【】教师资格阅读资料：高中数学《等差数列》解析
15:06:00 来源：
1.题目：等差数列
3.基本要求：
(1)要有板书;
(2)试讲十分钟左右;
(3)条理清晰，重点突出;
(4)学生掌握等差数列的特点与性质。
一、教学目标
【知识与技能】能够复述等差数列的概念，能够学会等差数列的通项公式的推导过程及蕴含的数学思想。
【过程与方法】在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，提高知识、方法迁移能力;通过阶梯性练习，提高分析问题和解决问题的能力。
【情感态度与价值观】通过对等差数列的研究，具备主动探索、勇于发现的求知精神;养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
二、教学重难点
【教学重点】
等差数列的概念、等差数列的通项公式的推导过程及应用。
【教学难点】
等差数列通项公式的推导。
三、教学过程
环节一：导入新课
教师PPT展示几道题目：
1.我们经常这样数数，从0开始，每隔5一个数，可以得到数列：0，5，15，20，25
2.小明目前会100个单词，他她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉2个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递减为：100，98，96，94，92。
3.2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重正式列为比赛项目，该项目共设置了7个级别，其中交情的4个级别体重组成数列(单位：kg)：48，53，58，63。
教师提问学生这几组数有什么特点?学生回答从第二项开始，每一项与前一项的差都等于一个常数，教师引出等差数列。
环节二：探索新知
1.等差数列的概念
学生阅读教材，同桌讨论，类比等比数列总结出等差数列的概念
如果一个数列，从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。
问题1：等差数列的概念中，我们应该注意哪些细节呢?
强调：&从第二项起&满足条件;公差d一定是由后项减前项所得;每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(强调&同一个常数&);数学表达式：－=(n&1)。
问题2：判断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。
(1)9，8，7，6，5，4，&&;
(2)0.70，0.71，0.72，0.73，0.74&&;
(3)0，0，0，0，0，0，&&;
引导学生发现第一个数列公差小于0,第二个数列公差大于0，第三个数列公差等于0。由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是0。
2.等差中项
问题3：给出的两个数24.6，()，32.2加入什么数后，这三个数就会成为一个等差数列?
学生回答，教师给出等差中项的概念：如果三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，
问题4：五个数成等差数列，你能得到什么结论?
问题5：等差数列满足什么条件时，数列为一个递增数列、递减数列、常数列?
根据公差的正负来判断：当时，等差数列为递增数列;当时，等差数列为递减数列;当时，等差数列为常数列。
问题6：摆动数列可能是等差数列吗?例数列1，0，1，0，1，&&，判断这个数列是否是等差数列?
环节三：课堂练习
抢答：下列数列是否为等差数列?
(1)1，2，4，6，8，10，12，&&
(2)0，1，2，3，4，5，6，&&
(3)3，3，3，3，3，3，3，&&
(4)-8，-6，-4，-2，0，2，4，&&
(5)3,0，-3，-6，-9，&&
环节四：小结作业
小结：1.等差数列的概念及数学表达式。
关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数。
作业：现实生活中还有哪些等差数列的实际应用呢?根据实际问题自己编写两道等差数列的题目并进行求解。
四、板书设计
2.等差中项
问题：学生在学习等差数列的时候，最容易将什么类型的数列混淆?
【参考答案】
一类是公差为0的常数列，学生会凭借自己的感性认识，认为此时公差为不存在的，判断错误;一类是除了第一项或者除了前若干项，不符合后一项减前一项为一个常数的数列，学生容易忽视等差数列定义中&从第一项开始&，这一关键词。最后，学生容易将每一项与它的前一项的差必须是同一个常数中的同一个常数这个关键词忽视。
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在一个等差数列{an}中,满足3a4=7a7,且a1&0,Sn是数列{an}前n...解:等差数列{an}中,满足3a4=7a7∴3(a1+3d)=7(a1+6d)4a1+33d=0③因为a1&0,所以d&0那么取最大值的情况就是sn为数列所以正数项之和所以要判断an为正数...如果等差数列an中a3+a4+a5=12,那么a1+a2+...+a7设等差数列an公差为d,得a3=a4-d;a5=a4+da3+a4+a5=(a4-d)+a4+(a4+d)=3a4=12同理a1=a4-3d,a2=a4-2d,……,a7=a4+3d;a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=7a4=28已知等差数列{an}中a2=6,a5=15,若bn=a2n,则数列{bn}的前5项和...由已知,得,公差d=(a5-a2)/3=3所以a1=a2-d=6-3=3所以an=3nbn=a2n=6n所以{bn}是以6为首项,6为公差的等差数列所以数列{bn}的前5项和=(6+30)*5/2=90已知等差数列an中,a4=0.8,a11=2.2,求a51+a52+...a80.求过程根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d得知:首项a1=0.2公差d=0.2那么根据等差数列前n项和公式Sn=n(a1+an)/2就很容易得知了即:a51+a52+...+a80=S80-S50...在等差数列{an}中|a10|,则{an}的前n项和Sn中最大...等差数列{an}中a10|a10|,把前20项的和表示出来,结果大于0,把前19项的和表示出来,结果小于0.解:∵等差数列{an}中a100...在等差数列{An}中,A5+A10=58,A4+A9=50,求S10.范围是必修5等查数量的前n项和(图3)在等差数列{An}中,A5+A10=58,A4+A9=50,求S10.范围是必修5等查数量的前n项和(图11)在等差数列{An}中,A5+A10=58,A4+A9=50,求S10.范围是必修5等查数量的前n项和(图14)在等差数列{An}中,A5+A10=58,A4+A9=50,求S10.范围是必修5等查数量的前n项和(图16)在等差数列{An}中,A5+A10=58,A4+A9=50,求S10.范围是必修5等查数量的前n项和(图20)在等差数列{An}中,A5+A10=58,A4+A9=50,求S10.范围是必修5等查数量的前n项和(图22)这是用户提出的一个数学问题,具体问题为:在等差数列{An}中,A5+A10=58,A4+A9=50,求S10.范围是必修5 等查数量的前n项和在等差数列{an}中|a10|,则{an}的前n项和Sn中最大...等差数列{an}中a10|a10|,把前20项的和表示出来,结果大于0,把前19项的和表示出来,结果小于0.解:∵等差数列{an}中防抓取，学路网提供内容。我们通过互联网以及本网用户共同努力为此问题提供了相关答案,以便碰到此类问题的同学参考学习,请注意,我们不能保证答案的准确性,仅供参考,具体如下:在等差数列{an}中,若S12=8S4,则a1/d等于?S12=a1+a12=(a1+a12)*6=[a1+a1+(12-1)*d]*6=(2a1+11d)*68S4=8*[(a1+a4)*2]=8*防抓取，学路网提供内容。用户都认为优质的答案:在等差数列{An}中,a5=0.3,a12=3.1,求a18+…a22的值。由a5=0.3,a12=3.1,得公差d=(3.1-0.3)/(12-5)=0.4;所以a18+…+a22=5*a20=5*防抓取，学路网提供内容。A5+A10=58,A4+A9=50,等差数列[an}中,a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列前9项的和...a3=a1+2da6=a4+2da9=a7+2d27=39+6dd=-2a2=a1+da5=a4+da8=a7防抓取，学路网提供内容。相减,得2d=58-50=8在以d为公差的等差数列an中,设S1=a1+a2......+an,S2=an+1+an...S2-S1=(an+1-a1)+(an+2-a2)+...+(a2n-an)=nd*n=d*n^2S3-S防抓取，学路网提供内容。d=4a5+a5+5d=58已知等差数列{An}中,Sn=m,Sm=n(m不等于n).求Sm+nd/2=n&【2】由【1】*m-【2】*n得:d=-2(m+n)/(mn)&【3】∵S[m+n]=(m+n)a[防抓取，学路网提供内容。2a5+20=58在等差数列中求项数的简便方法答：假设a1+a2+a3+.....+an为等差数列,公差为2则他的计算方式为【（an-a1）÷2】＋1通用公式为【（末项-首项）÷公差】＋1常见数列的计算公式请参照htt防抓取，学路网提供内容。2a5=38在等差数列an中已知d=2，an=11，sn=35求a1和n的值答：sn=n(a1+an)/2=n(a1+11)/2=35所以n(a1+11)=70①又an=a1+(n-1)d=a1+2(n-1)=1防抓取，学路网提供内容。a5=19a6=19+2=21在等差数列{an}中，an=11，d=2，Sn=35，则a1=______问：在等差数列{an}中，an=11，d=2，Sn=35，则a1=______．答：等差数列{an}中，∵an=11，d=2，防抓取，学路网提供内容。所以s10=(a1+a10)×10÷2在等差数列中求a1与d怎么算答：等差数列的5个指标：首项a1，公差d，项数n，第n项an，前n项和Sn需要知道其中的3个指标，才能求出另两个指标。若要求a1、d，需要已知项数n，第n项an，前n项和S防抓取，学路网提供内容。=(a5+a6)×5(5)在等差数列中,s=a,s=b(n&m),则s=(a-b).答：⑴数列为等差数列的重要条件是：数列的前n项和S可以写成S=an^2+bn的形式(其中a、b为常数)．⑵在等差数列中，当项数为2防抓取，学路网提供内容。=（19+21）×5在等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=10，则a7=______问：在等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=10，则a7=______．答：等差数列中，a3+a5=10那么，a1+a7=a3防抓取，学路网提供内容。=200在等差数列{an}中,若S12=8S4,则a1/d等于?S12=a1+a12=(a1+a12)*6=[a1+a1+(12-1)*d]*6=(2a1+11d)*68S4=8*[(a1+a4)*2]=8*{[a1+a1+(4-1)*d]*2}=8*[(2a1+3d)*2]=16*(2a1+3d)即(2a1+11d)*6=16*(2a1+3d),(2a1+11...在等差数列{An}中,a5=0.3,a12=3.1,求a18+…a22的值。由a5=0.3,a12=3.1,得公差d=(3.1-0.3)/(12-5)=0.4;所以a18+…+a22=5*a20=5*(a12+8d)=5*6.3=31.5等差数列[an}中,a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列前9项的和...a3=a1+2da6=a4+2da9=a7+2d27=39+6dd=-2a2=a1+da5=a4+da8=a7+da2+a5+a8=39+3*(-2)=33s9=39+33+27=99在以d为公差的等差数列an中,设S1=a1+a2......+an,S2=an+1+an...S2-S1=(an+1-a1)+(an+2-a2)+...+(a2n-an)=nd*n=d*n^2S3-S2=(a2n+1-a1)+(a2n+2-a2)+...+(a3n-a2n)=nd*n=d*n^2等差数列,且公差为d*n^2
相关信息：
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周六学科俱乐部(一)&&&&&
我们一起来讨论：
一、&&&&&&&&&&&&
判断下面的数列中哪些是等差数列？
（1）、1，3，5，7，10，13，16……（&&&&&&&&&
（2）5，8，11，14，17，20……（&&&&&&&&&&&
（3）1，5，9，13，17，21，23…（ ）
（4）90，80，70，60，50，……20，10（ ）
二、求等差数列3，8，13，18，……的第30项是多少？
三、求等差数列8，14，20，26，……302的末项是第几项？
四、一个剧院的剧场有２０排座位，第一排有３８个座位，往后每排比前一排多２个座位，这个剧院一共有多少个座位？
五、计算
１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋…＋１２
１、&&&&&&&&&&&&
在等差数列的括号后面打√。
(1)0,2,6,12,20,30,36……（&&&&
(2)6,12,18,24,30,36,42……（&&&
(3)700,693,686,679,673……（&&&
(4)90,79,68,57,46,35,24,13……（&&
（1）11+12+13……+998+999+1000
（2）2+6+3+12+4+18+5+24+6+30
3、求等差数列6，9，12，15，……中第99项是几？
4、求等差数列46，52，58……172共有多少项？
5、求等差数列245，238，231，224，……中，105是第几项？
6、求等差数列0，4，8，12，……中，第31项是几？在这个数列中，2000是第几项？
7、从35开始往后面数18个奇数（单数），最后一个奇数是多少？
8、已知一个等差数列的第二项是8，第3项是13，这个等差数列的第10项是多少？
回家训练：
100+200+300+……2100
81+79+……+17+15+13
2、有20个同学参加聚会，见面的时候如果每人都和其他同学握手一次，那么参加聚会的同学一共要握手多少次？
3、请用被4除余数是1的所有两位数组成一个等差数列。并求出这个等差数列的和。
4、在13和29之间插三个数，使这个五个数构成一个等差数列，那么插入的三个数分别是多少？
5、如果要在30和70之间插入若干个数，使他们组成一个公差是5的等差数列，那么一共要插入多少个数？
6、学校举行乒乓球赛，每个参赛选手要和其他选手进行一场比赛，一共进行了78场，计算出一共有多少个参赛选手？
7、一把钥匙和一把锁配着，现在有10把钥匙和10把锁混着了，最多要打多少次才能把钥匙和锁都配好？
8、40个连续奇数的和是1920，其中最大的一个是多少？
9、小明读一本600页的书，他每天比前一天多读1页。16天读完，那么他最后一天读了多少页？
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行测数学模块—八大类数列及变式总结
数字推理的题目通常状况下是给出一个数列，但整个数列中缺少一个项，要求仔细观察这个数列各项之间的关系，判断其中的规律。解题关键：1，培养数字、数列敏感度是应对数字推理的关键。2，熟练掌握各类基本数列。3，熟练掌握八大类数列，并深刻理解“变式”的概念。4，进行大量的习题训练，自己总结，再练习。下面是八大类数列及变式概念。例题是帮助大家更好的理解概念，掌握概念。虽然这些理论概念是从教材里得到，但是希望能帮助那些没有买到教材，那些只做大量习题而不总结的朋友。最后跟大家说，做再多的题，没有总结，那样是不行的。只有多做题，多总结，然后把别人的理论转化成自己的理论，那样做任何的题目都不怕了。谢谢！一、简单数列
自然数列：1，2，3，4，5，6，7，……
奇数列：1，3，5，7，9，……
偶数列：2，4，6，8，10，……
自然数平方数列：1，4，9，16，25，36，……
自然数立方数列：1，8，27，64，125，216，……
等差数列：1，6，11，16，21，26，……
等比数列：1，3，9，27，81，243，……二、等差数列1，
等差数列：后一项减去前一项形成一个常数数列。例题：12，17，22，27，（），37解析：17-12=5，22-17=5，……2，
二级等差数列：后一项减去前一项形成一个新的数列是一个等差数列。例题1： 9，13，18，24，31，（）解析：13-9=4，18-13=5，24-18=6，31-24=7，……例题2.：66，83，102，123，（）解析：83-66=17，102-83=19，123-102=21，……3，二级等差数列变化：后一项减去前一项形成一个新的数列，这个新的数列可能是自然数列、等比数列、平方数列、立方数列、或者与加减“1”、“2”的形式有关。例题1： 0，1，4，13，40，（）解析：1-0=1，4-1=3，13-4=9，40-13=27，……公比为3的等比数列例题2： 20，22，25，30，37，（）解析：22-20=2，25-22=3，30-25=5，37-30=7，…….二级为质数列4，三级等差数列及变化：后一项减去前一项形成一个新的数列，再在这个新的数列中，后一项减去前一项形成一个新的数列，这个新的数列可能是自然数列、等比数列、平方数列、立方数列、或者与加减“1”、“2”的形式有关。例题1： 1，9，18，29，43，61，（）解析：9-1=8，18-9=9，29-18=11，43-29=14，61-43=18，……二级特征不明显
9-8=1，11-9=2，14-11=3，18-14=4，……三级为公差为1的等差数列例题2.：1，4，8，14，24，42，（）解析：4-1=3，8-4=4，14-8=6，24-14=10，42-24=18，……二级特征不明显
4-3=1，6-4=2，10-6=4，18-10=8，……三级为等比数列例题3：（），40，23，14，9，6解析：40-23=17，23-14=9，14-9=5，9-6=3，……二级特征不明显
17-9=8，9-5=4，5-3=2，……三级为等比数列三、等比数列1，等比数列：后一项与前一项的比为固定的值叫做等比数列例题：36，24，（）32/3，64/9解析：公比为2/3的等比数列。2，二级等比数列变化：后一项与前一项的比所得的新的数列可能是自然数列、等比数列、平方数列、立方数列、或者与加减“1”、“2”的形式有关。例题1：1，6，30，（），360解析：6/1=6，30/6=5，（）/30=4，360/（）=3，……二级为等差数列例题2：10，9，17，50，（）解析：1*10-1=9，2*9-1=18，3*17-1=50，……例题3：16，8，8，12，24，60，（）解析：8/16=0.5，8/8=1，12/8=1.5，24/12=2，60*24=2.5，……二级为等差数列例题4：60，30，20，15，12，（）解析：60/30=2/1，30/20=3/2，20/15=4/3，15/12=5/4，……重点：等差数列与等比数列是最基本、最典型、最常见的数字推理题型。必须熟练掌握其基本形式及其变式。四、和数列1，典型（两项求和）和数列：前两项的加和得到第三项。例题1：85，52，（），19，14解析：85=52+（），52=（）+19，（）=19+14，……例题2：17，10，（），3，4，-1解析：17-10=7，10-7=3，7-3=4，3-4=-1，……例题3：1/3，1/6，1/2，2/3，（）解析：前两项的加和得到第三项。2，典型（两项求和）和数列变式：前两项的和，经过变化之后得到第三项，这种变化可能是加、减、乘、除某一常数；或者是每两项的和与项数之间具有某种关系。例题1：22，35，56，90，（），234解析：前两项相加和再减1得到第三项。例题2：4，12，8，10，（）解析：前两项相加和再除2得到第三项。例题3：2，1，9，30，117，441，（）解析：前两项相加和再乘3得到第三项。3，三项和数列变式：前三项的和，经过变化之后得到第四项，这种变化可能是加、减、乘、除某一常数；或者是每两项的和与项数之间具有某种关系。例题1：1，1，1，2，3，5，9，（）解析：前三项相加和再减1得到第四项。例题2：2，3，4，9，12，25，22，（）解析：前三项相加和得到自然数平方数列。例题：-4/9，10/9，4/3，7/9，1/9，（）解析：前三项相加和得到第四项。五、积数列1，典型（两项求积）积数列：前两项相乘得到第三项。例题：1，2，2，4，（），32解析：前两项相乘得到第三项。2，积数列变式：前两项相乘经过变化之后得到第三项，这种变化可能是加、减、乘、除某一常数；或者是每两项的乘与项数之间具有某种关系。例题1：3/2，2/3，3/4，1/3，3/8，（）解析：两项相乘得到1，1/2，1/4，1/8，……例题2：1，2，3，35，（）解析：前两项的积的平方减1得到第三项。例题3：2，3，9，30，273，（）解析：前两项的积加3得到第三项。六、平方数列1，典型平方数列（递增或递减）例题：196，169，144，（），100解析：14立方，13立方，……2，平方数列变式：这一数列特点不是简单的平方或立方数列，而是在此基础上进行“加减乘除”的变化。例题1：0，5，8，17，（），37解析：0=12-1，5=22+1，8=32-1，17=42+1，（）=52-1，37=62+1例题2：3，2，11，14，27，（）解析：12+2，22-2，32+2，42-2，52+2，……例题3：0.5，2，9/2，8，（）解析：等同于1/2，4/2，9/2，16/2，分子为12，22，32，42，……例题4：17，27，39，（），69解析：17=42+1，27=52+2，39=62+3，……3，
平方数列最新变化------二级平方数列例题1：1，4，16，49，121，（）解析：12，22，42，72，112，……二级不看平方
1，2，3，4，……三级为自然数列例题2：9，16，36，100，（）解析：32，42，62，102，……二级不看平方
1，2，4，……三级为等比数列]七、立方数列1，典型立方数列（递增或递减）：不写例题了。2，立方数列变化：这一数列特点不是简单的立方数列，而是在此基础上进行“加减乘除”的变化。例题1：0，9，26，65，124，（）解析：项数的立方加减1的数列。例题2：1/8，1/9，9/64，（），3/8解析：各项分母可变化为2，3，4，5，6的立方，分之可变化为1，3，9，27，81例题3：4，11，30，67，（）解析：各项分别为立方数列加3的形式。例题4：11，33，73，（），231解析：各项分别为立方数列加3，6，9，12，15的形式。例题5：-26，-6，2，4，6，（）解析：（-3）3+1，（-2）3+2，（-1）3+3，（0）3+4，（1）3+5，……八、组合数列1，数列间隔组合：两个数列（七种基本数列的任何一种或两种）进行分隔组合。例题1：1，3，3，5，7，9，13，15，（），（）解析：二级等差数列1，3，7，13，……和二级等差数列3，5，9，15，……的间隔组合。例题2：2/3，1/2，2/5，1/3，2/7，（）解析：数列2/3，2/5，2/7和数列1/2，1/3，……的间隔组合。2，数列分段组合：例题1：6，12，19，27，33，（），48解析：
8例题2：243，217，206，197，171，（），151解析：
9特殊组合数列：例题1：1.01，2.02，3.04，5.08，（）解析：整数部分为和数列1，2，3，5，……小数部分为等比数列0.01，0.02，0.04，……九、其他数列 1，质数列及其变式：质数列是一个非常重要的数列，质数即只能被1和本身整除的数。例题1：4，6，10，14，22，（）解析：各项除2得到质数列2，3，5，7，11，……例题2：31，37，41，43，（），53解析：这是个质数列。2，合数列：例题：4，6，8，9，10，12，（）解析：和质数列相对的即合数列，除去质数列剩下的不含1的自然数为合数列。3，分式最简式：例题1：133/57，119/51，91/39，49/21，（），7/3解析：各项约分最简分式的形式为7/3。例题2：105/60，98/56，91/52，84/48，（），21/12解析：各项约分最简分式的形式为7/4。 内容持续更新中···········
没人回复不，不更新了
难道是样子老师？
一是，公务员考试感受最深的一句话是，“天道酬勤”，公务员是考出来的、念出来的，付出总会有回报，考公务员，要全身心地投入，各个模块一个个突破，发现错误，善于总结，不断模拟真题，最重要的是要用心认真地去学去念。我是一个脑瓜子极其平凡的人，但请相信，平凡的人如果勤奋，一旦认真是会有好结果的，是不会比聪明的人差的。
二是，要善于总结。不仅是我总结，自己总结更关键，最好用一本子，或者用电脑WORD随时写下心得总结。有总结，心里才有底，有成就感，复习会更系统，同时一些要点、难点、错题写下来了，以后再复习时就方便了，也不会忘复习了。时间倒不是最大问题，我用60天总结了笔试这么多内容，事实上中间很多时间被我浪费了。当然，有时间，你的成绩就更高了。
三是，战战兢兢的态度。我笔试、面试都是一个感觉，战战兢兢，如履薄冰，如临深渊，深怕自己什么地方漏了，什么地方答错了。这样有好处，好处是复习会比较全面，精细，只要临场发挥得正常就OK了；坏处也很明显，压力很大。
第一部分、数字推理 一、基本要求 熟记熟悉常见数列，保持数字的敏感性，同时要注意倒序。 自然数平方数列：4，1，0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，169，196，225，256，289，324，361，400…… 自然数立方数列：－8，－1，0，1，8，27，64，125，216，343，512，729，1000 质数数列： 2，3，5，7，11，13，17……（注意倒序，如17,13,11,7,5,3,2） 合数数列： 4，6，8，9，10，12，14…….（注意倒序） 二、解题思路： 1 基本思路：第一反应是两项间相减，相除，平方，立方。所谓万变不离其综，数字推理考察最基本的形式是等差，等比，平方，立方，质数列，合数列。 相减，是否二级等差。 8，15，24，35，（48） 相除，如商约有规律，则为隐藏等比。 4，7，15，29，59，（59*2－1）初看相领项的商约为2，再看4*2-1=7,7*2+1＝15…… 2特殊观察：
项很多，分组。三个一组，两个一组 4，3，1，12，9，3，17，5，（12） 三个一组 19，4，18，3，16，1，17，（2） 2，－1，4，0，5，4，7，9，11，（14）两项和为平方数列。 400，200，380，190，350，170，300，（130）两项差为等差数列
隔项，是否有规律
0，12，24，14，120，16（7^3－7） 数字从小到大到小，与指数有关 1，32，81，64，25，6，1，1/8
每个数都两个数以上，考虑拆分相加（相乘）法。 87，57，36，19，（1*9+1） 256，269，286，302，（302+3+0+2）
数跳得大，与次方（不是特别大），乘法（跳得很大）有关 1，2，6，42，（42^2+42） 3，7，16，107，（16*107-5）
每三项/二项相加，是否有规律。
1，2，5，20，39，（125－20－39） 21，15，34，30，51，（10^2-51）
C=A^2－B及变形（看到前面都是正数，突然一个负数，可以试试） 3，5，4，21，（4^2-21）,446 5，6，19，17，344,(-55) -1，0，1，2，9，（9^3+1）
C=A^2+B及变形（数字变化较大） 1，6，7，43，（49+43） 1，2，5，27，（5+27^2）
分数，通分，使分子/分母相同，或者分子分母之间有联系。/也有考虑到等比的可能 2/3，1/3，2/9，1/6，（2/15） 3/1，5/2，7/2，12/5，（18/7）分子分母相减为质数列 1/2，5/4，11/7，19/12，28/19，（38/30）分母差为合数列，分子差为质数列。 3，2，7/2，12/5，（12/1）
通分，3,2 变形为3/1，6/3，则各项分子、分母差为质数数列。 64，48，36，27，81/4，（243/16）等比数列。 出现三个连续自然数，则要考虑合数数列变种的可能。 7，9，11，12，13，（12+3） 8，12，16，18，20，（12*2） 突然出现非正常的数，考虑C项等于 A项和B项之间加减乘除，或者与常数/数列的变形 2，1，7，23，83，（A*2+B*3）思路是将C化为A与B的变形，再尝试是否正确。 1，3，4，7，11，（18） 8，5，3，2，1，1，（1－1）
首尾项的关系，出现大小乱现的规律就要考虑。 3，6，4，（18），12，24 首尾相乘 10，4，3，5，4，（－2）首尾相加 旁边两项（如a1,a3)与中间项(如a2)的关系 1，4，3，－1，－4，－3，（ －3―（－4） ） 1/2，1/6，1/3，2，6，3，(1/2)
B项等于A项乘一个数后加减一个常数 3，5，9，17，（33） 5，6，8，12，20，(20*2－4) 如果出现从大排到小的数，可能是A项等于B项与C项之间加减乘除。 157,65,27,11,5,(11-5*2) 一个数反复出现可能是次方关系，也可能是差值关系 －1，－2，－1，2，（7） 差值是2级等差 1，0，－1，0，7，（2^6－6^2） 1，0，1，8，9，（4^1） 除3求余题，做题没想法时，试试（亦有除5求余） 4,9,1,3,7,6,( C) A.5 B.6. C.7 D.8 （余数是1,0,1,0,10,1) 3.怪题： 日期型 ，，，，（） 结绳计数 ，，（311322） 有2个1，2个2.
第三部分、判断推理 最关键的地方，看清题目，问的是不能还是能，加强还是削弱（是否有“除了”这个词） 一．最多与最少 概念之间的关系主要可以分为三大类： 一是包含，如“江苏人”与“南京人”； 二是交叉，如“江苏人”与“学生”； 三是全异，如“江苏人”与“北京人”。 全异的人数最多，全包含的人数最少，以下面例子为例。 例1：房间里有一批人，其中有一个是沈阳人，三个是南方人，两个是广东人，两个是作家，三个是诗人。如果以上介绍涉及到了房间中所有的人，那么，房间里最少可能是几人，最多可能是几人？ 析：广东人是南方人，所以三个南方人和两个广东人，其实只有3个人。现考虑全异的情况，即沈阳人，南方人，都不是作家和诗人，这样人数会最多。1+3+2+3=9,最多9人。现考虑全包含的情况，假设南方人中，3个全是诗人，有两个是广东人，有两个南方人是作家，已经占3个人了；这样沈阳人也是1人，即最少有4人。（本题最容易忽略的是，南方人有可能既是作家，又是诗人，最少的就是把少的包在多的中） 例2：某大学某某寝室中住着若干个学生，其中，1个哈尔滨人，2个北方人，1个是广东人，2个在法律系，3个是进修生。因此，该寝室中恰好有8人。以下各项关于该寝室的断定是真的，都能加强上述论证，除了 A、题干中的介绍涉及了寝室中所有的人。 B、广东学生在法律系。 C、哈尔滨学生在财经系。 D、进修生都是南方人。 析：本题，哈尔滨人是北方人，则寝室最多的人数是：2+1+2+3＝8人，因为寝室正好8人，所以，北方人，广东人，法律系，进修生，全部是相异的，一旦有交叉，必然造成寝室人数少于8人。所以选B 二．应该注意的几句话 1.不可能所有的错误都能避免 不可能所有的错误都能避免，怎么理解？ A.
可能有的错误不能避免
B.必然有的错误不能避免。 答案是B，不可能所有的错误都能避免，说明了至少存在一个例子错误是不能避免的，可能有一个例子，可能有很多个例子，即必然有的错误不能避免。可能有的错误不能避免，只是可能，说明有可能所有的错误都能避免。 2. A.
妇女能顶半边天，祥林嫂是妇女，所以，祥林嫂能顶半边天。 此句话推理有误。因为妇女能顶半边天的妇女是全集合概念，与祥林嫂是妇女中的妇女的概念不一至。类似于，孩子都是祖国的花朵，花朵都需要浇水，所以孩子都需要浇水。又，鲁迅的小说不是一天能读完的，《呐喊》是鲁迅的小说，所以，《呐喊》不是一天能读完的。错误，因为前面小说是相对鲁迅所有小说，集合的概念，后项是非集合概念。 2. B.
对网络聊天者进行了一次调查，得到这些被调查的存不良企图的网络聊天者中，一定存在精神空虚者。 那么能不能得出“存在不良企图网络聊天者中一定有精神空虚者”呢？答案是否定的，因为要得出的结论是全集的概念，而题干只是针对调查者。 2. C.
对近三年刑事犯调查表明，60%都为己记录在案的350名惯犯所为。报告同时揭示，严重刑事犯罪案件的作案者半数以上是吸毒者。 那么能不能得出“350名惯犯中一定有吸毒者”呢？不能。因为60%是指案件，而半数指的是作案者。假如案件有1000个案犯，其中350名惯犯做了600件案子，其他６５０名案犯才做了400件案子，那么如果650名全部吸了毒，而350全不吸毒，也符合严重刑事犯罪案件的作案者半数以上是吸毒者（65%吸了毒）。另外一种说法，严重刑事犯罪案件的作案案件半数中一定有案件是350名惯犯里的人做的，这个就正确了。 3.或者，或者 要么，要么 或者A，或者B 这个关联词表示，可能是A成立，可能是B成立，可能是A/B都成立。 例如，鲁迅或者是文学家，或者是革命家。表示，鲁迅可能是文学家，可能是革命家，可能是文学革命家。 如果是要么，要么，则只有两个可能性，文学家，和革命家。 4.并非某女年轻漂亮/（并非毛泽东既是军事家，又是文学家） 这句话表示，某女可能年轻不漂亮，可能漂亮不年轻，可能即不漂亮也不年轻。 毛泽东可能是军事家不是文学家，可能是文学家但不是军事家，可能既不是军事家也不是文学家。 5.A:我主张小王和小孙至少提拔一人 B:我不同意 B的意思是，小王和小孙都不提拔。因为如果提拔任何一人，都满足了A的话，即同意了A。 6.如果天下雨，那么地上湿。类似的短语（只要,就；如果，那么；一，就） 第一，现在天下雨了，那么地上湿不湿呢？湿 第二，现在天没下雨，地上湿不湿呢？不一定 第三，现在地上湿了，天有没有下雨呢？不一定 第四，现在地上没湿，天有没有下雨呢？没有。 7.只有天下雨，地上才会湿。类似的短语（除非，才；没有，就没有；不，就不） 表示的含义
1.天下雨，地不一定会湿。 2.天不下雨，地一定不会湿。 8.A:所有的同学都是江苏人；B：不同意 B 的意思是，必然有同学不是江苏人，但可以全部都不是江苏人，也可以是有部分同学不是江苏人。 9.发牢骚的人都能够不理睬通货膨胀的影响。 这句话意思是，只要是发牢骚的，就能不理睬通货膨胀的影响。 但，不理睬通货膨胀的影响的人，不一定是发牢骚的人。 10.所有的贪污犯都是昌吉人;所有的贪污犯都不是昌吉人。 第一句话，不能理解为，所有昌吉人都是贪污犯人。但只要是贪污犯，都是昌吉人。 第二句话，可以理解为，所有的昌吉人都不是贪污犯。因为一旦昌吉人是贪污犯，则不是昌吉人，所以昌吉人不可能是贪污犯。即所有昌吉人都不是贪污犯。 11.主板坏了，那么内存条也一定出了故障。 这种假设命题，除非能证明，“主板坏了，那么内存条不一定/没出故障。”否则，不能认为主板就一坏了。也就是即使主板确定是好好的，这个命题也是真的。 12.推理方式的正确性 题目给的是：所有的读书人都有熬夜的习惯，张目经常熬夜，所以，张目一定是读书人。 这个命题是不一定准确的。 选项：所有的素数都是自然数，91是自然数，所以91是素数。 这个命题是错误的，因为91是复数，由此，题目推理方式不同。 有时的题目是，题干正确，那么也要选正确的。 13.除非谈判马上开始，否则有争议的双方将有一方会违犯停火协议。 谈谈马上开始了，能保证有争议的双方不会有一方违犯停火协议吗？答案是不能。题目意思是说，只有谈判马上开始，有争议的双方才能不会有一方违犯停火协议。只是停火的条件。
14.正确的三段论和错误的三段论 正确的三段论： 所有的聪明人都近视， 有些学生是聪明人， 有些学生近视。 错误的三段论如： 所有的聪明人都近视， 有些学生不聪明， 有些学生不近视。 三．充分必要条件万能宝典 A＝&B，表示，A是B成立的充分条件，B是A成立的必要条件。A能推出B，B成立却不一定推出A成立。没有B就没有A，不是B就决不会有A，只要A成立，B一定要成立。 A＝&B，B=&C,则A=&C。 1.只有博士，才能当教授。只有通过考试，才能当博士。 不是博士，不能当教授。博士是当教授的必要条件，教授一定是博士，博士不一定是教授。 1式：教授＝》是博士 不通过考试，不能当博士。通过考试是当博士的必要条件，博士一定通过考试，通过考试不一定是博士，可能还要其它条件。 2式：是博士＝》通过了考试 联合得，教授＝》通过了考试 2.只有住在广江市的人才能够不理睬通货膨胀的影响；如果住在广江市，就得要付税；每一个付税的人都要发牢骚。 根据上述判断，可以推出以下哪项一定是真的？ （1）每一个不理睬通货膨胀影响的人都要付税。 （2）不发牢骚的人中没有一个能够不理睬通货膨胀的影响。 （3）每一个发牢骚的人都能够不理睬通货膨胀的影响
析：第一句话，说明，不理睬＝》广江市；第二句，广江＝》付税；第三句，付税＝》发牢骚。则
不理睬＝》
发牢骚 由此，(1),可得之。（2），发牢骚是不理睬的必要条件，不发牢骚，就不能不理睬。 （3），只有发牢骚，才能不理睬。但发牢骚了，不代表不理睬。 则选（1）（2） 四．加强、削弱、和前提 1审题 要分辨题目是加强还是削弱还是前提，看清题意（有没有“除了”这些字眼），不要看到一个选项就自以为是选上，实际上和题目要求相反。 另一个重点是，分清问的是什么？论据，论证，论点 论点是统帅,解决“要证明什么”的问题;论据是基础,解决“用什么来证明”的问题;论证是达到论点和论据同意的桥梁。 答题时要审好题目，题意是要加强/削弱什么？论据，论证，还是观点。 例： 有一句话，“学雷锋不好！因为雷锋以前就是个贪图小便宜、损人利己的坏人。如果学了雷锋，那么就没时间学习科学知识，就没时间进行自我修养。” 其中，学雷锋不好是我的论点，雷锋以前是什么样的人是我的论据。学了雷锋就怎样怎样这一推断过程，算是我的论证。 要反驳削弱，如果你直接咬住“学雷锋不好”这一错误观点，来批驳我，就是驳论点；如果你列举真实的雷锋事迹，来批驳我关于雷锋是什么样的人的论据，就是驳论据；如果你找出我的逻辑错误或者论述过程中的结果错误，来批驳我，就是驳论证。
2.解削弱型 解答此类试题，一般要先弄清楚题干所描述的论点、论据和论证的关系。如果是削弱结论，则从题干所描述的论点的反向思考问题，一般就是找论点的矛盾命题，或是与论点唱反调的命题；如果是削弱论证，则主要从论点和论据之间的逻辑关系方面思考问题；如果是削弱论据，则从论据的可靠性角度试考问题。 如果题目是不能削弱，则是要找出，和论据/论证/论点 不相干的一项或者加强的一项。 五．一些题型
1.这种判断甲乙丙是谁的题，从出现过两次的那个人入手。 例：世界田径锦标赛3000米决赛中，跑在最前面的甲、乙、丙三人中，一个是美国选手，一个是德国选手，一个是肯尼亚选手，比赛结束后得知： （1）甲的成绩比德国选手的成绩好。 （2）肯尼亚选手的成绩比乙的成绩差。 （3）丙称赞肯尼亚选手发挥出色。 则，甲，乙，丙分别是？ 析：（2），（3）中，肯尼亚出现两次，从此切入，肯尼亚不是乙，肯尼亚不是丙，则肯尼亚是甲。又由1，肯尼亚比德国成绩好，肯尼亚又比乙差，则德国不是乙，是丙。美国是乙。 2．定义判断的注意事项 定义判断一定要注意，题目问的是不属于，还是属于。 定义判断一般是判断是否属于“属”，再看是否符合“种差”。 注：逻辑推理可以通过MBA逻辑书籍进行超级强化。
第四部分、数学运算上 注：目前图片空间已经收费了，现在不能外链了，也找不到其它的可以外链的空间。现在只能下载首楼的附件才能看到图片了。。
（注意运算不要算错，看错！！！越简单的题，越要小心陷阱） 一．排列组合问题 1.
能不用排列组合尽量不用。用分步分类，避免错误 2.
分类处理方法，排除法。 例：要从三男两女中安排两人周日值班，至少有一名女职员参加，有（C1/2 *C1/3 +1）种不同的排法? 析：当只有一名女职员参加时，C1/2* C1/3； 当有两名女职员参加时，有1种 3．特殊位置先排
例：某单位安排五位工作人员在星期一至星期五值班，每人一天且不重复。若甲忆两人都不能安排星期五值班，则不同的排班方法共有（3 * P4/4）
析：先安排星期五，后其它。 4. 相同元素的分配（如名额等，每个组至少一个），隔板法。
例：把12个小球放到编号不同的8个盒子里，每个盒子里至少有一个小球，共有（C7/11）种方法。
析：0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ，共有12－1个空，用8－1个隔板插入，一种插板方法对应一种分配方案，共有C7/11种，即所求。
注意：如果小球也有编号，则不能用隔板法。
5. 相离问题（互不相邻）用插空法
例：7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻，有多少种排法？
析：| 0 | 0 | 0 | 0 |,分两步。第一步，排其它四个人的位置，四个0代表其它四个人的位置，有P4/4种。第二步，甲乙丙只能分别出现在不同的 | 上，有P3/5种，则P4/4 * P3/5即所求。
例：在一张节目表中原有8个节目，若保持原有的相对顺序不变，再增加三个节目，求共有多少种安排方法？
析：思路一，用二次插空法。先放置8个节目，有9个空位，先插一个节目有9种方法，现在有10个空位，再插一个节目有10种方法，现有11种空位，再插一种为11种方法。则共有方法9*10*11。
思路二，可以这么考虑，在11个节目中把三个节目排定后，剩下的8个位置就不用排了，因为8个位置是固定的。因此共有方法P3/11
6. 相邻问题用捆绑法
例：7人排成一排，甲、乙、丙3人必须相邻，有多少种排法？
析：把甲、乙、丙看作整体X。第一步，其它四个元素和X元素组成的数列，排列有P5/5种；第二步，再排X元素，有P3/3种。则排法是P5/5 * P3/3种。
7. 定序问题用除法
例：有1、2、3，...，9九个数字，可组成多少个没有重复数字，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字的5位数？
析：思路一：1－9，组成5位数有P5/9。假设后三位元素是（A和B和C，不分次序，ABC任取）时（其中B&C&A）,则这三位是排定的。假设B、C、A这个顺序，五位数有X种排法，那么其它的P3/3-1个顺序，都有X种排法。则X*(P3/3-1+1)=P5/9,即X=P5/9 / P3/3
思路二：分步。第一步，选前两位，有P2/9种可能性。第二步，选后三位。因为后三位只要数字选定，就只有一种排序，选定方式有C3/7种。即后三位有C3/7种可能性。则答案为P2/9 * C3/7
8. 平均分组 例：有6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本。有多少种不同的分法？ 析：分三步，先从6本书中取2本给一个人，再从剩下的4本中取2本给另一个人，剩下的2本给最后一人，共C2/6* C2/4 * C2/2 例：有6本不同的书，分成三份，每份两本。有多少种不同的分法？ 析：分成三份，不区分顺序，是无序的，即方案(AB,CD,EF)和方案（AB,EF,CD）等是一样的。前面的在（C2/6* C2/4 * C2/2）个方案中，每一种分法，其重复的次数有P3/3种。则分法有，（C2/6* C2/4 * C2/2） /
P3/3 种分法。 二．日期问题 1.闰年，2月是29天。平年，28天。 2.口诀： 平年加1，闰年加2；(由平年365天/7=52余1得出)。 例：2002年 9月1号是星期日
号是星期几？ 因为从一共有6年，其中有4个平年，2个闰年，求星期，则： 4X1+2X2=8，此即在星期日的基础上加8，即加1，第二天。 例：日是星期六,那么日是星期几？
4+1＝5，即是过5天，为星期四。（08年2 月29日没到） 三．集合问题 1.两交集通解公式（有两项） 公式为：满足条件一的个数+满足条件二的个数－两者都满足的个数＝总个数-两者都不满足的个数 其中满足条件一的个数是指 只满足条件一不满足条件二的个数 加上 两条件都满足的个数
公式可以画图得出 例：有62名学生，会击剑的有11人，会游泳的有56人，两种都不会用的有4人，问两种都会的学生有多少人？
思路一：两种都会+只会击剑不会游泳+只会游泳不会击剑＝62－4
设都会的为T，11－T+56-T+T＝58，求得T=9
思路二：套公式，11+56－T＝62－4，求得T＝9
例：对某小区432户居民调查汽车与摩托车的拥有情况，其中有汽车的共27户，有摩托车的共108户，两种都没有的共305户，那么既有汽车又有摩托车的有多少户？
析：套用公式27+108－T=432-305 得T=8 2.三交集公式（有三项） 例：学校教导处对100名同学进行调查，结果有58人喜欢看球赛，有38人喜欢看戏剧，有52人喜欢看电影。另外还知道，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧（但不喜欢看电影）的有6人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧（但不喜欢看球赛）的有4人，三种都喜欢的有12人，则只喜欢看电影的人有多少人？
如图， U=喜欢球赛的 + 喜欢戏剧的 + 喜欢电影的
X表示只喜欢球赛的人； Y表示只喜欢电影的人； Z表示只喜欢戏剧的人
T是三者都喜欢的人。即阴影部分。 a表示喜欢球赛和电影的人。仅此2项。不喜欢戏剧 b表示喜欢电影和戏剧的人。仅此2项。不喜欢球赛 c表示喜欢球赛和戏剧的人。仅此2项。不喜欢电影。
A=X+Y+Z,B=a+b+c,A是只喜欢一项的人，B是只喜欢两项的人，T是喜欢三项的人。
则U=喜欢球赛的 + 喜欢戏剧的 + 喜欢电影的 = (x＋a＋c＋T) + (y＋a＋b＋T) + (z＋b＋c＋T) 整理，即 A+2B+3T＝至少喜欢一项的人数人 又：A+B+T＝人数 再B+3T＝ 至少喜欢2项的人数和
则 原题解如下：
A+2*(6+4+c)+3*12=58+38+52
A+(6+4+c)+12=100
则只喜欢看电影的人=喜欢看电影的人数-只喜欢看电影又喜欢球赛的人-只喜欢看电影又喜欢看戏剧的人-三者都喜欢的人=52-14－4－12＝22人
四．时钟问题 1.时针与分针 分针每分钟走1格，时针每60分钟5格，则时针每分钟走1/12格，每分钟时针比分针少走11/12格。
例：现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？ 析：2点时候，时针处在第10格位置，分针处于第0格，相差10格，则需经过10 /
11/12 分钟的时间。 例：中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点时，时针与分针重合多少次？ 析：时针与分针重合后再追随上，只可能分针追及了60格，则分针追赶时针一次，耗时60 / 11/12 ＝720/11分钟，而12小时能追随及12*60分钟/ 720/11 分钟/次=11次，第11次时，时针与分针又完全重合在12点。如果不算中午12点第一次重合的次数，应为11次。如果题目是到下次12点之前，重合几次，应为11-1次，因为不算最后一次重合的次数。 2.分针与秒针 秒针每秒钟走一格，分针每60秒钟走一格，则分针每秒钟走1/60格，每秒钟秒针比分针多走59/60格
例：中午12点，秒针与分针完全重合，那么到下午1点时，两针重合多少次？ 析：秒针与分针重合，秒针走比分针快，重合后再追上，只可能秒针追赶了60格，则秒针追分针一次耗时，60格/ 59/60格/秒= 3600/59秒。而到1点时，总共有时间3600秒，则能追赶，3600秒 / 3600/59秒/次=59次。第59次时，共追赶了，59次*3600/59秒/次=3600秒，分针走了60格，即经过1小时后，两针又重合在12点。则重合了59次。 3.时针与秒针 时针每秒走一格，时针3600秒走5格，则时针每秒走1/720格，每秒钟秒针比时针多走719/720格。
例：中午12点，秒针与时针完全重合，那么到下次12点时，时针与秒针重合了多少次?
析：重合后再追上，只可能是秒针追赶了时针60格，每秒钟追719/720格，则要一次要追60 / 719/720= 秒。而12个小时有12*3600秒时间，则可以追12*/719＝710次。此时重合在12点位置上，即重合了719次。 4.成角度问题 例：在时钟盘面上，1点45分时的时针与分针之间的夹角是多少？
析：一点时，时针分针差5格，到45分时，分针比时针多走了11/12*45＝41.25格，则分针此时在时针的右边36.25格，一格是360/60＝6度，则成夹角是,36.25*6=217.5度。
5.相遇问题
例：3点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边？
析：作图，此题转化为时针以每分1/12速度的速度，分针以每分1格的速度相向而行，当时针和分针离3距离相等，两针相遇，行程15格，则耗时15 / （1+ 1/12 ）=180/13分。
例：小明做作业的时间不足1时，他发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。小明做作业用了多少时间？
只可能是这个图形的情形，则分针走了大弧B-A，时针走了小弧A-B，即这段时间时针和分针共走了60格，而时针每分钟1/12格，分针1格，则总共走了60/ (1/12+1)=720/13分钟，即花了720/13分钟。
五．方阵问题 1、方阵外一层总人数比内一层的总人数多8 2、每边人数与该层人数关系是：最外层总人数＝（边人数－1）×4
3、方阵总人数＝最外层每边人数的平方 4、空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4 5、去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数*2-1 例：某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，问这个学校共有学生？ 析：最外层每边的人数是96/4+1＝25，刚共有学生25*25=625 例：五年级学生分成两队参加学校广播操比赛，他们排成甲乙两个方阵，其中甲方阵每边的人数等于8，如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人，甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心。五年级参加广播操比赛的一共有多少人? 析：设乙最外边每人数为Y，则丙为Y+4. 8*8+Y*Y+8*8=(Y+4)(Y+4) 求出Y=14,则共有人数：14*14+8*8＝260 例：明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子？摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子? 析：最外层有(15-1)*4=56个。则里二层为56-8*2=40 应用公式，用棋子（15－3）*3*4＝144
第四部分、数学运算中 八．数、整除、余数与剩余定理 1.数的整除特性 被4整除：末两位是4的倍数，如16,216,936… 被8整除：末三位是8的倍数，如144， 被9整除：每位数字相加是9的倍数，如，81，936，549 被1
1整除：奇数位置上的数字和与偶数位置上的数字和之间的差是11的倍数。
如，121，231，9295 如果数A被C整除，数B被C整除，则，A+B 能被C整除 ; A*B也能被C整除
如果A能被C整除，A能被B整除，BC互质，则A能被B*C整除。
例：有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，这四个自然数的和是：
析：A除以B商是5余5，B的5倍是5的倍数，5是5的倍数，则A是5的倍数，同理A是6的倍数，A是7的倍数，则A为最小公倍数，210，此题得解。
2.剩余定理 原理用个例子解释，一个数除以3余2，那么，这个数加3再除以3，余数还是2.
一个数除以5余3，除以4余3，那么这个数加上5和4的公倍数 所得到的数，除3还是能得到这个结论。
例：一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有（）
析：7是最小的满足条件的数。9，5，4的最小公倍数为180，则187是第二个这样的数，367，547，727，907共5个三位数。
例：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人？
析：题目转化为，一个数除以9余5,除以7余1，除以5除2。第一步，从最大的数开刀，先找出除以9余5的最小数，14。
第二步，找出满足每9人一排多5人，每7人一排多1人的最小的数。14除以7不余1；再试14+9这个数，23除以7照样不余1；数取14+9*4时，50除以7余1，即满足每9人一排多5人，每7人一排多1人的最小的数是，50；
第三步，找符合三个条件的。50除以5不余2，再来50+63（9，7的最小公倍数）＝123，除5仍不余2；再来，50+126，不余2；……当50+63*4时，余2，满足3个条件，即至少有302个人。
例：自然数P满足下列条件：P除以10的余数为9，P除以9的余数为8，P除以8的余数为7.如果100&P&1000，则这样的P有几个？
析：此题可用剩余定理。但有更简单的， P+1是10的倍数 P+1是9的倍数 P+1是8的倍数 1-1000内，10，9，8的公倍数为，360,720，则P为359,719。 3.84*86＝？ 出现如AB*AC=?，其中B+C=10，计算结果为：百位数为A(A+1)，十位/个位数为：B*C。注：如果B*C小于10，用0补足。如：29*21,百位数为2*3=6，个倍数为1*9＝9，则结果为609. 4.根号3,3次根号下5，哪个小？ 这类题，关键是用一个大次的根号包住两个数。一个是2次根号，一个是3次根号，则应该用6次根号包住它们。根号3，可以化成6次根号下27；3次根号下5，可化为6次根号下25,则根号3大于3次根号下5. 九．等差数列
性质： （1）等差数列的平均值等于正中间的那个数（奇数个数或者正中间那两个数的平均值（偶数个数） （2）任意角标差值相等的两个数之差都相等，即 A(n+i)-An=A(m+i)-Am 例：｛an｝是一个等差数列，a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝4，则数列前13项之和是： A3-a10=A4-A11=-4 这道题应用这两个性质可以简单求解。 因此A7=8+4=12，而这13个数的平均值又恰好为正中间的数字a7，因此这13个数的和为
12×13=156十．抽屉问题 解这类题的关键是，找出所有的可能性，然后用最不利的情况分析。 例：一个布袋中由35个同样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色球各有10个，另外还有3个蓝色球、2个绿色球，试问一次至少取出多少个球,才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色的球？ 析：最不利的情况是，取出3个蓝色球，又取了2个绿色球，白、黄、红各取3个，这个时候再取一个就有4个是同一颜色的球了。即取：3+2+3*3+1＝15个球。 例：从1、2、3、4……、12这12个自然数中，至少任选几个，就可以保证其中一定包括两个数，他们的差是7？
析:考虑到这12个自然数中，满足差为7的组合有，(12，5)，（11，4），（10，3），（9，2），（8，1），共五种，还有6,7两个数没有出现过，则最不幸的情况就是，（12，5）等都取了一个，即五个抽屉取了五个，还有6,7各取一个，再取一个就有两个数差为7了，则取了5+2+1=8个。 例：学校开办了语文、数学、美术三个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）。问：至少有多少名学生，才能保证有不少于5名同学参加学习班的情况完全相同 析：不同的情况有，都不参加、参加语文、参加数学、参加美术、参加语文和数学、参加语文和美术、参加数学和美术，最不幸的情况是，4组人都参加了这7项，共28项，这样，再加入1人，即29人时，满足题意。
十一.函数问题 这种题型，土方法就是找一个简单的数代入。 X^3+Y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2) 1.
求值 例：已知f(x)=x^2+ax+3,若f(2+x)=f(2-x)，则f(2)是多少？ 析：既然f(2+x)=f(2-x)，当x=2时，方程成立，即f(4)=f(0)，求得a=-4，得解。 例：f（x*y）=f(x)*f(y)；f(1)=0,求f(2008)=? 析：f(2008*1)=f(2008)*f(1)=0 例：f(x+1)= -1/f(x),f(2)=2007.f(2007)=? 析：f(3)=-1/f(2)=1/2007，f(4)=-1/-1/，f(5)=-1/2007，则f(2007)=-1/2007 例：f(2x-1)=4*X^2-2x,求f(x) 析：设2x-1=u，则x=u+1 / 2，则f(u)=4* ((u+1)/2)^2-2*(u+1)/2 =u^2+u 所以f(x)=x^2+x 2.求极值 例：某企业的净利润y(单位：10万元）与产量x(单位：100万件)之间的关系为y=-x^2+4*x+1，问该企业的净利润的最大值是多少万元？（ ） A． 10 B．20 C．30 D．50 析：y=-(x-2)^2+5，则y最大值为5。净利润为50万元。可以配方的。 例：某企业的净利润y(单位：10万元）与产量x(单位：100万件)之间的关系为y=-1/3x^3+x^2+11/3，问该企业的净利润的最大值是多少万元？（
B 50 C 60 D70 析：这道题要求导，公式忘光了， y=-1/3*3*x^2+2*x+0=0，解得x=2，则代入y得5。求导公式好像是-1/3x^3=3*(-1/3)*x^2，常数为0。不能配方的，极值试求导，不会做只能放弃。 十二、比赛问题 1. 100名男女运动员参加乒乓球单打淘汰赛，要产生男女冠军各一名，则要安排单打赛多少场？( ) 【解析】在此完全不必考虑男女运动员各自的人数，只需考虑把除男女冠军以外的人淘汰掉就可以了，因此比赛场次是100-2＝98(场)。 2. 某机关打算在系统内举办篮球比赛，采用单循环赛制，根据时间安排，只能进行21场比赛，请问最多能有几个代表队参赛？( ) 【解析】根据公式，采用单循环赛的比赛场次＝参赛选手数×（参赛选手数-1)/2，因此在21场比赛的限制下，参赛代表队最多只能是7队。 3. 某次比赛共有32名选手参加，先被平均分成8组，以单循环的方式进行小组赛；每组前2名队员再进行淘汰赛，直到决出冠军。请问，共需安排几场比赛？( ) 【解析】 根据公式，第一阶段中，32人被平均分成8组，每组4个人，则每组单循环赛产生前2名需要进行的比赛场次是：4×（4-1)÷2＝6(场)，8组共48场；第二阶段中，有2×8＝16人进行淘汰赛，决出冠军，则需要比赛的场次就是：参赛选手的人数-1，即15场。最后，总的比赛场次是48＋15＝63(场)。 4. 某学校承办系统篮球比赛，有12个队报名参加，比赛采用混合制，即第一阶段采用分2组进行单循环比赛，每组前3名进入第二阶段；第二阶段采用淘汰赛，决出前三名。如果一天只能进行2场比赛，每6场需要休息一天，请问全部比赛共需几天才能完成？( ) 【解析】 根据公式，第一阶段12个队分成2组，每组6个人，则每组单循环赛产生前2名需要进行的比赛场次是：6×（6-1)÷2＝15(场)，2组共30场；第二阶段中，有2×3＝6人进行淘汰赛，决出前三名，则需要比赛的场次就是：参赛选手的人数，即6场，最后，总的比赛场次是30＋6＝36(场)。 又，“一天只能进行2场比赛”，则36场需要18天；“每6场需要休息一天”，则36场需要休息36÷6-1＝5(天)，所以全部比赛完成共需18＋5＝23(天)。 比赛赛制 在正规的大型赛事中，我们经常听到淘汰赛或者循环赛的提法，实际上这是两种不同的赛制，选手们需要根据事前确定的赛制规则进行比赛。我们先谈谈两者的概念和区别。 1. 循环赛：就是参加比赛的各队之间，轮流进行比赛，做到队队见面相遇，根据各队胜负的场次积分多少决定名次。 循环赛包括单循环和双循环。 单循环是所有参加比赛的队均能相遇一次，最后按各队在全部比赛中的积分、得失分率排列名次。如果参赛选手数目不多，而且时间和场地都有保证，通常都采用这种竞赛方法。 单循环比赛场次计算的公式为： 由于单循环赛是任意两个队之间的一场比赛，实际上是一个组合题目，就是C(参赛选手数，2)，即：单循环赛比赛场次数＝参赛选手数×（参赛选手数-1 )/2
双循环是所有参加比赛的队均能相遇两次，最后按各队在两个循环的全部比赛中的积分、得失分率排列名次。如果参赛选手数目少，或者打算创造更多的比赛机会，通常采用双循环的比赛方法。 双循环比赛场次计算的公式为：由于双循环赛是任意两队之间比赛两次，因此比赛总场数是单循环赛的2倍，即：双循环赛比赛场次数＝参赛选手数×（参赛选手数-1 ) 2. 淘汰赛：就是所有参加比赛的队按照预先编排的比赛次序、号码位置，每两队之间进行一次第一轮比赛，胜队再进入下一轮比赛，负队便被淘汰，失去继续参加比赛的资格，能够参加到最后一场比赛的队，胜队为冠军，负队为亚军。
淘汰赛常需要求决出冠(亚)军的场次，以及前三(四)名的场次。 决出冠(亚)军的比赛场次计算的公式为：由于最后一场比赛是决出冠(亚)军，若是n个人参赛，只要淘汰掉n-1个人，就可以了，所以比赛场次是n-1场，即：淘汰出冠(亚)军的比赛场次＝参赛选手数-1； 决出前三(四)名的比赛场次计算的公式为：决出冠亚军之后，还要在前四名剩余的两人中进行季军争夺赛，也就是需要比只决出冠(亚)军再多进行一场比赛，所以比赛场次是n场，即：淘汰出前三(四)名的比赛场次＝参赛选手数。 第六部分、数字运算下 十三．其它问题 1.工程问题中的木桶原理 例：一项工作，甲单独做需要14天，乙单独做需要18天，丙丁合做需要8天。则4人合作需要（ ）天？ A、4
D、7 析：丙丁合做需要8天，则丙丁平均效率16天，这里最差的18天，则四人做最差也只要4.5天，则选4。 例：一项工作由编号为1～6的工作组来单独完成，各自完成所需的时间是：5天，7天，8天，9天，10.5天，18天。现在将这项工作平均分配给这些工作组来共同完成。则需要（ ）天？ A、2.5
D、6 析：平均分配给这些人做，则每人做1/6，需要的天数由最差效率的人决定。则需1/6 / 1/18 =3 2.年龄问题多用代入法 母亲现在的年龄个位数跟十位数对调就是女儿的年龄。再过13年 母亲的年龄就是女儿年龄的2倍。则母亲年龄是（ ） A、52
D、44 析：此题不用列方程，直接代入即可。另一种方法是，母亲现在的年龄加上13是偶数，则现在年龄是奇数。 3.3000页码里含有多少个2? 析：1－99里有20个2，100－199有20个2。0－999中，除了200-299有100+20个2以外，每100都有20个2，则0－999共有2：120+9*20＝300 同理：也有300个2 考虑，因为0-999含有300个2，这1000个数里，每个数其实都多加了一个2，则应该含有。 则共有2:。 一般地： 001－099有20个N（N表示1－9的任何数） 100－199有20个N（N不能等于1) 200－299有20个N（N不能等于2） …… 有300个N， 有300个N（N不能等于1） 有300个N（N不能等于2） …… 0有4000个N 1有4000个N（N不能等于1） 个N（N不能等于1） 个N（N不能等于9）
100-199有120个1
1有14000个1 个1。 则此题中： 思路1：0－999含2为300个，含2为300个；含2为1300个。则共有1900个2。 思路2：0－3000中，百位以下（含百位）含2为，3*300＝900，千位含2为1000个。则共有1900个2。 例：一本1000页的书有多少个1？ 析：1000页书中，0－999页有300个1，1000又有1个1，则共有301个1。 例：一本10000页的书有多少个1？ 析：0－个1,加上10000的一个1，则为4001个1。 例：3000页的书有多少个3? 析：0－999有300个3，有300个3，有300个3,,则3*300+1＝901页 4.1000页码里有多少页含1? 析：此题与上题不同，问的是页数。则因为总共有301个1，其中重复计算的111中的2个1，9个1X1，11X中9个1，X11有9个1，共有29个1，则有272个含1的。 思路2：00－99中，含1的页码有10+9。则200－299，300－399……900－999，共有1的页码是：19*8。在100-199中，含1页码为100，加上第1000页，共有页码：19+19*8+100+1＝272页。5.三人隔不同时间的相遇 例：甲、乙、丙、丁四个人去图书馆借书，甲每隔5天去一次，乙每隔11天去一次，丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次。如果5月18日他们四个人在图书馆相遇，问下一次四个人在图书馆相遇是几月几号？ A.10月18日
B.10月14日
C.11月18日
D.11月14日 析：0 0 0 0 0 0 0，这是隔5天，实际上第一次（5月18日）相遇那天，过了6天，甲又去借书，再过6天又去借书，也就是过6的倍数天去借书。同理，乙是12倍数，丙是18倍数，丁是30倍数，最小公倍数是180，即过了180天，因为有小于31的，一定选D. 注：数学运算题型众多，本文并未全部涉及。欲继续加强这部分的朋友，可以通过历年真题+小学奥数题本学习。
留学精英在国内形成的权威主义人格，在他们浸润于西方文化环境之后会有所改变，但他们作为成年人，其人格特征的改变是很难的。从权威主义人格到最终形成现代的民主人格，是一个漫长的过程，从中国人的整体上来看，需要几代人的进化。具体到一个留学精英，我们需要确认，他是处在怎样一个年代政治人格的形成阶段，他身上有多少权威主义人格特征，多少现代民主政治人格的因素。一个形成民主政治人格的人，无疑会认同和选择民主宪政的建国方案，即使他偶尔接受权威政治，也是不得已的权宜之计，但基本上属于权威主义人格的人，则会有两种情景：有的会选择民主政治，但不会很彻底，容易动摇；大多数会选择各种权威政治方案。 以下各项中，与以上文字说法相符的是（
留学精英在西方文化影响下会迅速转化成民主政治人格
民主主义人格的人绝不会接受权威政治方案 C.
留学精英多属于权威主义人格
权威主义人格的人只会选择各种权威政治方案
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