如何在数学教学中进行变式训练
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1如何在数学教学中进行变式训练
如何在数学教学中进行变式训练?运用变式的处理策略来能帮助学生巩固基础知识，掌握基本技能，提高分析问、解决问题的能力，进而帮助学生减轻课业负担，帮助教师提高课堂教学效率，今天，朴新小编给大家带来数学教学方法。
在解题教学中适当应用变式，帮助学生培养思维的发散性
题海战术往往是&以多胜少&&就题论题&，学生在长期的题海训练中会身心疲惫，逐渐步入&低效率、重负担、低质量&的恶性循环中，从而渐渐失去对数学的学习兴趣与动力。二变式教学恰好克服了这些缺点，其借助于变式设问、变位思考、命题变换等引导学生学会归纳和类比，做到方法归纳，题目归类，有效地克服学生思维的肤浅性、盲目性和狭隘性等，而且能开拓解题思路，培养探索意识，从而达到举一反三、触类旁通的效果。
在形成数学概念的过程中，利用变式培养学生正确概括的思维能力
从培养学生思维能力的要求来看，形成数学概念，提示其内涵与外延，比数学概念的定义本身更重要。在形成概念的过程中，可以利用变式引导学生积极参与形成概念的全过程，让学生自己去&发现&、去&创造&，通过多样化的变式提高学生学习的积极性，培养学生的观察、分析及概括能力。
利用变式教学，准确理解定理、公式和性质，培养学生多向变通的思维能力。
掌握定理、公式和性质的关键在于理解定理、公式和概念的联系，数学中的定理、公式和性质的实质上是人们对于概念之间存在的本质联系的概括。知识的传授是一个启发学生自己思考，从而获得知识的探索过程，从这一意义上看，学习活动不仅是由认知和情感共同参与的过程，也是一个知识&再发现&或&重新发现&的过程。因此教学中可利用变式教学，培养学生辨析与定理和公式有关的判断。
2数学教学方法
教学组织要有效
有效的课堂组织教学，是建立良好的教学秩序、构建有效的学习环境、提高教学质量的基础。首先，导入是一节课的&序幕&，直接影响着学生的求知欲望和学习兴趣。我们常说好的导入能激发学生的求知欲，还可激活学生的思维。教师在教学新课之前可以先让学生&碰碰壁&，引起学生认知的冲突和矛盾来激发好奇心，为学习新知提供&心理需要&的准备。学生们皱眉凝思，积极思考，于是在急迫想知道&究竟&的心理下进入了探究学习阶段，求知欲望非常强烈。
其次，课堂结构的组织要充分发挥教学民主，使学生真正成为学习主体，积极引导学生独立思考，让学生主动参与到知识形成的过程。要允许学生尝试、出差错，然后自行解决错误，努力营造一种民主、和谐、宽松的课堂环境。在这个环节中，教师始终不发表自己的意见，放手让学生展开讨论、尝试，最后学生自己发现规律，可以说是一种创新思维的表现。这就显示了自主学习的优点，如果教师加以因势利导，则必然大大激发学生的创新思维。所以教师在组织课堂教学时，要随时调整学生的学习状态，引导学生集中到学习中来。
多媒体课件运用和板书设计书写要有效
现代教育技术手段由于其直观性、能动性、交互性等在教学中带来了极大的方便，有效地激发了学生的学习兴趣，促进了学生认知主体的发挥，在教学环境的创设、教学过程的辅助等方面都发挥了巨大的作用。在数学课堂教学中，越来越多的教师更新了教学观念，现代教育技术手段已逐渐地进入了数学课堂。好的多媒体课件的运用，能够为数学教学锦上添花。数学教学中多媒体的运用对于学生学习数学起到了画龙点睛之举，实现了学生对数学知识从感性理解到理性理解的质的飞跃。
当前，由于多媒体的广泛运用，越来越多的教师忽略了板书书写。实际上，板书是最常用的教学手段之一。好的数学板书是一节课教学内容的浓缩，板书的内容往往提纲挈领、言简意赅，有助于学生理解相关内容，也便于学生掌握方法和课后复习。 因此，适时的多媒体课件的运用和适当的板书书写也是提高课堂有效教学的必要途径之一。
3数学思维训练
营造自由活跃的课堂环境
一个好的环境能塑造一个人的性格和思维，性格能决定成败。现代心理学研究表明，如果学习者在学习中保持愉快和轻松的心情，对发挥他们的主动性和创造性有重要作用，达到有意识和无意识的统一，释放强大的学习潜能，因此，塑造一个适合学生思维能力的教学环境显得尤为关键。而传统的数学教学模式是由教师强制性的灌输知识给学生、学生被动接受，这种填鸭式的教学方式存在很多弊端，一来不利于培养学生的学习兴趣，会使学生对学习产生抵触情绪，二来严重阻碍了学生独立思考和创新思维能力的培养。
在小学数学教学中，教师要把学生当做学习的主人，营造一个平等、民主、和谐、自由轻松的教学环境，在课堂上，教师要改变&一言堂&、&满堂灌&的弊病，不要照本宣科，要多提问、多引导、多反思，多给学生思考的时间，让学生能从多角度、全方位地思考题目， 同时，教师要尊重学生的不同想法，对那些富有&创新性&想法的同学要加以表扬。保护学生自由想象和思考的自由性和积极性，让每个学生都有机会发言，并且都敢于发言，让他们享受在这种轻松而自由的教学环境中并充分发挥创新思维能力，感受到老师对他们的创新思维的积极性和&创新成果&的尊重。
巧妙设疑，鼓励求异，培养学生的创新思维能力
陶行知先生说过：&发明千千万万，起点是一问。&问题是数学的心脏。学生学习数学的过程就是在老师的引导下发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程。要提高学生的创新能力，教师必须努力培养学生的问题意识和善于观察问题、发现问题和提出问题的能力。现行课标教材为培养学生问题意识和观察问题、发现问题、提出问题的能力做出了很大的努力，在课本中专门设置了大量的主题图，为教师的课堂教学提供了很多很好的例子，教师在小学数学教学中要充分利用。
例如，在教完&三角形的内角和&这一内容后，提出了如下问题让学生思考：四边形的内角和是多少?五边形的内角和是多少?六边形的内角和是多少?n边形的内角和是多少?这些有思考价值的问题，引发了学生实践、探究、讨论的热情，收到了良好的效果。因此教师在小学数学教学中，应力求打破常规，引导学生从多方面去思考问题，注意培养学生一题多解、一题多思、一题多变、举一反三的创新思维能力。
4学习数学兴趣的培养
导入新颖，唤起兴趣。教师对新知的导入，要根据内容设置问题悬念，努力创设新、奇、疑、谜等的心理情境和问题氛围，诱发学生探究欲望。如：教学&分数基本性质&时，这样设计：唐僧四师徒分一个西瓜，唐僧分得1/4，孙悟空分4/16，沙僧分得3/12，猪八戒分得2/8。猪八戒心里很不高兴，怪师傅有偏心，给自己分少了，给大师兄分多&&通过创设这样的情境，学生对问题的质疑与争论是越演越烈，学生揭开谜底的强烈欲望油然而生，为新知的学习铺垫了兴趣的基础。
巧设活动，运用合作，强化学习兴趣。根据小学生好奇、好动、好强、好胜的心理特征，巧妙设计一些有趣的和一些数学活动，让他们在参与游戏或活动中你追我赶、力争上游，既能快速达到教学目标，又能活跃学习气氛，使学生在游戏活动中学习兴趣得到强化。如：开展&夺红旗&&找朋友&&小小神算&等游戏，使枯燥乏味的加、减、乘、除的计算题变得生动、有趣。还可以开展数学活动，如&数学广角&&数学乐园&&小小商店&及校外数学实践等。同时，在游戏或活动中教师要充分挖掘合作的学习方式，使成员之间相互支持、相互帮助。尤其是成绩不够出色的，在竞争环境下很难取得成功的学生，在合作学习中，会使他们感到小组的成功也有自己的一份努力，增强他们学习的信心和兴趣。
适时点拨，激发兴趣。新知教学要在导入新颖的基础上巧妙进行，让学生参与探究新知的认识与理解的全过程，充分发挥学生的主体作用，做到人人动手、动脑、动口，让学生自我发现新知，认识新知，使学生亲身体验到获得新知过程的乐趣。如教学 &分数基本性质&导入环节后，教师就因势利导让学生折学具来验证、比较1/4、4/16、3/12和2/8的大小。在学生验证了这些分数的大小相等后，顺势将&1/4=4/16=3/12=2/8&掷出，让学生组内观察分子、分母各自的变化情况，通过组内讨论、猜想，再在全班上汇报结论，形成知识。这样，有助于学生&活学&&乐学&这一良好品质的养成。
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如何在数学教学中进行变式训练数学教学方法数学思维训练学习数学兴趣的培养2017高考数学题库：重视教材例题 重视变式训练
2017高考数学题库：重视教材例题 重视变式训练
2017年高考数学考纲分析与备考策略
2017年是广东省启用全国高考卷的第二年，今年各科高考大纲与去年相比有什么变化？对学生备考是否有影响？如何应对高考大纲的变化？快跟名师讨教数学备考方法吧。
庞进发东莞市高中数学名师工作室主持人、东莞中学南城学校高三数学老师
内容：减少“几何证明选讲”专题
2017年高考文科、理科数学必考内容与2016年一样，选考内容比2016年减少了1个“几何证明选讲”专题。2017年文科、理科数学选考内容都为《课程标准》的选修系列4的“坐标系与参数方程”“不等式选讲”2个专题。
虽然减少了一个选考专题，但是2017年考试大纲对“坐标系与参数方程”“不等式选讲”2个专题考查要求和2016年一样，即试题难度还是保持稳定。这样学生对选考内容的复习备考目标更加明确，更加有针对性。“几何证明选讲”专题主要是平面几何的知识，在必考内容中，如立体几何、解三角形、平面向量以及解析几何等问题，经常会涉及到初中所学的平面几何基础知识，希望考生在复习备考中还是加以重视。
说明：增加了总纲
2017年考试大纲整合了2016年各学科对考试性质和要求的描述，增加了总纲。在总纲中提出：高考评价体系通过确立“立德树人、服务选拔、导向教学”这一高考核心立场，回答了“为什么考”的问题；通过明确“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”四层考查目标以及“基础性、综合性、应用性、创新性”四个方面的考查要求，回答了高考“考什么”和“怎么考”的问题。
《考试大纲》是高考评价体系的具体实现，也体现了高考考试内容改革的成果和方向，是制定《考试说明》的原则依据。2017年的考纲说明以具体的知识、问题为例阐述了高考考核目标和要求，具体地回答了高考“考什么”和“怎么考”的问题，让考生的复习备考更加明确。
理解《考试大纲》重视变式训练
钻研《考试大纲》，透彻理解《考纲说明》中的示例，重视变式训练，提高数学能力。
例如《考纲说明》中考核目标与要求的示例：（一）函数和导数
函数是高中数学内容的主干知识，是高考考查的重点。高考中主要考查函数的概念与表示，函数的奇偶性、单调性、极大（小）值、最大（小）值和周期性；考查幂函数、指数函数、对数函数的图像和性质以及函数的应用；考查导数的概念、导数的几何意义、导数的运算以及导数的应用，重点考查利用导数的方法研究函数的单调性、极大（小）值、最大（小）值，研究方程和不等式。
对函数和导数的考查侧重于理解和应用，试题有一定的综合性，并与数学思想方法紧密结合，对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等都进行深入的考查，体现能力立意的命题原则。
说明：试题要求考生理解导数的运算法则，能灵活运用所学知识，理解所学知识之间的关联。如果考生能联想到满足条件的具体函数实例，问题将归结为具体的不等式求解，可以简化运算。试题注重基础，强调函数的基本性质、导数的概念与性质、导数的运算法则与应用，考查内容比较丰富，突出了函数与导数基本性质之间的关联，运算量不大，重在联想与推理。该试题设计灵活，强调综合运用所学知识来解决问题。试题源于教材又高于教材。下载费用：15 金币 &
高中数学人教B版必修2《向量法》青年教师参赛教学设计2.doc 向量法 ■ 一、教学背景 ——— 1.1教学内容解析 通过具体实例的分析，帮助学生掌握向量法解几何问题的一般方法 ,在过程中体会向量法的应用价值。本节课的教学重点是运用基向量法解决几何问题，而难点在于如何将几何问题转化为向量问题。因此从认知心理学的角度看，所教授的知识主要是程序性知识，当然这些知识需要与向量有关的陈述性知识为依托。本节课的上位知识是向量，特别是向量的线性运算，基本定理，数量积等相关内容。在本节课的教学过程中会涉及从一般到特殊的思想、数形结合思想、转化与化归思想以及类比推理等思维形式。 1.2教学 目标设置 引导学生经历从具体的几何问题（如长度，角度，位置关系等）出发、不断分析，将条件与结论逐步用向量表示，并利用向量运算得到向量结论，进而解决几何问题的全过程，重构向量的知识体系，体验其中蕴涵的丰富的数学思想。 1.3学情分析 第一个维度：学生的知识储备和方法储备：学生必修四学习了平面向量，选修 2-1学习了空间向量，经过第一轮复习，学生熟悉向量的基本知识，对向量法在平面几何和空间几何中的应用有一定的了解。但对向量的工具性认识较浅，面对几何问题，基本都选择建立坐标系，用向量坐标法解决。不明白向量法的理论基 础及背后所蕴含的数学思想，无法变被动应用为主动运用。 第二个维度：教师优势在于 态度友善，尊重和宽容课堂上的每一个人 ，有 耐性， 注重问题引导、思路分析，善于变式教学，精于将学科课程与信息技术的整合。而不足在于课堂教学语言相对不够准确简练，板书不够清晰美观。 1.4教学策略分析： 由于教学目标重点在于数学思想方法的体会，因此在教学素材的选择上，第一，例题的来源尽量选择课本例题，习题改编，例如问题 1和问题 2均来源于课本，不仅突出思想，简化运算，也提醒学生高三复习要回归课本。第二，例题选择注意丰富性。向量法解决的几类几何问题，例如长度，角度和位置关系问题都有涉及，帮助学生有全面的认识。第三，例题安排的层次性，根据教材的安排，本堂课选择从一般到特殊的思路安排，而且注意到从平面到空间的类比推理等，力求处处渗透数学思想方法。第四，注重变式训练，从题目条件的增减，结论的改变等多方面多角度变式，力求帮助学生掌握基本方法，领会数学思想，培养理性思维。 ■ 二、设计思想 ———————————————————————————————— 波利亚强调，不仅要教给学生知识，并且要教给他们“才智”、思维的方式、有条不紊的工作习惯。而现代建构主 义关于学习的理论中，不断强调教师在讨论中要设法把问题一步步引向深入以加深学生对所学内容的理解；要启发诱导学生自己去发现规律、自己去纠正和补充错误的或片面的认识。而教师应该在这一过程当中提供一些学习的“支架”：教师演示，并且说出其思想；提示或给予线索：帮助学生在停滞时找到出路；提问：帮助学生诊断错误的原因，并且修正完善。帮助学生从现有能力提高一步。 具体到本节课当中，学生已经复习了向量的基本知识，但还未能深刻体会向量法的本质，无法主动运用向量法解决几何问题。对于向量法所蕴涵的数学思想体会不深，无法应用来指导解 题实践。 向量兼具几何与代数的双重特点，向量法解题往往蕴含丰富的数学思想方法。通过向量法的教学，有利于学生重建向量的知识体系，深刻理解向量的核心知识点，有利于理解向量本质，并运用向量法解决几何问题，在解题中体会数学思想，提升数学能力。 因此本节课的设计中大胆突破平面和空间的界限，精选例题，强化类型，让不同层次的学生都能充分体会到向量法的基本思路。重在分析，重在引导，讲练结合，讲在关键处，让学生经历挫折，调整，成功的过程。 在课堂上，学生可亲身体验到向量在沟通几何与代数方面的作用，体会向量基本定理的重要作用， 深挖向量坐标法的理论基础，体会基向量法与向量坐标法的区别与联系。在整节课当中，不断渗透各种数学思想，帮助学生从宏观上重视蕴涵其中的关系映射反演，数形结合，基底转化，函数方程等思想，确立向量法解题的策略，能自觉运用数学思想方法来指导解题实践，摆脱题海的羁绊。 ■ 三、教学目标 ———————————————————————————————— （一）知识与技能 1. 掌握向量坐标法和基向量法； 2. 能合理的选用向量法求解几何问题。 （二）过程与方法 1.经历几何问题转化为向量问题，再从向量结论回归几何解释的过程 ，体会向量在代数和几何的问题解决中的桥梁作用。 2.在从平面到平面，从平行四边形到矩形，从空间到空间，从平行六面体到长方体，从平面到空间不断运用向量工具解决几何问题的过程中，学习从具体实例中提炼数学方法，体会不同方法间的区别与联系。 （三）情感、态度与价值观 1.在课堂教学过程当中，学生能从具体到抽象，从一般到特殊，能充分发挥在学习中的主体地位，主动观察、思考、模仿、互动、探究、归纳、反思，形成研究氛围。 2.在方法的归纳与应用过程中，养成扎实严谨的科学作风。 3.在向量法解题过程中体会向量法的简洁美、和谐 美。 ■ 四、教学重点与难点 —————————————————————————————— 1.重点： 基向量法解几何问题 2.难点：几何问题的向量表示 ■ 五、教学方式 ————————————————————————————————— 以问题为主线的启发式教学 ■ 六、教学媒体 ————————————————————————————————— 多媒体课件 ■ 七、教学过程设计 —————————————————————————————— 教学 环节 教学过程 问题驱动与互动 学情 预设 设计意图 问 题 引 入 开 场 白 数学是从认识和研究图形和数开始的，而向量既有图形形象直观的特点，又便于运算，是我们解决几何问题的好帮手，我们共同来回顾向量法在几何中的应用。 设问 1： 请问，什么叫向量？ 大部分学生经过高三复习对向量的定义比较熟悉。但个别同学可能会忽视向量定义。 开宗明义，指出本堂课教学目标和学习目标，帮助学生做好 心 理 准备。 问题 1: 证明平行四边 形四条边的平方和等于两条对角线的平方和 . 已知：平行四边形 ABCD 求证： ? ?2 2 2 22A C D B A B A D? ? ? 证明：不妨设 AB a?uur r ， AD b?uur r ，则AC a b??uuur r r ， DB a b??uuur r r ? ?22 222A C a b a a b b? ? ? ? ? ?uuur r r r r r r 设问 2： 请大家观察，这个问题陌生吗？能否用向量法解决这个问题？ 设问 3： 已知条件是什么？目标是什么？如何用向量来表示条件与结论？ （分析与引导细节） 问题的目标是求什么？ 长度如何用向量来表示？ 如何将对角线相应的①学生对文字型的证明问题有畏难情绪。所以首先要引导学生将文字转化为符号语言。 ②要帮助学生将几何问题转化为向量问题。 ③部分学生对向量的加①从课本例题出发，引导学生复习回归课本； ②引导学生将几何对象用 向 量 表示，体会向量法解几何问题的一般方法。 ③体现向量法求解距离问 题 的 优势。 教学 环节 教学过程 问题驱动与互动 学情 预设 设计意图 一、 向 量 法 在 平 面 几 何 中 的 应 用 ? ?22 222D B a b a a b b? ? ? ? ? ?uuur r r r r r r ? ? ? ?2 2 2 2 2 222A C D B a b A B A D? ? ? ? ?uuur uuur r r uuur uuur所以平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方。 知识链接（课件展示）： 向量的加法的平行四边形法则， 三角形法则， 减法的三角形法则， 平面向量基本定理。 向量向边相应的向量转化？运用了向量的哪些知识点？ 总结： 在问题 1 的解决过程当中，我们通过选取一组基底， 运用向量加法和减法的法则，完成了向量的表示过程，由形到数，其次通过向量数量积运算，由数到形，得到向量结论，第三步将向量结论回归几何转化为几何结论。这一过程体现了向量法解几何问题的基本步骤：①向量表示；②向量运算③回归几何，其中蕴涵了数形结合以及转化与化归的数学思想。 减法，数乘运算还不够熟悉。 ④引导学生认识平面向量基本定理与加减法法则之间的关系。 ⑤部分基础不扎实的学生 对向量数量积运算有所遗忘，尤其是借助其来求模。 变式：在平行四边形ABCD 中 ,E 是 AB 的中点 ,BD⊥ CE, 22AD AB? ,试求∠ A . 解：不妨设 AB a?uur r ， AD b?uur r ， 12C E C B B E a b? ? ? ? ?uuur uuur uuur r rBD AD AB b a? ? ? ?uuur uuur uuur r r? ?12C E B D a b b a??? ? ? ?????uuur uuur r r r rgg221122a a b b? ? ? ?r r r r 设 1AD? ，则 2AB? ，即有， 2a?r ，1b?r 易得 2 cos 02C E B D A??uuur uuurg ，cos 0A? ， 所以∠ A=90° 设问 4： 如果增加题目条件，请尝试用向量法解决这个问题？ （分析与引导细节） 问题的目标是求什么？ 角度如何用向量来表示？需要运用向量的何种运算？ ∠ A 是哪两个向量的夹角？ 选择哪两个向量作为基底？ 已知条件如何用向量转化？ 与问题 1有何区别？ ①经过复习，学生已熟悉向量的数量积运算，容易得出解决问题方向。 ②题目难点在垂直条件的应用和基向量的选择。 ①复习向量的数量积； ②体会向量法求解角度问题的一般方法； ③体会基底的 转 化 思想，体会从一般到特殊的思想方法 二、 知 识 重 从以上两个问题当中，我们可以发现向量 ------有 3大法宝， 1.向量的线性运算； 2.向量的数量积； 3向量的基本定理。 在平面几何中，向量在距离，角度和设问 5： 以上的两个问题的解决过程当中，向量的哪些知识点起了关键作用？ 设问 6： 运用这些法学生经过两个问题的复习，对向量法解题的基本工具有了一通过具体问题的解答过程，激活学生头脑中先前掌握的知教学 环节 教学过程 问题驱动与互动 学情 预设 设计意图 构 位置关系问题中大显身手，我们进一步来研究向量法在立体几何中是如何发挥作用的。 宝可以解决哪些问题呢？ 定了解。 识，构建完整的知识体系。 三、 向 量 在 立 体 几 何 中 的 应 用 猜一猜：平行六面体的的对角线的平方和和各棱平方和有何关系？ 已知：平行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D? 求证： 2 2 2 21 1 1 1A C B D B D A C? ? ? ? ?2 2 214 A B A D A A? ? ? 证明：不妨设 AB a?uur r ， AD b?uur r ， 1AA c?uur r ? ?2211A C A B A A A D? ? ?uuuur uuur uuur uuur? ?2abc? ? ?r r 21BD?uur? ? ? ?2211B A B B B C B A A A A D? ? ? ? ?uuur uuur uuur uuur uuur uuur? ?2abc? ? ? ?r r r ? ? ? ?D B D A D C D D D A A B A A? ? ? ? ? ?uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur? ?2a b c? ? ?r r r ? ? ? ?C A C D C B C C B A D A A A? ? ? ? ? ?uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur? ?2a b c? ? ? ?uur r r 2 2 2 21 1 1 1A C B D D B C A???uuuur uuuur uuuur uuur? ?2 2 24 abc? ? ?r
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循环不变式的思想及其应用
　　循环不变式的思想及其应用
　　循环不变式（loop invariants）不只是一种计算机科学的思想，准确地说是一种数学思想。在数学上阐述了通过循环（迭代、递归）去计算一个累计的目标值的正确性，属于基础数学的范畴，而且在计算机上也应用广泛。初次见到这个词是在《算法导论》，在第二章描述了这个思想和正确性，后来又在《编程珠玑》上再次重逢，不得不说是一种缘分。决定把自己的一些认识记录下来，用于阐述和传播这种优秀的基础方法。　　循环不变式主体是不变式，也就是一种描述规则的表达式。其过程分三个部分：初始，保持，终止。
　　1、初始：保证在初始的时候不变式为真。
　　2、保持：保证在每次循环开始和结束的时候不变式都为真。
　　3、终止：如果程序可以在某种条件下终止，那么在终止的时候，就可以得到自己想要的正确结果。
　　在这三个部分中，前两个是条件，最有一个是结论。看起来很浅显易懂，小学生就能明白的道理，但是道理明白不代表会使用。下面就举两个例子。
　　例子1、
　　问题：给出二分查找的实现,函数原形 int bsearch(int num[], int count, int goal); num是保存已经从小到大排序好的数字，count是数组元素个数，goal是待查找的数字；若查找成功则返回元素的下标，否则返回-1。
　　分析：二分查找的原理很简单：把数组分成三份，中间一份只有一个元素，其他两份个数基本相同，如果中间的元素等于目标值，就返回它的下标；如果大于，则去前半数组继续执行二分查找；如果小于，则去后半数组；直到数组没有元素为止。这是循环不变式的一个计算机算法应用，我们可以按照它的规则来做，我们的不变式就是：当前数组不为空；循环结束条件是：当前数组为空或找到目标元素。
　　代码:int bsearch(int num[], int count, int goal)
//检测初始时不变式的真值
if ( (num == NULL) || (count &=0) )
return -1;
//准备循环
int l = 0;//数组左端下标
int r = count -1;//数组右端下标
//数组中间下标
//循环开始
while(r&=l)//r&=l就是不变式，代表数组中有元素
m = (r+l)/2; //计算中间位置
if (a[m] == goal)//分支1，中间元素是目标元素
else if(a[m] & goal) //分支2，中间元素大于目标元素
r = m - 1;//把数组右端标志放到m的前面一个元素
else//分支3，中间元素小于目标元素
l = m +1;//把数组左端标志放到m的后面一个元素
//运行到这里表示没有找到目标元素
return -1;
　　代码可以进一步优化：int bsearch(int num[], int count, int goal)
int l = 0;
int r = count -1;
int m = (r+l)/2;
for(num != NULL; r&=l; m = l+r/2)
if (a[m] & goal)
r = m - 1;
else if (a[m] & goal)
return -1;
　　小结：上述代码是直接手写，没有经过上机测试，由于遵循了循环不变式的要求，我有信心不出现逻辑错误，倘若真出现了错误，那么就一定是我没有遵循循环不变式的要求。其实二分法作为一种简单灵活而又高效的算法在1946年就被人提出来了，但是第一个正确的算法确实在1962年发表的，期间这么多年都没有人发布正确的算法，有人漏掉元素导致结果错误，有人重复计算导致死循环。其原因在于逻辑不够严密，没有正确的方法去指导他们写这个算法，但是有了循环不变式的帮助，一切变得明朗了许多。
　　例子2、
　　问题：有数列a[n],n属于自然数，a[1] = 2，递推公式1：a[i] = 2/(a[i-1]+1),i&1,i属于自然数。求通向公式
　　分析：这个问题求数列的通向公式，是一个递归式，可用数学归纳法：先分析数列规律，再用假设公式带入k，然后计算a[k]的值并验证，继而推广到a[n]。
　　解题：
　　第一步，找规律：
　　a[1] = 2
　　a[2] = 2/(2+1) = 2/3
　　a[3] = 2/(2/3+1) = 6/5
　　a[4] = 2/(6/5+1) = 10/11
则根据规律设递推公式2：a[i] = 2a[i-1]的分母/(2a[i-1]的分母+(-1)^i),i&1,i属于自然树。
　　第二步，根据规律列出a[k]公式：
　　i=1,a[i] = 2;
　　i=2,a[i] = 2/(2+(-1)^2) = 2/(2+1)
　　i=3,a[i] = 2(2+(-1)^2)/(2(2+(-1)^2)+(-1)^3)= 2(2+1)/(2(2+1)-1)
　　i=4,a[i] = 2(2(2+(-1)^2)+(-1)^3)/(2(2(2+(-1)^2)+(-1)^3)+ (-1)^4) = 2(2(2+1)-1) /(2(2(2+1)-1)+1)
i=k,a[i] = 2(...(2(2(2+(-1)^2)+(-1)^3)+...)+(-1)^(k-1))/(2(...(2(2(2+(-1)^2)+(-1)^3)+...)+(-1)^(k-1))+(-1)^(k))
第三步化简a[k]：
　　由于a[k]分母中最深入的括号有k层，所以第一个+前面的2的系数2^(k-2),第一个+后面的(-1)^2的系数是2^(k-2),这个看作循环不变式的初始条件，中间循环第二个+后面的(-1)^3系数为2^(k-3),一直到最有一个+后面的(-1)^k系数为2^(k-k),总共有k-1个带有(-1)的项。在这些项目中，由于初始化计算正确，中间步骤正确，那么最后结果一定正确。
　　若k为奇数：
　　a[k]分母=2^(k-1)+2^(k-2)-2^(k-3)+....-2(k-k)，利用等比数列通向和公式求得=2^(k-1)+ (2^k-2)/3 - (2^(k-1)-1)/3 = (2^(k+1)-1)/3
　　则a[k]分子= (2^(k+1)-1)/3+1，a[k] = (2^(k+1)+2)/(2^(k+1)-1)
　　若k为偶数：a[k] = (2(k+1)-2)/(2^(k+1)+1),过程同上，略。
　　a[k] = (2(k+1)-2(-1)^k)/(2^(k+1)+(-1)^k)
　　第四步，归纳证明
　　过程略
　　小结：在这个题目里面最难的就是根据那第三步，如果使用第二步得到的中间带省略号的公式。这时候就需要循环不变式来帮忙，只要初始值正确（正确计算最内部+两侧式子的系数），循环过程无误（正负号交替，系数依次/2），循环可以结束（共循环k-1次），那么结果就是正确的，可以放心大胆地继续划简，最后得到正确结果。
　　总结：循环不变式使用特点　　1、在循环，迭代，递归等用上次结果作为下次初始值的累计过程都可以准确无误的使用。
　　2、在循环不变式三要素，初始，保持，结束。初始一定要正确，循环的时候也要保证不变式为真，循环一定要可以结束才能得到正确结果。其中后两条比较容易疏漏，解题时要慎而又慎严谨对待循环中不变式和结束条件。
　　3、可以把三要素再进行一次转化，使之更适合计算机程序：一次循环开始时候不变式为真，一次循环完毕时为真，总循环可以结束，结果必定正确。
算法学习二：循环不变式证明算法的正确性
循环不变式（loop invariant）
「算法导论」：到底什么是循环不变式？
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