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如何培养学生的数学推理能力
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谈谈小学数学教学中的推理能力培养
　　[摘 要] 小学阶段是学生推理能力形成的基础时期，小学阶段形成的推理意识与能力能够影响到学生后期学习的大部分过程，因此我们强调在小学阶段要加强学生推理能力的培养，让学生能够尽快形成相对严密的推理思路，一方面可以让学生尽早适应需要用推理能力作为支撑的数学学习，也能够让他们将这些能力迁移到其他方面去. 中国论文网 /1/view-5191395.htm　　[关键词] 小学数学；推理能力；培养 　　小学数学教学中，推理一般是指逻辑推理，而其又分为归纳推理和演绎推理两种，这两种能力对于小学生形成真正的数学能力而言，都是十分重要的. 从学习心理的角度来看，推理往往是指由一个或一个以上的概念（推理的前提），推理出新的判断（推理的结果）的过程，这个过程不仅常见于数学当中，也常存在于生活当中，因此生活为小学数学课堂上培养学生的推理能力打好了坚实的基础. 　　在推理过程中，由于从前提到结论具有严密的逻辑推理关系，因此推理的力量相对于其他数学能力而言更为强大. 在实际生活中，推理也是最为有力的说理手段，很多场合其实都是推理在发挥着最主要的作用. 事实上，早就有国内外学者研究出了推理的若干本质，如著名的“三段论”等. 因此在小学数学教学中培养学生的推理能力，一方面能够体现出推理方法本身的魅力，另一方面又能让学生在推理中生成推理能力. 小学阶段是学生推理能力形成的基础时期，小学阶段形成的推理意识与能力能够影响到学生后期学习的大部分过程，因此我们强调在小学阶段要加强学生推理能力的培养，让学生能够尽快形成相对严密的推理思路，一方面可以让学生尽早适应需要用推理能力作为支撑的数学学习，也能够让他们将这些能力迁移到其他方面去. 　　小学数学教学中推理能力培养浅析 　　文首已经提到，推理一般分为归纳推理和演绎推理，其实这两种推理也就是思维方法中的归纳和演绎. 归纳是指由特殊向一般的推理过程，也就是说学习者通过对一个个个体的研究，以发现其中共同的地方，寻找到不同事物内在的关联或规律；而演绎是由一般向特殊的推理过程，即运用通过归纳得出的规律，将其运用到相似的其他事物当中去. 所以从概念上看，归纳推理和演绎推理其实是两个相反的过程. 　　我们先来看归纳推理，一般认为，归纳推理往往分为完全归纳和不完全归纳. 完全归纳作为一种相对理想的状态，是指要通过对所有的研究对象的分析来最终得到某一个规律，这是最具有说服力的推理. 但在客观世界中人们一般是不可能将某一事物的全部对象纳入研究范畴的，因此人们在归纳时更多用到的是不完全归纳法，即通过选取有典型性的事例进行研究，以便尽量寻找到正确规律的过程. 虽然是不完全归纳，但其也有较高的要求，最起码在能够搜集到的事例中不能出现反常现象，否则不完全归纳得出的结论就是错误的. 在我们的小学数学教学中用到的一般也是不完全归纳，即在学习某些概念与规律时，通过向学生提供三个左右的事例（教师事先精心准备的）让学生分析综合，然后归纳出相应的规律. 而前面建立的概念与规律在后面新知识学习的过程中的运用，就可以看作是一种演绎的过程. 演绎的过程其实是利用已有的前提（一般就是归纳推理的产物）在符合逻辑的情况下得出相应结论的过程. 　　将归纳与演绎综合起来形成的推理过程，是一个更为复杂的推理过程，其中蕴含着十分复杂的逻辑推理，由于能力和篇幅所限，此处不再赘述. 但我们可以打一个比方来理解一下逻辑推理：数学上最基本的一个数量关系是1+1=2，至于这个关系（前提）为什么能够成立，虽然目前没有得到证明，但却不影响在此基础上进行的演绎，于是出现了其他的许多数量关系. 再如到了初中研究空间图形关系，由两直线平行演绎出的若干结论，既是由归纳得出，也是由演绎得出. 由于小学生思维能力有限，小学阶段的推理能力往往集中在数学概念和规律的建立上，而运用规律解答习题、解决问题则往往是一个演绎的过程. 　　小学数学教学中推理能力培养措施 　　推理能力的培养最终落实在具体的教学措施当中，那么在实际教学中可以通过哪些措施来提升学生的推理能力呢？笔者在教学中进行了一些尝试与探索，从而取得了一些收获与认识，阐述如下. 　　一是要有意识地寻找小学数学教材中能够培养学生推理能力的素材. 事实证明，任何能力的形成一定是依附于某个具体知识点的学习的，也就是说离开了具体的学习素材学生是不可能真正形成能力的. 尤其是对于小学阶段的学生而言，他们的思维能力还不够强，因此思考的时候更需要有一个明确的素材. 例如有经验的老师会经常举一些有趣的例子，一个小孩可能不知道1+1等于几，但一个苹果加一个苹果是几个苹果一定是知道的，而且是很快就能知道的. 　　我们可以通过一个例子来阐述上面的观点. 例如“圆周率”的教学，我们注意到数学史上《周髀算经》中有“径一周三”的记载，根据对有关资料的研究，我们认为这其实就是归纳法得出的结果. 既然如此，那么在小学数学教学中能不能仿照这一思路呢？笔者觉得完全是可以进行一番尝试的，在教研组内集体备课的基础上，笔者的实践是这样的：让学生随机画三个大小不一的圆，然后分别用直尺量出圆的直径与周长，再去寻找其中的关系. 这个过程说起来很简单，但在实际教学中却花了很长的时间. 虽然这个时间比以往的教学要长得多，但笔者认为是有价值的. 事实表明，在这个过程中，学生可以得到三组以上的数据；然后教师引导学生分析、归纳这几组数据，去寻找、归纳其中的关系――这是推理过程，也是这个教学实践的核心. 笔者认为，这一教学策略肯定是有效的，学生一旦寻找到其中的关系，就会对这种看似偶然实则必然的关系产生强烈的兴趣，圆周率的形成就成了一个探究味道非常浓的学习过程，在这个过程中，归纳思维发挥了重要的作用. 　　值得一提的是，在另一个班采用这一策略时，学生一时看不出其中的关系. 于是笔者即时作了调整，让学生画出三个周长分别是2厘米、4厘米和6厘米的圆，这样得到的周长的关系相对更为明显，规律也就更容易发现. 在此有一点是值得强调的，就是利用一些有规律的数字给学生创设一种学习情境，能够降低教学难度，让学生更顺利地开展数学思考.
　　二是抓住能够培养学生演绎推理能力的机会培养学生的推理能力. 分析小学数学教材我们可以看出，演绎推理实际上集中在应用环节，因此演绎能力培养的主要场合与机会就是学生在获得知识之后的应用. 而小学数学的应用又是以数学习题的解决和数学知识的实际应用为主要形式的，所以我们在教学尤其是教学设计过程中，不仅要考虑数学问题本身得到解决，更要考虑在这些问题解决的过程中可以培养学生怎样的推理能力. 　　举一个简单的例子，在小学三年级阶段学生会学到“总价÷数量=单价”“总价÷单价=数量”的表达式，在这个阶段如果我们教懂学生这两个式子的含义，尤其是超越了总价、单位含义后的抽象含义，那学生到了高年级学习行程问题中路程、速度、时间的关系时，就可以创设一个带有探究性的情境，让学生自主思考得出“路程÷时间=速度”“路程÷速度=时间”的关系. 由于这样的关系是学生在已经掌握了的知识的基础上，通过自己的演绎推理得来的，因此他们容易获得一种收获知识的满足，而在这一过程中他们又会加强演绎推理的理解与运用能力. 　　三是注意引导学生养成主动运用推理解决问题的习惯. 众所周知，能力的形成并不体现在学生在教师的引导下去解决某个数学问题，而在于学生遇到新的数学问题之后自发地产生一种运用推理解决问题的意识. 也就是说，包括推理能力在内的许多能力形成的最终标志是学生对这一方法的主动运用，却是一种运用上的直觉. 　　在小学数学教学中，我们有时候非常强调学生熟练地掌握基本的知识，要达到自动运用的水平. 而要达到这样的水平，一定程度上重复训练是离不开的，但要说明的一点是这与我们常说的题海战术不同，推理能力培养要求下的重复训练是为了让学生熟练地掌握知识，将基础知识内化为一种数学意识. 当这种意识形成后，学生的学习动机就会转移到能力上来，于是推理能力的主动运用就成了教学的重点. 　　推理思维能力形成的教学反思 　　实际教学中，我们注意到能力的形成并不是一件轻而易举的事情. 一方面，由于应试压力的存在，我们课堂上的时间更多的花在知识的巩固上，对于能力则往往是自然形成的，缺少有目的的指导. 而要想培养这方面的能力，一是需要教师付出努力，另外还有可能付出应试成绩不理想的代价. 另一方面，由于我们教学中缺少能力培养的意识，而师范教育中我们又缺少系统的能力培养，因此在实际教学中有时会出现有心无力的情形. 考虑到这些情形，在小学数学教学中，推理能力的教学仍然是一件任重道远的事情.
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如何培养小学生小学数学的推理能力6
六、把推理能力的培养置于层次性和差异性的关注中
我们面对的教育对象是第一、二、三学段的小学生，从层次上目标要求不同。第一学段要求在教师的帮助下，初步学会选择有用的信息进行简短的归纳、类比。第二学段则要求能根据解决问题的需要，搜集有用信息，进行归纳、类比与猜测，发展初步的合情推理能力。第三学段要求能收集、选择、处理数学信息，并作出合理的推断或大胆的猜测；能用实例对一些数学猜想作出检验，从而增加猜想的可信程度或推翻猜想。因此，我们在培养学生的推理能力时一定要把握其层次性。另外，学生的思维也存在着一定的差异，我们要把握一定的“度”，让不同的学生得到不同的发展，因人施教，因材施教，使学生的推理能力不断跃上新台阶。
总之，数学教学中对学生进行推理能力的培养，对于老师，能提高课堂效率，增加课堂教学的趣味性，优化教学条件、提升教学水平和业务水平；对于学生，它不但能使学生学到知识，会解决问题，而且能使学生掌握在新问题出现时该如何应对的思想方法。在小学数学教学中，做为一名数学教师，应抓住时机，根据教材内容和学生的差异，设计恰当的教学内容，有的放矢地进行推理能力的训练。让学生积极的参与数学活动，体会数学知识的形成过程，让学生感悟到推理的方法和效能，充分展现学生想象能力，抽象能力，发展学生的数学思维能力。
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小学数学中培养学生推理能力的教学策略
周爱东 顺义区教育研究考试中心
小学生在数学课上学习一点有关推理的知识，是《课标》指定的一个重要教学内容。在《课标》（修改稿）的第三页倒数第一行，就有明确的规定：“
在数学教学中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直觉、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。”《课标》还具体地作出了解释“推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。在小学阶段，主要学习合情推理，即归纳推理和类比推理。而归纳推理又多表现为“不完全归纳推理”。
一、知识结构、逻辑推理及相互间的关系
在小学数学教学中，构建良好的数学知识结构是培养发展学生逻辑思维能力的一个重要途径。乌辛斯基早就指出：“所谓智力发展不是别的，只是很好组织起来的知识体系。”而知识体系因为其内在的逻辑结构而获得逻辑意义。数学中基本的概念、性质、法则、公式等都是遵循科学的逻辑性构成的。
“数学作为一种演绎系统，它的重要特点是，除了它的基本概念以外，其余一切概念都是通过定义引入的”。这种演绎系统一方面使得数学内容以逻辑意义相关联。另一方面从知识结构所蕴含的逻辑思维形式中得到的研究方法（如逻辑推理等），再去获取更多的知识。
例如：在教学正方形面积计算公式时 , 我们通过演绎推理得到的：
长方形面积＝长&宽
正方形长＝宽
因此得出正方形面积＝边长&边长
数学中的这种推理形式一旦被学生所熟识，他们又会运用它在已有知识的基础上作出新的判断和推理。
二、逻辑推理在教与学过程中的应用
根据奥苏贝尔的认知同化理论，学生知识的习得和构建，主要依赖认知结构中原有的适当观念，去影响和促进新的理解、掌握，沟通新旧知识的互相联系，形成新的认知结构系统，这是数学知识学习过程中的同化现象。它包含三方面的内容：一是新旧知识建立下位联系；二是新旧知识建立上位联系；三是新旧知识建立联合意义。这三方面与逻辑结构中的三类推理恰好建立相应的联系。
1. 下位关系 —— 演绎推理
2. 上位关系 —— 归纳推理
3. 并列关系 —— 类比推理
（一）下位关系——演绎推理
如果原有的认知结构观念极其抽象，概括性和包容性高于新知识，新旧知识建立下位联系、新知识从属于旧知识时，那么宜适当运用演绎推理的规则，
由一般性的前提推出特殊性的结论。
“演绎的实质就是认为每一特殊（具体）情况应当看作一般情况的特例”。为了得以关于某一对象的具体
知识，先要找出这一对象的类（最近的类概念），再将这一对象的类的属性应用于哪个对象。
例如：由四条线段围成的图形叫做四边形。
长方形、正方形、平行四边形、梯形都是由四条线段围成的图形。那么这些图形都是四边形。
两种量分别用 x 和 y 表示，若 y/ x ＝ k （一定），则 x 和 y 是成正比例的量。
同圆中周长比半径＝ 2 π（一定）。 同圆中周长和半径是成正比例的量。
当学生理解这种推理的顺序，且懂得要使演绎推理正确，首先要前提正确，并学会使用这样的语言：
只有两个因数（ 1 和它本身）的数是质数；
101 只有两个因数；
101 是质数。
那么，符合形式逻辑的演绎法则就初步被学生所掌握。
在知识层面中，这种类属过程的多次进行，就导致知识不断产生新的层次，其逻辑结构就越加严密，新的知识也就会不断分化和精确化，就可以逐渐演绎出新的类属性的具体知识。教学中正确把握这种结构，用演绎
推理的手段组织学习过程，不但能培养学生的思考方法，理解内容的逻辑结构，还能提高学生的模式辨认能力
，缩短推理过程，快速找到解题途径。
比如：运用乘法分 配律简便运算时，学生必须以清晰、稳固的乘法分配律知识为基础，才能实现简算。
a & c ＋ b & c ＝ ( a
＋ b ) & c
99 & 99 ＋ 99 & 1 ＝ 99 & (99 ＋ 1)=9900
99 & 99 ＋ 99
19 & 86 ＋ 14 & 26
＝ 19 & ( 86 ＋ 14 )
（二）上位关系 —— 归纳推理
如果原有认识结构已形成几个观念，要在原有的观念上学习一个抽象、概括和包容性高于旧知识的新知识，即新旧知识建立上位联系时，那么适当运用归纳推理的规则，可由特殊的前提推出一般性的结论。当需要研究某一对象集时，先要研究各个对象（情况），从中找出整个对象集所具有的性质，这就是归纳推理。归纳推理的基础是观察和试验，是从具体的、特殊的情况过渡到一般情况（结论、推论）。
例如：在学习两个奇数相加和是偶数时，先让学生列举出多个两个奇数相加的例子，最后得出两个奇数相加和是偶数的结论。
1 和 2 互质， 1 和 3 互质， 1 和 4 互质→ 1 和任意一个自然数互质。
2 和 3 互质， 3 和 4 互质， 4 和 5 互质 →相邻的两个自然数互质。
3 和 5 互质， 5 和 7 互质， 7 和 9 互质 →相邻的两个奇数互质。
教材中关于概念的形成，运算法则和运算定律、性质得出，一般是通过归纳推理得到的。运用归纳推理传授知识时，要根据学生的实际经验，选取典型的特例，并能够通过典型特例的推理得出一般性的结论。又要用这个“一般结论”，去解决具体特例。在教与学的进程中，归纳和演绎不是孤立地出现的，它们紧密交织在一起。
（三）并列关系——类比推理
如果新旧知识间既不产生从属关系，又不能产生上位关系，但是新知识同原有知识有某种吻合关系或类
比关系，则新旧知识间可产生并列关系。那么可以运用类比推理。
教材中，商不变性质和分数基本性质，乘数是整数的乘法和乘数是分数的乘法等，学习这类与旧知识处于并列结合关系的新知识时，既不能以上位演绎推理到下位，又不能以下位归纳推理到上位，只能采用类比推理
。如五年级学习“一辆卡车平均每小时行 40 千米 ， 0.3
小时行了多少千米？”时，学生还无法根据小数乘法的意义列出此题的解答等式。所以，教学中一般用整数乘法中的数量关系来类推。
新旧知识的三种联系与三类推理相呼应，不是一种巧合，是知识结构本身科学的逻辑结构使然。正确地运用逻辑推理的原则可以将学生的认识结构分化的程度提高，教师会不断注意新知识的稳定性、清晰性，新知识的固定点、生长点。数学教学更富有科学意义。
三、在小学数学教学中培养学生推理能力的策略
（一）新知识转化旧知识的学习中，沟通的策略。
（二）习得新知以后深化旧知，用新的视角看旧知的策略。
（三）在学习新知时，关键处设问引发思考点拨思路的策略。
（四）设计开放练习，培养学生推理能力的策略。
（五）构建可操作的教学模式，培养学生推理能力的策略。
（一）新知识转化旧知识的学习中，沟通的策略
．立体图形的体积计算，分为两个阶段，长、正方体体积；圆柱、圆锥的体积。学习了圆柱体积计算之后，可以把长方体，正方体，圆柱都看成是柱体，他们的体积都可以用底面积乘高来计算。
如图，它们的体积公式可以统一成（ V ＝ sh ）。
2 ．学习了小数除法，要沟通整数除法中有余数的除法，和小数除法的关系。
例如：教师设计的开放练习；
甲数除以乙数的商是 12 ，余数是 8 ，如果商用小数表示是 12.5 ，那么甲数是（ ），乙数是（ ）。
（二）学了新知以后深化旧知，用新的视角看旧知的策略
学习了分解质因数之后，可以深化整除的概念。
A ＝ 2 & 3 & 5 ； B ＝ 2 & 3 ²& 5 因为我们知道 B 包含 A 的所有因数，那么 B 是 A 的倍数，
A 是 B 的因数。
质数、合数的概念，是依据一个数的因数个数多少来分类建立概念的。学习了分解质因数的概念后，学生又认识到，任何一个合数都可以表示成几个质因数相乘的形式。教师应及时深化概念。从新的角度看旧知。
（三）在学习新知时，关键处设问引发思考点拨思路的策略
1 ．关键处点拨：
案例：商不变的性质教学片段。
首先是计算： 8 0 & 4= （ ）&（ ）学生都能找到一个正确答案，方法无一例外都是先算出商 20 ，然后想哪两个数相除商是
20 ，学生很难将两个算式中的被除数和除数建立起联系。
第二是观察：我写出一组算式：
80 & 8=10 ，
让学生说说发现了什么？
学生都发现了商没变，被除数和除数变了，
具体说说怎样变了？有的学生说被除数增加了，除数也增加了，有的学生说被除数扩大了，除数也扩大了，学生习惯上从上向下观察，从直观上感知被除数和除数发生了变化，增加了或扩大了，但对于被除数和除数变化之中的内在联系却很难发现。
如何让学生主动探求被除数和除数的变化规律，并有所发现呢？我通过对情境的加工，提取出数学实例，学生在观察、猜想、验证、反思等学习过程中，运用不完全归纳法总结出商不变的性质，从而丰富学生探索规律的数学活动经验。
我充分利用教材中猴王分桃子的情境：
3 只小猴子，猴王给了 6 个桃子，小猴子说不够不够，每人才 2
个桃子，太少了。猴王说：“少？没关系，我有神奇宝盒，那给你们变一变，”
猴王利用宝盒变成： 60 个桃子分给 30 个小猴子，600 个桃子分给 300 只小猴子。
600 和 300 ，
你们猜结果怎样？真让你们猜对了小猴子还是觉得少，奇怪了，桃子明明是越变越多了，小猴子为什么还说不够呢？学生很容易发现虽然桃子也就是被除数多了，分给猴子的只数也就是除数也多了，每个人分得的桃子也就是商没变。
真是神奇，被除数和除数同时都变了，商竟然没变，那是不是不管被除数和除数怎样变，商都不变呢？
&& 提出猜想：你认为被除数、除数发生怎样的变化，商就能不变呢？
2 ．在观察中引发思考。
3 ．在确定思考方向处教师应设问点拨
蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有
6 条腿。现在这两种小虫共 18
只，共有 118
条腿。问蜘蛛有几只？
列表解答鸡兔问题，可以从中间设数枚举。但是下一个数需要思考。确定试算的方向。教师应设问点拨。
（四）设计开放练习，培养学生推理能力的策略。
1 ．追根寻源 :
如果下图中圆的面积等于长方形的面积，那么圆的周长（
）长方形的周长。　
A. 等于　 B.
大于　 C. 小于
圆的周长是 16.4 厘米
，阴影部分的周长是多少厘米？
阴影部分的周长等于圆的周长加 1/4 圆周
＝ 16.4 &（ 1 ＋ 1/4 ） = 20.5 厘米 。
2 ．估算要有方法。
三位同学晨练，张华 5 分钟走了 351 米 ，李明 2 分钟走了 131 米 ，陆宇 3 分钟走了 220 米 ，（
）走得最快。
A. 张华 B. 李明 C. 陆宇
李明＋陆宇＝张华。张华１分钟大约走了 70 米 ，李明 1 分钟走路不足 70 米 。所以陆宇走路最快。
3 ．整体考虑：
用下面的三个图形可以拼成一个轴对称图形，把拼法画在下面的网格中，并画出所拼图形的对称轴。
三个图形拼成一个轴对称图形，对称轴可以有三个方向，沿着对称轴等成分两部分，每部分面积是 8
横向： 3 ＋ 5 ＝ 8 层次：易。
纵向： ２＋３＋３＝８ 层次：易。
三个图形拼成一个轴对称图形，对称轴可以有三个方向，沿着对称轴等成分两部分，每部分面积是 8
45 °方向： 0.5 ＋ 3.5 ＋ 4 ＝ 8 层次：难。
45 °方向： 2.5 ＋ 3.5 ＝ 6 每部分＋ 2 ＝ 8 层次：难。
（五）构建可操作的教学模式，有效发展推理能力
案例： 感知、猜想、验证、结论、推广应用五步教学法
三年级学生学习了乘数是两位数的乘法后，为了激发学生的学习的兴趣，使体验到数学计算中的趣味与魅力，在提高学生的计算能力的同时有意识地培养学生的推理能力，我们可以设计一些题组，清晰地呈现题组间逻辑关系，为学生提供充分观察思考的思维空间，让学生在经历观察、感知、猜想、验证结论、推广应用的数学活动中，
培养学生比较、分析、概括、探究等能力，发展学生的数学思考能力。
1. 利用题组，初步感知规律
先计算下列乘法算式的乘积，然后再认真观察：你有什么发现？
学生通过计算后发现：
因数的特点： 1. 一个因数都是 67
2. 一个因数数 12,15,18 ……都是 3 的倍数
积的特点： 1 、积的前两位数都是后两位数的 2 倍。
2. 根据发现，提出猜想
是不是只要是 3 的倍数与 67 相乘，它们的乘积就可能具有这个 2 倍的关系呢？
3. 结合实例，验证猜想
这时教师为学生提供如下的算式，让学生亲自对猜想加以验证：
通过计算以上题组加以验证，学生会发现自己的猜想得到了验证。那为什么这些乘法算式的结果会呈现有趣的 2 倍的关系呢？会不会是 3
倍、 4 倍呢？
4. 明晰道理，提升认识
3 & 67= 2 0
看来这些算式的乘积：前两位数是后两位数的 2 倍，一定与 67 、以及 3
的倍数有关，于是在充分谈论的基础上明晰道理，提升认识。
奥秘在于：
概括推理，得出结论：
一个两位数与 67 相乘，如果这个数是 3 的倍数，那么乘积的前两位数一定是后两位数的 2 倍。
5. 拓展结论，再次推理
你能根据一些特殊的数据自己设计一些有意思的题组，使它们的乘积也具有一些特殊性吗？
如：教师课提供一些材料：特殊的数是 37 ， 3 7 & 3=111.37 & 27=999 利用倍数关系轻松计算。
12 & 34= 24 & 34= 36 & 34= 51 & 34= 63 & 34=
14 & 43= 21 & 43= 28 & 43= 35 & 43= 91 & 43=
如果说通过演绎推理可以培养学生的运算能力、空间想象能力和严谨的治学态度，那么通过合情推理则可以培养学生的创新思维能力、创造想象能力、创新实践能力。因此可以说，推理是发展和培养学生创新能力的基础和必要条件，是
21 世纪新型人才应当具有的素质。
作为一名数学教师应当抓住时机，设计恰当的教学内容，让学生积极地参与数学活动，体会数学知识的形成过程，让学生感悟到推理的方法和效能，充分展现人的想象能力、抽象能力，充分展现人的智慧。
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