y=3e*x+1的x z lnz y二阶偏导数导数

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-06-02 18:31 标签： 二阶微分方程的特解y
y=x^2/(1-x)的二阶导数_百度知道
y=x^2/(1-x)的二阶导数
y=x^2/(1-x)＝(x^2-1+1)/(1-x)=-1-x+1/(1-x)y'=-1+1/(1-x)^2y''=2/(1-x)^3
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y'=[2x(1-x)+x^2]/(x-1)^2=(2x-x^2)/(x-1)^2y''=[(2-2x)(x-1)^2-(2x-x^2)*2(x-1)]/(x-1)^4= -2/(x-1)^3
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二阶导数的应用.ppt
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二、二阶导数的应用 4.5
函数极值的判定 [定理4.6]
如果函数f(x)在x0附近有连续的二阶导数f&(x)，且f'(x0)＝0，f&(x)≠0，那么 ⑴若f&(x0)＜0，则函数f(x)在点x0处取得极大值 ⑵若f&(x0)＞0，则函数f(x)在点x0处取得极小值
求下列函数的极值 ⑴ f(x)＝2x3－3x2 ⑵ f(x)＝sinx＋cosx，x∈[0,2π]
解：⑴f'(x)＝6x2－6x，f&(x)＝12x－6 令6x2－6x＝0，得驻点为x1＝1，x2＝0 ∵f&(1)＝6＞0，f&(0)＝－6＜0 把x1＝1，x2＝0代入原函数计算得f(1)＝－1、f(0)＝0 ∴当x＝1时，y极小＝－1，x＝0时，y极大＝0 例4.11
求下列函数的极值 ⑵ f(x)＝sinx＋cosx，x∈[0,2π] 解:⑵ f'(x)＝cosx－sinx，令cosx－sinx＝0， 得驻点为x1＝
，又f&(x)＝－sinx－cosx，
把x1＝ ，x2＝
代入原函数计算得 f(
。所以当x＝
时，y极大＝
时，y极小＝－ [注意]
如果f'(x0)＝0，f&(x0)＝0或不存在，本定理无效，则需要考察点x0两边f'(x)的符号来判定是否为函数的极值点。 4.6
函数的凹凸性和拐点 1. 曲线的凹凸性
设函数y＝f(x)在区间(a,b)内可导，如果对应的曲线段位于其每一点的切线的上方，则称曲线在(a,b)内是凹的，
如果对应的曲线段位于其每一点的切线的下方，则称曲线在(a,b)内是凸的。
从图象上来看，曲线段向上弯曲是凹的，曲线段向下弯曲是凸的。 [定理4.7] 设函数y＝f(x)在(a,b)内具有二阶导数，如果在(a,b)内f&(x)＞0，那么对应的曲线在(a,b)内是凹的，如果在(a,b)内f&(x)＜0，那么对应的曲线在(a,b)内是凸的。 例4.13
判定曲线y＝
的凹凸性 解：∵y＝
∴f'(x)＝－
无拐点但有间断点x＝0
当x＜0时，f”(x)＜0，曲线在(－∞,0)内为凸的，
当x＞0时，f&(x)＞0，曲线在(0,＋∞)内是凹的。
判定曲线y＝cosx在(0,2π)的凹凸性 解：∵y'＝－sinx，y&＝－cosx，
令y&＝0，得x1＝
∴当x∈(0,
)时，f”(x)＜0，曲线在(0,
)内为凸的，
)时，f”(x)＞0，曲线在(
)内是凹的，
,2π)时，f”(x)＜0，曲线在(
,2π)内为凸的。
2. 曲线的拐点
曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。
因此拐点一定是使f&(x)＝0的点，但是使f&(x)＝0 的点不一定都是拐点。 [求拐点的一般步骤]
⑴ 求二阶导数f&(x)；
⑵ 求出f&(x)＝0的全部实根；
⑶ 对于每一个实根x0，检查f”(x)在x0左右两侧的 符号，如果x0两侧f&(x)的符号不同，则点(x0,f(x0)) 是曲线的拐点；如果x0两侧f”(x)的符号相同，则点 (x0,f(x0))不是曲线的拐点。
求曲线y＝x3－4x＋4的凹凸区间和拐点 解：y'＝x2－4，y&＝2x,令2x＝0，得x＝0
当x＜0时，y”＜0，曲线在(－∞,0)内为凸的，
当x＞0时，y&＞0，曲线在(0,＋∞)内是凹的。
在x＝0的左右两侧，y”由正变负，所以(0,4)为曲 线上的拐点。
讨论曲线y＝x4－1的凹凸性和拐点 解：∵f&(x)＝12x2
∴当x≠0时，f&(x)＞0，而f&(0)＝0
因此曲线y＝x4－1在(－∞,＋∞)内都是凹的，
点(0,－1)不是拐点。 4.7
函数图象的描绘
利用函数的一、二阶导数的性质，我们可以较准 确地用描点法描绘函数的图象。 一般步骤为：
⑴ 确定函数的定义域、奇偶性、周期性，求出函 数图象和两坐标轴的交点；
⑵ 计算f’(x)，令f’(x)＝0求出f(x)的驻点、极值 点和增减区间；
⑶ 计算f“(x)，令f”(x)＝0求出f(x)的拐点和凹凸 区间；
⑷ 计算驻点、拐点处的函数值；
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