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6,3 可降阶的二阶微分方程
6.3 可降阶的二阶微分方程本节研究微分方程y?? ? f ? x, y, y??的某些类型的解法.6.3.1y?? ? f ? x ? 型的微分方程例 1 求 y?? ? e x ? cos x 的通解. 解 在原方程两边积分一次，得? y??dx ? ? ? ex? cos x ? dx ? C1 ,y? ? ex ? sin x ? C1.在上式两边再积分一次，得y ? ex ? cos x ? C1x ? C2 ,其中， C1 , C2 为任意常数6.3.2y?? ? f ? x, y?? 型的微分方程对于方微分方程，y?? ? f ? x, y?? ，令 y? ? p ，则 y?? ?dp ? p? ，原方程化为 dxp? ? f ? x, p ?若该方程的通解为 p ? ? ? x, C1 ? ，则y? ? ? ? x, C1 ? , y ? ? ? ? x, C1 ? dx ? C2 .例 2 求微分方程 xy?? ? 2 y? ? x ? x 的通解.3解 y?? ?2 y? ? x 2 ? 1 x令 y? ? p ，则 y?? ? p? ，方程可化为p? ?2 2 p ? x 2 ? 1 ，即 p? ? p ? x 2 ? 1 ， x x122这是一个以 p 为未知函数的一阶线形微分方程，其通解为2 2 ? ? dx ? ? x dx ? 2 x x ? 1 e dx ? C1 ? ? ? ?? ? ? 1 ? ? ? x 2 ? ? ? x 2 ? 1? 2 dx ? C1 ? ? x 2 ? ? ?1 ? x ?2 ? dx ? C1 ? ? ? x ? ?p?e1 ? ? ? x 2 ? x ? ? C1 ? ? x3 ? x ? C1 x. x ? ?因 p ? y? ，故y? ? x3 ? x ? C1 x, y ? ? ? x3 ? x ? C1 x ? ? C2 ?故方程的通解为x 4 x 2 C1 x3 ? ? ? C2 . 4 2 3y?x 4 x 2 C1 x3 ? ? ? C2 . 4 2 36.3.3 y?? ? f ? y, y?? 型的微分方程对于方程y?? ? f ? y, y?? ，令 y? ? p ，则d 2 y d ? dy ? dp dp dp dp ? ? ?? ? ? ? ? p ，原方程化为 dx 2 dx ? dx ? dx dy dy dypdp ? f ? y, p ? ， dy设其通解为 p ? ? ? y, C1 ? ，则dy ? ? ? y, C1 ? , dx dy ? dx, ? ? y, C1 ?? ? ? y, C ? ? dx ? C .2 1dy例 3 求 yy?? ? y? ? 0 的通解.2解 令 y? ? p ，则 y?? ?dp dp dy dp ? ? ?p ，原方程化为 dx dy dx dy123dp ? p 2 ? 0, dy dp dy ? , p y dp dy ? p ? ? y ? ln C1 , ln p ? ln y ? ln C1 , yp p ? C1 y , dy ? C1 y, dx dy ? C1dx, y dy ? y ? ? C1dx ? ln C2 , ln y ? ln eC1x ? ln C2 , y ? C2 eC1x .作业 P279，1.（3）习题选解1.求下列微分方程的通解： （1） y?? ? e x ? cos 2 x ； 解 方程两边积分，得1 y? ? e x ? sin 2 x ? C1. 2上式两边积分，得1 y ? e x ? cos 2 x ? C1 x ? C2 . 42 （3） 1 ? x y ?? ? 2 xy ? ；??解 令 y? ? p ，则 y ?? ?dp , 原方程化为 dx? 2 xp. ?1 ? x ? ? dp dx2于是，124dp 2x ? dx, p 1 ? x2 ln p ? ln ?1 ? x 2 ? ? ln C1 , p ? C1 ?1 ? x 2 ? , dy ? C1 ?1 ? x 2 ? , dx C y ? C1 x ? 1 x3 ? C2 . 32.求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （2） y?? ? y?2 ? 0, y |x?0 ? 0, y? |x?0 ? 1 ； 解 由令 y? ? p ，则 y?? ?dp dp dy dp ? ? ? p , 于是可把方程 y?? ? y?2 ? 0 化为 dx dy dx dydp ? p 2 ? 0, dy dp ? p, dy dp ? dy, p p ln p ? ln e y ? ln C1 , p ? C1e y , dy ? C1e y . dx因为 y |x?0 ? 0, y? |x?0 ? 1，所以1 ? C1e0 , C1 ? 1,dy ? e y . 于是， dxdy ? dx, ey ? e ? y ? x ? C2 .因为 y |x ?0 ? 0 ，所以 ?e?0? 0 ? C2 , C2 ? ?1. 于是?e ? y ? x ? 1, y ? ? ln ?1 ? x ? .125
第六节可降阶的高阶微分方程_理学_高等教育_教育专区。good 第六节 可降阶...y( n?1) , 化为一阶微分方程加以解决,或直接连续积分三次得解。 例 2 ...可降阶的高阶微分方程12-6_理学_高等教育_教育专区。§ 12.1 微分方程的基本...C2 ? 例 3 求微分方程 (1?x2 )y???2xy? 满足初始条件 y|x?0 ?1? ...第四章第三节可降阶的高阶微分方程 基本内容 1. y ( n) ? f ( x) 型...x 3 ? e ? x ? C1 x ? C2 2 6 再积分,得通解为: (2) y?? ? ...5.理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 6....微分方程的解法 2、可降阶的高阶微分方程 y ( n...3、二阶常系数齐次线性微分方程; 4、自由项为...章节题目 第七节 可降阶的高阶微分方程 不显含 y 的方程、不显含 x 的方程...120 6 2 5 3 2 原方程通解为 y = d1 x + d 2 x + d 3 x + ...
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第七讲：可降阶的高阶微分方程
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04 第四节 可降阶的二阶微分方程
第四节 可降阶的二阶微分方程对一般的二阶微分方程没有普遍的解法， 本节讨论三种特殊形式的二阶微分方程， 它们 有的可以通过积分求得， 有的经过适当的变量替换可降为一阶微分方程， 然后求解一阶微分 方程，再将变量回代，从而求得所给二阶微分方程的解.分布图示★ y ?? ? f (x) 型 ★ 例1 ★ y ?? ? f ( x, y ?) 型 ★ 例3 ★ y ?? ? f ( y, y ?) 型 ★ 例6 ★ 内容小结 ★ 习题 8-4 ★ 例7 ★ 课堂练习 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例2内容要点:一、 y?? ? f (x) 型 在方程 y?? ? f (x) 两端积分，得y ? ? ? f ( x ) dx ? C1再次积分，得y???? f ( x)dx ? C ?dx ? C12注：这种类型的方程的解法，可推广到 n 阶微分方程y( n) ? f ( x) ，只要连续积分 n 次, 就可得这个方程的含有 n 个任意常数的通解. 二、 y?? ? f ( x, y?) 型 这种方程的特点是不显含未知函数 y，求解的方法是: 令 y ? ? p (x), 则 y ?? ? p?(x) ，原方程化为以 p(x) 为未知函数的一阶微分方程,p? ? f ( x, p).设其通解为p ? ? ( x, C1 ),然后再根据关系式 y ? ? p, 又得到一个一阶微分方程dy ? ? ( x, C1 ). dx对它进行积分，即可得到原方程的通解y ? ? ? ( x, C1 )dx ? C2 .三、 y?? ? f ( y, y?) 型 这种方程的特点是不显含自变量 x. 解决的方法是：把 y 暂时看作自变量，并作变换 y ? ? p ( y ), 于是，由复合函数的求导法则有y?? ?这样就将原方程就化为dp dp dy dp ? ? ?p . dx dy dx dypdp ? f ( y, p). dy这是一个关于变量 y、p 的一阶微分方程. 设它的通解为y? ? p ? ? ( y, C1 ),这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的通解? ? ( y, C ) ? x ? C .2 1dy例题选讲：y?? ? f (x) 型例 1（E01）求方程 y?? ? e 解2x? cos x 满足 y(0) ? 0, y?(0) ? 1 的特解.对所给方程接连积分二次,得1 y? ? e 2 x ? sin x ? C1 , 2 1 y ? e 2 x ? cos x ? C1 x ? C2 , 4在(1)中代入条件 y?(0) ? 1, 得 C1 ? 从而所求题设方程的特解为(1) (2)1 5 , 在(2)中代入条件 y(0) ? 0, 得 C2 ? ? , 2 41 1 5 y ? e 2 x ? cos x ? x ? . 4 2 4例 2 求方程 xy( 4)? y (3) ? 0 的通解.解设 y??? ? P(x), 代入题设方程,得 xP? ? P ? 0( P ? 0),解线性方程,得 P ? C1 x (C1 为任意常数)，即 y??? ? C1 x,C 1 两端积分,得 y?? ? C1 x 2 ? C2 , y? ? 1 x3 ? C2 x ? C3 , 2 6 再积分得到所求题设方程的通解为 y? C1 4 C2 2 x ? x ? C3 x ? C4 , 其中 Ci (i ? 1,2,3,4) 为任意常数. 24 2进一步通解可改写为 y ? d1x 4 ? d 2 x 2 ? d3 x ? d 4 . 其中 d i (i ? 1,2,3,4) 为任意常数.y?? ? f ( x, y?) 型例 3（E02）求方程 (1 ? x 2 ) 解d2y dy ? 2x ? 0 的通解. 2 dx dx d 2 y dp dy , 于是题设方程降 ? p(x), 则 2 ? dx dx dx这是一个不显含有未知函数 y 的方程.令阶为 (1 ? x 2 )dp 2x dp ? dx. 两边积分,得 ? 2 px ? 0, 即 p 1 ? x2 dxln | p |? ln( ? x 2 ) ? ln | C1 |, 即 p ? C1 (1 ? x 2 ) 或 1再积分得原方程的通解? x3 ? y ? C1 ? x ? ? ? C2 . ? 3? ? ?dy ? C1 (1 ? x 2 ). dx例 4 求微分方程初值问题(1 ? x 2 ) y ?? ? 2xy ?, y的特解. 解x?0 ? 1,y?x?0?3题设方程属 y?? ? f ( x, y?) 型.设 y? ? p, 代入方程并分离变量后,有dp 2x ? dx. p 1 ? x2两端积分，得 ln | p |? ln(1 ? x 2 ) ? C, 即 p ? y? ? C1 (1 ? x 2 ) (C1 ? ?ec ). 由条件 y? x ?0 ? 3, 得 C1 ? 3, 所以 y? ? 3(1 ? x 2 ). 两端再积分,得 y ? x3 ? 3x ? C2 . 又由条件 y x?0 ? 1, 得 C2 ? 1, 于是所求的特解为y ? x3 ? 3x ? 1.例 5 求微分方程 xy ?? ? 2 y ? ? 1 满足 y(1) ? 2 y ?(1), 且当 x ? 0 时, y 有界的特解. 解法 1 所给方程不显含 y, 属 y?? ? f ( x, y?) 型,令 y? ? p, 则 y ?? ? p ?, 代入方程降阶后求解,此法留给读者练习. 解法 2 因为 xy?? ? 2 y? ? ( xy? ? y)?, 即 y? ?C 1 y ? 1 ? 1 , 这是一阶线性微分方程，解得 x xy?C x ? C1 ? 2 , 2 x x 1 1 ? C1 , 由此得 y? ? 及 y(1) ? ? C1 , 2 2 2因为 x ? 0 时， y 有界,得 C2 ? 0, 故 y ? 又由已知条件 y(1) ? 2 y?(1), 得 C1 ?1 x 1 , 从而所求特解为 y ? ? . 2 2 2y?? ? f ( y, y?) 型例 6（E03）求方程 yy?? ? y?2 ? 0 的通解. 解 设 y ? ? p ( y ), 则 y ?? ? p? dp dp dp , 代入原方程得 y ? p ? p 2 ? 0, 即 p? y ? ? dy ? dy dy ? ? p ? ? 0. ? ?由 y?dp dy ? p ? 0, 可得 p ? C1 y, 所以 ? C1 y, dy dx原方程通解为 y ? C2eC1x .例 7 求微分方程 yy ?? ? 2( y ? 2 ? y ?) 满足初始条件 y (0) ? 1, y ?(0) ? 2 的特解. 解 令 y? ? p, 由 y ?? ? pdp , 代入方程并化简得 dyy dp ? 2( p ? 1). dy上式为可分离变量的一阶微分方程，解得 p ? y? ? Cy 2 ? 1, 再分离变量,得dy ? dx, 由初始条件 y(0) ? 1, Cy 2 ? 1 dy ? dx, 再两边积分,得 arctan y ? x ? C1 或 y ? tan(x ? C1 ), 1? y2y ?(0) ? 2 定出 C ? 1, 从而得由 y (0) ? 1 定出 C1 ? arctan1 ??4, 从而所求特解为 y ? tan(x ??4).课堂练习 1.求方程 y??? ? ln x 的通解.
第六节可降阶的高阶微分方程_理学_高等教育_教育专区。good 第六节 可降阶...的方程称为不显含未知函数的二阶微分方程。 特点:方程右端不显含未知函数 y ...第四章第三节可降阶的高阶微分方程 基本内容 1. y ( n) ? f ( x) 型...? p? 原方程可化为: p? ? x p 1 ? x 2 ,这是可分离变量微分方程,...可降阶的高阶微分方程12-6_理学_高等教育_教育专区。§ 12.1 微分方程的基本...根据牛顿第二定律? 质点运动的微分方程为 mx???F(t)? 由题设? F(t)是...宇智波―轩辕贡献于2011-12-04 0.0分 (0人评价...章节题目 第七节 可降阶的高阶微分方程 不显含 ...方程的解法 难点分析 习题布置 P366 1(单) 、2(...
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可降阶的高阶微分方程,高阶线性微分方程及其通解结构
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