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Matlab中实验数据【复数】的曲线拟合
<h1 style="color:# 麦片财富积分
新手, 积分 5, 距离下一级还需 45 积分
最近做试验得出了一组实验数据，关于复介电常数随频率的色散关系
文献中给出了一个非线性表达式，想通过实验数据拟合求出待定系数
Matlab中非线性拟合的命令，像 fminsearch，lsqnonlin 和 lsqcurvefit，好像都能用上
其中后两个能解决非线性问题，但是对于复数数据的处理，有些麻烦
本来想分解为实部和虚部分别处理，但这样一来，若二者求得的系数不一致，那么就不能合并为文献中的表达式
请问一下各位达人，怎么处理？
初来咋到，谢谢指教！
[ 本帖最后由 mooni 于
11:02 编辑 ]
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给出你的数据啊 ？
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原帖由 tangph 于
12:41 发表
给出你的数据啊 ？
数据有,但是我只想请教一下思路
程序自己试试
如果有个例子推荐就更好了
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哎。。。我也遇到了和lz一样的问题。。。期待解决！
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这个问题很烦呀。
而且lsqcurvefit对初值太敏感。
有时也得不到好的结果
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关注者： 13
建议试试1stOpt：
1：不需要猜初值。
2：对于复数拟合，将虚实部分开后，用1stOpt中的“SharedModel”可进行参数共享模式拟合。
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这是我在1stopt下的一个程序，将实部和虚部同时进行拟合，就是出不来结果！请达人指点！
Title &Type your title here&;
Parameters a(1:2);
Variable x, y1,y2;
Function y1 = a1*(1-0.093*x^2*(x^2-100)/((x^2-100)^2+(a2*x)^2));
Function y2 = a1*(1-0.093*x^3*1.5/((x^2-100)^2+(a2*x)^2)) ;
//x& && && && && &y1& && && && && &y2
8& & & & & & & & 1.4475& & & & & & & & -0.0029
8.1& & & & & & & & 1.4783& & & & & & & & -0.0029
8.2& & & & & & & & 1.5124& & & & & & & & -0.0029
8.3& & & & & & & & 1.5505& & & & & & & & -0.0028
8.4& & & & & & & & 1.5931& & & & & & & & -0.0027
8.5& & & & & & & & 1.6412& & & & & & & & -0.0026
8.6& & & & & & & & 1.6958& & & & & & & & -0.0023
8.7& & & & & & & & 1.7584& & & & & & & & -0.002
8.8& & & & & & & & 1.8309& & & & & & & & -0.0016
8.9& & & & & & & & 1.9158& & & & & & & & -0.0009
9& & & & & & & & 2.0165& & & & & & & & 0
9.1& & & & & & & & 2.1381& & & & & & & & 0.0014
9.2& & & & & & & & 2.2877& & & & & & & & 0.0035
9.3& & & & & & & & 2.4765& & & & & & & & 0.0066
9.4& & & & & & & & 2.7224& & & & & & & & 0.0118
9.5& & & & & & & & 3.0571& & & & & & & & 0.0209
9.6& & & & & & & & 3.5413& & & & & & & & 0.0383
9.7& & & & & & & & 4.3117& & & & & & & & 0.0776
9.8& & & & & & & & 5.7644& & & & & & & & 0.1949
9.9& & & & & & & & 9.9083& & & & & & & & 0.9295
10& & & & & & & & 0.5827& & & & & & & & 16.6866
10.1& & & & & & & & -2.2904& & & & & & & & 8.3373
10.2& & & & & & & & -2.7431& & & & & & & & 6.0424
10.3& & & & & & & & -3.1652& & & & & & & & 4.7971
10.4& & & & & & & & -3.9795& & & & & & & & 3.8286
10.5& & & & & & & & -4.1336& & & & & & & & 0.6342
10.6& & & & & & & & -2.4848& & & & & & & & 0.1937
10.7& & & & & & & & -1.7653& & & & & & & & 0.1119
10.8& & & & & & & & -1.3281& & & & & & & & 0.0769
10.9& & & & & & & & -1.0267& & & & & & & & 0.0575
11& & & & & & & & -0.8042& & & & & & & & 0.0454
11.1& & & & & & & & -0.6324& & & & & & & & 0.0371
11.2& & & & & & & & -0.4953& & & & & & & & 0.0312
11.3& & & & & & & & -0.3832& & & & & & & & 0.0267
11.4& & & & & & & & -0.2898& & & & & & & & 0.0233
11.5& & & & & & & & -0.2108& & & & & & & & 0.0205
11.6& & & & & & & & -0.143& & & & & & & & 0.0183
11.7& & & & & & & & -0.0843& & & & & & & & 0.0165
11.8& & & & & & & & -0.0329& & & & & & & & 0.015
11.9& & & & & & & & 0.0124& & & & & & & & 0.0137
12& & & & & & & & 0.0527& & & & & & & & 0.0126
12.1& & & & & & & & 0.0886& & & & & & & & 0.0116
12.2& & & & & & & & 0.121& & & & & & & & 0.0108
12.3& & & & & & & & 0.1502& & & & & & & & 0.0101
12.4& & & & & & & & 0.1766& & & & & & & & 0.0094
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关注者： 13
代码应该没问题，估计是你的版本太老了！最新版是3.0.
帮你跑了下，y1拟合结果不是太好！数据公式都正确吗？仅有两个参数，且都共享？
参数& && && & & & & & 最佳估算
--------------------& & & & -------------
a1& && && && & & & -0.637
a2& && && && & & & 0.8433
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不好意思，因为程序后来有点改动，上面第二个方程有点问题！麻烦再帮我运行下可以么？我的1stopt是1.5版本的！万分感激！
Function y1 = a1*(1-0.093*x^2*(x^2-100)/((x^2-100)^2+(a2*x)^2));
Function y2 = a1*(1+0.093*x^3*a2/((x^2-100)^2+(a2*x)^2)) ;
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是的，仅有两个变量，且都是共享的！
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偏振光现象的研究实验报告及数据
偏振光现象的研究
1．观察光的偏振现象，掌握产生与检验偏振光的条件和方法；
教 学 目 的 2．测量布儒斯特角；
3．验证马吕斯定律。
重 难 点 1．激光器与光具组的共轴调节；
2．布儒斯特角的测定。
教 学 方 法 讲授、讨论、实验演示相结合。
学 时 3个学时
光的偏振是指光的振动方向与光的传播方向的不对称性.偏振现象是证明光为横波的最有力的证据，在科学上具有极其重要的意义。它不但丰富了光的波动说的内容，而且具有重要的应用价值。
自然光是各方向的振幅相同的光，对自然光而言，它的振动方向在垂直于光的传播方向的平面内可取所有可能的方向，没有一个方向占有优势.若把所有方向的光振动都分解到相互垂直的两个方向上，则在这两个方向上的振动能量和振幅都相等.线偏振光是在垂直于传播方向的平面内，光矢量只沿一个固定方向振动.起偏器是将非偏振光变成线偏振光的器件；检偏器是用于鉴别光的偏振状态的器件。
二、实验仪器
He-Ne激光器，光具座，光靶，光学测角台，偏振片，黑玻璃镜，1/2波片，1/4波片，白屏，光功率计等
三、实验原理
1.光的偏振性
光波是波长较短的电磁波，电磁波是横波，光波中的电矢量与波的传播方向垂直。光的偏振观象清楚地显示了光的横波性。光大体上有五种偏振态，即线偏振光、圆偏振光、椭圆偏振光、自然光和部分偏振光。而线偏振光和圆偏振光又可看作椭圆偏振光的特例。
（1）自然光
光是由光源中大量原子或分子发出的。普通光源中各个原子发出的光的波列不仅初相彼此不相关，而且光振动方向也是彼此不相关的，呈随机分布。在垂直于光传播方向的平面内，沿各个方向振动的光矢量都有。平均说来，光矢量具有轴对称而且均匀的分布，各方向光振动的振幅相同，各个振动之间没有固定的相联系，这种光称为自然光或非偏振光（见下图）。
我们设想把每个波列的光矢量都沿任意取定的x轴和y轴分解，由于各波列的光矢量的相和振动方向都是无规则分布的，将所有波列光矢量的x分量和y分量分别叠加起来，得到的总光矢量的分量Ex和Ey之间没有固定的相关系，因而它们之间是不相干的。同时Ex和Ey的振幅是相等的，即Ax=Ay。这样，我们可以把自然光分解为两束等幅的、振动方向互相垂直的、不相干的线偏振光。这就是自然光的线偏振表示，如下图（a）所示。分解的两束线偏振光具有相等的强度Ix=Iy，又因自然光强度
所以每束线偏振光的强度是自然光强度的1/2，即
通常用图（b）的图示法表示自然光。图中用短线和点分别表示在纸面内和垂直于纸面的光振动，点和短线交替均匀画出，表示光矢量对称而均匀的分布。
（2）线偏振光
光矢量只沿一个固定的方向振动时，这种光称为线偏振光，又称为平面偏振光。光矢量的方向和光的传播方向所构成的平面称为振动面，如图（a）所示。线偏振光的振动面是固定不动的，图（b）所示是线偏振光的表示方法，图中短竖线表示光振动在纸面内，点表示光振动垂直于纸面。
（3）部分偏振光
这是介于线偏振光与自然光之间的一种偏振光，在垂直于这种光的传播方向的平面内，各方向的光振动都有，但它们的振幅不相等，如图（a）所示。这种部分偏振光用数目不等的点和短线表示。在图（b）中，上图表示在纸面内的光振动较强，下图表示垂直纸面的光振动较强。要注意，这种偏振光各方向的光矢量之间也没有固定的相的关系。
（4）圆偏振光和椭圆偏振光
这两种光的特点是在垂直于光的传播方向的平面内，光矢量按一定频率旋转（左旋或右旋）。如果光矢量端点轨迹是一个圆，这种光叫圆偏振光（见图（a））。如果光矢量端点轨迹是一个椭圆，这种光叫椭圆偏振光（见图（b））。
2. 布儒斯特角
当光从折射率为n1的介质（例如空气）入射到折射率为n2的介质（例如玻璃）交界面，而入射角又满足
时，反射光即成完全偏振光，其振动面垂直于入射面。iB称布儒斯特角，上式即布儒斯特定律。显然，θB角的大小因相关物质折射率大小而异。若n1表示的是空气折射率，（数值近似等于1）上式可写成
3.马吕斯定律
如果光源中的任一波列（用振动平面E表示）投射在起偏器P上（如下图），只有相当于它的成份之一的Ey（平行于光轴方向的矢量）能够通过，另一成份Ex（=E cosθ）则被吸收。与此类似，若投射在检偏器A上的线偏振光的振幅为E0，则透过A的振幅为E0 cosθ（这里θ是P与A偏振化方向之间的夹角）。由于光强与振幅的平方成正比，可知透射光强I随θ而变化的关系为
这就是马吕斯定律。
若使线偏振光垂直入射一透光面平行于光轴，厚度为d的晶片，此光因晶片的各向异性而分裂成遵从折射定律的寻常光（o光）和不遵从折射定律的非常光（e光）。因o光和e光
在晶体中这两个相互垂直的振动方向有不同的光速，分别称做快轴和慢轴。设入射光振幅为A，振动方向与光轴夹角为θ，入射晶面后o光和e光振幅分别为Asin θ和Acos θ,出射后相位差
式中λ0是光在真空中的波长，no和ne分别是o光和e光的折射率。
这种能使相互垂直振动的平面偏振光产生一定相位差的晶片就叫做波片。
如果以平行于波片光轴方向为x坐标，，垂直于光轴方向为y坐标出射的o光和e光可用两个简谐振动方程式表示：
该两式的合振动方程式可写成
一般说来，这是一个椭圆方程，代表椭圆偏振光。但是当
（k＝1、2、3…）或
（k＝0、1、2…）
时，合振动变成振动方向不同的线偏振光。后一种情况，晶片厚度
可使o光和e光产生（2k+1）λ/2的光程差，这样的晶片称做半波片,而当
（k＝1、2、3…）
时，合振动方程化为正椭圆方程
这时晶片厚度 ，称做1/4波片。它能使线偏振光改变偏振态，变成椭圆偏振光。但是当入射光振动面与波片光轴夹角θ＝45°时，Ae＝Ao，合振动方程可写成
即获得圆偏振光。
四、实验内容与步骤
1.布儒斯特角的测定
在光具座上，由氦氖激光器发出的光束擦盘直接入射到立在光学测角台直径上的黑玻璃镜面，先转动测角台，使反射光束原路返回，由此定出入射光束的零度方位，利用滑动座的升降微调装置适当降低角度盘，然后再从入射角为10°~85°范围内寻找反射光束通过检偏器后，光强变到最小（甚至为零）时的角度（器件布置示如下图，也可直接用白屏观察）。这里的检偏器是一个能在支架上转动的偏振片，支架锁紧在测角台的转臂上。用检偏器检查任一反射光束，都是偏振光，在改变入射角的过程中，检偏器透振轴指向水平方向（为什么？）。为了更准确的测量，可以选取48°~64°角的入射角范围，根据消光位置找出布儒斯特角。测量5次，取平均值，将数据填入表（一）。
2.马吕斯定律的验证
如果光源中的任一波列（用振动平面E表示）投射在起偏器P上，只有相当于它的成分之一的 （平行于光轴方向的矢量）能够通过，另一成分 则被吸收。若投射在检偏器A上的线偏振光的振幅为E0，则透过A的振幅为 （这里
是P与A偏振方向之间的夹角）。由于光强与振幅的平方成正比，所以透射光强I随 而变化的关系为
这就是马吕斯定律。
实验内容：让激光束垂直通过起偏器成为偏振光，用检偏器检查时，使两个偏振器的透振方向的夹角 在从0°转动一周的过程中，用连接光电流放大器的光电探头测量透射光强的相对值I，每10°读取一次数据。将数据填入表（二），然后画出I- 关系曲线，或将实验数据输入计算机打印出 关系曲线。
3.分析半波片的作用（选做）
在由布儒斯特窗和偏振棱镜联合组成的起偏器D和检偏器A之间加入半波片H，并使其绕水平轴转动360°，观察屏幕上发生消光现象的次数；然后使起偏器的偏振面与检偏器的光轴正交，加入半波片后，将它转到消光位置，再分别转动15°，30°，45°，60°，75°和90°，相应记录每次将A逐次转到消光位置所需转动的角度，根据实验数据分析半波片的作用。将数据填入表（三）中，并作解释。
4.分析1/4波片的作用（选做）
先使线偏振光的偏振面P与检偏器A的光轴正交（这时通过A的光强显示最小），然后在两个偏振棱镜之间加入1/4波片Q，并转动Q，直到通过A的光强恢复到最小。从此位置每当Q转动15°，30°，45°，60°，75°和90°时，都将A转动360°，将数据填入表（四）中，并作解释。
五、数据表格及数据处理
1. θB的测定
θB平均值=57.0°
不确定度的计算：
2. 马吕斯定律的验证
画出I- 关系曲线
3. 分析半波片的作用
λ/2波片转动角度
检偏器转动角
4.分析1/4波片的作用
λ/4波片转动角度
检偏器转动360°
过程中看到的现象
六、注意事项
1、保护光学元件的光学表面，不得触摸光学元件的光学表面。
2、激光管两端的高压引线头是裸露的，且激光电源空载输出电压高达数千伏，要警惕误触。
3、激光束光强极高，切勿用眼睛对视，防止视网膜遭永久性损伤。
七、思考题
1、有四束光,它们的偏振态分别是:线偏振光,圆偏振光,椭圆偏振光和自然光,怎样鉴别它们？
答:用一块检偏振器分别对四束光迎光旋转检验,当检偏振器旋转一周,发现出射光强两个方位最大,两个方位为零时,该光就是线偏振光;出射光强两个方位最大,两个方位变小时,该光即是椭圆偏振光;当出射光强不WWw.zaidian.Com .载点网整理变时为圆偏振光和自然光.然后再区别圆偏振光和自然光.将这两束光分别通过l/4波片.通过l/4波片后,自然光还是自然光,用旋转的检偏振器检验,仍然光强不变;而圆偏振光通过l/4波片后变为线偏振光,用检偏振器检验,出现两次最大,两次零光强.
2. 三块外形相同的偏振片、1/2波片、1/4波片被弄混了，能否把它们区分开来？需要借助什么工具？
答:用实验室中的光滑桌面(或玻璃板面)反射钠光,透过三块未知的偏振器件观看反射的钠光,在此过程中,一边旋转偏振器件,一边改变反射光方向，三块偏振器件中必有一块出现"两明两零"的现象,它就是偏振片.此时,钠光的入射角就是布儒斯特角,反射光是振动面垂直于入射面的线偏振光.另两块是波片,无论怎样旋转它,无论怎样改变反射光线的方向,光强都不发生变化.现在有了一块偏振片,还有已知振动方向的线偏振光.将两块波片分别迎着线偏振光旋转,用偏振片检验出射光强的变化.如果不管在什么方位,总是出现"两明两零"的现象,这块波片一定是l/2波片,因为线偏振光经过l/2波片后仍然是线偏振光.而线偏振光通过l/4波片,仅在线偏振光的振动方向平行(或垂直)l/4波片晶轴的情况下,才会出射线偏振光.在线偏振光振动方向与晶轴成450角时,出射圆偏振光,一般情况下出射椭圆偏振光.
3、用怎样的措施获得圆偏振光？ 答：让自然光通过起偏镜,得到振动方向平行于起偏镜透振方向的线偏振光.再让线偏振光通过一块1 /4波片,波片晶轴z与线偏振光振动方向成45度角,自l/4波片出射的就是圆偏振光.选取l/4波片使分解的o光和e光有±π/2的相位差,光轴z与入射线偏振光振动方向45度的夹角,可使分解的o光和e光有相等振幅.
八、教学后记
一定要对学生强调激光器切不可用眼睛直视，以免出现人生伤害事故；本实验要测量的数据较多，实验的实际操作比较繁琐，因而学生感到完成实验有一定难度，因此在授课中强调学生一定要耐心；实验中要让学生在出现故障时，学会排除故障，并且能够自己动手解决问题，培养学生的动手能力。
执笔人：陈晨
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