&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-3ae15a1f645d278cb4c51a_b.jpg& data-rawwidth=&1721& data-rawheight=&1127& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1721& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-3ae15a1f645d278cb4c51a_r.jpg&&&/figure&&blockquote&1、纯干货、文章有些长，&b&建议先点赞或收藏，从自己的Timeline上慢慢看&/b&；&br&2、这是&a href=&https://www.zhihu.com/lives/659904& class=&internal&&《高考数学瓶颈突破：解构压轴题》【点击学习更多】》&/a&的部分摘要；&br&&b&3、底部二维码内有大量福利，别怪我没提醒你们！！&/b&&/blockquote&&p&这是一场对你而言意义重大的数学考试，你的发挥还算不错：考场时间到了最后25分钟，你解决了所有应该得分的常规题目，只剩下最后两道分值为24分的大题。&/p&&p&你花费了3分钟，大致想到了一个可行的思路，顺利转化了条件，整合了题干信息，结果的轮廓已经若隐若现——只要对眼前的式子稍作化简，分离出需要的变量，这道题目妥妥满分。&/p&&p&距交卷还有20分钟，你看着这个算式：它蕴含了两个变量，还有两个参量，括号外面还有平方，等号两边总共好几项——总之，非常复杂。&/p&&p&你刚刚算了几步，发现式子越化越复杂——你心里有点儿慌，因为时间又过去了5分钟；这会儿你得看看最后一道题，所幸思路也并不难，可是问题仍然是：式子太复杂，你算不出来！&/p&&p&最后10分钟的铃声响了，你看着答题卷上两个复杂的算式，抖腿也缓解不了心中的焦躁。走投无路，要不把括号拆开试试？或者把两个分式通分了吧，兴许分子能消掉什么呢？&/p&&p&然而很不幸，你这么胡乱做了几步，卷面上算式看上去越来越神秘莫测；这时候你甚至忘了交卷后还约了隔壁班的女同学一起吃饭，发型也不顾了、开始疯狂地揉自己的头发......&/p&&p&——把自己薅成秃子也救不了你，交卷铃声响了，你还是没算出来。&/p&&p&&br&&/p&&p&也许是思路错了吧——你走出考场，这么安慰自己。&/p&&p&不过拿到标准，你发现它和自己最开始列出的式子一模一样！只不过，你还差三步没有化简！——想出了思路、而算不出结果，就好比你早起半个小时背好了单词，英语老师却告诉你们听写取消！&/p&&p&&b&别人想不出的思路你想得出，我得承认你或许有过人之处；然而考虑到你们两个都没拿到分，而别人还多了时间检查前面的错误，你把时间也给浪费了——看上去，想出思路而算不出结果就显得更蠢。&/b&&/p&&p&那么、你的大题为什么总是算不下去？&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-f3669e05dafd91c75557ee_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&2475& data-rawheight=&1412& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2475& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-f3669e05dafd91c75557ee_r.jpg&&&figcaption&数学老师有哪些搞笑的口头禅？&/figcaption&&/figure&&p&“我要变形了！”——这是被中学数学老师被调侃最多的一句口头禅，仿佛想要学好数学，你非得成为大黄蜂那样的金刚不可。&/p&&p&&b&事实上，代数式的变形与化简是影响学生考试成绩的关键因素，但少有老师特别指导学生在面对复杂算式时，应该遵循怎样的操作规范，逐步简化复杂算式。&/b&&/p&&p&&b&&u&换句话说，所有学生看见复杂算式都知道“应该变形”，可不知道该“怎么变形”！&/u&&/b&&/p&&p&今天我们来谈谈这个问题。&/p&&p&&br&&/p&&p&其实，高考所涉及的所有复杂算式化简，背后均有一个统一的主旨：同类项。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-cb95d08a92dc0b3d91966eecf9843464_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1500& data-rawheight=&843& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1500& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-cb95d08a92dc0b3d91966eecf9843464_r.jpg&&&figcaption&讲义来源：知乎Live《高考数学瓶颈突破：解构压轴题》&/figcaption&&/figure&&p&——这是一个非常纯粹的逻辑性结论：&b&对于复杂算式，只有能够寻找并消除所有的同类项，原式才能得以形式上的化简&/b&——除此之外，括号的拆分、通分与合并、甚至是带入消元，都只是「同类项」这个主线背后的辅助手段。&/p&&p&至于&b&有些老师建议学生“实在没办法了就把括号拆了试一试”——这简直是饮鸩止渴。&/b&因为有时，拆开两个均含两项的括号，你有可能得到的是一个四项式——假使没有什么可以抵消的东西，乱拆括号不但不会让你的式子简化，还会越拆越乱。&/p&&p&&b&更为严重的是，有时候你拆掉的括号，很可能蕴含了需要消除的同类项！&/b&——你把需要等号两端消除的元素都肢解掉，这题目我打赌你肯定做不下去！&/p&&p&&br&&/p&&p&这么干说、大家可能感受不到我在说什么，举个例子吧：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-1c5035dad7b1acbe60302dcfa72cabe3_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1802& data-rawheight=&2548& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1802& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-1c5035dad7b1acbe60302dcfa72cabe3_r.jpg&&&figcaption&笔记来源：微信音频专栏《万剑归宗十套卷》&/figcaption&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-fadefd069b5710cba26eff_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1681& data-rawheight=&2376& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1681& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-fadefd069b5710cba26eff_r.jpg&&&figcaption&笔记来源：微信音频专栏《万剑归宗十套卷》&/figcaption&&/figure&&p&——这道题目的第二问，当然首先需要你综合考虑五种直线方程（还记得都长什么样吗？）的优缺点，还需要你明白韦达定理的使用原则，不过这不是我们今天的主题，各位同学可以直接把目光移向代入韦达定理之后的运算部分：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-e7cfd79fc4df3b9ca4602_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&538& data-rawheight=&185& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&538& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-e7cfd79fc4df3b9ca4602_r.jpg&&&figcaption&笔记来源：微信音频专栏《万剑归宗十套卷》&/figcaption&&/figure&&p&&b&——你要是有见个括号就想拆的毛病，得治。&/b&因为就这个例子来说，想要得到答案，你的要旨在于：消掉一个同类项（b-1）——拆了括号，你就把需要消除得同类项都拆散了！&/p&&p&&b&也许你的疑惑在于：我怎么知道必须要消掉（b-1）呢？&/b&——如果你能问出这个，说明你是一个能深入思考的好苗子：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-1b9c535bf615e84bfecaaee02d02fbae_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1500& data-rawheight=&843& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1500& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-1b9c535bf615e84bfecaaee02d02fbae_r.jpg&&&figcaption&讲义来源：知乎Live《高考数学瓶颈突破：解构压轴题》&/figcaption&&/figure&&p&初中老师都教过我们：等号两侧必须乘上或除以一个非零的数，才可以保持成立——比如，你就不能因为3*0=4*0而消掉两侧的0，认为3=4成立。&/p&&p&&b&&u&这就告诉我们：需要你消除的同类项，一定得是不等于零才行！所以题目中“XX不等于0”的叙述值得你特别关注。&/u&&/b&&/p&&p&现在你知道题目中“l不经过P2”这个条件为什么非得存在了吧？——它明摆是在提示你：直线的截距b不等于1，也就是说b-1不为0！！&/p&&p&——这不就意味着，这是一个可以消掉的同类项吗？&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&所以，下次你在考场上面对一长串复杂算式时，我劝你千万不要跟着感觉走，在心里默念几遍「同类项」提醒自己检索之前的步骤中有没有什么类似于“不等于0”的提示——如果能够找到，那么这道题的分数、你差不多就已经到手啦！&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&祝你高考顺利，必有一个锦绣前程。&/p&&p&————————&/p&&p&三个福利：&/p&&p&1、本文出现的所有真题笔记均配有音频讲解，微信扫描下方二维码进入音频专栏《万剑归宗十套卷》，即刻学习全部100道真题精析：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-ca80c99d9b82cc3a83a7_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1500& data-rawheight=&843& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1500& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-ca80c99d9b82cc3a83a7_r.jpg&&&figcaption&微信扫码，即可收听本文全部例题讲解&/figcaption&&/figure&&p&2、本文出现所有真题分析均采用Cornell笔记法整理，&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&点击这里了解：错题集的整理原则&/a&；&/p&&p&3、针对这个话题，我还开设过一次 &a href=&https://www.zhihu.com/lives/659904& class=&internal&&Live&/a& ，以上千小时的课堂教学经验为支撑、最新高考原题为材料，为大家系统讲解 &a href=&https://www.zhihu.com/lives/659904& class=&internal&&《高考数学瓶颈突破：压轴题解构原则》【点击加入】&/a&，加入Live后，你还能在其中找到一个与「高考数学」有关的交流群，以方便进入后在群内与大家一起讨论学习过程中你遇到的问题，群内还会有不定期的小福利发送。&/p&&p&&/p&
1、纯干货、文章有些长，建议先点赞或收藏，从自己的Timeline上慢慢看； 2、这是的部分摘要； 3、底部二维码内有大量福利，别怪我没提醒你们！！这是一场对你而言意义重大的数学考试，你的发挥还算不错…
&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-f6122bb61cad039a57a2_b.jpg& data-rawwidth=&750& data-rawheight=&560& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&750& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-f6122bb61cad039a57a2_r.jpg&&&/figure&&p&先来2道例题：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-afd71f289e88eaededf3d2e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1350& data-rawheight=&1803& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1350& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-afd71f289e88eaededf3d2e_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&像上述题目还有很多很多，那么问题来了：同学们，你们怎么搞定的呢？&/p&&p&如果我没猜错，绝大部分同学用的都是：&b&代特值，验证正负性&/b&。&/p&&p&但你应该明白，这种做法有时候会很慢，而且未必能够做出答案。因为，当坐标轴上无刻度时理论上代值的方式并不合理；况且&b&高考难度，代特值、验证正负性，已经很难帮你走到最后了&/b&。&/p&&p&那么，涛哥会怎样处理呢？&/p&&p&&b&一、题型描述&/b&&/p&&blockquote&&b&复杂函数图像识别：&/b&选择题中，给函数解析式（但无法通过“图象变换”得到函数图象），判断函数图象；或者给函数图象，判断函数解析式的题型。（常考第一种）&/blockquote&&p&&br&&/p&&p&&b&二、模法讲解：&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-af9a8ee9132e2adb88c37bd_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&85& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-af9a8ee9132e2adb88c37bd_r.jpg&&&/figure&&blockquote&&b&（1）一看奇偶性；&/b& &br&&b&（2）二看端点值或正负性；&/b&&br&&b&（3）三看个别点切线斜率。&/b&&br&（4）最后的最后，同学们可以猜猜。lalala~~&/blockquote&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-cefcddcbf5f32_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&85& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-cefcddcbf5f32_r.jpg&&&/figure&&p&本技巧涉及简单极限运算，所以篇幅稍微大些。请做好心理准备。&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&马上17:00上课了，抽时间继续更。同学们可以先思考思考~&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&85& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784_r.jpg&&&/figure&&p&继续&/p&&p&&b&涛哥解析：&/b&&/p&&p&&b&【例1】&/b&这道题的函数为：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3D%281-%5Ccos+x%29%5Csin+x& alt=&f(x)=(1-\cos x)\sin x& eeimg=&1&&，选项如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-cee2bfbd05_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&593& data-rawheight=&204& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&593& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-cee2bfbd05_r.jpg&&&/figure&&blockquote&&b&(1)一看奇偶性：&/b&显然函数为奇函数，所以排除B选项；&br&&b&(2)二看端点值或正负性：&/b&这里面我所谓的端点值是&b&无意义点的端点极限值&/b&，而不是把定义域端点代入函数，算出具体数值。本题，没有无意义点。&br&所以看正负性，将&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3D%5Cfrac%7B%5Cpi+%7D%7B2%7D+& alt=&x=\frac{\pi }{2} & eeimg=&1&&代入函数，得&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D+%29%3D1%3E0& alt=&f(\frac{\pi}{2} )=1&0& eeimg=&1&&，所以排除A选项；&br&&b&(3)三看个别点切线斜率：&/b&对比剩余选项C、D，知差别在&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3D0& alt=&x=0& eeimg=&1&&处的切线斜率。&br&所以计算&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%27%28x%29%3D%5Csin%5E2x%2B%5Ccos+x%281-%5Ccos+x%29& alt=&f'(x)=\sin^2x+\cos x(1-\cos x)& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%27%280%29%3D0& alt=&f'(0)=0& eeimg=&1&&，所以排除D选项，选择C选项。&/blockquote&&p&&br&&/p&&p&你听明白了吗？&/p&&p&&br&&/p&&p&那么咱们趁热打铁，继续做下例题2。&/p&&p&&b&【例2】&/b&这道题的函数为：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%28x%2B1%29-x%7D+& alt=&f(x)=\frac{1}{\ln(x+1)-x} & eeimg=&1&&，选项如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-43c1d6e128c47d179bae5da_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&253& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-43c1d6e128c47d179bae5da_r.jpg&&&/figure&&blockquote&&b&(1)一看奇偶性：&/b&显然函数为非奇非偶，所以排除不了任何选项！（别慌，这毕竟是高考第12题）&br&&b&(2)二看端点值或正负性：&/b&这里面&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%5Crightarrow+-1& alt=&x\rightarrow -1& eeimg=&1&&、&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%5Crightarrow+0& alt=&x\rightarrow 0& eeimg=&1&&、&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%5Crightarrow+%2B%5Cinfty+& alt=&x\rightarrow +\infty & eeimg=&1&&时是我所谓的&b&“端点”&/b&，当&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%5Crightarrow+-1& alt=&x\rightarrow -1& eeimg=&1&&时，函数&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%5Crightarrow+0%5E-& alt=&f(x)\rightarrow 0^-& eeimg=&1&&（这里面的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=0%5E-& alt=&0^-& eeimg=&1&&代表趋于0，但小于0，即负方向趋于0），至于为何&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%5Crightarrow+0%5E-& alt=&f(x)\rightarrow 0^-& eeimg=&1&&，同学们可以思考思考。我会抽时间另开一节，讲给大家。&br&所以，我们知道除了B选项，A、C、D选项在&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%5Crightarrow+-1& alt=&x\rightarrow -1& eeimg=&1&&时，均不满足&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%5Crightarrow+0%5E-& alt=&f(x)\rightarrow 0^-& eeimg=&1&&，全部排除！&br&本题选B。完美！&/blockquote&&p&&br&&/p&&p&暂时更新到这了，太长了大家就不爱看了。你学会了吗？&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&85& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784_r.jpg&&&/figure&&p&3.31日8:35更新几道例题：&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&【例3】&/b&（2013·济南二模）函数&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y%3Dx%5E2%2B%5Cfrac%7B%5Cln+%7Cx%7C%7D%7Bx%7D& alt=&y=x^2+\frac{\ln |x|}{x}& eeimg=&1&&的图象大致为（
）&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-ea9aff268e6fb7_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2201& data-rawheight=&710& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2201& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-ea9aff268e6fb7_r.jpg&&&/figure&&p&&b&涛哥解析：&/b&&/p&&blockquote&&b&1、看奇偶性：&/b&非奇非偶。不排除任何选项&br&&b&2、端点值或正负性：&/b& &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%5Crightarrow+0%5E-& alt=&x\rightarrow 0^-& eeimg=&1&&时，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y%3Dx%5E2%2B%5Cfrac%7B%5Cln+%7Cx%7C%7D%7Bx%7D%3D%5Cfrac%7Bx%5E3%2B%5Cln+%7Cx%7C%7D%7Bx%7D%5Crightarrow+%5Cfrac%7B0%5E-%2B%28-%5Cinfty+%29%7D%7B0%5E-%7D%5Crightarrow+%28-%5Cinfty+%29%5Ccdot+%5Cfrac%7B1%7D%7B0%5E-%7D& alt=&y=x^2+\frac{\ln |x|}{x}=\frac{x^3+\ln |x|}{x}\rightarrow \frac{0^-+(-\infty )}{0^-}\rightarrow (-\infty )\cdot \frac{1}{0^-}& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y%5Crightarrow+%2B%5Cinfty& alt=&y\rightarrow +\infty& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%5Crightarrow+0%5E%2B& alt=&x\rightarrow 0^+& eeimg=&1&&时，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y%3Dx%5E2%2B%5Cfrac%7B%5Cln+%7Cx%7C%7D%7Bx%7D%3D%5Cfrac%7Bx%5E3%2B%5Cln+%7Cx%7C%7D%7Bx%7D%5Crightarrow+%5Cfrac%7B0%5E%2B%2B%28-%5Cinfty+%29%7D%7B0%5E%2B%7D%5Crightarrow+%28-%5Cinfty+%29%5Ccdot+%5Cfrac%7B1%7D%7B0%5E%2B%7D& alt=&y=x^2+\frac{\ln |x|}{x}=\frac{x^3+\ln |x|}{x}\rightarrow \frac{0^++(-\infty )}{0^+}\rightarrow (-\infty )\cdot \frac{1}{0^+}& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y%5Crightarrow+-%5Cinfty& alt=&y\rightarrow -\infty& eeimg=&1&& 故，&b&C正确。&/b&&/blockquote&&p&&b&【例4】&/b&函数&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y%3D%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B3%5Ex-1%7D& alt=&y=\frac{x^3}{3^x-1}& eeimg=&1&&的图像大致为（
）&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-56f399eaccc54b279760_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1461& data-rawheight=&499& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1461& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-56f399eaccc54b279760_r.jpg&&&/figure&&p&&b&涛哥解析：&/b&&/p&&blockquote&&b&1、看奇偶性：&/b&非奇非偶。不排除任何选项&br&&b&2、端点值或正负性：&/b& &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%5Crightarrow+-%5Cinfty+& alt=&x\rightarrow -\infty & eeimg=&1&&时，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y%3D%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B3%5Ex-1%7D%5Crightarrow+%5Cfrac%7B-%5Cinfty+%7D%7B0%5E%2B-1%7D%5Crightarrow+%2B%5Cinfty+& alt=&y=\frac{x^3}{3^x-1}\rightarrow \frac{-\infty }{0^+-1}\rightarrow +\infty & eeimg=&1&&，排除B选项；&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%5Crightarrow+%2B%5Cinfty+& alt=&x\rightarrow +\infty & eeimg=&1&&时，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y%3D%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B3%5Ex-1%7D%5Crightarrow+%5Cfrac%7B%2B%5Cinfty_%5Ctext%7B%E4%BD%8E%7D+%7D%7B%2B%5Cinfty+_%5Ctext%7B%E9%AB%98%7D%7D%5Crightarrow+%5Cfrac%7B1%7D%7B%2B%5Cinfty+%7D%5Crightarrow+0%5E%2B& alt=&y=\frac{x^3}{3^x-1}\rightarrow \frac{+\infty_\text{低} }{+\infty _\text{高}}\rightarrow \frac{1}{+\infty }\rightarrow 0^+& eeimg=&1&&，排除D选项；&br&&br&因为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%5Cne+0& alt=&x\ne 0& eeimg=&1&&，所以排除C选项。&b&A正确。&/b&&/blockquote&&p&&br&&/p&&p&&b&本专栏必看：&/b&&/p&&a href=&http://zhuanlan.zhihu.com/p/& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic1.zhimg.com/v2-4aacd66b3a_180x120.jpg& data-image-width=&750& data-image-height=&560& class=&internal&&于庆涛：【重磅】 秒杀外接球の圆柱外接球模型&/a&&a href=&http://zhuanlan.zhihu.com/p/& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic3.zhimg.com/v2-ebdddc586f_180x120.jpg& data-image-width=&750& data-image-height=&560& class=&internal&&于庆涛：【重磅】秒杀外接球の圆锥(Zhui)外接球模型&/a&&p&&b&跳转总目录：&/b&&/p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic3.zhimg.com/v2-8cdf9859eecb24d0.jpg& data-image-width=&1446& data-image-height=&1080& class=&internal&&于庆涛：《高考数学の模法笔记》目录&/a&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&85& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784_r.jpg&&&/figure&&p&&广告时间&&/p&&p&更多包含&b&【82个小题技巧+各大题解题模板】&/b&、&b&【各题型大量补充练习】&/b&的完整版《模法筆記课程》请移步——&/p&&p&微信&b&模法班（公众号：taogemath）&/b&&/p&&p&&/p&
先来2道例题： 像上述题目还有很多很多，那么问题来了：同学们，你们怎么搞定的呢？如果我没猜错，绝大部分同学用的都是：代特值，验证正负性。但你应该明白，这种做法有时候会很慢，而且未必能够做出答案。因为，当坐标轴上无刻度时理论上代值的方式并不合…
&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-4aacd66b3a_b.jpg& data-rawwidth=&750& data-rawheight=&560& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&750& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-4aacd66b3a_r.jpg&&&/figure&&p&立体几何压轴小题，基本上无论哪个省份，都会十分宠幸“&b&几何体的外接球问题&/b&”。那么，倒霉的，看似就是我们这些广大高三狗了。&/p&&p&而这类问题你通常会想到：&/p&&p&①画出球体、标明球心→②画出球的内接几何体→ ③寻找突破口建立方程。&/p&&p&以上的方法可以说是“通法”，但，并不好用！因为很多人&b&空间感略差&/b&，而另外一些人就算空间感不错，最后依然可能面临找不到关系（因为找嘛，考察的是眼力，看走眼总是很正常的）。&/p&&p&那今天我告诉你，&b&&u&这类题80%以上都不用画图&/u&&/b&，只需要&b&2步搞定&/b&：&b&①识别模型→②代入公式&/b&，就可以轻松求出外接球半径R。&/p&&p&本节教给你的就是这&b&80%中最常用到的第1个模型——圆柱外接球模型&/b&。 &/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&85& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784_r.jpg&&&/figure&&p&&b&一、题型描述&/b&&/p&&blockquote&&b&几何体的外接球问题：&/b&题目中涉及几何体外接球体，或者球内接几何体，再或者说成球面上有几个点围成几何体，这类题型称之为几何体的外接球问题。&/blockquote&&p&&br&&/p&&p&&b&二、模法讲解&/b&&/p&&p&以下这幅图，大家应该都能看明白吧！一个底面半径为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=r& alt=&r& eeimg=&1&&，高为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=h& alt=&h& eeimg=&1&&的圆柱，求它的外接球半径。这里我不多讲解，相信你能看懂我右边的式子。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-d2bef84acf0_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1065& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1065& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-d2bef84acf0_r.jpg&&&/figure&&p&那么问题来了？你会说，涛哥你不也在画图吗？是的，我在画图，因为我要让你明白这个式子怎么来的：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=R%3D%5Csqrt%7Br%5E2%2B%5Cfrac%7Bh%5E2%7D%7B4%7D%7D& alt=&R=\sqrt{r^2+\frac{h^2}{4}}& eeimg=&1&&。那么这个式子有何妙用？接着看——&br&&br&&b&1、&/b&如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都取三个点，如图所示： &br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-cc43ae5ae6e9840cfff7ca_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1070& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1070& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-cc43ae5ae6e9840cfff7ca_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&我们可以得到（直）三棱柱，它的外接球其实就是这个圆柱的外接球，所以说&b&直棱柱的外接球求半径符合这个模型&/b&。&/p&&blockquote&在这里棱柱的高就是公式中的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=h& alt=&h& eeimg=&1&&，&br&而棱柱底面外接圆的半径则是公式中的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=r& alt=&r& eeimg=&1&&（至于怎么求外接圆半径&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=r& alt=&r& eeimg=&1&&？你先自己想想）。&/blockquote&&p&哦对了，斜棱柱怎么办？&/p&&p&&b&斜棱柱没有外接球&/b&，有兴趣的自己尝试找到原因。&/p&&p&&b&2、&/b&我们再继续进行，如果我把刚刚那个三棱柱上面的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=B_1%2CC_1& alt=&B_1,C_1& eeimg=&1&&两点干掉，我将得到三棱锥，如图：&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-31ca34cbc_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1047& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1047& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-31ca34cbc_r.jpg&&&/figure&&p&这个三棱锥的特点是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AA_1& alt=&AA_1& eeimg=&1&&⊥底面&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=ABC& alt=&ABC& eeimg=&1&&，即有&b&一根侧棱⊥底面的锥体&/b&，&b&依然符合这个模型&/b&。&/p&&blockquote&那条竖直棱&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AA_1& alt=&AA_1& eeimg=&1&&就是公式中的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=h& alt=&h& eeimg=&1&&，&br&而底面&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=ABC& alt=&ABC& eeimg=&1&&的外接圆半径是公式中的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=r& alt=&r& eeimg=&1&&。&/blockquote&&p&如果你参透了以上讲解，请自觉点&b&赞&/b&。然而，我想说的是，这还没完！！！！！&br&&/p&&p&&b&3、&/b&题目还喜欢这么干：&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0fecbdf53f05d65f06952f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&723& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&723& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0fecbdf53f05d65f06952f_r.jpg&&&/figure&&p&这种类型题目考的够多的了吧！而你，是不是每次都傻傻的画球？其实我告诉你，&br&&br&&b&它！非！常！符！合！圆！柱！外！接！球！模！型！&/b&&br&&br&接着看，当我对第二幅图中的三棱柱&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=ABC-A_1B_1C_1& alt=&ABC-A_1B_1C_1& eeimg=&1&&只去掉&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C_1& alt=&C_1& eeimg=&1&&这个点，会得到什么呢？&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-55a012cad19c091aa2e485d8cf0792d8_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1061& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1061& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-55a012cad19c091aa2e485d8cf0792d8_r.jpg&&&/figure&&p&&b&没错！这就是刚刚那个四棱锥放倒了！&/b&它的特点是：底面&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=+ABC& alt=& ABC& eeimg=&1&&⊥侧面&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AA_1B_1B& alt=&AA_1B_1B& eeimg=&1&&，出题的时候则不会这么仁慈，就会像上一幅图那样，&b&有一个侧面⊥矩形底面的四棱锥！&/b&&/p&&p&&b&那么再看这个四棱锥：&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0fecbdf53f05d65f06952f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&723& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&723& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0fecbdf53f05d65f06952f_r.jpg&&&/figure&&blockquote&我们知道，这里的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=r& alt=&r& eeimg=&1&&为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+PAD& alt=&\Delta PAD& eeimg=&1&&的外接圆半径，&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=h& alt=&h& eeimg=&1&&为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AB%5Ctext%7B%E6%88%96%7DCD& alt=&AB\text{或}CD& eeimg=&1&&的长。&/blockquote&&p&让我们总结一下：&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-af9a8ee9132e2adb88c37bd_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&85& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-af9a8ee9132e2adb88c37bd_r.jpg&&&/figure&&p&圆柱外接球模型——&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=R%3D%5Csqrt%7Br%5E2%2B%5Cfrac%7Bh%5E2%7D%7B4%7D%7D& alt=&R=\sqrt{r^2+\frac{h^2}{4}}& eeimg=&1&&适用于：&/p&&blockquote&&b&①圆柱&/b&-------&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=r%2Ch& alt=&r,h& eeimg=&1&&自带&br&&br&&b&②直棱柱&/b&-------&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=r& alt=&r& eeimg=&1&&:底面外接圆半径；&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=h& alt=&h& eeimg=&1&&:直棱柱的高&br&&b&③一根侧棱⊥底面的锥体-------&/b&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=r& alt=&r& eeimg=&1&&:底面外接圆半径；&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=h& alt=&h& eeimg=&1&&:垂直于底面的那条侧棱&br&&b&④一个侧面⊥矩形底面的四棱锥&/b&-------&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=r& alt=&r& eeimg=&1&&:&b&垂直底面的侧面&/b&的外接圆半径；&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=h& alt=&h& eeimg=&1&&:&b&垂直于那个侧面&/b&的底边长&/blockquote&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-cefcddcbf5f32_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&85& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-cefcddcbf5f32_r.jpg&&&/figure&&p&那么接下来第二步就是找到&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=h& alt=&h& eeimg=&1&&，求出&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=r& alt=&r& eeimg=&1&&，而&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=r& alt=&r& eeimg=&1&&又怎么求呢？&/p&&p&&b&正弦定理。正弦定理。正弦定理。&/b&&/p&&p&可以说正弦定理求外接圆半径这种方法咱们基本上就在高一学的时候提及过，根本就没用过它！告诉你，几乎整个高考也就此处&b&求外接球题型&/b&可以用它来求求那个&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=r& alt=&r& eeimg=&1&&了。&/p&&p&所以，你千万要学会哟！&/p&&p&讲解如图：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-810a911e9dbce67abc4cb9_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1553& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1553& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-810a911e9dbce67abc4cb9_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&当我们求出&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=r& alt=&r& eeimg=&1&&，找到&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=h& alt=&h& eeimg=&1&&，剩下的就是套入公式了：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=R%3D%5Csqrt%7Br%5E2%2B%5Cfrac%7Bh%5E2%7D%7B4%7D%7D& alt=&R=\sqrt{r^2+\frac{h^2}{4}}& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&85& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784_r.jpg&&&/figure&&p&来，我们秒杀几道：&/p&&p&【&b&例题1】&/b&直三棱柱&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=ABC-A_1B_1C_1& alt=&ABC-A_1B_1C_1& eeimg=&1&&的六个顶点都在球&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=O& alt=&O& eeimg=&1&&的球面上，若&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AB%3DBC%3D1& alt=&AB=BC=1& eeimg=&1&&，∠&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%E2%88%A0%7DABC%3D120%5Ctext%7B%C2%B0%7D& alt=&\text{∠}ABC=120\text{°}& eeimg=&1&&,&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AA_1%3D2%5Csqrt%7B3%7D& alt=&AA_1=2\sqrt{3}& eeimg=&1&&，则球&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=O& alt=&O& eeimg=&1&&的表面积为&br&&/p&&p&A.&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=4%5Cpi+& alt=&4\pi & eeimg=&1&&
B.&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=8%5Cpi+& alt=&8\pi & eeimg=&1&&
C.&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=16%5Cpi+& alt=&16\pi & eeimg=&1&&
D.&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=24%5Cpi+& alt=&24\pi & eeimg=&1&&&/p&&p&&b&涛哥解析：&/b&&/p&&blockquote&直棱柱的外接球符合&b&圆柱外接球模型&/b&：&br&底面&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+ABC& alt=&\Delta ABC& eeimg=&1&&等腰，所以&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AB& alt=&AB& eeimg=&1&&对角为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=30%5Ctext%7B%C2%B0%7D& alt=&30\text{°}& eeimg=&1&&，&br&所以&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2r%3D%5Cfrac%7BAB%7D%7B%5Csin30%5Ctext%7B%C2%B0%7D%7D%5CRightarrow+r%3D1& alt=&2r=\frac{AB}{\sin30\text{°}}\Rightarrow r=1& eeimg=&1&&&br&而&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=h%3DAA_1%3D2%5Csqrt%7B3%7D& alt=&h=AA_1=2\sqrt{3}& eeimg=&1&&&br&所以&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=R%3D%5Csqrt%7Br%5E2%2B%5Cfrac%7Bh%5E2%7D%7B4%7D%7D%3D%5Csqrt%7B1%5E2%2B%5Cfrac%7B%282%5Csqrt%7B3%7D%29%5E2%7D%7B4%7D%7D%3D2& alt=&R=\sqrt{r^2+\frac{h^2}{4}}=\sqrt{1^2+\frac{(2\sqrt{3})^2}{4}}=2& eeimg=&1&&&br&所以球体表面积：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S%3D4%5Cpi+R%5E2%3D16%5Cpi+& alt=&S=4\pi R^2=16\pi & eeimg=&1&&，&b&C正确&/b&&/blockquote&&p&&br&&/p&&p&&b&【例题2】&/b&点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%2CB%2CC%2CD& alt=&A,B,C,D& eeimg=&1&&均在同一球面上，其中&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+ABC& alt=&\Delta ABC& eeimg=&1&&是正三角形，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AD%5Cbot+%5Ctext%7B%E5%B9%B3%E9%9D%A2%7DABC& alt=&AD\bot \text{平面}ABC& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AD%3D2AB%3D6& alt=&AD=2AB=6& eeimg=&1&&，则该球的体积为___________.&/p&&p&&b&涛哥解析：&/b&&/p&&blockquote&由题&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AD%5Cbot+%5Ctext%7B%E5%B9%B3%E9%9D%A2%7DABC& alt=&AD\bot \text{平面}ABC& eeimg=&1&&，符合一根侧棱⊥底面的锥体，符合&b&圆柱外接球模型&/b&。&br&&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AB%3D3& alt=&AB=3& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+ABC& alt=&\Delta ABC& eeimg=&1&&等边，所以&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2r%3D%5Cfrac%7BAB%7D%7B%5Csin60%5Ctext%7B%C2%B0%7D%7D%5CRightarrow+r%3D%5Csqrt%7B3%7D& alt=&2r=\frac{AB}{\sin60\text{°}}\Rightarrow r=\sqrt{3}& eeimg=&1&&；&br&而&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=h%3DAD%3D6& alt=&h=AD=6& eeimg=&1&&&br&所以&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=R%3D%5Csqrt%7Br%5E2%2B%5Cfrac%7Bh%5E2%7D%7B4%7D%7D%3D%5Csqrt%7B%5Csqrt%7B3%7D%5E2%2B%5Cfrac%7B%286%29%5E2%7D%7B4%7D%7D%3D2%5Csqrt3& alt=&R=\sqrt{r^2+\frac{h^2}{4}}=\sqrt{\sqrt{3}^2+\frac{(6)^2}{4}}=2\sqrt3& eeimg=&1&&&br&所以球的体积&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=V%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5Cpi+R%5E3%3D32%5Csqrt%7B3%7D%5Cpi+& alt=&V=\frac{4}{3}\pi R^3=32\sqrt{3}\pi & eeimg=&1&&&/blockquote&&p&&br&&/p&&p&&b&【例题3】&/b&已知四棱锥&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P-ABCD& alt=&P-ABCD& eeimg=&1&&的顶点都在球&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=O& alt=&O& eeimg=&1&&上，底面&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=ABCD& alt=&ABCD& eeimg=&1&&是矩形，平面&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PAD%5Cbot+& alt=&PAD\bot & eeimg=&1&&平面&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=ABCD& alt=&ABCD& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+PAD& alt=&\Delta PAD& eeimg=&1&&为正三角形，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AB%3D2AD%3D4& alt=&AB=2AD=4& eeimg=&1&&，则球&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=O& alt=&O& eeimg=&1&&的表面积为&/p&&p&A.&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B32%5Cpi%7D%7B3%7D+& alt=&\frac{32\pi}{3} & eeimg=&1&&
B.&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=32%5Cpi+& alt=&32\pi & eeimg=&1&&
C.&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=64%5Cpi+& alt=&64\pi & eeimg=&1&&
D.&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B64%5Cpi%7D%7B3%7D+& alt=&\frac{64\pi}{3} & eeimg=&1&&&/p&&p&&b&涛哥解析：&/b&&/p&&blockquote&由题，四棱锥&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=P-ABCD& alt=&P-ABCD& eeimg=&1&&中，平面&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=PAD%5Cbot+& alt=&PAD\bot & eeimg=&1&&平面&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=ABCD& alt=&ABCD& eeimg=&1&&，符合&b&圆柱外接球模型&/b&。&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+PAD& alt=&\Delta PAD& eeimg=&1&&的外接圆半径为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=r& alt=&r& eeimg=&1&&，因为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AD%3D2& alt=&AD=2& eeimg=&1&&，可由正弦定理求得：&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=2r%3D%5Cfrac%7BAD%7D%7B%5Csin60%5Ctext%7B%C2%B0%7D%7D%5CRightarrow+r%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D& alt=&2r=\frac{AD}{\sin60\text{°}}\Rightarrow r=\frac{2}{\sqrt{3}}& eeimg=&1&& 而&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=h%3DAB%3D4& alt=&h=AB=4& eeimg=&1&&&br&所以&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=R%3D%5Csqrt%7Br%5E2%2B%5Cfrac%7Bh%5E2%7D%7B4%7D%7D%3D%5Csqrt%7B%28%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%29%5E2%2B%5Cfrac%7B%284%29%5E2%7D%7B4%7D%7D%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B%5Csqrt3%7D& alt=&R=\sqrt{r^2+\frac{h^2}{4}}=\sqrt{(\frac{2}{\sqrt{3}})^2+\frac{(4)^2}{4}}=\frac{4}{\sqrt3}& eeimg=&1&&&br&所以球体表面积&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S%3D4%5Cpi+R%5E2%3D%5Cfrac%7B64%5Cpi+%7D%7B3%7D& alt=&S=4\pi R^2=\frac{64\pi }{3}& eeimg=&1&&，&b&D正确。&/b&&/blockquote&&p&&br&&/p&&p&&b&涛哥已累死。&/b&&/p&&p&&b&在这里，感谢&/b&&a class=&member_mention& href=&https://www.zhihu.com/people/f1ad1fbef7d6add65c45c9& data-hash=&f1ad1fbef7d6add65c45c9& data-hovercard=&p$b$f1ad1fbef7d6add65c45c9&&@烦躁的雅女&/a&同学对本节课程的首个赞赏！&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&本专栏必看：&/b&&/p&&a href=&http://zhuanlan.zhihu.com/p/& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic1.zhimg.com/v2-4aacd66b3a_180x120.jpg& data-image-width=&750& data-image-height=&560& class=&internal&&于庆涛：【重磅】 秒杀外接球の圆柱外接球模型&/a&&a href=&http://zhuanlan.zhihu.com/p/& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic3.zhimg.com/v2-ebdddc586f_180x120.jpg& data-image-width=&750& data-image-height=&560& class=&internal&&于庆涛：【重磅】秒杀外接球の圆锥(Zhui)外接球模型&/a&&p&&b&跳转总目录：&/b&&/p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic3.zhimg.com/v2-8cdf9859eecb24d0.jpg& data-image-width=&1446& data-image-height=&1080& class=&internal&&于庆涛：《高考数学の模法笔记》目录&/a&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&85& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784_r.jpg&&&/figure&&p&&广告时间&&/p&&p&更多包含&b&【82个小题技巧+各大题解题模板】&/b&、&b&【各题型大量补充练习】&/b&的完整版《模法筆記课程》请移步——&/p&&p&微信&b&模法班（公众号：taogemath）&/b&&/p&&p&&/p&&p&&/p&
立体几何压轴小题，基本上无论哪个省份，都会十分宠幸“几何体的外接球问题”。那么，倒霉的，看似就是我们这些广大高三狗了。而这类问题你通常会想到：①画出球体、标明球心→②画出球的内接几何体→ ③寻找突破口建立方程。以上的方法可以说是“通法”，…
&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-ebdddc586f_b.jpg& data-rawwidth=&750& data-rawheight=&560& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&750& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-ebdddc586f_r.jpg&&&/figure&&p&学习过&b&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&秒杀外接球の圆柱外接球模型&/a&&/b&的同学，估计现在已经开始觉得外接球问题没有想象中那般痛苦。今天，继续减轻大家负担。&/p&&p&到现在，3.30日12:22，竟然没有一位同学问我，&b&封面&/b&上的这个几何体的外接球问题能否简化运算，它是否符合圆&b&柱&/b&外接球模型？看来，大家认为，我放它的目的仅仅是为了美观！&/p&&p&告诉你们，涛哥我才不会这般肤浅~哈哈哈。其实&b&它符合今天要说的模型&/b&。&/p&&p&我在（上）篇提到，&b&几何体外接球题型&/b&80%以上都不用画图。本节教给你的就是这80%中最常用到的第2个模型——&b&圆锥外接球模型&/b&。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&85& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784_r.jpg&&&/figure&&p&&b&模法讲解：&/b&&/p&&p&先看以下这幅图：一个底面半径为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=r& alt=&r& eeimg=&1&&，高为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=h& alt=&h& eeimg=&1&&的圆锥，求它的外接球半径。这里我依然不多讲解，相信你还是能看懂我右边的式子。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-049e3d74e63cb5c09c637_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1359& data-rawheight=&790& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1359& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-049e3d74e63cb5c09c637_r.jpg&&&/figure&&p&所以，你该明白&b&今天讲解的模型公式就是：&/b&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+R%3D%5Cfrac%7Br%5E2%2Bh%5E2%7D%7B2h%7D& alt=& R=\frac{r^2+h^2}{2h}& eeimg=&1&&&/p&&p&当然，有同学会问圆锥要是“矮胖”一些，即扁一些怎么办？这时候外接球球心不会在圆锥外部吗？——是的，矮胖的圆锥，外接球球心确实在圆锥外部，但是&b&推导后的外接球半径公式依然是这个&/b&。&/p&&p&我们还是接着看：&/p&&p&&b&1、&/b&我们在上述圆锥底面边缘等距离取若干个点，与上顶点&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&构成——&b&正棱锥&/b&（高考常考正三、正四棱锥）。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-91ef847b964_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1441& data-rawheight=&910& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1441& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-91ef847b964_r.jpg&&&/figure&&p&（图示举例为正三棱锥，等距离取&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&个点情况是一样的）&/p&&p&这时，我们知道，&b&这个正棱锥的外接球就是这个圆锥的外接球&/b&！所以，&/p&&p&※※※求&b&正棱锥的外接球半径等，符合这个模型&/b&。※※※&/p&&p&&br&&/p&&blockquote&在这里&b&正棱锥的高&/b&就是公式中的&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=h& alt=&h& eeimg=&1&&，&br&而&b&正棱锥底面外接圆&/b&的半径则是公式中的&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=r& alt=&r& eeimg=&1&&（至于怎么求外接圆半径&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=r& alt=&r& eeimg=&1&&？去&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【立体篇】秒杀外接球の圆柱外接球模型（上） - 知乎专栏&/a&查找）。&/blockquote&&p&我们继续。&/p&&p&你会问，那在圆锥底面边缘随便取几个点，不等距不是也可以吗？——是的，也可以！也符合这个模型。关键是，随便取点得到的也叫&b&普通锥体&/b&，我们是很难判断这个锥体是取自圆锥，或者说能补成一个圆锥的。&/p&&p&2、这里面我们看看，&b&什么样的棱锥符合圆锥外接球模型&/b&。&/p&&p&其实，不难发现，只要&b&锥体的上顶点在底面外接圆圆心正上方或者说垂线上&/b&，就可以。那么，我们怎么知道&b&普通锥体&/b&，上顶点是否在底面外心正上方呢？&/p&&p&所以说，考试考的往往不是随便编出来的，往往是这样的：&/p&&p&【例题1】（2012·唐山统考）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（
）&br&&/p&&p&A.&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B8%5Cpi+%7D%7B3%7D& alt=&\frac{8\pi }{3}& eeimg=&1&&
B.&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=4%5Csqrt%7B3%7D%5Cpi+& alt=&4\sqrt{3}\pi & eeimg=&1&&
C.&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B16%5Cpi+%7D%7B3%7D& alt=&\frac{16\pi }{3}& eeimg=&1&&
D.&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=2%5Csqrt%7B3%7D%5Cpi+& alt=&2\sqrt{3}\pi & eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-09bc231bff9db736bad4b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1127& data-rawheight=&793& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1127& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-09bc231bff9db736bad4b_r.jpg&&&/figure&&p&空间感稍好些的同学应该不难看出，这是一个三棱锥（秒杀三视图课程，后续会有）。这个三棱锥的特点是，，，我们看俯视图，其实它是一个&b&等腰直角三角形&/b&（看不出的等三视图）。注意，以下这句话是重点：&/p&&p&看俯视图，我们可以了解，这个三棱锥&b&上顶点在底面的投影&/b&正好是&b&底面直角三角形的斜边中点上&/b&。我们知道&b&直角三角形的外接圆心就是斜边中点&/b&！&/p&&p&换句话说，本题三棱锥上顶点就是在底面外接圆圆心正上方。它&b&符合圆锥外接球模型&/b&！&/p&&p&所以，&/p&&p&※※※&b&上顶点&/b&在&b&直角&/b&三角形底面投影为&b&斜边中点&/b&的三棱锥，也符合这个模型※※※&br&&/p&&p&如图——三棱锥&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S-ABC& alt=&S-ABC& eeimg=&1&&，&b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&在底面投影恰好为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Rt%5CDelta+ABC& alt=&Rt\Delta ABC& eeimg=&1&&斜边中点&/b&：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-6e3b67131ecfbdea9301c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1463& data-rawheight=&924& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1463& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-6e3b67131ecfbdea9301c_r.jpg&&&/figure&&blockquote&在这里三棱锥的高是公式中的&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=h& alt=&h& eeimg=&1&&，&br&底面斜边长的&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D& alt=&\frac{1}{2}& eeimg=&1&&是公式中的&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=r& alt=&r& eeimg=&1&&。&/blockquote&&p&让我们总结一下：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-af9a8ee9132e2adb88c37bd_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&85& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-af9a8ee9132e2adb88c37bd_r.jpg&&&/figure&&p&&b&圆锥外接球模型&/b&——&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+R%3D%5Cfrac%7Br%5E2%2Bh%5E2%7D%7B2h%7D& alt=& R=\frac{r^2+h^2}{2h}& eeimg=&1&&适用于：&/p&&p&&br&&/p&&blockquote&&b&①圆锥&/b&-------&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=r%2Ch& alt=&r,h& eeimg=&1&&自带&br&&br&&b&②正棱锥&/b&-------&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=r& alt=&r& eeimg=&1&&:底面外接圆半径；&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=h& alt=&h& eeimg=&1&&:正棱锥的高&br&③“底面为&b&直角三角形&/b&+上顶点在底面投影为&b&斜边中点&/b&”的三棱锥-------&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=r& alt=&r& eeimg=&1&&:底面斜边长的&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D& alt=&\frac{1}{2}& eeimg=&1&&；&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=h& alt=&h& eeimg=&1&&:三棱锥的高&/blockquote&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-cefcddcbf5f32_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&85& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-cefcddcbf5f32_r.jpg&&&/figure&&p&接下来，我们秒杀一下【例题1】：&/p&&p&&b&【例题1】&/b&（2012·唐山统考）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（
）&br&&/p&&p&A.&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B8%5Cpi+%7D%7B3%7D& alt=&\frac{8\pi }{3}& eeimg=&1&&
B.&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=4%5Csqrt%7B3%7D%5Cpi+& alt=&4\sqrt{3}\pi & eeimg=&1&&
C.&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B16%5Cpi+%7D%7B3%7D& alt=&\frac{16\pi }{3}& eeimg=&1&&
D.&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=2%5Csqrt%7B3%7D%5Cpi+& alt=&2\sqrt{3}\pi & eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-09bc231bff9db736bad4b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1127& data-rawheight=&793& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1127& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-09bc231bff9db736bad4b_r.jpg&&&/figure&&p&&b&涛哥解析：&/b&&/p&&blockquote&由三视图知：三棱锥底面为——直角三角形；上顶点在底面投影为斜边中点。&b&符合圆锥外接球模型&/b&。&br&所以，&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=r%3D1& alt=&r=1& eeimg=&1&&,&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=h%3D%5Csqrt3& alt=&h=\sqrt3& eeimg=&1&&&br&代入公式，&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+R%3D%5Cfrac%7Br%5E2%2Bh%5E2%7D%7B2h%7D%3D%5Cfrac%7B1%5E2%2B%28%5Csqrt%7B3%7D%29%5E2%7D%7B2%5Csqrt3%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Csqrt3%7D& alt=& R=\frac{r^2+h^2}{2h}=\frac{1^2+(\sqrt{3})^2}{2\sqrt3}=\frac{2}{\sqrt3}& eeimg=&1&&&br&外接球表面积：&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S%3D4%5Cpi+R%5E2%3D%5Cfrac%7B16%5Cpi+%7D%7B3%7D& alt=&S=4\pi R^2=\frac{16\pi }{3}& eeimg=&1&&，&b&C正确&/b&。&/blockquote&&p&再来一道：&/p&&p&&b&【例题2】&/b&（2013·新课标Ⅰ理）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（
）&/p&&p&A.&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B500%5Cpi+%7D%7B3%7D& alt=&\frac{500\pi }{3}& eeimg=&1&&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=cm%5E3& alt=&cm^3& eeimg=&1&&
B.&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B866%5Cpi+%7D%7B3%7D%5Cpi+& alt=&\frac{866\pi }{3}\pi & eeimg=&1&&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=cm%5E3& alt=&cm^3& eeimg=&1&&
C.&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1372%5Cpi+%7D%7B3%7D& alt=&\frac{1372\pi }{3}& eeimg=&1&&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=cm%5E3& alt=&cm^3& eeimg=&1&&
D.&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B2048%5Cpi+%7D%7B3%7D& alt=&\frac{2048\pi }{3}& eeimg=&1&&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=cm%5E3& alt=&cm^3& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-31d4acd57bf22fc38f451139_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&799& data-rawheight=&549& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&799& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-31d4acd57bf22fc38f451139_r.jpg&&&/figure&&p&&b&涛哥解析：&/b&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-05c76efd581d1229816dfa840cfac56c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1055& data-rawheight=&814& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1055& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-05c76efd581d1229816dfa840cfac56c_r.jpg&&&/figure&&p&如果，我们把球体与容器及水面接触点提取，并连接起来，会得到——&b&正四棱锥&/b&。所求球体可以理解成，正四棱锥的外接球，所以符合&b&圆锥外接球模型&/b&。&/p&&blockquote&所以，由图可知，正四棱锥的高为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=8-6%3D2cm& alt=&8-6=2cm& eeimg=&1&&，底面外接圆半径为正方体棱长的&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D& alt=&\frac{1}{2}& eeimg=&1&&，&br&所以，&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=h%3D2%2Cr%3D4& alt=&h=2,r=4& eeimg=&1&&&br&由圆锥外接球公式，&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+R%3D%5Cfrac%7Br%5E2%2Bh%5E2%7D%7B2h%7D%3D%5Cfrac%7B4%5E2%2B2%5E2%7D%7B2%5Ccdot+2%7D%3D5& alt=& R=\frac{r^2+h^2}{2h}=\frac{4^2+2^2}{2\cdot 2}=5& eeimg=&1&&&br&球体体积：&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=V%3D%5Cfrac%7B4%5Cpi+R%5E3%7D%7B3%7D%3D%5Cfrac%7B500%5Cpi+%7D%7B3%7D& alt=&V=\frac{4\pi R^3}{3}=\frac{500\pi }{3}& eeimg=&1&&，&b&A正确&/b&。&/blockquote&&p&&br&&/p&&p&更狠的求外接球题目，请期待&b&《秒杀外接球の平面纬度化球体（下）》&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&本专栏必看：&/b&&/p&&a href=&http://zhuanlan.zhihu.com/p/& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic1.zhimg.com/v2-4aacd66b3a_180x120.jpg& data-image-width=&750& data-image-height=&560& class=&internal&&于庆涛：【重磅】 秒杀外接球の圆柱外接球模型&/a&&a href=&http://zhuanlan.zhihu.com/p/& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic3.zhimg.com/v2-ebdddc586f_180x120.jpg& data-image-width=&750& data-image-height=&560& class=&internal&&于庆涛：【重磅】秒杀外接球の圆锥(Zhui)外接球模型&/a&&p&&b&跳转总目录：&/b&&/p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic3.zhimg.com/v2-8cdf9859eecb24d0.jpg& data-image-width=&1446& data-image-height=&1080& class=&internal&&于庆涛：《高考数学の模法笔记》目录&/a&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&85& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784_r.jpg&&&/figure&&p&&广告时间&&/p&&p&更多包含&b&【82个小题技巧+各大题解题模板】&/b&、&b&【各题型大量补充练习】&/b&的完整版《模法筆記课程》请移步——&/p&&p&微信&b&模法班（公众号：taogemath）&/b&&/p&&p&&/p&&p&&/p&
学习过的同学，估计现在已经开始觉得外接球问题没有想象中那般痛苦。今天，继续减轻大家负担。到现在，3.30日12:22，竟然没有一位同学问我，封面上的这个几何体的外接球问题能否简化运算，它是否符合圆柱外接球模型？看来，大家…
&p&数学那玩意&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/0d145a94da3b623fd16f3fd_b.jpg& data-rawwidth=&984& data-rawheight=&1327& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&984& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/0d145a94da3b623fd16f3fd_r.jpg&&&/figure&你会发现，基本上知乎上提到的数学各类题的奇淫技巧，这里都有了，没提到的也有。比如解析几何&br&参数方程，极坐标，曲线系等&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/dbe5dd7a1ded_b.jpg& data-rawwidth=&984& data-rawheight=&730& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&984& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/dbe5dd7a1ded_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/575c79a51c59d99ab8fffb76a7ac1336_b.jpg& data-rawwidth=&984& data-rawheight=&1327& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&984& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/575c79a51c59d99ab8fffb76a7ac1336_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/78cb20e233aa0180c1ddff045c273116_b.jpg& data-rawwidth=&984& data-rawheight=&730& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&984& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/78cb20e233aa0180c1ddff045c273116_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/0dcd1e42ae4_b.jpg& data-rawwidth=&984& data-rawheight=&1327& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&984& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/0dcd1e42ae4_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/07bc15d41a0ba626e0e892_b.jpg& data-rawwidth=&984& data-rawheight=&1327& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&984& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/07bc15d41a0ba626e0e892_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/f5d43bd2fbf9b4a425cbfc591eabf6f0_b.jpg& data-rawwidth=&984& data-rawheight=&1327& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&984& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/f5d43bd2fbf9b4a425cbfc591eabf6f0_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/9e6b1d46b01f168b61dc1_b.jpg& data-rawwidth=&984& data-rawheight=&1327& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&984& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/9e6b1d46b01f168b61dc1_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/dd582b678fb815ba78071d92ade9e4c5_b.jpg& data-rawwidth=&984& data-rawheight=&730& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&984& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/dd582b678fb815ba78071d92ade9e4c5_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/d293fc22f714ceff6c494_b.jpg& data-rawwidth=&984& data-rawheight=&730& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&984& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/d293fc22f714ceff6c494_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/dff3f358c34d18fb263f6df089d8f1f6_b.jpg& data-rawwidth=&984& data-rawheight=&1327& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&984& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/dff3f358c34d18fb263f6df089d8f1f6_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/d2b8c0b7b4cf1aef6273_b.jpg& data-rawwidth=&984& data-rawheight=&1327& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&984& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/d2b8c0b7b4cf1aef6273_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/f9cb8cc8a34cd966f0b639_b.jpg& data-rawwidth=&984& data-rawheight=&1411& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&984& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/f9cb8cc8a34cd966f0b639_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/b0f61a5f29f7f9d46ccaec_b.jpg& data-rawwidth=&984& data-rawheight=&1420& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&984& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/b0f61a5f29f7f9d46ccaec_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/f0cefa8612d_b.jpg& data-rawwidth=&984& data-rawheight=&1266& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&984& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/f0cefa8612d_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/aac3b897ec214cafed109c_b.jpg& data-rawwidth=&984& data-rawheight=&687& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&984& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/aac3b897ec214cafed109c_r.jpg&&&/figure&以上是数学那玩意的目录。&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/881df1ae0e7_b.jpg& data-rawwidth=&984& data-rawheight=&1327& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&984& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/881df1ae0e7_r.jpg&&&/figure&另外还有更高更妙的高中数学/物理/化学&br&思想与方法。（用竞赛技巧优化高考）&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/5eb73eecf637d44bb4311_b.jpg& data-rawwidth=&984& data-rawheight=&1327& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&984& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/5eb73eecf637d44bb4311_r.jpg&&&/figure&我有7种解法！&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/c2bfcadc49963_b.jpg& data-rawwidth=&984& data-rawheight=&1327& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&984& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/c2bfcadc49963_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/bf5fbef62dc509e1d84bb_b.jpg& data-rawwidth=&984& data-rawheight=&1327& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&984& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/bf5fbef62dc509e1d84bb_r.jpg&&&/figure&不过基础不好的还是不要看更高更妙的高中数学思想与方法了，作者也开头说明不是给普通人看的，有兴趣的话建议看同作者的另一本 更高更妙的解题 蔡小雄&/p&
数学那玩意 你会发现，基本上知乎上提到的数学各类题的奇淫技巧，这里都有了，没提到的也有。比如解析几何 参数方程，极坐标，曲线系等 以上是数学那玩意的目录。 另外还有更高更妙的高中数学/物理/化学 思想与方法。（用竞赛技巧优化高考） 我有7种解法！ …
有很多，我先随便写写，有时间继续补充。学会这些比较先进的方法确实有时候大有帮助，特别是选择填空题有时候一眼就能看出答案，速度非常快，另外也能对知识的理解更加的深入明白，而这些知识点通常是大学特别是大一的知识点，作为知识上的衔接大一的知识有很大一部分在重复高中的知识，但又有所增加和深入，所以实际上处理的问题都是类似的或同类的实际问题。原则上，高考用了大学的知识解题也是可以的，但是每年每个地区有不同规定，所以大题的过程能不能用你们一定要根据自己的情况去确定一下。至少，选择填空可以秒答了哈哈。&br&&br&首先我要说的就是微积分，高中这部分内容叫导数，这只是微积分中的一小部分的最基本的内容，而你们高中所学导数实际上是牛顿的结论，而整个微积分学贡献更大的应该是莱布尼茨。他们之间的恩怨情仇你们可以百度一下，或者我有空写一篇文章。这里有个洛必达法则求极限的问题在高中会经常出现在压轴部分，这个可以去了解一下，很简单。另外，微积分一定要和物理结合起来，你们现在高中物理都是记公式解题，实际上那些公式是可以用微积分推导出来的，换一句话说如果你吃透了微积分，不记公式也能解题，而且能轻松解出更复杂的题。&br&&br&然后，对于文科生在空间几何那题，我觉得一定要学空间向量，理科生是有学空间向量的，所以对于理科生而言空间大题有两种方法可以选择，一种是传统的空间几何证明方法，另一种就是空间向量的方法也叫空间解析几何，而空间向量方法解这类证明题会非常简单，基本就是在计算，不用绞尽脑汁找辅助线证明，原理掌握了连想都不用想就可以直接开始做。港澳台考纲上也没有要求会空间向量，但是很多培训班都是有教这个方法的，所以我觉得一般的文科生很有必要学这个方法。&br&&br&还有，三次函数和高次函数图像画法，也叫穿根法，在导数大题会碰到。&br&&br&三次方程的解法。两种，一种是试根法加多项式除法，，另一种是一般解法。试根法经常出现，经常是拿0和1去试。一般解法出现比较少，过程比较麻烦，偶尔大题可能用这种方法可以解出来，但这肯定不是考点。&br&&br&暂时大概说这么多吧，不是很详细，手机打字不方便，具体的方法如果有人需要的话可以在下面评论，我有空加上来。&br&另外，我附上一些资料的下载：&br&=====================================&br&资料下载区 不定时更新资料&br&=====================================&br&分享一些资料在这里：&br&&br&高一数学上：&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//yunpan.cn/OcBWPJrpG8mSwk& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&yunpan.cn/OcBWPJrpG8mSw&/span&&span class=&invisible&&k&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&（提取码：1bf2）&br&&br&高二数学上：&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//yunpan.cn/OcBWq7zqGdA5eh& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&yunpan.cn/OcBWq7zqGdA5e&/span&&span class=&invisible&&h&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&（提取码：880c）&br&&br&高一数学下：&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//yunpan.cn/OcBWP4rps99n4j& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&yunpan.cn/OcBWP4rps99n4&/span&&span class=&invisible&&j&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a& （提取码：cc3f）&br&&br&高二数学下：&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//yunpan.cn/OcBWPIaiYjqcbu& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&yunpan.cn/OcBWPIaiYjqcb&/span&&span class=&invisible&&u&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a& 访问密码 a3e6&br&&br&港澳台联考：&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//yunpan.cn/OcBWPi35sV9IZd& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&yunpan.cn/OcBWPi35sV9IZ&/span&&span class=&invisible&&d&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a& （提取码：5ed5）&br&&br&高三数学：&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//yunpan.cn/OcBXg8H5rNbkiP& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&yunpan.cn/OcBXg8H5rNbki&/span&&span class=&invisible&&P&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a& 访问密码 3969&br&====================================&br&&p&++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++&/p&&p&我来更新答案了，有同学问到洛必达法则和微积分的问题，这里就先详细的说说洛必达法则在高中数学中的应用。&/p&&br&&p&&b&洛必达法则在高中数学中的应用：&/b&&/p&&br&&p&首先要强调的是洛必达法则肯定不是高考考纲要求掌握的内容，也不会成为直接考点，但是有的时候你用它来算极限会很快得出答案。&/p&&br&&p&那么首先明确洛必达法则是一种运算法则，并且是极限运算法则，说白了就是拿来算极限的，而极限这个知识点在高中也不是重点内容，在学导数时一带而过而已，但是偶尔还是会碰到这样的极限情况的问题，经常是在分析函数的性态的时候碰到开区间，要分析自变量x趋近于开区间边界的情况，这其实就是在计算极限的问题，就是这个函数在趋近于开区间边界的极限值（也就是这个函数因变量所趋近的值）。&/p&&br&&p&那么问题来了，如果这个函数是一个简单的多项式函数（或别的基本初等函数），那么你一定会算它的极限，只要把自变量x所趋近的数直接带进这个多项式自变量x就能计算出结果，这也很好理解。&/p&&br&&p&但是，如果这个函数是分数的形式，通常分子和分母都是基本初等函数复合或有限次基本初等运算构成的，并且你把x所趋近的数带进去后发现是0/0或∞/∞的情况（这两种情况叫做未定式，当然未定式还有很多其它比较复杂的情况，高中数学碰不到这里就不讲了），这个时候就可以用洛必达法则来计算了，但是，这里在我讲用洛必达法则计算这类问题之前我要提醒一下，洛必达法则不是高考的考纲所要求的内容，所以出题者的考查意图肯定是别的知识点或技巧，那么高中知识在这里的考点经常就是对分式化简（具体怎么化简技巧繁多，比如提公因式，分子分母有理化，公式法等等），化简之后的结果再把x所趋近的数带进去就可以计算出结果了。&/p&&br&&p&那么为什么了解洛必达法则有好处呢，原因就在于有时候化简的技巧性很强，不容易想到，在考场上需要在草稿纸上“试探”好久，太费时间了，如果会洛必达法则，那么直接进行洛必达法则求极限即可。&/p&&br&&p&为什么说洛必达法则求未定式极限可能很简单？怎样用洛必达法则求极限？&/p&&br&&p&首先说为什么简单（有时候也会比较复杂，它也不是万能的），因为只要你熟练掌握了求导公式，求导法则，对任何函数都能准确而快速的求导（高考想拿高分求导是必须熟练的任何一种题型都会出到这方面的内容，这部分没掌握好的同学就不要花时间在考纲内容之外的内容了），那么你就会洛必达法则。&/p&&br&&p&对于未定式的极限（高中最常见的：0/0和∞/∞），我们把分子、分母分别求导，求导化简之后再把x趋近的数带进去看看能不能算出结果，如果还是未定式的情况，那么继续用洛必达法则，直到能算出结果为止。所以说如果熟练掌握求导，这其实就是“套路”，没什么技巧的。&/p&&br&&p&&b&精确的数学描述语言如下：&/b&&/p&&br&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/252fe654ddce665b3ca7c_b.jpg& data-rawwidth=&562& data-rawheight=&250& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&562& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/252fe654ddce665b3ca7c_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/38e0f274571dfb55cfbc9c0_b.jpg& data-rawwidth=&676& data-rawheight=&439& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&676& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/38e0f274571dfb55cfbc9c0_r.jpg&&&/figure&注意这里3个条件，满足这三个条件才能使用洛必达法则，这里涉及到了一个去心领域的概念，不用太过担心这个概念，高中数学碰到的函数大部分都是基本初等函数以及由基本初等函数复合或是经过有限次代数运算而构成的函数，这些函数都是光滑的曲线，都是可导的。也有例外，比如绝对值函数在“尖点”处往往是不可以导的，关于导数有空另外写一些东西。&br&&br&&b&这里把领域和去心领域的概念放在这里：&/b&&br&&br&在高等数学中，我们经常会用到一种特殊的开区间(a -δ，a + δ)，称这个开区间为点a的邻域，记为U(a，δ)，即&br&U(a，δ) = (a - δ，a + δ)，&br&称点a为&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//baike.baidu.com/view/348547.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&邻域&/a&的中心，δ为邻域的半径 。&br&通常 δ是较小的实数，所以，a的δ邻域表示的是a的邻近的点 ，如下图所示。&br&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/cec2ecb3eb68cbf67d3537_b.jpg& data-rawwidth=&483& data-rawheight=&124& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&483& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/cec2ecb3eb68cbf67d3537_r.jpg&&&/figure&&br&&br&有时候，我们只考虑点a邻近的点，不考虑点a，即考虑点集{x | a-δ&x&a或a&x&a+δ}，我们称这个点集为点a的去心的邻域，记为?(a，δ)，即&br&?(a，δ) = {x | a - δ & x & a或a & x & a + δ}，&br&如下图所示。&br&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/69ea283460cfbd810e5ffd38af9a9844_b.jpg& data-rawwidth=&477& data-rawheight=&116& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&477& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/69ea283460cfbd810e5ffd38af9a9844_r.jpg&&&/figure&&br&以a为中心的任何开&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//baike.baidu.com/view/70334.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&区间&/a&称为点a的邻域，记作&i&U&/i&(&i&a&/i&)。&br&设δ是任一正数，则开区间(&i&a - δ, a&/i&+&i&δ&/i&)就是点&i&a&/i&的一个邻域，这个邻域称为点&i&a&/i&的δ邻域。&br&记作&i&U&/i&(&i&a&/i&,&i&δ&/i&)，即&i&U&/i&(&i&a&/i&,&i&δ&/i&)={&i&x&/i&|&i&a&/i&-&i&δ & x & a&/i&&i&+ δ&/i&}。&br&&br&&p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/36b4e816f794d156d7c5_b.jpg& data-rawwidth=&683& data-rawheight=&457& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&683& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/36b4e816f794d156d7c5_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/60b16dd35e0bf9986ac3_b.jpg& data-rawwidth=&653& data-rawheight=&463& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&653& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/60b16dd35e0bf9986ac3_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/b6a5d76a269cc4df268b7d9b78f40e2e_b.jpg& data-rawwidth=&659& data-rawheight=&357& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&659& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/b6a5d76a269cc4df268b7d9b78f40e2e_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/a6867cfb74d77dcf790dad63f07bdc7a_b.jpg& data-rawwidth=&660& data-rawheight=&426& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&660& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/a6867cfb74d77dcf790dad63f07bdc7a_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/51acf30bbdce00d93dc3abb3_b.jpg& data-rawwidth=&671& data-rawheight=&320& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&671& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/51acf30bbdce00d93dc3abb3_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/9bdeee1d674b_b.jpg& data-rawwidth=&669& data-rawheight=&453& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&669& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/9bdeee1d674b_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/7a232affa811ed8232420b_b.jpg& data-rawwidth=&658& data-rawheight=&461& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&658& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/7a232affa811ed8232420b_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/6164c8bfdcf8ccf50e98d32d64a1dad5_b.jpg& data-rawwidth=&682& data-rawheight=&459& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&682& data-ori