考研数学质心纵坐标公式，红笔打圈处对吗？_百度知道
考研数学质心纵坐标公式，红笔打圈处对吗？
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分母 dy 肯定不对， 应为 dx被积函数对否要看是什么几何体的质心。
谢谢啦，，，这是别人写的公式我就觉得有点问题……又不是太理解
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[tuǒ yuán]
椭圆（Ellipse）是平面内到定点F1、F2的距离之和等于（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a&|F1F2|）。
椭圆是的一种，即圆锥与平面的。
椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。
椭圆椭圆简介
在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。
椭圆是封闭式圆锥截面：由锥体与平面相交的平面曲线（见右图）。椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物面和双曲线，两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。
椭圆也可以被定义为一组点，使得曲线上的每个点的距离与给定点（称为焦点或焦点）的距离与曲线上的相同点的距离的比值给定行（称为directrix）是一个常数。该比率称为椭圆的。
也可以这样定义椭圆，椭圆是点的集合，点其到两个焦点的距离的和是固定数。
椭圆在物理，天文和工程方面很常见。例如，我们的太阳系中的每个行星的轨道大约是一个椭圆，其中一个焦点上的行星 - 太阳对的重心。卫星轨道行星和所有其他具有两个天文体的系统也是如此。行星和星星的形状通常被椭球描述。椭圆也出现在平行投影下的圆形图像和透视投影的有界壳体，这是投影锥体与投影平面的简单交点。当水平和垂直运动是具有相同频率的正弦波时，它也是形成最简单的李萨如图。类似的效果导致光学中的光的椭圆偏振。
名叫?λλειψι?（élleipsis，“遗漏”）由佩尔加的Apollonius在他的Conics中给出，强调了曲线与“应用领域”的联系。
椭圆研究历史
所著的八册《（Conics）》中首次提出了今日大家熟知的 ellipse（椭圆）、parabola（）、hyperbola（）等与有关的名词，可以说是古希腊几何学的精辟之作。
直到十六、十七世纪之交，（Kepler）行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运行的轨道，是一种以太阳为其一的椭圆。
椭圆第一定义
平面内与两定点
的距离的和等于
）的动点P的轨迹叫做椭圆。
椭圆定义说明
其中两定点
叫做椭圆的，两的距离
叫做椭圆的。
为椭圆的动点。
椭圆截与两焦点连线重合的直线所得的为，长为
椭圆截两焦点连线的直线所得弦为，长为
椭圆第二定义
椭圆平面内到定点
（c,0）的距离和到定直线
上）的距离之比为常数
，0&e&1）的点的是椭圆。
为椭圆的，定直线
称为椭圆的（该定直线的方程是
（焦点在x轴上），或
（焦点在y轴上））。
椭圆其他定义
根据椭圆的一条重要性质：椭圆上的点与椭圆长轴（事实上只要是直径都可以）两端点连线的之积是定值，定值为
（前提是长轴平行于x轴。若长轴平行于y轴，比如焦点在y轴上的椭圆，可以得到斜率之积为 -a?/b?=1/（e?-1）），可以得出：
在内，动点（
）到两定点（
）的斜率乘积等于常数m（-1&m&0）
注意：考虑到斜率不存在时不满足乘积为常数，所以
无法取到，即该定义仅为去掉四个点的椭圆。
椭圆也可看做圆按一定方向作压缩或拉伸一定所得图形。
中心点为（h，k），主轴平行于x轴时，
椭圆标准方程
高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。
椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：
1）焦点在X轴时，标准方程为：
2）焦点在Y轴时，标准方程为：
椭圆上任意一点到F1,F2距离的和为2a，F1,F2之间的距离为2c。而公式中的b?=a?-c?。b是为了书写方便设定的参数。
又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx?+ny?=1(m&0，n&0，m≠n）。即标准方程的统一形式。
椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ， y=bsinθ
标准形式的椭圆在（x0，y0）点的就是 ：xx0/a?+yy0/b?=1。椭圆切线的是：-b?x0/a?y0，这个可以通过复杂的代数计算得到。
椭圆参数方程
x=acosθ ， y=bsinθ。
求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时，用参数坐标可将问题转化为问题求解
x=a×cosβ， y=b×sinβ a为长的一半 b为短轴长的一半
椭圆极坐标
（一个焦点在原点，另一个在θ=0的正方向上）
（e为椭圆的=c/a）
椭圆几何性质
椭圆基本性质
1、范围：焦点在
2、：关于X轴对称，Y轴对称，关于原点中心对称。
3、：（a，0）（-a，0）（0，b）（0，-b）
或 e=√（1-b^2/a?）
5、离心率范围：0&e&1
6、离心率越小越接近于圆，越大则椭圆就越扁。
7、焦点（当中心为原点时）：（-c，0），（c，0）或（0，c），（0，-c）
（m为实数）为离心率相同的椭圆。
9、P为椭圆上的一点，a-c≤PF1（或PF2)≤a+c。
10.椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。
椭圆切线法线
定理1：设F1、F2为椭圆C的两个，P为C上任意一点。若直线AB切椭圆C于点P，且A和B在直线上位于P的两侧，则∠APF1=∠BPF2。（也就是说，椭圆在点P处的切线即为∠F1PF2的外角平分线所在的直线）
定理2：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB为C在P点的法线，则AB平分∠F1PF2。
上述两定理的证明可以查看参考资料。
解析几何法求证椭圆切线定理：
解：设C:((x^2)/(a^2))+((y^2)/(b^2))=1-----式1;
(a^2)-(b^2)=(c^2);
F1(-c,0);F2(c,0);P(xp,yp)
AB:(y-yp)=k(x-xp)=&y=kx+(yp-kxp);令m=yp-kxp=&AB:y=kx+m-----式2;
联立式1和式2消去y得:((k^2)+((b^2)/(a^2)))(x^2)+2kmx+((m^2)-(b^2))=0;
因为直线AB切椭圆C于点P，所以上式只有唯一解，则：
4((km)^2)-4((k^2)+((b^2)/(a^2)))((m^2)-(b^2))=0=&m^2=((ak)^2)+(b^2);
m^2=(yp-kxp)^2=((yp)^2)+((kxp)^2)-2kxpyp=((ak)^2)+(b^2);
=&((a^2)-(xp^2))(k^2)+2xpypk+((b^2)-(yp^2));
由根的判别式得：4((xpyp)^2)-4((a^2)-(xp^2))((b^2)-(yp^2))=0;
所以k值有唯一解：k=(-2xpyp)/(2((a^2)-(xp^2)))=-xpyp/((a^2)-(xp^2));
由式1得：(a^2)-(xp^2)=(ayp/b)^2=&k=-(xp(b^2))/(yp(a^2));
m=yp-kxp=(((ypa)^2)+((xpb)^2))/(yp(a^2))=((ab)^2)/(yp(a^2))=(b^2)/
设A0F1、B0F2分别过F1、F2垂直AB于A0、B0；
A0F1:(y-0)=(-1/k)(x+c)=&x+ky+c=0-----式3；
联立式2和式3消去y得：x=-(km+c)/((k^2)+1);
联立式2和式3消去x得：y= (m-kc)/((k^2)+1);
则：A0:(-(km+c)/((k^2)+1),(m-kc)/((k^2)+1));
|A0F1|^2=((m-kc)^2)/((k^2)+1));
同理：B0F2:(y-0)=(-1/k)(x-c);
=&B0:((c-km)/((k^2)+1),(m+kc)/((k^2)+1));
|B0F2|^2=((m+kc)^2)/((k^2)+1));
|PF1|^2=((xp+c)^2)+(yp^2);
|PF2|^2=((xp-c)^2)+(yp^2);
证明:若∠APF1=∠BPF2，则直角三角形A0PF1与直角三角形B0PF2相似；
=&|A0F1|/|PF1|=|B0F2|/|PF2|
=&(|A0F1|^2)/(|PF1|^2)=(|B0F2|^2)/(|PF2|^2)
=&(|PF2|^2)/(|PF1|^2)=(|B0F2|^2)/(|A0F1|^2)
((m+kc)^2)/((m-kc)^2)=(((xp-c)^2)+(yp^2))/(((xp+c)^2)+(yp^2));-----式4
m+kc=(b^2)/yp-(xpc(b^2))/(yp(a^2))=((a^2)-xpc)(b^2)/(yp(a^2));-----式5
m-kc=(b^2)/yp+(xpc(b^2))/(yp(a^2))=((a^2)+xpc)(b^2)/(yp(a^2));----式6
把式5和式6代入式4得:
(((a^2)-xpc)^2)/(((a^2)+xpc)^2)=(((xp-c)^2)+(yp^2))/(((xp+c)^2)+(yp^2));
=&(((a^2)-xpc)^2)(((xp+c)^2)+(yp^2))=(((a^2)+xpc)^2)(((xp-c)^2)+(yp^2))
=&(((a^2)-xpc)^2)((xp+c)^2)+(((a^2)-xpc)^2)(yp^2)=(((a^2)+xpc)^2)((xp-c)^2)+(((a^2)+xpc)^2)(yp^2)
=&[(((a^2)-xpc)^2)((xp+c)^2)-(((a^2)+xpc)^2)((xp-c)^2)]=[(((a^2)+xpc)^2)-(((a^2)-xpc)^2)](yp^2)
=&[((a^2)-xpc)(xp+c)+((a^2)+xpc)(xp-c)][((a^2)-xpc)(xp+c)-((a^2)+xpc)(xp-c)]=4xpc(ayp)^2
=&(2(a^2)xp-2(c^2)xp)(2c(a^2)-2c(xp^2))=4xpc(ayp)^2
=&4xpc(b^2)((a^2)-(xp^2))=4xpc(ayp)^2
=&(b^2)((a^2)-(xp^2))=(ayp)^2
=&(ab)^2=((ayp)^2)+((bxp)^2)
=&((xp^2)/(a^2))+((yp^2)/(b^2))=1等式成立，∠APF1=∠BPF2得证
椭圆内点外点
设F1、F2为椭圆C的两个，P为C上任意一点，则在椭圆焦点三角形F1PF2中，分别称∠F1PF2的内角平分线，外角平分线与椭圆长轴的交点为内点，外点。（如右图中的N,M点为内点，外点）
可以证明以下命题：在椭圆焦点三角形中： （ 1）内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为e（离心率）（2）内心将内点与非焦顶点连线段分成定必e （3）半焦距为内点，外点到椭圆中心距离的比例中项 证明：（1）：在椭圆焦点三角形F1PF2中，设N为内点， 由内角平分线性质和合比性质得 ： NF1 /PF1= NF2/PF2=(NF1+NF2 )/(PF1+PF2)=2C/2a=e (2) ：设 内心为Q,则F1Q是∠F2F1P的内角平分线 ，则在△F1PN中，有QP/PF1=QN/NF1 ∴QN/QP=NF1/PF1 由（1）知NF1 /PF1=e 故QN/QP=e （3）：设M是外点，由外角平分线和内角平分线性质：MF1/MF2=PF1/PF2=NF1/NF2 故（OM-c）/（OM+c）=(c-ON)/(c+ON) 故ON×OM=c?
椭圆光学性质
椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。
椭圆相关公式
椭圆面积公式
分别是椭圆的长半轴、短半轴的长），或
分别是椭圆的长轴，短轴的长）。
的面积，由于图形的对称性可知，只要求出第一象限的面积乘以4即可。
在第一象限
椭圆计算公式：L=T(r+R)
T为椭圆，可以由r/R的值，查表找出系数T值；r为椭圆短半径；R为椭圆长半径。
椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半径与长半径之和与该椭圆系数的积（包括正圆）。
附椭圆系数简表：
椭圆系数简表r / R系数r / R系数r / R系数r / R系数0.013.0.263.0.513.0.763.0.023.0.273.0.523.0.773.0.033.0.283.0.533.0.783.0.043.0.293.0.543.0.793.0.053.0.33.0.553.2081480.83.0.063.0.313.0.563.0.813.0.073.0.323.0.573.0.823.0.083.0.333.0.583.0.833.0.093.0.343.0.593.0.843.0.13.0.353.0.63.0.853.0.113.0.363.0.613.0.863.0.123.0.373.0.623.0.873.0.133.0.383.0.633.0.883.0.143.0.393.0.643.0.893.0.153.0.43.0.653.0.93.0.163.0.413.0.663.0.913.0.173.0.423.0.673.0.923.0.183.0.433.0.683.0.933.0.193.0.443.0.693.0.943.0.23.0.453.0.73.0.953.0.213.0.463.0.713.0.963.0.223.0.473.0.723.0.973.0.233.0.483.0.733.0.983.0.243.0.493.0.743.0.993.0.253.0.53.0.753.1π工程运用椭圆系数简表r / R系数r / R系数r / R系数r / R系数1π0.47873.240.20113.50.07393.760.95553.1420.45993.250.19463.510.07033.770.91883.1430.44223.260.18843.520.06663.780.89513.1440.42633.270.18243.530.06313.790.87643.1450.41113.280.17643.540.05953.80.86073.1460.39663.290.17073.550.05613.810.84683.1470.38293.30.16513.560.05263.820.84333.1480.36993.310.15953.570.04933.830.82313.1490.35773.320.15413.580.04613.840.81263.150.34593.330.14893.590.04283.850.76893.1550.34143.340.14373.60.03963.860.73473.160.32393.350.13873.610.03643.870.70583.1650.31363.360.13373.620.03333.880.68063.170.30363.370.12893.630.03033.890.65843.1750.29413.380.12423.640.02733.90.63833.180.28483.390.11953.650.02443.910.61993.1850.27593.40.11493.660.02153.920.60283.190.26743.410.11053.670.01863.930.58713.1950.25913.420.10623.680.01583.940.57223.20.25113.430.10193.690.01313.950.55833.2050.24323.440.09773.70.01033.960.54523.210.23573.450.09353.710.00773.970.53283.2150.22843.460.08953.720.00513.980.50973.2250.22123.470.08553.730.00253.990.49893.230.21433.480.08163.740.00123.9950.48863.2350.20763.490.07773.750.00023.999椭圆与三角函数的关系
关于椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度的证明：
半径为r的圆柱上与一斜平面相交得到一椭圆，该斜平面与水平面的夹角为α，截取一个过椭圆短径的圆。以该圆和椭圆的某一交点为起始转过一个θ角。则椭圆上的点与圆上垂直对应的点的高度可以得到f(c)=r tanα sin(c/r)
r:圆柱半径
α:椭圆所在面与水平面的角度
c:对应的弧长（从某一个交点起往某一个方向移动）
以上为证明简要过程，则椭圆（x*cosα）^2+y^2=r^2的周长与f(c)=r tanα sin(c/r)的正弦曲线在一个周期内的长度是相等的，而一个周期T=2πr，正好为一个圆的周长。
这是我在工作的时候，偶尔发现的，没有引用，也没有搜索到相关的文献，可能有前辈在我之前就发现了，若有不妥，请谅解。
椭圆离心率
的定义为椭圆上焦距与长轴的比值，（范围：0&X&1）
e=c/a(0&e&1），因为2a&2c。离心率越大，椭圆越扁平；离心率越小，椭圆越接近于圆形。
椭圆的：椭圆的与其相应准线（如焦点（c,0）与准线x=±a^2/c) 的距离为a^2/c-c=b^2/c
椭圆焦半径
焦点在x轴上：|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex(F1,F2分别为左右焦点）
椭圆过右焦点的r=a-ex
过左焦点的半径r=a+ex
焦点在y轴上：|PF1|=a+ey |PF2|=a-ey(F2,F1分别为上下焦点）
椭圆的：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两交点A,B之间的距离，即|AB|=2*b^2/a
椭圆斜率公式
过椭圆上x?/a?+y?/b?=1上一点（x，y）的斜率为 -b?X/a?y
焦点三角形面积
若有一三角形两个顶点在椭圆的两个焦点上，且第三个顶点在椭圆上
那么若∠F1PF2=θ，则S=b?tan（θ/2）。
椭圆曲率公式
K=ab/[(b?-a?）（cosθ）2+a?]3/2
椭圆准线方程
（焦点在x轴上）
（焦点在y轴上）
椭圆准圆方程
从准圆上任一点向椭圆引两条切线，这两条切线垂直。
（除圆外）中，过并垂直于轴的弦
椭圆中的通径是通过焦点最短的弦
椭圆几何关系
椭圆点与椭圆
点M（x0，y0） 椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1
点在圆内：x02/a2+y02/b2&1
点在圆上：x02/a2+y02/b2=1
点在圆外：x02/a2+y02/b2&1
跟与直线的位置关系一样的
椭圆直线与椭圆
x2/a2+y2/b2=1 ②
由①②可推出x2/a2+（kx+m)2/b2=1
相离△&0无交点
相交△&0 可利用：设A(x1,y1） B(x2,y2）
求中点坐标
根据 x1+x2=-b/a,x1x2=c/a
代入直线方程可求出 (y1+y2)/2=可求出中点坐标。
|AB|=d = √（1+k2）[(x1+x2）2-4x1*x2] = √（1+1/k2）[(y1+y2）2-4y1y2]
例如：有一个，被截得到一个，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）：
将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。
设两点为F1、F2
对于截面上任意一点P，过P做圆柱的Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2
则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2
由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点
用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆
例：已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a&b&0）的离心率为√6/3，短轴一个端点到右焦点的距离为√3.
1．求椭圆C的方程.
2．直线l：y=x+1与椭圆交于A，B两点，P为椭圆上一点，求△PAB面积的最大值.
3．在⑵的基础上求△AOB的面积.
一 分析短轴的到左右的距离和为2a，端点到左右焦点的距离相等（椭圆的定义），可知a=√3，又c/a=√6/3，代入得c=√2，b=√（a^2-c^2）=1，方程是x^2/3+y^2/1=1，
二 要求，显然以ab作为三角形的底边，联立x^2/3+y^2/1=1，y=x+1解得x1=0,y1=1,x2=-1.5,y2=-0.5.利用弦长公式有√（1+k^2））[x2-x1]（中括号表示绝对值）弦长=3√2/2，对于p点面积最大，它到弦的距离应最大，假设已经找到p到弦的距离最大，过p做弦的，可以 发现这个平行线是椭圆的切线是才会最大，这个切线和弦平行故斜率和弦的斜率=，设y=x+m，利用判别式等于0，求得m=2,-2.结合图形得m=-2.x=1.5,y=-0.5,p（1.5,-0.5），
三 直线方程x-y+1=0，利用点到直线的距离公式求得√2/2，面积1/2*√2/2*3√2/2=3/4,
椭圆手工画法
椭圆手绘法一
画长轴AB，短轴CD，AB和CD互垂平分于O点。⑵：连接AC。⑶：以O为圆心，OA为半径作圆弧交OC延长线于E点。⑷：以C为，CE为半径作与AC交于F点。⑸：作AF的垂直平分线交CD延长线于G点，交AB于H点。⑹：截取H，G对于O点的对称点H’，G’ ⑺：H，H’为长轴圆心，分别以HA、H‘B为半径作圆；G，G’为短轴圆心，分别以GC、G‘D为半径作圆。
用一根线或者细铜丝，铅笔，2个图钉或大头针画椭圆的方法：先画好长短轴的十字线，在长轴上以圆点为中心先找2个大于短轴半径的点，一个点先用图钉或者大头针栓好线固定住，另一个点的线先不要固定，用笔带住线去找长短轴的4个顶点，此步骤需要多次定位，直到都正好能于顶点吻合后固定住这2个点，用笔带住线，直接画出椭圆：）使用细铜丝最好，因为线的较大画出来不一定准确！
椭圆手绘法二
椭圆的│FF'│（Z）定义，为已知椭圆所构成的长轴X(a
已知长轴与短轴尺寸，两焦点焦距尺规作图法
b）与短轴Y(cd）则以长轴一端A为圆心短轴Y为半径画弧，从长轴另一段点B引出与弧相切的线段则为该椭圆焦距，求证公式为2√{(Z/2）^2+(Y/2）^2}+Z=X+Z（平面内与两定点F、F'的距离的和等于常数2a（2a&|FF'|）的动点P的轨迹叫做椭圆），可演变为z=√x^2-y^2(x&y&0）。Z两端点F、F'为定点。取有韧性切伸缩系数越小越好的线，环绕线段AF'或者FB线段任意一组为长度，以该长度为固定三角形，以F、F'　为定点、取构成该三角形上的第三点为动点画弧则构成该椭圆。
椭圆手绘法三
椭圆示意图
。根据椭圆的图形特征，采用环线表示动点与焦点间的距离关系，形成统一的圆形环线作图法。具体方法简介：（1）作图工具为笔、大头针、直尺和环形线。（环形线制作：取一段长度（30—50cm）和粗细适中弹性小的软线、一段8mm长细电线空塑料管，软线从塑料管中相向窜过，塑料管将软线夹紧，但用力可以抽动，形成能收缩和放长的环形线）。（2）在作图平面上作出各种圆形的定点和动点。（3）将大头针分别直立、固定在定点上；（4）将符合长度的环形线套在大头针外，画笔由内向外拉直环线，通过调整环线的长度使笔尖刚好落在动点上；（5）将画笔移动一周，即可作出各种圆的图形。
环线作图方法的最大特点，就是把圆形的动点与焦点间的距离关系以环线的方式联系起来，而不受焦点数目的影响，环线内可以容纳任意焦点数目，为探讨3个及其3个以上焦点数目的提供有效方法。环线作图方法，属于连续移动作图法，适合不同大小的圆、椭圆和等作图。
若用该方法画规定半长轴a和半短轴b的椭圆，则
椭圆计算机方面
Ellipse函数
该函数用于画一个椭圆，椭圆的中心是限定矩形的中心，使用当前画笔画椭圆，用当前的画刷填充椭圆。
BOOL Ellipse(HDC hdc,int nLeftRect,int nTopRect,nRightRect,int nBottomRect).
hdc：设备环境。
nLeftRect：指定限定椭圆左上角的X坐标。
nTopRect：指定限定椭圆左上角的Y坐标。
nRightRect：指定限定椭圆右下角的X坐标。
nBottomRect：指定限定椭圆右下角的Y坐标。
如果调用成功，非零；如果函数失败，返回值是0。
计算机图形学约束
椭圆必须一条直径与x轴，另一条直径y轴平行。不满足此条件的几何学椭圆在计算机上视作一般封闭曲线。
刘绍学．高中数学选修2-1：人民教育出版社，2005
刘绍学．高中数学选修4-1 几何证明选讲：人民教育出版社，2005
阿波罗尼奥斯．圆锥曲线论：陕西科学技术出版社，2007
张维善．高中物理必修2：人民教育出版社，2010
苏教版高中数学教材编写组．数学选修2-1：江苏教育出版社，2013：30
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（全国通用）2018高考数学一轮复习 坐标系与参数方程 第1节 坐标系教师用书 文 新人教A版.doc 10页
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（全国通用）2018高考数学一轮复习 坐标系与参数方程 第1节 坐标系教师用书 文 新人教A版
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选修4－4　坐标系与参数方程
第一节　坐标系
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[考纲传真]　1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x′＝λx，λ＞0，,y′＝μy，μ＞0))的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．
2．极坐标系与点的极坐标
(1)极坐标系：如图1所示，在平面内取一个定点O(极点)，自极点O引一条射线Ox(极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
图1
(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．
3．极坐标与直角坐标的互化
点M直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝ρcos θ，,y＝ρsin θ))ρ2＝x2＋y2 tan θ＝eq \f(y,x)(x≠0)4.圆的极坐标方程
曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ＜2π)圆心为(r,0)，半径为r的圆ρ＝2rcos_θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)≤θ≤\f(π,2)))圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r，\f(π,2)))，半径为r的圆ρ＝2rsin_θ(0≤0＜π)5.直线的极坐标方程
(1)直线l过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R)．
(2)直线l过点M(a,0)且垂直于极轴，则直线l的极坐标方程为ρcos θ＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＜θ＜\f(π,2))).
(3)直线过Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b，\f(π,2)))且平行于极轴，则直线l的极坐标方程为ρsin_θ＝b(0＜θ＜π)．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．(　　)
(2)若点P的直角坐标为(1，－eq \r(3))，则点P的一个极坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(π,3))).(　　)
(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．(　　)
(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)
A．ρ＝eq \f(1,cos θ＋sin θ)，0≤θ≤eq \f(π,2)
B．ρ＝eq \f(1,cos θ＋sin θ)，0≤θ≤eq \f(π,4)
C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤eq \f(π,2)
D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤eq \f(π,4)
A　[∵y＝1－x(0≤x≤1)，
∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)，
∴ρ＝eq \f(1,sin θ＋cos θ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤θ≤\f(π,2))).]
3．(教材改编)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C的直角坐标方程为________．
x2＋y2－2y＝0　[由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ.
所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.]
4．已知直线l的极坐标方程为2ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq \r(2)，点A的极坐标为Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(7
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2015闸北区初三数学二模(含答案)日期：
闸北区2015年初中毕业统一学业模拟考试 数学试卷
(时间100分钟，满分150分) 2015.4考生注意: 1(本试卷含三个大题，共25题( 2(答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答
题一律无效( 3(除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证
明或计算的主要步骤(
一、选择题:(本大题共6题，每题4分，满分24分) 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1(下列计算正确的是 63322aaa,,(A); (B); ()22aa,326235aaa,,(C); (D)( 325aaa，,2(下列方程有实数根的是 2x，2x,,,12(A); (B); ,0x,122xx,，,10(C); (D)( 210xx，,,3(如果函数的图像一定经过第二象限，那么m的取值范围是 yxm,，3 (A)m > 0; (B)m?0; (C)m < 0; (D)m?0( 4(如图，反映的是某中学九(1)班学生外出乘车、步行、骑车人数的扇形分布图，其中乘车的学生有20人，骑车的学生有12人，那么下列说法正确的是
(A)九(1)班外出的学生共有42人; (B)九(1)班外出步行的学生有8人; 乘车50% (C)在扇形图中，步行学生人数所占的圆心角的度数为82?; 步行 骑车 (D)如果该中学九年级外出的学生共有500人，那么估计全年级 x % y % 外出骑车的学生约有140人( 5(一个正多边形绕它的中心旋转45?后，就与原正多边形第一次 (第4题图) 重合，那么这个正多边形 (A)是轴对称图形，但不是中心对称图形; (B)是中心对称图形，但不是轴对称图形; (C)既是轴对称图形，又是中心对称图形; (D)既不是轴对称图形，也不是中心对称图形(
第 1 页 共 12 页6(下列命题中正确的是 (A)对角线相等的梯形是等腰梯形; (B)有两个角相等的梯形是等腰梯形; (C)一组对边平行的四边形一定是梯形; (D)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形(
二、填空题:(本大题共12题，每题4分，满分48分) 7(9的平方根是 ? ( 48(在实数范围内分解因式: ? ( x,,25119(计算: ? ( ,,xx，110(函数的定义域是 ? ( yx,,42k11(已知:反比例函数的图像经过点A(2，-3)，那么k = ? ( y,x112(将一次函数的图像沿着y轴向下平移5个单位，那么平移后所得图像的yx,，32函数解析式为 ? ( 13(一布袋里装有4个红球、5个黄球、6个黑球，这些球除颜色外其余都相同，那么从这个布袋里摸出一个黄球的概率为 ? ( 14(如果一组数a，2，4，0，5的中位数是4，那么a可以是 ? (只需写出一个满足要求的数)( ,,,,,,,,,,,,,,ABa,ADb,CA,15(已知:在平行四边形ABCD中，设，，那么 ? (用,,ab向量、的式子表示)( 16(在四边形ABCD中，BD是对角线，?ABD =?CDB，要使四边形ABCD是平行四边形只须添加一个条件，那么这个条件可以是 ? (只需填写一个正确条件即可)( 17(某中学组织九年级学生春游，有m名师生租用45座的大客车若干辆，共有2个空座位，那么租用大客车的辆数是 ? (用m的代数式表示)( 18(在Rt?ABC中，，,:C90，AC = 3，BC = 4(如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，那么半径r的取值范围是 ? (
三、解答题:(本大题共7题，满分78分) 19((本题满分10分) 1,31,3计算:( 12627,,，31，
第 2 页 共 12 页20((本题满分10分) 22,330,xyy,,，,?,解方程组: ,21xy,,(?,,
21((本题共2小题，每小题5分，满分10分) 4如图，在梯形ABCD中，AD // BC，AB = CD = 5，对角线BD平分?ABC，( cosC,5(1)求边BC的长; A D (2)过点A作AE?BD，垂足为点E，求cot?DAE的值(
B C (第21题图)
22((本题共2小题，第(1)小题4分，第(2)小题6分，满分10分) 某宾馆有客房200间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房恰好全部住满;如果每间客房每天的定价每增加10元，就会减少4间客房出租(设每间客房每天的定价增加x元，宾馆出租的客房为y间( 求:(1)y关于x的函数关系式; (2)如果某天宾馆客房收入38400元，那么这天每间客房的价格是多少元,
23((本题共2小题，第(1)小题5分，第(2)小题7分，满分12分) 如图，在Rt?ABC中，?BAC = 90?，AD = CD，点E是边AC的中点，联结DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG // BC，交DE于点G，联结AF、CG( (1)求证:AF = BF; D (2)如果AB = AC，求证:四边形AFCG是正方形( A G
B C F (第23题图)
第 3 页 共 12 页24((本题共3小题，每小题4分，满分12分) 如图，在直角坐标平面xOy内，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限内，且?OAB 2= 90?，?BOA = 30?，OB = 4(二次函数的图像经过点A，顶点为点C( yxbx,,，(1)求这个二次函数的解析式，并写出顶点Cy 的坐标; l (2)设这个二次函数图像的对称轴l与OB相C DE交于点D，与x轴相交于点E，求的值; DCB (3)设P是这个二次函数图像的对称轴l上一点，如果?POA的面积与?OCE的面积相等，求D 点P的坐标( A O x E
(第24题图)
25((本题共3小题，第(1)小题4分，第(2)、(3)小题每小题5分，满分14分) AB,43已知:如图，?ABC为等边三角形，，AH?BC，垂足为点H， 点D在线段HC上，且HD = 2，点P为射线AH上任意一点，以点P为圆心，线段PD的长为半径作?P，设AP = x( (1)当x = 3时，求?P的半径长; (2)如图1，如果?P与线段AB相交于E、F两点，且EF = y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域; 3)如果?PHD与?ABH相似，求x的值(直接写出答案即可)( (
P P F B B B C C C H D H D H
(备用图) (第25题图) (图1)
参考答案以及评分标准 第 4 页 共 12 页一、选择题:(本大题共6题，每题4分，满分24分) 1(B;2(D;3(A;4(B;5(C;6(A(
二、填空题:(本大题共12题，每题4分，满分48分) (;9(;10(x?2;11(-6;12(; yx,,2()()()xxx，，,555xx()，12,,113(;14(4(所填答案满足a?4即可);15(;16(AB = CD(或AD // BC等); ,,ab3m，2< r?4或( r,545
三、解答题:(本大题共7题，满分78分) 119(解:………………………………………………(6分) 原式(),,,，23236-3 ,,，,23232 ……………………………………………………(2分) 334,=(……………………………………………………………(2分)
( ? ……………………………………………(1分) 20(解:由? 得 yx,,2122把? 代入?，得 ( 3212130xxx,,,,，,()()2整理后，得 (……………………………………………(2分) xx,,,230解得 x = -1，x= 3(……………………………………………………(2分) 12 把x = -1代入?，得 y = -3(……………………………………………(2分) 11把x= 3代入?，得 y = 5(………………………………………………(2分) 2 2x,,1,x,3,,,21所以，原方程组的解是 ……………………………(1分) ,,y,5.y,,3,21,,
21(解:(1)过点D作DH?BC，垂足为点H( 4在Rt?CDH中，由?CHD = 90?，CD = 5，， cosC,54得 (……………………………………(1分) CHCDC,,,，,cos545? 对角线BD平分?ABC，? ?ABD =?CBD(………………(1分) ? AD // BC，? ?ADB =?DBC( ? ?ABD =?ADB(即得 AD = AB = 5(…………………………(2分) 于是，由等腰梯形ABCD，可知 BC = AD +2 CH = 13(…………(1分)
(2)? AE?BD，DH?BC，? ?BHD =?AED = 90?( ? ?ADB =?DBC，? ?DAE =?BDH(………………………(1分) 2222DHCDCH,,,,,543在Rt?CDH中，(………………(1分) 第 5 页 共 12 页在Rt?BDH中，BH = BC -CH = 13 -4 = 9(………………………(1分) DH31? (………………………………………(1分) cot，,,,BDHBH931? cot?DAE = cot?BDH =(………………………………………(1分) 3
222(解:(1)根据题意，得 ( ……………………………………(4分) yx,,，20052(2)根据题意，得 (……………………(2分) ()()，,，,xx52整理后，得 ( xx,，,解得 x = 20，x = 300(………………………………………………(2分) 12当x = 20时，x +180 = 200(元)( 当x = 300时，x +180 = 480(元)(……………………………………(1分) 答:这天的每间客房的价格是200元或480元(……………………(1分)
23(证明:(1)? AD = CD，点E是边AC的中点，? DE?AC( …………(1分) 即得DE是线段AC的垂直平分线( ? AF = CF( ? ?FAC =?ACB(………………………………………………(1分) 在Rt?ABC中，由 ?BAC = 90?， 得 ?B +?ACB = 90?，?FAC +?BAF = 90?( ? ?B =?BAF( ? AF = BF(………………………………………………………(3分) (2)? AG // CF，? ?AGE =?CFE(…………………………… (1分)
又? 点E是边AC的中点，? AE = CE( 在?AEG和?CEF中， ? ?AGE =?CFE，?AEG =?CEF，AE = CE， ? ?AEG??CEF( ? AG = CF(………………………………………………………(2分) 又? AG // CF，? 四边形AFCG是平行四边形(……………(1分) ? AF = CF，? 四边形AFCG是菱形(………………………(1分) 在Rt?ABC中，由 AF = CF，AF = BF，得 BF = CF( 即得点F是边BC的中点( 又? AB = AC，? AF?BC(即得 ?AFC = 90?( ? 四边形AFCG是正方形(………………………………………(2分)
24(解:(1)? ?OAB = 90?，?BOA = 30?，OB = 4， OAOB,,:,cos3023? ( 第 6 页 共 12 页? A(，0)(……………………………………………………(1分) 232? 二次函数的图像经过点A， yxbx,,，2? ( -()23230，,b解得 ( b,232? 二次函数的解析式为(…………………………(2分) yxx,,，23顶点C的坐标是(，3)( …………………………………………(1分) 3(2)? ?OAB = 90?，?BOA = 30?，OB = 4， ? AB = 2(……………………………………………………………(1分) 2由DE是二次函数的图像的对称轴， yxx,,，23可知 DE // AB，OE = AE( DEOE1? (即得 DE = 1(…………………………………(1分) ,,ABOA2又? C(，3)，? CE = 3( 3即得 CD = 2(…………………………………………………………(1分) DE1? (…………………………………………………………(1分) ,DC23)根据题意，可设P(3，n)( (1? ，CE = 3， OEOA,,3213? (………………………………………(1分) SOECE,,,3,OCE221133SOAPEn,,,，,23? ( ,POA2223解得 (…………………………………………………………(1分) n,,23333? 点P的坐标为P(，)、P(，)(………………(2分) ,1222
ABAC,,4325(解:(1)? ?ABC为等边三角形，? ，?B = 60?(……(1分) AB,43又? ，AH?BC， 3AHABB,,，,，,sin436? (………………………………(1分) 2即得 PH = AH –AP = 6 –x = 3( 在Rt?PHD中， HD = 2， 2222PDPHDH,，,，,3213利用勾股定理，得 ( 13? 当x = 3时，?P的半径长为( ……………………………(2分) (2)过点P作PM?EF，垂足为点M，联结PE( 在Rt?PHD中， HD = 2，PH = 6 –x( 第 7 页 共 12 页222利用勾股定理，得 (…………(1分) PDPHDHx,，,,，()64? ?ABC为等边三角形，AH?BC， 11? ?BAH = 30?(即得 (………………………(1分) PMAPx,,22在?P中，PE = PD( ? PM?EF，P为圆心， 11? (………………………………………………(1分) EMEFy,,22222于是，在Rt?PEM中，由勾股定理得 ( PMEMPE，,11222即得 ( xyx，,,()6+4442? 所求函数的解析式为， yxx,,，348160102446,定义域为 (………………………………………(2分) ,,x33(3)，……………………………………………………………(2分) x,,623123x,,6， …………………………………………………………(1分) 2323x,，6， …………………………………………………………(1分) 33( …………………………………………………………(1分) x,，6234说明:本小题共有四个正确答案，满分为5分(仅写出一个正确答案或写出的几个答案中仅有一个正确答案，得2分;如果写出的答案数超过四个，扣1分(
参考答案以及评分标准 一、选择题:(本大题共6题，每题4分，满分24分) 1(B;2(D;3(A;4(B;5(C;6(A(
二、填空题:(本大题共12题，每题4分，满分48分) (;9(;10(x?2;11(-6;12(; yx,,2()()()xxx，，,555xx()，12,,1,,ab13(;14(4(所填答案满足a?4即可);15(;16(AB = CD(或AD // BC等); 3m，2< r?4或( r,545
三、解答题:(本大题共7题，满分78分) 119(解:………………………………………………(6分) 原式(),,,，23236-3第 8 页 共 12 页……………………………………………………(2分) ,,，,23232=(……………………………………………………………(2分) 334,
20(解:由? 得 ( ? ……………………………………………(1分) yx,,2122把? 代入?，得 ( 3212130xxx,,,,，,()()2整理后，得 (……………………………………………(2分) xx,,,230解得 x = -1，x= 3(……………………………………………………(2分) 12 把x = -1代入?，得 y = -3(……………………………………………(2分) 11把x= 3代入?，得 y = 5(………………………………………………(2分) 2 2x,,1,x,3,,,12所以，原方程组的解是 ……………………………(1分) ,,y,,3,y,5.21,,
21(解:(1)过点D作DH?BC，垂足为点H( 4在Rt?CDH中，由?CHD = 90?，CD = 5，， cosC,54得 (……………………………………(1分) CHCDC,,,，,cos545? 对角线BD平分?ABC，? ?ABD =?CBD(………………(1分) ? AD // BC，? ?ADB =?DBC( ? ?ABD =?ADB(即得 AD = AB = 5(…………………………(2分) 于是，由等腰梯形ABCD，可知 BC = AD +2 CH = 13(…………(1分)
(2)? AE?BD，DH?BC，? ?BHD =?AED = 90?( ? ?ADB =?DBC，? ?DAE =?BDH(………………………(1分) 2222DHCDCH,,,,,543在Rt?CDH中，(………………(1分) 在Rt?BDH中，BH = BC -CH = 13 -4 = 9(………………………(1分) DH31? (………………………………………(1分) cot，,,,BDHBH931? cot?DAE = cot?BDH =(………………………………………(1分) 3
222(解:(1)根据题意，得 ( ……………………………………(4分) yx,,，20052(2)根据题意，得 (……………………(2分) ()()，,，,xx52xx,，,整理后，得 ( 解得 x = 20，x = 300(………………………………………………(2分) 12当x = 20时，x +180 = 200(元)( 第 9 页 共 12 页当x = 300时，x +180 = 480(元)(……………………………………(1分) 答:这天的每间客房的价格是200元或480元(……………………(1分)
23(证明:(1)? AD = CD，点E是边AC的中点，? DE?AC( …………(1分) 即得DE是线段AC的垂直平分线( ? AF = CF( ? ?FAC =?ACB(………………………………………………(1分) 在Rt?ABC中，由 ?BAC = 90?， 得 ?B +?ACB = 90?，?FAC +?BAF = 90?( ? ?B =?BAF( ? AF = BF(………………………………………………………(3分) (2)? AG // CF，? ?AGE =?CFE(…………………………… (1分)
又? 点E是边AC的中点，? AE = CE( 在?AEG和?CEF中， ? ?AGE =?CFE，?AEG =?CEF，AE = CE， ? ?AEG??CEF( ? AG = CF(………………………………………………………(2分) 又? AG // CF，? 四边形AFCG是平行四边形(……………(1分) ? AF = CF，? 四边形AFCG是菱形(………………………(1分) 在Rt?ABC中，由 AF = CF，AF = BF，得 BF = CF( 即得点F是边BC的中点( 又? AB = AC，? AF?BC(即得 ?AFC = 90?( ? 四边形AFCG是正方形(………………………………………(2分)
24(解:(1)? ?OAB = 90?，?BOA = 30?，OB = 4， OAOB,,:,cos3023? ( 23? A(，0)(……………………………………………………(1分) 2? 二次函数的图像经过点A， yxbx,,，2? ( -()23230，,bb,23解得 ( 2? 二次函数的解析式为(…………………………(2分) yxx,,，233顶点C的坐标是(，3)( …………………………………………(1分) (2)? ?OAB = 90?，?BOA = 30?，OB = 4， ? AB = 2(……………………………………………………………(1分) 2由DE是二次函数的图像的对称轴， yxx,,，23可知 DE // AB，OE = AE( DEOE1? (即得 DE = 1(…………………………………(1分) ,,ABOA2第 10 页 共 12 页又? C(，3)，? CE = 3( 3即得 CD = 2(…………………………………………………………(1分) DE1? (…………………………………………………………(1分) ,DC2(3)根据题意，可设P(，n)( 31? ，CE = 3， OEOA,,3213? (………………………………………(1分) SOECE,,,3,OCE221133? ( SOAPEn,,,，,23,POA2223解得 (…………………………………………………………(1分) n,,233? 点P的坐标为P(3，)、P(3，)(………………(2分) ,1222
25(解:(1)? ?ABC为等边三角形，? ABAC,,43，?B = 60?(……(1分) 又?AB,43 ，AH?BC， 3AHABB,,，,，,sin436? (………………………………(1分) 2即得 PH = AH –AP = 6 –x = 3( 在Rt?PHD中， HD = 2， 2222PDPHDH,，,，,3213利用勾股定理，得 ( 13? 当x = 3时，?P的半径长为( ……………………………(2分) (2)过点P作PM?EF，垂足为点M，联结PE( 在Rt?PHD中， HD = 2，PH = 6 –x( 222利用勾股定理，得 (…………(1分) PDPHDHx,，,,，()64? ?ABC为等边三角形，AH?BC， 11? ?BAH = 30?(即得 (………………………(1分) PMAPx,,22P中，PE = PD( 在?? PM?EF，P为圆心， 11? (………………………………………………(1分) EMEFy,,22222PMEMPE，,于是，在Rt?PEM中，由勾股定理得 ( 11222即得 ( xyx，,,()6+4442? 所求函数的解析式为yxx,,，348160， 第 11 页 共 12 页102446,定义域为 (………………………………………(2分) ,,x33(3)，……………………………………………………………(2分) x,,623123， …………………………………………………………(1分) x,,62323， …………………………………………………………(1分) x,，633( …………………………………………………………(1分) x,，6234说明:本小题共有四个正确答案，满分为5分(仅写出一个正确答案或写出的几个答案中仅有一个正确答案，得2分;如果写出的答案数超过四个，扣1分(
第 12 页 共 12 页本文由(www.wenku1.com)首发，转载请保留网址和出处！
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