第二章 轴向拉伸和压缩§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 §2-6 §2-7 §2-8 概 述 拉压杆件横截面上的正应力 应力集中的概念 拉压杆件的变形 拉伸和压缩时材料的力学性质 几种新材料的力学性质简介 拉压杆件的强度计算 拉压超静定问题§2-9 思考题 习 题拉压杆联接件的强度计算第三章§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5 §3-6 思考题 习 题扭转概 述 圆杆扭转时的应力 圆杆扭转时的变形·扭转超静定问题 扭转时材料的力学性能 扭转圆杆的强度计算和刚度计算 非圆截面杆的扭转第四章§4-1 §4-2 §4-3 §4-4 §4-5 §4-6平面弯曲概 述 梁横截面的正应力 梁横截面的切应力 梁的强度计算 非对称截面梁的平面弯曲·开口薄壁截面 的弯曲中心 梁的极限弯矩和极限荷载法强度计算§4-7 §4-8 §4-9 §4-10 §4-11 §4-12 思考题 习 题梁的挠度和转角 梁的挠曲线近似微分方程 积分法计算梁的变形 叠加法计算梁的变形 梁的刚度计算 简单超静定梁第五章 应力状态分析§5-1 §5-2 §5-3 §5-4 §5-5 §5-6 思考题 习 题 应力状态的概念 平面应力状态分析 基本变形杆件的应力状态分析 三向应力状态的最大应力 广义胡克定律·体积应变 应变能和应变能密度第六章§6-1 §6-2强度理论强度理论的概念 四种常用的强度理论§6-3 §6-4 思考题 习 题莫尔强度理论 强度理论的应用第七章§7-1 §7-2 §7-3 §7-4 §7-5 §7-6 思考题 习 题组合变形杆件的应力分析 与强度计算概 述 斜弯曲 拉伸（压缩）与弯曲的组合 偏心压缩（拉伸） 截面核心 弯曲与扭转的组合作为绪论，本章将介绍材料力学的任务、研究范畴、研究对象、研究的基本方法以及 材料力学课程的特点。 在材料力学中，是将物体作为变形固体，研究的对象是杆件。因 此，本章还将介绍变 形固体的基本假设，杆件变形的基本形式，受力杆件中的应力、变形、位移和应变等重要 的概念。第二章—4—轴向拉压是杆件的基本变形之一。本章首先介绍轴向拉压杆件横截面上的应力、轴向 拉压杆件的变形，并导出了胡克定律。然后介绍拉、压时典型塑性材料和脆性材料的力学 性质和一些重要性能指标（如σ s，σ b，E 等）及其实验测定方法。并对复合材料和粘弹性 材料及其力学性能作了简介。本章还介绍拉压杆件的强度计算、拉压超静定问题和拉压杆 联接件的强度计算。第二章 轴向拉伸和压缩§2 - 1 §2 - 2 概 述拉压杆件横截面上的正应力一、 正应力公式 二、 圣文南原理§2 – 3 §２- 4应力集中的概念 拉压杆件的变形一、 轴向变形·胡克定律 二、 横向应变§2 - 5拉伸和压缩时材料的力学性质一、拉伸时材料的力学性质 二、 压缩时材料的力学性质 三、塑性 材料和脆性材料的比较§2 - 6几种新材料的力学性质简介一、复合材料 二、粘弹性材料—5—§2 - 7拉压杆件的强度计算一、容许应力和安全因数 二、强度条件和强度计算§2 - 8 §2 - 9拉压超静定问题 拉(压)杆联接件的强度计算一、简单铆接接头 二、铆钉群接头思考题 习 题 习题答 案返回总目录—6—第二章 轴向拉伸和压缩§2 - 1 概 述工程中有些构件，例如，桁架中的桁杆，万能试验机的立柱等，所受外力的作用线与杆 轴线重合，即承受轴向荷载。这时，杆件将沿轴向伸长（缩短） 、沿横向收缩（或扩张） 。这 类杆件称为轴向拉伸（压缩）杆件。轴向拉压是杆件的基本变形形式之一。 在研究杆件的应力、变形时，必须首先知道杆件的内力。 对于轴向拉压杆件，其横截 面上只有与杆轴线重合的内力，此内力就称为轴力（axial force） ，记为 FN，其正负号规定为：轴力指向与横截面外法线方向一致为正，反之为负，即： 拉为正，压为负。其大小可按截面法由平衡方程求得。 当轴向拉(压)杆件所受外力较复杂时，在杆不同部位横截面上的轴力一般不相同。在进 行应力与变形分析时， 通常需要知道杆的各个横截面上的轴力、 最大轴力及其所在横截面的 位置，因此需作出表示轴力与截面位置关系的变化图线，即轴力图。 在画轴力图时首先应确定控制面（control section） ，集中力作用点处两侧的横截面、分 布荷载的起始作用点和终止作用点处的横截面，都是控制面。计算出控制面的轴力值，再根 据相邻控制面之间的荷载情况，画出轴力图。相邻两控制面间，若无荷载，该段轴力图为水 平线（或竖直线） ；若为均布荷载，该段轴力图为斜直线。轴力图在集中力作用处有突变， 突变值即为该集中力的值。§2 - 2一、 正应力公式拉压杆件横截面上的正应力轴向拉伸(压缩)杆件横截面上的内力是轴力。为了了解轴力在横截面上的分布情况，需 要知道横截面上的应力。由于轴力垂直于横截面，故横截面上各点处必定有正应力 σ ，且 轴力只能由微内力 σdA 合成。但要计算应力的大小，需要先确定横截面上的应力分布规律。 而应力的分布和杆的变形情况有关， 因此需通过实验观察找出变形的规律， 即变形的几何关 系； 然后利用变形和力之间的物理关系得到应力分布规律； 最后由静力学关系方可得到横截 面上正应力的计算公式。以下就从这三个方面进行分析。 1． 几何关系 取一根等截面直杆， 未受力之前， 在杆的中部表面上画许多与杆轴线平 行的纵线和与杆轴线垂直的横线；然后 在杆的两端施加一对轴向拉力 F，使杆 产生伸长变形，如图 2-1(a)所示。由变 形后的情况可见，纵线仍为平行于轴线 的直线，各横线仍为直线并垂直于轴 线，但产生了平行移动。横线可以看成 是横截面的周线，因此，根据横线的变 形情况去推测杆内部的变形，可以作出 如下假设：变形前为平面的横截面， 图 2-1 拉伸变形—7—变形后仍为平面。这个假设称为平截面假设或平面假设 (plane assumption)。 由平面假设可 知，两个横截面间所有纵向“ 纤维” 的伸长是相同的，而这些“ 纤维” 的 原长相同，于是可推知它们的线应变ε 相同，这就是变形的几何关系。 2. 物理关系 根据物理学知识，当变形为弹性变形时，变形和力成正比。因为各“ 纤 维” 的线应变ε 相同， 而各 纤维” 的线应变只能由正应力σ 引起， “ 故可推知横截面上各点处的正应力相同， 即在横截面上，各点处的正应力 σ 为均匀分布，如图 2-1(b)所示。 3. 静力学关系 由静力学求合力的方法，可得FN =∫ σdA = σ ∫ dA = σAA A由此可得杆的横截面上任一点处正应力的计算公式为σ =FN A(2-1)式中 A 为杆的横截面面积。如果杆受到轴向压力，同样可以得到(2-1)式。正应力的正负号 与轴力的正负号相对应，即拉应力为正，压应力为负。由(2-1)式计算得到的正应力大小，只 与横截面面积有关，与横截面的形状无关。此外，对于横截面沿杆长连续缓慢变化的变截面 杆，其横截面上的正应力也可用上式作近似计算。二、 圣文南原理必须指出，杆端外力的作用方式不同时，例如分布力或集中力，对横截面上的应力分布 是有影响的。但法国科学家圣文南(SaintVenant)指出，当作用于弹性体表面某一小区域上的 力系，被另一静力等效的力系代替时，对该区域附近的应力和应变有显著的影响，而对稍远 处的影响很小，可以忽略不计。这一结论称为圣文南原理 (Ｓaint Venant principle)。它已被 许多计算结果和实验结果所证实。因此，杆端外力的作用方式不同，只对杆端附近的应力分 布有影响。在材料力学中，可不考虑杆端外力作用方式的影响。 例 2-1 图 2-2 示一小吊车架，吊车及所吊重物总重为 W =18.4kN。拉杆 AB 的横截面 为圆形，直径 d=15mm。试求当吊车在图示位置时，AB 杆横截面上的应力。 解 由于 A，B，C 三处用销钉联结，故可视为铰接，AB 杆受轴向拉伸。 由平衡方程C∑M= 0 ，求得 AB 杆的轴力为FN =18.4kN × 0.6m = 18.4kN 1.2m × sin 30o再由（2-1）式，求得 AB 杆横截面上的正应力为.FN FN 18.4 ×103 N σ = = = 1 A 1 2 × π × (0.015) 2 m 2 πd 4 4 6 2 = 104.2 ×10 N / m = 104.2MPa图 2-2 例 2-1 图 显然，当吊车在 BC 杆上行驶到其它位置时，AB 杆的应力将发生变化。 在材料力学 中，最重要的是求出杆内的最大应力，因为根据最大应力的大小，可以判定—8—杆是否有足够的强度。一般情况下，杆各横截面上的轴力和横截面的面积都未必相同，这就 需要具体分析哪个截面的正应力最大。对于等直杆，轴力最大的横截面上正应力也最大。所 以通常将内力图中数值最大的位置所在的截面称为危险截面(critical section)。§2 – 3应力集中的概念工程中有些杆件，由于实际的需要，常有台阶、孔洞、沟槽、螺纹等，使杆的横截面在 某些部位发生急剧的变化。理论和实验的研究发现，在截面突变处的局部范围内，应力数值 增大，这种现象称为应力集中 (stress concentration)。 例如图 2-3（a）为一受轴向拉伸的直杆，在轴线上开一小圆孔。在横截面 1—1 上，应 力分布不均匀，靠近孔边的局部范围内应力很大，在离开孔边稍远处，应力明显降低，如图 2-3（b）所示。在离开圆孔较远的 2—2 截面上，应力仍为均匀分布，如图（2-3） 。图 2-3 孔口应力分布图 当材料处在弹性范围时，用弹 性力学方法或实验方法，可以求出有应力集中的截面上的 最大应力和该截面上的应力分布规律。 该截面上的最大应力 σmax和该截面上的平均应力σ0之比，称为应力集中系数 α ， 即α =σ max σ0(2-2)式中σ 0=F/A0，A0 为 1-1 截面处的净截面面积。σ 是 大于 1 的数，它反映应力集中的程度。只要求得σ 0 值 及σ 值，即可求出最大应力σ max。不同情况下的σ 值 一般可在设计手册中查到。 在水利工程结构中也经常遇到应力集中问题。例 如图 2-4 所示的混凝土重力 坝中，为了排水、灌浆、观 测等需要，常在坝体内设置一些廊道。在 图 2-4 重力坝—9—廊道周边附近也会引起应力集中。因此，在设计重力坝时，常需要用理论或实验的方法专门 对廊道附近区域进行应力分析。§２- 4拉压杆件的变形杆受到轴向外力拉伸或压缩时，在轴线方向将伸长或缩短，而横向尺寸将缩小或增大， 即同时发生纵向(轴向)变形和横向变形。例如图 2-5 所示的杆，长度为 l ，设横截面为正方 形，边长为 α 。当受到轴向外力拉伸后， l 增至 l ′ ， α 缩小到 α ′ ，现分别介绍这两种 变 形的计算。图 2-5 拉伸变形一、 轴向变形·胡克定律杆的轴向伸长为 ? l = l′ ? l ， 称为杆的绝对伸长。 实验表明， 当杆的变形为弹性变形 时， 杆的轴向伸长Δ l 与拉力 F 、杆长 l 成正比，与杆的横截面面积 A 成反比，即? l∝Fl A引进比例常数 E，并注意到轴力 FN = F ，则上式可表示为? l=FN l EA（2-3）这一关系是由胡克 (Hooke)首先发现的，故通常称为胡克定律(Hook′ s law)。当杆受轴 向外力压缩时，这一关系仍然成立。(2-3)式中的 E 称为拉伸(或压缩)时材料的弹性模量 (modulus of elasticity)。E 值越大，杆的变形越小；E 值越小，杆的变形越大。E 值的大小因 材料而异，通过试验测定。E 的量纲是 L MT ，常用单位是 MPa 或 GPa。工程上的大部2 ?1分材料在拉伸和压缩时的 E 值可认为是相同的。 （2-3）式中的 EA 称为杆的拉伸（压缩）刚度 （tension or compressive rigidity） ，当 FN 和 l 不变时，EA 越大，则杆的轴向变形越小，EA 越小，则杆的轴向变形越大。 应用（2-3）式可求出杆的轴向变形，但需注意该式的适用条件。该式只适用于 FN 、A、 E 为常数的一段杆内，且材料在线弹性范围内。 绝对变形Δ l 的大小与杆的长度 l 有关，不足以反映杆的变形程度。为了消除杆长的影 响，在均匀变形的情形下，将（2-3）式变换为? l FN 1 = l A E—10—式中Δ l / l =ε ，称为轴向线应变。它是相对变形，表示轴向变形的程度。又 FN / A = σ ， 故上式可写为ε = 或σ = E ε σ E种形式。这一关系式非常重要，在理论分析和实验中经常用到。(2-4)上式表示，当变形为弹性变形时，正应力和同一方向的线应变成正比，这是胡克定律的另一二、 横向应变图 2-5 所示的杆，其横向尺寸缩小，故横向应变为显然，在拉伸时，ε 为正值，ε ′ 为负值；在压缩时，ε 为负值，ε ′ 为正值。由实验 可知，当变形为弹性变形时，横向应变和轴向应变的比值的绝对值为一常数，即ε′= α′ ? = ? α α α αν =ε ′ 或ε ′ = ε ? νε(2-5)ν 称为泊松比 (Poisson ratio)，是由法国科学家泊松首先得到的。ν 为量纲为 1 的量，其数 值因材料而异，由实验测定。 弹性模量 E 和泊松比ν 都是材料的弹性常数，表 2-1 给出了一些常用材料的 E，ν 值。表 2-1 常用材料的 E，ν 值 材料 钢 铜及其合金 灰口铸铁 铝合金 花岗岩 石灰岩 混凝土 橡胶 木材 顺纹 横纹 E（GPa） 190~220 74~130 60~165 71 48 41 14.7~35 0. 0.49ν0.25~0.33 0.31~0.36 0.23~0.27 0.26~0.33 0.16~0.34 0.16~0.34 0.16~0.18 0.47例 2-2 一矩形截面杆，长 15m，截面尺寸为 50×100mm2。当杆受到 100kN 的轴向拉 力作用时，由实验方法测得杆伸长 0.15mm，截面的长边缩短 0.003mm。试求该杆材料的弹 性模量 E 和泊松比ν 。 解 利用(2-3)式，可求得弹性模量为100 ×10 3 N ×1.5m FN l E= = = 2.0 ×1011 N / m 2 = 200GPa (? l) A 0.15 ×10 ? 3 m × 50 ×100 ×10 ? 6 m 2再由(2-5)式，求得泊松比为—11—ν =ε′ 0.003mm /100mm = = 0.3 ε 0.15mm /1500mm例 2-3 一木柱受力如图 2-6 所示。 柱的横截面为边长 200mm 的 正方形，材料可认为服从胡克定律，其弹性模量 E=10GPa。如不计柱 的自重，试求木柱顶端 A 截面的位移。 解 因为木柱下端固定， 故顶端 A 截面的位移就等于全杆的总变 形。 由于 AB 段和 BC 段的内力不同， 但每段杆内各截面的内力相同， 因此可利用(2-3)式分 别计算各段杆的变形，然后求其代数和，即为全 杆的总变形。 AB 段：FN ? 100kN ? l AB = ? 100 ×10 3 N × 1.5m 10 ×10 9 Pa × 200 × 200 × 10? 6m2BC 段：FN ? 100kN + (? 160kN ) = ? 260kN ? l AB = ? 260 × 10 3 N ×1.5m? 6 2图 2-6 例 2-3 图10 ×109 Pa × 200 × 200 ×10 m = ? 0.000975m = ? 0.975mm全杆的总变形为? l = ? l AB + ? l BC= ? 0.375mm ? 0.975mm = ? 1.35mm （缩短）木柱顶端 A 截面的位移等于 1.35mm，方向向下。 例 2-4 试求图 2-7 （a） 所示等截面直杆由自重引起的最大正应力以及杆的轴向总变形。 设该杆的横截面面积 A、材料密度ρ 和弹性模量 E 均为已知。 解 自重为体积力。对于均质材料的等截面杆，可将杆的自重简化为沿轴线作用 的均 布荷载，其集度为 q = ρ ? g ? A ? 1 = ρgA （1）杆内的最大正应力 应用截面法，求得离杆顶端距离为 x 的横截面(图(b))上的轴力为—12—图 2-7 例 2-4 图—13—FN ( x) = ? qx = ? ρgAx上式表明，自重引起的轴力沿杆轴线按线性规律变化。轴力图如图（d）所示。 在 x 截面上的正应力为σ ( x) =FN ( x) gx A= ? ρ (压应力)由上式可见，在杆底部(x= l )的横截面上，正应力的数值最大，其值为σmax= ρgl正应力沿轴线的变化规律如图（e）所示。(2)杆的轴向变形由于杆的各个横截面的内力均不同，因此不能直接用(2-3)式计算变形。为此，先计算 dx 长的微段（图（c） ）的变形 d（Δ l ） 。略去微量的 dFN ( x) 影响，dx 微段的变形为d (? l ) =FN ( x)dx EA W l ? ρgAxdx ? ρgAl 2 ? l =∫ = =? 0 EA 2EA WAl杆的总变形可沿杆长 l 积分得到，即l lF ( x)dxN? l=∫0d(? l ) =∫0（缩短）EA式中 W = ρgAl 为杆的总重。 由计算可知， 直杆因自重引起的变形， 在数值上等于将杆的 总重的一半集中作用在杆端 所产生的变形。§2 - 5拉伸和压缩时材料的力学性质材料的力学性质是指材料受外力作用后，在强度和变形方面所表现出来的特性，也可称 为机械性质。例如外力和变形的关系是怎样的，材料的弹性常数 E、ν 等如何测定，材料的 极限应力有多大等等。 材料的力学性质不仅和材料内部的成分和组织结构有关，还受到加载 速度、温度、受力状态以及周围介质的影响。本节主要介绍在常温和静荷载(缓慢平稳加载) 作用下处于轴向拉伸和压缩时材料的力学性质，这是材料最基本的力学性质。一、拉伸时材料的力学性质1. 低碳钢的拉伸试验 低碳钢是含碳量较低（在 0.25%以下）的普通碳素钢，例如 Q235 钢，是工程上广泛使 用的材料，它在拉伸试验时的力学性质较为 典型，因此将着重加以介绍。 材料的力学 性质与试样 的几何尺寸 有 关。为了便于比较试验结果，应将材料制成 标准试样 (standard specimen)。 图 2-8 标准试样—14—对金属材料有两种标准试样。一种是圆截面试样，如图 2-8 所示。在试样中部 A，B 之 间的长度 l 称为标距，试验时用仪表测量该段的伸长。标距 l 与标距内横截面直径 d 的关系为 l =10 d 或 l =5 d 。另一种为矩形截面试样，标距 l 与横截面面积 A 的关系为l =11.3 A ，或 l =5.65 A 。 试验时，将试样安装在万能试验机上，然后 均匀缓慢地加载（应力速率在 3～30ＭPａ/s 之 间） ，使试样拉伸直至断裂。试验机自动绘制的 试样所受荷载与变形的关系曲线，即 F-Δ l 曲 线，称为拉伸图，如图 2-9 所示。为了消除试样 尺寸的影响， 将拉力 F 除以试样的原横截面面积 A，伸长Δ l 除以原标距 l ，得到材料的应力应变 图，即σ -ε 图，如图 2-10 所示。试 验机上可自 动记录打印出应力应变图。 这一图形与拉伸图的 图形相似。从拉伸图和 应力－应变图以及试 图 2-9 低碳钢拉伸图 样的变形现象，可确定低碳钢的下列力学特性。 （1）拉伸过程的各个阶段及特性点 整个拉伸过程大致可分为四个阶段： 弹性阶段（Ⅰ ） 当试样中的应力不超 过图 2-10 中 b 点的应力时， 试样的变形是弹 性的。在这个阶段内，当卸去荷载后，变形 完全消失。b 点对应的应力为弹性阶段的应 力最高限，称为弹性极限 （elastic limit） ， 用 σ e 表示。在弹性阶段内，oa 线为直 线， 这表示应力和应变（或拉力和伸长变 形）成 线性关系，即材料服从胡克定律。a 点的应 力为线弹性阶段的应力最高限，称为比例极 限 （proportional limit） ，用 σp表示。既然图 2-10 低碳钢σ -ε 图在 oa 范围内材料服从胡克定律，那么就可以利用(2-4)式或(2-3)式在这段范围内确定材料的 弹性模量 E。 试验结果表明， 材料的弹性极限和比例极限数值上非常接近， 故工程上对它们往往不加 区分。 屈服阶段（Ⅱ ） 此阶段亦称为流动阶段。当增加荷载使应力超过弹性极限后，变形增 加较快，而应力不增加或产生波动，在σ -ε 曲线上或 F-△ l 曲线上呈锯齿形线段，这种现 象称为材料的屈服（yield）或流动。在屈服阶段内，若卸去荷载，则变形不能完全消失。这 种不能消失的变形即为塑性变形 (plastic deformation)或称残余变形(residual deformation)。 材 料具有塑性变形的性质称为塑性。 试验表明， 低碳钢在屈服阶段内所产生的应变约为弹性极 限时应变的 15～20 倍。当材料屈服时，在抛光的试样表面能观察到两组与试样轴线成 45° 的正交细条纹，这些条纹称为滑移线。这种现象的产生，是由于拉伸试样中，与杆轴线成 45°的斜面上，存在着数值最大的切应力。当拉力增加到一定数值后，最大切应力超过了某 一临界值，造成材料内部晶格在 45°斜面上产生相互间的滑移。由于滑移，材料暂时失去 了继续承受外力的能力，因此变形增加的同时，应力不会增加甚至减少。由试验得知，屈服 阶段内最高点（上屈服点）的应力很不稳定，而最低点 c（下屈服点）所对应的应力较为稳—15—定。故通常取最低点所对应的应力为材料屈服时的应力，称为屈服极限（yield limit） （屈服 点）或流动极限，用σ s 表示。 强化阶段（Ⅲ ） 试样屈服以后，内部组织结构发生了调整，重新获得了进一步承受外 力 的 能 力 ， 因 此要 使试 样 继 续 增 大 变 形， 必须 增 加 外 力 ， 这 种现 象称 为 材 料 的 强 化 (strengthening)。在强化阶段中，试样主要产生塑性变形，而且随着外力的增加，塑性变形 量显著地增加。 这一阶段的最高点 d 所对应的应力称为强度极限(strength limit)， σ b 表示。 用 破坏阶段（Ⅳ） 从 d 点以后，试样在某一薄弱区域内的伸长急剧增加，试样横截面在 这薄弱区域内显著缩小，形成了“ 颈缩” (necking)现象，如图 2-11 所示。由于试样“ 颈 缩” ， 使试样继续变形所需的拉力迅速减小。 因 此，F-Δ l 和σ -ε 曲线出现下降现象。最后 图 2-11 试样颈缩 试样在最小截面处被拉断。 材料的比例极限σ p(或弹性极限σ e)、屈服极限σ s 及强度极限σ b 都是特性点应力，它 们在材料力学的概念和计算中有重要意义。 （2）材料的塑性指标 试样断裂之后，弹性变形消失，塑性变形则留存在试样中不 会消失。试样的标距由原来的 l 伸长为 l 1，断口处的横截面面积由原来的 A 缩小为 A1。工程 中常用试样拉断后保留的塑性变形大小作为衡量材料塑性的指标。常用的塑性指标有两种， 即 延伸率（断后伸长率）δ =l1 ? l ×100% l断面收缩率ψ =A ? A1 ×100% A工程中一般将δ ≥ 5%的材料称为塑性材料(ductile materials)，δ ＜5%的材料称为脆性材料 (brittle materials)。低碳钢的延伸率大约在 25%左右，故为塑性材料。 （3）应变硬化现象 在材料的强化阶段中，如果卸去荷载，则卸载时拉力和变形之间 仍为线性关系， 如图 2-9 中的虚线 BA。 由图可见， 试样在强化阶段的变形包括弹性变形Δ l e 和塑形变形Δ l P 。如卸载后重新加载，则拉力和变形之间大致仍按 AB 直线变化，直到 B 点 后再按原曲线 BD 变化。将 OBD 曲线和 ABD 曲线比较后看出，①卸载后重新加载时，材料 的比例极限提高了（由原来的σ p 提高到 B 点所对应的应力） ，而且不再有屈服现象；②拉 断后的塑性变形减少了（即拉断后的残余伸长由原来的 OC 减小为 AC） 。这一现象称为应变 硬化现象，工程上称为冷作硬化现象。 材料经过冷作硬化处理后，其比例极限提高，表明材料的强度可以提高，这是有利的 一面。例如钢筋混凝土梁中所用的钢筋，常预先经过冷拉处理，起重机用的钢索也常预先进 行冷拉。但另一方面，材料经冷作硬化处理后，其塑性降低，这在许多情况下又是不利的。 例如机器上的零件经冷加工后易变硬变脆，使用中容易断裂；在冲孔等工艺中，零件的孔口 附近材料变脆，使用时孔口附近也容易开裂。因此需对这些零件“ 退火” 处理，以消除冷作 硬化的影响。 2. 其它塑性材料拉伸时的力学性质 图 2-12 给出了 5 种金属材料在拉伸时的应力-应变曲线。由图可见，这 5 种材料的延伸 率都比较大(δ ＞5%)。45 号钢和 Q235 钢的应力-应变曲线大体相似，有弹性阶段、屈服阶—16—段和强化阶段。其它 3 种材料都没有明显的屈服阶段。对于没有明显屈服阶段的塑性材料， 通常以产生 0.2%的塑性应变时的应力作为屈服极限， 称为条件屈服极限 (offset yield stress)， 或称为规定非比例伸长应力，用 σ p0.2 表示，也有用 σ 0.2 表示的，如图 2-13 所示。图 2-12 塑性材料σ -ε 曲线 3．铸铁的拉伸试验 图 2-14 为灰口铸铁拉伸时的应力-应变曲线。从图中可看出：图 2-13 条件屈服应力图 2-14 灰口铸铁拉伸σ -ε 曲线（1）应力-应变曲线上没有明显的直线段，即材料不服从胡克定律。但直至试样拉断为 止，曲线的曲率都很小。因此，在工程上，曲线的绝大部分可用一割线(如图中虚线)代替， 在这段范围内，认为材料近似服从胡克定律。 （2）变形很小，拉断后的残余变形只有 0.5%～0.6%，故为脆性材料。 （3）没有屈服阶段和“ 颈缩” 现象。唯一的强度指标是拉断时的应力，即强度极限 σb， 但强度极限很低，所以不宜作为拉伸构件的材料。二、压缩时材料的力学性质1．低碳钢的压缩试验 低碳钢压缩试验采用短圆柱体试样，试样高度和直径关系为 l=(1.5～3.0)d。试验得到低 碳钢压缩时的应力-应变曲线如图 2-15(a)所示。试验结果表明： （1）低碳钢压缩时的比例极限σ p、屈服极限σ s 及弹性模量 E 都与拉伸时基本相同。—17—图 2-15 低碳钢压缩特性 （2）当应力超过屈服极限之后，压缩试样产生很大的塑性变形，愈压愈扁，横截面面 积不断增大，如图 2-15（b）所示。虽然名义应力不断增加，但实际应力并不增加，故试样 不会断裂，无法得到压缩的强度极限。 2．铸铁的压缩试验 铸铁压缩试验也采用短圆柱体试样。灰口铸铁压缩时的应力-应变曲线和试样破坏情况 如图 2-16（a）和（b）所示。试验结果表明： （1）和拉伸试验相似，应力-应变曲线上没有直线段，材料只近似服从胡克定律。 （2）没有屈服阶段。图 2-16 灰口铸铁压缩 （3）和拉伸相比，破坏后的轴向应变较大，约为 5%～10%。 （4）试样沿着与横截面大约成 55°的斜截面剪断。通常以试样剪断时横截面上的正应 力作为强度极限 σ b 。铸铁压缩强度极限比拉伸强度极限高 4～5 倍。 3．混凝土的压缩试验 混凝土构件一般用以承受压力， 故混凝土常需做压缩试验以了解 压缩时的力学性质。 混 凝土试样常用边长为 150mm 的立方块。 试样成型后， 在标准养护条件下养护 28 天后进行试 验。 混凝土的抗压强度与试验方法有密切关系。 在压缩试验中， 若试样上下两端面不加减摩 剂，由于两端面与试验机加力面之间的摩擦力，使得试样横向变形受到阻碍，提高了抗压强 度。随着压力的增加，中部四周逐渐剥落，最后试样剩下两个相连的截顶角锥体而破坏，如 图 2-17(a)所示。若在两个端面加润滑剂，则减少了两端面间的摩擦力，使试样易于横向变 形，因而降低了抗压强度。最后试样沿纵向开裂而破坏，如图 2-17（b）所示。—18—图 2-17 混凝土压缩破坏 图 2-18 混凝土压缩全曲线 标准的压缩试验是在试样的两端面之间不加减摩剂。试验得到混凝土的压缩应力-应变 曲线如图 2-18 所示。但是一般在普通的试验机上做试验时，只能得到 OA 曲线。在这一范 围内，当荷载较小时，应力-应变曲线接近直线；继续增加荷载后，应力-应变关系为曲线； 直至加载到材料破坏，得到混凝土受压的强度极限 σ b 。 根据近代的试验研究发现， 若采 用控制变形速率的加载装置、 伺服试验机或刚度很大的 试验机，可以得到应力-应变曲线上强度极限以后的下降段 AC。在 AC 段范围内，试样变形 不断增大，但承受压力的能力逐渐减小，这一现象称为材料的软化。整个曲线 OAC 称为应 力-应变全曲线，它对混凝土结构的应力和变形分析有重要意义。 用试验方法同样可得到混凝土的拉伸强度以及拉伸应力-应变全曲线，混凝土受拉时也 存在材料的软化现象。 4．木材的压缩试验图 2-19 木材压缩特性 木材顺纹方向和横纹方向压缩 时，得到不同的应力-应变曲线，如图 2-19 所示。木材 沿顺纹方向压缩时的强度极限比横纹方向压缩时的强度极限大得多； 在荷载和横截面尺寸相 同的条件下，顺纹方向压缩时的变形比横纹方向压缩时的变形小得多。因此，木材为各向异 性材料。 木材的拉伸强度极限也同样可由试验方法得到， 其顺纹强度极限和横纹强度极限差异更 为显著。 表 2-2 给出工程上几种常用材料在拉伸和压缩时的部分力学性质。—19—表 2-2 材料名称或 牌号 Q235 钢 Q274 钢 35 号钢 45 号钢 15Mn 钢 16Mn 钢 灰口铸铁 球墨铸铁 有机玻璃 红松（顺纹） 普通混凝土几种常用材料在拉伸和压缩时的力学性质(常温、静荷载) 屈服极限 σ s(MPa) 216~235 255~274 310 350 300 270~340 520 470~510 150~370 290~420 390~600 755 98 0.3~1 520 470~510 600~1300 ≥ 1568 ＞130 ≈ 33 2.5~80 强度极限(MPa) 塑性指标?σ+ b380~470 490~608 530σ b380~470 490~608 530δ (%)24~27 19~21 20 16 23 16~21 0.5~0.6 1.5~10ψ (%)60~70 45 40 50 45~60三、塑性材料和脆性材料的比较从以上介绍的各种材料的试验结果看出， 塑性材料和脆性材料在常温和静荷载下的力学 性质有很大差别，现简单地加以比较。 （1）塑性材料的抗拉强度比脆性材料的抗拉强度高，故塑性材料一般用来制成受拉杆 件；脆性材料的抗压强度比抗拉强度高，故一般用来制成受压构件，而且成本较低。 （2）塑性材料能产生较大的塑性变形，而脆性材料的变形较小。要使塑性材料破坏需 消耗较大的能量，因此这种材料承受冲击 的能力较好；因为材料抵抗冲击能力的大 小决定于它能吸收多大的动能。此外，在 结构安装时，常常要校正构件的不正确尺 寸，塑性材料可以产生较大的变形而不破 坏；脆性材料则往往会由此引起断裂。 （3）当构件中存在应力集中时，塑性 材料对 应力 集中的 敏感 性较小 。例 如图 2-20(a)所示有圆孔的拉杆，由塑性材料制 成。当孔边的最大应力达到材料的屈服极 限时，若 再增加拉力，则该处应力不增 加，而该截 面上其它各点处的应力将逐渐增加至材料 图 2-20 塑性材料孔口应力的变化 的屈服极限，使截面上的应力趋向平均(未考虑材料的强化)，如图 2-20(b)、(c)所示。这样， 杆所能承受的最大荷载和无圆孔时相比，不会降低很多。但脆性材料由于没有屈服阶段，当 孔边最大应力达到材料的强度极限时，局部就要开裂；若再增加拉力，裂纹就会扩展，并导 致杆件断裂。 必须指出，材料的塑性或脆性，实际上与工作温度、变形速度、受力状态等因素有关。 例如低碳钢在常温下表现为塑性，但在低温下表现为脆性；石料通常认为是脆性材料，但在 各向受压的情况下，却表现出很好的塑性。—20—§2 - 6几种新材料的力学性质简介二十世纪六十年代以来， 以复合材料、 高分子材料等为代表的新型材料在很多工程领域 得到日益广泛的应用， 这些新材料的力学性能和相关的设计准则， 是广大工程技术人员非常 关心、迫切需要了解的问题。一、复合材料复合材料是指两种或两种以上互不相溶(熔)的材料通过一定的方式组合成一种新型的 材料。近年来，纤维增强复合材料(fiber-reinforced composite materials)在工程中的应用迅速 增长。纤维增强复合材料是以韧性好的金属、塑料或混凝土为基体将纤维材料嵌固其中，二 者牢固地粘结成整体。如玻璃钢，加纤混凝土等。 由于纤维材料的嵌入， 将使材料的性能有极明显的改善。 例如碳纤维增强的环氧树脂基 体复合材料，其弹性模量比基体材料可提高约 60 倍，强度可提高约 30 倍。 纤维增强复合材料不同于金属等各向同性材料，它具有极明显的各向异性。 在平行于纤 维的方向“ 增强” 效应极其明显，而在垂直于纤维方向则不显著。所以在制造时常常采用叠 层结构，其中每一层的纤维都按一定要求的方向铺设（图 2-21） 。图 2-21 复合材料的弹性模量不仅与基体和纤维材料的弹性模量有关， 而且与这两种材料的体积 比有关。 纤维按同一方向排列时的单层玻璃钢， 沿纤维方向拉伸的应力-应变曲线如图 2-21(c) 所示。由图可见，其σ 与ε 基本上是线弹性关系。 复合材料沿纤维方向的弹性模量可由并联模型得到。 即将复合材料杆中两种材料归结为 长度相同、横截面面积不同的两根并联的直杆，在轴向荷载的作用下，两杆具有相同的伸长 量。由此可推出，单层复合材料沿纤维方向的弹性模量为：E = E f V f + E m (1 ? V f )其中： E f 为纤维材料的弹性模量； E m 为基体材料的弹性模量； V f 为纤维材料的体积与总 体积之比。 在以上分析中， 没有考虑纤维材料与基体材料横向变形的影响。 当二者的泊松比不 同时， 在二者的交界面上将会产生横向正应力。 应用能量原理可以证明， 此时的复合弹性模量会比 按上式计算的结果稍大。 对于纤维排列方向不同和应力方向与纤维方向不同时复合材料的力学性能， 可参阅有关 的教材和复合材料力学的专著。—21—二、粘弹性材料高分子材料（又称聚合物）是一种新兴的工程材料，包括橡校、塑料、化纤、粘接剂等。 它具有重量轻、 耐腐蚀、 价格便宜、 便于加工等优点， 因此在工程中得到越来越广泛的应用。 目前全世界聚合物的产量，在体积上已与钢产量相当。聚合物所具有的一些独特性能，如橡 胶的高弹性和粘结剂的高粘结性等，是其它材料无法比拟的。 如钢铁等常规工程材料，在常温下其应力-应 变关系与时间无关，其弹性模量 E 为常数。而聚 合物的应力-应变关系都与时间有关，这种性质称 为粘弹性 (viscoelasticity)。 聚合物在荷载作用下， 将产生明显的粘弹性变形，是一种介于弹性和粘 性之间的变形行为。 粘弹性材料的应力是应变与 时间的函数，即：σ = f (ε , t )若应力与应变、时间的关系可简化为如下关系：σ =ε ? f (t )图 2-22 弹性与粘弹性应力-应变关系即 为 线 性 粘 弹 性 (linear viscoelasticity) ， 如 不 能 简 化 ， 则 为 非 线 性 粘 弹 性 (nonlinear viscoelasticity)。 弹性、线性粘弹性与非线性粘弹性的应力-应变关系可由图 2-22 说明。由图可见，对于 粘弹性材料，当应力保持不变时，应变随时间的增加而增加，这种现象称为蠕变 (creep)。 当应变保持不变时，应力将随时间的增加而减小，这种现象称为松驰(relaxation)。 需要指出的是，一般线弹性材料在较高的温度下也会出现蠕变与松驰。所不同的是，粘 弹性材料在一般环境温度下便会产生这两种效应。 此外，粘弹性材料的应力-应变-时间关系还具有温度敏感性，即与温度有关。§2 - 7拉压杆件的强度计算由式(2-1)可求出拉(压)杆横截面上的正应力，这种应力称为工作应力。但仅有工作应力 并不能判断杆件是否会因强度不足而发生失效。 只有将杆件的最大工作应力与材料的强度指 标联系起来，才有可能作出判断。一、容许应力和安全因数由第 5 节中材料的拉伸和压缩试验得知， 当脆性材料的应力达到强度极限时， 材料将会 破坏(拉断或剪断)；当塑性材料的应力达到屈服极限时，材料将产生较大的塑性变形。工程 上的构件，既不允许破坏，也不允许产生较大的塑性变形。因为较大塑性变形的出现，将改 变原来的设计状态，往往会影响杆件的正常工作。因此，将脆性材料的强度极限σ b 和塑性 材料的屈服极限 σ (或 σs 0.2)作为材料的极限正应力，用 σ u 表示。要保证杆件安全而正常地工作，其最大工作应力不能超过材料的极限应力 (limit stress)。但是，考虑到一些实际存 在的不利因素后，设计时不能使杆件的最大工作应力等于极限应力，而必须小于极限应力。 这些不利因素主要有： —22—（1）计算荷载难以估计准确，因而杆件中实际产生的最大工作应力可能超过计算出的—23—数值； （2）计算时所作的简化不完全符合实际情况； （3）实际的材料与杆准试件材料的差异，因此，实际的极限应力往往小于试验所得的 结果； （4） 其它因素如杆件的尺寸由于制造等原因引起的不准确， 加工过程中杆件受到损伤， 杆件长期使用受到磨损或材料老化、腐蚀等等。 此外，还要给杆件必要的强度储备。 因此，工程上将极限正应力除以一个大于 1 的安全因数 (safety factor)n，作为材料的容 许正应力，即[σ ] =对于脆性材料, σ =σu n0.2(2-6)uσ b ，对于塑性材料， σ u = σ b (或 σ)。安全因数 n 的选取，除了需要考虑前述因素外，还要考虑其它很多因素。例如工程的重 要性， 杆件失效所引起后果的严重性以及经济效益等。 因此， 要根据实际情况选取安全因数。 在通常情况下，对静荷载问题，塑性材料一般取 n=1.5～2.0，脆性材料一般取 n=2.0～2.5。 几种常用材料的容许正应力的数值列于表 2-3。表 2-3 材料名称 低碳钢 合金钢 口铸铁 松木 混凝土 顺纹 横纹 几种常用材料的容许正应力值 容许应力值(MPa) 容许拉应力[σ t] 170 230 34~54 6~8 0.4~0.7 容许压应力[σ c] 170 低 230 灰 160~200 9~11 1.5~2 7~11二、强度条件和强度计算对于等截面直杆，内力最大的横截面称为危险截面， 危险截面上应力最大的点就是危险 点。拉压杆件危险点处的最大工作应力由式(2-1)计算，当该点的最大工作应力不超过材料的 容许正应力时，就能保证杆件正常工作。 因此，等截面拉压直杆的强度条件为σmax=FN max ≤ [σ ] A（2-7）式中 FN max 为杆的最大轴力，即危险截面上的轴力。利用(2-7)式，可以进行三方面的强度计 算： （1）校核强度 当杆的横截面面积 A、材料的容许正应力［σ ］及杆所受荷载为已知 时，可由（2-7）式校核杆的最大工作应力是否满足强度条件的要求。如杆的最大工作应力 超过了容许应力，工程上规定，只要超过的部分在容许应力的 5%以内，仍可以认为杆是安 全的。—24—（2）设计截面 当杆所受荷载及材料的容许正应力［σ ］为已知时，可由（2-7）式选 择杆所需的横截面面积，即A≥FN max [σ ]再根据不同的截面形状，确定截面的尺寸。 （3） 求容许荷载 当杆的横截面面积 A 及材料的容许正应力 σ ］ ［ 为已知时， 可由(2-7) 式求出杆所容许产生的最大轴力为FN max ≤ A［ σ ］ 再由此可确定杆所容许承受的荷载。 例 2-5 图 2-23 所示用两根钢索吊起一扇平面闸门。已知闸门的启门力共为 60kN，钢 索材料的容许拉应力［σ ］=160MPa，试求钢索所需的直径 d。 解 每根钢索的轴力为FN = 30kN由强度条件(2-7)式，得F 30 ×10 3 N 1 A = πd 2 ≥ N = 4 [σ ] 160 ×10 6 Pa故 d≥ 15.5mm图 2-23 例 2-5 图图 2-24 例 2-6 图例 2-6 一墙体的剖面如图 2-24 所示。已知墙体材料的容许压应力［ σ c ］墙=1.2MPa， 容重ρ g=16kN/m3；地基的容许压应力［ σ ］ =0.5MPa。试求墙上段每米长度上的容许荷 c 墙 载 q 及下段墙的厚度。 解 取 1m 长的墙进行计算。对于上段墙，由(2-7)式，得σmx=FN q + ρgA1l1 ≤ [σ ]墙 = A1 A—25—代入已知数据后，得到容许荷载为q = A1 [σ ]墙 ? ρgl1） 0.38 ×1m （ = × 1.2 ×10 6 Pa ? 16 ×10 3 N / m 3 × 2m） （ = 443.8kN / m对于下段墙，最大压应力发生在底部。但地基的容许压应力小于墙的容许压应力，所以 应根据地基的容许压应力进行计算。由(2-7)式，得σmax=q + ρgA1l1 + ρgA2 l 2 A2≤ ［σ ］地代入已知数据后，得到A2 ≥q + ρgl1 443.8 ×10 3 N + 16 ×10 3 N / m 3 × 0.38m ×1m × 2m = = 0.97m 2 6 3 3 [σ 地 ? ρgl ] 0.5 ×10 Pa ? 16 ×10 N / m ×22m因为取 1m 长的墙计算，所以下段墙的厚度为 0.97m。§2 - 8拉压超静定问题在前面讨论的轴向拉压问题中， 其约束力或轴力均可由静力平衡方程求出， 这类问题称 为静定问题。在实际工程中，有时约束力或轴力并不能仅由静力平衡方程解出，这类问题称 为超静定问题。 在超静定问题中，都存在多于维持平衡所必需的约束，习惯上称其为“ 多余” 约束 (redundant constraint)，这种“ 多余” 只是对保证结构的平衡及几何不变性而言的，但可以提 高结构的强度和刚度。由于多余约束的存在，未知力的数目必然多于独立平衡方程的数目。 未知力个数与独立平衡方程数的差，称为超静定次数。 多余约束使结构由静定变为超静定，因而不能仅由静力平衡求解。但是，多余约束对结 构(或构件)的变形起着一定的限制作用，而结构(或构件)的变形又是与受力密切相关的，这 就为求解超静定问题提供了补充条件。 因此在求解超静定问题时， 除了根据静力平衡条件列 出平衡方程外，还必须根据变形的几何相容条件建立变形协调关系(或称变形协调条件)，进 而根据弹性范围内力与变形的关系(即物理条件)建立补充方程。将静力平衡方程与补充方程 联立求解，就可解出全部未知力。 可见，求解超静定问题需要综合考虑平衡、变形和物理三方面条件，这是分析超静定问 题的基本方法。下面通过例题来说明拉压超静定杆的解法。 例 2-7 图 2-25 示一两端固定的等直杆 AB，在截面 C 上受轴向力 F，杆的拉压刚度为 EA，试求两端反力。图 2-25 例 2-7 图 解 杆 AB 为轴向拉压杆，故两端的约束反力也均沿轴向，独立平衡方程只有一个，故—26—为一次超静定问题，所以需建立一个补充方程。 静力平衡方程为FA + FB = F（a）为建立补充方程，需要先分析变形协调关系。AB 杆在荷载与约束力的作用下，AC 段和 CB 段均发生轴向变形，但由于两端固定，杆的总变形量必须等于零，即? l AB = ? l AC + ? l CB = 0这就是变形协调关系式。 再根据胡克定律，即式(2-3)，各段的轴力与变形的关系为（b）? l AC =FNAC a FA a = ,?l EA EACB=FNCB b Fb =? B EA EA(c)将式(c)代入式(b)，得补充方程为FA a FBb ? =0 EA EA最后，由式(a)、式(d)，即可解出两端的约束反力(d)Fa FA = Fb , F b = a+ b a+ b§2 - 9 拉(压)杆联接件的强度 计算工程中的拉压杆件有时是由几部分联接而成的。 在联接部位，一般要有起联接作用的部 件， 这种部件称为联接件 (connections)。 例如图 2-26a 所示两块钢板用铆钉(也可用螺栓或销 钉)联接成一根拉杆，其中的铆钉(螺栓或销钉)就是联接件。图 2-26 联接和联接件 为了保证联接后的杆件或构件能够安 全地工作， 除杆件或构件整体必需满足强度、 刚度 和稳定性的要求外，联接件本身也应具有足够的强度。 铆钉、螺栓等联接件的主要受力和 变形特点如图 2-26b 所示。作用在联接件两侧面上的 一对外力的合力大小相等，均为 F，而方向相反，作用线相距很近；并使各自作用的部分沿 着与合力作 用线平行的 截面 m-m( 称为剪切面 ) 发生相对错 动。这种变 形称为 剪切变 形 (shearing deformation)。它与§1-3 中所讲述的拉压、扭转、弯曲等变形均不相同。 联接件本身不是细长直杆， 其受力和变形情况很复杂，因而要精确地分析计算其内力和 应力很困难。工程上对联接件通常是根据其实际破坏的主要形态， 对其内力和相应的应力分 —27— 布作一些合理的简化，并采用实用计算法 (method of utility calculation)计算出各种相应的名义应力， 作为强度计算中的工作应力。 而材料的容许应力， 则是通过对联接件进行破坏试验， 并用相同的计算方法由破坏荷载计算出各种极限应力， 再除以相应的安全因数而获得。 实践 证明，只要简化得当，并有充分的实验依据，按这种实用计算法得到的工作应力和容许应力 建立起来的强度条件，在工程上是可以应用的。 下面以铆接拉杆作为典型，进行强度计算分析。一、简单铆接接头如图 2-27a 所示的铆接接头，是用一个铆钉将两块钢板以搭接形式联接成一拉杆。两块 钢板通过铆钉相互传递作用力。这种接头可能有三种破坏形式：(1)铆钉沿横截面剪断，称 为剪切破坏；(2)铆钉与板孔壁相互挤压而在铆钉柱表面和孔壁柱面的局部范围内发生显著 的塑性变形，称为挤压 (bearing)破坏；(3)板在钉孔位置由于截面削则被拉断，称为拉断破 坏。因此，在铆接强度计算中，对这三种可能的破坏情况均应考虑。图 2-27 搭接铆接接头剪切强度计算 1．剪切强度计算 在图 2-27a 示的联接情况下，铆钉的受力情况如图 2-27b 所示。应用截面法，可求得铆 钉中间横截面的内力为剪力 FQ。这个横截面就是剪切面 (shear surface)。铆钉将可能沿这个 横截面发生剪切破坏。由铆钉上半部或下半部的平衡方程可求得 FQ＝F (2-8) 在联接件的实用计算中，假定剪切面上只有切应力且均匀分布，因此，剪切面上的名义 切应力为 τ =FQ/AQ (2-9) 2 式中 AQ 为剪切面面积。若铆钉直径为 d，则 AQ＝π d /4。 为使铆钉不发生剪切破坏，要求FQ τ = ≤ ［τ ］ AQ(2-10)这就是铆钉的剪切强度条件。式中［τ ］为铆钉的容许切应力。如将铆钉按上述实际受 力情况进行剪切破坏试验，量测出铆钉在剪断时的极限荷载 Fu，并由(2-8)和(2-9)式计算出 铆钉剪切破坏的极限切应力τ u， 再除以安全因数 n， 就可得到 τ ］ 对于钢材， ［ 。 通常取 τ ］ ［ =(0.～0.8)［σ ］ 在这种搭接联接中，铆钉的剪切面只有一个，故称为单剪 。 (single shearing)。—28—2．挤压强度计算 在如图 2-27a 所示的联接情况下。 铆钉柱面和板的孔壁面上将因相互压紧而产生挤压力Fbs ，从而在相互压紧的范围内引起挤压应力 σbs。挤压力 Fbs 也可由铆钉上半部或下半部，或一块钢板的平衡方程求得Fbs = F(2-11)挤压应力的实际分布情况比较复杂。 根据理论和试验分析的结果， 半个铆钉圆柱面与孔 壁柱面间挤压应力的分布大致如图 2-27c 所示。分析结果又表明，如果以铆钉或孔的直径面 面积即铆钉直径与板厚的乘积作为假想的挤压面积 Abs ，则该截面上均匀分布的挤压应力为σbs= Fbs / Abs(2-12)它与实际挤压面上的最大挤压应力在数值上相近。因此，就以(2-12)式计算出的挤压应力作 为实用计算中的名义挤压应力。 若铆钉的直径为 d， 板的厚度为δ ，（2-12） 则 式中的 Abs = dδ 。 为使铆钉或孔壁不发生挤压破坏，要求 σ = bsFbs A bsbs(2-13) ］为容许挤压应力。 σ ［ ］也可由通过挤这就是铆接的挤压强度条件。式中［ σ 压 破坏试验得到的极限挤压应力 σubsbs除以安全因数 n 得到。对于钢材而言，通常取［ σbs］为 容许正应力［σ ］的 1.7～2.0 倍。 当铆钉与板的材料不相同时，应对［ σ 3．拉伸强度计算 在图 2-27a 所示的联接情况下，板中有一铆钉孔，板的横截面面积在钉孔上受到削弱， 并以钉孔直径处的横截面面积为最小。故该横截面为板的危险截面。 假想将板在该截面处截 开，则板的受力情况如图 2-27d 所示。根据平衡方程，可以求出该截面的轴力为bs］较小者进行挤压强度计算。FN = F为(2-14)在实用计算中， 假定该截面的拉应力是均匀分布的， 因此可计算出该截面的名义拉应力σ t = FN / At(2-15)式中 At 为板的受拉面面积。若铆钉直径为 d，板的厚度为δ ，宽度为 b，则 At = (b ? d )δ 。为使板在该截面不发生拉断破坏，要求σ= tFN ≤ ［σ t ］ At(2-16)—29—这就是铆接的拉伸强度条件。式中［ σ t ］为板的容许拉应力。 为保证铆接接头的强度，应同时满足强度条件(2-10)、(2-13)和(2-16)。根据这三个强度 条件可校核铆接接头的强度、设计铆钉直径和计算容许荷载。图 2-28 对接铆接接头 如图 2-28a 所示的铆接接头，是在上、下各加一块盖板，左、右各用一个铆钉，将对置 的两块钢板联接起来。两被联接的钢板称为主板。两主板通过铆钉及盖板相互传递作用力。 在这种对接联接中，任一铆钉的受力情况如图 2-28b 所示。它有两个剪切面，称为〗双 剪 (double shearing)。在实用计算中，假定两个剪切面上的剪力相等，均为 FQ=F/2。 对接 联接中，主板的厚度δ 通常小于两盖板厚度δ 1 之和，即δ ＜2δ 1，因而需要校核 铆钉中段圆柱面与主板孔壁间的相互挤压。同时，由于δ ＜2δ 1，故只需计算主板的拉伸强 度。二、铆钉群接头如果搭接接头每块板或对接接头的每块主板中的铆钉超过一个， 这种接头就称为铆钉群 接头。在铆钉群接头中，各铆钉的直径通常相等，材料也相同，并按一定的规律排列。 如图 2-29a 所示的铆钉群接头， 是用 4 个铆钉将两块板以搭接形式联接； 外力 F 通过铆 钉群中心。对这种接头，通常假定外力均匀分配在每个铆钉上，即每个铆钉所受的外力均为 F/4。从而，各铆钉剪切面上名义切应力将相等；各铆钉柱面或板孔壁面上的名义挤压应力 也将相等。因此，可取任一钉作剪切强度计算；取任一铆钉柱面或孔壁 面作挤压强度计算。 具体方法可参照上述简单铆接情况进行。 但是，对这种接头进行板的拉伸强度计算时，要注意铆钉的实际排列情况。图 2-29a 所 示的接头，上面一块板的受力图和轴力图分别如图 2-29b 和 c 所示。该板的危险截面要综合 考虑钉孔削弱后的截面面积和轴力大小两个因素。 只要确定了危险截面并计算出板的最大名 义拉应力，则板的拉伸强度计算也可参照简单铆接情况进行。图 2-29 铆钉群接头—30—例 2-8 图 2-30a 示一对接铆接头。每边有 3 个铆钉，受轴向拉力 F=130kN 作用。已知 主板及盖板宽 b=110mm，主板厚δ ＝ 10mm，盖板厚 δ 1=7mm ，铆钉 直径 d=17mm。 材料的容许应力分别为 τ ］ ［ =120MPa， σ t ］=160MPa， σ ［ ［ =300MPa。试校核铆接头的强度。 解 由于主板所受外力 F 通过铆 钉群中心，故每个铆钉受力相等，均 匀 F/3。 由于对接， 铆钉受双剪， （2-10） 由 式，铆钉的剪切强度条件为bs］F / 3 ≤ ［τ ］ τ = 2 × πd 2 / 4将已知数据代入，得 图 2-30 例 2-8 图130 ×103 N / 3 = 95.5×10 6 N / M 2 = 95.5MPa ＜［τ ］ τ = 2 2 2 × π (0.017) m / 4所以铆钉的剪切强度是足够的。 由于δ ＜2δ 1，故需校核主板(或铆钉)中间段的挤压强度，由(2-13)式可知，强度条件为σ将已知数据代入，得bs=P/3 ≤ ［σ δbs］dσ=130 ×10 3 N / 3bs= 254.9 ×10 6 N / m 2 = 254.9MPa ＜［ σbs］0.01M × 0.017M所以挤压强度也是满足的。 主板的拉伸强度条件为σ t = FN / At ≤ ［ σ t ］作出右边主板的轴力图，如图 2-30b 所示。由图可见：在 1-1 截面上，轴力 FN 1 = F ，并只 被 1 个铆钉孔削弱， At1 = (b ? d )δ ；对 2-2 截面，轴力 FN 2 =2F ，但被两个钉孔削弱， 3At 2 = (b ? 2d )δ ,无法直观判断哪一个是危险截面，故应对两个截面都按式(2-16)进行拉伸 强度校核。由已知数据，求得这两个横截面上的拉伸应力为σ =t1FN1130 ×10 3 N == 139.8 ×10 6 N / m 2 = 139.8MPa ＜［ σ ］ tAN 1 FN 2 AN 1 =(0.11 ? 0.017)m × 0.01 2 ×130 ×10 3N / 3tσt=2= 114.0 ×10 N / m = 114.0MPa ＜［ σ ］6 2(0.11 ? 2 × 0.017)m × 0.01—31—所以主板的拉伸强度也是满足的。—32—思考题2-1 两根直杆，其横截面面积相同，长度相同，两端所受轴向外力也相同，而材料的 弹性模量不同。分析它们的内力、应力、应变、伸长是否相同。 2-2 有人说： 受力杆件的某一方向上有应力必有应变，有应变必有 “ 应力” 。此话对吗?为什么? 2-3 低碳钢试样，拉伸至强化阶段时，在拉伸图上如何量测其弹性 伸长量和塑性伸长量?当试样拉断后，又如何量测? 2-4 钢芯和铜套组成的直杆，两端的轴向荷载 F 通过刚性板加在杆 思考题 2-4 图 上，试分析横截面上的正应力分布规律及正应力与 F，E 钢，E 铜，d，D 的关系。 2-5 图示结构由 AB、BC 两杆组成，设两杆材料相 同，容许拉应力均为［σ ］ 。是否可按下式求容许荷载[F ] = AAB [σ ] cos 30 + ABC [σ ] cos 45 o o为什么? 2-6 挤压与压缩有何区别?为什么挤压容许应力比 容许压应力要大? 2-7 试指出图示零件的剪切面和挤压面。思考题 2-5 图思考题 2-7 图 2-8 图示阶梯状杆，其上端固定，下端与支座间有一微小距离δ 。已知上、下两段杆 的横截面面积分别为 A1 和 A2，材料的弹性模量为 E。试作图示荷载作用下杆的轴力图。思考题 2-8 图—33—习题2-1 求下列结构中指定杆内的应力。已知(a)图中杆的横截面面积 A1=A2=1150mm2；(b) 图中杆的横截面面积 A1=850mm2，A2=600mm2，A3=500mm2。题 2-1 图 2-2 求下列各杆内的最大正应力。 （1）图(a)为开槽拉杆，两端受力 F=14kN，b=20mm，b0=10mm，δ =4mm； （2）图(b)为阶梯形杆，AB 段杆横截面积为 80mm2，BC 段杆横截面积为 20mm2，CD 段杆横截面积为 120mm2； （3） 图(c)为变截面拉杆， 上段 AB 的横截面积为 40mm2， 下段 BC 的横截面积为 30mm2， 杆材料的ρ g=78kN/m3。题 2-2 图 2-3 一起重架由 100×100mm 的木杆 BC 和直径为 30mm 的钢拉杆 AB 组成，如图所示。现起吊一重物 W=40kN。求杆 AB 和 BC 中的正应力。 2-4 一直径为 15mm，标距为 200mm 的合金钢杆， 在比例极限内进行拉伸试验， 当轴向荷载从零缓慢地增加 到 58.4kN 时，杆伸长了 0.9mm，直径缩小了 0.022mm， 试确定材料的弹性模量 E、泊松比 ? 。2题 2-3 图2-5 一根承受轴向拉力的钢筋，原设计采用的材料为 Q274 号钢，其直径为 21mm。今 因仓库缺该材料，拟改用 Q235 号钢。库存 Q235 号钢筋的直径有φ =20mm、21mm、23mm、 25mm 可供选用。 已知 Q235 号钢的屈服极限σ s=235MPa， Q274 号钢的屈服极限σ s=274MPa， 在安全因数相同的条件下，试选择 Q235 号钢筋的合适直径。—34—2-6 图示短柱，上段为钢制，长 200mm，截面尺寸为 100×100mm2；下段为铝制，长 300mm，截面尺寸为 200×200mm2。当柱顶受 F 力作用时，柱子总长度减少了 0.4mm，试 求 F 值。已知 E 钢=200GPa，E 铝=70GPa。 2-7 图示等直杆 AC，材料的容重为ρ g，弹性模量为 E，横截面积为 A。求直杆 B 截 面的位移Δ B。题 2-6 图图 2-7 图2-8 图示结构中， 可视为刚性杆， 为钢杆， AB AD 面积 A1=500mm2， 弹性模量 E1=200GPa； 2 CG 为铜杆，面积 A2=1500mm ，弹性模量 E2=100GPa；BE 为木杆，面积 A3=3000mm2，弹 性模量 E3=10GPa。当 G 点处作用有 F=60kN 时，求该点的竖直位移Δ G。题 2-8 图题 2-9 图2-9 求图示圆锥形杆，在轴向力 F 作用下的伸长量。弹性模量为 E。 2-10 图示水塔结构，水和塔共重 W=400kN，同时还受侧向水平风力 F=100kN 作用。 若支杆①、②和③的容许压应力［σ c］=100MPa，容许拉应力［σ t］=140MPa，试求每根 支杆所需要的面积。题 2-10 图 2-11 图示一挡水墙示意图，其中 AB 杆支承着挡水墙，各部分尺寸均已示于图中。若 AB 杆为圆截面，材料为松木，其容许应力［σ ］=11MPa，试求 AB 杆所需的直径。—35—题 2-11 图 2-12 图示结构中的 CD 杆为刚性杆，AB 杆为钢杆，直径 d=30mm，容许应力［σ ］ =160MPa，弹性模量 E=2.0×105MPa。试求结构的容许荷载 F。 2-13 3m 高的正方形砖柱，边长为 0.4m，砌筑在高为 0.4m 的正方形块石底脚上。已 知砖的容重ρ 1g=16kN/m3，块石容重ρ 2g=20kN/m3。砖柱顶上受集中力 F=16kN 作用，地基 容许应力［σ ］=0.08MPa。试设计正方形块石底脚的边长 a。题 2-12 图题 2-13 图2-14 图示 AB 为刚性杆，长为 3a。A 端铰接于墙壁上，在 C、B 两处分别用同材料、 同面积的①、 ②两杆拉住， AB 杆保持水平。 D 点作用荷载 F 后， 使 在 求两杆内产生的应力。 设弹性模量为 E，横截面面积为 A。题 2-14 图题 2-15 图2-15 两端固定，长度为 l，横截面面积为 A，弹性模量为 E 的正方形杆，在 B、C 截 面处各受一 F 力作用。求 B、C 截面间的相对位移。 2-16 试校核图示销钉的剪切强度。已知 F=120kN，销钉直径 d=30mm，材料的容许应 力［τ ］=70MPa。若强度不够，应改用多大直径的销钉? 2-17 两块钢板塔接，铆钉直径为 25mm，排列如图所示。已知［τ ］=100MPa， σ ［bs］=280MPa，板①的容许应力［σ ］=160MPa，板②的容许应力［σ ］=140MPa，求拉力 F 的 许可值，如果铆钉排列次序相反，即自上而下，第一排是两个铆钉，第二排是三个铆钉，则—36—F 值如何改变?题 2-16 图题 2-17 图习题答案第一章返回总目录第三章—37—扭转是杆件的又一种基本变形。扭转时横截面上只有切应力，其变形为横截面之间绕 轴线作相对转动。本章着重介绍圆杆扭转时的应力、变形和强度、刚度计算。还介绍了切 应力互等定理。 对于非圆截面杆的扭转，本章只作简单介绍。 此外，本章对扭转时材料的力学性质和剪 切胡克定律也作了简要介绍。并给出了 E、G、ν 三者的关系式。第三章 扭§3 - 1 §3 - 2 概 述 圆杆扭转时的应力转一、横截面上的应力 二、极惯性矩和 扭转截面系数的计算 三、切应力互等 定理§3 - 3圆杆扭转时的变形·扭转超静定问题一、圆杆扭转时的变形 二、扭转超静定问题§3 - 4 §3 - 5扭转时材料的力学性能 扭转圆杆的强度计算和刚度计算一、强度计算 二、刚度计算§3 - 6非圆截面杆的扭转一、矩形截面杆的扭转 二、 开口薄壁截面杆的扭转—38—思考题 习题 习题 答案返回总目录—39—第三章§3 - 1扭概转述扭转是杆件的基本变形形式之一。 工程中有些杆件， 因承受作用平面垂直于杆轴线的力 偶作用，而发生扭转变形。通常将这种杆件称为轴(shaft)，如传动轴等。 本章主要分析圆截面杆的扭转。非圆截面杆受扭时，因不能用材料力学的理论求解，本 章仅介绍用弹性力学研究的结果。 由截面法不难知道，一般而言，受扭杆件的横截面上只有面内力矩这一种内力，称为扭 矩(torque)记为 M x 。其大小可按截面法由平衡方程求得，其正负号按右手法则确定，即 扭 矩矢量的正方向与横截面外法线方向一致的为正，反之为负。 与轴 力图的画法相似，根据控制截面的扭矩，可画出扭矩图。 工程上的传动轴，常常是已知它所传递的功率 P 和转速 n，并不直接给出轴上所作用的外力 偶矩。因此，首先要根据它所传递的功率和转速求出作用在轴上的外力偶矩。 力偶所作的功 W 等于力偶矩 T 和相应角位移α 的乘积，即 力偶矩在单位时间内所作的功，即功率 P 为W = TαP=式中ω 为角速度，单位为 rad/s，力偶矩 T 的单位为 N·m。若功率的单位为 kW，转速为转 /分(rpm)，因 1kW=1000N·m/s， 1rpm = 关系为W = Tω t2π rad/s，则由上式得外力偶矩与功率、转速的 60T=P(kW ) P P? = = 9.55 (kN ? m) ω n(rpm) 1000 n ? 2π / 60§3 - 2一、横截面上的应力圆杆扭转时的应力用截面法，只能求出圆杆横截面的内力——扭矩，现进一步研究圆杆横截面上的应力。 由于横截面上的扭矩只能由切向微内力τ dA 所组成，所以横截面上只有切应力。为了确定 横截面上的切应力分布规律，必须首先研究扭转时 杆的变形情况，得到变形的变化规律， 即变形的几 何关系，然后再利用物理关系和静力学关系综合进 行分析。 1．几何关系 取一圆杆，在表面上画一系列的圆周线和垂直 于圆周线的纵线，它们组成柱面矩形网格如图 3-1 图 3-1 扭转变形 所示。然后在其两端施加一对大小相等、转向相反的力偶矩 T，使其发生扭转。当变形很小 时，可以观察到：(1)变形后所有圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕杆的轴线 作 相对转动；(2)所有的纵线都转过了同一角度γ ，因而所有的矩形都变成了平行四边 形。 根据以上的表面现象去推测杆内部的变形，可作出如下假设：变形前为平面的横截面， —40— 变形后仍为平面，并如同刚片一样绕杆轴旋转，横截面上任一半径始终保持为直线。这一假设称为平截面假设或平面假设。 在上述假设的基础上，再研究微体的变形。从图 3-1 所示的杆中，截取长为 dx 的一段—41—杆，其扭转后的相对变形情况如图 3-2（a）所示。为了更清楚地表示杆的变形，再从微段 中截取一楔形微体 OO′abcd ，如图 3-2（b）所示。其中实线和虚线分别 表示变形前后的形状。由图可见，在 圆杆表面上的矩形 abcd 变为平行四 边形 abc′d ′ ，边长不变，但直角 改变 了一个 γ 角， γ 即为切应变。 在圆杆 内部，距圆心为 ρ 处的矩形也变为平 行四边形，其切应变为 γ ρ 。设 dx 段 左、右两截 面的相对扭 转角用半 径 O′c 转到 O′c′ 的角度 d? 表 示，则由 几何关系可以得到γρρ= tan γ=ef = ρd? dx dx图 3-2 微短圆轴扭转变形分析γ = ρ d? = ρ (a) ρ dx θ d? 式中 θ = 为单位长度杆的相对扭转角(relative angle of twist per unit length of the shaft)。 dx 对于同一横截面，θ 为一常量，故由(a)式可见，切应变 γ ρ 与ρ 成正比。或 2．物理关系 切应变是由于矩形的两侧相对错动而引起的， 发生在垂直于半径的方向， 所以与它对应 的切应力的方向也垂直于半径。由试验可知(见§3-4)，当杆只产生弹 性变形时，切应力和 切应变之间存在着如下关系 τ = Gγ (3-２) 这一关系称为剪切虎克定律(Hook′ s law in shear)。式中 G 为切变模量 (shear modulus)， 量纲与 E 相同，常用单位为 MPa 或 GPa。 G 值的大小因材料而异，可 由试验测定。 由(a)式和(3-2)式可得横截面上任一点处的切应力为τ由于同一截面的ρ= Gγρ=Gρρ 成正比， ρ 相同的圆周上各点处的切应力相同，切应力的方向垂直于半径。 3-3 示出实心圆杆横截面上的切应力分布 图 规律， 在圆杆周边上各点处的切应力具有相同的最大值， 在圆 心处τ =0。 (b)式虽确定了切应力的分布规律， 但d? 为常量， 可见横截面上各点处的切应力与 dxd? dx(b)无法计算切应力。因此，还需用静力学关系求解。d? 尚未确定，故 dx图 3-33．静力学关系 图 3-4 所示横截面上的扭矩 M x 是由无数个微面积 dA 上的微内力τ dA 对圆心 O 点的 力矩合成得到的，即扭转圆杆横截面上 切应力分布规律Mx =∫ ρτρdAA—42—式中 A 为横截面面积。将(b)式代入(c) 式，得（C）—43—Mx =∫? Gρ d2d?dA = G dx∫Aρ2(d)dx式中dA∫Aρ dA 只与横截面尺寸有关，用 I 表示，称为截面的极 P2惯性矩(polar moment of inertia)， 即图 3-4圆杆横截面应力的合成 (3-３)IP =4∫ρ dA2 A 4 4IP 的量纲为 L ，常用单位为 mm 或 m 。于是(d)式可改写成M d? = x dx GI P将(3-4)式代入(b)式，得到圆杆横截面上任一点处的切应力公式(3-4)τρ= τ令Mxρ IP = M IPxr IP r = MX WP(3-5)横截面上的最大切应力发生在ρ =r 处，其值为maxW=则(3-6)τmax(3-7)式中 WP 称为扭转截面系数 (section modulus of torsion)，它也只与横截面尺寸有关。WP 的量纲为 L ，常用单位为 mm 或 m 。3 3 3二、极惯性矩和扭转截面系数的计算1．实心圆截面 图 3-5（a）为一直径为 d 的实心圆截面。取微面积 dA = 2πρdρ 则由(3-3)式 及(3-6) 式得IP =∫ρ dA =2 A∫4d /2 0πd 4 2π dρ = 32 ρ3(3-8)W =IP = P r 2πd?(3-9)32 d—44—图 3-5圆截面的 I P 和 WP—45—2．空心圆截面 图 3-5(b)为一空心圆截面，内径为 d ，外径为 D 。设 α = d / D ，则D/2 π4 3 2π dρ = (1 ? α I P = ∫ ρ dA = ∫ d /2 A D 4 ρ ) 4 322(3-10)3 πD πD (3-11) (1 ? α (1 ? α 4 ) = 32 16 2 4 3．薄壁圆环截面 ) D 图 3-5（c）为一薄壁圆环截面，内、外径分别为 d 及 D 。设其平均直径为 d 0 ，平均半 径为 r0 ，壁厚为δ 。将 D = 2r0 + δ , d = 2r0 ? δ 分别代入(3-10)式和(3-11)WP =式，略去壁厚 δ 的二次方项后，得到I ≈ 2πr 3δ P 0 W ≈ 2πr 2δ P 0(3 ? 12) (3 ? 13)例 3-1 一直径为 50 mm 的传动轴如图 3-6（a）所示。 每分钟为 300 转的电动机通过 A 轮输入 100kＷ的功率，由 B，C 和 D 轮分别输出 45kＷ、25kＷ和 30kＷ以带动其它部件。 要求：(1)画轴的扭矩图，(2)求轴的最大应力。图 3-6例 3-1 图解 (1)作用在轮上的力偶矩可由(3-１)式计算得到，分别为扭矩图如图 3-6（b）所示。 (2)由扭矩图可知，最大扭矩发生在 AC 段内，｜ M x ｜max=1.75kN·m。因为传动轴为 等截面，故最大切应力发生在 AC 段内各横截面周边上各点处，其值由(3-９)式和(3７)式 计算得到3 πd 3.14 × (50)3 × 10 ? 9 m 3 = 24.5 × 10 ? 6 m 3 = 16 16 M x max 1.75 × 10 3 N ? = 71.4 × 10 6 N / m 2 = 71.4MPa τ max = = m ? 6 3 WP 24.5 × 10 m —46— 例 3-2 直径 d = 100mm 的实心圆轴，两端受力偶矩 T=10kN·m 作用而扭转，求横截45 = 1.43kN ? m 300 25 TC = 9.55 = 0.80kN ? m 300 30 TD = 9.55 = 0.96kN ? m 300 TB = 9.55WP =面上的最大切应力。若改用内、外直径比值为 0.5 的空心圆轴，且横截面面积和以上实心轴 横截面面积相等，问最大切应力是多少? 解 圆轴各横截面上的扭矩均为 Mx=T=10kN·m。 (1)实心圆截面 由(3-９)式和(3-７)式，得WP =3 πd 3.14 × (100) 3 ×10 ? 9 m3 = = 1.96 ×10 ? 4 m3 16 16 M x max 10 ×10 3 N ? τ = = 51.0 ×10 6 N / m 2 = 51.0MPa = m max 1.96 ×10 ? 4 m3 WP(2)空心圆截面 由面积相等的条件，可求得空心圆截面的内、外直径。令内直径为 d 1 ，外直径为 D ，由此求得α = d1 / D = 0.5 ，则有 1 π2 πd 2 = (1 ? α 2 ) D 4 4D = 115mm, d1 = 57.7mm3 πD 3.14 × (115) ×10 ? 9 m3 4 [1 ? (0.5) 4 ] = 2.8 ×10 ? 4 m 3 WP = (1 ? α ) = 16 16 3 10 ×10 N ? m = 35.7 ×10 6 N / m 2 = 35.7MPa τ max = 2.8 ×10 ? 4 m 3 3计算结果表明， 空心圆截面上的最大切应力比实心圆截面上的小。 这是因为在面积相同 的条件下，空心圆截面的 W P 比实心圆截面的大。此外，扭转切应力在截面上的分布规律表 明，实心圆截面中心部分的切应力很小，这部分面积上的微内力τ dA 离圆心近，力臂小， 所以组成的扭矩也小，材料没有被充分利用。而空心圆截面的材料分布得离圆心较远，截面 上各点的应力也较均匀，微内力对圆心的力臂大，在合成相同扭矩的情况下，最大切应力必 然减小。三、 应力互等定理从上面的分析可知，圆杆扭转时，横截面上各点处存在切应力。下面证明，在圆杆的纵 截面(径向平面)上也存在着切应力，且这两个截面上的切应力有一定的关系。在图 3-7(a) 所示圆杆表面 A 点周围，沿横截面、纵截面及垂直于径向的平面截出一无限小的长 方体， 称为单元体 (element)，设其边长为 dx, dy, dz, 如图 3-7（b）所示。该单元体的左、 右两个 面属于横截面， 作用有切应力τ ； 前面的一个面为外表面， 其上没有应力， 与它平行的 平面， 由于相距很近，也认为没有应力。从平衡的观点看，如果单元体上只有左、右两个面 上有切 应力，则该单元体将会转动，不能平衡，所以在上、下两个纵截面上必定存在着图示 的切应 力τ ′ 。由于各面的面积很小，可认为切应力在各面上均匀分布。由平衡方程z∑ M = 0得到 由此可得(τdydz)dx = (τ ′ dxdz)dy（3-14）—47—τ =τ′图 3-7 切应力互等分析 (3-14)式所表示的关系称为切应力互等定理(theorem of coniugate shearing stress)。即 过 一点的互相垂直的两个截面上，垂直于两截面交线的切应力大小相等，并均指向或背离这 一交线。 切应力互等定理在应力分析中有很重要的作用。在圆杆扭转时，当已知横截面上的切应 力及其分布规律后， 由切应力互等定理便可 知道纵截面上的切应力及其分布规律， 如图 3-8 所示。切应力互等定理除在扭转问题中 成立外，在其它的变形情况下也同样成立。 但须特别指出， 这一定理只适用于一点处或 在一点处所取的单元体。 如果边长不是无限 小的长方体或一点处两个不相正交的方向 上，便不能适用。 切应力互等定理具有普遍性，若单元体 图 3-8 纵截面上切应力分布 的各面上还同时存在正应力时，也同样适用。§3 - 3圆杆扭转时的变形·扭转超静定问题一、圆杆扭转时的变形圆杆扭转时，其变形可用横截面之间的相对角位移 (relative angle of twist) ? ，即扭转 角表示。 由(3-4)式可得，相距为 dx 的两个横截面的相对扭转角 d? 为d? = M x dx GI P若杆长为 l ，则两端截面的相对扭转角为? =∫ld? =l M x dx ∫ GI P 0(3-15)当杆长 l 之内的 M x , G, I P 为常数时，则M xl (3-16) GI P 上式表明，扭转角与杆的长度 l 成正比，与 GI P 成反比。乘积 GI P 称为圆杆的扭转刚度 (torsional rigidity)。当 M x 和 l 不变时， GI P 越大，扭转角越小； GI P 越小，扭转角越? =大。 扭转角的单位为弧度。 为消除杆长度的影响，圆杆的扭转变形也可用单位长度扭转角θ 表示，显然θ =Mx GI P—48—θ 的单位为弧度/米。 例 3-3 图示钢制实心圆截面传动轴。已知： T1 =0.82kN ·m ， T2T 3 =0.32kN·m，l AB 试求截面 C 相对于 B 的扭转角。=0.5kN · m，=300mm，l AC =500mm。轴的直径 d=50mm，钢的切变模量 G=80GPa。图 3-9 例 3-3 图 分别计算截面 B、C 相对于截面 A 的扭转角 ? 由式(3-16)可得 解 AB、AC 两轴段的扭矩分别 M x1 =0.5kN·m， M x 2 =0.32kN·m。AB、?AC。为此，可假想截面A 固定不动。?和AB=M x1l AB GI P?4AC=M x 2 l AC GI P式中， I P =和πd 。将有关数据代入以上两式，即得 32 500N ? m × ? AB = = 0.0031rad 0.3m π 80 ×10 9 Pa × (5 ×10 ? 2 m) 4 32 ?AC=320 N ? m × 0.5m= 0.0033rad80 ×10 9 Pa ×由于假想截面 A 固定不动， 故截面 B， 对截面 A 的相对转动应分别与 T2 , T3 的转向相 C 同(见图)。由此，截面 C 相对于 B 的扭转角 ? BC 为π (5 ×10 ? 2 m) 4 32? ??其转向与 T3 相同。BC=?ABAB= 0.0002 rad二、扭转超静定问题杆在扭转时， 如支座反力矩仅用静力平衡方程不能求出， 这类问题称为扭转超静定问题。 其求解方法与拉压超静定问题类似。现举例说明。图 3-10 超静定扭转杆件—49—图 3-10 所示的圆杆 A、B 两端固定。在 C 截面处作用一扭转外力偶矩 T 后，两固定端 产生反力偶矩 T A 和 TB 。由静力学平衡方程得到T A + TB = T (a) 由(a)式不能求出 T A 和 TB 的大小，所以这是一次超静定问题。为了求出 T A 和 TB ，必须考虑 变形谐调条件。 杆在 T 的作用下， 截面绕杆的轴线转动。 C 截面 C 相对于 A 端产生扭转角 ? CA 相对于 B 端产生扭转角 ? CB 。由于 A、B 两端固定 ? CA ，和 ? CB 的数值相等，这就是变形谐调条件， 由此得变形几何方程? CA ＝ ? CB设杆的扭转刚度为 GI P ，由(3-16)式， 得(b)?TA a GI P GI P M b Ta ? CB = T 2 = A GI P GI PCA=M T2 a=(c)将(c)式代入(b)式后，得到补充方程为TA =由(a)式和(d)式，求 得b TB a(d)TA =还可以用假想解除一端约束的方法求固定端支座的反力偶矩。请自行求解。b a T ,TB = T a+ b a+ b§3 - 4扭转时材料的力学性能对低碳钢材料，可通过薄壁圆筒扭转试验，找出切应力与切应变之间的关系，并确定极 限切应力。 一薄壁圆筒，一端固定，在自由端受外力偶矩 T 作用，如图 3-11（a）所示。由于筒壁 很薄，故圆筒扭转后，可认为横截面上的切应力τ 沿壁厚均匀分布，如图 3-11（b）所示。图 3-11 薄壁圆筒扭转 由静力学求合力的方法，可得即=(τ ? 2πr0 ? δ )r0 = Mx = T T τ 2π0r 2(a)—50—δ圆筒扭转后，表面上的纵线转过角度γ ，此即切应变，它和扭转角 ? 的几何关系γl = r0?—51—即γ =扭转试验在扭转试验机上进行。 试验时逐渐增加外力偶矩， 并测得与之相应的扭转角 ? ， 可画出 T ? ? 曲线。再通过(a)式和(b)式，可画出τ -γ 曲 线。 低碳钢的τ -γ 曲线如图 3-12 所示。由图可见，在 oa 范围内，切应力τ 与切应变γ 之间成线性关系，因此得到r0 ? l(b)τ =G γ这就是§3-2 中所提到的剪切虎克定律(3-２)式。a 点的切 应力称为剪切比例极限， τ P 表示。 用 当切应力超过 τ P 以后， 材料将发生屈服，b 点的切应力称为剪切屈服极限，用 τ s 表 图 3-12 低碳钢τ -γ 曲线 示。但低碳钢的扭转试验不易测得剪切屈服极限，因为在材料屈服前，圆筒壁可能会发生皱 折。 对铸铁材料，则采用实心圆试件，在扭转试验机上进行破坏实验，得出 T- ? 曲线，再通 过(3-7)式和与(b)式相类似的γ 与 ? 的几何关系式，可画出τ -γ 曲线。 灰口铸铁的τ -γ 曲线如图 3-13 所示。 曲线上没有成直线 的一段，故一般用割线代替，而认为剪切虎克定律近似成立。 此外， 铸铁扭转时没有屈服阶段， 但可测得剪切强度极限τ b。 弹性模量 E、泊松比ν 和切变模量 G ，是材料的三个弹性 常数，经试验验证和理论证明，它们之间存在如下关系：G=E 2(1 + ν )（3-18）图 3-13 灰口铸铁τ -γ 曲线 因此这三个常数中，只有两个是独立的。只要知道其中两个常数，便可由(3-18)式 求得第三个常数。 对于绝大多数各向同性材料， 泊松比ν 一般大于 0、 小于 0.5， 因此， 值约为 E 的 G1 ～ 21 。 3§3 - 5扭转圆杆的强度计算和刚度计算工程上的扭转杆件， 为保证正常工作， 除不能发生强度失效外， 还应对其变形加以限制， 不发生刚度失效。因此，必须进行强度计算和刚度计算。一、强度计算等直圆杆扭转时， 最大切应力τ max 发生在最大扭矩所在的危险截面的周边上任一点处， 即危险截面的周边各点为危险点。其强度条件应为τ max 不超过材料的容许切应力［τ ］ ，即τmax= M x max ≤ WP [τ ](3-19)由上式即可进行圆杆的强度计算，包括校核强度、设计截面或求容许外力偶矩。 对变截面圆杆，如阶梯轴、圆锥形轴等，WP 不是常量，τ max 并不一定发生在 M x max 的 截面上，要综合考虑扭矩 M x 和 WP 的变化，寻求τ =关于容许切应力［τ ］ ，上节中已介绍了用试验的方法，可以得到塑性材料的剪切屈服—52—Mx 的极值。 WP极限τ s 和脆性材料的剪切强度极限τ b，统称为材料的极限切应力τ u，将其除以安全因数， 即可得到容许切应力的数值。 根据大量试验， 容许切应力和容许拉应力之间存在着下列关系： 塑性材料： τ ］=(0.5～0.6)［σ ］ ［ 脆性材料： τ ］=(0.8～1.0)［σ ］ ［ (3-20) 因此，只要知道材料的容许拉应力，就可以确定其容许切应力。 有些受扭转的圆轴， 也有联接接头， 对其联接件也应进行强度计算， 以保证足够的强度。 关于联接件的强度计算问题，可参考§2-9。二、刚度计算对扭转圆杆，通常是限制其最大单位长度扭转角不超过规 定的数值。因此，由(3-17) 式得到等直圆杆扭转时的刚度条件为θ max = M x max ≤ GI P [θ ]式中［θ ］为规定的单位长度杆扭转角，其值可在设计手册中查到。例如 精密机器： ［θ ］=(0.15-0.3) 0 /m 一般传动轴： ［θ ］=(0.5-2.0) 0 /m(3-21)钻杆： ［θ ］=(2.0-4.0) 0 /m 利用(3-21)式， 即可对圆杆进行刚度计算， 包括校核刚度、 设计截面或求容许外力偶 矩。 例 3-4 一传动轴如图 3-14a 所示。设材料的容许切应力［τ ］=40MPa，切变弹性模 4 量 G=8×10 MPa，杆的容许单位长度扭转角［θ ］=0.20/m。 试求轴所需的直径。图 3-14 例 3-4 图 解 (1)画出扭矩图如图 b 所示。 (2)由强度 条件求直径 危险截面是 AB 段内的各截面。由(3-19)式，得WP ≥由此得到M x max 7 ×103 N ? m 6 = 0.175×10 mm [τ ] = 40 ×10 6 Pa 16WP = π3d≥33(3)由刚度条件求 直径 由(3-21)式， 得 7 ×10 3 N ?6 3 16 × 0.175 ×10 mm = 96mm π? 5474M xmac I P ≥ G[θ ]=mπ m? 1 8 ×10 ×10 Pa × 0.2 180 ×4 6= 2.51×10m = 2.51×10 mm由此得到d≥432WP = π47 32 × 2.51×10 = 126mm π—53—结合考虑，应取 d =126 mm 。 例 3-5 直径 D =100 mm 的轴，由两段联接而成；联接处加凸缘，并在 D0 =200 mm 的 圆周上布置 8 个螺拴紧固，如图 3-15 所示。已知轴在扭转时的最大切应力为 70MPa；螺栓 的容许切应力［τ ］=60MPa，试求螺拴所需直径 d 。图 3-15 例 3-5 图 解 这个螺栓群接头所受的外力，是两轴段间所传递的外力偶矩 T，因而是一个仅承受 力偶矩作用的螺栓群接头问题。螺栓均为单剪。 设每个螺栓的受力为 Fi ，至螺栓群中心 C 的距离为 ri ，由力矩平衡方程，得T=∑ Fri =18i i由于 8 个螺栓布置在同一圆周上，各 ri 相等，均为 为 F，从而可得D0 ，因而各螺剪切面上的剪力必相等， 2T = 8F即D0 2F = T / 4D T 可由轴的最大切应力求得 T =τmax P max 3 W = τ πD 16所以，每个螺栓剪切面上的剪力为FQ = F =将已知数据代入，得τ × πD 3 max 4D0 ×16= 17.1×10 3 NF =Q70 ×10 6 N / m 2 × π × 0.13 m 4 × 0.2m ×163每个螺栓剪切面上的各义切应力(见(2-9)式)为FQ 4FQ τ = = AQ πd 2再由(2-10)式的剪切强度条件，可得螺栓所需直径d=将已知数据代入，得4FQ / π [τ ]—54—d=4 ×17.1×103 N = 1,91×10 ? 2 m = 19.1mm 6 π × 60 ×10 N / m§3 - 6非圆截面杆的扭转工程上常遇到一些非圆截面杆的扭转问题，杆的横截面形状有矩形、工字形、槽形等。 试验表明，这些非圆截面杆扭转后，横截面不再保持为平面，而要发生翘曲 (warping)。截 面发生翘曲是由于杆扭转后，横截面上各点沿杆轴方向产生了不同位移造成的。由于截面翘 曲，因此根据平面假设建立起来的一些圆杆扭转公式，在非圆截面杆中不再适用。 非圆截面杆扭转时，若截面翘曲不受约束，例如两端自由的直杆，受一对外力偶矩扭转 时，则各截面翘曲程度相同，这时杆的横截面上只有切应力而没有正应力，这种扭转称为自 由扭转。若杆端存在约束或杆的各截面上扭矩不同，这时，横截面的翘曲受到限制，因而各 截面上翘曲程度不同，这时杆的横截面上除有切应力外，还伴随着产生正应力，这种扭转称 为约束扭转。由约束扭转产生的正应力，在实体截面杆中很小，可不予考虑；但在薄壁截面 杆中，却不能忽略。本节只介绍矩形截面杆和开口薄壁截面杆的自由扭转问题。一、矩形截面杆的扭转矩形截面杆扭转时，变形情况如图 3-16(a)所示。由于截面翘曲，无法用材料力学的方 法分析杆的应力和变形。现在介绍由弹性力学分析所得到的一些主要结果。 （1）矩形截面杆扭转时，横截面上沿截面周边、对角线及对称轴上的切应力分布情况 如图 3-13(b)所示。图 3-16 矩形截面杆扭转变形及切应力分布 由图可见， 横截面周边 上各点处的切应力平行于周边。 这个事实可由切应力互等定理及 杆表面无应力的情况得到证明。如图 3-16（c）所示的横截面上，在周边上任一点 A 处取一 单元体， 在单元体上若有任意方向的切应力， 则必可分解成平行于周边的切应力τ 和垂直于 周边的切应力τ ′ 。 由切应力互等定理可知， τ ′ 存在时， 当 则单元体的左侧面上必有τ ″ ， 但左侧面是杆的外表面，其上没有切应力，故τ ″ =0，由此可知，τ ′ =0，于是该点只有平 行于周边的切应力τ 。用同样的方法可以证明凸角处无切应力存在。由图还可看出，长边中 点处的切应力是整个横截面上的最大切应力。 （2）切应力和单位长度扭转角的计算公式为 最大切应力： 短边中点的切应力：τmax=τMx WTmax(3-22) (3-23)—55—τ1 =γ单位长度杆的扭转角：θ =Mx GI T(3-24)α 式中 WT = ab 3 , I T = β 4 , h 和 b 分别为矩形截面的长边和短边。 , β 和γ 的数值见表 3b 1。表 3-1 矩形截面杆自由扭转的系数 α,β和γm=h/b α β γ1.0 0.208 0.140 1.001.2 0.263 0.190 0.9301.5 0.346 0.294 0.8582.0 0.493 0.457 0.7962.5 0.645 0.622 0.7663.0 0.801 0.790 0.7534.0 1.150 1.123 0.7456.0 1.789 1.789 0.7438.0 2.456 2.456 0.74310.0 3.12 3.12 0.74（3）对于狭长矩形截面( m = ≥ 10)，由上表可知于是α =β ≈ 3WT = m 3 1 2 b = hb 3 3 m 1 I T = b 4 = hb 3 3 3h b 1m(3-25) 图 3-17 狭长矩形截面扭转 切应力分布 (3-26) (3-27)截面上的切应力分布规律如图 3-17 所示。 最大切应力和单位长度杆的扭转角计算公式为τ = maxM x 3M x = WT hb 2 3M x θ = Mx = GI T Ghb 3二、开口薄壁截面杆的扭转工程中广泛采用薄壁杆件。 薄壁杆件横截面的壁厚平分线称为中线。若中线是一条不闭 合的线，这种杆称为开口薄壁截面杆，如图 3-18(a)～(e)；若中线是一条闭合线，这 种杆 称为闭口薄壁截面杆，如图(f)所示。由于土建和水利工程中常用到开口薄 壁截面杆，故下 面仅介绍这类杆在自由扭转时的应力和变形。图 3-18 薄壁截面 开口薄壁截面杆的横截面可看成是 由若干狭长的矩形截面组成。 当杆受扭转时， 横截面 上的总扭矩为 M x ，而每个狭长矩形截面上由切应力合成的扭矩为 M xi 。如果能求出 M xi ， 则可由(3-26)式和(3-27)式求出每个狭长矩形截面的最大切应力和单位长度杆的扭 转角。 由静力学的力矩合成原理可知，横截面上的总扭矩等于各狭长矩形截面上的扭矩之和， 即M x = M x1 + M x 2 + L + M xn =∑Mi =1nxi(a)—56—由(a)式无法求出每个狭长矩形截面上的扭矩 M xi 。为此需从几何、物理方面进行分析， 建 立补充方程。然后再与(a)式联立求解。 由试验观察到，开口薄壁截面杆扭转后，横截面虽然翘曲，但横截面的周边形状在其变 形前面上的投影保持不变。根据这一现象作出的假设称为刚周边假设。例如图 3-19 所示的 工字形截面杆扭转后， 其横截面在原平面内的投影仍为工字形。 由此可知， 在单位长度杆内， 横截面的单位长度扭转角和各狭长矩形的单位长度扭转角 θ i 均相 同，即θ = θ 1 = θ 2 = LL = θn由(3-17)式可得(b)θ =M x ,θ M xi (c) = GI T i GI Ti 设 hi 和 δ i 分别为每个狭长矩形截面的长边和短边，由(a)、 图 3-19 刚周边假设(b)、(c)三式综合推导，最后可得横截面和各狭长矩形的单位长度扭转角为θ =θi=Mx G 3∑hδii =1n(3-28)i每个狭长矩形上的最大切应力为τmax i=Mx 1 3∑h δi i =1nδ i3(3-29)i由此可见，横截面上的最大切应力发生在厚度 δ i 最大的狭长矩形的长边中点处。其值为τ = maxMxnδ例 3-6 图 3-20 为两薄壁钢管的截面。(a)图所示截面为无缝的闭口薄壁截面； （b）图 所示截面有一缝， 为开口薄壁截面。 设它们的平均直径 D0 和厚度δ 均相同， δ / D0 =1/10， 且 试问在相同的外力偶矩作用下，哪种截面形式较好。max 1 h δ i3 ∑i =1 i 3(3-30)图 3-20 例 3-6 图 解 从强度和刚度考虑， 在相同的外力偶矩作用下， 所产生的切应力和扭转角均较小的 截面形式较好。因此，以下从这两方面进行比较。 (1)最大切应力 ①闭口薄壁截面 由(3-7)式和(3-13)式，得τ(a) max0 M 2M x = x = WPπD 2 δ —57—(a)—58—②开口薄壁截面 可将此截面展开看成是狭长矩形，长为 h = πD0 ，宽为δ 。由(3-26) 式，得(b τ) = max由(a)式和(b)式， 得3M x 3M x = hδ πD δ 02 2(b)即开口薄壁截面管的最大切应力比闭口薄壁截面管大 15 倍。 (2)扭转角 ①闭口薄壁截面 由(3-17)式和(3-12)式，得τ max 3D0 = 15 = ( 2δ τa ) max(b )θ②开口薄壁截面(a)4M x = Mx = GI P GπD 3 δ δ 3M x = 3M x = Ghδ GπD δ 03 3(c)由(3-27 式，得θ由(c)式和(d)式， 得(b)(d)即开口薄壁截面管的单位长度扭转角为闭口薄壁截面管大 75 倍。 从以上两方面的计算可见，闭合薄壁截面形式较好。θ(b ) 3 D0 2 = ( ) = 75 θ (a) 4 δ—59—思考题3–1 横截面积相同的空心圆轴与实心圆轴，哪一个的强度、刚度较好?工程中为什么 使用实心轴较多? 3-2 若在圆轴表面上画一小圆， 试分析圆轴受扭后小圆将变成什么形状?使小圆产生如 此变形的是什么应力? 3-3 图示组合圆轴，内部为钢，外圈为铜，内、外层之间无相对滑动。若该轴受扭后， 两种材料均处于弹性范围，横截面上的切应力应如何 分布?两种材料各承受多少扭矩? 3-4 轴线与木纹平行的木质圆杆试样进行扭转 试验时，试样最先出现什么样的破坏？为什么? 3-5 非圆截面杆与圆截面杆受扭时， 应力分布规 律有何异同？是何原因？ 3-6 图(a)所示圆杆，在外力偶矩 T 作用下发生 扭转。现沿横截面 ABE，CDF 和水平纵截面 ABCD 思考题 3-3 图 截出杆的一部分，如图(b)。根据切应力互等定理可知，水平截面 ABCD 上的切应力分布情 况如图(b)所示，其上的切向分布内力τ ′ dA 将组成一合力偶。试分析此合力偶与杆的这部 分中什么合力偶相平衡。思考题 3-6 图—60—习3-1 一直径 d=60mm 的圆杆，其两端受外力 偶矩 T=2kN·m 的作用而发生扭转。试求横截 面上 1，2，3 点处的切应力和最大切应变，并在 此三点处画出切应力的方向。 (G=80GPa)。 3-2 一变截面实心圆轴，受图示外力偶矩 作用，求轴的最大切应力。题题 3-1 图题 3-2 图 3-3 从直径为 300mm 的实心轴中镗出一个直径为 150mm 的通孔而成为空心轴，问最 大切应力增大了百分之几? 3-4 一端固定、一端自由的钢圆轴，其几何尺寸及受力情况如图所示，试求： (1)轴的最大切应力。 (2)两端截面的相对扭转角(G=80GPa)。题 3-4 图题 3-5 图3-5 一圆轴 AC 如图所示。 段为实心， AB 直径为 50mm； 段为空心， BC 外径为 50mm， 内径为 35mm。要使杆的总扭转角为 0.12°，试确定 BC 段的长度 a。设 G=80GPa。 3-6 图示实心圆轴，承受均匀分布的扭转外力偶矩作用。设轴的切变模量为 G，求自 由端的扭转角(用 m x ， l ，G，d 表示)。题 3-6 图 3-7 图示传动轴的转速为 200 转/分，从主动