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初等数论习题
初等数论习题《初等数论》习题Gonao第一章第一节整除理论数的整除性例 1 设 r 是正奇数，证明：对任意的正整数 n，有 n + 2 / | 1r + 2 r + & + n r 。 例 2 设 A = { d1, d2, &, dk }是 n 的所有约数的集合，则 B = { n n n , , & , } 也是 n 的所有约数的集合。 d1 d 2 dk例 3 以 d(n)表示 n 的正约数的个数，例如：d(1) = 1，d(2) = 2，d(3) = 2，d(4) = 3，& 。问：d(1) + d(2) + & + d(1997)是否为偶数？ 例 4 设凸 2n 边形 M 的顶点是 A1, A2, &, A2n， 点 O 在 M 的内部， 用 1, 2, &, 2n 将 M 的 2n 条边分别编号， 又将 OA1, OA2, &, OA2n 也同样进行编号，若把这些编号作为相应的线段的长度，证明：无论怎么编号，都不能 使得三角形 OA1A2, OA2A3, &, OA2nA1 的周长都相等。 例 5 设整数 k ≥ 1，证明：| a； () 若 2k ≤ n & 2k + 1，1 ≤ a ≤ n，a ≠ 2k，则 2k /| 2b ? 1。 () 若 3k ≤ 2n ? 1 & 3k + 1，1 ≤ b ≤ n，2b ? 1 ≠ 3k，则 3k /例 6 证明：存在无穷多个正整数 a，使得 n4 + a（n = 1, 2, 3, &）都是合数。 例 7 设 a1, a2, &, an 是整数，且 a1 + a2 + & + an = 0，a1a2&an = n，则 4?n。 例 8 若 n 是奇数，则 8?n2 ? 1。 例 9 d(1)2 + d(2)2 + & + d(1997)2 被 4 除的余数是多少？ 例 10 证明：方程 a12 + a22 + a32 = 1999 无整数解。习 题 一1. 证明：若 m ? p?mn + pq，则 m ? p?mq + np。 2. 证明：任意给定的连续 39 个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被 11 整除。 3. 设 p 是 n 的最小素约数，n = pn1，n1 & 1，证明：若 p & 3 n ，则 n1 是素数。 4. 证明：存在无穷多个自然数 n，使得 n 不能表示为 a2 + p（a & 0 是整数，p 为素数）的形式。第二节带余数除法例 1 设 a，b，x，y 是整数，k 和 m 是正整数，并且 a = a1m + r1，0 ≤ r1 & m， b = b1m + r2，0 ≤ r2 & m， 则 ax + by 和 ab 被 m 除的余数分别与 r1x + r2y 和 r1r2 被 m 除的余数相同。特别地，ak 与 r1k 被 m 除的余数相同。 例 2 设 a1, a2, &, an 为不全为零的整数，以 y0 表示集合 A = { y；y = a1x1 + & + anxn，xi∈Z，1 ≤ i ≤ n } 中的最小正数，则对于任何 y∈A，y0?y；特别地，y0?ai，1 ≤ i ≤ n。 例 3 任意给出的五个整数中，必有三个数之和被 3 整除。第 1 页 共 14 页1初等数论习题 例 4 设 a0, a1, &, an∈Z， f(x) = anxn + & + a1x + a0 ， 已知 f(0)与 f(1)都不是 3 的倍数， 证明： 若方程 f(x) = 0 有整数解，则 3?f(?1) = a0 ? a1 + a2 ? & + (?1)nan 。 例 5 证明：对于任意的整数 n，f(n) = 3n5 + 5n3 + 7n 被 15 整除。 例 6 设 n 是奇数，则 16?n4 + 4n2 + 11。 例 7 证明：若 a 被 9 除的余数是 3，4，5 或 6，则方程 x3 + y3 = a 没有整数解。习 题 二1. 证明：12?n4 + 2n3 + 11n2 + 10n，n∈Z。 2. 设 3?a2 + b2，证明：3?a 且 3?b。 3. 设 n，k 是正整数，证明：nk 与 nk + 4 的个位数字相同。 4. 证明：对于任何整数 n，m，等式 n2 + (n + 1)2 = m2 + 2 不可能成立。 5. 设 a 是自然数，问 a4 ? 3a2 + 9 是素数还是合数？ 6. 证明：对于任意给定的 n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被 n 整除。第三节例 1 证明：若 n 是正整数，则最大公约数21n + 4 是既约分数。 14n + 3 例 2 证明：121 / | n2 + 2n + 12，n∈Z。例 3 设 a，b 是整数，且 9?a2 + ab + b2，则 3?(a, b)。 例 4 设 a 和 b 是正整数，b & 2，则 2b ? 1 / | 2a + 1。习 题 三1. 设 x，y∈Z，17?2x + 3y，证明：17?9x + 5y。 2. 设 a，b，c∈N，c 无平方因子，a2?b2c，证明：a?b。 3. 设 n 是正整数，求C 2n ,C 2n , &,C 2n1 3 2n ?1的最大公约数。第四节最小公倍数例 1 设 a，b，c 是正整数，证明：[a, b, c](ab, bc, ca) = abc 。 例 2 对于任意的整数 a1, a2, &, an 及整数 k，1 ≤ k ≤ n，证明：[a1, a2, &, an] = [[a1, &, ak],[ak + 1, &, an]]， 例 3 设 a，b，c 是正整数，证明：[a, b, c][ab, bc, ca] = [a, b][b, c][c, a]。习 题 四1. 设 a，b 是正整数，证明：(a + b)[a, b] = a[b, a + b]。 2. 求正整数 a，b，使得 a + b = 120，(a, b) = 24，[a, b] = 144。2第 2 页 共 14 页初等数论习题 3. 设 a，b，c 是正整数，证明：[a, b, c ]2 [a, b ][b, c ][c, a ]=(a, b, c)2 (a, b)(b, c)(c, a )。4. 设 k 是正奇数，证明：1 + 2 + & + 9?1k + 2k + & + 9k。第五节辗转相除法习 题 五1. 记 Mn = 2n ? 1，证明：对于正整数 a，b，有(Ma, Mb) = M(a, b)。第六节例 1 设 a，b，c 是整数，证明： () (a, b)[a, b] = ab； () (a, [b, c]) = [(a, b), (a, c)]。 例 2 证明： N = 1 +算术基本定理1 1 1 （n ≥ 2）不是整数。 + +&+ 3 5 2n ? 1 习 题 六1. 证明：在 1, 2, &, 2n 中任取 n + 1 数，其中至少有一个能被另一个整除。 2. 证明： 1 +1 1 + & + （n ≥ 2）不是整数。 2 n 3. 设 a，b 是正整数，证明：存在 a1，a2，b1，b2，使得 a = a1a2，b = b1b2，(a2, b2) = 1，并且[a, b] = a2b2。第七节例 1 求最大的正整数 k，使得 10k?199!。函数[x]与{x}例 2 设 x 与 y 是实数，则[2x] + [2y] ≥ [x] + [x + y] + [y]。 例 3 设 n 是正整数，则 [ n + n + 1] = [ 4n + 2 ] 。 例 4 设 x 是正数，n 是正整数，则 [x ] + x + 例 5 求[ ( 3 + 2 )1992 ]的个位数。[1 ] + [x + 2 ] + & + [x + n ? 1]= [nx]。 n n n1 1 + = 1 ，证明：数列[x], [2x], &, [kx], & 与 [y], [2y], &, [my], &联合构成了 x y 整个正整数集合，而且，两个数列中的数互不相同。例 6 设 x 和 y 是正无理数，习 题 七1. 求使 12347!被 35k 整除的最大的 k 值。第 3 页 共 14 页3初等数论习题n + 2r ?1 2．设 n 是正整数，x 是实数，证明： ∑[ ] = n。 2r r =1∞3. 设 n 是正整数，求方程 x2 ? [x2] = (x ? [x])2 在[1, n]中的解的个数。 4. 证明：方程 f(x) = [x] + [2x] + [22x] + [23x] + [24x] + [25x] = 12345 没有实数解。 5. 证明：在 n!的标准分解式中，2 的指数 h = n ? k，其中 k 是 n 的二进制表示的位数码之和。第八节素数例 1 若 a & 1，a n ? 1 是素数，则 a = 2，并且 n 是素数。 例 2 形如 4n + 3 的素数有无限多个。 例 3 设 f(x) = akxk + ak ? 1xk ? 1 + & + a0 是整系数多项式，那么，存在无穷多个正整数 n，使得 f(n)是合数。习 题 八1. 证明：若 2n + 1 是素数，则 n 是 2 的乘幂。 2. 证明：若 2n ? 1 是素数，则 n 是素数。 3. 证明：形如 6n + 5 的素数有无限多个。 4. 设 d 是正整数，6 / | d，证明：在以 d 为公差的等差数列中，连续三项都是素数的情况最多发生一次。 5. 证明：对于任意给定的正整数 n，必存在连续的 n 个自然数，使得它们都是合数。 6. 证明：级数∑pn =1∞1n发散，此处使用了定理 1 注 2 中的记号。第二章同 余第一节 同余的基本性质例 1 设 N = a n a n ?1 & a 0 是整数 N 的十进制表示，即 N = an10n + an ? 110n ? 1 + & + a110 + a0 ， 则 () 3│N ? 3 | ∑ a i ；i =0 n n() 9│N ? 9 | ∑ a i ；i =0() 11│N ? 11 | ∑ (?1) i a i ；i =0n() 13│N ? 13│ a 2 a1 a 0 ? a 5 a 4 a 3 + & 。 例 2 求 N = a n ?1 a n ? 2 & a1 a 0 被 7 整除的条件，并说明
能否被 7 整除。 例 3 说明 2 2 + 1 是否被 641 整除。 例 4 求(25733 + 46)26 被 50 除的余数。54第 4 页 共 14 页初等数论习题 例 5 求 n = 7 7 的个位数。 例 6 证明：若 n 是正整数，则 13?42n + 1 + 3 n + 2 。 例 7 证明：若 2 / | a，n 是正整数，则 a 2 ≡ 1 (mod 2n + 2)。 例 8 设 p 是素数，a 是整数，则由 a2 ≡ 1(mod p)可以推出 a ≡ 1 或 a ≡ ?1 (mod p)。 例 9 设 n 的十进制表示是 13xy 45 z ，若 792?n，求 x，y，z。n 7习 题 一1. 设 f(x)是整系数多项式，并且 f(1), f(2), &, f(m)都不能被 m 整除，则 f(x) = 0 没有整数解。 2. 已知 99? 62αβ 427 ，求α与β。第二节完全剩余系例 1 设 A = {x1, x2, &, xm}是模 m 的一个完全剩余系，以{x}表示 x 的小数部分，证明：若(a, m) = 1，则∑{i =1max i + b } = 1 (m ? 1) 。 m 2例 2 设 p ≥ 5 是素数，a∈{ 2, 3, &, p ? 2 }，则在数列 a，2a，3a，&，(p ? 1)a，pa 中有且仅有一个数 b，满足 b ≡ 1 (mod p)。此外，若 b = ka，则 k ≠ a，k∈{2, 3, &, p ? 2}。 例 3(Wilson 定理) 设 p 是素数，则(p ? 1)! ≡ ?1 (mod p)。 例 4 设 m & 0 是偶数， {a1, a2, &, am}与{b1, b2, &, bm}都是模 m 的完全剩余系， 证明： {a1 + b1, a2 + b2, &, am + bm}不是模 m 的完全剩余系。习 题 二1. 证明：若 2p + 1 是奇素数，则(p!)2 + (?1)p ≡ 0 (mod 2p + 1)。 2. 证明：若 p 是奇素数，N = 1 + 2 + & + ( p ? 1)，则(p ? 1)! ≡ p ? 1 (mod N)。 3. 证明 Wilson 定理的逆定理：若 n & 1，并且(n ? 1)! ≡ ?1 (mod n)，则 n 是素数。 4. 设 m 是整数， 4?m， {a1, a2, &, am}与{b1, b2, &, bm}是模 m 的两个完全剩余系， 证明： {a1b1, a2b2, &, ambm} 不是模 m 的完全剩余系。 5. 设 m1, m2, &,mn 是两两互素的正整数，δi（1 ≤ i ≤ n）是整数，并且δi ≡ 1 (mod mi)，1 ≤ i ≤ n，δi ≡ 0 (mod mj)，i ≠ j，1 ≤ i, j ≤ n。证明：当 bi 通过模 mi（1 ≤ i ≤ n）的完全剩余系时，b1δ1 + b2δ2 + & + bnδn 通过模 m = m1m2&mn 的完全剩余系。第三节例 1 设整数 n ≥ 2，证明：简化剩余系1≤ i ≤ n (i , n ) =1∑i=1 1 n?(n)，即在数列 1, 2, &, n 中，与 n 互素的整数之和是 n?(n)。 2 2例 2 设 n 是正整数，则 ∑ ? (d ) = n，此处 ∑ 是对 n 的所有正约数求和。d |n d |n第 5 页 共 14 页5初等数论习题 例 3 设 n∈N，证明： () 若 n 是奇数，则?(4n) = 2?(n)； 1 () ?(n) = n 的充要条件是 n = 2k，k∈N； 2 1 () ?(n) = n 的充要条件是 n = 2k3l，k, l∈N； 3 1 () 若 6?n，则?(n) ≤ n ； 31 () 若 n ? 1 与 n + 1 都是素数，n & 4，则?(n) ≤ n 。 3 例 4 证明：若 m, n∈N，则?(mn) = (m, n)?([m, n])；习 题 三1. 设 m1, m2, &, mn 是两两互素的正整数，xi 分别通过模 mi 的简化剩余系（1 ≤ i ≤ n） ，m = m1m2&mn， Mi =m ，则 M1x1 + M2x2 + & + Mnxn 通过模 m 的简化剩余系。 mi? (m)i =12. 设 m & 1，(a, m) = 1，x1, x2, …, x?(m)是模 m 的简化剩余系，证明： 的小数部分。 3. 设 m 与 n 是正整数，证明：?(mn)?((m, n)) = (m, n)?(m)?(n)。∑ { mi } = 2 ? (m) 。其中{x}表示 xax14. 设 a，b 是任意给定的正整数，证明：存在无穷多对正整数 m 与 n，使得 a?(m) = b?(n)。 5. 设 n 是正整数，证明：1 n； 2 () 若 n 是合数，则?(n) ≤ n ? n 。() ?(n) &第四节Euler 定理例 1 设 n 是正整数，则 5 / | 1n + 2n + 3n + 4n 的充要条件是 4?n。 例 2 设{x1, x2, &, x?(m)}是模 m 的简化剩余系，则(x1x2&x?(m))2 ≡ 1 (mod m)。 例 3 设(a, m) = 1，d0 是使 a d ≡ 1 (mod m)成立的最小正整数，则 () d0??(m)； () 对于任意的 i，j，0 ≤ i, j ≤ d0 ? 1，i ≠ j，有 a i ≡ / a j (mod m)。 例 4 设 a，b，c，m 是正整数，m & 1，(b, m) = 1，并且 b a ≡ 1 (mod m)，b c ≡ 1 (mod m)，记 d = (a, c)， 则 bd ≡ 1 (mod m)。 例 5 设 p 是素数，p?bn ? 1，n∈N，则下面的两个结论中至少有一个成立： () p?bd ? 1 对于 n 的某个因数 d & n 成立； () p ≡ 1 ( mod n )。| n，p & 2，则()中的 mod n 可以改为 mod 2n。 若 2/例 6 将 211 ? 1 = 2047 分解因数。 例 7 将 235 ? 1 =
分解因数。6第 6 页 共 14 页初等数论习题 例 8 设 n 是正整数，记 Fn = 2 2 + 1 ，则 2 Fn ≡ 2 (mod Fn)。 例 9 对于任意的正整数 a ≥ 3，存在无穷多个关于基数 a 的伪素数。n习 题 四1. 证明：1978103 ? 19783 能被 103 整除。 2. 求 313159 被 7 除的余数。 3. 证明：对于任意的整数 a，(a, 561) = 1，都有 a560 ≡ 1 (mod 561)，但 561 是合数。 4. 设 p，q 是两个不同的素数，证明：pq ? 1 + qp ? 1 ≡ 1 (mod pq)。 5. 将 612 ? 1 分解成素因数之积。 6. 设 n∈N，b∈N，对于 bn + 1 的素因数，你有甚麽与例 6 相似的结论？第五节数论函数α1 α 2 k 例 1 对于正整数 n，若它的标准分解式是 n = p1 p2 & pα k ，定义ω ( n) = ?与?k ?0当n & 1 当n = 1；?α + & + α k ?(n) = ? 1 ?0则ω(n)与Ω(n)满足下面的等式：当 n &1 当 n =1。ω(mn) = ω(m) +ω(n)，(m, n) = 1，m, n∈N， Ω(mn) = Ω(m) +Ω(n)，例 2 数论函数ν(n) = (?1)ω(n)m, n∈N。是积性函数，数论函数λ(n) = (?1)Ω(n)是完全积性函数。d |nα1 α 2 k 例 3 对于正整数 n。 以σ(n)表示 n 的所有正约数之和， 即σ(n) = ∑ d 。 若 n 的标准分解式是 n = p1 p2 & pα k ，则σ(n) = ∏i =1kpi ?1 。 pi ? 12 μ（ n） 的 Mobius 变换。 ? (n)α i +1例4 求习 题 五1. 求 ∑1 。 d |n df ( p ))2. 设 f(n)是积性函数，证明： () ()∑ μ (d ) f (d ) = ∏ (1 ?d |n p|n d |n p|n∑ μ 2 (d ) f (d ) = ∏ (1 +f ( p )) 。3. 求?(n)的 Mobius 变换。第 7 页 共 14 页7初等数论习题第四章第一节例 1 求不定方程 3x + 6y = 15 的解。 例 2 求不定方程 3x + 6y + 12z = 15 的解。不定方程一次不定方程例 3 设 a 与 b 是正整数，(a, b) = 1，则任何大于 ab ? a ? b 的整数 n 都可以表示成 n = ax + by 的形式， 其中 x 与 y 是非负整数，但是 n = ab ? a ? b 不能表示成这种形式。 例 4 设 a，b，c 是整数，(a, b) = 1，则在直线 ax + by = c 上，任何一个长度大于 a 2 + b 2 的线段上至少 有一个点的坐标都是整数。 19 例5 将 写成三个分数之和，它们的分母分别是 2，3 和 5。 30 例 6 甲物每斤 5 元，乙物每斤 3 元，丙物每三斤 1 元，现在用 100 元买这三样东西共 100 斤，问各买几斤? 例 7 求不定方程 x + 2y + 3z = 7 的所有正整数解。习 题 一17 写成三个既约分数之和，它们的分母分别是 3，5 和 7。 105 2. 求方程 x1 + 2x2 + 3x3 = 41 的所有正整数解。1. 将? x1 + 2 x 2 + 3x 3 = 7 。 3. 求解不定方程组： ? ?2 x1 ? 5 x 2 + 20 x 3 = 11 4. 甲班有学生 7 人，乙班有学生 11 人，现有 100 支铅笔分给这两个班，要使甲班的学生分到相同数量的铅笔，乙班学生也分到相同数量的铅笔，问应怎样分法？ 5. 证明： 二元一次不定方程 ax + by = n， a & 0， b & 0， (a, b) = 1 的非负整数解的个数为 [ 6. 设 a 与 b 是正整数，(a, b) = 1，证明：1, 2, &, ab ? a ? b 中恰有n ] 或 [ n ] + 1。 ab ab(a ? 1)(b ? 1) 个整数可以表示成 ax + by 2（x ≥ 0，y ≥ 0）的形式。第二节方程 x2 + y2 = z2习 题 二1. 设 x，y，z 是勾股数，x 是素数，证明：2z ? 1，2(x + y + 1)都是平方数。 2. 求整数 x，y，z，x & y & z，使 x ? y，x ? z，y ? z 都是平方数。 3. 解不定方程：x2 + 3y2 = z2，x & 0，y & 0，z & 0，(x, y ) = 1。 4. 证明下面的不定方程没有满足 xyz ≠ 0 的整数解。 () x2 + y2 + z2 = x2y2；8第 8 页 共 14 页初等数论习题 () x2 + y2 + z2 = 2xyz。 5. 求方程 x2 + y2 = z4 的满足(x, y ) = 1，2?x 的正整数解。第三节 几类特殊的不定方程例 1 证明：若 n = 9k + t，t = 3，4，5 或 6，k∈Z，则方程 x 3 + y 3 = n 没有整数解。 例 2 证明方程 3x + 1 = 5y + 7z 除 x = y = z = 0 外没有其他整数解。 例 3 证明：若实数 x 与 y 满足方程 x2 ? 3y2 = 2，则 x 与 y 不能都是有理数。3 3 3 ? ?x + y + z = 3 例 4 求不定方程组 ? 的所有整数解。 + + = x y z 3 ? ?例 5 求方程(x ? 1)! = xy ? 1 的满足 x & 1 的正整数解。 例 6 求方程 x2y + 2x2 ? 3y ? 7 = 0 的整数解。 例 7 求方程 x3 + y3 = 1072 的正整数解。 例 8 求方程 3x2 + 7xy ? 2x ? 5y ? 35 = 0 的正整数解。 例 9 求方程 5(xy + yz + zx) = 4xyz 的正整数解。习 题 三1. 求方程 x2 + xy ? 6 = 0 的整数解。?x + y + z = 0 的整数解。 2. 求方程组 ? 3 3 3 ? x + y + z = ?18 3. 求方程 2x ? 3y = 1 的正整数解。4. 求方程1 1 1 + = 的正整数解。 x y z 2 1 1 5. 设 p 是素数，求方程 = + 的整数解。 p x y6. 设 2n + 1 个有理数 a1, a2, &, a2n + 1 满足条件 P：其中任意 2n 个数可以分成两组，每组 n 个数，两组数的和相等，证明：a1 = a1 = & = a2n + 1。第五章同余方程第一节 同余方程的基本概念例 1 设(a, m) = 1，又设存在整数 y，使得 a?b + ym，则 x ≡ 例 2 解同余方程 325x ≡ 20 (mod 161)b + ym (mod m)是方程 ax ≡ b (mod m)的解。 a第 9 页 共 14 页9初等数论习题例 3 设 a & 0，且(a, m) = 1，a1 是 m 对模 a 的最小非负剩余，则同余方程 a1x ≡ ?b [ 余方程 ax ≡ b (mod m)。 例 4 解同余方程 6x ≡ 7 (mod 23)。m ] (mod m)等价于同 a例 5 设(a, m) = 1，并且有整数δ & 0 使得 a δ ≡ 1 (mod m)，则同余方程 ax ≡ b (mod m)的解是 x ≡ ba δ ? 1(mod m)。例 6 解同余方程 81x3 + 24x2 + 5x + 23 ≡ 0 (mod 7)。 ?3x + 5 y ≡ 1(mod 7) 例 7 解同余方程组 ? 。 ?2 x ? 3 y ≡ 2(mod 7) ? x ≡ a1 (mod m1 ) 例 8 设 a1， a2 是整数， m1， m2 是正整数， 证明： 同余方程组 ? 有解的充要条件是 a1 ≡ a2 (mod ? x ≡ a 2 (mod m 2 ) (m1, m2))。若有解，则对模[m1, m2]是唯一的，即若 x1 与 x2 都是同余方程组的解，则 x1 ≡ x2 (mod [m1, m2])。习 题 一1. 解同余方程： () 31x ≡ 5 (mod 17)； () 3215x ≡ 160 (mod 235)。?3x + 5 y ≡ 38(mod 47) 2. 解同余方程组： ? 。 ? x ? y ≡ 10(mod 47)3. 设 p 是素数，0 & a & p，证明： x ≡ b(?1) a ?1 p)的解。 4. 证明：同余方程 a1x1 + a2x2 + & + anxn ≡ b (mod m)有解的充要条件是(a1, a2, &, an, m) = d?b。若有解，( p ? 1)( p ? 2) ? ? ? ( p ? a + 1) (mod p)。是同余方程 ax ≡ b (mod a!则恰有 d?mn ?1 个解，mod m。5. 解同余方程：2x + 7y ≡ 5 (mod 12)。第二节孙子定理例 1 求整数 n，它被 3，5，7 除的余数分别是 1，2，3。 例 2 解同余方程 5x2 + 6x + 49 ≡ 0 (mod 60)。习 题 二? x ≡ b1 (mod 5) ? x ≡ 8(mod15) ? ? ? x ≡ b2 (mod 6) 1. 解同余方程组：(i) ? ; (ii) ? x ≡ 5(mod 8) x b ≡ (mod 7 ) 3 ? ? x ≡ 13(mod 25) 。 ? ? x b ≡ (mod 11 ) 。 4 ? 2. 有一队士兵，若三人一组，则余 1 人；若五人一组，则缺 2 人；若十一人一组，则余 3 人。已知这队士兵不超过 170 人，问这队士兵有几人？ 1 1 1 是一个平方数，它的 是一个立方数，它的 是一个 5 次方数。 2 3 5 4. 证明：对于任意给定的 n 个不同的素数 p1, p2, …, pn，必存在连续 n 个整数，使得它们中的第 k 个数能被3. 求一个最小的自然数 n，使得它的10第 10 页 共 14 页初等数论习题 pk 整除。 5. 解同余方程：3x2 + 11x ? 20 ≡ 0 (mod 105)。第三节模 pα的同余方程例 1 解同余方程 x3 + 3x ? 14 ≡ 0 (mod 45)。 例 2 解同余方程 2x2 + 13x ? 34 ≡ 0 (mod 53)。 例 3 解同余方程 x2 ≡ 1 (mod 2k)，k∈N。 例 4 解同余方程 x2 ≡ 2 (mod 73)。习 题 三1. 解同余方程 x2 ≡ ?1 (mod 54)。 2. 解同余方程 f(x) = 3x2 + 4x ? 15 ≡ 0 (mod 75)。 3. 证明：对于任意给定的正整数 n，必存在 m，使得同余方程 x2 ≡ 1 (mod m)的解数 T & n。第四节素数模的同余方程例 1 判定同余方程 2x3 + 3x + 1 ≡ 0 (mod 7)是否有三个解。 例 2 解同余方程 3x14 + 4x10 + 6x ? 18 ≡ 0 (mod 5)。习 题 四1. 解同余方程： () 3x11 + 2x8 + 5x4 ? 1 ≡ 0 (mod 7)； 2. 判定 () 2x3 ? x2 + 3x ? 1 ≡ 0 (mod 5)是否有三个解； () x6 + 2x5 ? 4x2 + 3 ≡ 0 (mod 5)是否有六个解？ 3. 设(a, m) = 1，k 与 m 是正整数，又设 x0k ≡ a (mod m)，证明同余方程 xk ≡ a(mod m)的一切解 x 都可以 () 4x20 + 3x12 + 2x7 + 3x ? 2 ≡ 0 (mod 5)。表示成 x ≡ yx0 (mod m)，其中 y 满足同余方程 yk ≡ 1 (mod m)。4. 设 n 是正整数，p 是素数，(n, p ? 1) = k，证明同余方程 xn ≡ 1 (mod p)有 k 个解。 5. 设 p 是素数，证明： () 对于一切整数 x，xp ? 1 ? 1 ≡ (x ? 1) (x ? 2)&(x ? p + 1) (mod p)； () (p ? 1)! ≡ ? 1 (mod p)。 6. 设 p ≥ 3 是素数，证明：(x ? 1)(x ? 2)&(x ? p + 1)的展开式中除首项及常数项外，所有的系数都是 p 的倍数。第五节素数模的二次同余方程例 1 判断方程 x2 ≡ 5 (mod 11)有没有解。第 11 页 共 14 页11初等数论习题p ?1 2 )!) ≡ ?1 (mod p) 2 例 3 设 n 是整数，证明 n2 + 1 的任何奇因数都是 4m + 1（m∈Z）的形式。 例 2 设 p 是奇素数，p ≡ 1 (mod 4)，则 (±( 例 4 形如 4m + 1（k∈Z）的素数有无穷多个。 例 5 若 a ≡ 1 (mod 4)，2?b，并且 b 没有形如 4k + 3（k∈Z）的素因数，证明方程 y2 = x3 ? a3 ? b2 没有整 数解。 例 6 设 p 是素数，证明：数例 1, 2, &, p ? 1 中的模 p 的二次剩余之和是 S =p ( p ? 1) k2 ? p ∑[ ] 。 24 k =1 p2 p ?1 2例 7 设 p 是奇素数，证明：若同余方程 x4 + 1 ≡ 0 (mod p)有解，则 p ≡ 1 (mod 8)。习 题 五1. 同余方程 x2 ≡ 3 (mod 13)有多少个解？ 2. 求出模 23 的所有的二次剩余和二次非剩余。 3. 设 p 是奇素数，证明：模 p 的两个二次剩余的乘积是二次剩余；两个二次非剩余的乘积是二次剩余；一个二次剩余和一个二次非剩余的乘积是二次非剩余。4. 设素数 p ≡ 3 (mod 4)， (n ) = 1，证明 x ≡ ± n pp +1 4 (modp)是同余方程 x2 ≡ n (mod p)的解。5. 设 p 是奇素数，(n, p) = 1，α是正整数，证明同余方程 x2 ≡ n (mod pα)有解的充要条件是 ( 6. 设 p 是奇素数，证明：模 p 的所有二次剩余的乘积与 (?1)p +1 2n ) = 1。 p对模 p 同余。第六节二次互反律例 1 已知 563 是素数，判定方程 x2 ≡ 429 (mod 563)是否有解。 例 2 求所有的素数 p，使得 ?2∈QR(p)，3∈QR(p)。 例３ 证明：形如 8k + 7（k∈Z）的素数有无穷多个。 例 4 证明：形如 8k + 3（k∈Z）的素数无穷多个。习 题 六1. 已知 769 与 1013 是素数，判定方程 () x2 ≡ 1742 (mod 769)； () x2 ≡ 1503 (mod 1013)。是否有解。 2. 求所有的素数 p，使得下面的方程有解：x2 ≡ 11 (mod p)。3. 求所有的素数 p，使得 ?2∈QR(p)，?3∈QR(p)。 4. 设(x, y) = 1，试求 x2 ? 3y2 的奇素数因数的一般形式。 5. 证明：形如 8k + 5（k∈Z）的素数无穷多个。 6. 证明：对于任意的奇素数 p，总存在整数 n，使得 p?(n2 + 1)(n2 + 2)(n2 ? 2)。12第 12 页 共 14 页初等数论习题第七节例 1 设 a 与 b 是正奇数，求 (Jacobi 符号2a )与( b ) 的关系。 4a + b a 2 例 2 已知 3371 是素数，判断方程 x ≡ 12345 (mod 3371)是否有解。习 题 七1. 已知 3019 是素数，判定方程 x2 ≡ 374 (mod 3019)是否有解。 2. 设奇素数为 p = 4n + 1 型，且 d?n，证明： (d ) = 1。 p a ) = (a) 。 p q3. 设 p，q 是两个不同的奇素数，且 p = q + 4a，证明： ( 4. 设 a & 0，b & 0，b 为奇数，证明：? a ?( ) a ( ) = ? ba 2a + b ?? ( ) ? b当a ≡ 0， 1(mod 4) 当a ≡ 2， 3(mod 4) 。 a )与( a ) 的关系。 4ac ? b b5. 设 a，b，c 是正整数，(a, b) = 1，2 / | b，b & 4ac，求 (第六章第一节平方和二平方之和例 1 正整数 n 能表示成不同的两个平方数之差的充要条件是 n ≡ / 2 (mod 4)。 例 2 设 p 是素数，a ≥ b & 0，x ≥ y & 0，(a, b) = (x, y) = 1，且 p = a2 + b2 = x2 + y2，则 a = x，b = y。习 题 一1. 设 n 是正整数，证明：不定方程 x2 + y2 = zn 总有正整数解 x，y，z。 2. 设 p 是奇素数，(k, p) = 1，则 ∑ (i =0 p ?1i (i + k ) ) = ?1 ，此处 ( a ) 是 Legender 符号。 p pi =03. 设素数 p ≡　1 (mod 4)，(k, p) = 1，记 S (k ) =∑(p ?1i (i 2 + k ) ) ，则 2?S(k)，并且，对于任何整数 t，有 pt a S (kt 2 ) = ( )S (k ) ，此处 ( ) 是 Legender 符号。 p p m n 4. 设 p 是奇素数， ( ) = 1， ( ) = ?1 ，则 p p m ? 12 ，m ? 2 2 ， &，m ? ( 构成模 p 的一个简化剩余系。第 13 页 共 14 页p ?1 2 p ?1 2 ) ，n ? 12 ，n ? 2 2 ， &，n ? ( ) 2 213初等数论习题 5. 在第 3 题的条件下，并沿用第 2 题的记号，有 p = ( S (m)) 2 + ( S (n)) 2 。即上式给出了形如 4k + 1 的素数1 2 1 2的二平方和表示的具体方法。 6. 利用题 5 的结论，试将 p = 13 写成二平方和。第二节四平方之和例１ 每个正整数 n 可以写成 n = x2 + y2 ? z2 的形式，其中 x，y，z 是整数。 例２ 若 n = 2?4m（m∈N） ，则 n 不能表示成四个正整数的平方之和。习 题 二1. 若(x, y, z) = 1，则不存在整数 n，使得 x2 + y2 + z2 = 4n2。 2. 设 k 是非负整数，证明 2k 不能表示三个正整数平方之和。 3. 证明：每一个正整数 n 必可以表示为 5 个立方数的代数和。 4. 证明：16k + 15 型的整数至少需要 15 个四次方数的和表之。 5. 证明：16k?31 不能表示为 15 个四次方数的和。14第 14 页 共 14 页
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