Matlab中使用LMI toolboxLMI
(1)使用环境：matlab 2014a 。LMI工具包不用安装，可以直接使用。
(2)LMI toolbox: Linear Matrix Inequality，线性矩阵不等式。
(3)如何定义一个LMI系统：
1.初始化一个 LMI 系统
setlmis([])
注意这只是定义一个LMI系统，并不是定义了一个 LMI不等式。LMI不等式需要用newlmi函数定义。
如果想把一个之前定义好的LMI系统LMIS0引入进来setlmis(LMIS0)2.定义LMI变量X = lmivar(1,[6 1]);
S = lmivar(1,[2 0;2 1]);上面的函数定义了两个矩阵型LMI矩阵变量 X 和 Slmivar() 函数说明：
第一个参数表示矩阵的类型，可以是1,2,3
1：对称块对角结构
X3 = lmivar(1,[5 1;1 0;2 0]);
2：矩形结构
如lmivar(2,[3 5])表示大小为3*5的普通矩阵
3：一般结构
为了有助于描述这一类型的矩阵变量，lmivar提供了两个额外的输出，它的一般表达式是：[X,n,sX]=lmivar(type,struct)
其中n和sX是提供的两个额外输出n表示到目前为止使用的决策变量的总数，sX表明了变量X中的每一个元依赖于决策变量的哪个元。
例：定义，其中X1和X2分别是2*3维和3*2维的长方矩阵
(第三种结构可以用来表示矩阵型中间变量，例如上面的X变量依赖于矩阵变量X1和X2。可以用下面的代码表示这个中间变量)
%定义X1和X2
setlmis([])
[X1,n,sX1] = lmivar(2,[2 3]);
[X2,n,sX2] = lmivar(2,[3 2]);
%定义第三类型矩阵X
[X,n,sX] = lmivar(3,[sX1,zeros(2);zeros(3),sX2]);
注意：用第三种方法表示变量时，被表示变量只能用 已声明变量的正一倍或负一倍或转置或0矩阵表示。
（each entry of X is specified independently as either 0, xn, or –xn where xn denotes the n-th decision variable in the problem.）
例子说明：setlmis([])
[R,~,SR]=lmivar(1,[3 1]);
[P,~,SP]=lmivar(1,[3 1]);
A=[2,0,0;0,2,0;0,0,2];
[ph1,~,Sph1]=lmivar(3,A*SR);%错误的，不会报错，但这样得到的解ph1不会等于 A*变量R
[ph2,~,Sph2]=lmivar(3,2*SR);%也是错误的，不会报错，但这样得到的解ph2不会等于变量R的二倍
[ph3,~,Sph3]=lmivar(3,-SR);%正确的，解出的ph3会等于-R
[ph4,~,Sph4]=lmivar(3,SR');%正确的，解出的ph4会等于变量R的转置
第二组变量（[]内的内容）： 描述矩阵中的块矩阵的结构
以X为例：第一个参数数表示块矩阵的大小 6*6的块矩阵
第二个参数表示块矩阵的形式，可以是1,0，-1
1：全对称块
0：标量矩阵：即单位矩阵乘以常数
以S为例：[] 中用;隔开的有两组数据，表示S的对角线上有两个矩阵块
（S的例子）3.定义LMI不等式中的每一个项（lmiterm）
线性矩阵不等式（LMI）中的项： 以这个LMI不等式为例，其中的项(lmiterm)有AX + XA, CSC, XB, and –S
定义lmiterm: lmiterm([1 1 1 1],1,A,'s');
%定义了AX + XA
lmiterm([1 1 1 2],C',C); %定义了CSC
lmiterm([1 1 2 1],1,B);
lmiterm([1 2 2 2],-1,1); %定义了–S
lmiterm()函数说明： 第一个参数是一个四维向量：
向量中的第一个参数：
表示这个项属于哪个不等式，正数表示该项在不等式的左边，负数表示在不等式的右边。
向量中的第二个和第三个参数：
表示该项属于矩阵中的哪个矩阵块
向量中的第四个参数：
表示该项中包含哪个LMI变量（可以参考2.定义LMI变量）
K表示包含第K个LMI变量（也就是第K个被定义的LMI变量，如2中X是第一个LMI变量，S是第二个LMI变量）
-K表示包含第K个LMI变量的转置
0表示单位矩阵I
例如上面第一个lmiterm:lmiterm([1 1 1 1],1,A,'s');
%定义了AX + XA
中的[1 1 1 1]表示该项在第一个不等式的左边矩阵的 （1,1）处的矩阵块中，包含第一个LMI变量（X） 第二个参数和第三个参数：
表示该项中矩阵变量两边乘上的系数：
可以是常量值，也可以将矩阵作为系数。
例如 lmiterm([1 1 1 2],C',C); %定义了CSC
第二个和第三个参数表示矩阵变量(S)左乘矩阵C的转置，右乘矩阵C 额外参数： lmiterm([1 1 1 1],1,A,'s');
%定义了AX + XA
中多了一个额外参数，'s'表示symmetry，即加上本项的转置。
lmiterm([1 1 1 1],1,A);表示XA
lmiterm([1 1 1 1],1,A,'s');表示该项加上自身的转置，所以该项为AX + XA
在lmiterm函数中直接使用名称：
四维向量中第一个参数如果是数字K则表示第K个LMI不等式，也可以直接用不等式的名称代替。
例如：Xpos =
lmiterm([-Xpos 1 1 X],1,1);
表示定义了一个新LMI不等式，这次定义的项在Xpos不等式的右边部分。
四维向量第四个参数如果是常数K，表示该项中含有第K个被定义的LMI变量。也可以直接用变量的名称作为这个参数。
例如：lmiterm([-Slmi 1 1 S],1,1);
表示该项中包含的LMI变量是S
4.得到问题的内部表示当LMI系统完全定义完成之后，即lmivar（变量）,lmiterm（项）,lmi（项）都定义完毕。使用下面的命令行结束定义。该命令行只能使用一次。
LMISYS =(4)LMI系统求解对于LMI Lab， 其中有三种求解器（solver）： feasp，mincx和gevp。
每个求解器针对不同的问题：
feasp：解决可行性问题（feasibility problem），例如：A(x)
mincx：在线性矩阵不等式的限制下解决最小化问题（Minimization of a linear objective under LMI constraints），例如最小化c'x，在限制条件A(x) & B(x)下。
gevp：解决广义特征值最小化问题。例如：最小化lambda
1.利用feas得到LMI的解
[tmin, feas] = feasp(lmis)
%该式中的feas就是求得的解
2.运行后，就调用dec2mat把决策变量转化为矩阵形式。
Q = dec2mat(lmis, feas, Q)
LMI toolbox的更详尽的使用可以参考以下连接：http://read.pudn.com/downloads104/ebook/428541/LMI%20%E5%B7%A5%E5%85%B7%E7%AE%B1%E4%BB%8B%E7%BB%8D.pdf
matlab官网的相关资料：https://cn.mathworks.com/help/robust/ug/specify-lmi-system-at-the-command-line.html
https://cn.mathworks.com/help/robust/lmis.html
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Matlab中的LMI工具箱的研究与使用
摘要：由于内点算法可以利用计算机求解高阶矩阵不等式，使得线性矩阵不等式（LMI）在控制理论得以应用，因而线性矩阵不等式在控制系统分析、设计中扮演着越来越重的角色。在毕业设计中，我学习了LMI理论，Matlab中LMI工具箱的使用，研究了常见的控制问题与LMI关系以及其表达式，并研究了基于LMI方法的鲁棒控制器设计问题，推导了如何将鲁棒控制器设计问题转化为LMI形式，给出了通过求解LMI方程构造控制率的算法。LMI是一种较新的方法，可以在控制系统的许多领域得以应用，如鲁棒控制非线性控制The research and use of the Matlba LMI toolbox
Student majoring in Automation
SUN Peng-kun
Abstract：Due to the interior point algorithm can use computer to solve high order matrix inequality,It makes the linear matrix inequality (LMI) in the control theory to application and linear matrix inequality (LMI) played more and more heavy role in the control system analysis and design. At the graduation design, I studied the LMI theory, in the use of Matlab LMI toolbox, and studies the problem of common control with LMI relations and its expression,and I studied the problem of the robust contoeller design that based on lmi method,
how to transform the robust controller design problem into the LMI form, and given by solving the LMI equation of tectonic control algorithm. LMI is a new method, it can be used in many control system fields, such as robust control, nonlinear control predictive control, and it has great potential.
Key words: line LMIrobust control
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