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指数对数运算经典基础题目题目
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高一数学题：关于对数的定义及运算的问题
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学生困惑：
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17-06-18 20:35提问
数学老师木子12的解答
难&&易&&度：中等
考查了指数式与对数式的互化，以及对数的运算性质。
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400万学生都爱用的随身家教数据取对数运算的意义
平时在一些数据处理中，经常会把原始数据取对数后进一步处理。
之所以这样做是基于对数函数在其定义域内是单调增函数，取对数后不会改变数据的相对关系，取对数作用主要有：
1. 缩小数据的绝对数值，方便计算。
例如，每个数据项的值都很大，许多这样的值进行计算可能对超过常用数据类型的取值范围，这时取对数，就把数值缩小了，例如TF-IDF计算时，由于在大规模语料库中，很多词的频率是非常大的数字。
2. 取对数后，可以将乘法计算转换称加法计算。
3. 某些情况下，在数据的整个值域中的在不同区间的差异带来的影响不同。例如，中文分词的mmseg，计算语素自由度时候就取了对数，这是因为，如果某两个字的频率分别都是500，频率和为1000，另外两个字的频率分别为200和800，如果单纯比较频率和都是相等的，但是取对数后，log500=2.69897,
log200=2.30103, log800=2.90308 这时候前者为2log500=5.39794, 后者为log200+log800=5.20411，这时前者的和更大，取前者。因为前面两个词频率都是500,可见都比较常见。后面有个词频是200,说明不太常见，所以选择前者。
从log函数的图像可以看到，自变量x的值越小，函数值y的变化越快，还是前面的例子，同样是相差了300,但log500-log200&log800-log500，因为前面一对的比后面一对更小。
也就是说，对数值小的部分差异的敏感程度比数值大的部分的差异敏感程度更高。这也是符合生活常识的，例如对于价格，买个家电，如果价格相差几百元能够很大程度影响你决策，但是你买汽车时相差几百元你会忽略不计了。
4. 取对数之后不会改变数据的性质和相关关系，但压缩了变量的尺度，例如800/200=4, 但log800/log200=1.2616，数据更加平稳，也消弱了模型的共线性、异方差性等。
5. 且所得到的数据易消除异方差问题。
6. 在经济学中，常取自然对数再做回归，这时回归方程为 lnY=a lnX+b ，两边同时对X求导，1/Y*(DY/DX)=a*1/X, b=(DY/DX)*(X/Y)=(DY*X)/(DX*Y)=(DY/Y)/(DX/X) 这正好是弹性的定义。
当然，如果数据集中有负数当然就不能取对数了。实践中，取对数的一般是水平量，而不是比例数据，例如变化率等。
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[对数的运算]对数运算_对数的运算
对数运算对多数人（至少是那些在1980年后完成大学学业的人）而言，对数是一个理论性的主题，在代数学入门课程中是函数概念的一部分。但直到20世纪70年代末期，对数依然被广泛应用于计算设备中，实际上与1624年布里格斯的常用对数无异。手持计算器的出现则将它们彻底淘汰。假设现在是1970年，我们需要计算如下表达式：[I]498)this.width=498;' onmousewheel = 'javascript:return big(this)' height=39 alt=&& src=&https://pic.92to.com//1522500.jpg& width=247 border=0&为此我们需要用到四位的常用对数表（在大多数代数学教科书的最后还可以找到），还需要用到下面的对数运算法则：[I]498)this.width=498;' onmousewheel = 'javascript:return big(this)' height=98 alt=&& src=&https://pic.92to.com//1522501.jpg& width=204 border=0&其中a和b是任意正数，n为任意实数，而&lg&则表示常用对数（也就是以10为底的对数），不过也可以使用基于其他底数的对数表。在开始计算之前，回忆一下对数的定义：如果一个正数N可以写成N=10L的形式，那么L就是整数N的对数（以10为底），表示为lg N。因此表达式N=10L与L=lg N实际是等价的，因为它们给出的信息完全一样。由于有1=100和10=101，我们可以得到lg 1=0和lg 10=1。因此，对于1（包括1）和10（不包括10）之间的任何数，其对数都是一个正的小数，也就是一个可以写成0.abc…形式的数。类似地，对于10（包括10）和100（不包括100）之间的任何数，其对数都是1.abc…形式的数，依此类推。归纳如下：[TR][TD][I]N[/I]的范围[/TD][TD]lg [I]N[/I][/TD][/TR][TR][TD]1≤[I]N[/I]≤10,[/TD][TD]0.[I]abc[/I]…[/TD][/TR][TR][TD]10≤[I]N[/I]≤100,[/TD][TD]1.[I]abc[/I]…[/TD][/TR][TR][TD]100≤[I]N[/I]≤1 000,[/TD][TD]2.[I]abc[/I]…[/TD][/TR][TR][TD]…[/TD][/TR]（这张表格可以向小数部分推算，但这里我们为了方便讨论而将其略去。）所以，如果一个对数写成了形如lg N=p.abc…的形式，那么从整数p可以知道N处在什么样的10的幂范围内。例如，如果知道lg N=3.456，就可以推算出N位于1 000和10 000之间，而N的具体值则由对数的小数部分0.abc…所决定。对数lg N的整数部分p称为首数（characteristic），而小数部分0.abc…则被称为尾数（mantissa）。[1]对数表通常只会给出尾数部分，而首数部分则由用户自己确定。注意，如果两个对数的尾数相同但首数不同，则对应的两个N数位相同但小数点的位置不同。例如，lg N=0.267对应于N=1.849，而lg N=1.267则对应于N=18.49。如果写成指数形式就很清晰了：[I]498)this.width=498;' onmousewheel = 'javascript:return big(this)' height=30 alt=&& src=&https://pic.92to.com//1522502.jpg& width=449 border=0& 。现在我们可以开始计算了。首先我们将x写成更适合对数运算的形式--把方根替换为分数形式的指数：[I]498)this.width=498;' onmousewheel = 'javascript:return big(this)' height=33 alt=&& src=&https://pic.92to.com//1522503.jpg& width=235 border=0&对等式两边同时取对数，可得：[I]498)this.width=498;' onmousewheel = 'javascript:return big(this)' height=35 alt=&& src=&https://pic.92to.com//1522504.jpg& width=380 border=0&将表格中&比例部分&的值加到主表格给出的值上，我们就可以得到每个对数值。所以，要找到lg 493.8对应的值，我们先找到49开头的行，然后向右移动到3起头的列（对应的数为6 928），接着查找比例部分8起头的列，得到7，把7加到6 928上就得到6 935。由于493.8位于100和1 000之间，所以首数是2，从而我们得到lg 493.8=2.693 5。类似地，我们可以查到其他数的对数。用表格来完成计算比较方便（参见表2-1和表2-2）：[TR][TD][/TD][TD][I]N[/I][/TD][TD][/TD][TD]lg [I]N[/I][/TD][/TR][TR][TD][/TD][TD]23.67→[/TD][TD][/TD][TD]1.374 2[/TD][/TR][TR][TD][/TD][TD][/TD][TD]×[/TD][TD]2[/TD][/TR][TR][TD][/TD][TD][/TD][TD][/TD][TD]2.748 4[/TD][/TR][TR][TD][/TD][TD]493.8→[/TD][TD]+[/TD][TD]2.693 5[/TD][/TR][TR][TD][/TD][TD][/TD][TD][/TD][TD]5.441 9[/TD][/TR][TR][TD][/TD][TD]5.104→[/TD][TD]-[/TD][TD]0.707 9[/TD][/TR][TR][TD][/TD][TD][/TD][TD][/TD][TD]4.734 0 ÷3[/TD][/TR][TR][TD]答案：[/TD][TD]37.84←[/TD][TD][/TD][TD]1.578 0[/TD][/TR]表2-1　四位对数运算表格[TR][TD][I]498)this.width=498;' onmousewheel = 'javascript:return big(this)' height=518 alt=&& src=&https://pic.92to.com//1522505.jpg& width=397 border=0&[/TD][/TR][TR][/TR]最后一步需要用到反对数（也就是对数的逆运算）表格。我们在表格中查到尾数0.578 0所对应的数值为3 784。由于1.578 0的首数是1，我们可以推知这个数应当在10和100之间。所以x=37.84，小数点后保留两位。表2-2　四位反对数运算表格[TR][TD][I]498)this.width=498;' onmousewheel = 'javascript:return big(this)' height=544 alt=&& src=&https://pic.92to.com//1522506.jpg& width=396 border=0&[/TD][/TR][TR][/TR]听起来很复杂吧？如果你习惯于使用计算器的话，确实如此。有了一些经验之后，上面的运算可以在两三分钟内完成；而用计算器的话，应当几秒钟就能完成（可以得到具有6位小数的结果37.845 331）。但千万不要忘记从发明对数的1614年到发明电子计算机的1945年期间，人们只能用对数表或者等价的机械装置（对数计算尺）来完成这种运算。这也难怪科学界会对它们拥有如此高的热情。正如著名数学家皮埃尔·西蒙·拉普拉斯（Pierre Simon Laplace，）所说的：&对数的发明减少了劳动量，使天文学家的寿命加倍了。&[1]首数和尾数的是由亨利·布里格斯于1624年提出的。单词mantissa是伊特鲁里亚的一个后期拉丁语，意思是一个用于称重时凑足重量的东西。参见David Eugene Smith的History of Mathematics, 2 vols. (1923; New York: Dover, 1958), 2:514。
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log(1/2) x的底数为1/2，在0与1之间，所以是减函数-1/2≤log(1/2) x≤1/2则有(1/2)^(1/2)≤x≤(1/2)^(-1/2)√(1/2)≤x≤1/√(1/2)√2/2≤x≤√2
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