)＝g(g1(x))＝x1＋x1＋x1＋x＝x1＋2x，g3(x)＝x1＋3x，…，可得gn(x)＝x1＋nx.下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，g1(x)＝x1＋x，结论成立．②假设n＝k时结论成立，即gk(x)＝x1＋kx.那么，当n＝k＋1时，gk＋1(x)＝g(gk(x))＝gk（x）1＋gk（x）＝x1＋kx1＋x1＋kx＝x1＋（k＋1）x，即结论成立．由①②可知，结论对n∈N＋成立．(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥ax1＋x恒成立．设φ(x)＝ln(1＋x)－ax1＋x(x≥0)，则φ′(x)＝11＋x－a（1＋x）2＝x＋1－a（1＋x）2，当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x＝0，a＝1时等号成立)，∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a≤1时，ln(1＋x)≥ax1＋x恒成立(仅当x＝0时等号成立)．当a&1时，对x∈(0，a－1]有φ′(x)&0，∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减，∴φ(a－1)&φ(0)＝0.即a&1时，存在x&0，使φ(x)&0，故知ln(1＋x)≥ax1＋x不恒成立．综上可知，a的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝12＋23＋…＋nn＋1，比较结果为g(1)＋g(2)＋…＋g(n)&n－ln(n＋1)．证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n＋1&ln(n＋1)，在(2)中取a＝1，可得ln(1＋x)&x1＋x，x&0.令x＝1n，n∈N＋，则1n＋1&lnn＋1n.下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，12&ln 2，结论成立．②假设当n＝k时结论成立，即12＋13＋…＋1k＋1&ln(k＋1)．那么，当n＝k＋1时，12＋13＋…＋1k＋1＋1k＋2&ln(k＋1)＋1k＋2&ln(k＋1)＋lnk＋2k＋1＝ln(k＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n∈N＋成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n＋1&ln(n＋1)，在(2)中取a＝1，可得ln(1＋x)&x1＋x，x&0.令x＝1n，n∈N＋，则lnn＋1n&1n＋1.
故有ln 2－ln 1&12，ln 3－ln 2&13，……ln(n＋1)－ln n&1n＋1，上述各式相加可得ln(n＋1)&12＋13＋…＋1n＋1，结论得证．方法三：如图，0nxx＋1dx是由曲线y＝xx＋1，x＝n及x轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋nn＋1是图中所示各矩形的面积和，&∴12＋23＋…＋nn＋1&0nxx＋1dx＝0n1－1x＋1dx＝n－ln(n＋1)，结论得证．
&&&& E9& 单元综合16．、[;辽宁卷] 对于c&0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，3a－4b＋5c的最小值为________．16．－2　
12．、[;辽宁卷] 已知定义在[0，1]上的函数f(x)满足：①f(0)＝f(1)＝0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f(x)－f(y)|&12|x－y|.若对所有x，y∈[0，1]，|f(x)－f(y)|&k恒成立，则k的最小值为(　　)A.12& B.14& C.12π& D.1812．B　 文章来源莲山课 件 w w w.5y K J.Co m
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ?题型5&基本不等式问题
一、题型解读
& & 基本不等式在江苏高考中是C级考点，在高考和调研试题中出现的频率高且难度大，甚至有些试题在背景立意上有很大创新，所以在运用基本不等式解题时除了要保证“一正二定三相等”的基本要求外，还要特别注意“拆、拼、凑”等技巧的使用．除常规题外，有两类问题需要特别关注：一是二元基本不等式的运用，要运用整体消元的思想，化多元为一元，为运用基本不等式创造条件；二是有的试题需要连续两次运用基本不等式，这时对于取等号的条件就非常严格，需要做到同时满足任何一次的字母取值保持一致．
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发表于：16-07-23 11:02
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发表于：16-07-28 09:10
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