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问个集合端点的取值问题已知集合A={x|x＜1},B={x|x＞a},且A∪B=R,则a的取值范围是多少?为什么a不能取1?变式1 A={x|x≤1},B={x|x≥a},且A∪B=R,则a的取值范围是多少?为什么a又能取1了?如果a≥1的话,岂不是x=1?变式2 A={x|x≤1},B={x|x＞a},且A∪B=R,则a的取值范围是多少?为什么又能取1了?回答完会给分的.
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高中数学新教材变式题1：《集合与函数》
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& 高一数学集合知识点总结
　　一．知识归纳：
　　1．集合的有关概念。
　　1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素
　　注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
　　②集合中的元素具有确定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互异性（若a?A，b?A，则a&b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。
　　③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件
　　2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法
　　3）集合的分类：有限集，无限集，空集。
　　4）常用数集：N，Z，Q，R，N*
　　2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
　　1）子集：若对x&A都有x&B，则A B（或A B）；
　　2）真子集：A B且存在x0&B但x0 A；记为A B（或 ，且 ）
　　3）交集：A&B={x| x&A且x&B}
　　4）并集：A&B={x| x&A或x&B}
　　5）补集：CUA={x| x A但x&U}
　　注意：①? A，若A&?，则? A ；
　　②若 ， ，则 ；
　　③若 且 ，则A=B（等集）
　　3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1） 与 、?的区别；（2） 与 的区别；（3） 与 的区别。
　　4．有关子集的几个等价关系
　　①A&B=A A B；②A&B=B A B；③A B C uA C uB；
　　④A&CuB = 空集 CuA B；⑤CuA&B=I A B。
　　5．交、并集运算的性质
　　①A&A=A，A&? = ?，A&B=B&A；②A&A=A，A&? =A，A&B=B&A；
　　③Cu (A&B)= CuA&CuB，Cu (A&B)= CuA&CuB；
　　6．有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。
　　二．例题讲解：
　　【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m&Z},N={x|x= ,n&Z},P={x|x= ,p&Z}，则M,N,P满足关系
　　A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M
　　分析一：从判断元素的共性与区别入手。
　　解答一：对于集合M：{x|x= ,m&Z}；对于集合N：{x|x= ,n&Z}
　　对于集合P：{x|x= ,p&Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以M N=P，故选B。
　　分析二：简单列举集合中的元素。
　　解答二：M={&， ，&}，N={&， , , ，&}，P={&， , ，&}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。
　　= &N， &N，∴M N，又 = M，∴M N，
　　= P，∴N P 又 &N，∴P N，故P=N，所以选B。
　　点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。
　　变式：设集合 ， ，则（ B ）
　　A．M=N B．M N C．N M D．
　　当 时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B
　　【例2】定义集合A*B={x|x&A且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则A*B的子集个数为
　　A）1 B）2 C）3 D）4
　　分析：确定集合A*B子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合A={a1，a2，&，an}有子集2n个来求解。
　　解答：∵A*B={x|x&A且x B}， ∴A*B={1,7}，有两个元素，故A*B的子集共有22个。选D。
　　变式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若a&M，则6?a&M，那么集合M的个数为
　　A）5个 B）6个 C）7个 D）8个
　　变式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.
　　解：由已知，集合中必须含有元素a,b.
　　集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
　　评析 本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有 个 .
　　【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A&B={1},A&B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。
　　解答：∵A&B={1} ∴1&B ∴12?4&1+r=0,r=3.
　　∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵A&B={?2,1,3},?2 B, ∴?2&A
　　∵A&B={1} ∴1&A ∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1，
　　∴ ∴
　　变式：已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A&B={2},A&B=B，求实数b,c,m的值.
　　解：∵A&B={2} ∴1&B ∴22+m?2+6=0,m=-5
　　∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵A&B=B ∴
　　又 ∵A&B={2} ∴A={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2&2=4
　　∴b=-4,c=4,m=-5
　　【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)&0},集合B满足：A&B={x|x&-2}，且A&B={x|1
　　分析：先化简集合A，然后由A&B和A&B分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。
　　解答：A={x|-21}。由A&B={x|1-2}可知[-1,1] B，而(-&,-2)&B=ф。
　　综合以上各式有B={x|-1&x&5}
　　变式1：若A={x|x3+2x2-8x&0}，B={x|x2+ax+b&0},已知A&B={x|x&-4}，A&B=&P,求a,b。（答案：a=-2，b=0）
　　点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。
　　变式2：设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若M&N=N，求所有满足条件的a的集合。
　　解答：M={-1,3} , ∵M&N=N, ∴N M
　　①当 时，ax-1=0无解，∴a=0 ②
　　综①②得：所求集合为{-1，0， }
　　【例5】已知集合 ，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q，若P&Q&&P，求实数a的取值范围。
　　分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+2&0在 有解，再利用参数分离求解。
　　解答：（1）若 ， 在 内有有解
　　令 当 时，
　　所以a&-4,所以a的取值范围是
　　变式：若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。
　　解答：
　　点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。
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2017年2018年
高考关键词名师|上海市中学数学特级教师张忠旺：数学概念的变式教学
点击标题下「第一教育专业圈」可快速关注
张忠旺，上海市松江第二中学数学教师，上海市中学数学特级教师。他多年来在高中数学教学中，以“变式教学”为中心开展教学研究，形成了“精选题—重变式—深探究—勤反思”的教学特色，课堂教学语言简洁，善于通过问题设计启发学生思考，根据学生的反馈及时调节教学设计，积累了许多优秀的教学案例。近年来，他发表相关论文数十篇，指导学生关于问题变式探究的论文多篇获奖或公开发表。
高一年级《函数的概念》教学设计
——高一年级《函数的概念》教学设计
函数是中学数学的核心内容，它贯穿于中学数学的始终，是解决许多数学问题的工具和模型，其重要性不言而喻。我所执教的班级是我校创新实验班，学生基础较好。虽然在初中学生已学过函数概念，但仅仅是从变量的角度对函数概念的感性认识。由于高中函数概念比较抽象和学生思维发展水平的原因，它成为教学中的一个难点。本设计从学生已学过的初中函数概念入手，结合变式教学，对这一概念进行突破。
函数概念由定义域、对应法则和值域三要素组成，对应法则是函数概念的核心，也是学生理解的难点，本设计通过揭示对应法则的不同表现形式，并利用数形结合的方法对难点加以突破。
环节一：函数概念的变式引入
师：初中我们学习了函数的概念，还学习了具体的函数，如一次函数、二次函数，请同学们回忆一下函数定义。在某一变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x的允许值范围内，变量y随着x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做x的函数。请你举一个具体函数的例子。
师：在函数的定义中，有两个变量，在变化过程中，一个变化时，另一个也跟着变化。请你结合例子说明它们之间确定的依赖关系如何?
生：对x每一个确定的值，y都有唯一确定的值和它对应，如y=，x→。
师：变量x的值怎么给出？
生：变量x的值通过x的允许值范围给出。比如，y=中，x∈R；S=π中，r∈（0，+∞）。
师：从集合的观点看，“变量x的允许值范围”是一个实数集合记做D，x和y间“确定的依赖关系”记做对应法则f，我们可将上述函数定义具体叙述如下。
定义：在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与它对应，那么y就是x的函数，记做y=f(x)，x∈D。其中x叫自变量，x的取值范围D叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈D}叫做函数y=f(x)的值域。
师：函数y=的值域是多少？
师：函数的构成有几部分？
函数由定义域、值域和对应法则三部分组成，对应法则是核心，这就是函数的三要素。
设计意图：初中的函数概念是用变量间的依赖关系对函数概念进行描述性定义的，而高中函数概念是用对应的观点给出函数的现代定义。两个定义比较如下表。
变量的依赖关系
变量的对应关系
y与x之间存在确定的依赖关系
某个对应法则f
这里从学生初中已学过的变量观点下的函数概念入手，利用集合对应的观点重新认识函数，自然引出对应观点下的函数定义，既符合教材的设计要求，也符合学生的认知特点。
环节二：函数概念的变式表征
问题1：判断下列各例中的对应关系是否为函数关系？如果是函数关系，说出其对应法则、定义域和值域。
1.一物体距地面10m，从静止开始下落，下落的距离y(m)与时间t(s)之间近似满足关系y=4.9；y与t的对应关系y=4.9是函数关系，其对应法则为4.9×t2，定义域为[0， ]，值域为[0，10]。
2.下表是上海市日0点到23点整点气温列表。表格给出的气温与时间的对应关系是函数关系，对应法则如表，该函数的定义域为{0，1，…，23}，值域为{3，4，6，7，8，9，10}。从表中可以知道每个时点的温度，但不容易看出24小时气温的变化情况，如果将“气温”与“时间”的关系用图像表示出来，就能直观地看到气温变化的情况。
上海市日0点到23点整点气温列表
3.下图是网上的截图，表示上海市日0点到23点气温变化的函数图像。函数定义域为[0，23]，值域为[3，10]，其对应法则如图，当0≤t≤7时，θ=3℃；当7≤t≤8时，θ=t-4℃；……；当 21≤t≤23时，θ=6℃。
一般情况，函数对应关系的表现形式通常有三种：（1）解析法，用一个等式表示出x与y的关系；（2）列表法，用表格表示出x与y的对应关系；（3）图像法，以数对(x，y)为点的坐标描绘出能反映x与y的对应关系的曲线。
师：三种表示法各有所长，我们要根据具体情况，选择恰当的方法来表示所要研究的函数。
设计意图：通过对应法则的各种变式，展示了函数常见的三种不同的表示方法，丰富了学生对函数概念的认识，突出了函数的核心——对应法则。
环节三：函数概念的变式辨析
问题2：下面各例中的对应关系是否是函数关系？为什么？
(1) y=1；(2)
分析：（1）y=1是函数，对应法则为y=1，定义域为R，值域为{1}。
（2）满足条件
的自变量x不存在，所以该解析式不表示函数。
问题3：设集合M={x|0≤x≤2}，N{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N。哪些图形是函数f(x)的图像？概括一个图形是函数图像的特征是什么？
图形①表示的函数定义域不是M，图形③表示的函数值域不是N，图形④不满足函数对应法则的要求，只有图形②满足f(x)的要求，所以图形②是f(x)的图像。
根据函数的定义，函数图像与垂直于x轴的直线最多有一个交点。
问题4：下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？
⑴；⑵；⑶；（4）y=t。
解：⑴＝x（），，定义域不同且值域不同，不是同一个函数；
⑵=x（），，定义域与对应法则都相同，是同一个函数；
⑶=|x|=，；值域不同，不是同一个函数。
（4）两个函数是否相同，只与函数的定义域和对应法则有关，而与表示变量的字母无关，因此y=t与y=x是同一函数。
师：两个函数只有当定义域、对应法则和值域完全相同时，两个函数才能称为同一函数。体现在图像上，同一函数的图像在同一坐标系中完全重合。
问题5：你能否举出定义域和值域都相同而对应法则不同的函数？如y=x与y=-x； 与 等。
设计意图：通过对以上几个问题的辨析，进一步强化学生对函数三要素的认识，特别是对应法则的重要性，强化函数关系必须满足x的取值集合非空，对于每一个x的值都有唯一确定的y值与之对应。
环节四：函数概念的变式应用
例1：已知已知f（X）=，（1）求f(x)的定义域；（2）求f(1)， f(-)的值；（3）求f(x+1)及其定义域；（4）求该函数的值域。
解：（1）定义域[-1，1]；
（3），定义域为 [-2，0]；
（4）因为，所以，，f(x)的值域为[0，1]。
设计意图：学习概念的目的是应用，反之，应用能促进概念的深刻理解。为了更好地运用概念，需要将概念具体化，通过具体问题的分析，为学生更好地应用概念解决问题奠定基础。
本节课从初中函数的变量说过渡到高中函数的对应说，通过对应法则的不同表现形式和具体函数例子，丰富了函数的概念，加深了学生对函数概念的理解。函数y=f(x)中的f为对应法则，三要素中对应法则为函数的核心，定义域为函数的基础，值域由定义域和对应法则确定。由于对应法则或定义域的变化产生了多样的不同的函数。
变式教学是我国数学教学的传统特点，在教学实践中，它已被我国广大数学教师自觉或不自觉地应用着。利用概念的变式——正例和反例，可以帮助学生直观具体地对概念进行多角度理解，从而实现难点的突破。
函数概念的核心是对应法则，也是学生理解的难点，本节课通过揭示对应法则的不同表现形式，并利用直观的图像，把抽象的对应法则转化为具体形象的实例，从正反两个方面帮助学生加深对函数概念的理解，取得了满意的效果。
高中的函数概念是中学数学中的重要概念，高中阶段的函数概念是在初中函数概念基础上，用集合、对应的语言和记号更精确地来定义的。张忠旺老师对本课的概念教学做了精细的设计。从初中的函数定义出发，通过实例分析，教师引导，学生讨论，使学生从初中的两个变量间依赖关系的认识，提升到自变量x与因变量y的对应关系；从初中函数自变量x允许取值范围的表述，提升到定义域的集合表示；将对应关系具体化为对应法则f及记号y=f(x)，x∈D；将函数值的取值范围定义为函数值域，从函数三要素体现了高中函数概念深化。在本教学设计中，组织教学，例题设计，十分自然流畅，使难点得到有效突破。
函数概念的变式表征的教学是通过三个问题为载体的，这三个问题的设计从学生学习和生活实际出发，对三种函数的表示方法及相互关系有生动的表述，特别是在24小时内温度变化的图像表示中，还设计了如何用解析式分段表示，很有新意。这段内容的教学丰富了学生对函数概念的认识。
函数概念的变式辨析与变式应用是这次教学设计的一大特色，教师通过精心设计典型问题，围绕函数概念的三要素，从正反两个方面，对函数定义域必须非空，对应关系的唯一性等予以强化。问题组织有序，目标指向清晰，数学内涵充实，体现了设计者的数学功底和教学素养。
（点评人：上海市中学数学特级教师 顾鸿达）
（本文刊载于《现代教学》2015年7AB合刊）
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