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大神们，我有题目不会做，诚心求指导求解释。
|提问时间： 11:48:59|0人回答
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大家网小学二年级, 积分 87, 距离下一级还需 13 积分
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考过数学二或者正在复习数学二的盆友帮忙解答。请问考研数学二到底考不考概率论?怎么数学一和数学二的大纲是在一起的呢?数学二侧重的是大纲的哪一部分？实在是想不通为什么大纲要把数一数二放一起而且还不做区分，既然这样为什么还叫数一数二，干脆叫一个名字不好吗？迷惘不懂，求解释！！！！！不胜感激
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大家网大学三年级, 积分 2327, 距离下一级还需 673 积分
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现在还在纠结这些问题 我只能说你考研还完全没有做好准备&&数学二肯定不考概率论 历年都这样啊&&既然你考数二&&你就按照数二的大纲要求复习 管他数一和数三干什么
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大家网小学二年级, 积分 87, 距离下一级还需 13 积分
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恋云荒 发表于
现在还在纠结这些问题 我只能说你考研还完全没有做好准备&&数学二肯定不考概率论 历年都这样啊&&既然你考数 ...
恩啊 太弱智了，刚才把2012的大纲解析看成大纲了，解析是数一数二在一起&&O(∩_∩)O谢谢
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大家网大学三年级, 积分 2327, 距离下一级还需 673 积分
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luckywxt 发表于
恩啊 太弱智了，刚才把2012的大纲解析看成大纲了，解析是数一数二在一起:sweatingbulle ...
只能说楼主太有才了
解答高手 - 积极回答各种问题，解答准确思路清晰，堪称高手！
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有概率论大神能帮我把这几道题步骤写一下吗 ，明天就考试了，不胜感激！
财富值有些不够
写完我还会格外感谢的
我有更好的答案
十分感谢！！！
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我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。关于概率论的碎碎念以及王俊凯有问题，上知乎。知乎作为中文互联网最大的知识分享平台，以「知识连接一切」为愿景，致力于构建一个人人都可以便捷接入的知识分享网络，让人们便捷地与世界分享知识、经验和见解，发现更大的世界。update：经确认，直觉测试的题源来自人人网上的 王子卓 前辈~我检索的时候题目很乱很碎，差不多是一道一道确认题目没错，然后重新整理成一套又整理解答，最后又奇迹般地发现题源来自同一套题，可以说是很神奇了！望周知~这个故事似乎从侧面说明概率论的思想还是比较……统一而凝练的！原谅我暂时找不到概括的词。但我好像并不能联系到作者本人= =如有人可以帮忙联系，感激不尽！顺便对前辈的水平表示膜拜。——原文——这个专栏关注数前段时间突然暴涨，吓得我呆毛都竖了起来。不知道这篇文章发出来，会不会有人因为标题的最后三个字取关……听说闷声能作大死，我也来试试。直到今年五月以前，我都还抱着做概率论的愿望，但五月之后，我觉得我还是做偏统计多一点的比较好——然后我的statement of academic purpose又双叒叕要改了。具体原因我没和任何人说过，也觉得没什么说出来的必要，让这个秘密在肚子里烂掉就好了。连同其他的星辰大海也偷偷埋起来。这听起来有点“失其本心”的意思，于是一些我不知道该怎么定义的人，也的的确确在知道了我的决定之后，过来评头论足。这让我想起了我的朋友圈和通讯录里一些比我年长的人们，以及几个月前报考北影被吃瓜群众指责放弃初心的王俊凯。古今多少事，都付笑谈中。◆?◆我翻遍了我妈以前的育儿日记也没搞明白我是如何接受数学里“无穷”的概念，在念幼儿园的时候。更难以想象，在大多数小朋友靠着两颗砸晕牛顿的苹果，勉强理解“1+1=2”的年纪，我可以坦然接受“一直猜硬币正面，稳住，我能赢”的事实。她一直把这口大锅推给当年给我买了块小黑板和几大盒粉笔、给我买了个小乌龟存钱罐的我爸——总能找到比写满整块小黑板上的数更大的数，随便加1就好了；在什么都不知道的情况下，猜正面和反面没差别。直到天灵盖上长出一棵呆毛，学过了贝叶斯，我才堪堪能猜想那个三岁小姑娘的脑子到底经历了些什么鬼。想来是太年轻，缺少一些人生经验，对万事万物的理解全靠直觉，而非观测，在偌大的脑洞中构造出一个理想的世界，安放自己的思路清奇、异想天开——说白了，对于一个三岁小孩而言，先验？嚯，不存在的！由此也便引发了另一种思考：既然能观测的只是有限样本及永远都在变化的频率，「真实的可能性」是无法被观测，得靠脑补的，那么，究竟什么才是「概率」的准确定义呢？◆?◆古典频率派被我在《贝叶斯版达拉崩吧》里称为「赌场恶霸」，并非空穴来风——概率最开始，就是用来研究赌博问题的。根据排列组合方法计算出的简单概率被称为「古典概型」，这个模型主要基于人们对概率的朴素认识，距离公理化的、完备的数学理论始终相去甚远。想要解决这个问题，首先我们需要学会「随机现象定量化」，而这一里程碑式的杰作来自上个世纪三十年代的苏联数学家Kolmogorov，运用测度论构建了概率论的公理化体系。让数学中的其他分支的理论能融进概率论当中，打开了新世界的大门。直到这时，现代数学史册上才真正拥有「概率论」的名字。但公理化后的概率论体系仍不能解决「概率是什么」的问题。比如说有人问你「概率的本质是什么」，你根据公理化定义告诉他说「测度」，然后就自然而然追根刨底不免扯到「集合」这个无法公理化定义的概念，也直接造成了现在古典频率派和贝叶斯派还在撕逼。但这个公理化对于解决「概率是什么」这个问题，并非一无是处的，思想与Hilbert倡导的公理化一致，其作用在于将人们对于概率的一些朴素的、存在于脑洞中的共识以及一些基本性质抽象出来，从而形成一套公理体系，然后根据这套体系逐步发展成一套可能不是那么完备，但却是自洽的数学理论。而对于Kolmogorov的这个公理化的质疑，事实上到现在都没停止过，毕竟不到百年的理论。期间也不断有新的理论提出，然后销声匿迹，直到Kolmogorov成为主流。◆?◆事实上，「概率」一词应当有两层含义，一层是基于测度论的严格的数学，另一层则是物理的直观。这使得概率论和数学的其他分支有着些许不同：尽管基于测度论的概率论更加的思路清晰，但若真的将概率论作为另一门「Analysis」来学，则是过度重视了数学的基本功，而忽略了对概率论思维方法的培养。因此在初学概率论的时候，往往会尽量回避测度论，尽可能培养这种直观的思想。有了一定的人生经验，提高了知识水平之后，再引入测度论的观点，使之成为真正意义上的数学理论。尽管学了很多物理，可是更多做概率的人还是过不好这一生，因为很多物理知识一时间很难直接反馈到概率论的学习之中，以大概率需要物理直观的积累与物理方法论的训练。概率从来都不是形式化的，其思维方式总能恰到好处地与物理联系起来。而这种跟物理联系起来的思维方式，恰恰是我觉得概率论最为可爱之处。难能可贵的一点是，概率论理论研究的背后几乎都有一个实际背景问题进行支撑——随机游走问题与布朗运动；Gibbs 测度与物理平衡态；过程遍历性与纯生速率以及在数理金融领域中随机分析的应用等等，这些都极大推动了概率论的蓬勃发展。更为有趣的一点，概率论的这种与物理直观广泛联系的思想，也为纯粹数学中的许多问题提供了帮助，其中较为著名的一则八卦是 Perelman解决庞加莱猜想用到了条件期望的思想。下面整理出来的30道题，我觉得在尽量不动笔的前提下，多多少少能体现出一个人的概率论直觉。题目来源网络，有增删改。如果有答案错了，麻烦吱一声~◆?◆1、今有无知少女Skyline与一只呆萌皮凯丘拿2,000,000副牌打牌，则Skyline手上总共持有95,000,000~1,500,000个「王炸」的概率大约为（不区分大小王）A.
99%想用中心极限定理是吧？然鹅，我都说了这30题是基本不需要动手算的，主要考察直觉~实际上这个概率差不多可以近似1了，所以你选择D选项。这个故事告诉我们，打斗地主觉得牌垃圾，只是因为你没有注意到你一手好牌的时候。2、打桥牌时，若无知少女Skyline与对家皮凯丘共持有某门花色的7张牌，则剩余的6张牌怎样分布的概率最大A. 3-3B. 4-2C. 5-1D. 6-0 依然是打牌系列，使用古典概型，简单的心算就可以得到结果。3-3的情况数是C(6,3)=20，4-2的情况数是C(6,2)×2=30，5-1的情况数是C(6,1)×2=12，6-0的情况数是2。于是最可能的是4-2的情况，所以选B。对数字敏感的同学不难发现，对于剩余奇数张牌，分配越平均，可能性越大。由此延伸到一个打牌技巧就是，有将定约，尤其是三阶以上的，一定要具备将牌张数的优势，故一般都需要联合8张以上的将牌配合，只有特殊情况下，高手高手高高手们才会选择联手是7张，5-2或4-3配合，的花色作为将牌。3、美国总统大选，选举人票川普最终得到306票，希拉里得到232票，为了让这个过程充满美妙的焦心感，我们选择一张一张的唱票。则过程中川普一直领先希拉里的概率约为A. 0.15B. 0.05C. 0.005D. 0.0005由于才几百张票，直觉上这个概率拉不开，感觉会非常小，而且按照当时的局面，瞎XX反复无常焦心感爆棚是正常的。事实上，这个结果跟多少人投票并没有什么卵关系，只跟得票比率有关。假如投票比例是a:b (a&b)，则这个概率为(a-b)/(a+b)。于是选A。4、对1~n进行排列，则与自然排序（从小到大）下，位置相同的数的个数的期望约为A. 1B. log nC. ln nD. 1/n这题可以说是十分常见了！直接一通爆算显然不是什么明智的举动。考虑第i个位置，这个位置恰好是i的概率是1/n，而期望可加，故而总共与原来位置相同的数的个数的期望应为1，选A。这个故事告诉我们，不管有多少个数，平均总有一个数与自然排序下的位置相同。5、300个不同的球随机的放在100个箱子里，最后空箱子的数量大约为A. 0B. 1C. 3D. 5扩展到一般情况，设为n个不同的球随机放到m个箱子里。每个球落入每个盒子是等可能的，均为1/m, 所以，对第i个盒子，一个球不落入这个盒子内的概率为(1-1/m)。故n个球都不落入某个盒子内的概率为(1-1/m)^n，所有箱子的期望为m*(1-1/m)^n。因而得到一个小推论是m足够大的时候，令n=cm，即cm个球放到m个箱子里，最后空箱子个数约为me^-c，这里是100e^-3，所以选D。6、假设王子屯的考试周为一个星期（从周一到周日），且考试时间服从均匀分布。一只大花猫本学期有三门考试，则最后一门考试的时间大约在A. 周四B. 周五C. 周六D. 周日[0,1]之间n个均匀分布的随机变量最大值期望为n/(n+1)，于是我们不妨认为这3个随机变量分别在1/4，2/4，3/4的位置，也就是最后一门大概在周六上午的样子。7、今有一只
参加赌博，每次的回报服从正态分布。假设他赌了100盘发现赢了一个亿！虽然这显然是个小概率事件，但是就假设他真的赢了一个亿吧。那么你觉得他最有可能是因为A. 贝叶斯版《达拉崩吧》听多了，有一盘赢了九千九百九十九万B. 左手右手一个慢动作，一步两步慢慢赢C. 使用十万伏特时不小心漏电，睡着了D. 以上情况皆有可能说出来你可能不信，这道题选B。在这种情况下，愚蠢的人类并不理解随机变量的痛苦，一般都会觉得能够连续赢很多盘很难，然鹅事实上，一把挣他四舍五入一个亿更加困难。学术化的说法是考虑随机变量为长尾还是短尾——长尾意即取离均值很远的概率不是很小，而短尾正好相反。因为密度函数按照平方的指数下降，所以不可基的正太……哦，不对，是不可积的正态分布属于短尾。如果我们抛弃了高斯大魔王家的这个善良软萌的正太，则陈泽坤将有可能一下子挣了一个亿。事实上，现实中有很多事情都是长尾的，其中我最近在关注的一件有趣的事情便是如此：王俊凯还是练习生的时候，其歌曲虽流量小但仍占据一部分市场。而the Fighting Boys爆红的原因，其实就是长尾理论，因为靠网络造星并不必支付储存长尾的消耗（cost）。8、如果在TF家族，每年以0.2的概率无人出道，0.6的概率出道1人，0.2的概率出道2人，则A. TF家族吃枣药丸B. TF家族的艺人最终将稳定在一个分布，即种群大小在一定范围内震荡C. TF家族最后将爆炸，人口将到无穷D. 鬼知道会发生什么不管是从社会科学还是自然科学，这明显都是吃枣药丸，选A。不过讲道理，这个可能直觉上是比较难判断的，但注意到每一代的期望总是1，别问我怎么注意到的，这就是直觉2333而对生灭模型，当每一代期望小于等于1的时候，最后结果都是灭绝。对于期望大于1的情况，也可以通过简单的解个方程得到吃枣药丸的概率。9、惊闻陈泽坤赌博挣了一个亿之后，无知少女Skyline欣欣然入了坑，抄了100块钱去赌场赌大小。有两种玩法，一种是每次赌一百块，一种是每次每次赌一块钱，赢了翻倍，输了就什么都没有了。少女决定全部输光或赚够1500块的GRE报名费就走，则A. 两种方法输光的概率一样B. 壕气冲天地每次一百输光的概率大C. 坚决一百块都不给输光的概率大D. 人的命运不光要靠自身努力，还得考虑历史进程我知道魔法师们一定想选D，但是这要讲究基本法——不管怎么赌，都不会改变输光的概率，因为每一次期望都是0且最终不能超过1500，所以应该选A。这个结论在随机过程中颇为有趣，it means that you can’t beat the system，与「人的命运不光要靠自身努力，还得考虑历史进程」有着异曲同工之妙。因此对于炒股呀，赌博呀，如果假定了随机性（期望为零），那么怎么操作都是一样的，重点在于挖掘其中的非随机性。10、有一支股票，初始价为1，每天的价值变化率独立同分布，且期望为0，不恒为0。则 A. 股票在任何时刻期望价值为1B. 股票以概率1变成0C. A和B都对D. A和B都不对延续上两题的思想，怎么操作都是不变的，而要保持增长所需要的是远大于0的平均变化率，于是这道题选C。也就是说，对于投机如炒股，平均值总是不变的，但大多数人会倾家荡产，因为愚蠢的人类难以保持一个远大于零的平均变化率。11、无知少女Skyline决定去掷骰子。在任意时刻，若6从来未出现，则她可以选择所掷出的总点数作为等点数的奖励金额或继续游戏；若6出现，则game over，获得0元软妹币。求她的平均收益。A. 4块钱 B. 6块钱C. 8块钱D. 10块钱实际算起来感觉似乎更偏向于运筹学的动态规划，大概是6块1毛这样，所以选择B。但直觉上看，保守方案就是在6附近主动放弃。12、Skyline觉得骰子也不好玩，决定抛硬币。于是选了999枚正常的一面菊花一面数字的一元硬币和1枚不正常的双面数字硬币。从中随机选出1枚，抛10次，结果都是数字。问这枚硬币不正常的概率。A. 99%B. 90%C. 75%D. 50%这时候祭出贝叶斯即可，选D。可是愚蠢的人类总是有一种蜜汁错觉是这个概率比实际中的大，造成这种情况的一大原因我在上一篇怂恿其他无知少女去表白的文章已经说过了。本质上其实还是人类比较喜欢关注事物的变化而非本质。13、本世纪一十年代初，三国杀游戏盛行。其中周泰的技能是当没有血的时候，可以从牌堆中抽取一张牌，若与其前面的牌的数字均不相同，则可继续苟且偷生；否则狗带。假设牌堆里是完全随机的52张扑克牌，问大约抽牌抽到死为止的牌数的期望。A. 3~4张B. 4~5张C. 5~6张D. 6~7张来吧，枚举吧。大约5.7张牌，所以你选C。14、接上题，今有玩家小螃蟹给周泰增加了一个「重生」技能，即在抽取第k张牌时，若这张牌与以前的牌数字相同，则周泰原地满血。但是玩家必须在使用角色前声称k。若你是小螃蟹，你会生命k为多少？（仍为52的扑克牌）A. 4B. 5C. 6D. 7 与上题的计算方法一样，k为5的时候最优，选B。大约有17%的可能性可以获得重生。15、扔10000次硬币，其中最长一次连着正面的次数大约会是多少A.
4经典的Head Runs，答案应该是log_2 1000，大约为13，选B16、掷一枚硬币，求获得连续15个正面需要掷的次数的期望。A. 33000次B. 44000次C. 55000次D. 66000次在上一题中，掷n次最长连续正面次数为log_2 n，现在要求一定量的正面，问期望次数，结果比较接近但并不完全相同，准确的数字是2^(k+1)-2即65534次，选D。证明方法可使用数学归纳法，有兴趣的读者可以了解martingale方法：假设每一时刻有一只皮卡丘来赌，如果正面，资金翻倍，否则就为0；当连续出现15个正面的时候，所有来赌的皮卡丘的钱为65534。其好处在于可计算达到任何序列的所需时间。17、今有惨绿少年范函子决意随机收集小浣熊英雄卡108张，张张不同，出现概率相同。他大概收集多少张可以召唤神龙？A. 400B. 500C. 600D. 700传说中的集卡问题，收集第k张的时候平均需要n/(n-k+1)次，求个和则知道集齐n种英雄卡约需要nlogn张，这里是500多，所以选B。不过现实生活中，这108张还是严格区分R，SR和SSR的吧。18、接上题，假如惨绿少年范函子已经收集了90张卡片，求这90张里包含种数的期望。A. 50B. 60C. 70D. 80上一题中，我们说收集多少张可以集齐，这里我们问收到几张有几种，公式是这个公式是N-N(N-1/N)^n, 其中N是一共要收集的数目，n为已收集的数目，选B。事实上，从公式中可以感受到，这个收集过程在开始的时候很快，而到了后面几张，则需要较为漫长的时间。19、惨绿少年范函子不满足于一个人抛硬币，召唤了一只皮凯丘。在游戏开始前，范函子选择一个长度为3的序列，比如“菊花，数字，数字”，在范函子选择之后，皮凯丘选择另一个不同的序列。两人均选定序列后，游戏开始。两人重复抛硬币，直到一个人所选序列出现为止，选择该序列的人获胜。问，范函子的最优选择有多大可能性获胜？A. 30%B. 50%C. 60%D. 90%也许答案是让人目瞪狗呆.jpg的，选A——是的，先手吃亏！出现这个错觉的原因在于，尽管有一个最优序列出现的平均时间最早，但是，要注意到这些序列之间并非独立的，优劣没有传递性，A＞B，B＞C不能保证A＞C。比如范函子选择了“菊花，数字，数字”这个序列，那么皮凯丘选择“数字，菊花，数字”就可以有1/2的概率能获胜。此处只能通过Markov链来计算任意两个序列对抗时分别的胜率，然后使用博弈论求解。对于范函子而言，最优选择使他有1/3的概率获胜。20、吃了曲奇饼干的斯比（魔卡少女樱）混入999只皮卡丘的队伍上了有1000座的体育馆，随便找了一个位置坐下。皮卡丘们如果自己的座位没有被占领，就会乖乖呆在自己的座位上，否则将在剩余的座位上随便找一个落座。最后一只皮卡丘坐在自己座位上的概率有多大？A. 10%B. 50%C. 1%D. 5%比较考验小学奥数培养技能的时刻。对于第一只进场的，他正好坐在自己的位置上，则最后一只进场的不管是皮卡丘还是斯比，也一定能坐在自己的座位上；如果第一只进场的是斯比，恰好坐在了最后一只皮卡丘的座位上，则最后一只皮卡丘无论如何也不能坐在自己的座位上，两种情况概率相等。对于其他情况，不妨假设斯比第一个进场，坐在了第k只皮卡丘的座位，则后来进来的k-1皮卡丘都能坐到自己的位置上，第k只皮卡丘随机选择一个座位。这等价于体育场一共有1001-k个座位，第一只皮卡丘（原来的第k只）随机选择一个座位。如此递归可得不管多少座位概率均为1/2。选B。21、在实验室中测试灯泡的寿命，灯泡坏的时候立刻换新灯泡。灯泡寿命约为1小时。考察一亿小时时亮着的那个灯泡
那个灯泡的寿命期望约为2小时B.
那个灯泡的寿命期望约为1个小时C.
那个灯泡的期望寿命约为0.5个小时D.
以上说法都不对这题看起来就很坑爹，但是从直觉上还是可破的。我们观察到一个事物是随机的，如果时间足够久的话，事物的寿命要长于其平均的寿命，正是因为它的寿命长才导致我们容易观测到。比如根据「红颜薄命」定理，我们能观察到的99%都是长寿的效颦东施，所以感觉这个世界上长得好看的人真是太少了！一般我们认为灯泡的寿命是指数分布的，在这个情况下，答案选B。对于其他分布，有可能平均寿命有限，但观测到的那个寿命无限。22、现在有一根密度不均的、知道各部分横截面积的蚊香，无知少女Skyline决定通过n点测量密度估计重量，n很大，则如何测会比较准？A. 依照基本法，等间隔选取测量点B. 随机选取测量点C. 看人品D. 两种方法差不多一切都要讲究基本法，所以你选择A。对于一维情况的确如此，A要略好些，但对于高位情况下，B方法更胜一筹，因为想要获得相同效果，「有规律的点」需要选取特别多。感兴趣的读者可以了解Quasi-Monte Carlo Sampling 和 Monte Carlo Sampling之间的爱恨情仇。23、一只皮凯丘做以下哪件事发生的期望时间最短？
A. 在第0秒，从原点出发，每一秒以概率1/2向左走，1/2向右走，第一次回到原点的时间B. 每秒种随便按键盘上的一个字母键，第一次打出「skyline」的时间C. 在第0秒，一只皮凯丘从原点出发，每一秒以概率1/2向左走，1/2向右走，第一次到达1的时间D. 每秒钟以1/2的概率按backspace，1/2概率按键盘上的某个字母，第一次打出「skyline」的时间。除了B是有限的以外，其他时间发生的时间期望都是正无穷，所以除了B别无选择。这个故事告诉我们，等概率赌博是不可能赢钱的，以及一个概率论经典定理「What always stands a reasonable chance of happening will almost surely happen, sooner rather than later」，从任意时刻开始，总有一个固定的概率发生某件事，意即「小姐姐稳住，我们能赢」！不管这个概率是多少，哪怕很渺小，也会发生。24、当我们考虑一种可能重复发生的事件时，哪种方式更科学？ A. 按照第一次发生这个事件的时间作为一个起点，考虑从其本身出发之后的性质B. 按照最后一次发生这个事件的时间作为一个起点，考虑从其本身出发之后的性质C. 以上均可D. 以上均不可更为深刻的背景是Kolmogorov向前向后微分方程。众所周知（假装一下吧），向后微分方程更加通用，这是因为向后微分方程是基于A这种思考方式对事件进行分解得到的，而向前微分方程是基于B的方法对事件进行分解。可是很多重复发生的时间会发生得愈发频繁，以至于没有所谓的「最后一次发生」。但我们总可以找到第一次发生的时间，所以我们选A方法更科学。25、今有一只追风少年王俊凯在进行三维随机游走，意即，每一刻他可以左手、右手、向上、向下、向前、向后一个慢动作，长久看来会发生什么情况？A. 追风少年王俊凯将无穷多次「又回到最初的起点，记忆中你青涩的脸」B. 追风少年王俊凯将无穷多次回到任何一条坐标轴上，但不会无穷多次回到原点C. 追风少年王俊凯不会无穷多次回到任何一条坐标轴上D. 追风少年王俊凯会变成皮凯丘虽然我想选D但是答案是B。一维和二维的随机游走是常返的，也就是无穷多次「又回到最初的起点，记忆中你青涩的脸」，尽管来回的时间期望不是有限的。但三维及三维以上的随机游走是非常返的。故此，对于二维的某个坐标轴，物体会无穷多次「从你的全世界路过」，但不会无穷多次经过原点。26、假设有一千次100米短跑比赛，每次比赛追风少年追风少年王俊凯的成绩都在9.7到10秒之间均匀分布，问能够破纪录的比赛次数的期望。A. 3B. 7C. 14D. 18传说中的破纪录问题，答案ln n所以选B。假设均匀分布，则n次比赛之后的n个成绩形成一个排列，第k次创纪录的概率是这个排列中第k个排在前k-1个之前的概率，即1/k，所以n此比赛约有1+1/2+1/3+…+1/n次破纪录的，n足够大，即ln n次。27、编号89757的类地行星上有一群皮凯丘和皮卡丘，两者出生比例相同，问下列哪种方式长期以后皮凯丘的比例最大？A. 每个家庭不断的生皮卡丘直到得到第一个皮凯丘为止B. 每个家庭不断的生皮卡丘直到得到第一个皮卡丘为止C. 每个家庭不断的生孩子直到得到一只皮卡丘和一只皮凯丘各为止D. 皮凯丘，皮卡丘，天凉好个秋，无论如何比例同我们考察一个家庭最后生了多少皮卡丘和皮凯丘即可，从概率论角度，很显然不管怎么生都是1:1，所以选D。事实上，我们只需要把一个很长的皮凯丘皮卡丘序列按不同方式进行截断，而序列本身包含多少皮卡丘和皮凯丘是不变的。更通俗的栗子是无知少女skyline和全幼儿园最萌的陈泽坤打牌，可以每天打到第一盘狗带或者第一盘完胜或者有输有赢位置。显然无论如何，由于无知少女skyline的实力是恒定的，胜率永远不变。28、一位篮球运动员罚球100次。已知他前两个球罚中了一个。从第3个球开始，他罚每一个球的命中率为其前面所罚所有球的命中率，比如他前50个球罚中了40个，则下一个球的命中率为80%。问以下哪种情况发生的可能性较大？A. 他最终罚中了50-60个球B. 他最终罚中了60-70个球C. 他最终罚中了70-80个球D. 以上3个可能性相同夜深了，悲伤的故事大规模开始了，也许是罚中很多球，也许罚中很少球，因为一旦开始罚中得多，后面命中率会倾向越来越高，反之亦然。但实际上，由数学归纳法知，运动员罚中1到99个球的可能性都是相等的。所以选D。29、今有100只皮卡丘排队买the fighting boys四周年演唱会的门票，五块钱一张，其中50只手上只有5块钱，另外50只手上只有10块钱。售票者在整个过程中一直可以找开钱的概率有多大？
A. 1%B. 2%C. 5%D. 10%将问题一般化则是考虑只有五块钱的一方不落后于只有十块钱的另一方，大致思路是利用布朗运动的反射原理。事实上的比例为从0开始的每一步为-1或1，运动最后停在-2的路径数除以停在远点0的路径数，为1/51，选B。30、今有一根长10米的绳子上随机分布着5只巴达兽，他们的位置和初始方向都是均匀分布且随机的。从时刻0开始，他们朝着他们出示的方向每分钟10米的速度开始啪叽啪叽走，直到离开绳子或遇到另一只巴达兽。当他们碰到另一只巴达兽的时候，两只巴达兽会分别转向然后继续前进。求所有巴达兽离开绳子的时间的期望。A. 50秒B. 1分钟C. 2分钟D. 5分钟又到了考验小学奥数培养能力的时刻！当两只巴达兽碰面时，虽然实际中他们互换了方向，但从运动角度来讲不如说他们只是换了编号然后继续前进。所以相当于在0~1之间有5个随机数，问其中最大的期望是多少，为5/6，选A。上述题源均来自网络，有增删改，若存在侵权记得联系无知少女Skyline同学删掉~比心！◆?◆对于概率论而言，有了良好的直观思维之后，还需要一个严谨的公理体系，才算真正拥有，然后就需要引入测度论里的东西。概率是对随机事件发生的可能性赋予的一种合理度量，而要将「事件」抽象化，就需要使用集合论。利用集合论的语言，将「事件」表示为某个集合中的「子集」。更进一步的，需要进行运算时，便考虑由事件组成的集合，意即，「集合的集合」，也就是「集合族」。接着对事件进行度量，赋以相应的概率测度，主要围绕如何在一个空间中构造测度来展开。总的思路就是建立测度空间，从而去定义概率空间。或许可以这么理解，由于概率论考虑的是随机变量，于是引入可测函数；考虑概率的数字特征，于是引入了测度积分；考虑条件期望，于是引入符号测度和R-N导数；考虑多为随机变量、联合分布、独立性的问题，于是引入乘积空间……可以看到，概率论中的内容与测度论的概念对应着，因此，测度论为概率论提供了严谨可靠的数学语言，而概率论也让测度论变得更加灵活生动。但仍然要强调，测度论只是概率论的现代数学语言，但它并不是概率论的精神。概率论有了测度论支持之后，对于Markov链、布朗运动等模型自然也就有了更深入的研究，同时随机过程也引申出更为一般性的理论，比如遍历论（Ergodic Theory）、鞅论（Martingale）、Markov半群理论等等。「应用」不是真·应用，而是「隐藏测度论技能」的「应用随机过程」也就进化成了「随机过程」，由此真正成为了传说中「不确定性动力系统」，需要时常被拿出来跟「确定性正版动力系统」进行比较和互相揶揄，从而催生出更多的有价值的问题。此外，随机分析，尤其是随机微分方程，可以说是变得非常「分析学」了！整个学习过程几乎与当年数学分析噩梦无差异，在能利用Newton-Leibniz公式之前，得花十二分精力在定义Riemann积分上头。然后有人哭了，有人挂了，有人疯了，有人深陷其中曼妙不能自拔。◆?◆有人说「泛函分析是另一门现代概率论的语言」，由于我泛函分析学得几乎处处不懂，对此先按住不表。但统计学，尤其是数理统计学，审美情趣与概率论之相似而不同，倒是颇值得玩味。曾经看到过类似的言论，大意是说「Kolmogorov使得概率论的应用停滞了三十年」。其实不然，恰恰是因为概率论的公理化，使其他分支已有的成果能够融入其中，概率论才成为了更强大的处理实际问题的工具。此番无用论据不太可信的考证，大概出现于上个世纪六十年代敏感时期，同理还有对数理统计的态度。和数学不大相同，统计学追求的并非「是对或错」，而是愚蠢的人类是否真的「傻不啦叽」、「讲不讲道理」。而「傻」以及「道理」的定义，是用概率论的原则去给的。数理统计学称得上是对概率论知识基础是否牢靠的检阅，也是对「概率」的概念更深的体会。它直接与随机现象打交道，不仅仅是概率论最为直接的应用，更是推动概率论发展的一大动力。说实话，尽管很多国人已经拿过考普斯了，但国内的统计学做得一直不太好，或者说，两极分化明显——很一部分的人，做的东西不是statistics，而是「statementics」，报表学。统计学发展的最好的年代，天朝在闹让叶文洁忍不住联系三体人的惨案。以至于我们的统计学体系，在过去到现在的很长一段时间里，关于数理统计学的思考，是缺失的。这就宛如被抽去脊梁骨一般，轻轻一碰，就摇摇欲坠了。数理统计学不曾负任何人，不曾排挤过「小学课本算男女比例」，可是长期教育、教学的缺失，导致社会大众对这门学科的误解，这个问题至今在大部分地区仍没有得到解决。那些本可以「大一统」的理论和思想啊，再教几年报表学可就真的回不来了。赌场恶霸古典频率派并不可怕的，可怕的是土偶木梗古板苹果派。◆?◆尽管审美情趣类似，概率论终究和统计学不是同一种东西。基于公理化，概率论是一门不折不扣的数学，而统计学是与数学并列的一门学科。概率论也追求抽象的概念、复杂的运算、严谨的论证和对称的结构，基本与几何、代数、数论、分析这些传统分支无异，极具个性的一面，只是它的强物理背景，这也使得概率论中的大问题，远远没有传统分支里的，如费马大定理，那么著名。即便它的难度并不亚于传统分支里的诸多猜想。这也使得在评价一个概率论学者做的工作是否优秀时，不仅仅考虑这个工作对数学本身的推动作用，也考虑对其他学科的影响——能做理论，也能做应用，才是真正好的。由于金融市场中的诸多现象在概率论中都有着很好的解释，这使得使用概率论来研究金融成为一件极其自然之事，于是伊藤清用一个公式名扬了一条街。同样的，随机算法的兴起使得现代计算机科学对概率论格外重视。我们吃一个栗子：高维系统的计算问题，传统的数值计算很难解决，但使用基于Markov链的MCMC就能迎刃而解。这也是十分自然的。但除此之外的一些问题，就不那么自然了。更像是微分方程这类传统方法「不够用」了，便加上一点概率论来解决「噪声」。◆?◆我约莫十年前被Jianqing Fan的一个有点类似「学术派综艺节目」的视频圈粉拖进坑，那时候就已经开始说「数据分析师是21世纪最sexy的职业」；差不多三年前才真真实实感受到当年他那段话一点一点在我身边应验，对随机现象进行定量描述着实是一件格外重要而有前景的事儿；而今却深感「Big Data」就快被一些人玩坏，因为很少有人愿意耐住寂寞去深究概率论里真正复杂却也足够美好的内容。年初时，尚且还不能理解Yu Bin老师那句「年轻时，我（同你一样）喜欢美的，但现在我喜欢有用的」，然而短短几个月后就物是人非，就像我突然对TFBoys路转粉一样——因为正在经历的故事和过去经历的往事突然就重合了。二十一岁的我和十一岁的我看的「概率」终究不再是一个东西，这种不同，不是因为测度论是否在脑海里根深蒂固，也不是因为把物理书遗弃在书柜的某个角落积灰，更不是因为学过了贝叶斯那一套。但就是有什么变了味儿，很难形容的。听说在我出生以前，Nature和Science上大多关心和讨论的是方程，各种方程；十年前，Google放话，预言「数据分析成为最sexy的职业」，对随机过程的讨论数量愈发爆表；但直到今天，还有人搞不清楚统计学到底在干什么，更何况分清概率论和统计学的关系。所以有时候我也时常在想，比起科研，我是不是更应该去做那个科普的人：与满足自己的好奇心相比，我是不是更希望能有更多的人去了解、去欣赏我的这份好奇心？十七岁的王俊凯不知道TFBoys作为一个团队存在的意义，就如同十七岁的Skyline不明白「概率论」作为一个数学分支存在的意义。当然，现在的Skyline也不是特别明白，可是，多多少少还是明白了一点儿，在准备跟它告别的时候。学过的概率论和吃过的栗子终究会变成我人格的一部分，我也仍会每天都用着它们做一些有趣的事或者骗骗比我更无知的少女，但再也长不成推动它已知边界的那个人，却仍须忍受智商欠费、上下求索的孤独。真正开始学数学而非算术之后，终于发现自己有多无知，能多美好，需要陪伴，憎恶束缚，怎样狂妄，何其孤独。多需要一个矛盾证明自己的必然存在，用一个平凡掩饰自己的无能为力。所幸的是至今仍有我感兴趣的而未知的数学，但有一天，只剩下我未知而不感兴趣的数学该怎么办？只希望未来的自己，可以永远保持着好奇心，然后可以不那么孤独一点。共勉。24分享收藏文章被以下专栏收录一个无知而好奇的少女，满怀少女心的学习笔记。
世界是一个样本空间，里头的每一件事都是一个随机事件，其结果以某个概率的形式存在。后验的经验使我们的信念依概率收敛于真理，却永远无法确定是否已经到达——一个美丽惊艳的假设比不上纷繁复杂多变但眼见为实的证据，一个逻辑缜密的演绎也需要充分归纳现实的模型。1742